城市空间形态的分形维数及应用
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第 38 卷 第 3 期 2005 年 6 月
武汉大学学报 (工学版) Engineering Jo urnal of Wuhan U niversity
Vol. 38 No . 3 J une 2005
文章编号 :167128844 (2005) 032099205
城市空间形态的分形维数及应用
李 江
的回转半径范围内具有自相似性. 对式 (3) 取对数
拟合 ,则 :
n
n
n
∑ ∑ ∑ ln ri ·ln N ( ri) -
D = i =1
n
1 n
(
i =1
l n ri )
(
i =1
ln N ( ri)
)
n
∑ ∑ (ln ri) 2 -
i =1
1 n
(
i
=1
l n ri )
2
(4)
分枝维数是由交通网络的分枝数目变化率确
显的自相似性. 而无标度区以外的数据在研究中大
多被忽视 ,造成数据信息丢失. 仅利用这一分形维
数来描述复杂的地理事物 ,显然是不够的 ,因此 ,就
产生了扩大分维研究的必要性. 在分形维的原始定
义 : D ( r) = - lo g N ( r) / lo g r 中 ,在函数 N ( r) 不是 非常特殊的函数型下 ,由于该式的右端不能成为常 数 ,所以不能定义通常的分维. 如果把 N ( r) 的内涵 扩大 ,使其在非幂型的情况下也能定义分维数 , 这 时若在双对数图上绘出 r 和 N ( r) 的点对 , D ( r) 就 表示斜率[3] . 上述方法是不把分维数 D ( r) 看成独 立于观测尺度 r 的常量 ,而是依赖于观测尺度 r 的 函数 ,即 :
网络分枝的递减变化越快. 当 D = 2 时 , 网络分枝
数密度由中心向四周均匀变化 ; 而当 D > 2 时 , 网
络分枝数由中心向四周呈递增趋势.
1. 2 分枝维数的扩展分析
客观世界不存在纯数学的理想分形 ,只存在统
计意义下的随机分形. 因此 , 自相似性仅出现在一
确定的范围 ,即无标度区 , 在无标度区内存在着明
(7)
经过量纲分析[4] ,我们可以得出下列关系 :
P1/ D = a0 r(1 - D) / D A 1/ 2
(8)
式中 : P 为欧氏长度 ; r 为测量尺度 (码尺) ; a0 为比
例系数 ; D ( 1 ≤ D ≤2 ) 为外部形态的维数. 可以
看出 ,当一个城市的面积一定时 , D 值越大 ,其周长 越长 ,显然 ,分维数描述了城市外部空间形态的复
的演变.
2. 1 面积2周长维数
分形维数表示一个集合在空间上的占有程度 ,
维数越大 ,空间区域内含有分形单元的机会也就越
大. 在城市外部空间形态的研究中 ,面积和周长是空
间形态的基本度量特征. 一般地 ,若研究客体的长度
为 P,面积为 S ,体积为 V 时 ,则存在下列关系[4] :
P ∝ A1/ 2 ∝ V 1/ 2 ∝ X1/ d
杂程度.
外部空间形态的分形维数描述 ,关键在分维值 的计算. 由式 (8) 推导得出 :
l n ( P/ r) = Dl n a0 + Dl n ( A1/ 2 / r)
(9)
令 C = Dln a0 ,则式 (9) 可写成 :
l n ( P/ r) = C + Dl n ( A1/ 2 / r)
如图 1 ,以武汉市为例 , 顾及城市 CBD 和城市
形状等因素 ,选择适当的点作为测算中心 (即计数 中心) ,在 GIS 环境下以等间隔递增长度为回转半 径 ri ( i = 1 , 2 , …, n) , 计算每个半径范围内交通网 络的分枝数 N ( r) , 采集 14 对数据并绘制在双对数 坐标系中 (见图 2) . 利用图 2 ,我们对分枝维数进行 扩展分析. 计算无标度区以外的参考维数 ,结果分别 为 : D1 = 1. 674 , D2 = 1. 470 , D3 = 0. 452. 从严格意义 上分析 ,武汉市的分枝维数 D 为 1. 470 ,说明武汉市 的交通网络结构较为复杂 , 连通性一般 (当 D = 1 时 ,各交通线互不相连 , D = 2 时 ,交通网处处连通) , 在区间 ( 1. 25 ～ 1. 65) 上 具 有 自 相 似 性. 在 区 间 ( - 0. 83～1. 25) 分枝维数为1. 674 ,这个区间反映了 交通网络复杂程度在城市 CBD 的变化情况 ,说明此
(深圳城市规划设计研究院 ,广东 深圳 518034)
摘要 :城市空间形态是城市这一复杂巨系统中重要组成部分 ,定量研究城市空间特性对城市科学管理与规划具
有重要的实践意义. 城市交通网络是城市空间形态发展的基础骨架 ,而城市外部形态是城市自组织演变的结果. 在 GIS 环境下 ,利用分形这一技术手段 ,对城市交通网络空间组织结构特征及城市外部空间形态演变进行分析 探讨 ,得出分维数可以揭示城市内 、外空间形态复杂变化的一般性规律.
