《最优化模型》PPT课件
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最优化方法及其应用PPT课件
f ( X 0 ) f ( X1) f ( X k ) f ( X k 1)
一 最优化问题总论
如果是求一个约束的极小点，则每一次迭代的新点都应该在约束可 行域内，即 X k D，k 0，1，2，
下图为迭代过程
一 最优化问题总论
（二）收敛速度与计算终止准则
（1）收敛速度
作为一个算法A，能够收敛于问题的最优解当然
x1 x2
即求
2x，1 5x2 40
x1 0 ， x2 0
max f (x1, x2 ) x1 x2
2x1 5x2 40，
x1
0，x2
0．
一 最优化问题总论
最优化问题的数学模型包含有三个要求：即变
量（又称设计变量）、目标函数、约束条件．
一、变量 二、目标函数 三、约束条件 四、带约束条件的优化问题数学模型表示形式
t f (x1，x2 )
t c
L
L在 三维空间中曲面
与[平x1， 面x2 ]T 有一条交
线 ．交线在平面上的投影曲线是 ，可见曲线上的点到平
面
的高度都等于常数C，也即曲线上的的函数值都
具有相同的值．
一 最优化问题总论
当常数取不同的值时，重复 上面的讨论，在平面上得到一族 曲线——等高线.
等高线的形状完全由曲面的 形状所决定；反之，由等高线的 形状也可以推测出曲面的形状．
线（如图），不等式约束把坐标平面分成两部分当中的一部分 （如图）．
一 最优化问题总论
综上所述，当把约束条件中的每一个 等式所确定的曲线，以及每一个不等式所 确定的部分在坐标平面上画出之后，它 们相交的公共部分即为约束集合D．
一 最优化问题总论
例1.4 在坐标平面上画出约束集合
一 最优化问题总论
如果是求一个约束的极小点，则每一次迭代的新点都应该在约束可 行域内，即 X k D，k 0，1，2，
下图为迭代过程
一 最优化问题总论
（二）收敛速度与计算终止准则
（1）收敛速度
作为一个算法A，能够收敛于问题的最优解当然
x1 x2
即求
2x，1 5x2 40
x1 0 ， x2 0
max f (x1, x2 ) x1 x2
2x1 5x2 40，
x1
0，x2
0．
一 最优化问题总论
最优化问题的数学模型包含有三个要求：即变
量（又称设计变量）、目标函数、约束条件．
一、变量 二、目标函数 三、约束条件 四、带约束条件的优化问题数学模型表示形式
t f (x1，x2 )
t c
L
L在 三维空间中曲面
与[平x1， 面x2 ]T 有一条交
线 ．交线在平面上的投影曲线是 ，可见曲线上的点到平
面
的高度都等于常数C，也即曲线上的的函数值都
具有相同的值．
一 最优化问题总论
当常数取不同的值时，重复 上面的讨论，在平面上得到一族 曲线——等高线.
