大学物理(刚体部分)

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大学物理第四章刚体转动

大学物理第四章刚体转动

进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时,其自转轴 将绕某固定点作进动,通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象,其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ,且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如,月球绕地球运动时,其 自转轴会发生进动,导致月球表面的 某些特征(如月海)在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时,行星绕 太阳运动时也会发生章动现象,导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时,其惯性大小的量度称为转动惯量,用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体,可以直接套用公式计算其转动惯量;对于形状不规则的刚体,则需要采用间接方法, 如分割法、填补法等,将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型,它在力的作用 下,只会发生平动和转动,不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线(轴)作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动,同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法

刚体的转动惯量(大学物理--刚体部分)解析ppt课件

刚体的转动惯量(大学物理--刚体部分)解析ppt课件
第二节 转动惯量
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义: 单位: 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关? ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述: 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J,等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点,可绕 o 轴转动,求: 质点系的转动惯量J。 解: 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2:长为 l、质量为 m 的匀质细杆,绕与 杆垂直的质心轴转动,求转动惯量 J。
建立坐标系,坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4:半径为 R 质量为 M 的圆环,绕垂直 于圆环平面的质心轴转动,求转动惯量J。 解: 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等,

大学物理第三章刚体力学

大学物理第三章刚体力学

薄板的正交轴定理:
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上,Z轴与薄板垂直。
例3、质量m,长为l 的四根均匀细棒, O 组成一正方形框架,绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动,求转动惯量。 解:由平行轴定理,先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量:
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内,则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量,在定轴转动中, 力矩的方向沿着转轴,其指向 可按右手螺旋法则确定:右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时,大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义,力矩可表示为:
例9 行星运动的开普勒第二运动定律:行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解:行星在太阳引力(有心 力)作用下沿椭圆轨道运动, 因而行星在运行过程中,它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度:
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri,得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩,而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程,求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理

大学物理刚体部分教案

大学物理刚体部分教案

课时:2课时教学目标:1. 让学生掌握刚体的基本概念和运动规律;2. 理解转动惯量、角速度、角加速度等物理量的含义和计算方法;3. 能够运用刚体运动定律解决实际问题。

教学重点:1. 刚体的基本概念和运动规律;2. 转动惯量、角速度、角加速度等物理量的计算。

教学难点:1. 刚体运动定律的应用;2. 转动惯量的计算。

教学准备:1. 教师准备多媒体课件、实验器材等;2. 学生准备学习笔记、计算器等。

教学过程:第一课时一、导入1. 复习高中物理中质点和质点组的运动规律;2. 引入刚体的概念,说明刚体运动的特点。

二、新课讲授1. 刚体的基本概念和运动规律:a. 刚体:形状和大小不变,且内部各点相对位置不变的物体;b. 刚体的运动分为平动和转动两种;c. 刚体的运动规律:牛顿第二定律、转动定律。

2. 转动惯量:a. 转动惯量的定义:刚体对某一转轴的转动惯量,等于刚体各质点对该转轴的转动惯量之和;b. 转动惯量的计算:刚体的转动惯量取决于刚体的质量分布和转轴的位置;c. 转动惯量的公式:$I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$。

3. 角速度和角加速度:a. 角速度:刚体转动时,单位时间内转过的角度;b. 角加速度:刚体转动时,单位时间内角速度的变化量;c. 角速度和角加速度的计算:根据转动定律,可以计算出刚体的角速度和角加速度。

