专题解三角形与不等式最值和范围问题的结合高考数学(理)备考之百强校大题狂练
解三角形重点题型二：解三角形中的最值与范围问题- 高考数学一轮复习重点题型讲义
重点题型二：解三角形中的最值与范围问题【问题分析】解三角形中的最值与范围问题是常考题型，经常出现解三角形题中解答题的第（2）问，此题型属于中等偏上题，稍微有点难度，考察学生问题分析能力及转化能力。
解决此类题型经常利用数形结合的思想与方法，对动点进行分析，建立有关的不等式及函数很容易找到最值点. 【解题策略】【题型分析】我们知道已知三角形的三个元素（除三个角外），可以得到确定的解（无解、一解或两解），那么当已知三角形的两个元素（除两个角外，因为两个角与三个角情况是一样的）时，这个三角形将是不确定的，变化的.这就涉及到了三角形的某个角，某个边及三角形的面积在一定范围的变化，通过研究不同情况下的变化规律，我们可以得到角、边、面积的变化范围或最值. 类型一：已知三角形△ABC 两边，解三角形.假设已知边a ，b ，且a ≥b ，如图所示，以C 为圆心，b 为半径做圆，则点A 在圆⊙C 上且不与B 、C 共线.从图中，易知当BA 与圆⊙C 相切时，角B 取得最大值，此时sinB =ba ,可得sinB ∈(0,ba ].同时，由图可得出角C ∈(0,π), 角A ∈(0,π)，边c ∈(a −b,a +b).当AC ⊥BC 时，三角形△ABC 面积最大，S max =12ab ,所以三角形△ABC 的面积S ∈(0,12ab]. 类型二：已知三角形△ABC 一边及其一边的对角，解三角形最值与范围代数几何函数基本不等式 （单边最值）动点轨迹曲线方程1一）几何图形分析法假设已知边a 及其对角A ，由正弦定理推论可以得出asinA=2R 所以点A 在以R 为半径的圆上，边a 是圆的一条弦，如右图所示，点A 在圆上运动时，我们可以得到角C ∈(0,π−A), B ∈(0,π−A)，边c ∈(0,2R ],b ∈(0,2R ]. 当AB =AC 时，可得到三角形面积的最大值S max =a 24tan A 2，进而可得三角形面积范围为S ∈(0,a 24tan A2].以上是通过几何图形动态分析得出的结论，我们也可以通过代数的方法（构造函数或利用基本不等式）进行分析: 二）构造函数法： 由正弦定理a sinA =b sinB =csinC得b =asinB sinA ,c =asinCsinA所以三角形面积S =12bcsinA =12∙asinB sinA ∙asinC sinA ∙sinA =a 22sinA∙sinBsinC又有A +B +C =π,所以sinB =sin (A +C) 所以S =a 22sinA ∙sin (A +C )sinC =a 22sinA ∙cosA−cos (A+2C)2（注：此步骤利用了和差化积积化和差公式）=a 22sinA ∙(cosA 2−cos (A+2C )2)=a 24sinA ∙(−cos (A +2C )+cosA)所以当cos (A +2C )=−1，即A +2C =π时，三角形面积取得最大值，最大值为S max =a 24sinA ∙(1+cosA)=a 24tan A 2.又C ∈(0,π−A)，所以三角形的面积S ∈(0,a 24tan A2]同时，我们也可以得出三角形的周长:l =a +b +c =2R (sinA +sinB +sinC )=a +2R(sinB +sinC)=a +2R (sin (A +C )+sinC ) =a +2R ∙2sin A+2C 2cos A2 （注：此步骤利用了和差化积，积化和差公式）所以当sinA+2C 2=1，即A +2C =π,即B =C 时，周长最大值为l max =a +4Rcos A 2=a(1+1sin A2).所以三角形周长l ∈(2a,a(1+1sin A2)]三）构造基本不等式法：由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bc ∙cosA ≥2bc(1−cosA) (当b =c 时等号成立)所以bc≤a22(1−cosA)所以，三角形的面积S=12bcsinA≤12∙a22(1−cosA)∙sinA=a2sinA4(1−cosA)=a24tanA2故当b=c，三角形△ABC的面积最大值为S max=a24tan A2. 同时三角形的周长:l=a+b+c由余弦定理得a2=b2+c2−2bc∙cosA=(b+c)2−2bc(1+cosA)≥(b+c)2−(b+c)22∙(1+cosA)(当b=c时等号成立) 所以2a2≥(b+c)2(1−cosA)所以b+c≤a sinA2所以l=a+b+c≤a(1+1 sinA2)三角形△ABC周长最大值为l max=a(1+1sin A2)综上所述，已知三角形△ABC一边a及其一边的对角A，可得：①三角形中角C∈(0,π−A), B∈(0,π−A)②边c∈(0,2R],b∈(0,2R].（其中2R=asinA）③三角形的面积S∈(0,a 24tan A2]④三角形周长l∈(2a,a(1+1sin A2)]当b=c或B=C时，三角形的面积与周长取得最大值，分别为S max=a24tan A2，l max=a(1+1sin A2).类型三：已知三角形△ABC一边及其一边的邻角，解三角形2假设已知三角形△ABC边c及其角A，如右图所示.我们这里只考虑角A为锐角的情况，若角A是钝角或者是直角时可以参照分析即可.由右图易知：①当点C在线段DE上（不含端点）时，△ABC为锐角三角形，此时易知：B∈(π2−A,π2),C∈(π2−A,π2), b∈(ccosA,ccosA),a∈(csinA,ctanA)所以△ABC的面积S=12bcsinA∈(c2sin2A4,c2tanA2).②当C在点D或点E时，△ABC为直角三角形.b=ccosA或ccosA ，a=csinA或ctanA，S=c2sin2A4或c2tanA2③当C在线段AD或射线EF上时，△ABC为钝角三角形.B∈(0,π2−A)∪(π2,π−A),C∈(π2,π−A)∪(0,π2),b∈(0,ccosA)∪(ccosA,+∞),a∈(csinA,c)∪(ctanA,+∞)所以△ABC的面积S=12bcsinA∈(0,c2sin2A4)∪(c2tanA2,+∞).类型四：已知三角形△ABC一边及另外两边之间的关系，解三角形.假设已知边c和a,b之间的关系，如右图所示：我们常见的两边之间的关系有：①a+b=定值>c ----------点C的轨迹为椭圆②b−a=定值<c ----------点C的轨迹为双曲线一支③a2+b2=定值=c2----------点C的轨迹为圆(除A,B两点)④ab=定值≠1或a=λb, λ为定值且λ≠1----------点C的轨迹为圆（阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆）.【典例赏析】例1：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,BD=2DC,BC=6，求ΔABC的面积的最大值.试题分析：思路一：代数法，根据角平分定理可以得出AB与AC的比值是一个定值，BC也是一个定值，由三角形三边，可以求出三角形面积（可以利用海伦公式，也可以利用角的余弦表示）关于边的表达式，进而求出面积的最值.思路二：由AB与AC的比值是一个定值，BC是固定值，所以点A的轨迹是一个圆（阿氏圆，除去与直线BC的两个交点）34解析:方法一：构造函数（构造一个关于边函数） 如图，设设AC =x ，则由正弦定理可得 BDsin ∠BAD=ABsin ∠ADB ①，CDsin ∠CAD =ACsin ∠ADC ②，又∠ADB +∠ADC =π，所以sin ∠ADB =sin ∠ADC ， ①②式联立可得ABAC =21(由角平分线定理可直接得出)， 则AB =2x ，则S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC =x 2⋅sin ∠BAC ， 对△ABC ，由余弦定理可得cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=5x 2−364x 2，则S 2=x 4⋅sin 2∠BAC =x 4⋅(1−cos 2∠BAC )=x 4−25x 4−360x 2+36216=−116(9x 4−360x 2+362)=−916(x 4−40x 2+144)=−916[(x 2−20)2−256]，当x 2=20时，S 2有最大值，(S 2)max =144，所以S max =12方法二：几何法（点A 的轨迹是一个圆）以点B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角 坐标系，如右图所示，则B (−3,0),C(3,0),设点A (x,y ),y ≠0 由题意得AB =2AC ，所以AB 2=4AC 2 所以(x +3)2+y 2=4[(x −3)2+y 2] 整理得3x 2+3y 2−30x +27=0即x 2+y 2−10x +9=0⇔(x −5)2+y 2=16 所以点A 在以(5,0)为圆心，半径为4得圆上. 所以三角形ABC 面积最大值为S max =12×6×4=12 思考：方法一与方法二那个方法更好呢？例2：在△ABC 中，∠BAC =60∘，BC =3，且有CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则线段AD 长的最大值为（ ） A ．√132B ．2C ．√3+1D ．2√35试题分析：思路一:已知一边及其一边得对角，D 为底边BC 的三等分点，可以用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,再结合正余弦定理，容易建立CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于某角的函数，进而求出线段AD 长的最大与最小.思路二: 已知一边及其一边得对角，所以点A 在一个半径为√3的圆上远动，BC 为圆上的一条弦，通过几何分析很容易找出AD 长的最大与最小. 解析：方法一：在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 由正弦定理可得b sin B =c sin C =3sin π3=2√3，则b =2√3sin B ，c =2√3sin C ，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=19(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=19(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=19(b 2+4c 2+4cb cos π3) 所以，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2√3sin 2B +4 ∵0<B <2π3，则0<2B <4π3，当2B =π2时，即当B =π4时，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最大值， 即|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |max=√4+2√3=√3+1.方法二：由正弦定理得asinA =3sin π3=2R =2√3所以点A 在一个半径为√3的圆上，BC 为圆上的一条弦，如右图所示 易得AO =√3,BD =1,DC =2, 又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC =2π3,所以|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 又|AO⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |(当A 、O 、D 三点共线是等号成立) 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√3+1，故|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |max=√3+1 例3：已知锐角三角形ABC 内接于单位圆，且BC =√2，求△ABC 面积的最大值. 试题分析：思路一：三角形内接于单位圆，BC =√2为定值，所以点A 到BC 距离最大时，△ABC 的面积最大，根据图形很容易找到A 到BC 距离最大值，△ABC 面积的最大值即单位圆半径于圆心到BC 的距离之和.6思路二：求单边最值，可以利用基本不等式.由题意边a 与角A 容易求出，求面积最值即是求b ∙c 最值即可，由余弦定理即可得到b 与c 的关系，进而求出b ∙c 最值. 解析：方法一：如图，设圆O 的半径为1，因为BC =√2，所以△BOC 是直角三角形，即∠BOC =90°，所以角∠BAC =45°，所以O 到BC 的距离为√22，所以A 到BC 距离最大值为√22+1所以△ABC 面积的最大值为12×√2×(√22+1)=√2+12方法二：由正弦定理得asinA =2,所以sinA =√22,所以A =π4由余弦定理可知BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC cos π4由基本不等式可知2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC cos π4≥(2−√2)AB ⋅AC ，当且仅当AB =AC 时，取等号；所以AB ⋅AC ≤22−√2=2+√2，又S △ABC =12AB ⋅AC sin ∠BAC =√24AB ⋅AC ≤√24×(2+√2)=√2+12.所以△ABC 的面积的最大值为√2+12例3：在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，且满足b =a cos C +√33c sin A .（1）求角A 的大小；（2）若边长a =2，求ΔABC 面积的最大值.试题分析：①由b =a cos C +√33c sin A ，根据正弦定理进行边角互化，再有sinB =sin (A +C ),化简即可求出角A .②由①知角A ，由已知边a ，所以是已知一边及其一边对角的情况，所以参考上面类型二进行解决.解析:①由b =acosC +√33csinA 及正弦定理得，sinB =sinAcosC +√33sinCsinA,即sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC =sinAcosC +√33sinCsinA ，整理得cosAsinC =√33sinCsinA ，∵sinC ≠0，∴cosA =√33sinA ，∴tanA =√3，又0<A <π，∴A =π3．②在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，即4=b2+c2−2bccosπ3=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，∴bc≤4．∴SΔABC=12bcsinAA=√34bc≤√3．∴△ABC面积的最大值为√3．例4：设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3．①若c=2，a=2√3，求b；②求sin B+sin C的取值范围．试题分析：①已知两边及一角，求第三边，直接利用余弦定理即可解决.②已知角A=π3，所以B+C=2π3,由B+C的关系可以将sin B+sin C转换为只含有一个角B或角C，再根据三角函数性质即可解决. 解析：①∵a2=b2+c2−2bc cos A，∴12=b2+4−2×2×b×12．∴b2−2b−8=0，∴4b ．②∵A=π3，∴B+C=2π3，C=2π3−B．∴sin B+sin C=sin B+sin(2π3−B)=32sin B+√32cos B=√3sin(B+π6)，又∵0<B<2π3，12<sin(B+π6)≤1．∴sin B+sin C的取值范围是(√32,√3]例5：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a−c)(ainA+sinC)−sinB(a−b)=0．①求C；②若S△ABC=2√3，D为边AB的中点，求CD的最小值．解析：①△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a−c)(sin A+sin C)+(b−a)sin B=0．利用正弦定理得：(a−c)(a+c)+(b−a)b=0，78整理得：a 2−c 2+b 2−ab =0，即cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，由于0<C <π，所以：C =π3．②因为△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =√34ab =2√3，解得ab =8；在△ABC 中，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,两边同平方得： |CD⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14a 2+14b 2+14ab ⩾14×2ab +14ab =34ab =6， 当且仅当a =b =2√2时，等号成立， 所以CD ⩾√6，即CD 的最小值为√6．例6：已知ΔABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b 2=c 2+ac ， ①求证：B =2C ；②若ΔABC 是锐角三角形，求ac 的取值范围.解析：①由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2−2accosB ， ∵b 2=c 2+ac ，∴c 2+ac =a 2+c 2−2ac ⋅cos B ， ∴a 2=ac +2ac ⋅cos B ，即a =c +2c ⋅cos B ， ∴利用正弦定理可得：sin A =sin C +2sin C cos B ，即sin(B +C)=sin B cos C +sin C cos B =sin C +2sin C cos B ， ∴sin B cos C =sin C +sin C cos B ， 可得：sin(B −C)=sin C ，∴可得：B −C =C ，或B −C +C =π（舍去），∴B =2C . ②∵a c=sin A sin C =sin(B+C)sin C=sin(2C+C)sin C=2cos 2C +cos 2C =2cos 2C +1∵A +B +C =π，A 、B 、C 均为锐角，由于：3C +A =π， ∴0<2C <π2，0<C <π4. 再根据π2<3C ，可得π6<C ，∴π6<C <π4，∴a c∈(1,2)例7：在△ABC 中，2B =A +C .①当AC=12时，求S△ABC的最大值；②当S△ABC=4√3时，求△ABC周长的最小值.解析：①由题意，B=60°，b=12，∴由余弦定理可得122=a2+c2−2ac cos60°≥ac，∴ac≤144，∴S△ABC=12ac sin B≤36√3，∴S△ABC的最大值为36√3；②S△ABC=4√3=12ac×√32，∴ac=16，又b2=a2+c2−2ac cos60°=(a+c)2−48，b2=a2+c2−2ac cos60°≥ac，∴a+c=√b2+48，4b∴△ABC周长为a+b+c≥8+4=12当且仅当a=b=c时，△ABC周长的最小值为12.910。
