大学物理(刚体部分)

t1 1 , t2 2
2 1 角位移
o o

x x
3
四、角速度与角加速度
v d lim t 0 t dt d d 2 转轴 lim 2 t 0 t dt dt 右手螺旋,轴向 d 加速与 同向， dt 减速与反向. 0 t 2 匀加速转动: 0t t 2
第二章 刚体的定轴转动
§1 刚体定轴转动及其描述
§2 转动定律
§3 力矩作功 转动动能定理
§4 角动量定理 角动量守恒定律
概念、规律、方法与质点力学对照学习！
1
§1 刚体定轴转动及其描述
一、刚体 物体受力作用时,组成它的各质量元之间的 相对位置保持不变.有大小,形状不变. 二、平动和转动 （刚体运动的基本形式) 平动：刚体内任意两点连线的空间指向始终 保持不变,各点的运动情况完全相同. 转动：刚体内各质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动.该直线称转轴. 转轴固定不动---定轴转动. 更复杂的运动,刚体平动和转动合成的运动. 例:车轮,螺帽等. 2
ri 1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 1 1 2 2 2 整体 Ek mi vi mi ri i 2 i 2 1 1 r 2 dm 2 Ek I 2 2 2
刚体转动动能=所有质点线运动动能总和.
20
三、定轴转动中的动能定理
三、角坐标与角位移 质点:坐标,位置,位移,速度,加速度. 定轴转动的刚体: 角坐标,角位置,角位移,角速度,角加速度. xoy固定,刚体绕oy轴转动,x'o'y'在刚体上且随 刚体转动,初始各轴重合.任意时刻,两平面 夹角θ标志刚体位置——角位置. θ一定,每一质点位置一定.
y y
x
(t )
2 2 r dr mgR 恒力矩 0 3 M I 知圆盘作匀减速转动. 0 0 t 3R0 1 2 t I 0 M mR 20 mgR 2 3 4 g 17 M dM
R
2 mg R2
R
dr
本课要求： 1.理解刚体,平动和转动,定轴转动和角坐标.
2 一个质点: I mr
m4 m1 r1
r4
o
r3 m3
2 分立的质点组: I mi ri 叠加原理
用轻杆相连4个质点的物体绕垂直纸面 2 2 2 2 轴o的转动惯量 I m1r m r m r m r 1 2 2 3 3 4 4 质量连续分布的刚体: 在距转轴ri处,取一小质量元Δmi ,其转动 惯量为ri2Δmi ,则整体的转动惯量 ri dV n m 2 2 I lim ri mi r dm dm dS o i n i 1 dl 10
转动定律:刚体所受合外力矩等于刚体 转动惯量和角加速度的乘积. 三、转动惯量的特点及物理意义 三要素:与总质量、转轴位置、质量分布有关. m不相同,转轴位置和质量分布相同,I不同. m相同,转轴位置或质量分布不同,I不同. 转动惯量:转动惯性大小的量度.
与质量比较 F ma


M I
9
四、转动惯量的计算
m2 g
T2 R T1 R I 增加 a R 1 I MR 2 2
M
R
T1
a
T2
解方程组即可得有关量.
m1
14
m2
例6:一质量为m,长为L的均匀细棒,可绕通过其 一端,且与棒垂直的光滑水平轴O转动.今使棒从 静止开始由水平位置绕O轴转动,求棒转到90o角 的角速度. 解:利用转动定律. L 任意位置力矩 mg cos 2 L 1 2 转动定律 mg cos mL mg 2 3
例7:一半径为R,质量为m的均质圆盘在水平桌面 上以初角速度ω 0绕垂直盘面的中心轴转动.盘面 与桌面间的滑动摩擦系数为μ,求圆盘经多长时 间后停止转动? 任选一环带半径为r, R m 宽为dr. 解: dm 2 rdr 2 R o 2 mg 2 r dM dm g r r dr 2
角加速度
3g cos 2L
15
O
由
3g O cos 求角速度 2L d d d d dt d dt d mg 3g d cos 2L d 3g 3g sin cos d d 0 2 L 0 L a 0 L 3g 0, M mg , , 0 an a r t 2 2L 3g at 0 , M 0, 0, a an 2 r 16 2 L
2 a at2 an 0.51m s2 arctan
加速度与滑轮边缘切线方向夹角.
an 38.7 at
6
§2 一、力矩
转动定律
转动效果原因---力矩
M Fd Fr sin 矢量式 M r F 右手螺旋 针对某参考点
Fn
o r d
Ft
5
例1:一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机,滑轮 半径r=0.5m,如果升降机从静止开始以加速度a =0.4m/s2匀加速上升,求:(1)滑轮的角加速度. (2)开始上升后,t=5s末滑轮的角速度.(3)在这5s 内滑轮转过的圈数.(4)开始上升后,t=1s末滑轮 边缘上一点的加速度(设绳索与滑轮之间不打滑). 2 解:(1) at r at r a r 0.8rad s (2) 0 t t 4rad s r (3) t 2 2 10rad n 2 1.6圈 2 a 2 2 (4) at a, an r r t 0.32 m s
12
例4: 求剩余部分对o轴的转动惯量.
解:叠加原理 I 大圆 I小圆 I
R
o
1 3 I 小圆 mr 2 mr 2 mr 2 2 2
r
R 2
3 M R 3 2 MR 2 4 2 32
I 大圆 1 MR 2 2
2
大圆质量为M
F