等高线的形状完全由曲面的 形状所决定；反之，由等高线的 形状也可以推测出曲面的形状．
线（如图），不等式约束把坐标平面分成两部分当中的一部分 （如图）．
一 最优化问题总论
综上所述，当把约束条件中的每一个 等式所确定的曲线，以及每一个不等式所 确定的部分在坐标平面上画出之后，它 们相交的公共部分即为约束集合D．
一 最优化问题总论
例1.4 在坐标平面上画出约束集合
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
《非线性最优化模型》课件
无约束优化模型
定义
无约束优化模型是指在没有任何约束条件限制下，寻找目标函数的最大值或最 小值。
求解方法
无约束优化模型的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法 等。这些方法通过迭代的方式逐步逼近最优解，利用目标函数的梯度信息或海 森矩阵进行搜索。
混合整数优化模型
特点
混合整数优化模型是指目标函数 和约束条件中同时包含连续变量 和整数变量，整数变量的取值只 能是整数。
《非线性最优化模型》ppt课 件
Байду номын сангаас
CONTENTS
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实际应用
案例 • 非线性最优化模型的未来发展
与挑战
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
总结词
非线性最优化模型是一种数学方法，用于解决具有非线性约束和目标的优化问题。
优点
收敛速度快，精度高。
缺点
对Hessian矩阵敏感，计算量大，可能面临数值稳定问题。
拟牛顿法
总结词
改进的牛顿法 01
详细描述
02 通过迭代更新Hessian矩阵近似值 ，构造拟牛顿矩阵，以实现牛顿 法的数值稳定性和收敛速度。
优点
数值稳定性好，收敛速度快。
03
缺点
04 需要存储和计算Hessian矩阵或其 近似值。
客户需求。
运输优化
非线性最优化模型可用于 优化运输路线和运输方式 ，降低运输成本并提高运
输效率。
采购优化
通过非线性最优化模型， 可以确定最佳供应商和采 购策略，以降低采购成本
并确保产品质量。
《最优化理论》课件
机器学习中的应用
介绍最优化理论在神经网络训练 中的作用。
工程优化中的应用
应用最优化理论优化机械设计和 自动化控制系统。
总结
通过本课程的学习，您掌握了最优化理论的基本知识和应用方法，为实际问 题的解决提供了有力工具和支持。期待您在未来能够更好地应用这些知识， 为创新和发展做出更大的贡献。
凸优化问题的定义
详细讲解凸优化问题的定义和常用求解方法。
对偶问题
讲解凸优化问题的对偶问题和应用案例。
其他优化问题
1
整数规划
讲解整数规划在实际问题中的应用及其求解方法。
2
半正定规划
介绍半正定规划的定义和求解方式。
3
非线性规划
学习非线性规划问题的求解方法和应用案例。
应用案例
Hale Waihona Puke 经济学中的应用讲解最优化理论在竞争市场模型 中的应用。
数学符号与常用概念
介绍数学符号的含义和常用概念，为后 续学习内容打下基础。
一元函数的最优化问题
讲解一元函数求极值的方法，如牛顿法 和梯度下降法等。
无约束优化问题
一维搜索法
介绍线性搜索和二分搜索等一维 搜索算法。