高中数学复习提升专题03 解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题03 解三角形中的最值、范围问题高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕解三角形中的最值、范围问题精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.【热点难点突破】例1.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.例2.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.详解：，，即，，则，为钝角，，，故.例3.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.（1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）当为正三角形时，周长的最大值为6.【解析】（1）由正弦定理，得，再结合，得，解得，由为锐角三角形，得.（2）由、及余弦定理，得，即，结合，得，解得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），故当为正三角形时，周长的最大值为6.例4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a =，242cos sin 25B C A ++=. （1）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，求b 的取值范围； （2）当ABC ∆的周长取最大值时，求b 的值. 【答案】（1）10(0,2]{}3；（210【解析】 （1）2442cossin 1cos()sin 255B C A B C A ++=⇒+++=，即1sin cos 5A A -=-， 又∵0A π<<，且22sin cos 1A A +=，有3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，若满足条件的ABC ∆有且只有一个，则有sin a b A =或a b ≥，则b 的取值范围为10(0,2]{}3；（2）设ABC ∆的周长为l ，由正弦定理得 10(sin sin )2[sin sin()]sin 3a l abc a B C B A B A =++=++=+++102(sin sin cos cos sin )22(3sin cos )2210)3B A B A B B B B θ=+++=++=++， 其中θ为锐角，且10sin 10310cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，max 2210l =+10cos B =，310sin B = 此时sin 10sin ab B A==例5. 【2016年北京卷】在∆ABC 中，2222+=a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（22cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）1. 【解析】（1）由余弦定理及题设得22222cos 222a cb ac B ac ac +-===，又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=， 32cos 2cos()4A C A A π+=+-22222A A A =-+ 22cos()4A A A π==-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=2cos A C +取得最大值1.例6. 如图，有一码头P 和三个岛屿,,A B C ， 303,90mi ,30PC mile PB n le AB n mile ===，0120PCB ∠=， 090ABC ∠=.（1）求,B C 两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P .问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.【答案】（1）3mile （2）(30603307n mile +【解析】（1）在PBC ∆中， 090,3,120PB PC PCB ==∠=，由正弦定理得，sin sin PB PCPCB PBC=∠∠，即0903sin120sin PBC =∠， 解得1sin 2PBC ∠=， 又因为在PBC ∆中， 00060PBC <∠<，所以030PBC ∠=， 所以030BPC ∠=，从而303BC PC == 即,B C 两个岛屿间的距离为3mile ；（2）因为090,30ABC PBC ∠=∠=，所以000903060PBA ABC PBC ∠=∠-∠=-=， 在PAB ∆中， 90,30PB AB ==，由余弦定理得，2202212?cos609030290303072PA PB AB PB AB =+-=+-⨯⨯⨯= 根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”，其航程为3073030330330603307S PA AB BC CP =+++=+=+所以应按航线“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”航行， 其航程为(30603307n mile +. 【方法总结】1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解4．在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B ⇔a ＞b .5.已知三边(a b c 如、、），由余弦定理求A B 、，再由180A B C ++=求角C ，在有解时只有一解. 已知两边和夹角(a b C 如、、），余弦定理求出对对边.5．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．【精选精练】1. ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,，满足1≥+++ba cc a b ，则角A 的范围是（ ） A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ 【答案】A 【解析】由1≥+++ba cc a b ，得()()()()b a c a c a c b a b ++≥+++，整理得bc a c b ≥-+222，由余弦定理得2122cos 222≥≥-+=bc bc bc a c b A ，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴3,0πA . 2.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒， BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A. 312⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭米 B. 2米 C. (13米 D. (23+米 【答案】D【解析】由题意设(1)BC x x =>米， (0)AC t t =>米，依题设0.50.5AB AC t =-=-米，在ABC 中，由余弦定理得： 22202cos60AB AC BC ACBC =+-，即()2220.5t t x tx -=+-，化简并整理得：20.25(1)1x t x x -=>-，即0.75121t x x =-++-，因1x >，故0.7512231t x x =-++≥+-312x =+时取等号），此时t 取最小值23，应选答案D 3.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足222b c a bc +-=，0AB BC >，3a = 则b+c 的取值范围是（ ） A. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】由222b c a bc +-=得：2221cos 22b c a A bc +-==，则A=3π，由0AB BC >可知：B 为钝角， 21sin aR A==，则sin ,sin b B c C ==，sin sin sin b c B C B +=+=+2sin(3π)B -33=sin cos 3sin()226B B B π+=+，由于223B ππ<<，25366B πππ<+<，所以13sin()23B π<+<332b c <+<，选B 4.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++，3a S 为ABC ∆的面积，则3cos S B C 的最大值为（ ）（A ）1 （B 31+ （C 3 （D ）3 【答案】C【解析】∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=，设ABC ∆外接圆的半径为R ，则3222sin sin 3a R A π===，∴1R =， ∴133cos sin 3cos 3cos 2S B C bc A B C B C ==+ 3sin 3cos 3)B C B C B C =+=-，故3cos S B C 3C ．5.已知,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，其面积满足214ABC S a ∆=，则cb的最大值为（ ） A.21 B. 2 C. 21 D. 22+【答案】C【解析】根据题意，有211sin 42ABC S a bc A ∆==，应用余弦定理，可得222cos 2sin b c bc A bc A +-=，于是212cos 2sin t t A t A +-=，其中c t b =．于是22sin 2cos 1t A t A t +=+，所以122sin 4A t t π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，从而122t t+≤，解得t 21．选C.6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为32S =，则ab 的最小值为__________． 【答案】12【解析】由正弦定理可得()2sin cos 2sin sin 2sin sin C B A B B C B =+=++，即2sin cos 2sin cos 2sin cos sin C B B C C B B =++，∴2sin cos sin 0B C B +=，∴1cos 2C =-， 23C π=，由133sin 2S ab C =⋅==，∴12c ab =，再由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅，整理可得2222134a b a b ab ab =++≥，当且仅当a b =时，取等号，∴12ab ≥故答案为12. 7.在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】626+2）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF =62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.8. 在中，内角的对边分别为，且满足，为锐角，则的取值范围为__________． 【答案】【解析】分 由结合正弦定理可得：，且，为锐角，则：，即，据此有：，，，，即，，据此可得：，则的取值范围为.9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A m cos ,cos =，()b c a n -=2,，且n m //．（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）3π；（2）34． 【解析】 n m //，所以()0cos 2cos =--A b c B a ，由正弦定理得-B A cos sin ()0cos sin sin 2=-A B C ，A C AB B A cos sin 2cos sin cos sin =+∴()A C B A cos sin 2sin =+∴，由π=++C B A ，A C C cos sin 2sin =∴由于π<<C 0，因此0sin >C ，所以21cos =A ，由于π<<A 0，3π=∴A （2）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622，因此16≤bc ，当且仅当4==c b 时，等号成立；因此ABC ∆面积34sin 21≤=A bc S ，因此ABC ∆面积的最大值34． 10. 已知3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f B =，且3b =2ca -的取值范围. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）33⎛ ⎝ 【解析】试题分析： （1）3x π=是函数()f x 的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质，即可求出单调性；（2）()2f B = 可得3B π=，又3b =由正弦定理得： 2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由230,3sin 3362A A ππ⎛⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即可求出结果. 试题解析： （1）3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭⇒增区间： (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()2f B = sin 2163B B ππ⎛⎫⇒-=⇒= ⎪⎝⎭ 又3b =2sin ,2sin 2sin 3a A c C A π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫⇒-=-- ⎪⎝⎭ 210,,sin ,1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33sin 36A π⎛⎛⎫⇒-∈ ⎪ ⎝⎭⎝，即332c a ⎛⇒-∈ ⎝ 11. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值； （2）若3b =b a ≤，求a 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) )3,3a ∈.【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 044B A B B ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭化简得3sin 2A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 3A π=. （2）∵3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<， 63B ππ<≤由正弦定理得： sin sin a b A B =即： 3sin 32a B =，即32sin a B =由13sin ,22B ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦知)3,3a ⎡∈⎣. 12. 如图，是两个小区所在地，到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对的张角与对的张角相等，试确定点的位置；（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对所张角最大，试确定点的位置.【答案】（1）4；（2）. 【解析】试题分析：(1)利用张角相等的相似性即可确定点P 的位置；(2)由题意得到三角函数，换元之后结合对勾函数的性质可得当时满足题意. 试题解析：（1）张角相等，∴，∴ (2)设，∴， ∴，， ，设，，，， ∴，，当且仅当时，等号成立，此时，即。