F
F
当外力不在转动平面内,可分解成垂直轴 和平行轴的两分量,后者对转动无贡献. o R M1 力矩可合成,同一参考点. 一般符合右手螺旋为正, T1 T2 反之为负. R M M1 M 2 M 2 M T2 R T 合成代数和. 71
二、转动定律 （由牛顿定律而来） 质量m,质量元mi ,其距转轴ri , 外力 Fi ,夹角i ,内力 f ,夹角
2 2 对一端轴o'的转动惯量 I o 0 x dx mL 3 L
L/2
d L / 2 距中心为d的轴 I x 2 dx mL2 12 md 2 d L / 2 的转动惯量
Ic md 2 平行轴定理： Io
11
例3:求质量为m,半径为R的细圆环 及圆盘绕通过中心并与圆面垂直的 转轴的转动惯量。
r2 m2


例2:计算质量为m、长为L的均匀细棒对中心或 一端并与棒垂直的轴的转动惯量. dm m d 解： dm dx dx dx x L o' o x I x 2 dm x 2 dx


2 2 对中心轴o的转动惯量 I c L / 2 x dx mL 12
i
i
O
fi
法向无用,切向运动,牛二律
ri mi
F i i i
Fi sin i fi sin i mi ait mi ri i ait ri i 为Δmi的切向加速度 O
Fi sin i ri fi sin i ri mi ri2 i
Leabharlann Baidu
mgL 1 2 mgL 3g I 0 2 2 I L
22
定轴转动中的功能原理和机械能守恒： 1 系统 1 1 E mv2 mgh kx 2 I 2 mghc 机械能: 2 2 2 功能原理: W外+W非保内=△E 机械能守恒:W外+W非保内=0→△E=0
W Md I
1
2
d d I 2 d 1 dt
W
1 2 1 2 I 2 I 1 2 2
转动动能定理:合外力矩对刚体作的功等于 刚体转动动能的增量. 动能定理解题:1.任意位置力矩;2.元功; 3.总功;4.转动动能增量.
21
例1:利用动能定理重作前例题6. 解:当杆转到任意角位置θ处, O 对O轴的重力矩 L M mg cos mg 2 则在整个过程中重力矩作功为 /2 L mgL W dW Md mg cos d 0 2 2 由转动动能定理得
M R m R2 2
1 M 4
2
I I 大圆 I小圆
13 MR 2 32
13
转动定律应用举例： 例5:考虑滑轮质量以后. m2>m1.隔离体法. 原来
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2 a
T1 m1
m1 g
R
T2
a
m2
a
r
d
dr

2
1
M d

F

2
力矩作用下,刚体转动发生角位移. 变力矩时,知M=f(θ),可得W. 恒力矩时,W=M(θ2-θ1). 同时受几个力矩时,M 为合力矩.

19
二、转动动能 刚体由质点组成,各质点转动动能的和就是 刚体的转动动能. vi 取任意质量元mi ,其距转轴ri . mi
i i i i i i i i i
各质元β相同
2 i i
Fr sin f r sin m r
f i ri sin i 0
Fr i i sin i M i
8
mi ri2 I 转动惯量,由刚体本身性质决定.
M I M I M , I , 对同一转轴而言.
o
例2:再作前例题. 解:以棒和地球为系统.机械能 守恒.以棒水平时为势能零点. 0 I 2 2 mgL 2
mg
mgL I 3g L
不考虑过程,只要正确表达始末状态的机械能23 .
例3:如图,弹簧的劲度系数为k,滑轮质量为M,半 径为R,可绕o轴无摩擦转动,绳与滑轮边缘无相对 滑动.求质量为m的物体下落h时的速度.已知开始 时物体静止且弹簧无伸长. M 解:选弹簧、滑轮、物体和地球 o 为系统,选物体初始位置为重力 k 势能零点.由机械能守恒得 1 1 1 m 0 mgh mv 2 I 2 kh 2 2 2 2 h v R 2 4mgh 2kh 1 v 2 I MR 2m M 2 24
2.角位移,角速度,角加速度及与线量关系.
3.熟悉转动定律推导、意义及应用. 4.理解转动惯量物理意义和计算.
作业:
P100 习题
2、5、11
18
§3 力矩的功 定轴转动动能定理
一、力矩的功
dW F cos ds F cos rd F sin rd Md
力矩的功 W
2 2 0 2
4
五、线量和角量的关系
垂直转轴距离为r处质点的v,a
ds d (r ) d v r r dt dt dt v r

v
r

d v d 2 (r ) d 2 转轴 at r r dt dt 2 dt 2
v 2 (r ) 2 an r 2 v a r 2 4 r r
R o dl R o
r
m , dm dl 解:(1)圆环 2 R
2 R
I
dr m , dm 2 rdr (2)圆盘 R2 R R m mR 2 2 3 I r 2 rdr 2 r dr 2 R 0 2 0
0

R2 dl R2 2 R mR2