根据城市空间的形态特征 ,笔者将城市空间的 物质组成划分为两大类 :线状要素和面状要素. 线
状要素包括交通网络 、街区 、城市发展轴等 ,面状要 素包括城市各类用地 、城市外部形态等. 本文主要 对城市内部的交通网络及外部空间形态的演变进 行定量分析.
1 城市内部空间结构分形维数
城市交通网络是城市内部空间形态结构的基 本骨架 ,城市形态的整体特征集中反映在城市交通 网络结构上 ,而交通网络是以城市 CBD 为中心向 四周延伸的空间要素. 根据其特点 ,笔者采用局部 分析法对交通网络的分维特征进行定量描述 ,并在
Leabharlann Baidu
收稿日期 :2004211209 作者简介 :李 江 (19682) ,男 ,甘肃天水人 ,博士 ,高级规划师 ,主要从事城市规划与 GIS 方面的研究. 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (编号 :49971068) .
100
武汉大学学报 (工学版)
2005
此基础上进行扩展分析.
1. 1 分枝维数
以城市 CBD 为圆心 ,以 ri为回转半径 , 统计各
圆形区域内的交通网络分枝数 N ( ri) , 则有下列关 系:
r
∑ N ( r) =
N ( k)
(1)
k =1
显然 , N ( r) 为各环带分枝累计数 ,存在关系 :
N ( r) ∝ riD ,
(2)
即
N ( r) = a ×riD
(3)
式中 , a 为比例系数. 可以证明分枝维数 D 在一定
图 1 交通网络与回转半径示意图
图 2 分枝维数特征指标
2 城市外部形态演变的分形规律
城市外部空间形态是城市空间要素自组织演
变的外在表现 ,合理的外部空间形态有利于城市组
成要素及其资源环境的稳定发展. 城市外部形态在
空间上表现为建成区的位移和扩张 ,其实质就是一
种空间演替 ,从整体上看产生了城市外部空间形态
城市是一个复杂的巨系统 ,用定性描述的方法 很难揭示复杂系统的内在规律性 ,而常规数学方法 也无法满足学科研究的需要 ,一些学者尝试利用非 线性计 量方 法来 研究 城市 空间 形 态 结 构[1 ,2 ] . 然 而 ,城市的特性在于它的空间性和时间性 ,缺乏 GIS 技术的支撑 ,上述方法也只能是一种抽象的数 理分析. 因此 ,本文结合 GIS 对形态的空间分析技 术和分形技术 ,对城市空间形态的组成结构 、发展 变化及其复杂性做深入研究.
城市路网的连通情况是描述交通网络空间结
构组织的重要指标. 通常采用连结度指数 J = ∑
mi/ N (其中 mi 为第 i 节点所邻接的边数 , N 为路 网总的节点数) 来描述交通网络总的连通情况 , 这
是一静态指标 ,不能反映网络的动态变化过程. 这
里利于半径分析法引入分枝维数来描述交通网络
连通程度的动态变化过程.
的适用范围不受无标度区的限制 ,可以充分地使用
全部观测数据 , 建立具有普遍意义的信息变动规
律.
一般地 ,研究客体的自相似性往往是分段保持
的 ,采集的信息在双对数图上可分成三段. 针对我
们所研究的交通网络空间组织结构 ,相应于第一段
(无标度区[ d0 , d1 ]对应的部分) 的分维称为核心分
维 ,描述交通网络复杂程度在城市 CBD 附近的变
关键词 : GIS ; 城市空间形态 ; 分形维数 ; 应用 中图分类号 : TU2024 文献标识码 :A
Fractal dimension of urban spatial morphology and its application
L I Jiang
(U rban Planning and Design Instit ute of Shenzhen , Shenzhen 518034 , China)
化情况. 相应于第二段 ( [ d1 , d2 ]对应的部分) 的分 维称为结构分维 , 描述客体严格的自相似性特征.