2025高考数学必刷题 第34讲、三角形中最值与范围(学生版)
第34讲三角形中最值与范围知识梳理1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：（1）求角的最值；（2）求边和周长的最值及范围；（3）求面积的最值和范围．必考题型全归纳题型一：周长问题例1．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）记ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()222cos cos a b c a B b A abc +-+=．(1)求C ；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 周长范围．例2．（2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC 中，a =，(2)cos cos b c A a C -=，（1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围.例3．（2024·全国·高三专题练习）在①2S AC ⋅ ；②22cos 1cos 22B C A +=+；③sin cos c C c A -；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C ，的对边分别是a 、b 、c ，且______(1)求角A 的大小；(2)若a ABC 周长的范围．变式1．（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c b a B b A -=-.(1)求角A 的大小；(2)若1a =，求ABC 周长的范围.变式2．（2024·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-．(1)求角A 的大小；(2)求ABC 周长的范围．题型二：面积问题例4．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2sin m x = ，()cos ,cos 2n x x = ，()f x m n =⋅ ，()0f B C +=．(1)求角A 的值；(2)若1b =，求ABC 面积的范围．例5．（2024·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形ABCD 内种植了两种花卉，其中ABD △区域内种植兰花，BCD △区域内种植丁香花，对角线BD 是一条观赏小道．测量可知边界60m AB =，20m BC =，40m AD CD ==．（1）求观赏小道BD 的长及种植区域ABCD 的面积；（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC ，CD 不能变更，而边界AB ，AD 可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD 上设计一点P ，使得种植区域改造后的新区域（四边形PBCD ）的面积最大，并求出这个面积的最大值．例6．（2024·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a ＝2，②a ＝b ＝2，③b ＝c ＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC 的面积的值（或最大值）．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：2224S b c a =+-，且______，求△ABC 的面积的值（或最大值）．变式3．（2024·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3km OA =，OB =，90AOB ∠=︒．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 均不与AB 重合，M 在A ，N 之间），且30MON ∠=︒．(1)若M 在距离A 点1km 处，求点M ，N 之间的距离；(2)设BON θ∠=，①求出OMN 的面积S 关于θ的表达式；②为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小，试确定θ的值，使OMN 得面积最小，并求出这个最小面积．变式4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，,32ABC S BA BC BC =⋅= ．（1）D 为线段BC 上一点，且2,1CD BD AD ==，求AC 长度；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的范围．变式5．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，且sin cos a B b A=.（1）若a =，2b =，求c 的大小；（2）若2b =，且C 是钝角，求ABC 面积的大小范围.题型三：长度问题例7．（2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角ABC 内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.若()sin sin sin b B c C b a A -=-.(1)求C ；(2)若c =a b -的范围.例8．（2024·福建莆田·高三校考期中）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =()()222sin 2sin Bc a C b c ab-=+-(1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．例9．（2024·重庆江北·高三校考阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且22cos cos 22C A a c ⎫⎛+ ⎪⎝⎭3()2a c b ac +-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =，(0)c x x =>，当ABC 仅有一解时，写出x 的范围，并求a c -的取值范围.变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件；4a =，222sin sin sin sin sin A B C B C +=+．（I ）求角A 的值；（Ⅱ）求2b c -的范围．变式7．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.变式8．（2024·山西运城·统考模拟预测）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.（1）求证：sin()sin sin A B a b A B c--=+；（2）若ABC 是锐角三角形，,23A B a b π-=-=，求c 的范围.变式9．（2024·安徽亳州·高三统考期末）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角A 的大小；（2）设H 为ABC ∆的垂心，且1AH =，求BH CH +的范围.题型四：转化为角范围问题例10．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明；(2)若a b ¹，求sin sin sin A B C ++的取值范围．例12．（2024·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A B A B--=．(1)判断ABC 的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；(2)求22245a b c +的最小值．变式10．（2024·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ ；(1)若cos cos A B b a=，判断ABC 的形状并说明理由；(2)若ABC 是锐角三角形，求cos C 的取值范围.变式11．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知1,a b ==(1)若π4B ∠=，求角A 的大小；(2)求πcos cos 6A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.变式12．（2024·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，2222sin()6b c a bc A π+-=+．（1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C ⋅的取值范围．变式13．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A++-的取值范围为（）A ．()B ．()8,9C ．4,93⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()4,9题型五：倍角问题例13．（2024·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．(1)证明：2A B =；(2)若1b =，求a 的取值范围；(3)若ABC 的三边边长为连续的正整数，求ABC 的面积．例14．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2A B =，且A 为锐角，则1cos c b A +的最小值为（）A ．1+B ．3C ．2D ．4例15．（2024·全国·高三专题练习）锐角ABC 的角A B C ，，所对的边为a b c ，，，2A B =，则a b的范围是_________．变式14．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为5，若()222sin S A C b a +=-，则tan A 的取值范围为______．变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，则22ac b ab+的取值范围为__________．变式16．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中2A B =，B ，C 的对边长分别是b ，c ，则b b c +的取值范围是（）A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭变式17．（2024·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习）在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，B ∠，C ∠的对边分别是b ，c ，则2b c b +的范围是（）A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭变式18．（2024·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ，若A ＝2B ，则22c b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．－1B ．73C ．3D ．103题型六：角平分线问题例16．（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，a b =且A B ≠.(1)求角C 的大小；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且CD =2+a b 的最小值.例17．（2024·江苏淮安·高一统考期中）如图，ABC 中，2AB AC =，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ．(1)若AD BC =，求BAC ∠的余弦值；(2)若3AC =，求AD 的取值范围．例18．（2024·浙江杭州·高一校联考期中）在①cos sin a a C A +=，②()()3a b c a b c ab +++-=，③()()sin sin sin a b B C b B c C -++=．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，．(1)求角C 的值；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且CD =2a b +的最小值．变式19．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 2cos 0a C b c A ++=，角A 的平分线与边BC 交于点D .(1)求角A ；(2)若2AD =，求4b c +的最小值.变式20．（2024·山东泰安·校考模拟预测）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A C C B--=，且A C ¹．(1)求证：2B C =；(2)已知BD 是ABC ∠的平分线，若6a =，求线段BD 长度的取值范围．变式21．（2024·全国·高一专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin cos sin 2cos a A B b A C +=．(1)求角C 的大小；(2)若c =，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点I ，求ABI △周长的最大值．变式22．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csinsin 2B Ca B +=，边BC 上有一动点D .(1)当D 为边BC 中点时，若2ADb ==，求c的长度；(2)当AD 为BAC ∠的平分线时，若4a =，求AD 的最大值.题型七：中线问题例19．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos cos c b Ba A-=(1)求角A的大小；(2)若2a=，求中线AD长的范围（点D是边BC中点）.例20．（2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知π2sin22c bBa-⎛⎫+=⎪⎝⎭．(1)求A；(2)若3b c+=，求BC边中线AM的取值范围．例21．（2024·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin sin sin sina Ab Bc C A+=．(1)求角C的大小；(2)若2c=，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．变式23．（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2coscos c b B a A-=(1)求角A的大小；(2)若2a=，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．变式24．（2024·广东广州·高二广州六中校考期中）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos sin C a C -=．(1)求角A 的大小；(2)若2a =，求BC 边上的中线AD 长度的最小值．题型八：四心问题例22．（2024·四川凉山·校联考一模）设ABO （O 是坐标原点）的重心、内心分别是,G I ，且//BO GI，若(0,4)B ，则cos OAB ∠的最小值是__________．例23．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()cos cos tan a C c A A +.（1）求角A 的大小；（2）若a O 为ABC 的内心，求OB OC +的最大值.例24．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin cos sin cos sin c b C a C b B a B C -=-+.(1)求角A ；(2)若H 为ABC 的垂心，2a =，求HBC 面积的最大值.变式25．（2024·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且其面积为2，点G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围.变式26．（2024·河北邢台·高一统考期末）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos )()sin C A a b B -=-，且ABC(1)求C 的大小；(2)若G 是ABC 的重心，求ACG 面积的最大值．变式27．（2024·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，24c b ==，A 的角平分线交BC 于点D ，O 为ABC 的重心，过O 作OP BC ∥，交AD 于点P ，过P 作PE AB ⊥于点E .(1)求a 的取值范围；(2)若四边形BDPE 与ABC 的面积之比为λ，求λ的取值范围.变式28．（2024·浙江·高一路桥中学校联考期中）若O 是ABC 的外心，且()()2222252AC AB AB AO AC AO AO AB AC⋅⋅+⋅⋅= ，则sin 2sin B C +的最大值是（）A2B C ．52D ．变式29．