三、课堂练习1. 计算刚体的转动惯量;2. 计算刚体的角速度和角加速度。

第二课时一、复习1. 复习第一课时所学内容,重点掌握刚体的基本概念和运动规律;2. 解答学生提出的问题。

二、新课讲授1. 刚体运动定律的应用:a. 牛顿第二定律在刚体运动中的应用;b. 转动定律在刚体运动中的应用;c. 刚体运动问题的解题方法。

2. 实例分析:a. 计算刚体绕定轴转动的角速度和角加速度;b. 计算刚体绕定轴转动的转动动能;c. 分析刚体在复杂受力下的运动情况。

三、课堂练习1. 解答刚体运动问题;2. 分析刚体在复杂受力下的运动情况。

大学物理刚体归纳总结

大学物理刚体归纳总结

大学物理刚体归纳总结在大学物理学习中,刚体是一个重要的概念,广泛应用于力学、动力学和静力学等领域。

本文将对刚体的定义、特点以及相关定理进行归纳总结,旨在帮助读者更好地理解和掌握刚体的基本知识。

一、刚体的定义和特点刚体是指可以看作一个整体、无论受到什么力都能保持形状不变的物体。

在实际应用中,我们常常将刚体简化为点、线或面,以便进行研究和计算。

刚体具有以下特点:1. 形状不变性:无论刚体受到外力的作用,其形状都不会发生改变。

2. 外力作用点的变化不引起内部构件间相对位置的改变:即刚体内各个质点之间的相对位置保持不变。

3. 刚体内各个质点之间的相对位置保持不变:即刚体内构件间的距离和角度不会发生变化。

二、刚体的运动学性质1. 刚体的平动:刚体作平动时,刚体上每个点的速度都相同,且方向相同。

2. 刚体的转动:刚体作转动时,刚体上的各点绕着同一条轴旋转。

这个轴称为刚体的转轴,刚体绕转轴的转动速度相同。

刚体平衡的条件是力矩的和等于零。

力矩是由力对刚体产生的转动效果,其大小与力的大小、作用点到转轴的距离和力的夹角相关。

四、刚体静力学定理与公式1. 雅可比定理:在刚体有多个力作用时,可以将这些力简化为只有一个力等效,该力的大小、方向和作用点都与原有多个力相同,这个力称为合力。

2. 力的合成定理:当刚体上有多个力作用时,可以将这些力合成为一个结果力,该力等效于原有多个力的合力。

3. 力矩的平衡条件:对于处于平衡状态的刚体,刚体上力矩的和必须等于零。

4. 平衡条件的应用:根据刚体平衡条件,可以解决各种与刚体平衡有关的问题,如悬挂物体的平衡、天平的平衡等。

五、刚体动力学定理与公式1. Euler定理:刚体绕固定轴的转动,转动惯量与角加速度和转矩之间存在关系,即转动惯量等于转矩与角加速度的比值。

2. 动量定理:外力矩与刚体的角动量之间存在关系,外力矩等于刚体的角动量关于时间的变化率。

3. 动能定理:刚体的动能与角速度和转动惯量之间存在关系,动能等于转动惯量与角速度平方的乘积的一半。

大学物理_第06章 刚体力学

大学物理_第06章  刚体力学

接触点相同线速度时: 1r1 2r2
联立解得:
1
J1
J1 ( r1 r2
)2
J2
0
2
r1 r2
J1
J1
(
r1 r2
)2
J
2
0
书上177页
解: dm
2 rdr
m2 rdr R2
2mrdr R2
df
2mrdr R2
g
dM
r
2mrdr R2
g et
2mr 2dr R2
g
M
R
dM
0
R 0
2mr 2 dr R2
dm dV
其中、、分别为质量线密度、面密度和体密度。
转动惯量
2). 转动惯量的计算:
质点、圆环、圆筒绕中心轴转动
z
z
Rm
oR m
R
m
o
质点的转动惯量为
Jo mR2
对于匀质圆环和薄圆筒,因各质元到轴的垂直距
离都相同,则有
Jo mR2
圆盘、圆柱绕中心轴转动
对于质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘取半径为 r宽
需要一个动力学方程 — 角动量定理
角动量定理: M dL
dt
转轴转动角动量表达式:
Mz
dLz dt
转轴分量角动量定理表达式:
n
Lz z mi (xi2 yi2 ) z J i1
转动定律:
Mz
dLz dt
d (J)
dt
J
d
dt
J
z v
r
P
当刚体绕固定轴转动时,刚体对该轴的转动惯量与角加速 度的乘积等于外力对此轴的合力距。 — 定轴转动定律

大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料

大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料

mg FT2 ma2

FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1

r

J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
(2)拉力作功。请考虑合外力矩为0, 为什么拉力还作功呢?
W


0
Md
在定义力矩作功 时,我们认为只 有切向力作功, 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中,小 球受的拉力与位 移并不垂直,小 球的运动轨迹为 螺旋线,法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2

R

mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2:光滑斜面倾角为 ,顶端固定一半 径为 R ,质量为 M 的定滑轮,质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑,求:下滑的加速度 a 。
解:物体系中先以
物体 m 研究对象,
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程:
角量、线量关系式
解得:
a
mB g
mA mB mC 2
T1

mAmB g
mA mB mC
2
T2

(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0,可得:

(完整版)大学物理刚体部分知识点总结,推荐文档

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一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。

