山东省高二上学期数学月考试卷
山东省烟台市莱州市第一中学等三校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
山东省烟台市莱州市第一中学等三校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线:10l x my ++=的倾斜角为5π6，则实数m 值为（ ）AB ．CD ．2．在四面体OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u ur r ，G 为三角形ABC 的重心，P 在OG 上，且13OP PG =u u u r u u u r ，则AP =u u u r（ ）A ．1111121212a b c --+r r rB ．1111121212a b c --r r rC ．1111121212a b c -++r r rD ．1111121212a b c ++r r r3．过点()1,2A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．10x y -+=B ．10x y +-=C ．20x y -=或10x y -+=D ．20x y +=或10x y ++=4．已知A （2，3），B （﹣1，2），若点P （x ，y ）在线段AB 上，则3yx -的最大值为（ ） A ．1B ．35C ．12-D ．﹣35．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长为2，四边形ABCD 是正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，点O 是1B C 与1BC 的交点，则直线AO 与CB 所成角的余弦值为（ ）A ．1B ．56C D ．126．过定点A 的直线20ax y +-=与过定点B 的直线420x ay a -+-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则PAB V 周长的最大值为（ ）A 4B ．4C ．6D ．87．过点()3,0P 作一条直线l ，它夹在两条直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=之间的线段恰被点P 平分，则直线l 的方程为（ ） A ．8240x y +-= B ．8240x y --= C ．8240x y ++=D ．8240x y ++=8．如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的靠近B 的三等分点，点F 分别为线段DM 的中点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为'V ，则V'V的最小值为（ ）A ．332B ．932C ．364D ．964二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件C ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D ．已知向量()9,4,4a =-r ，()1,2,2b =r ，则a r 在b r上的投影向量为()1,2,210．已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（ ）A ．2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若12l l //，则1a =或3-C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a >时，1l 始终不过第三象限11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足BP BC λ=+u u u r u u u r1BB μu u u r ，则下列说法正确的是（ ）A ．若1λ=，0μ=，则118P A BD V -=B ．若1λμ+=，则1//D P 平面1A BDC ．若1λ=，12μ=，则OP ⊥平面1A BDD ．若1λ=，01μ≤≤时，直线OP 与平面1A BD 所成的角为θ，则sin θ⎤∈⎥⎣⎦三、填空题12．在x 轴上的截距为1且方向向量为()2,1的直线的方程是.13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 在正方体内部且满足1312423AP AB AD AA =++uu u ruuu r uuu r uuu r ，则点P 到直线AB 的距离为 ．14．如图，边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使23AD BC ⋅=u u u r u u u r ，则三棱锥D ABC -的体积为.四、解答题15．已知ABC V 的顶点(2,5)A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y +-=，边AC 的高BH 所在直线过点()2,6，且直线BH 的一个方向向量为()6,5.(1)求顶点C 的坐标； (2)求直线BC 的方程.16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，2AB AD ==，BD =4BC =.(1)证明：111A B AD ⊥；(2)已知点B 到平面11B CD 1AA .17．如图，在正四棱锥P ABCD -M 为侧棱PD 上的点，N 是PC 中点.(1)若M 是PD 中点，求直线BN 与平面MAC 所成角的正弦值； (2)是否存在点M ，使得//BN 平面MAC ？若存在，求出PMPD的值；若不存在，说明理由. 18．平面直角坐标系中，直线34y x m =-+交x 轴于点()4,0A ，交y 轴正半轴于点B .(1)求AOB V 的面积；(2)如图2，直线AC 交y 轴负半轴于点C ，AB BC =，P 为射线AB （不含A 点）上一点，过点P 作y 轴的平行线交射线AC 于点Q ，设点P 的横坐标为t ，线段PQ 的长为d ，求d 与t之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点N ，使PQN V 是等腰直角三角形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,u a b c =r ，点()0000,,P x y z .若直线l 以u r为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000x x y y z z a b c---==（0abc ≠）；若平面α以u r为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.平面内任一点(),,x y z 在面α的两侧分别对应()()()0000a x x b y y c z z -+-+->和()()()0000a x x b y y c z z -+-+-<.(1)已知直线1l 的标准式方程为12x z -==，平面1α的点法式方程可表示为250y z +-+=，求直线1l 与平面1α所成角的余弦值；(2)已知平面2α的点法式方程可表示为2360x y z ++-=，点()2,4,4A 与点()000,,B x y z 在平面2α外的同侧，点B 在平面2α内的投影点为()01,0,4B ，且0BB =C 为平面2α内任意一点，求AC BC +的最小值；(3)若平面3α为3x y z ++=，平面β与平面3α的交线2l 为21112x y z--==-，且平面β与平面3αβ的点法式方程.。
山东省青岛市城阳第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
山东省青岛市城阳第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．”A ．200B ．100C ．120D ．1402．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差3．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有1件次品与至多有1件正品B ．至少有1件次品与都是正品C ．至少有1件次品与至少有1件正品D ．恰有1件次品与恰有2件正品4．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（ ） A ．10724 B ．724 C ．14912 D ．14935．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n nn a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a = A ．16 B ．25 C ．28 D ．336．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ）A ．34B ．712C ．23D ．567．已知数列 a n 满足24a =，对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n T 为数列 a n 的前n 项乘积，若54T T <，则101T =（ ）A ．51512-B ．50502C ．1012-D ．515128．在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：11a =，21a =，21++=+n n n a a a ，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据21++=+n n n a a a 可得21n n n a a a ++=-，所以()()()123243212221n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可得2221210a a a ++⋯=（ ）A ．714B ．1870C ．4895D ．4896二、多选题9．近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19~50岁之间的男性占比超过13B ．2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%C ．2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30.6%D ．2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）10．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，且满足条件1202220231,1a a a >⋅>，20222023(1)(1)0a a -⋅-<则下列选项正确的是（ ）A ．01q <<B ．2022202410a a ⋅->C ．2023T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于404411．抛出一枚质地均匀的硬币n 次，得到正反两面的概率相同．事件:A n 次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B ：n 次中最多有一次正面朝上，下列说法正确的是（ ）A ．当2n =时，A ，B 相互独立 B ．当3n =时，A ，B 相互独立C ．2n ≥时，22()2-=n nP A D ． 2n ≥时，1()2-=n n P B三、填空题12．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为. 13．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*3N ,n n S S ∀∈≥，则65a a 的取值范围为.四、解答题15．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判.(1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由；(2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为12，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率.16．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在 60,70 内的平均成绩为67，方差是9，落在[)60,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在[)70,80内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：221122,,;,,m x s n x s .记两组数据总体的样本平均数为w ，则总体样本方差()()222221122m n s s x w s x w m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++） 17．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC ＝，且60DAB DBF ∠∠o ＝＝．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，19a =，()()2*1n n S n n a n -=-∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19．在高中数学教材苏教版选择性必修2的101页11题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p ，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2p ，于是我们得到：21122p p =+，计算可得1p =；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p ，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2(1)p -，于是我们得到：211(1)2p p ⎡⎤=--⎣⎦，计算可得0p =.根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的()*(,0)N P n n ∈，他每步走动都会有*p 的概率向左移动1个单位，有1*p -的概率向右移动一个单位，原点(0,0)处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以n p 代表当这个人由(,0)P n 开始，最终掉入陷阱的概率.若这个人开始时位于点(1,0)P 处，且1*3p =，(1)求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；(2)求他最终掉入陷阱的概率()1101p p <<；(3)已知()*1112N 33n n n p p p n -+=+∈，若01p =，求n p .。
山东省菏泽市第一中学(八一路校区)2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题
山东省菏泽市第一中学（八一路校区）2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．直线1:20l x my +-=，()2:230l mx m y +--=，若12l l ⊥，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或12．在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B ．过点00(,)P x y 的直线方程都可以表示为：00()y y k x x -=-C ．经过两个不同的点()111,P x y ，()222,P x y 的直线方程都可以表示为：()()()()121121=y y x x x x y y ----D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=3．已知双曲线221x y m n+=的上焦点为()0,1F ，则（ ）A ．1m n +=B ．1m n -=C ．1m n +=-D ．1n m -=4．已知直线:40l x y +-=上动点P ，过点P 向圆221x y +=引切线，则切线长的最小值是（ ）A B C ．1D ．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点)关于直线y x =的对称点落在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．12C D 6．直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点.若3AF BF =，则AB =（ ）A ．83B ．3C ．163D ．327．已知12,F F 分别为椭圆22:19x E y +=的左、右焦点，P 是椭圆E 上一动点，G 点是三角形12PF F 的重心，则点G 的轨迹方程为（ ）A ．2291x y +=B ．2291(0)x y y +=≠C ．221819x y +=D ．221(0)819x y y +=≠8．已知过定点(2,2)-的直线l 与圆C ：2266360x y x y ++--=相交于A ，B 两点，当线段AB 的长为整数时，所有满足条件直线l 的条数为（ ）A ．11B ．20C ．21D ．22二、多选题9．对于曲线22:127x y C k k+=--，下面说法正确的是（ ）A ．若3k =，曲线C 的长轴长为4B ．若曲线C 是椭圆，则k 的取值范围是27k <<C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是7k >D ．若曲线C ，则k 的值为113或16310．已知两圆方程为224x y +=与222(3)(4)(0)x y r r -++=>，则下列说法正确的是（ ）A ．若两圆外切，则3r =B ．若两圆公共弦所在的直线方程为3420x y --=，则=5rC ．若两圆的公共弦长为rD ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则4r =11．