（2024·全国·高三专题练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()2AC AB AB AO AC AO m AOAB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +m 的最大值为（）A ．6B ．65C ．145D ．3题型九：坐标法例25．（2024·全国·高三专题练习）在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为______．例26．（2024·全国·高一专题练习）在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．例27．（2024·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆229x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围是___________.变式30．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，AB AC =ABC ∆所在平面内存在一点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为（）A B C D 变式31．（2024·全国·高三专题练习）在等边ABC 中，M 为ABC 内一动点，120BMC ∠=︒，则MAMC的最小值是（）A ．1B ．34C D 变式32．（2024·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则(,)F x y =的最小值为（）A ．4B ．2+C ．3+D ．4+题型十：隐圆问题例28．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，=90BDC ∠︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为（）A ．27B ．16C ．10D ．25例29．（2024·江苏泰州·高三阶段练习）已知ABC 中，2BC =，G 为ABC 的重心，且满足AG BG ⊥，则ABC 的面积的最大值为______.例30．（2024·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试）已知等边ABC 的边长为2，点G 是ABC 内的一点，且0AG BG CG ++=，点P 在ABC 所在的平面内且满足1PG = ，则PA 的最大值为________.变式33．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，90BAD ︒∠=，2AB =，1AD =．若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则12CB CD +的最小值为____．变式34．（2024·全国·高三专题练习）若ABC 满足条件4AB =，AC =，则ABC 面积的最大值为__.变式35．（2024·江苏·高三专题练习）在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC += ，若ABC的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________．变式36．（2024·全国·高三专题练习）ABC 中2AB AC ==，ABC 所在平面内存在点P 使得224PB PC +=，21PA =，则ABC 的面积最大值为__________________．变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．题型十一：两边夹问题例31．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，若cos cos π2,,0,sin sin 2A B A B B A ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，且ABC 的周长为12．(1)求证：ABC 为直角三角形；(2)求ABC 面积的最大值．例32．（2024·全国·高三专题练习）设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.例33．（2024·全国·高三专题练习）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 依次成等比数列，且()1cos cos 2A CB --=，延长边BC 到D ，若4BD =，则ACD ∆面积的最大值为______．题型十二：与正切有关的最值问题例34．（2024·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.例35．（2024·全国·高一阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B Cb a B +=.(1)求A 角的值；(2)若ABC 为锐角三角形，利用（1）所求的A 角值求a cb-的取值范围.例36．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B Cb a B +=．求：(1)A ；(2)a cb-的取值范围．变式38．（2024·全国·高三专题练习）锐角ABC 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B ，则acb的取值范围是（）A ．B ．C ．2⎛ ⎝D ．2⎛ ⎝变式39．（2024·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围为（）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭变式40．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．D ．题型十三：最大角问题例37．（2024·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角∠AQB 的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得∠MPN 最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点2()1,M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标是（）A ．1B ．－7C ．1或－7D ．2或－7例38．（2024·全国·高三专题练习）设ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为（）A ．35B ．13C ．38D ．34例39．（2024·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当tan(A －B)取最大值时，角C 的值为A ．2πB ．6πC ．3πD ．4π变式41．（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A 离地面12米，树上另一点B 离地面8米，若在离地面2米的C 处看此树，则tan ACB ∠的最大值为（）A B C D 变式42．（2024·江苏扬州·高一统考期中）如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树（）米时，看A 、B 的视角最大.A ．4B ．5C ．6D ．7题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题例40．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）ABC 内一点O ，满足OAC OBA OCB ∠=∠=∠，则点O 称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如πBOC ABC BAC ACB ∠=-∠=∠+∠，请你和他一起解决如下问题：(1)若a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，CAO BAO OBA OCB ∠=∠=∠=∠，证明：2a bc =；(2)在（1）的条件下，若ABC 的周长为4，试把AB AC ⋅uu u r uuu r 表示为a 的函数()f a ，并求AB AC⋅uu u r uuu r的取值范围．例41．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在ABC 中，已知2π3C =，1AC =，2BC =，且点M 在AB 线段上，且满足CM BM =，若点P 为AMC的费马点，则PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（）A ．1-B ．45-C ．35-D ．25-例42．（2024·全国·高三专题练习）点P 在ABC 所在平面内一点，当PA PB PC ++取到最小值时，则称该点为ABC 的“费马点”.当ABC 的三个内角均小于o 120时，费马点满足如下特征：o 120APB BPC CPA ∠∠∠===.如图，在ABC 中，AB AC =，BC =，则其费马点到,,A B C 三点的距离之和为（）A ．4B ．2C ．2-D ．2变式43．（2024·湖南邵阳·统考三模）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC 中，已知30ACB ∠=︒，且AC =3BC =，现以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，则A B C ''' 的边长为（）A ．3B ．2CD 变式44．（2024·河南·高一校联考期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在ABC 中，已知π6C =，AC =作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，则A B C ''' 的面积为（）A ．3B ．2CD题型十五：托勒密定理及旋转相似例43．（2024·江苏淮安·高一校联考期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD 是其两条对角线，BD =ACD 为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．16C ．D ．12例44．（2024·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD 是其两条对角线，BD =ACD 为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（）A ．8B ．16C ．D ．例45．（2024·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD 内接于半径为120A ∠=︒，45B ∠=︒，AB AD =，则四边形ABCD 的周长为（）A ．+B ．C ．+D ．变式45．（2024·江苏·高一专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，2AD AC =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（）A ．4BC ．D变式46．（2024·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）在ABC 中，BC =1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点，C ，D 两点在直线AB 的两侧).当角C 变化时，线段CD 长度的最大值是（）A ．3B ．4C ．5D ．9变式47．（2024·全国·高一专题练习）在ABC 中，BC =1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）.当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4变式48．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，ACD 为正三角形，则 BCD 面积的最大值为（）A ．2BC ．22+D 1题型十六：三角形中的平方问题例46．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（）A 5B ．5C ．5D ．3例47．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的取值范围是___________.例48．（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S =，其中a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos C A B =，且224b c +=，则ABC 面积S 的最大值为（）A B C D 变式49．（2024·河南洛阳·高三校考阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22212a b c ++=，23A π=，则ABC 面积的最大值为（）AB C D 变式50．（2024·云南·统考一模）已知ABC 的三个内角分别为A 、B 、C .若222sin 2sin 3sin C A B =-，则tan B 的最大值为（）A B C D 变式51．（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足2b ac =，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围（）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭变式52．（2024·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC 中，已知2222sin sin 2sin A B C +=，则111tan tan tan A B C++的最小值为（）A ．B CD 题型十七：等面积法、张角定理例49．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（）A ．16B ．C ．64D ．例50．（2024·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC 的面积为S ,∠BAC=2α,AD 是△ABC 的角平分线,则AD 长度的最大值为（）A BC D 例51．（2024·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中）给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_______.变式53．（2024·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在ABC 中，π3BAC ∠=，AM是BAC ∠的角平分线，且交BC 于点M .若ABC AM 的最大值为______.变式54．（2024·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且4=AD .若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是______.变式55．（2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）ABC 中，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于D 点，若1BD =且2π3ABC ∠=，则ABC S 面积的最小值为________.变式56．（2024·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a、b 、c ，π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且BD =，则a c +的最小值为___．变式57．（2024·全国·高一专题练习）已知ABC ，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，1,c C =∠的角平分线交AB 于点D ．若sin sin 2sin A B ACB ∠+=，则CD 的取值范围是____________．变式58．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知ABC ，120BAC ∠=︒，D 为BC上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，则9AB ACAD+的最小值为___________。
专题03 解三角形之最值、范围问题(解析版)-2021年新高考数学二轮复习提升微专题