2.刚体平行移动。

·刚体内任一直线段在运动过程中,始终与它的最初位置平行,此种运动称为刚体平行移动,或平移。

·刚体作平移时,刚体内各点的轨迹形状完全相同,各点的轨迹可能是直线,也可能是曲线。

·刚体作平移时,在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。

3.刚体绕定轴转动。

• 刚体运动时,其中有两点保持不动,此运动称为刚体绕定轴转动,或转动。

• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。

• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向,是代数量,。

角速度也可以用矢量表示,。

• 角加速度表示角速度对时间的变化率,是代数量,,当α与ω同号时,刚体作匀加速转动;当α与ω异号时,刚体作匀减速转动。

角加速度也可以用矢量表示,。

• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系:。

速度、加速度的代数值为。

• 传动比。

二.转动定律转动惯量转动定律力矩相同,若转动惯量不同,产生的角加速度不同与牛顿定律比较:转动惯量刚体绕给定轴的转动惯量J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。

定义式质量不连续分布质量连续分布物理意义转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。

它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。

计算转动惯量的三个要素:(1)总质量; (2)质量分布; (3)转轴的位置(1) J 与刚体的总质量有关几种典型的匀质刚体的转动惯量刚体转轴位置转动惯量J细棒(质量为m ,长为l )过中心与棒垂直212ml 细棒(质量为m ,长为l )过一点与棒垂直23ml 细环(质量为m ,半径为R )过中心对称轴与环面垂直2mR 细环(质量为m ,半径为R )直径22mR 圆盘(质量为m ,半径为R )过中心与盘面垂直22mR 圆盘(质量为m ,半径为R )直径24mR 球体(质量为m ,半径为R )过球心225mR 薄球壳(质量为m,半径为R )过球心223mR 平行轴定理和转动惯量的可加性1) 平行轴定理设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic ,相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I ,则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+2)转动惯量的可加性对同一转轴而言,物体各部分转动惯量之和等于整个物体的转动惯量。

04《大学物理学》刚体部分练习题(马)

04《大学物理学》刚体部分练习题(马)

《大学物理学》刚体部分学习材料一、选择题4-1.有两个力作用在有固定转轴的刚体上:(1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零; (2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零; (3)当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零; (4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零; 对上述说法,下述判断正确的是:( )(A )只有(1)是正确的; (B )(1)、(2)正确,(3)、(4)错误; (C )(1)、(2)、(3)都正确,(4)错误; (D )(1)、(2)、(3)、(4)都正确。

【提示:(1)如门的重力不能使门转动,平行于轴的力不能提供力矩;(2)垂直于轴的力提供力矩,当两个力提供的力矩大小相等,方向相反时,合力矩就为零】4-2.关于力矩有以下几种说法:(1)对某个定轴转动刚体而言,内力矩不会改变刚体的角加速度; (2)一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;(3)质量相等,形状和大小不同的两个刚体,在相同力矩的作用下,它们的运动状态一定相同。

对上述说法,下述判断正确的是:( )(A )只有(2)是正确的; (B )(1)、(2)是正确的; (C )(2)、(3)是正确的; (D )(1)、(2)、(3)都是正确的。

【提示:(1)刚体中相邻质元间的一对内力属于作用力和反作用力,作用点相同,则对同一轴的力矩和为零,因而不影响刚体的角加速度和角动量;(2)见上提示;(3)刚体的转动惯量与刚体的质量和大小形状有关,因而在相同力矩的作用下,它们的运动状态可能不同】3.一个力(35)F i j N =+作用于某点上,其作用点的矢径为m j i r )34(-=,则该力对坐标原点的力矩为 ( )(A )3kN m -⋅; (B )29kN m ⋅; (C )29kN m -⋅; (D )3kN m ⋅。

【提示:(43)(35)4302092935i j kM r F i j i j k k k =⨯=-⨯+=-=+=】4-3.均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动,如图所示。

大学物理课件第3章-刚体

大学物理课件第3章-刚体
F
T
m
o
x
例4. 质量为M =16 kg的实心滑轮,半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上,一端挂一质量为m的物体。
求(1)由静止开始1秒钟后,物体下降的距离。(2) 绳子的张力。
解: TR
a
1 2
MR
2
a R
T
1 2
Ma
2
mg T ma
M
T
mg mM 2
注: 可以用质点动力学 的方法来处理刚体 的平动问题。
转动:
刚体上所有质点都绕同一直线作圆 周运动。这种运动称为刚体的转动。这 条直线称为转轴。
定轴转动:
转轴固定不动的转动。
刚体的转动动能
mn
rn
o
r1
m1
r2
m2

I mi ri
i
2
kg m
2
I 为刚体对 z 轴的转动惯量。
结论: 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量 的分布以及转轴的位置有关。 对于质量连续分布的刚体:
2
2
( mi ri )
Ek
1 2
J
2
设在外力矩 M 的作用下,刚体绕定轴发生角位移d 元功:
dA Md
A I
d dt
A
由转动定律 有
d dt
d I d
1 2 1 2
dA I