已知双曲线()22:104x y C m m-=>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2，点M 是C 上的一点，过点(P 的直线l 与C 交于,A B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若15MF =，则29MF =或1B ．不存在点P 为线段AB 的中点C ．若直线l 与双曲线C 的两支各有一个交点，则直线l 的斜率(k Î-D ．12MF F △内切圆圆心的横坐标为2±三、填空题12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为y =，一个焦点为(2,0)，则a = .13．已知椭圆22:1167x y E +=的右焦点F ，P 是椭圆E 上的一个动点，Q 点坐标是(1,3)，则||||PQ PF +的最大值是 .14．写出使得关于,x y 的方程组()()22111112y a x a x a y -⎧=+⎪-⎨⎪-+-=⎩无解的一个a 的值为 .（写出一个即可）四、解答题15．已知ABC V 的顶点()0,1A ，AB 边上的高CD 所在直线的方程为20x y +-=，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为350x y +-=.(1)求点B 的坐标；(2)求直线BC 的方程.16．已知圆22:64120C x y x y +--+=.(1)求过点()2,0且与圆C 相切的直线方程；(2)已知点()()2,02,2A B -，．则在圆C 上是否存在点P ，使得2228PA PB +=？若存在，求点P 的个数，若不存在，说明理由．17．已知抛物线()2:20C y px p =>，过()4,0M 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 是坐标原点，0OA OB ⋅= ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若F 点是抛物线C 的焦点，求AF BF +的最小值．18．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的焦距为且左右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)T 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 两点．(1)求双曲线的方程；(2)若直线MN|MN |；(3)记直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 是定值．19．已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b 的离心率为12，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，F 为其左焦点，过F 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)试求△AOB 面积的最大值以及此时直线l 的方程.。
山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（ ）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（ ）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（ ）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分） 由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分） 直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。
山东省青岛市城阳实验高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 (无答案)
2024-2025高二质量监测数学试题2024.10注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若数列满足，月，则（ ）A ．B ．2CD ．2．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（ ）A ．750B ．300C ．450D ．1503．已知数列的前项和为，，则（ ）A ．16B ．32C ．64D ．964．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则（ ）A ．乙丙互为对立B ．甲乙相互独立C ．甲乙互斥D ．甲丙互斥5．在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在数列中，，对任意，都有，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某校举行劳动技能大赛，统计了100名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于90分的视为优秀，低于60分的视为不及格．若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中错误的是（）{}n a 111n na a +=-12a =2024a =1-12:3:5k {}n a n n S 22n S n =45a a +{}n a 338112a a a ++=313828a a a ={}n a 41n a n =-21n a n =+3855n a n =-34455n a n =-+{}n a 12a =*,m n ∈N m n m n a a a +=2024a =2024220252202622023225%20%35%5%10%15%45%[]40,100A ．B ．优秀学生人数比不及格学生人数少15人C ．该次比赛成绩的平均分约为70.5D ．这次比赛成绩的分位数为78二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．以下事件是随机事件的是（ ）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根2．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品D ．至少两件正品3．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．164．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．565．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===u u u r u u u r u u u u r r r r ，则1A B =u u u r（ ）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r6．已知空间向量0a b c ++=r r r r，2a =r ，3b =r ，4c =r ，则cos ,a b =r r （ ） A ．12B ．13C ．12-D ．147．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．5960B ．35C ．12D ．1608．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ） A ．4.33%B ．3.33%C ．3.44%D ．4.44%二、多选题9．在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（ ） A ．(2,1,3) B ．(2,1,3)-- C ．(4,2,6)-D ．(4,2,6)-10．下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11．已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-u u u ru u ur u u u ru u u r（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n = C ．12m =-，1n =- D ．32m =，1n =三、填空题12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．13．已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA u u u r ，DC u u ur ，1DD u u u u r 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =u u u u r，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为．四、解答题15．（1）已知2,3a b ==r r ，且a b ⊥r r求2a b a b +⋅r r r r （）（-） （2）已知a b a b +=-r r r r ，求a b ⋅r r16．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．18．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.19．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．(1)求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．。
山东省青岛市青岛第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)
青岛二中2024-2025学年第一学期10月份阶段练习一高二数学试题时间：90分钟 满分：120分一、选择题：本题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，且，则（）A.-16B.16C.4D.-42.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.3.已知空间向量，，若与垂直，则等于（）4.设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）A.若，是对立事件，则B.若，是互斥事件，，，则C.若，，且，则，是独立事件D.若，是独立事件，，，则5.已知点关于直线-对称的点在圆上，则（）A.4B.5C.-4D.-56.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）A.B.CD.7.边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（）()1,3,5a =-()2,,b x y = a b ∥x y -=()2,3A -()3,2B --()1,1P -AB 32,,43⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭][43,,32⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭34,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()1,,2a n = ()2,1,2b =- 3a b - b aA B A B ()1P AB =A B ()13P A =()12P B =()16P A B +=()13P A =()12P B ≡()13P AB =A B A B ()13P A =()23P B =()19P A B ⋂=()0,1P -10x y -+=Q 22:50C x y mx +++=m =m n (),a m n =()1,1b =- θ0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦5121271256ABCD AC 14AD BC ⋅= D ABC -8.已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是B.若样本数据，，，的平均数为2，则数据，，，的平均数为3C 一组数据，，，，，的分位数为6D.某班男生30人、女生20人，按照分层抽样的方法从该班共抽取10人答题.若男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为6.810.已知，若过定点的动直线和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（）A.B 点的坐标为B.为定值C.最大值为D.的最大值为11.在棱长为1的正方体中，，，，，，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（）A.线段的最小值为1C.对任意点，总存在点，使得D.存在点，使得直线与平面所成的角为三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.12.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则_________.13.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为_______.a b c 602a b == 4c = x y ()x x a x b ⋅+=⋅ ()y y a y c ⋅+=⋅ x y -1+1+261111x 2x ⋯10x 121x -221x -⋯1021x -43265860%m ∈R A 1:20l x my m -+-=B 2l 240mx y m ++-=P P A B ()2,4-22PA PB +PAB S △2522PA PB +1111ABCD A B C D -1BP xBB yBC =+ x ()0,1y ∈11A Q z A C = []0,1z ∈1A P 11A B 45 1A P 1A Q PQ +P Q 1D Q CP⊥P 1A P 11ADD A 60()11,0,1n =- ()2,3,2n m =- ()30,1,1n =- {}123,,n n nm =()3,43430x y --=14.在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为_______.15.平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从边上一点沿与轴正方向成角的方向发射到边上的点，被反射到上的点，再被反射到上的点，最后被反射到轴上的点，若，则的取值范围是_______.四、解答题：本题共3小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本题满分10分）已知直线，，且满足，垂足为.（I ）求的值及点的坐标.（II ）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程.17.（本题满分15分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）.（I ）已知，，（1）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；（2）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由；（II ）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围.18.（本题满分17分）1111ABCD A B C D -1AC 11B C 1AC 11C D 6045 E 1CC E 1A BC ()0,0O ()8,0A ()8,6B ()0,6C OA ()04,0P x θAB 1P AB BC 2P BC OC 3P OC x ()4,0P t ()4,6t ∈tan θ()1:220l x m y +-=2:220l mx y +-=12l l ⊥C m C 1l x A 2l x B ABC △()1101p p <<11p -1()2201p p <<21p -101111134p =223p =00112p如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且.第（I ）问图（I ）当时，（1）求二面角的正弦值；第（II ）问图（2）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值；（II ）当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值.ABCD ABC △2AB =ADC △90ADC ∠= BD =D AC B --P BD AD APC 2BD =()01DP DB λλ=<<PH ⊥ABC H CD M AB N MN APC G P ACH -MGGN。
山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案
济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。
山东省烟台市烟台经济技术开发区烟台爱华高级中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题
上一点，且
uuuur C1E
=
uuur 2EC
，则（
）
A． BD1 = 2 C． A1E ^ 平面 BDD1B1
B．直线 BD1 与 AC 所成角的余弦值为 6 6
D．直线 BD1 与平面 ACC1A1 所成角为 π 4
试卷第31 页，共33 页
三、填空题
12．已知
A
(1,1,
0)
,
B
(
0,
3,
0)
3
所以a
=
p 6
，
故选：C. 2．D 【分析】根据空间向量的线性运算求解．
【详解】由已知
uuur PQ
=
uuur OC
+
uuur CQ
-
uuur OP
=
r c
+
2 3
uuur CB
-
1 2
uuur OA
=
r c
+
2 3
uuur (OB
-
uuur OC)
-
1 2
r a
=
r c
+
2 3
r (b
-
r c)
-
1 2
r a
=
-
1 2
av
+
2 3
v b
+
1 3
cv
，
故选：D． 3．A
【解析】作出异面直线 AM 和 CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余 弦值.