解三角形之最值、范围问题一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =c sin B ，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．54C ．43D ．32【答案】C2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且,,A B C 成等差数列，2b =，则a c +的取值范围是（ ）A ．(]2,3B ．(]2,4C ．(]0,4 D ．(2,【答案】B3．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是（ ） A ．(123，） B ．(112，）C ．[45D ．[45，1) 【答案】C4．在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+，6a c +=，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BCD ．【答案】D5．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】C6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，且()()()3sin sin sin c B C a A c -+=-⋅，则ABC 周长的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．15【答案】B二、解答题7．已知函数()2cos 3cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c .若()1,f C c ==D 为AB 的中点，求CD 的最大值. 【答案】（1）递减区间511[,]1212k k k Z ππππ++∈；（2）32. 8．现有三个条件①sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答． 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______．（1）求角B ；（2）若a c +=，求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2）4.9．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠； （2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 10．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B C b a B +=； 并解答以下问题：（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈⋃，max S =. 11．已知函数()21sin cos cos 62f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）当[],0x π∈-时，求出函数()f x 的最大值，并写出对应的x 的值； （2）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12f A =，4b c +=，求a 的最小值. 【答案】（1）当56x =-π时，函数()f x 取最大值34；（2）最小值为2.12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2a c Bb =+. （1）若1c =，求ABC 面积的最大值；（2）若D 为BC 边上一点，4DB =，5AB =，且12AB BD ⋅=-，求AC .【答案】（1（2.13．在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，1cos 3B =，a b += （1）求,a b 的值；（2）已知,D E 分别在边,BA BC 上，且AD CE +=，求BDE 面积的最大值.【答案】（1）a =b =（214．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知1cos 2b a Cc =+. （1）求角A ；（2）若1AB AC ⋅=，求a 的最小值.【答案】（1）3π；（2。
专题解三角形与不等式最值和范围问题的结合高考数学(理)备考之百强校大题狂练
一、解答题1．在中，已知角、、的对边分别为，，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】(1).（2）.【解析】分析：（1）应用正弦、余弦定理化简，即可求出b的值；（2）先由B的余弦定理可得：，再结合基本不等式，即，即可得出结论.点睛：考查正余弦定理的应用、基本不等式求最值，对题意的正确分析和定理的灵活运用是解关键，属于基础题.2．的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为.（1）求；（2）若为中点，且，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先设面积公式，化角为边，整理求出C。
（2）利用余弦定理列出中线在中，在中的表达式，由两角互补化简两组表达式，得出的关系式，再用均值不等式求解最值。
（2）在中，，即，在中，，即.因为，所以，所以，由（1）及得，，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.解法二：（1）同解法一.因为，，所以，即.因为为中点，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.点睛：（1）三角恒等式的化简有两种化边为角或者化角为边。
（2）三角形的中线问题，利用中线位于两个三角形中且底角互补，化简整理出中线与三角形三边关系的表达式。
3．在中，分别是内角所对的边，向量，,且满足.（1）求角的大小；（2）若，设角的大小为，的周长为，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】【详解】（1）因为a b，所以.由正弦定理得，即.由余弦定理得，又因为，所以.（2）由，及正弦定理得，而，，则，，于是，由得，所以当即时，.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，向量的数量积、余弦定理、正弦定理的应用，考查计算能力．属中档题.4．在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】(1) ;(2) 的取值范围为.【解析】【详解】（Ⅰ）因为，所以，由正弦定理，得，所以，又因为，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，所以，，因为，所以，所以当时，取得最大值；当时，.所以的取值范围为【点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．5．设函数．(Ⅰ) 求的最大值，并写出使取最大值时的集合；(Ⅱ) 已知中，角、、的对边分别为、、．若，，求的最小值．【答案】（1）2，（2）1【详解】的最大值为要使取得最大值时，则，故的集合为【点睛】本题是道三角函数综合题目，运用二倍角、辅助角公式进行化简，求出最大值时的集合，并结合余弦定理和基本不等式求出最值。
专题2.5解三角形的实际应用-2021年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列(原卷版)
一、解答题1．如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均速度为20公里小时送快件到处，已知公里，，是等腰三角形，．2．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+ θ(其中sinθ=2626，090θ<<)且与点A相距1013海里的位置C．（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.3．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里. (1)求两点间的距离；(精确到0.01)4．如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β.（1）求BC 的长；（2）若24l =， 45α=， 75β=， 30θ=，求信号塔CD 的高度.5．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为，距离为15海里的处，并测得渔船正沿方位角为的方向，以15海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向.6．一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽2AC BD == m ．∠=，试将L表示为θ的函数；（1）设BODθ（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．。
专题14 解三角形(解答题压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
(1)求中线AD的长度；【答案】(1)2121②三角形角平分线问题1．（2022·江苏南通·高一期末）在ABC sin sin A B c b ++=．由面积公式得11sin 22ab C ab =⨯1sin 26ACD CA CD S CA π⋅⋅⋅===②法一：由CD CB λ= ，得= AD AB λ又(1)=-=-- CE AE AC AB ACλ 5．（2022·浙江宁波·高一期中）已知点数()f x OM ON =⋅ ．(1)求函数()f x 的解析式和最小正周期；(2)在锐角△ABC 中，角A ，2BD =，若()3f A =，求△∵AD为∠BAC的角平分线，(1)求角A ；(2)若3a =，123O O O 的面积为【答案】(1)3A π=(2)333+(1)正123O O O 面积2131sin 602S O O =⋅⋅而60BAC ∠=︒，则13120O AO ∠=°在13O AO 中，由余弦定理得：O 即221723332b c bc ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，则b 在ABC 中，60A =︒，3a =，由余弦定理得则229b c bc +-=，∴6bc =，2b ∴22233b c b c bc +=++=，所以(1)求角B ；(2)若2BD =，求ACD △的周长的取值范围；【答案】(1)3B π=(2)(23,23⎤+⎦(1)选择①：cos 3cos 2b C c B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即由正弦定理得sin sin 3sin cos B C C B =因为ABC ABD CBD S S S =+ 化简得32BA BC BA +=又由余弦定理得2AC =①②联立解得BA BC ⨯(1)求θ的取值范围；(2)设四边形ABCD 的面积为S ，求S f =【答案】(1)π,π3⎛⎫⎪⎝⎭(2)52cos sin 2S θθ=-+，π,π3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；最大值为【解析】(1)由2AD =，1DC =，可得CAD ACD ∠<∠由四边形ABCD 中四个内角都小于π，可得(1)若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图形PBC的顶点，且23CPBπ∠=，求连廊AP PC PB++(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF的面积，求2S的最小值；方案三如图③，使得DE平行于(1)求边BC的长度；(1)求函数()y f x =的表达式；(2)设APQ 的面积为1S ，四边形BCQP 的面积为【答案】(1)x y =11x ⎛⎫≤≤ ⎪.∵0BP CP ⋅= ，∴PB PC ⊥，∵易得12,33AD b CD b==，由19cos cos bADB CDB ∠+∠=3π⎫⎪⎭。
高考数学-解三角形-专题复习100题(含答案详解)
2018年高考数学解三角形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．4.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的面积．5.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积．6.在△ABC中，=60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.7.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内角A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直角；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的值；(2)若的面积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,C,D在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得同时测得海里。
（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，角A,B,C对边分别为a,b,c，角，且.（1）证明：；（2）若面积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．15.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平行.(I)求A；(II)若,求△ABC的面积.18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的面积为．（1）求；（2）若，，求的周长．19.在△ABC中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的值；20.在△ABC中，角的对边分别为a，b，c, ，c=，又△ABC的面积为，求：(1)角的大小；(2)的值．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB•sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．22.在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求角C的大小；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内角A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的大小；（2）在锐角△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的大小（II）求的最大值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的面积为，求的值.28.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内角，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求角A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求的最大值.32.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。
新高考数学二轮复习三角中的最值、范围问题
易错提醒
求三角函数式的最值范围问题要注意： (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式； (2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调 性求范围.
索引
训练 1 (2022·潍坊质检)在①函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝π3对称，②函数 y＝ f(x) 的图象关于点 Pπ6，0对称，③函数 y＝f(x)的图象经过点 Q23π，－1，这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答. 问题：已知函数 f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φω>0，|φ|<π2的最小正周期为 π，且________，判断函数 f(x)在区间π6，π2上是否存在最大值？若存在，求 出最大值及此时的 x 值；若不存在，说明理由. 解 f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)， 由已知函数 f(x)的周期 T＝2ωπ＝π，得 ω＝2， 所以 f(x)＝sin(2x＋φ).
考向 2 由单调性求参数的范围
例 3 已知 f(x)＝sin(2x－φ)0<φ<π2在0，π3上是增函数，且 f(x)在0，78π上有最
小值，那么 φ 的取值范围是( B )
A.π6，π2
B.π6，π4
C.π3，π2
D.π4，π3
解析 由 x∈0，π3，得 2x－φ∈－φ，23π－φ， 又由 0<φ<π2，且 f(x)在0，π3上是增函数， 可得23π－φ≤π2，所以π6≤φ<π2. 当 x∈0，78π时，2x－φ∈－φ，74π－φ，
索引
热点二 与三角函数性质有关的参数范围
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核心归纳
与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y＝ Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解.