2
1
I d

I 2 -
2
I 1
2
刚体绕定轴转动的动能定理 :合外力矩对刚体所 做的功等于刚体转动动能的增量。
l a v
o
30°
机械能守恒:
11 l 2 2 2 Ml ma mga1 cos 30 Mg 1 cos 30 23 2

大学物理 习题课(刚体)

大学物理 习题课(刚体)

J1r1r2 10 2 2 2 J1r2 J 2 r1
11、质量为m,长为 l的均匀棒,如图, 若用水平力打击在离轴下 y 处,作用时 Ry 间为t 求:轴反力
解:轴反力设为 Rx Ry d 由转动定律: yF J y dt yF t t 为作用时间 F 得到: J 由质心运动定理: l d l 2 切向: F Rx m 法向: R y mg m 2 dt 2 2 2 2 3y 9 F y (t ) R 于是得到: x (1 ) F R y m g 2l 2l 3 m
10
r1
r2
解: 受力分析: 无竖直方向上的运动
10
o1
N1
f
r1
N2
r2
N1 f m1 g N 2 f m2 g
以O1点为参考点, 计算系统的外力矩:
o2
f
m1 g
m2 g
M ( N2 m2 g )(r1 r2 )
f (r1 r2 ) 0
作用在系统上的外力矩不为0,故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。
r
at r
在R处:
R
at R
(2)用一根绳连接两个或多个刚体
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
D
A
m2
m1
• 同一根绳上各点的切向加速度相同;线速度也相同;
a t A a t B a t C a t D
A B C D
• 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等;
TA TB TD
但 TB TC
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1

大学物理第五章刚体力学

大学物理第五章刚体力学

v0
3
4J
4Ml
mv
例3 、如图所示,将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在 同一点,杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆
自然下垂,将单摆的摆锤拉到高度h0,令它自静止状
态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆
下端达到的高度h。
l l
m
ho
h’
a
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
c hc
h=3h0/2
b
L
mv
v o m o• L
(A) 2v 3L
(B) 4v 5L
(C) 6v 7L
8v (D) 9L
以顺时针为转动正方向
两小球与细杆组成的系统 对竖直固定轴角动量守恒
L
mv
v o m o• L
由 Lmv+Lmv=2mL2+J
及 J= mL2/3
可知正确答案为 [ C ]
6.如图所示,一均匀 细杆长为 l ,质量为 m,平放在摩擦系数
速度。
用功能定理重解该题
取起始位置为零势能参考点 O
0 mgl sin / 2 1 J2
2
A mg
3g sin
l
?棒端A的速度 vA 3gl sin
例2.已知:均匀直杆m,长为l,初始水平静止,
轴光滑,AO4l 。 求:杆下摆角后,角速度 ?
解:杆+地球系统, ∵只有重力作功,∴ E守恒。
1 (1 ml 2 ) 2 1 mgl(1 cos )
23
2
3
arccos23
例4、一飞轮以角速度0绕轴旋转,飞轮对轴的
转动惯量为J1,另一静止飞轮突然被啮合到同一 个轴上,该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。 啮合后整个系统的角速度 (1/3)0 .

6.1 刚体运动学(大学物理)

6.1 刚体运动学(大学物理)

1、转动惯量

刚体转动时,刚 体内的各质点作圆周 运动,刚体的动能等 于各质点动能之和。
mn
m1
rn
r1
r2 m2
1 1 1 2 2 2 Ek m1v1 m2v2 mnvn 2 2 2 n n 1 1 2 2 mivi mi (ri ) i 1 2 i 1 2 1 n 2 2 ( miri ) 2 i 1
1 l 1 2 2 J ml m ml 结果与前相同。 3 12 2
t
0
1 2 0 0 t t 2
v v 2a( x x0 )
2 2 0
2 ( )
2 2 0 0
匀变速转动
六 角量与线量之间的关系
1、位移与角位移之间的关系 刚体转过 刚体上的一点 位移 s
o
r
s
x
s r
第六章 刚体力学
本章主要内容:
6-1 刚体的运动 6-2 刚体的角动量、转动动能、转动惯量
6-3 力矩
刚体定轴转动定律
6-4 定轴转动的动能定理 6-5 刚体对定轴的角动量守恒定律
6-6 进动*
本章学习要求
2.理解转动惯量、力矩的概念,掌握转动定律。 3.掌握刚体转动的动能定理、角动量定理。
1.掌握刚体定轴转动的特点,理解角坐标、角位移 角速度、角加速度的概念。
1 n 刚体的转动动能 Ek ( miri2 ) 2 2 i 1 1 2 与平动动能比较 Ek mv 2 n 2 miri :相对于转轴的特征的物理量
i 1
转动惯量的定义:
单位:kg ·m2
J m r
i 1