牛顿法
讲解牛顿法的动机和实现方式。
梯度下降法
详细介绍梯度下降法的原理和特 点。
共轭梯度法
《最优化理论》PPT课件
最优化理论是数学中一项重要的领域，涉及到许多实际问题的求解，如经济 学、机器学习和工程优化等。本课程将为您介绍最优化理论的基础知识和应 用案例，帮助您深入了解这个精彩的领域。
优化理论的基础知识
1
函数的极值
2
学习函数的最值概念和求解方法。
3
多元函数的最优化问题
ppt4-最优化模型
【条件设置】 总成本必须是最小值； 月末库存 = 月初库存 + 本月生产量 – 需求量 月初库存 = 上月末库存 储存成本是每月末库存量之和与单位储存成本 之乘积； 各种生产方式每月的产量必须大于等于0； 每月的库存量不能小于0； 各种生产方式的月生产量不能大于其月生产能 力。
【例】 某移动通讯公司准备在一城市建立发射塔，该 城有4个地区，现有4个建塔位置，每个位置对各 地区的覆盖情况和费用如单元格区域 C2:G7 所示 （其中：1表示能覆盖该区域）。 （ 1 ）假设在每个位置都建塔，计算每个地区被 覆盖的次数和建塔总费用。 （ 2 ）用规划求解工具求解最优建塔位置（必须 确给保覆盖所有地区）和总费用的最小值。【发 射塔规划】
200
销地3 6 5
产地A 产地B
【例】 某农场主拥有两个农场，分别有 80 和 100 亩耕 地。他可用两个农场的全部耕地来种植玉米和小 麦。根据高层需求，他今年的生产指标是玉米 20000千克和小麦50000千克。两个农场的产量及 成本如下所示。该农场主应如何合理安排种植面 积。 【规划求解1】
P103
1、最优化问题分类 ▲根据有无约束条件可以分为： 有约束条件的最优化问题 即在资源限定的情况下求解最佳目标。 无约束条件的最优化问题 即在资源无限的情况下求解最佳目标。 ▲根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的 形式可分为： 线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是线性的。 非线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是非线性的。
最优化模型
在生产、经营和管理中，经常遇到求最大值和 最小值的问题，如经济订货量等，这些都属于最 优化问题。 最优化问题是运筹学的一个重要分支，根据其 形式又分为： 数学规划 动态规划 网络规划
一、最优化问题概述 最优化问题就是在给定的条件下寻找最佳方案 的问题。最佳的含义包括两个方面： 在资源给定时寻找最好的目标 在目标确定下使用最少的资源
最优化 PPT课件
22
LINGO软件的求解过程
1. 确定常数 2. 识别类型
LINGO预处理程序 LP QP NLP IP 全局优化(选)
分枝定界管理程序
ILP IQP INLP
线性优化求解程序 非线性优化求解程序
1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选)
并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司
机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线性模型.