解三角形中的最值与范围问题(原卷版)
专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．2020·浙江卷2019年全国Ⅲ卷·文·理T184．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．2018·北京卷2018·江苏卷6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．题型一 由不等式求最值角平分线相关1．（多选）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D 且BD =，则下列结论正确的是（ ）A ．111a c+= B ．b 的最小值是2C ．3a c +的最小值是D ．ABC2．（2024届·湖南衡阳市八中校考）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________.(1)求A ；(2)若内角A 的角平分线交BC 于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） 中线相关3．（2024届·湖北校联考）已知分别是的三个内角的对边，且. (1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值.()()b c a b c a bc +−++=sin cos )a Ca Cb =−(2)cos cos 0bc A a C ++=ABC D AD =ABC ,,a b c ABC ,,A B C cos sin 0a C C b c −−=A D BC ,2BD DC AD ==ABC 重点题型·归类精讲浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟福建省厦门双十中学高三上学期期中定角定高6．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AH=4 ，∠BAC=60°，求△ABC 面积的最小值.对式子变形后利用基本不等式求最值7．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小.湖南省益阳市2022届高三上学期9月调研题型二 构造函数求范围9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，求的取值范围．2024届·雅礼中学月考（二）10．记锐角的内角的对边分别为，已知．(1)求证：；(2)若，求的最大值．ABC A B C a b c ()2222sin 0ac B C a c b +++−=π6A =2a =ABC 2224sin 3sin 2sin C A B++B π32c =2a b −ABC ,,A B C ,,a b c sin()sin()cos cos A B A C B C−−=B C =sin 1a C =2211a b +2023届河北省唐山市三模12．（2024届·湖南长郡中学校考）在锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若的取值范围.ABC ,,A B C ,,a b c ()2sin cos cos A c B b C +A a =223b c bc ++2023届广东江门市一模2024届常德市一中校考14．在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，请完成以下问题： (1)求角B 的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．2024届长沙一中月考（一）15．在锐角中，角的对边分别为，且满足.(1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围.ABC 1cos 2b Cc a +=ABC 1c =22a b +ABC ,,A B C ,,a b c 22b a ac −=2B A =ABC l la2024届长沙一中月考（二）16．的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.17．在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若的取值范围.ABC ABC OBC △OAC OAB 1S 2S 3S 22213132S S S S S +−=2AB =cos cos 1a C c A +=4sin sin cos21B A A +=12cos 12cos 0sin sin A BA B−−+=ABC ABC ABC ABC ABC A B C a b c sin sin tan cos cos A BC A B+=+C ABC c18．（2024届·扬州中学校考）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +，则ABC 周长的取值范围为 .2024届河南省实验中学校考19．在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且. (1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考ABC ,,A B C a b c 222sin sin sin 1sin sin A A CC B−−=A C 2BC =BD ABC ∠4a =BD。
专题2.3+解三角形与不等式最值和范围问题的结合-高考数学备考之百强校大题狂练
高考数学大题狂练 第二篇 三角函数与三角形 专题03 解三角形与不等式，最值和范围问题的结合1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 23sin 3A B C a b a +=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3， B 是钝角，求b 的最小值. 【答案】（1）3B π=或23π. （2）6.由正弦定理得23sin cos cos sin sin B A B A B C +=， ∴()3sin sin sin 3A B B C +=， 又在ABC ∆中， ()sin sin 0A B C +=≠，∴3sin 2B =，∴3B π=或23π. （2）由13sin 2ac B =， 3sin B =2ac =， 又23B π=， 2222cos b a c ac B =+− 222226a c ac =++≥+=， 当且仅当a c =时取等号，∴b 6.2．已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ABC ∆的面积S 满足2223S a b c =+−． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +−的取值范围．【答案】（1）23π；（2）(3)22233cos 1sin 422a b c ab C S ab C +−=−=−= tan 3C =0C π<<， 23C π∴=. （2）()33cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+−+−=+ ⎪⎝⎭ =3sin 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0,2333A A ππππ<<∴<+<(3sin 2033A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 3．已知ABC 的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，且3tan tan cos c A B a B =+. （1）求角A 的大小；（2）设AD 为BC 边上的高， 3a =AD 的范围. 【答案】(1) 3A π= (2) 302AD <≤ 【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理化边角关系为角的关系，再根据三角形内角关系以及诱导公式化简得tan 3A =A 的大小，（2）根据三角形面积关系得12AD bc =，再根据余弦定理得bc 范围，即得AD 的范围.试题解析：（1）在ABC 中， ∵3tan tan cos c A B a B =+∴3sin sin sin sin cos cos cos C A B A B A B=+ 即：3sin sin cos sin cos cos cos C A B B A A B +=∴31cos A =则： tan 3A =∴3A π= （2）∵11sin 22ABC S AD BC bc A =⋅=， ∴12AD bc = 由余弦定理得： 222123cos 222b c a bc A bc bc+−−==≥ ∴03bc <≤（当且仅当b c =时等号成立）∴302AD <≤4．在中，角的对边分别是，. (1)求的值；(2)若，求的最大值.【答案】(1)；(2)6.由余弦定理，得，∵；（2）由（1）知于是， 解得， 当且仅时，取等号. 所以的最大值为6.5．已知ABC 的内角A ， B ， C 满足：sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C−+=+−． （1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积S 的最大值．【答案】(1) 3A π=；(2) 334S ≤．可得222a b c b a b c bc c a b c−+=⇒=+−+−， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +−===， 又因为0A π<<，所以3A π=． （2）22sin 2sin 3sin 3a R a R A A π=⇒===， 所以2232bc bc bc bc bc =+−≥−=，所以11333sin 32224S bc A =≤⨯⨯=（b c =时取等号）． 6．已知在锐角ABC 中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 的对边，点D 在边BC 上，且2CD AD DB ==， 13cos BAD ∠=， 43b =.（1）求B ；（2）求ABC 周长的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）123【解析】试题分析：（1）根据正弦定理， sin sin AD BD B BAD=∠，可得解；（2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+−，得()()()222222483324a c a c a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+−=+−≥+−= ⎪⎝⎭，即可解得a c +最大值，进而得周长最大值.试题解析：（2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+−，所以()()()222222483324a c a c a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+−=+−≥+−= ⎪⎝⎭， ∴3a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立.故123a b c ++≤.所以ABC 周长的最大值为123。
专题2-3 解三角形与不等式最值和范围问题的结合第02期-2018年高考数学备考之系列 含解析 精品
2018届高考数学大题狂练第二篇三角函数与三角形专题03 解三角形与不等式，最值和范围问题的结合1．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).（1）由题意，所以（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，点睛：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，属于中档题．2．已知分别为内角的对边，且.（1）求角；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到，从而得解；（2）由余弦定理得，结合即可得最值.3．已知函数，将函数的图象向左平移个单位得到的图象.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值.【答案】（1）最小正周期为；（2）.【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式化简解析式，得到，由周期公式求出f（x）的最小正周期；（2）由题，，根据可得.由余弦定理得，由此得到，即可求出面积的最大值.详解：（1）∵，∴，∴，∴的最小正周期为.∴的面积，∴面积的最大值为.点睛：本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，正弦定理，余弦定理，以及基本不等式等知识，属中档题．4．已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值.（II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当时，由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.5．在中，角所对的边分别为，且满足.（Ⅰ）判断的形状；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）等腰三角形（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理将边化为角，即，再根据三角形内角范围得，因此结合正弦函数性质得（Ⅱ）先根据两角和余弦公式、配角公式将解析式化为基本三角函数，再根据三角形内角范围及正弦函数性质得取值范围（Ⅱ）由（Ⅰ），，则.因为，所以，则，所以，于是的取值范围是.…………………………12分考点：和差角公式、二倍角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解12 三角形中的最值与范围
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第12讲 三角形中的最值与范围专题解析1、求边的最值范围2、求角的最值范围3、求面积的最值范围4、其他目标的最值范围 解题策略利用函数思想与不等式的思想求最值与范围专项突破类型一、边范围与最值（函数思想）例1-1．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Abc C+--=． （1）求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC 的面积．【答案】（1）π3C =；（2）ABCS =【分析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C 的值． （2）由余弦定理求得2c 与ab 的关系，结合不等式即可求得c 的最小值，即可得到ab 的值，进而求得三角形面积．【详解】（1）由条件和正弦定理可得2222b c a b a b+-=-， 整理得222b a c ab +-=从而由余弦定理得1cos 2C =． 又∵C 是三角形的内角， ∴π3C =．（2）由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-， ∵4a b +=，∴()22223163c a b ab a b ab ab =+-=+-=-，∴2216316342a b c ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅当2a b ==时等号成立）． ∴c 的最小值为2，故1sin 2ABCSab C ==练．在①sinsin 2A Bb c B +=)cos sin c A b a C -=-，③cos cos cos c a b C A B+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________. （1）求C ；（2）若ABC 的面积为AC 的中点为D ，求BD 的最小值. 【答案】 （1）3C π=（2）4 【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解. （2）利用三角形的面积公式可得32ab =，再由余弦定理以及基本不等式即可求解. （1） 选①sinsin 2A Bb c B +=， 由正弦定理可得sin sinsin sin 2A BB C B +=， 又因为0B π<<，可得sinsin 2A BC +=， 即sin sin 2CC π-=，所以cos2sin cos 222C C C=， 又因为022C π<<，所以1sin 22C =，所以26C π=，解得3C π=.)cos sin c A b a C -=-，)sin cos sin sin sin C A B A C -=-，()sin cos sin sin sin C A A C A C -+=-⎤⎦，整理可得cos sin sin A C A C =-，又因为0A π<<，解得tan C = 因为0C π<<，所以3C π=.