【详解】设 E, F 分别是 AB,CC1 的中点，由于 M , N 分别是 A1B1, BB1 的中点，结合正方体的
性质可知 B1E //AM , B1F //CN ，
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线22y x =的方程为212x y =，所以焦点在y 轴 由122p =， 所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知311a =，1060S =，则5a =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意建立方程，即可求出1a ，d ，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果．【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知11211?104560a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115a =，2d =-，所以5141587a a d =+=-=． 故选：A3．设点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，则||=AB （ ） A ．10 BC ．38D【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点B 坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得||AB .【详解】解：因为点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，所以(2,3,5)B -所以10AB AB ==.故选：A.4．已知向量()()1,1,0,1,0,=-=a b m ，且ka b +与2a b -互相平行，则k =（ ） A ．114-B ．15C ．35D ．12-【答案】D【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知(1,,)ka b k k m +=-，2(3,1,2)a b m -=--， 因为ka b +与2a b -平行， 若0m =，则131k k -=-，12k =-， 若0m ≠，则1312k k mm-==--，k 无解． 综上，12k =-，故选：D ．5．设向量OA ，OB ，OC 不共面，空间一点P 满足OP xOA yOB zOC =++，则A ，B ，C ，P 四点共面的一组数对(,,)x y z 是（ ）A ．111(,,)432B ．131(,,)442-C ．(1,2,3)-D ．121(,,)332-【答案】B【分析】由题设条件可知，A ，B ，C ，P 四点共面等价于1x y z ++=，由此对选项逐一检验即可. 【详解】因为向量OA ，OB ，OC 不共面，OP xOA yOB zOC =++， 所以当且仅当1x y z ++=时，A ，B ，C ，P 四点共面， 对于A ，1111432++≠，故A 错误；对于B ，1311442-++=，故B 正确；对于C ，1231-+≠，故C 错误；对于D ，1211332-++≠，故D 错误.故选：B.6．已知数列{}n a 中，11a =且()133nn n a a n a *+=∈+N ，则16a 为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A【分析】采用倒数法可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到n a ，代入16n =即可.【详解】由133n n n a a a +=+得：1311133n n n n a a a a ++==+，又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公差的等差数列，()1121133n n n a +∴=+-=，32n a n ∴=+，1616a ∴=. 故选：A.7．已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x ya +=的离心率为（ ）A 3B 5C 510D 310 【答案】D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得a 值，然后分类讨论求得圆锥曲线2212x y a +=的离心率解决即可． 【解答】因为三个数1，a ，9成等比数列， 所以29a =，则3a =±．当3a =时，曲线方程为22132x y +=，表示椭圆， 31， 3 当3a =-时，曲线方程为22123y x -=，表示双曲线，255102． 故选：D8．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2020201920200,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为0d <，所以等差数列{}n a 是递减数列， 因为()2020201920200a a a +<，所以201920200,0a a ><，且20192020a a >，201920200a a +>， ()1403920192020403920204038201920204039()40390,403820190,22a a a a S a S a a ++===⨯=+所以使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4038． 故选：B二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，则23a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5 【答案】AC【分析】对于A ，tan AB k α=即可解决；对于B ，由题意得231a -=即可解决；对于C ，平行线间距离公式解决即可；对于D ，数形结合即可. 【详解】对于A ，131tan 312AB k α-===--，即30α≠︒，故A 错误； 对于B ，直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，所以123a =-，解得23a =-，故B 正确；对于C ，直线240x y +-=与直线2410x y ++=（即1202x y ++=）之间的距离为d =故C 错误；对于D ，已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，如图取()1,1B -关于x 轴的对称点()1,1B '--，连接AB '交x 轴于点P ，此时22(21)(31)5PA PB PA PB AB ''+=+≥=+++，所以PA PB +的最小值是5，故D 正确； 故选：AC.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，25n S n n =-，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．0n a >C ．n S 最小值为254- D ．{}n a 为单调递增数列【答案】BC【分析】根据n S 求出n a ，并确定{}n a 为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前n 项和分析求解.【详解】对于A ，当2n ≥时，()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-， 1n =时114a S ==-满足上式，所以26,N n a n n *=-∈,所以()()1216262n n a a n n +-=+---=， 所以{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，由上述过程可知26,N n a n n *=-∈，12340,20,0a a a =-<=-<=，故B 错误；对于C ，因为25n S n n =-，对称轴为52.52=， 又因为N n *∈，所以当2n =或3时，n S 最小值为6-，故C 错误； 对于D ，由上述过程可知{}n a 的公差等于2， 所以{}n a 为单调递增数列，故D 正确. 故选:BC.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为BC ，11CC BB ，的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1D D AF ⊥B ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 C ．1//A G 平面AEFD ．异面直线1A G 与EF 5【答案】BC【分析】对于选项A ：由11//DD CC 以及1CC 与AF 不垂直，可知A 错误；对于选项B ：利用等体积法,A GEF G AEF A CEF C AEF V V V V ----==，可求得结果，进而判断选项B 正确；对于选项C ：取11B C 的中点M ，根据面面平行的性质即可得出1//A G 平面AEF ，可知选项C 正确； 对于选项D ：根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知D 错误；【详解】对于选项A ：因为1AC AC ≠，所以1ACC △不是等腰三角形，所以1CC 与AF 不垂直，因为11//DD CC ，所以1DD 与AF 不垂直，故选项A 错误；对于选项B ：设正方体的棱长为2，设点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离分别为12,h h ，则11133A GEF GEFG AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，21133A CEF CEFC AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，所以12121221112GEFCEFS h h S ⨯⨯===⨯⨯△△，故选项B 正确； 对于选项C ：取11B C 的中点M ，连接11,,GM A M BC ，由题意可知：1//GM BC ，因为1//BC EF ，所以//GM EF ，GM ⊄平面AEF ， EF ⊂平面AEF ，所以//GM 平面AEF ，因为1A M AE ∥，1A M 平面AEF ， AE ⊂平面AEF ，所以1//A M 平面AEF ，因为11,,A MGM M A M GM =⊂平面1AGM ，所以平面AEF //平面1AGM ， 因为1AG ⊂平面1AGM ，所以1//A G 平面AEF ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为111//,//AD EF AG D F ，所以异面直线1A G 与EF 所成的角为1AD F ∠（或其补角），设正方体的棱长为2，则22112253AD D F AF AC CF ===+=，，， 在1AD F △中，由余弦定理可得：2221111110cos 22225AD D F AF AD F AD D F +-∠===⋅⨯⨯D 错误，故选：BC .12．下列命题中，正确的命题有（ ） A ．a b a b +=-是a ，b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若243OP OA OB OC =-+，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】CD【分析】对A ，向量a 、b 同向时a b a b +=-不成立； 对B ， b 为零向量时不成立； 对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量a 、b 同向时，a b a b +≠-，∴只满足充分性，不满足必要性，∴A 错误； 对B ，b 应该为非零向量，故B 错误； 对C ，由于243OP OA OB OC =-+得，1324PB PA PC =+， 若,PA PC 共线，则,,PA PC PB 三向量共线，故A ，B ，C 三点共线，与已知矛盾，故,PA PC 不共线，由向量共面的充要条件知,PB PA PC ,共面，而,PB PA PC ,过同一点P ，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；对D ，若{},,a b c 为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面， 假设a b +，2b c +，3c a +共面，设()()23a b x b c y c a +=+++，所以13102yxx y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ ，无解，故a b +，2b c +，3c a +不共面， 则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确． 故选： CD ．三、填空题13．等比数列{}n a 中，39a =-，114a =-，则7a =______． 【答案】6-【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为{}n a 是等比数列，所以2731136a a a ==，又{}n a 的所有奇数项同号，所以76a =-．故答案为：6-．14．直线230x y +-=被圆()()22214x y-++=截得的弦长____________【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理与垂径定理计算可得；【详解】圆()()22214x y -++=的圆心为2,1，半径2r =， 圆心2,1到直线的距离d ==所以直线被圆截得弦长为22223525522255r d ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：2555. 15．已知数列{}n a .的前n 项和为n S ，且()*2120N n n n a a a n +++-=∈.若11151912a a a ++=，则29S =______.【答案】116【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.【详解】(){}*211220N ,2,n n n n n n n a a a n a a a a +++++-=∈∴=+∴为等差数列，111912915111519152,12,4,a a a a a a a a a ∴+=+=++=∴=129291529292941162a a S a +∴=⨯==⨯=. 故答案为：116.四、双空题16．如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 的中点，则AM 与D B ''所成角的余弦值为___________；C 到平面DA C ''的距离为___________.【答案】103【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角. 第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接BD ，如图所示建立空间直角坐标系,则()0,0,1A ，1,1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0B '，()1,0,0D '1,1,02AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,0D B ''=-10cos ,10AM D B AM D B AM D B ''''==''⋅ AM 与D B ''所成角的余弦值为1010如图所示设C 到平面DA C ''的距离为d 因为C A DC A DCC V V '''--=1111322sin 601113232d d ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⇒=103五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】（1）12n n b -=；（2）当5q =-时，321S =.