解
设 x i 为第i 班应报到的人员( i =1,2,…,6)，则应配备
人员总数为：
6
Z xi
i1
按所需人数最少的要求，可得到线性模型如下：
6
min Z xi
i 1
26
x1 x 6 6 0
x1 x 2 7 0
容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵 C (cij ) ，C
被称为指派问题的系数矩阵。
13
2 指派问题（又称分配问题 Assignment Problem）
例 2 拟分配 n 人去干 n 项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第 i 人 去干第 j 项工作，需花费 cij 单位时间，问应如何分配工作才能使工人花
2010x272x1x210x1x28z1226单纯形法求解线性规划21其他22lingolingo模型的优点连续整数优化功能?运行速度较快?具有多点搜索全局优化功能提供了灵活的编程语言矩阵生成器可方便地输入模型提供与其他数据文件的接口如textexcelodbc数据库接口lindoapi可用于自主开发23lpqpnlpip全局优化选ilpiqpinlplingo预处理程序线性优化求解程序非线性优化求解程序分枝定界管理程序内点算法选1顺序线性规划法slp2广义既约梯度法grg集合段setsendsets数据段dataenddata初始段initendinit计算段calcendcalc90子模型submodelendsubmodel100lingo模型的构成
LINGO软件的求解过程
1. 确定常数 2. 识别类型
LINGO预处理程序 LP QP NLP IP 全局优化(选)
分枝定界管理程序
ILP IQP INLP
线性优化求解程序 非线性优化求解程序
1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选)
并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司
机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线性模型.
解
设 x i 为第i 班应报到的人员( i =1,2,…,6)，则应配备
人员总数为：
6
Z xi
i1
按所需人数最少的要求，可得到线性模型如下：
6
min Z xi
i 1
26
x1 x 6 6 0
x1 x 2 7 0
容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵 C (cij ) ，C
被称为指派问题的系数矩阵。
13
2 指派问题（又称分配问题 Assignment Problem）
例 2 拟分配 n 人去干 n 项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第 i 人 去干第 j 项工作，需花费 cij 单位时间，问应如何分配工作才能使工人花
2010x272x1x210x1x28z1226单纯形法求解线性规划21其他22lingolingo模型的优点连续整数优化功能?运行速度较快?具有多点搜索全局优化功能提供了灵活的编程语言矩阵生成器可方便地输入模型提供与其他数据文件的接口如textexcelodbc数据库接口lindoapi可用于自主开发23lpqpnlpip全局优化选ilpiqpinlplingo预处理程序线性优化求解程序非线性优化求解程序分枝定界管理程序内点算法选1顺序线性规划法slp2广义既约梯度法grg集合段setsendsets数据段dataenddata初始段initendinit计算段calcendcalc90子模型submodelendsubmodel100lingo模型的构成
《非线性最优化模型》课件
约束条件
限制问题解的可行性，满足特定约束。
问题形式
了解非线性最优化问题的常见形式和特点。
非线性最优化模型的求解方法
1
局部搜索算法
通过在解空间中进行局部搜索，找到可
全局优化算法
2
能的最优解。
采用不同策略搜索全局最优解，避免陷
入局部最优。
3
数值优化方法
运用数值计算方法求解非线性最优化问 题。
常用的非线性最优化算法
《非线性最优化模型》 PPT课件
非线性最优化模型的介绍
最优化问题的基本概念
问题定义
了解最优化问题的基本概念，包括最优解。
最优解
如何判断最优解，并确保其符合问题要求。
非线性最优化模型的定义
目标函数
描述问题的目标，对其进行优化。
变量
定义问题中需要优化的变量。
总结和要点
1 问题抽象
准确抽象非线性最优化问题。
3 应用实践
结合实际问题进行案例分析。
2 求解方法
灵活运用不同求解方法。
梯度下降法
基于梯度信息迭代寻找最优解。
遗传算法
借鉴进化理论的启发式搜索算法。
粒子群优化算法
基于群体行为的优化算法，模拟鸟群寻找食物。
模拟退火算法
模拟金属退火过程进行全局搜索。
应用案例分析
案例1 案例2 案例3 案例4
某电力系统的优化调度 交通网络的流量优化 生产计划的优化排程 金融投资组合的风险和收益优化
最优化模型
0 ≤ Q < 500 G0 (Q ) for C (Q ) = G1 (Q ) for 500 ≤ Q < 1000 G (Q ) for 1000 ≤ Q 2
G (400) = G0 (400) = 600 × 0.30 + 600 × 8 400 + 0.2 × 0.30 × 400 2 = $204.00
C(Q) c 1 = 0.29 c 0 = 0.30 c 2 = 0.28
500
1000
Q
按量折扣模型
一致折扣模式下的最优订货策略： 一致折扣模式下的最优订货策略：
针对各个折扣价格计算对应的ＥＯＱ值
Q (0 ) =
Q (1) =
Q (2 ) =
2 Kλ = Ic0
2 Kλ = Ic1