大学物理第五章刚体力学1

大学物理第五章刚体力学1
详细描述
机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一,对于刚体而言同样适用。如果一个刚体在 运动过程中不受外力矩作用,则其动能和势能之和保持不变。这意味着,如果刚体的动
能增加,则其势能必定减少,反之亦然。
05
刚体的振动和波动
简谐振动
简谐振动定义
物体在平衡位置附近做周期性往复运动的现象。
简谐振动方程
x=A*sin(ωt+φ),其中A为振幅,ω为角频率,φ为初相角。
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转动惯量的计算
对于细长均匀杆,转动惯量I=mr^2/2;对于质量均匀分布的圆盘, I=mr^2/4。
03
刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律
角动量守恒定律
一个不受外力矩作用或者所受 外力矩的矢量和为零的刚体, 其角动量保持不变。
角动量
刚体绕某一定点的转动惯量与 刚体相对该点的角速度的乘积 。
角动量守恒的条件
刚体定义与特性
80%
刚体定义
刚体是一个理想化的物理模型, 在实际中并不存在。
100%
刚体特性
刚体具有不变形、不可压缩、无 摩擦等特性。
80%
刚体运动
刚体的运动可以用质点和刚体的 运动学来描述,其动力学则由牛 顿第二定律和转动定律来描述。
02
刚体的转动定律
刚体的角速度和角动量
角速度
描述刚体绕固定点转动的速度,用矢 量表示,单位为弧度/秒。
总结词
刚体的动能在数值上等于刚体 转动惯量与刚体角速度平方乘 积的一半。
详细描述
除了平动运动外,刚体还可以 进行转动运动。在转动运动中 ,刚体的动能等于刚体的转动 惯量与刚体角速度平方乘积的 一半。
刚体的势能

大学物理第5章刚体

大学物理第5章刚体
Ar
B C
分析受力和力矩情况
第一篇 力 学
解:由ABC和绳子组成系统为研究对象,分析受力和力矩情况。
系统受到的合力矩: M m2 gr m3gr
对整个系统列出角动量定理积分形式
t
Mdt Lt L0
t0
分别计算,有 Mdt (m2gr m1gr)t
L0 0
0
L

LA
若质量连续分布 J r2dm
一维
二维
三维
dm
dl
线密度 dm dl
J r2dl
面密度 dm dS
J r2dS
体密度 dm dV
J r2dV
第一篇 力 学
例1.求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解:取如图坐标,dm=dx
J A
L x2dx mL2 / 3
0
L
JC
2 L
x2dx

mL2
/12
2
A L
A
C
L/2
B X
B L/2 X
例2.求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂
直并通过圆心。
解:
J R2dm R2 dm mR2
O
R
dm
第一篇 力 学
例3.求长求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂 直并通过盘心。
解:取半径为r宽为dr 的薄圆环
dm 2rdr
dJ r2dm 2r3dr
dr rR
J dJ R 2r3dr 1 R4
0
2


m
R 2

大学物理 刚体汇总

大学物理 刚体汇总
都绕同一直线作圆周运动,这种运动称为转动,该直线称 为转轴。 2、刚体的定轴转动
如果转轴是固定不动的,则刚体的转动称为定轴转动。 刚体的一般运动可看成刚体质心的平动与绕过质心的
轴的定轴转动的合运动。
3、描述刚体转动的物理量
转动平面:垂直于转动轴所作的平面
刚体重任一质点都在各自的转
动平面内作圆周运动,且具有相同
的角位移、角速度、角加速度。描
述刚体转动的物理量是角位移、角 速度、角加速度等。
转动平00面 θ
X
P
以刚体中的P点为例。 (1) 角位移
ω
开始时质点P在X轴,经t时间,
转过的角度为θ,θ即为角位移。
方向规定: 俯视转轴观察时,刚体
沿反时针方向转时时,θ为 正值;刚体沿顺时针方向转 动时,θ为负值。
合外力矩
M Firi sini
合内力矩
firi sini
刚体对OZ定轴的转动惯量 I miri2
以两质点为例
r1 f1 r2 f2 f1d f2d 0
r1
f1
内力中任一对作用力与反作用 力大小相等方向相反,则任一对作 用力与反作用力的力矩相加为零。
d r2
f2
合内力矩
与动量
P
mV
相似,动量矩是描述刚体绕定轴转动
状态的一个物理量。
二、 刚体冲量矩
冲量矩表示力矩在时间过程中的累积效应,是描述刚 体的转动状态发生改变的物理量。
冲量矩: 刚体所受合外力矩与力矩作用时间的乘积。
在dt时间元内,冲量矩为 Mdt
t2
在t1→t2时间内,冲量矩为 Mdt
米·牛顿·秒
t1
三、 角动量定理(动量矩定理)
0