当4q =时，36S =-.【分析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，（1）由条件可得3d q +=和226d q +=，解方程得12d q =⎧⎨=⎩，进而可得通项公式； （2）由条件得2200q q +-=，解得5,4q q =-=，分类讨论即可得解.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=.由222a b +=得3d q +=.①（1）由335a b +=得226d q +=②联立①和②解得30d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩ 因此{}n b 的通项公式为12n n b -=.（2）由131,21b T ==得2200q q +-=.解得5,4q q =-=.当5q =-时，由①得8d =，则321S =.当4q =时，由①得1d =-，则36S =-.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．【答案】(1)122AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC ，平方即求得模长.(2) 求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =，CB b =，1CC c =，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+， 所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦ 222222c a b a c b c a b =++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++，1DC c a =-，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅=∴11CA DC ⊥∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==.(1)求{an }的通项公式；(2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =-(2)2(32)n n T n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩ 解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-.故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+ 111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n n n =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++ 即：{}n b 的前n 项和2(32)n n T n =+. 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线1B D 与平面1AB C 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；15【分析】（1）先证明1AA AC ⊥，从而可得AC ⊥平面11AA B B ，进而可得AC BE ⊥，再由线面垂直的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥,又AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ，所以AC ⊥平面11AA B B ，因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥，又因为1BE AB ⊥， 1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C ；（2）由（1）知AB ，AC ，1AA 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()0,2,2D ，设()0,0,E a ，()12,0,4AB =，()2,0,BE a =-，()0,2,0AC =，因为1AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =，则()2,0,1BE =-，由（1）平面1AB C 的一个法向量为()2,0,1BE =-，又()12,2,2B D =--，设直线1B D 与平面1AB C 所成角的大小为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则 11115sin cos ,512BE B D BE B D BE B D θ⋅====⋅⋅， 因此，直线1B D 与平面1AB C 1521．已知数列{}1221,2,5,43.++===-n n n n a a a a a a(1)令1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列；(2)若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)见解析 (2)11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据递推公式证明2113n n n na a a a +++--为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为2143n n n a a a ++=-，所以()2113n n n n a a a a +++-=-，即13n n b b +=， 又1213b a a -==，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）得11333n n n n a a +--=⋅=， 3n n n c nb n =⋅=，则23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅，23413323333n n S n +=+⨯+⨯++⋅，两式相减得()2311131313233333331322n n n n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭， 所以11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 22．如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，1//122AF DE DE AD AD BE AF AD DE AB ⊥⊥====，，，，.(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求二面角B EF D --的余弦值；(3)判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQ BE 的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析 (2)63(3)存在点Q ；17BQ BE =【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得DA ，DB ，DE 两两垂直，从而建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得平面DEF 和平面BEF 的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；（3）设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，求得平面CDQ 的法向量为u ，若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，从而解得λ的值，找到Q 点的位置.【详解】（1）取DE 的中点M ，连结MF ，MC ，因为12AF DE =，所以AF DM =，且AF DM =， 所以四边形ADMF 是平行四边形，所以//MF AD ，且MF AD =,又因为//AD BD ,且AD BC =，所以//MF BC ,MF BC =,所以四边形BCMF 是平行四边形，所以//BF CM ,因为BF ⊄平面CDE ,CM ⊂平面CDE ，所以//BF 平面CDE ；（2）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，则DE DB ⊥，故DA ，DB ，DE 两两垂直，所以以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ，所以()0,1,2BE =-，()1,0,1EF =-，()0,1,0n =为平面DEF 的一个法向量. 设平面BEF 的一个法向量为(),,m x y z =，由0m BE ⋅=，0m EF ⋅=，得200y z x z -+=⎧⎨-=⎩， 令1z =，得()1,2,1m →=. 所以26cos ,36m n m n m n →→→→→→⋅===. 如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63. （3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . 证明如下：设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(),,u a b c =，又因为()1,1,0DC =-， 所以0u DQ ⋅=，0u DC ⋅=，即(1)200b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩， 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，即20a b c ++=， 解得[]10,17λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ， 且此时17BQ BE =.。
山东省烟台市招远市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(期中模拟)数学试题
山东省烟台市招远市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（期中模拟）数学试题一、单选题1．直线10x -=倾斜角的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．π4D ．2π32．已知()()2,3,2,2A B ---，点P 在y 轴上，且AP PB ⊥，则P 点的纵坐标为（ ） A ．1-B ．2-C ．1-或2D ．2-或13．已知空间向量(1,0,3),(2,1,0),(5,2,)a b c z ===r r r,若,,a b c r r r 共面，则实数z 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．在四面体OABC 中，,,,OA a OB b OC c G ===u u u r u u u r u u u r r r r 为ABC V 的重心，P 在OG 上，且OP PG =u u u r u u u r，则AP =u u u r（ ）A ．111366a b c -++r r rB ．511666a b c -++r r rC ．811999a b c -++r r r D ．211999a b c --r r r5．已知{},,a b c r r r为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）A ．,,a b c b a c ++-r r r r r rB ．2,,a b b a c +-r r rr r C ．2,2,a b c b a b c ++++r r r r r r rD ．,2,2a c b a b c ++-r r r r r r6．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）A B C ．12D ．137．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线1EC 与平面1ACD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B C D 8．已知正四面体P ABC -的棱长为3，空间中一点M 满足PM xPA yPB zPC =++u u u u ru u u ru u u ru u u r，其中,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.则PM u u u u r的最小值为（ ）AB ．2CD ．3二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．直线()23y ax a a =-+∈R 过定点 2,3B ．若两直线20ax y +=与()140x a y +++=平行，则实数a 的值为1C ．若0,0AB BC >>，则直线0Ax By C --=不经过第二象限D ．点()()2,3,3,2A B ---，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是344m -≤≤10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1B C 上的动点，则（ ）A ．当12B P PC =时，AP =B ．直线1A P 与BD 所成的角不可能是π6C ．若1113B P BC =u u u r u u u r ，则二面角11B A P B --D ．当12B P PC =时，点1D 到平面1A BP 的距离为2311．设,,Ox Oy Oz 是空间内正方向两两夹角为60︒的三条数轴，向量123,,e e e u r u u r u r分别与x 轴､y 轴､z 轴方向同向的单位向量，若空间向量a r满足()123,,a xe ye ze x y z =++∈R u r u u r u r r 则有序实数组(),,x y z 称为向量a r在斜60︒坐标系O xyz -（O 为坐标原点）下的坐标.记作(),,a x y z =r，则下列说法正确的有（ ）A ．若()1,2,3a =r ，则5a =rB ．若()()3,1,2,1,3,0a b =-=r r ，则0a b ⋅=rr C ．若()()1,2,1,2,4,2a b =-=--r r ，则向量a r∥b rD ．若()()()1,0,0,0,10,0,0,1O A O B O C ===u r u u r u u r ，则三棱锥O ABC -的外接球体积V =三、填空题12．已知点()()1,3,3,1A B ，若点(),M x y 在线段AB 上，则2yx -的取值范围为. 13．已知空间三点A （0，2，3），B （﹣2，1，6），C （1，﹣1，5），则以AB ，AC 为边的平行四边形的面积是．14．已知矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿对角线AC 将ABC V 折起，使得BD 则二面角B AC D --的大小为.四、解答题15．已知直线()1:340l kx y k k ---=∈R 过定点P .(1)求过点P 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；(2)若直线l 过点P 且交x 轴正半轴于点A ，交y 轴负半轴于点B ，记ABC V 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值，并求此时直线l 的方程.16．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)若M 为线段CD 上一点，且1CM =，求二面角A EM B --的余弦值.17．在直三棱柱111ABC A B C -中，1160,3,BAC A A AB AC B C ∠====o 与1BC 交于点,P G 是111A B C △的重心，点Q 在线段AB （不包括两个端点）上.(1)若Q 为AB 的中点，证明：PG ∥平面1ACQ ；(2)若直线PG 与平面1ACQ AQ . 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，122PA AB PC ===，点F 为PD 的中点.(1)已知点G 为线段BC 的中点，求证：//CF 平面PAG ；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使四棱锥P ABCD -唯一确定，求：（ⅰ）直线CD 到平面ABF 的距离； （ⅱ）二面角C AB F --的余弦值. 条件①：PA ⊥平面ABCD ；条件②：AD =条件③： 平面PAB ⊥平面PAD .注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，,AB AD ⊥AB AD =,CD BC =PB PD ==4cos ,5BCD ∠=E 为PC 的中点．(1)证明：//BE平面PAD；(2)求平面ABP与平面PBD的夹角的余弦值的取值范围．。