③cos cos cos c a b C A B+=+， 由正弦定理可得sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 整理可得sin cos sin cos sin cos sin cos C A C B A C B C +=+， 即sin cos sin cos sin cos sin cos C A A C B C C B -=-，即()()sin sin C A B C -=-，所以C A B C -=-或C A B C π-+-=（舍）， 即2A B C +=，即2C C π-=，解得3C π=.（2）11sin 22ABCSab C ab === 解得32ab =， 由余弦定理可得22222112cos 2162234222b b b b BD a a a ab a ab π⎛⎫=+-⋅⋅=+-≥⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以4BD ≥，当且仅当2ba =时，即4,8ab ==取等号， 所以BD 的最小值为4.练.(2021·济南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c cos A ＋(a ＋2b )cos C ＝0. (1)求C 的大小；(2)△ABC 的面积等于43，D 为BC 边的中点，当中线AD 长最短时，求AB 边长. 解 (1)由c cos A ＋(a ＋2b )cos C ＝0及正弦定理，得 sin C cos A ＋(sin A ＋2sin B )cos C ＝0，∴sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝0，则sin B ＋2sin B cos C ＝0. 由0<B <π，知sin B ≠0，从而cos C ＝－12.又0<C <π，∴C ＝23π.(2)∵S ＝12ab sin 2π3＝34ab ＝43，∴ab ＝16，在△ACD 中，由余弦定理可得AD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos 2π3＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋ab2≥2b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋ab2＝3ab2＝24， 当且仅当b ＝12a 时，即当a ＝42，b ＝22时，等号成立.此时AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝32＋8－2×42×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝56， 故AB 边长为214.例1-2．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．①()sin sin()sin a c A c A B b B -++=；②2S AB CB ⋅（其中S 为ABC 的面积）；③sin cos c B C -=．（1）若4,3b ac ==，求a c +的值；（2）若ABC 为锐角三角形，且2c =，求a 的取值范围． 【答案】条件选择见解析，（1）5a c +=；（2）()1,4． 【分析】选择①②③结合正余弦定理均得到3B π=，（1）利用余弦定理即可求解；（2）由正弦定理得2sin sin a A C =，1a =，结合角C 的范围即可求解． 【详解】选择①()sin sin()sin a c A c A B b B -++=由正弦定理得22()a c a c b -+=，所以2221cos 22a b c B ac +-==，()0,B π∈，则3B π=；选择②2S AB CB ⋅，则sin cos ac B B =，所以tan B ()0,B π∈，则3B π=；sin cos c B C -=sin sin cos -=A C B B C 又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，sin sin sin 0B C C B -=，则所以tan B ()0,B π∈，则3B π=；故选择①②③均得到3B π=；（1）若4,3b ac ==，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即222162cos()33a c ac a c ac π=+-=+-，∴5a c +=．（2）由ABC 为锐角三角形及3B π=，得2(0,)32A C ππ=-∈且(0,)2C π∈,∴(,)62C ππ∈， 由正弦定理得2sin sin a A C=，∴2sin()2sin 31sin sin C A a C C π+====．∵(,)62C ππ∈，∴tan )C ∈∞，∴1(0tan C∈，∴(14)，，即所求a 的取值范围是(1,4)．例1-3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值． 【答案】（1）4c =；（2） 【分析】（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可． 【详解】（1）由角A 、B 、C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C ． 又A B C π＋＋＝，∴3B π＝．由正弦定理，得34c a ＝，即34ca ＝． 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =．（2）由正弦定理，得sin sin sin a c b A C B ====，∴a A =，c C =．∴)()sin sin sin sin a c A C A A B +=+++⎤⎦π3πsin sin sin 326A A A A A ⎫⎤⎛⎫⎛⎫=++==+⎪ ⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎭．由203A π<<，得5666A πππ<+<．所以当ππ=62A +时，即=3A π时，()max a c +=练．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC ABC 的周长的最小值．【答案】（1）23π；（2）4+【分析】（1sin (2cos )A a B =+转化为关于B 的方程，求出∠B ． （2）因为B 已知，所以求面积的最小值即为求ac 的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得． 【详解】（1sin (2cos )A a B =+，()sin sin 2cos B A A B =+．因为(0,)A π∈，所以sin A ＞0cos 2B B -=， 所以2sin()26B π-=，因为(0,)B π∈，所以62B ππ-=，即23B π=．（2=ac ＝4．所以4a c +≥，当且仅当2a c ==时取等号． 又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a ＝c ＝2时取等号．所以△ABC 的周长最小值为4+练、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案： 9 解析：因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°.由三角形的面积公式可得12acsin 120°＝12a sin 60°＋12c sin 60°，化简，得ac ＝a ＋c.又a >0，c>0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9. 练．（2021•浙江模拟）已知ABC ∆中，边BC 上的高为2，H 为BC 上一动点，满足sin sin AB B AC C AH⋅+⋅=，则AB AC +的最小值是． 【解答】解：因为sin sin AB B AC C AH ⋅+⋅=，B ，H ，C 三点共线，所以sin sin 1B C +=又22sin ,sin B C cb==，所以221cb+=所以2222||||()()448b c AB AC b c b c cbc b +=+=+⋅+=+++… 当且仅当4b c ==时取到最小值8． 故答案为：8．类型二、边范围与最值（不等式思想）例2-1.（广东省湛江市湛江一中2021届高三下学期3月模拟T17）．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知33c a cosA cosCb cosB--=. （1）求sinAsinC的值； （2）若B 为钝角，10b =，求a 的取值范围．【答案】（1）13；（2）52⎛ ⎝【详解】试题分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得()()sin 3sin A B B C +=+，即可求得sin sin AC的值；（2）由（1）可得3c a =，根据B 为钝角，10b =及两边之和大于第三边，即可求得a 的取值范围. 试题解析：（1）由正弦定理：设2sin sin sin a b cR A B C===，则36sin 2sin 3sin sin cos 3cos 2sin sin cos c a R C R A C A A Cb R B B B----===，即()()co s 3c o s s i n 3s i n s i n c o s A C B C AB -=-.∴cos sin sin cos 3sin cos 3sin cos A B A B B C C B +=+，即()()sin 3sin A B B C +=+. 又∵A B C π++= ∴sin 3sin C A =，即sin 1sin 3A C = （2）由（1）及正弦定理知13a c=，即3c a =.由题意：22210b ac b a c b =⎧⎪+>⎨⎪+<⎩解之得：52a <<∴a 的取值范围是52⎛ ⎝练. 在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABCSBC =⋅；③tan tan A C +=tan A C ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________. （1）求角B ；（2）若ABC 是锐角三角形，且4c =，求a 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）答案见解析 （2）()2,8 【解析】【分析】（1）选择①，运用正弦定理及同角三角函数关系求解；选择②，运用面积公式及同角三角函数关系求解；选择③运用正切两角和公式及诱导公式求解. （2）根据正弦定理及正切函数的单调性求解 【小问1详解】选择①：条件即sin cos b C B =，由正弦定理可知，sin sin cos B C C B =， 在ABC 中，(),0,B C π∈，所以sin 0,sin 0B C ≠≠，所以sin B B =，且cos 0B ≠，即tan B =3B π=；选择②：条件即12sin cos 2ac B B ⨯=，即sin B B =，在ABC 中，()0,B π∈，所以sin 0B ≠，则cos 0B ≠，所以tan B =3B π=.选择③：条件即)tan tan tan tan 1A C A C +=-， 所以()tan tan tan tan 1tan tan A CB AC A C+=-+=-=-，在ABC 中，(),0,B C π∈，所以3B π=.【小问2详解】 由（1）知，3B π=，所以23A B C C ππ=--=-，由正弦定理可知，24sin sin 32sin sin tan C c A a C C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭===+， 由ABC 是锐角三角形得，0,220,32C A C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩所以62C ππ<<.所以tan C >28a <<，故a 的取值范围为()2,8.类型三、求角范围与最值（函数思想）例3-1（广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考15）．一条形“标语”挂在墙上，把“标语”看作线段AB ，射线AB 与地面交点为D ，且AB 与地面垂直，17AD =米，10BD =米，某人直立看“标语”AB ，眼睛C 距离地面1米，当ACB ∠最大时，此人的脚到D 点的距离为______米．【分析】由题设，画出平面示意图，利用ACB ACF BCF ∠=∠-∠，设DE CF x ==米，结合两角差正切公式得7tan 144ACB x x∠=+同时注意ACB ∠的范围，应用基本不等式求最值，即可确定人的脚到D 点的距离. 【详解】由题设，可得如下示意图：7,10,1AB BD CE DF ====，且ACB ACF BCF ∠=∠-∠，∴tan tan tan tan()1tan tan ACF BCFACB ACF BCF ACF BCF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠，若设DE CF x ==米，则169tan ,tan AF BF ACF BCF CF x CF x∠==∠==， ∴277tan 1441441x ACB x x x∠==++，而0x >，∴77tan 14424ACB x x ∠=≤=+当且仅当12x =时等号成立. ∴由题意，[0,)2ACB π∠∈最大时，有7tan 24ACB ∠=，此时人的脚到D 点的距离为12米. 故答案为：12.关键点点睛：设DE CF x ==米，应用两角差正切公式得到函数7tan 144ACB x x∠=+，应用基本不等式求最值，进而确定x 的值.练．（2021•平阳县模拟）在ABC ∆中，2C π=，点M 在线段AC 上，且满足||2||AM MC =，则MBA ∠的最小值为() A ．0B ．3πC ．4πD ．6π【解答】解：如图：令||1BC =，且||||(0)MC x BC x x ==>． 所以tan MBC x ∠=，tan 3ABC x ∠=．tan tan tan tan()1tan tan ABC MBC MBA ABC MBC ABC MBC ∠-∠∴∠=∠-∠=+∠∠，易知(0,)2MBA π∠∈．可得22tan 13xMBAx∠=+，(0)x >，2221133x x xx ==++…x 时取等号． 所以(tan )max MBA ∠=，∴6MBA π∠=． 故选：D ．练、(2021·安徽高三一模(理))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝csin B ，则tan A 的最大值为( )A. 1B. 54C. 43D. 32答案： C 分析：由正弦定理，得sin A＝sin Csin B，可得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bsin C，进而1tan C ＋1tan B＝1，利用基本不等式可得tan Btan C≥4，化简可得tan A＝11－1tan Btan C，则可求出最值．解析：在△ABC中，由a＝csin B及正弦定理，得sin A＝sin Csin B，所以sin(B ＋C)＝sin Bsin C，即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bsin C，两边除以sin Bsin C可得1tan C＋1tan B＝1，所以1≥21tan Btan C，即tan Btan C≥4，当且仅当tan B＝tan C＝2时等号成立，则tan A＝－tan(B＋C)＝－tan B＋tan C1－tan Btan C＝tan Btan Ctan Btan C－1＝11－1tan Btan C，则当tan Btan C＝4时，tan A取得最大值为43.点睛：本题考查正弦定理的应用，解题的关键是利用已知条件得出1tan C＋1tan B＝1，利用基本不等式求出tan Btan C≥4.例3-2．已知a，b ，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，()()3cos cos4cos cosa b A a B c A a C c+=+，再从下面条件①与②中任选1个作为已知条件，完成以下问题．（1）证明：ABC为锐角三角形；（2）若8CA CB⋅=，CD为ABC的内角平分线，且与AB边交于D，求CD的长．①2cos3C=；②1cos9A=．