3力矩转动定律(大学物理 - 刚体部分)

3力矩转动定律(大学物理 - 刚体部分)


F
二、转动定律
刚体作定轴转动时,合外力矩等于 刚体的转动惯量与角加速度的乘积。 M Jβ
注意几点
1. 是矢量式 2. 具有瞬时性。 3. M、J、是对同一轴而言的。
§5.力矩、转动定律 / 二、转动定律
三. 解题方法及应用举例
M Jβ
1.确定研究对象。
2.受力分析(只考虑对转动有影响的力矩)。
M J
l 1 2 mg cos ml 2 3 3 g cos 2l
习题课 / 例3
m,l
mg

3 g cos 2l
60时
0时
3 g 4l 3 g 2l
m,l
mg

习题课 / 例3
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程,转 动刚体列转动定律方程和角量与线量关系)。
§5.力矩、转动定律 / 三、解题方法及应用举例
例1:如图所示,两个同心圆盘结合在一 起可绕中心轴转动,大圆盘质量为 m1、 半径为 R,小圆盘质量为 m2、半径为 r, 两圆盘都用力 F 作用,求角加速度。
解:以 m1、 m2 为研 究对象,它们有共同 的角加速度,只有 F、 F 产生力矩。 FR Fr ( J1 J 2 )
第三节
力矩 转动定律
一、力矩
力与力臂的乘积。
O d
M
r
P r M dF r sin F M rF sin 根据矢量乘积法则: A B AB sin 用矢量方法表示力矩: M r F 单位:牛顿· 米, N ·m 方向:从r沿小于角右旋到F,大拇指指向。
§5.力矩、转动定律 / 一、力矩
m2 r
R
m1

大学物理 刚体力学

大学物理 刚体力学

试计算飞轮的角加速
rO
F
mg
解 (1)
Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad s -2 J 0.5
(2) mg T ma
Tr J a r
两者区别
rO
mgr 98 0.2 -2 21 . 8 rad s J mr 2 0.5 10 0.22
3、转动惯量
(1)定义
J mi ri2
在(SI)中,J 的单位:kgm2
物理意义:转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度,其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。 (2) 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布 ②转轴的位置 (3) 转动惯量的计算
m1
①质量离散分布的刚体
J mi ri2
二、刚体定轴转动的转动定律
1.力矩

改变质点的运动状态
改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力矩
(1) 力矩的定义式
M
M r F
大小:M Fr sin Fd M rF (2) 物理意义
是决定刚体转动的物理量,表明力的大 小、方向和作用点对物体转动的影响。
z
M