第三段 ( [ d2 , d3 ]对应的部分) 分维为周边分维 , 描 述交通网络结构特征在城市郊区的变化趋势. 利用 扩展分维可以揭示出交通网络的空间组织结构从
城市 CBD 向四周的递变情况. 1. 3 实验分析
D ( r) = - dlo g N ( r) / dlo g r
(5)
对式 (5) 求解得 :
∫ N ( r2 ) = N ( r1 ) exp ( -
r2 D ( r) d r) r1 r
(6)
式 (6) 从理论上表达了两个尺度 r2 和 r1 的观测值
N ( r2 ) 和 N ( r1 ) 以及分维数 D ( r) 间的函数关系 ,它
定的 ,可以揭示交通网络纵横交叉的结构组织状
况 ,以及网络的通达性和复杂性. 借助求导变换 ,可
由式 (2) 得出道路分叉数目在平面空间分布的密度 衰减变换式 :ρ( r) ∝ rD - 2 , 当 D < 2 时 , 网络分叉数
密度由中心向四周递减 , 分维越高 , 反映网络分叉
数从计数中心向四周递减变化越慢 ; 分维越低 , 则
第 3 期
李 江 :城市空间形态的分形维数及应用
101
区间的交通网络的组织结构最复杂 ,连通性最高. 而 在区间 (1. 65～1. 81) 分枝维数为0. 452 ,它只反映交 通网络复杂程度的态势 ,表明随着回转半径的增大 , 交通网络的复杂程度迅速降低 ,连通性也越来越差 , 空间组织结构也越来越简单.
Abstract : U rban spatial morp hology is important p roportio n of t he urban co mplex and huge system ; and t he quantitatively researching urban spatial characteristic has significant p ractice meaning fo r urban man2 agement and planning. U rban t raffic net wo rk is basic f ramework of urban spatial morp hology ; and t he o uter form is t he result of urban self2organizatio n evolutio n. Based o n t he GIS circumstance , t he spatial co nfiguratio n characteristic of urban t raffic network and t he evolutio n of urban o uter spatial morp hology are analyzed and discussed using t he f ractals in t he paper . We draw so me co nclusio ns t hat t he universali2 t y rule of urban inner and o uter spatial morp holo gy can be shown by t he f ractal dimensio n. Key words : GIS ; urban spatial morp hology ; f ractal dimensio n ; applicatio n.
武汉大学学报 (工学版) Engineering Jo urnal of Wuhan U niversity
Vol. 38 No . 3 J une 2005
文章编号 :167128844 (2005) 032099205
城市空间形态的分形维数及应用
李 江
的回转半径范围内具有自相似性. 对式 (3) 取对数
拟合 ,则 :
n
n
n
∑ ∑ ∑ ln ri ·ln N ( ri) -
D = i =1
n
1 n
(
i =1
l n ri )
(
i =1
ln N ( ri)
)
n
∑ ∑ (ln ri) 2 -
i =1
1 n
(
i
=1
l n ri )
2
(4)
分枝维数是由交通网络的分枝数目变化率确
显的自相似性. 而无标度区以外的数据在研究中大
多被忽视 ,造成数据信息丢失. 仅利用这一分形维
数来描述复杂的地理事物 ,显然是不够的 ,因此 ,就
产生了扩大分维研究的必要性. 在分形维的原始定
义 : D ( r) = - lo g N ( r) / lo g r 中 ,在函数 N ( r) 不是 非常特殊的函数型下 ,由于该式的右端不能成为常 数 ,所以不能定义通常的分维. 如果把 N ( r) 的内涵 扩大 ,使其在非幂型的情况下也能定义分维数 , 这 时若在双对数图上绘出 r 和 N ( r) 的点对 , D ( r) 就 表示斜率[3] . 上述方法是不把分维数 D ( r) 看成独 立于观测尺度 r 的常量 ,而是依赖于观测尺度 r 的 函数 ,即 :
网络分枝的递减变化越快. 当 D = 2 时 , 网络分枝
数密度由中心向四周均匀变化 ; 而当 D > 2 时 , 网
络分枝数由中心向四周呈递增趋势.
1. 2 分枝维数的扩展分析
客观世界不存在纯数学的理想分形 ,只存在统
计意义下的随机分形. 因此 , 自相似性仅出现在一
确定的范围 ,即无标度区 , 在无标度区内存在着明
(7)
经过量纲分析[4] ,我们可以得出下列关系 :
P1/ D = a0 r(1 - D) / D A 1/ 2
(8)
式中 : P 为欧氏长度 ; r 为测量尺度 (码尺) ; a0 为比
例系数 ; D ( 1 ≤ D ≤2 ) 为外部形态的维数. 可以
看出 ,当一个城市的面积一定时 , D 值越大 ,其周长 越长 ,显然 ,分维数描述了城市外部空间形态的复
的演变.