2024—2025学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期第一次月考数学试卷
2024—2025学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题(★★) 1. 若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（）A．B．C．D．(★★) 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（）A．B．C．D．(★★) 3. 如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（）A．是必然事件B．是必然事件C．与一定互斥D．与不可能互斥(★★) 4. 甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（）A． 0.9B． 0.8C． 0.7D． 0.2(★★★) 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 在四棱柱中，，，则（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（）A．在轴上的截距为B．过定点C．若，则或D．若，则(★★★) 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（）A．与平面的夹角的正弦值为B．点到的距离为C．线段的长度的最大值为D．与的数量积的范围是三、填空题(★★★) 12. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______(★★) 13. 已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为 ________________ .(★★★) 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 _______ .四、解答题(★★) 15. 菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.(1)求边所在直线的方程；(2)求对角线所在直线的方程.(★★) 16. 亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，(1)求频率分布直方图中的值；(2)估计这600名学生成绩的中位数；(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．(★★) 17. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．(1)证明：；(2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；(★★★) 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.(1)求证：平面；(2)若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.(★★★) 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。
山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线,若,则( )A.-1或2B.1C.1或-2D.-22.过点的直线与线段MN 相交，，则的斜率的取值范围为( )A.B.C.或D.或3.在三棱柱中,记,点满足,则( )A. B. C. D.4.已知点关于直线对称，则对称点的坐标为( )A. B. C. D.5.已知向量,若共面,则( )A.4B.2C.3D.16.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )7.下列命题中正确的是( )A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为12:20,:2(1)20l ax y l x a y +-=+++=12//l l a =(3,3)P l (2,3),(3,2)M N ---l k 1665k ≤≤566k ≤≤65k ≤6k ≥16k ≤65k ≥111ABC A B C -1,,AA a AB b AC c === P 12BP PC =AP = 121333a b c -+ 212333a b c ++212333a b c +-121333a b c ++(2,1)P -10x y -+=(0,1)-(0,2)-(1,1)-(2,1)-(2,1,3),(1,4,2),(1,3,)a b c λ=-=--=,,a b c λ=(2,1)P --:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈310x y -+=40x y +-=250x y +-=310x y -+=(3,2,1)M yOz (3,2,1)--l (1,1,2)e =- α(6,4,1)m =-l α⊥l α120︒l α30︒D.已知为空间任意一点,四点共面，且任意三点不共线，若，则8.在空间直角坐标系中,,点在平面ABC 内,则当|OH |取最小时，点的坐标是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则( )A.若，则B.若，则C.若,则D.若,则向量在向量上的投影向量10.下列说法正确的是( )A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴,轴截距相等的直线方程为D.经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程.11.已知正方体的棱长为1,E 为线段的中点,点和点分别满足,其中,则下列说法正确的是( )A.平面AECB.AP 与平面所成角的取值范围为C.D.点到直线的距离的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.O ,,,A B C P 12OP mOA OB OC =-+12m =-O xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C H H 211,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,1,1)(2,1,1),(1,,2)a x b y ==-1,24x y ==-ab ‖1,1x y ==a b⊥1,12x y ==cos ,a b <>= 1,12x y ==ab 112,,333c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=(1,2)P x y 30x y +-=()()1122,,,x y x y ()()()()211211x x y y y y x x --=--表示1111ABCD A B C D -1B C F P 11111,D F D C D P D B λμ==,[0,1]λμ∈BP ⊥11BDD B 45,60︒︒⎡⎤⎣⎦PE PF +P 1B C PE =12.在直线上求一点,使它到直线的距离等于原点到的距离,则此点的坐标为________________.13.已知空间向量两两夹角为,且,则__________________.14.如图,两条异面直线a,b 所成的角为,在直线a,b 上分别取点,和点A,F,使,且.已知,则线段的长为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,.(1)设,用向量表示,(2)并求出的长度;(3)求异面直线与所成角的余弦值.16.(15分)已知点,_________________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,并作答(1)求直线的方程;(2)求直线关于直线的对称直线的方程条件①:点关于直线的对称点的坐标为；条件②:点的坐标为，直线过点且与直线PM 平行;210x y -+=:320l x y +-=l ,,a b c 60︒||||||1a b c === |2|a b c -+= θA 'E AA a '⊥AA b '⊥,,A Em AF n EF l '===AA '111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1,,AA a AB b AC c === ,,a b c1BC 1BC 1AB 1BC (1,3)P 1l 2:250l x y +-=1l P 1l 1P (1,1)-M (6,2)-1l (2,4)-条件③:点N 的坐标为,直线过点且与直线PN 垂直.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.（15分）已知直线.(1)若坐标原点到直线,求的值;(2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程.18.(17分)如图,在四棱锥中,底面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,,分别为线段AD,DC,PB 的中点.(1)证明：平面PEF//平面GAC ；(2)求直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值.19.(17分)如图1所示中,分别为PA,PB 中点.将沿DC 向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得。
高中数学 2023-2024学年山东省日照市校际联考高二(上)月考数学试卷(8月份)
2023-2024学年山东省日照市校际联考高二（上）月考数学试卷（8月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A ．{1，3}B ．{1，3，5}C ．{1，3，5，7}D ．{1，3，5，7，9}1．（5分）设集合M ={1，3，5，7，9}，N ={x |2x <9}，则M ∩N =（ ）A ．-1<a <1B ．a ≤-1或a ≥1C ．-1≤a ≤1D ．a <-1或a >12．（5分）若命题“∃x ∈R ，使得x 2+2ax +1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）3．（5分）用二分法求方程lo g 4x −12x =0近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数f （x ）=(1−e 2x )cosxe x 的部分图象大致为（ ）A ．−34B ．−12C ．34D ．125．（5分）如图，在边长为2的等边△ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE •FC =（ ）→→√A ．5a B ．55a C ．255a D ．355a6．（5分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱DD 1的中点，则点A 到平面A 1B 1E 的距离为（ ）√√√√二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
A ．f （-4.5）<f （3.5）<f （12.5）B ．f （3.5）<f （12.5）<f （-4.5）C ．f （12.5）<f （3.5）<f （-4.5）D ．f （3.5）<f （-4.5）<f （12.5）7．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +3）=f （x -3），且y =f （x +3）为偶函数，若f （x ）在（0，3）上单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．1665B ．−1665C ．5665D ．−56658．（5分）已知α∈(π，7π4)，β∈(π，3π2)，cos (α−π4)=−35，sin (β−π4)=513，则sin （α+β）的值为（ ）A ．函数f （x ）有且仅有一个零点0B ．f （e ）=1C ．f （x ）在（-∞，0）上单调递增D ．f （x ）在（0，+∞）上单调递减9．（5分）已知函数f (x )=V W X x ,x ≤0|lnx |，x >0，则下列结论中正确的是（ ）A ．A ∪B =A 是B ⊆A 的充分不必要条件B ．a >b 是1a <1b 的既不充分也不必要条件C ．m =3是幂函数y =（m 2-2m -2）x m +1在（0，+∞）上是增函数的充分不必要条件D ．函数f （x ）=-x 2+2mx 在区间[1，3]上不单调的一个必要不充分条件是1≤m ≤310．（5分）下列命题中正确的是（ ）A ．若c =23，B =π3，b =5，则满足条件的三角形有且只有一个B ．若sin 2B +sin 2C <sin 2A ，则△ABC 为钝角三角形C ．若△ABC 不是直角三角形，则tanA +tanB +tanC =tanAtanBtanCD ．若a b (b 2+c 2−a 2)=b a (a 2+c 2−b 2)，则△ABC 为等腰三角形11．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ,下列叙述正确的是（ ）√三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．OA 、OB 、OC 共线 B ．OA 、OB 共线 C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面【答案】D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论. 【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底， 所以OA 、OB 、OC 共面， 所以O 、A 、B 、C 四点共面， 故选：D2．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2C．D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.3．与曲线2211636x y +=共焦点，且与双曲线22146x y -=共渐近线的双曲线的方程为（ ） A ．