PP

x
参考 方向
x x
转动平面 转轴
(2)角速度

d dt
角速度方向用右手螺旋法则确定。
定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。


用正负号表示方向


d
(3) 角加速度
角加速度方向与 加速转动 相同。 方向相反
方向一致; 减速转动
(4) 角量与线量的关系

大学物理刚体部分知识点总结

大学物理刚体部分知识点总结
这就就是角动量守恒定律:当质点所受得对参考点得合外力矩为零时,质点对该参考点得角动量为一恒矢量。
说明:
(1)质点得角动量守恒定律得条件就是M=0,这可能有两种情况:
合力为零;
合力不为零,但合外力矩为零。
四.力矩做功与刚体绕定轴转动得动能定理
力矩得功
设:;转盘上得微小质量元Δm在力F作用下以R
为半径绕O轴转动,在dt时间内转过角度d,
3、刚体绕定轴转动。
• 刚体运动时,其中有两点保持不动,此运动称为刚体绕定轴转动,或转动。
• 刚体得转动方程φ=f(t)表示刚体得位置随时间得变化规律。
• 角速度ω表示刚体转动快慢程度与转向,就是代数量, 。角速度也可以用矢量表示, .
• 角加速度表示角速度对时间得变化率,就是代数量, ,当α与ω同号时,刚体作匀加速转动;当α与ω异号时,刚体作匀减速转动.角加速度也可以用矢量表示, 。
对应位移dr,路程ds,此时F所做得元功为
则总功为
1刚体绕定轴转动得转动动能
2动能定理
2)转动惯量得可加性
对同一转轴而言,物体各部分转动惯量之与
等于整个物体得转动惯量。
三 角动量角动量守恒定律
1.质点得角动量(Angular Momentum)——描述转动特征得物理量
1)概念
一质量为m得质点,以速度运动,相对于坐标原点O得位置矢量为,定义质点对坐标原点O得角动量为该质点得位置矢量与动量得矢量积,即
角动量就是矢量,大小为
L=rmvsinα
式中α为质点动量与质点位置矢量得夹角。
角动量得方向可以用右手螺旋法则来确定。
角动量得单位:kg、m2、s-1
2。质点得角动量定理(Theorem of Angular Momentum)
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5
例1:一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机,滑轮 半径r=0.5m,如果升降机从静止开始以加速度a =0.4m/s2匀加速上升,求:(1)滑轮的角加速度. (2)开始上升后,t=5s末滑轮的角速度.(3)在这5s 内滑轮转过的圈数.(4)开始上升后,t=1s末滑轮 边缘上一点的加速度(设绳索与滑轮之间不打滑). 2 解:(1) at r at r a r 0.8rad s (2) 0 t t 4rad s r (3) t 2 2 10rad n 2 1.6圈 2 a 2 2 (4) at a, an r r t 0.32 m s
2 2 0 2
4
五、线量和角量的关系
垂直转轴距离为r处质点的v,a
ds d (r ) d v r r dt dt dt v r

v
r

d v d 2 (r ) d 2 转轴 at r r dt dt 2 dt 2
v 2 (r ) 2 an r 2 v a r 2 4 r r
ri 1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 1 1 2 2 2 整体 Ek mi vi mi ri i 2 i 2 1 1 r 2 dm 2 Ek I 2 2 2
刚体转动动能=所有质点线运动动能总和.
20
三、定轴转动中的动能定理
W Md I
1
2
d d I 2 d 1 dt
W
1 2 1 2 I 2 I 1 2 2
转动动能定理:合外力矩对刚体作的功等于 刚体转动动能的增量. 动能定理解题:1.任意位置力矩;2.元功; 3.总功;4.转动动能增量.
21
例1:利用动能定理重作前例题6. 解:当杆转到任意角位置θ处, O 对O轴的重力矩 L M mg cos mg 2 则在整个过程中重力矩作功为 /2 L mgL W dW Md mg cos d 0 2 2 由转动动能定理得
m2 g
T2 R T1 R I 增加 a R 1 I MR 2 2
M
R
T1
a
T2
解方程组即可得有关量.
m1
14
m2
例6:一质量为m,长为L的均匀细棒,可绕通过其 一端,且与棒垂直的光滑水平轴O转动.今使棒从 静止开始由水平位置绕O轴转动,求棒转到90o角 的角速度. 解:利用转动定律. L 任意位置力矩 mg cos 2 L 1 2 转动定律 mg cos mL mg 2 3
2.角位移,角速度,角加速度及与线量关系.
3.熟悉转动定律推导、意义及应用. 4.理解转动惯量物理意义和计算.
作业:
P100 习题
2、5、11
18
§3 力矩的功 定轴转动动能定理
一、力矩的功
dW F cos ds F cos rd F sin rd Md
力矩的功 W
r
d
dr

2
1
M d

F

2
力矩作用下,刚体转动发生角位移. 变力矩时,知M=f(θ),可得W. 恒力矩时,W=M(θ2-θ1). 同时受几个力矩时,M 为合力矩.

19
二、转动动能 刚体由质点组成,各质点转动动能的和就是 刚体的转动动能. vi 取任意质量元mi ,其距转轴ri . mi
t1 1 , t2 2
2 1 角位移
o o