2. 1 面积2周长维数
分形维数表示一个集合在空间上的占有程度 ,
维数越大 ,空间区域内含有分形单元的机会也就越
大. 在城市外部空间形态的研究中 ,面积和周长是空
间形态的基本度量特征. 一般地 ,若研究客体的长度
为 P,面积为 S ,体积为 V 时 ,则存在下列关系[4] :
P ∝ A1/ 2 ∝ V 1/ 2 ∝ X1/ d
杂程度.
外部空间形态的分形维数描述 ,关键在分维值 的计算. 由式 (8) 推导得出 :
l n ( P/ r) = Dl n a0 + Dl n ( A1/ 2 / r)
(9)
令 C = Dln a0 ,则式 (9) 可写成 :
l n ( P/ r) = C + Dl n ( A1/ 2 / r)
如图 1 ,以武汉市为例 , 顾及城市 CBD 和城市
形状等因素 ,选择适当的点作为测算中心 (即计数 中心) ,在 GIS 环境下以等间隔递增长度为回转半 径 ri ( i = 1 , 2 , …, n) , 计算每个半径范围内交通网 络的分枝数 N ( r) , 采集 14 对数据并绘制在双对数 坐标系中 (见图 2) . 利用图 2 ,我们对分枝维数进行 扩展分析. 计算无标度区以外的参考维数 ,结果分别 为 : D1 = 1. 674 , D2 = 1. 470 , D3 = 0. 452. 从严格意义 上分析 ,武汉市的分枝维数 D 为 1. 470 ,说明武汉市 的交通网络结构较为复杂 , 连通性一般 (当 D = 1 时 ,各交通线互不相连 , D = 2 时 ,交通网处处连通) , 在区间 ( 1. 25 ～ 1. 65) 上 具 有 自 相 似 性. 在 区 间 ( - 0. 83～1. 25) 分枝维数为1. 674 ,这个区间反映了 交通网络复杂程度在城市 CBD 的变化情况 ,说明此
(深圳城市规划设计研究院 ,广东 深圳 518034)
摘要 :城市空间形态是城市这一复杂巨系统中重要组成部分 ,定量研究城市空间特性对城市科学管理与规划具
有重要的实践意义. 城市交通网络是城市空间形态发展的基础骨架 ,而城市外部形态是城市自组织演变的结果. 在 GIS 环境下 ,利用分形这一技术手段 ,对城市交通网络空间组织结构特征及城市外部空间形态演变进行分析 探讨 ,得出分维数可以揭示城市内 、外空间形态复杂变化的一般性规律.
根据城市空间的形态特征 ,笔者将城市空间的 物质组成划分为两大类 :线状要素和面状要素. 线
状要素包括交通网络 、街区 、城市发展轴等 ,面状要 素包括城市各类用地 、城市外部形态等. 本文主要 对城市内部的交通网络及外部空间形态的演变进 行定量分析.
1 城市内部空间结构分形维数
城市交通网络是城市内部空间形态结构的基 本骨架 ,城市形态的整体特征集中反映在城市交通 网络结构上 ,而交通网络是以城市 CBD 为中心向 四周延伸的空间要素. 根据其特点 ,笔者采用局部 分析法对交通网络的分维特征进行定量描述 ,并在
Leabharlann Baidu
收稿日期 :2004211209 作者简介 :李 江 (19682) ,男 ,甘肃天水人 ,博士 ,高级规划师 ,主要从事城市规划与 GIS 方面的研究. 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (编号 :49971068) .
100
武汉大学学报 (工学版)
2005
此基础上进行扩展分析.