2 Kλ = Ic2
经济订货批量（ＥＯＱ）模型 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 （ＥＯＱ）
基本模型： 基本模型：
斜率 = λ 库存 I(t) I Q
T
时间 t
经济订货批量（ＥＯＱ）模型 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 （ＥＯＱ）
基本模型： 基本模型： 每一周期的进货成本
C (Q ) = K + cQ
平均库存量
Q 2
单位时间库存成本
(2 ) = Q
2 × 23 × 600 = 702 0.2 × 0.28
按量折扣模型
分段折扣模型： 分段折扣模型：
(0 ) 和 Q
(1) 均为有效值 因为 Q (2 ) < 1000 ，所以 Q (2 ) 均为有效值;因为 Q 为无效值。 为无效值。 最优解可通过比较 G0 Q (0 ) 和 G1 Q (1) 的大小而获得。 的大小而获得。
G (400) = G0 (400) = 600 × 0.30 + 600 × 8 400 + 0.2 × 0.30 × 400 2 = $204.00
C(Q) c 1 = 0.29 c 0 = 0.30 c 2 = 0.28
500
1000
Q
按量折扣模型
一致折扣模式下的最优订货策略： 一致折扣模式下的最优订货策略：
针对各个折扣价格计算对应的ＥＯＱ值
Q (0 ) =
Q (1) =
Q (2 ) =
2 Kλ = Ic0
2 Kλ = Ic1
2 Kλ = Ic2
经济订货批量（ＥＯＱ）模型 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 （ＥＯＱ）
基本模型： 基本模型：
斜率 = λ 库存 I(t) I Q
T
时间 t
经济订货批量（ＥＯＱ）模型 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 （ＥＯＱ）
基本模型： 基本模型： 每一周期的进货成本
C (Q ) = K + cQ
平均库存量
Q 2
单位时间库存成本
(2 ) = Q
2 × 23 × 600 = 702 0.2 × 0.28
按量折扣模型
分段折扣模型： 分段折扣模型：
(0 ) 和 Q
(1) 均为有效值 因为 Q (2 ) < 1000 ，所以 Q (2 ) 均为有效值;因为 Q 为无效值。 为无效值。 最优解可通过比较 G0 Q (0 ) 和 G1 Q (1) 的大小而获得。 的大小而获得。
最优化计算方法PPT课件
0.91
0.91
3 (x 5)2 ( y 3)2 18 (x 1)2 ( y 1)2
0.91
0.91
8 (x 3)2 ( y 1)2 6 (x 5)2 ( y 1)2 ] / 84
▪ 问题为在区域0=<x=<6, 0=<y=<6上求z=f(x,y)的 最小值。
•15
绘制目标函数图形
xnew=a+(b-a)*rand(1); ynew=c+(d-c)*rand(1); znew=subs(z,[x,y],[xnew,ynew]); if znew<zmin
xmin=xnew; ymin=ynew; zmin=znew; fprintf('%4.0f %1.6f %1.6f %1.6f\n', n, xmin, ymin, zmin); end end
•16
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200
20
15
10
5
5 0
5 0
-5
-5
y
x
•17
绘制等值线图
ezcontourf(z,[0 6 0 6])
colorbar, grid on
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200 6
据的统计分析给出：对离救火站r英里打来
的求救电话，需要的响应时间估计
为
。下图给出了从消3.防21管.7r0员.91 处得到
的从城区不同区域打来的求救电话频率的
估计数据。求新的消防站的最佳位置。
•13
数学建模～最优化模型(课件ppt)
用MATLAB解无约束优化问题 解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
x1 ≤ x ≤ x 2
常用格式如下： 常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) ） （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) ） （3）[x，fval]= fminbnd（…） ） ， （ （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） ） ， ， （ （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…） ） ， ， ， （ 其中等式（ ）、（ ）、（5）的右边可选用（ ） ）、（4）、（ 其中等式（3）、（ ）、（ ）的右边可选用（1）或（2） ） 的等式右边. 的等式右边 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 函数 的算法基于黄金分割法和二次插值法， 的算法基于黄金分割法和二次插值法 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解. 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解
有约束最优化问题的数学建模
有约束最优化模型一般具有以下形式： 有约束最优化模型一般具有以下形式：
min
x
f (x)
或
max
x
f (x)
st. ...... .
st. ...... .