x x
3
四、角速度与角加速度
v d lim t 0 t dt d d 2 转轴 lim 2 t 0 t dt dt 右手螺旋,轴向 d 加速与 同向, dt 减速与反向. 0 t 2 匀加速转动: 0t t 2
o
例2:再作前例题. 解:以棒和地球为系统.机械能 守恒.以棒水平时为势能零点. 0 I 2 2 mgL 2
mg
mgL I 3g L
不考虑过程,只要正确表达始末状态的机械能23 .
例3:如图,弹簧的劲度系数为k,滑轮质量为M,半 径为R,可绕o轴无摩擦转动,绳与滑轮边缘无相对 滑动.求质量为m的物体下落h时的速度.已知开始 时物体静止且弹簧无伸长. M 解:选弹簧、滑轮、物体和地球 o 为系统,选物体初始位置为重力 k 势能零点.由机械能守恒得 1 1 1 m 0 mgh mv 2 I 2 kh 2 2 2 2 h v R 2 4mgh 2kh 1 v 2 I MR 2m M 2 24
2 2 对一端轴o'的转动惯量 I o 0 x dx mL 3 L
L/2
d L / 2 距中心为d的轴 I x 2 dx mL2 12 md 2 d L / 2 的转动惯量
Ic md 2 平行轴定理: Io
11
例3:求质量为m,半径为R的细圆环 及圆盘绕通过中心并与圆面垂直的 转轴的转动惯量。
12
例4: 求剩余部分对o轴的转动惯量.
解:叠加原理 I 大圆 I小圆 I
R
o
1 3 I 小圆 mr 2 mr 2 mr 2 2 2
r
R 2
3 M R 3 2 MR 2 4 2 32
I 大圆 1 MR 2 2
2
大圆质量为M
例7:一半径为R,质量为m的均质圆盘在水平桌面 上以初角速度ω 0绕垂直盘面的中心轴转动.盘面 与桌面间的滑动摩擦系数为μ,求圆盘经多长时 间后停止转动? 任选一环带半径为r, R m 宽为dr. 解: dm 2 rdr 2 R o 2 mg 2 r dM dm g r r dr 2
mgL 1 2 mgL 3g I 0 2 2 I L
22
定轴转动中的功能原理和机械能守恒: 1 系统 1 1 E mv2 mgh kx 2 I 2 mghc 机械能: 2 2 2 功能原理: W外+W非保内=△E 机械能守恒:W外+W非保内=0→△E=0
F

F
F
当外力不在转动平面内,可分解成垂直轴 和平行轴的两分量,后者对转动无贡献. o R M1 力矩可合成,同一参考点. 一般符合右手螺旋为正, T1 T2 反之为负. R M M1 M 2 M 2 M T2 R T 合成代数和. 71
二、转动定律 (由牛顿定律而来) 质量m,质量元mi ,其距转轴ri , 外力 Fi ,夹角i ,内力 f ,夹角
2 a at2 an 0.51m s2 arctan
加速度与滑轮边缘切线方向夹角.
an 38.7 at
6
§2 一、力矩
转动定律
转动效果原因---力矩
M Fd Fr sin 矢量式 M r F 右手螺旋 针对某参考点
Fn
o r d
Ft
M R m R2 2
1 M 4
2
I I 大圆 I小圆
13 MR 2 32
13
转动定律应用举例: 例5:考虑滑轮质量以后. m2>m1.隔离体法. 原来
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2 a
T1 m1
m1 g
R
T2
a
m2
a
i
i
O
fi
法向无用,切向运动,牛二律
ri mi
F i i i
Fi sin i fi sin i mi ait mi ri i ait ri i 为Δmi的切向加速度 O
Fi sin i ri fi sin i ri mi ri2 i
角加速度
3g cos 2L
15
O

3g O cos 求角速度 2L d d d d dt d dt d mg 3g d cos 2L d 3g 3g sin cos d d 0 2 L 0 L a 0 L 3g 0, M mg , , 0 an a r t 2 2L 3g at 0 , M 0, 0, a an 2 r 16 2 L
r2 m2


例2:计算质量为m、长为L的均匀细棒对中心或 一端并与棒垂直的轴的转动惯量. dm m d 解: dm dx dx dx x L o' o x I x 2 dm x 2 dx


2 2 对中心轴o的转动惯量 I c L / 2 x dx mL 12
第二章 刚体的定轴转动
§1 刚体定轴转动及其描述
§2 转动定律
§3 力矩作功 转动动能定理
§4 角动量定理 角动量守恒定律
概念、规律、方法与质点力学对照学习!
1
§1 刚体定轴转动及其描述
一、刚体 物体受力作用时,组成它的各质量元之间的 相对位置保持不变.有大小,形状不变. 二、平动和转动 (刚体运动的基本形式) 平动:刚体内任意两点连线的空间指向始终 保持不变,各点的运动情况完全相同. 转动:刚体内各质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动.该直线称转轴. 转轴固定不动---定轴转动. 更复杂的运动,刚体平动和转动合成的运动. 例:车轮,螺帽等. 2
i i i i i i i i i
各质元β相同
2 i i
Fr sin f r sin m r
f i ri sin i 0
Fr i i sin i M i
8
mi ri2 I 转动惯量,由刚体本身性质决定.
M I M I M , I , 对同一转轴而言.
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