221128y x -=B ．221812y x -=C ．221128x y -=D ．221812x y -=【答案】A【分析】先由与椭圆共焦点得到220c =，且焦点在y 轴上，从而巧设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，利用222c a b =+即可得解.【详解】因为曲线2211636x y +=为椭圆，焦点在y 轴上，且2361620c =-=，又因为所求双曲线与双曲线22146x y -=共渐近线，所以设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，即22164y x λλ-=--，则26420c λλ=--=，解得2λ=-， 所以所求双曲线为221128y x -=.故选：A.4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（ ） A ．13B ．23C ．16D ．56【答案】B【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >， 由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =， 故113327a d a d +=+，15105a d +=， 解可得，123a =，16d =， 故任意两人所得的最大差值243d =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题． 5．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()6353a a a =+，则117S S =（ ） A ．117B ．227C ．337D ．667【答案】D【分析】先利用等差公数的通项公式得到15130a d +=，再利用等差公数的前n 项和公式即可得解. 【详解】因为{}n a 是公差不为零的等差数列，()6353a a a =+，所以()1115324a d a d a d +=+++，得15130a d +=， 令()50d k k =≠，则113a k =-，则所以()()()()1111711111011115111325111266276737131572772a d a d k k S S a d k k a d ⨯++-+⨯=====⨯+-+⨯+. 故选：D.6．已知圆22()()1x a y b -+-=经过原点，则圆上的点到直线2y x =+距离的最大值为（ ） A ．22 B ．22+ C ．21+ D ．2【答案】B【分析】由题意画图，数形结合可知2=21+1OB =，当圆心(,)a b 在C 处时，点(,)a b 到直线2y x =+的距离最大，进而可求结果.【详解】如图：22()()1x a y b -+-=圆心为(,)a b ，经过原点，可得221a b += 则圆心(,)a b 在单位圆221x y +=上，原点(0,0)到直线2y x =+的距离为=21+1OB 延长BO 交221x y +=于点C ，以C 为圆心，OC 为半径作圆C ，BC 延长线交圆C 于点D ， 当圆心(,)a b 在C 处时，点(,)a b 到直线2y x =+的距离最大为2+1OB 此时，圆22()()1x a y b -+-=上点D 到直线2y x =+的距离最大为22OB 故选：B【点睛】关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D 到直线2y x =+的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，点M ，N 在C 上，且123F F MN =，12F M F N ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2D 【答案】D【分析】根据123F F MN =，12F M F N ⊥，由双曲线对称性可知，直线1F M 与2F N 交于y 轴上一点P ，且12PF F △为等腰直角三角形，可得N 的坐标，分别求出12,NF NF ，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为123F F MN =，12F M F N ⊥，由双曲线对称性可知，直线1F M 与2F N 交于y 轴上一点P ， 且12PF F △为等腰直角三角形， 所有1OP OF c ==，如图，则2,33c c N ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，()2,0F c ，所以1NF ==，23NF ==，则122NF NF a -==，即a =，则c e a === 故选：D.8．伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为52的双曲线222:1(0)y C x a a -=>上支的一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，则可求出焦点坐标和渐近线方程，上焦点为15)F ，则由双曲线的定义可得1124PF PF a PF =+=+，由双曲线的对称性取一条渐近线2y x =，设P 到2y x =的距离为d ，则将问题转化为求出14PF d ++，而1PF d +的最小值为15)F 到渐近线2y x=的距离，从而可求得答案【详解】因为双曲线222:1(0)y C x a a -=>5，215a +=24a =，则 双曲线方程为2214y x -=，5c =所以下焦点(0,5)F -，渐近线方程为2y x =±， 设上焦点为15)F ，则1124PF PF a PF =+=+，由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为2y x =，设P 到2y x =的距离为d ，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和为14PF d PF d +=++，因为1PF d +的最小值为1F 到渐近线2y x =1=，所以14PF d PF d +=++的最小值为415+=，即PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为5， 故选：D二、多选题9．已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）． A ．{}n a 是递增数列 B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S【答案】BCD【分析】根据211n S n n =-，利用二次函数的性质判断D ，利用数列通项和前n 项和关系求得通项公式判断ABC.【详解】解：因为22111211124n S n n n ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，所以数列{}n S 的最大项为5S 和6S ，故D 正确；当1n =时，110a =，当2n ≥时，由211n S n n =-，得()()211111n S n n -=---，两式相减得：212n a n =-+， 又110a =，适合上式， 所以212n a n =-+，故C 正确；因为120n n a a --=-<，所以{}n a 是递减数列，故A 错误，B 正确； 故选：BCD10．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-（m ∈*N ，且2m ≥），则必定有（ ） A ．0m S > B ．0m S <C ．10m S +>D ．10m S +<【答案】AD【分析】根据等差数列求和公式即可判断. 【详解】∵11m m a a a +-<<-， ∴10m a a +>，110m a a ++<， ∴()102m m a a m S +⨯=>,()()111102m m a a m S +++⨯+=<,故选：AD.11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1126AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 6【答案】AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，所以1||21666AC A 错误； 对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅-22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅=，所以10AC DB ⋅=，即1AC DB ⊥，2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-==--=，所以0AC BD ⋅=，即AC BD ⊥，因为1AC AC A ⋂=，1,AC AC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，选项B 正确；对于C ：向量1B C 与1BB 的夹角是18060120︒-︒=︒，所以向量1B C 与1AA 的夹角也是120︒，选项C 错误；对于11:D BD AD AA AB =+-，AC AB AD =+所以()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅，1||36BD ∴= 同理，可得||63AC =11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=，所以111cos ||||63AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==⋅，所以选项D 正确． 故选：AC ．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于不同的A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点()3,1Q ，则||AQ AF +的最小值是4B ．3OA OB ⋅=-C ．若12AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率为D ．4||AF BF +的最小值是9 【答案】ABD【分析】对于A ，过点A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则利用抛物线的定义结合图形求解即可，对于B ，设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入抛物线方程中，消去x ，利用根据与系数的关系，从而可求出OA OB ⋅的值，对于C ，由12AF BF ⋅=，可得AF BF ⋅()()211112x x =++=，化简后将选项B 中的式子代入可求出m 的值，从而可求出直线的斜率，对于D ，根据选项B 中的式子可求得111AF BF +=，则4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭化简后利用基本不等式可求得结果【详解】由题意知，C 的准线方程为=1x -，焦点F （1，0），过点A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则||AQ AF AQ AA +='+，故||||AQ AF +的最小值是点Q 到C 的准线的距离，即为4，故A 正确；设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩得2440y my --=．所以124y y =-，124y y m +=，221212144y y x x =⋅=，()21212242x x m y y m +=++=+， 所以OA OB ⋅=1212143x x y y +=-=-，故B 正确； 若||6AF BF ⋅=，又11AF x =+，21BF x =+，所以AF BF ⋅()()1211x x =++()22111x x x x =+++2142112m =+++=，解得2m =AB 的斜率为1k m =22==C 错误； 11AF BF +211111x x =+++()()12211111x x x x +++=++21122121x x x x x x ++=+++1=，所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭45+5249BF AF AF BF =+≥+=，当且仅当3||2AF =，3BF =时，等号成立，故D 正确，故选：ABD ．三、填空题13．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且38S =，67S =，则459a a a ++⋯+=________． 【答案】78-【解析】由题意及等比数列前n 项和的性质知3S ，63S S -，96S S -成等比数列，解得9S 的值，45993a a a S S +++=-，代入计算即可．【详解】根据由题意知3S ，63S S -，96S S -成等比数列，即8，78-，97S -成等比数列，所以()29(1)87S -=-，解得9178S =．所以45993177888a a a S S +++=-=-=-．故答案为：78-14．已知向量()0,2,2a =-，向量()6,3,1b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为____________．【答案】1-【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果. 【详解】因为()0,2,2a =-，()6,3,1b =，所以()0623214a b ⋅=⨯-⨯+⨯=-，22a =，4b =， 所以向量a 在b 方向上的投影数量为4cos ,14a b a b a a b a a bb⋅⋅-⋅=⋅===-⋅. 故答案为：1-.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线20mx y -+=与曲线y =数m 的取值范围是__________． 【答案】3,14⎛⎤⎥⎝⎦【分析】做出曲线y 20mx y -+=过定点()02，，数形结合即可求出结果.【详解】由题意可知，曲线y ()1,0-，半径为1的圆的上半部分（含端点），则直线20mx y -+=与曲线y 20mx y -+=过定点()02，，可考虑临界状态，即直线与半圆相切时或直线经过点()2,0-， 当过点()2,0-时，2020m --+=，即1m =，当直线20mx y -+=20211m m --+=+，解得34m =，数形结合可知有两个不同的公共点时实数m 的取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：3,14⎛⎤⎥⎝⎦.四、双空题16．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．【答案】 603π︒＃＃ 132⎛ ⎝⎭【分析】设A 为上顶点，点P 位于第一象限，作212BF F F ⊥交椭圆于点B 如图所示，则()1211112F PF QF P FQP QF I FQI ∠=∠+∠=∠+∠，即可求解，又因为点P 位于点A 与B 之间，所以121260F BF F AF ∠<︒<∠，利用正切值即可求解离心率范围．【详解】设A 为上顶点，点P 位于第一象限，作212BF F F ⊥交椭圆于点B ，则2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭如图所示：依题意得()121111223060F PF QF P FQP QF I FQI ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 依题意得点P 位于点A 与B 之间，故121260F BF F AF ∠<︒<∠所以122tan tan 60tan tan 30F BF OAF ∠<︒⎧⎨∠>︒⎩，则22333cb ac b ⎧<⎪⎪⎨⎪⎪>⎩ 化为2323012e e e ⎧+-<⎪⎨>⎪⎩，解得1323e << 故答案为：60︒，13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭五、解答题17．