其中f(x)为目标函数，省略号表示约束式子，可以是 为目标函数，省略号表示约束式子， 其中 为目标函数 等式约束，也可以是不等式约束。 等式约束，也可以是不等式约束。
标准型为： 标准型为：min F ( X ) 命令格式为: 命令格式为 ）；或 （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） ） （ （ （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； ） （ ）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （ ） （3）[x，fval]= fminunc（...）； ） ， （ ）； 或[x，fval]= fminsearch（...） ， （ ） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）； ） ， ， （ ）； 或[x，fval，exitflag]= fminsearch ， ， （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）； ） ， ， ， （ ）； 或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...） ， ， ， （ ）
《最优化理论》课件
递归法
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
第八讲网络最优化模型【共61张PPT】
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
求解最短路问题实际上就是找一条总长度最短的路 线，对于这样的最短路问题，可以建立0-1整数规划数学
模型求解（如下图）。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
为简化求解过程，可以建立专门的最短路求解模型 ，用计算机求解：可以将图中各条边和每条边是的权数 直接录入到求解模型中，直接得到结果。因此可以称下 图就是一个最短路问题的数学表述模型。
条路，使两点间的总距离为最短。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
例8.1 如下图所示，某人每天从住处S开车到工作地T上
班，图中各弧旁的数字表示道路的长度（千米），试问 他从家出发到工作地，应选择哪条路线，才能使路上行 驶的总距离最短？
第八讲 网络最优化模型
最短路模型的基本特征
最短路模型
1、在网络中选择一条路，始于发点（源点）,终于收点（目的
条道路及道路维修。工期和所需劳动力见下表。该公司共 有劳动力120人，任一工程在一个月内的劳动力投入不能超 过80人，问公司应如何分配劳动力以完成所有工程，是否能按
期完成？
工程 A．地下通道 B．人行天桥 C．新建道路 D．道路维修
工期和所需劳动力
工期 5～7月 6～7月 5～8月
8月
需要劳动力（人） 100 80 200 80
赵●
(v1)
e1
e3
钱● (v2)
●孙 (v3) e4
●李 (v4)
第八讲 网络最优化模型
基本概念
图
7、 回路 始点和终点重合的路叫做回路。上图中（v3，v5，v6
，v7，v4 ，v3）就是一条回路。
第7章 最优化模型
50 25 10 20 30 40 50 0
第三节 非线性规划
非线性规划的一般形式
Max : y = f (x1, x2 ,…, xn ) St : s1 (x1, x2 ,…,xn ) >= 0 s2 ( x1, x2 ,…,xn ) >= 0
sm ( x1, x2 ,…,xn ) >= 0
……
可行区
20 10 0
44 52 20 28 12 24 16 32 36 40 48 56 60 0 4 8
0
10
20
30
40
50
60
线性规划（ 第二节 线性规划（续）
80 70 60 50 40 30 利润=11800
利润 原材料 用电量 工时
Max : y = 200x1 + 210x2
St : 3x1 + 7x2 ≤ 300
9x1 + 4x2 ≤ 420
x1 , x2 ≥ 0
非线性规划（ 第三节 非线性规划（续）
建立Excel模型
B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
工时 用电量 原材料 产量 a b 单价 收益 单位变动成本 变动成本 总固定成本 总利润
C
产品1 3 4 9 1.00 3000 -50 2950.00 2950.00 528.00 528.00 10000.00 -4738.00
绘制总利润的三维曲面图形和俯视图形
非线性规划（ 第三节 非线性规划（续）
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 0 5 10 10 15 20 20 25 30 30 35 40 40 45 50 45 40 35 30 25 20 15
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第一节 最优化问题概述
管理活动中，经常遇到求最大值、最小值的问题
比如确定使利润最大的商品定价问题 使运输费用最小的多个仓库向多个商店送货的安排问题
等
最优化问题是运筹学的一个重要分支
第一节 最优化问题概述
最优化问题定义
最优化问题就是在给定条件下寻找最佳 方案的问题
即在资源给定时，寻找最好的目标；或在目标确定下， 使用最少的资源。
垄断商品最优定价问题
【例7-1】某公司生产和销售一种垄断产品，固定成 本F=500元。单位变动成本v=10元，销量Q与单价p 之间的关系为：
Q 160 0.79 p
问该公司怎样定价，所获得的利润最大?