1. 1 分枝维数
以城市 CBD 为圆心 ,以 ri为回转半径 , 统计各
圆形区域内的交通网络分枝数 N ( ri) , 则有下列关 系:
r
∑ N ( r) =
N ( k)
(1)
k =1
显然 , N ( r) 为各环带分枝累计数 ,存在关系 :
N ( r) ∝ riD ,
(2)
即
N ( r) = a ×riD
(3)
式中 , a 为比例系数. 可以证明分枝维数 D 在一定
图 1 交通网络与回转半径示意图
图 2 分枝维数特征指标
2 城市外部形态演变的分形规律
城市外部空间形态是城市空间要素自组织演
变的外在表现 ,合理的外部空间形态有利于城市组
成要素及其资源环境的稳定发展. 城市外部形态在
空间上表现为建成区的位移和扩张 ,其实质就是一
种空间演替 ,从整体上看产生了城市外部空间形态
城市是一个复杂的巨系统 ,用定性描述的方法 很难揭示复杂系统的内在规律性 ,而常规数学方法 也无法满足学科研究的需要 ,一些学者尝试利用非 线性计 量方 法来 研究 城市 空间 形 态 结 构[1 ,2 ] . 然 而 ,城市的特性在于它的空间性和时间性 ,缺乏 GIS 技术的支撑 ,上述方法也只能是一种抽象的数 理分析. 因此 ,本文结合 GIS 对形态的空间分析技 术和分形技术 ,对城市空间形态的组成结构 、发展 变化及其复杂性做深入研究.
城市路网的连通情况是描述交通网络空间结
构组织的重要指标. 通常采用连结度指数 J = ∑
mi/ N (其中 mi 为第 i 节点所邻接的边数 , N 为路 网总的节点数) 来描述交通网络总的连通情况 , 这
是一静态指标 ,不能反映网络的动态变化过程. 这
里利于半径分析法引入分枝维数来描述交通网络
连通程度的动态变化过程.
的适用范围不受无标度区的限制 ,可以充分地使用
全部观测数据 , 建立具有普遍意义的信息变动规
律.
一般地 ,研究客体的自相似性往往是分段保持
的 ,采集的信息在双对数图上可分成三段. 针对我
们所研究的交通网络空间组织结构 ,相应于第一段
(无标度区[ d0 , d1 ]对应的部分) 的分维称为核心分
维 ,描述交通网络复杂程度在城市 CBD 附近的变
关键词 : GIS ; 城市空间形态 ; 分形维数 ; 应用 中图分类号 : TU2024 文献标识码 :A
Fractal dimension of urban spatial morphology and its application
L I Jiang
(U rban Planning and Design Instit ute of Shenzhen , Shenzhen 518034 , China)
化情况. 相应于第二段 ( [ d1 , d2 ]对应的部分) 的分 维称为结构分维 , 描述客体严格的自相似性特征.
第三段 ( [ d2 , d3 ]对应的部分) 分维为周边分维 , 描 述交通网络结构特征在城市郊区的变化趋势. 利用 扩展分维可以揭示出交通网络的空间组织结构从
城市 CBD 向四周的递变情况. 1. 3 实验分析
D ( r) = - dlo g N ( r) / dlo g r
(5)
对式 (5) 求解得 :
∫ N ( r2 ) = N ( r1 ) exp ( -
r2 D ( r) d r) r1 r
(6)
式 (6) 从理论上表达了两个尺度 r2 和 r1 的观测值
N ( r2 ) 和 N ( r1 ) 以及分维数 D ( r) 间的函数关系 ,它
定的 ,可以揭示交通网络纵横交叉的结构组织状
况 ,以及网络的通达性和复杂性. 借助求导变换 ,可
由式 (2) 得出道路分叉数目在平面空间分布的密度 衰减变换式 :ρ( r) ∝ rD - 2 , 当 D < 2 时 , 网络分叉数
密度由中心向四周递减 , 分维越高 , 反映网络分叉
数从计数中心向四周递减变化越慢 ; 分维越低 , 则
第 3 期
李 江 :城市空间形态的分形维数及应用
101
区间的交通网络的组织结构最复杂 ,连通性最高. 而 在区间 (1. 65～1. 81) 分枝维数为0. 452 ,它只反映交 通网络复杂程度的态势 ,表明随着回转半径的增大 , 交通网络的复杂程度迅速降低 ,连通性也越来越差 , 空间组织结构也越来越简单.
Abstract : U rban spatial morp hology is important p roportio n of t he urban co mplex and huge system ; and t he quantitatively researching urban spatial characteristic has significant p ractice meaning fo r urban man2 agement and planning. U rban t raffic net wo rk is basic f ramework of urban spatial morp hology ; and t he o uter form is t he result of urban self2organizatio n evolutio n. Based o n t he GIS circumstance , t he spatial co nfiguratio n characteristic of urban t raffic network and t he evolutio n of urban o uter spatial morp hology are analyzed and discussed using t he f ractals in t he paper . We draw so me co nclusio ns t hat t he universali2 t y rule of urban inner and o uter spatial morp holo gy can be shown by t he f ractal dimensio n. Key words : GIS ; urban spatial morp hology ; f ractal dimensio n ; applicatio n.