已知()1,4,5a =-，()2,3,2b =-，点()3,2,3A --，()2,3,2B --． (1)求2a b +的值．(2)在线段AB 上，是否存在一点E ，使得OE b ⊥？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（O 为坐标原点） 【答案】(1)13(2)存在，152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；（2）利用空间向量共线定理得到OE 关于λ的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得λ，从而得到点E 的坐标.【详解】（1）因为()1,4,5a =-，()2,3,2b =-，所以()()()()()221,4,52,3,22,8,102,32,20,5,1a b -+-=-+-=-+=⨯，则23201a b =++.（2）假设线段AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，则设()01AE AB λλ=≤≤， 因为()3,2,3A --，()2,3,2B --，所以()()()2,3,23,2,31,1,1AB ----=-=--， 又因为OE OA AE AB λ-==，所以()()(),,3,2,33,2,3OE AB OA λλλλλλλ=+=--+--=----+， 因为OE b ⊥，()2,3,2b =-，所以()()()2332230λλλ--+--+-+=，解得67λ=，满足01λ≤≤， 所以6661520153,2,3,,777777OE ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以线段AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，且152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.18．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和是n S ，且25517,35a a S +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11,1,2,n n n b n a a +==，求数列{}n b 的前n 项和n T ； 【答案】（1）32n a n =-；（2）31+nn . 【分析】（1）由题设有11251751035a d a d +=⎧⎨+=⎩求1a 、d ，写出{}n a 的通项公式；（2）应用裂项相消法，求{}n b 的前n 项和n T 即可.【详解】（1）由题意，25151251751035a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)32n a a n d n =+-=-. （2）由111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， ∴12111111...(1...)34473231n n T b b b n n =+++=⨯-+-++--+11(1)33131nn n =⨯-=++. 19．如图，四边形ABCD 为平行四边形，120BCD ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且FC ⊥平面ABCD ，12AD FC AB ==.（1）证明：平面ACFE ⊥平面BCF ；（2）若M 为EF 的中点，求平面ABM 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）21919. 【分析】（1）由题可得AC ⊥BC ，AC ⊥CF ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证； （2）利用坐标法即求.【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，120BCD ∠=︒， ∴∠CBA =60°又12AD BC AB ==，∴在△ACB 中，∠ACB =90°，即AC ⊥BC ， 又FC ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥CF ，又BCCF C =，∴AC ⊥平面BCF ，又AC ⊂平面ACFE ， ∴平面ACFE ⊥平面BCF .（2）如图以C 为原点建立空间直角坐标系，设AB =2，则AD =1，CF =1，AC =3，∴3(3,0,0),(0,1,0),((0,0,0),(0,0,1)A B M C F ， 则3(3,1,0),(2AB AM =-=-， 设平面ABM 的法向量(,,)m x y z =，∴00m AB m AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴00y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令2x =，则(2,23,m =，平面BCF 的法向量可取(3,0,0)n CA ==，∴cos ,412m n mn m n ⋅===+ ∴平面ABM 与平面BCF . 20．已知数列{}n a 是等差数列，且12312a a a ++=，816a =.(1)若数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，试求出数列{}n b 的通项公式；(2)令3nn n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】(1)4n b n =，*n ∈N ；(2)()12133n n S n +=-⋅+.【分析】(1)利用等差数列性质求出数列{}n a 公差及通项公式，由2n n b a =求解作答. (2)由(1)的结论求出n c ，再用错位相减法计算作答.【详解】（1）等差数列{}n a 中，2123312a a a a =++=，解得24a =，公差28282a d a -==-， 则()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=，因此，2224n a n n =⨯=， 依题意，24n nb a n ==，所以数列{}n b 的通项公式4n b n =，*n ∈N .（2）由(1)知，343n nn n c b n =⋅=⋅，则()21438344343n nn S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， 因此，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143nn n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-，所以()12133n n S n +=-+.21．如图，设点,A B 在x 轴上，且关于原点O 对称．点P 满足1tan 2,tan 2PAB PBA ∠=∠=，且PAB 的面积为20．（Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）以,A B 为焦点，且过点P 的椭圆记为C ．设00(,)M x y 是C 上一点，且013x -<<，求0y 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(3,4)-；（Ⅱ）[25,4)(4,25]--．【分析】（Ⅰ）设(,0),(,0)A c B c -，根据点P 满足1tan 2,tan 2PAB PBA ∠=∠=，得到直线PA 的方程为2()y x c =+，直线PB 的方程为1()2y x c =--，两方程联立用c 表示点P 的坐标，再根据PAB 的面积为20，由1||||202P S AB y =⋅=求得c 即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得(5,0),(5,0)A B -，P (3,4)-，从而由1(||)2a PA PB =+求得a ，进而得到椭圆C 的方程，然后根据013x -<<求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示：设(,0),(,0)A c B c -，则直线PA 的方程为2()y x c =+，直线PB 的方程为1()2y x c =--．由2(),1(),2y x c y x c =+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 解得3,54.5c x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以34(,)55c cP -． 故PAB 的面积214||||25P S AB y c =⋅=．所以24205c =， 解得5c =．所以点P 的坐标为(3,4)-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得(5,0),(5,0)A B -．所以PAPB 设以,A B 为焦点且过点P 的椭圆方程为2222:1x y C a b +=．则1(||)2a PA PB =+=22220b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214520x y +=． 所以220014520x y +=， 即220020(1)45x y =-．因为013x -<<，所以209x <≤． 所以21620y <≤． 所以0y的取值范围是[4)(4,25]--．22．已知O 为坐标原点,1F ,2F 分别是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >,0b >）的左, 右焦点,126F F =,若直线10x y --=与双曲线C 点的右支有公共点P . (1)求C 的离心率的最小值;(2)当双曲线C 的离心率最小时,直线():2l y k x =+()0k ≠与C 交于M ,N 两点,求OMONk k k k +的值.【答案】(2)10【分析】(1) 由于3c =,所以离心率的最小值即为求a 的最大值,连接1PF ,2PF ,要使双曲线C 的离心率最小,只需a 最大,即122a PF PF =-最大,求出()23,0F 关于直线10x y --=的对称点为A ,连接PA ,1F A ,则12112a PF PF PF PA F A =-=-≤即可求出a 最大值,进而求出离心率最小值;(2)由(1)可得离心率最小值时的,a b ,可得双曲线方程,联立直线与双曲线方程,设M ,N 两点坐标,求出,OM ON k k ,代入上式即可.【详解】（1）解:由题知126F F =,()()123,03,0F F ∴-，,设2F 关于直线10x y --=的对称点为(),A x y , 则11331022yx x y ⎧⨯=-⎪⎪-⎨+⎪--=⎪⎩, 解得12x y =⎧⎨=⎩, 故()1,2A ,连接1PF ,2PF ,PA ,1F A , 则2PF PA =, 则122a PF PF =-1PF PA =- 1F A ≤==,故ac e a ∴=≥=故双曲线C ; （2）由(1)知双曲线C, 此时2a b ==,双曲线方程为22154x y -=,联立得()222154y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩, 消去y 并整理得()2222452020200k xk x k ----=,则有2450k -≠且()()()()222222044520208040k k k k ∆=-+⨯-+=->,即204k ≤<且245k ≠, 设()11,M x y ,()22,N x y ,则21222045k x x k +=-,2122202045k x x k +=--, 则12121111OM ONy y k k x x +=+1212x x y y =+ 122112x y x y y y +=()()()()12212122222x kx k x kx k k x x +++=++()()1212212122224kx x k x x k x x x x ++=+++⎡⎤⎣⎦222222222202020224545202020244545k k k k k k k k k k k ⎛⎫+⨯-+⨯ ⎪--⎝⎭=⎛⎫+-+⨯+ ⎪--⎝⎭ 10k=, 1101OMON OM ON k k k k k k k ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛:本题考查双曲线性质以及直线与双曲线的位置关系,属于难题,常用的解决直线与圆锥曲线位置关系的思路为:(1)设直线方程(注意斜率存在不存在以及斜率为0的情况),设交点坐标, (2)联立直线与圆锥曲线方程,(3)设为不求,韦达定理(注意判别式的正负), (4)列出满足题意的方程,进行化简.。
山东省巨野县实验中学高二上学期第一次月考数学试卷
高二数学第一次月考试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( )A. 30B. 35 C . 36 D. 422．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( )A. 4B. 13C. 28D. 433.若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( )A. 递增数列 B . 递减数列C . 先减后增数列D. 以上都不对 4.在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 645.在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )A. 4B. 23C. 916D. 36.等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( )A. 3B. 2C. －2D. 2或－27.已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S ( )A. 390B. 195C. 180 D . 1208.在等比数列｛n a ｝中，,60,482==n n S S 则n S 3等于9. 一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ）A . 13 B. 12 C. 11 D . 1010.设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 的值为( )A ．－12 B.12 C ．1或－12 D ．－2或12. c o11.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A . 15B . 16C . 49 D. 6412.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A. 12 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13.等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________.14.在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________.15.在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________.16.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a n ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项；(2)当n 为何值时，0<n a18.(本题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和记为S n ＝n 2－3n ＋1，求通项公式a n19.(本题满分12分)已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .20.(本题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列；(2)求通项公式a n .21.(本题满分12分)已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求n a 及n S ；(2)令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 22.(本题满分12分)已知数列{}n a 中，()1212-+=n n n a ，求其前n 项和n s。