垄断商品最优定价问题（续）
Q a bp
RC
pQ F vQ pa bp F va bp
垄断商品最优定价问题（续）
进一步分析
垄断商品利润随单价的变化图形
单价=30元时，利润=2226元
利润 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000
0 -1000 10
2226.00 30 50 70
单位变动成本=10元时，最优单价=106.27元 6821.02
单价 90 110 130 150 170 190
垄断商品最优定价问题（续）
进一步分析
8000
利润随单价和单位变动成本变化图形 单位变动成本=24元时，最优单价=113.27元
7000
6000
5795.03
5000
4000
3000
2000
1000
0 -1000 0
40
80
120
160
200
第二节 线性规划
无约束条件的最优化问题 在资源无限的情况下求解最佳目标。
有约束条件的最优化问题 在资源限定的情况下求解最佳目标。 大部分管理问题都是有约束的最优化问题。
第一节 最优化问题概述（续）
最优化问题分类
根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式
线性规划问题 决策变量在目标函数与约束条件中只出现1次方的形式，即目 标函数和约束条件函数都是线性的
21
22
C
DE F
500
0
10
10
160
20
-0.79
30
30
40
136.3
50
1863
60
4089
70
2226
80
90
110
100
6810
110
120
100
130
10
140
150
160
170
180
190
200
G 2226 -2100 -500 942 2226 3352 4320 5130 5782 6276 6612 6790 6810 6672 6376 5922 5310 4540 3612 2526 1282 -120
非线性规划问题 如果决策变量在目标函数或者约束条件中出现了1次方以外（2 次方、3次方、指数、对数、三角函数等）的形式，即目标函 数或者约束条件函数是非线性的
二次规划问题 只出现2次函数形式的问题为二次规划问题
第一节 最优化问题概述（续）
最优化问题分类
根据决策变量是否要求取整数
整数规划问题 决策变量只能取整数
106.27 6821.02
垄断商品最优定价问题（续）
垄断商品最优定价问题（续）
A
B
1
2 固定成本
3 单位变动成本 4 单价截距 (a)
5 单价斜率 (b)
6 单价
7 销售数量 8 总成本
9 销售收益
10 利润
11 12 最优单价
13 利润极大值
14
15 初始最优单价 16 步长
17
18
19
20
7 单价 (p)
8 销售数量 (Q) 9 总成本 (C) 10 销售收益 (R) 11 利润 (π )
12
13 最优单价 (popt) 14 利润极大值 (π max)
15
C
D
单位：元 500.00 10.00 160 -0.79 30.00 136.30
1863.00 4089.00 2226.00
第七章 最优化模型
上海财经大学 信息管理与工程学院
内容简介
基础篇
最优化问题的概念与分类 最优化问题的求解方法
公式法求解、规划求解工具求解 、查表法求解
线性规划问题 非线性规划问题 常见规划问题
提高篇
多目标规划问题 最优投资组合模型 规划求解报告的生成与分析 非线性规划问题最优解
0-1规划问题
任意规划问题 决策变量可以取任意值
第一节 最优化问题概述（续）
最优化问题的数学模型
Max : y f x1, x2,, xn
St : s1x1, x2,,xn 0
s2 x1, x2 ,,xn 0
……
sm x1, x2 ,,xn 0
线性1 a2 x2 an xn b
最佳的含义有各种各样：成本最小、收益最大、利润最多、距离 最短、时间最少、空间最小等。
如，两种产品的生产受到原材料、工作时间和机床使用时间的限 制，如何确定两种产品的产量，使两种产品的利润最大。
生产、经营和管理中几乎所有问题都可以认为是最优 化问题。
第一节 最优化问题概述（续）
最优化问题分类
根据有无约束条件
bp2 a bvp F va
d 2bp a bv 0
dp
最优单价：popt
bv 2b
a
利润极大值： max
(bv a)2
4b
F
av
垄断商品最优定价问题（续）
A
B
1
2
3 固定成本 (F) 4 单位变动成本 (v) 5 单价截距 (a) 6 单价斜率 (b)
第一节 最优化问题概述（续）
最优化问题的求解方法
公式法 用规划求解工具求解 用查表法求解
第一节 最优化问题概述（续）
最优化问题的求解方法比较
公式法：适用于可以直接推导出公式的最优化问题 规划求解工具：操作简单，求解最多200个决策变量的
规划问题，可以达到很高的精度，对于线性规划问题可 以找到全局最优解。当模型中其他参数发生变化时，规 划求解工具不能自动计算出新的最优解。 查表法：求解2个决策变量的规划问题，可以达到较高 的精度，查表法与图表相结合有助于找到全局最优解， 当模型中其他参数发生变化时，可以直接把新的最优解 计算出来。