山东省济南理工学校2024-2025学年高二春考班上学期月考一数学试题
山东省济南理工学校2024-2025学年高二春考班上学期月考一数学试题一、单选题1．已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的体积之比为（）A．1:3B．1:9C．1:27D．1:812．一个球的表面积为16π，则该球的半径为（）A．1B．2C．3D．4）3．已知圆锥的底面半径是14．用平面α截一个球，所得到的截面面积为π表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．28π5．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，则该“堑堵”的表面积为（）A．2B．3+C．4+D．66．已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π7．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）B．C．D．A8．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（）A．一个球B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱D ．一个球挖去一个正方体9．如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径.若球的表面积为16π，则圆柱的表面积为（）A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π10．如图，A B C ''' 是水平放置的△ABC 的斜二测画法的直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则△ABC 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形，但不是直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形11．如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（）A ．B ．C ．D ．12．已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（）A ．50πB ．200C ．100πD ．150π13．某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为3m ，底面边长是8m ，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（）A ．248m B ．280m C ．2100m D ．2144m 14．如图，一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，则该几何体的体积为（）A ．20πB ．40πC ．60πD ．80π15．下列试验中是古典概型的是（）A ．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽B ．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C ．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环16．已知数列{}n a 为等差数列，288a a +=，则159a a a ++=（）A ．8B ．12C ．15D ．2417．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1122S =,则13911a a a a +++=（）A ．2B ．4C ．8D ．1618．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8748a a a +=+，则21S =（）A ．28B ．148C ．168D ．24819．在等比数列{}n a 中，132a a +=，356a a +=，则1a =（）A ．2B ．3C ．13D ．1220．在等比数列{}n a 中，124a a +=，若1a 、22a +、3a 成等差数列，则{}n a 的公比为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题21．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为43，则该正方体的边长为.22．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，已知6A C ''=，4B C ''=，则边AB 的实际长度为．23．在一个底面直径为12cm ，高为18cm 的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm ，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm ，则球型小钢珠的半径为cm ．24．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是.25．数列{}n a 满足12n n a a +=+，且11a =，则它的通项公式n a =．三、解答题26．（1）已知球的表面积为64π，求它的体积；（2）已知球的体积为5003π，求它的表面积.27．在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =28．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.29．数列{}n a 的通项公式是276n a n n =-+.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？30．已知单调递增的等差数列{an }的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an }的通项公式.。
2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二(上)第二次月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第二次月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a =(2,3,2)，b =(1,2,2)，c =(−1,2,2)，则(a−b )⋅c 的值为( )A. −1B. 0C. 1D. 22.已知命题p ：方程x 25−m +y 2m−1=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的范围( )A. 3<m <5B. 4<m <5C. 1<m <5D. m >13.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，OM =2MA ，点N 为BC 中点，则−MN 等于( )A. 12a−23b +12c B. −23a +12b +12c C. 12a +12b−12c D. −23a +23b−12c4.已知M(4,2)是直线l 被椭圆x 2+4y 2=36所截得的线段AB 的中点，则直线l 的方程为( )A. 2x +y−8=0B. x +2y−8=0C. x−2y−8=0D. 2x−y−8=05.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)直线l 过点P(1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A. (−∞,−4]∪[34,+∞) B. (−∞,−14]∪[34,+∞)C. [−4,34]D. [34,4]6.已知向量a =(1,1,2),b =(−3,2,0)，则a−b 在a 上的投影向量为( )A. (34,34,3 24) B. (54,54,5 24) C. (32,32,3 22) D. (−25,35, 25)7.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在M 上，Q 为PF 2的中点，且F 1Q ⊥PF 2，|F 1Q|=b ，则M 的离心率为( )A.33 B. 13 C. 12D.228.已知圆C ：x 2+(y−3)2=4过点(0,4)的直线l 与x 轴交于点P ，与圆C 交于A ，B 两点，则CP ⋅(CA +CB )的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2]D. [0,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。
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山东省高二上学期数学月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·哈尔滨月考) 一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A . 40.6，1.1B . 48.8，4.4C . 81.2，44.4D . 78.8，75.62. （2分） (2020高二下·南昌期末) 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A . 36种B . 30种C . 24种D . 6种3. （2分）(2017·泉州模拟) 设，且的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是（）A . 1B .C . 64D .4. （2分） (2017高三上·东莞期末) 在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为（）A . 0.352B . 0.432C . 0.36D . 0.6485. （2分） (2020高三上·宁海月考) 一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则（）A . n＝8，p＝0.2B . n＝4，p＝0.4C . n＝5，p＝.32D . n＝7，p＝0.457. （2分） (2019高二下·赣县期中) 4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是A . 12B . 10C . 8D . 68. （2分）(2017·宝山模拟) 设M，N为两个随机事件，给出以下命题：（1.）若M、N为互斥事件，且，，则；（2.）若，，，则M、N为相互独立事件；（3.）若，，，则M、N为相互独立事件；（4.）若，，，则M、N为相互独立事件；（5.）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点，则的概率为（）A . 1B .C .D .10. （2分）(2017·安徽模拟) 若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，已知某随机变量Y近似服从正态分布N（2，σ2），若P（Y＞3）=0.1587，则P（Y＜0）=（）A . 0.0013B . 0.0228C . 0.1587D . 0.5二、多选题 (共2题；共6分)11. （3分） (2020高三上·高密月考) 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A . 2个球都是红球的概率为B . 2个球不都是红球的概率为C . 至少有1个红球的概率为D . 2个球中恰有1个红球的概率为12. （3分） (2020高二下·东台期中) 下列说法中正确的有（）A . 在复平面内，复数对应的点位于第二象限B . 两个事件相互独立的充要条件是C . 若函数在区间上存在最小值，则实数的可能取值是D . 若随机变量服从正态分布，且 ,则实数的值为三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·上海月考) 4个不同的球放入3个不同的盒子中，每盒至少1个球，则共有________种不同的放法14. （1分） (2019高二下·吉林期末) 如图，在菱形中，，，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为 .若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是________．15. （1分） (2019高二下·新城期末) 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 .其中所有正确结论的序号是________．16. （1分） (2020高二下·嘉兴月考) 设随机变量，则 ________；________．四、解答题 (共6题；共57分)17. （15分） (2016高二下·晋江期中) 有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？18. （10分） (2019高二下·台州期末) 已知的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．(Ⅰ)求n的值和这两项的二项式系数；(Ⅱ)在的展开式中，求含项的系数（结果用数字表示）．19. （10分）(2017·重庆模拟) 某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为为优良（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．20. （10分） (2019高一下·惠州期末) 某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元99.29.49.69.810销量件1009493908578附：对于一组数据，，…… ，其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；本题参考数值：．（1）若销量y与单价x服从线性相关关系，求该回归方程；（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润。
21. （2分）(2014·四川理) 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．22. （10分）(2017·黑龙江模拟) 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、多选题 (共2题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共57分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、答案：17-4、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。