【答案】（1）证明见解析（2）选择①②结果相同，CD =【分析】（1）利用正弦定理得到34a b =，结合①2cos 3C =或者②1cos 9A =，均可以得到c b a =<，大边对大角，故只要证明cos 0A >，即可证明出ABC 为锐角三角形；（2）由8CA CB ⋅=，结合第一问中的34a b =，可以求出4a =，3b =，接下来可以用两种方法求解，一种是利用ABC CAD CBD S S S =+△△△，另一种是利用角平分线定理，34CA AD CB DB ==，均可以求出CD 的长 （1）方案一：选条件①由正弦定理，()()3sin sin cos sin cos 4sin cos sin cos sin A B A A B C A A C C ⋅+=+()()3sin sin 4sin sin A A B A C C ∴+=+又()sin sin 0A B C +=≠，()sin sin A C B +=，3sin 4sin A B ∴=，34a b ∴= 令3412a b k ==，（0k >），从而4a k =，3b k =由()()222222432cos 32243k k ca b c C ab k k+-+-===⨯⋅，解得：3c k =或30k -<（舍去） 从而a 最大，又()()()22222233421cos 02233189k k k b c a A bc k k +-+-====>⋅⋅ABC ∴为锐角三角形方案二：选条件②由正弦定理，()()3sin sin cos sin cos 4sin cos sin cos sin A B A A B C A A C C ⋅+=+()()3sin sin 4sin sin A A B A C C ∴+=+又()sin sin 0A B C +=≠，()sin sin A C B +=，3sin 4sin A B ∴=，34a b ∴=令3412a b k ==，（0k >），从而4a k =，3b k =2222229161cos 2239b c a k c k A bc kc +-+-===⨯解得：3c k =或703k -<（舍去）从而a 最大，又1cos 09A =>ABC ∴为锐角三角形（2）方案一：选条件① 由cos 8CA CB ba C ⋅==， ∴12ab =又由第一问可知：34a b =，∴4a =，3b = 法一：由22cos 12sin 32C C ==-，∴sin 2C =sin C ==由面积公式得：11sin 4322ABC S ab C ==⨯⨯=△由ABC CAD CBD S S S =+△△△，从而13sin 4sin 222CCCD CD ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭，解得：CD =法二：22222169cos 32243a b c c C ab +-+-===⨯⨯，解得：3c =由角平分线定理，34CA AD CB DB ==， 从而3393777AB AD ==⨯=在ADC 中，由余弦定理，2224802cos 49CD CA AD CA AD A =+-⋅=，解得：CD =方案二：选条件②由cos 8CA CB ba C ⋅==，12ab ∴=又由第一问可知：34a b =，4a ∴=，3b =，由22229161cos 2239b c a c A bc c +-+-===⨯，解得：3c =或73-（舍去） 法一：故2cos 3C =，由22cos 12sin32C C ==-，∴sin 2C =sin C ==由面积公式得：11sin 4322ABC S ab C ==⨯⨯=△由ABC CAD CBD S S S =+△△△，从而13sin 4sin 222CCCD CD ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭，解得：CD =法二：由角平分线定理，34CA AD CB DB ==， 从而3393777AB AD ==⨯=在ADC 中，由余弦定理，2224802cos 49CD CA AD CA AD A =+-⋅=，解得：CD =类型四、角范围与最值（不等式思想）例4-1．在ABC 中，内角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若2222sin sin sin cos cos C A B A B -=++.（1）求C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围. 【答案】 （1）3C π=（2） 【分析】（1）先用同角三角函数的平方关系将式子进行化简，进而用正弦定理进行角化边，最后用余弦定理解得答案；（2）用面积公式，结合正弦定理即可得到答案. （1）∵2222sin sin sin cos cos C A B A B -=++，∴()()2222sin sin sin 1sin 1sin C A B A B -=+-+-，∴222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，由正弦定理得222a b c ab +-=，又由余弦定理得2222cos a b c ab C +-=，∴1cos 2C =， 由于(0,)C π∈，所以3C π=.（2）∵ABC 是锐角三角形，A B C π++=得到022,2362032B A B B B ππππππ⎧<<⎪⎪+=∴∴<<⎨⎪<-<⎪⎩. 由正弦定理可知，24sin 432sin sin sin 3B a B B B a ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⇒=⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角形面积公式有：2sin 163sin 2sin tan ABCB Sab C B Bπ⎛⎫- ⎪⎝⎭===+ 又因,62B ππ<<故tan ABCB S >∴<故ABCS取值范围是练.(2021·南京、盐城一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝B ＋3C . (1)求sin C 的取值范围； (2)若c ＝6b ，求sin C 的值．解 (1)由A ＝B ＋3C 及A ＋B ＋C ＝π得2B ＋4C ＝π， ∴B ＝π2－2C ，∴A ＝π2＋C .由⎩⎨⎧0<A <π，0<B <π，0<C <π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<π2＋C <π，0<π2－2C <π，0<C <π，得0<C <π4，故sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，22. (2)若c ＝6b ，则由正弦定理得sin C ＝6sin B ，① 由(1)知B ＝π2－2C ，则sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2C ＝cos 2C ，②由①②得16sin C ＝cos 2C ＝1－2sin 2C ，∴12sin 2C ＋sin C －6＝0， 解得sin C ＝23或sin C ＝－34.又sin C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，∴sin C ＝23.类型五、面积范围与最值（函数思想）例5-1、(2021·广东揭阳高三一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝2，a 2＝2b 2＋c 2，则△ABC 的面积的最大值为________．答案：23分析：利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝2b 2＋c 2＝4，然后可得cos A ，sin A ，最后计算三角形面积并使用不等式进行计算可得结果．解析：由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝2b 2＋c 2＝4，化简，得cos A ＝－b2c ，则sin A ＝4c 2－b 22c ，则△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝b 4c 2－b 24＝3b 4c 2－b 212≤9b 2＋4c 2－b 224＝23，当且仅当5b 2＝2c 2时，等号成7．（2021春•昆明期末）已知ABC ∆中，AB AC =，D 是AC 的中点，3BD =，则ABC ∆面积的最大值为()A ．B ．3C ．．6【解答】解：设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB ∠=-∠在ABD ∆和BCD ∆中应用余弦定理可得：2222949466m n m m m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC ∆的面积：11222S BC n ==⨯6=，当且仅当22n =时等号成立． 则ABC ∆面积的最大值为6． 故选：D ．练．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且满足22,c a ab =+记ABC 的面积为S.（1）求证：2C A =；（2）若ABC 为锐角三角形，4b =，且S λ<恒成立，求实数λ的范围. 【答案】 （1）证明见解析（2）λ≤【分析】（1）由正弦定理和余弦定理，结合两角和的正弦公式，可得证明；（2）由余弦定理可得a 的范围，再由三角形的面积公式可得S 关于a 的函数，由二次函数的值域可得S 的范围，再由不等式恒成立思想可得所求范围． （1）证明：由22c a ab =+，2222cosC c a b ab =+-，22cos b ab C ab ∴-=，2cos b a C a ∴-=，sin 2sin cos sin B A C A ∴-=，()sin 2sin cos sin A C A C A ∴+-=，sinCcos cos sin sin A C A A ∴-=，()sin sin C A A ∴-=，(),,0,A B C π∈，2C A ∴=.（2）解：2C A =，3B A π∴=-，sin sin3B A ∴=.sin sin c b C B =且4b =，4sin2sin3Ac A∴=， ()218sin2sin 8sin2sin 8tan2tan 16tan sin 2sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan A A A A A A A S bc A A A A A A A A A A ∴=====+++-，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2C A B A A ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64A ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan A ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 设tan ,t A=则t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则22221616(3),0,3(3)t t SS t t +'==>--故S在t ⎫∈⎪⎪⎝⎭为增函数，(),S ∴∈又S λ<恒成立，所以λ≤练、ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=．（1）求B ； （2）若4b =，求ABC 的面积的最大值．【答案】（1）23B π=（2【分析】(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得1cos 2B =-,即可求得B ; (2)由余弦定理借助基本不等式可求得163ac ≤,即可求出ABC 的面积的最大值. 【详解】（1）(2)cos cos 0a c B b A ++=，(sin 2sin )cos sin cos 0A C B B A ∴++=， 所以(sin cos sin cos )2sin cos 0A B B A C B ++=， 所以sin()2cos sin 0A B B C ++=，sin()sin A B C +=，1cos 2B ∴=-，0B π<<，23B ∴=π．（2）由余弦定理得222122b a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭.22163a c ac ac ++=≥，163ac ∴≤，当且仅当a c ==时取等，1116sin 223ABCSac B ∴=≤⨯=.所以ABC 练．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos A b C c B a +=． （1）求角A ； （2）在ABC 中，D 为BC 边上一点，且()12AD AB AC =+，2AD =，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）13A π=（2【分析】（1）由已知结合余弦定理可求cos A ，进而可求A ；（2）由向量数量积的公式和性质及基本不等式可求bc 的范围，进而可求面积的最大值． 【详解】(1)∵2cos cos co (s )A b C c B a +=， ∴2cos cos 2cos cos A b C A c B a ⋅+⋅=，∴2222222cos 2cos 22a b c a c b A A a a a+-+-⋅+⋅=，∴2cos a A a =，即1cos 2A =， ∵(0,)A π∈， ∴13A π=，(2)∵()12AD AB AC =+， ∴D 为CB 的中点， ∵2AD =，()221244AB AC AB AC ++⋅=uuu r uuu r uu u r uuu r ， ∴222cos 16c b cb A ++=， ∴2216c b bc ++=， ∵222b c bc +≥，∴163≤bc ，当且仅当b c ==ABC 练．已知(1,2)m x ω=，2(2sin 1,cos )n x x ωω=-，令().f x m n =⋅其中01ω<<，满足()43f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，()1f B =且1c =，求ABC 的面积的取值范围． 【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）⎝⎭【分析】（1）利用向量的坐标运算及三角公式求出()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据()43f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭求出ω即可；（2）先通过()1f B =求出B ，再根据三角形为锐角三角形求出a 的范围，最后通过面积公式可得计算面积的范围. （1）()22sin 1cos 2cos 22sin 26f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭又()43f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则4sin 2sin 2366x x πππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即78sin 2sin 2636x x ππωπωω⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 782636k ππωππ∴-=-+ 1324k ω∴=-，又01ω<<， 12ω∴=， 即()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）由（1）知()2sin 16f B B π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又663B πππ-<-<，66B ππ∴-=，即3B π=如图，当点C 在线段MN 之间运动（不含端点）时，可使ABC 为锐角三角形cos3cos 3cc a ππ∴<<，即122a <<1sin 2ABCSac B ∴=∈⎝⎭， 即ABC的面积的取值范围是⎝⎭. 练．在①cos cos 2B bC a c=-+，②sin sin sin A b c B C a c +=-+，③2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB A D⊥，使得四边形ABCD满足3ACD π∠=，AD =ACDS的最值【答案】①或②或③，ACDS. 【分析】选①利用正弦定理，可得cos sin cos 2sin sin B B C A C -=+，进而可得23B π=，选②利用正弦定理，可得a b c b c a c +=-+，进而可得23B π=，选③利用三角形面积公式可得23B π=；再利用正弦定理及面积公式可得1sin 2ACDCD S AC ACD =⋅∠，然后利用辅助角公式及三角函数的性质可求最值. 【详解】 选①，由cos cos 2B b C a c=-+得cos sin cos 2sin sin B BC A C -=+， ∴2sin cos cos sin sin cos sin()sin A B B C B C B C A =--=-+=-， 又(0,)A π∈，sin 0A >， ∴1cos 2B =-又(0,)B π∈，∴23B π=； 选②，由sin sin sin A b c B C a c +=-+得a b cb c a c +=-+，∴222a ac b c +=-即222a c b ac +-=-，∴2221cos 22a cb B ac +-==-又(0,)B π∈， ∴23B π=；选③，由23S BA BC =⋅得S =1sin 2S ac B =，∴B =sin B 即tan B =(0,)B π∈， ∴23B π=；在△ACD 中，3ACD π∠=，AD∴2sin sin sin CD AC ADCAD ADC ACD===∠∠∠， 设CAD θ∠=，则23ADC πθ∠=-， 22sin 2sin ,2sin 2sin()3CD CAD AC ADC πθθ=∠==∠=-， ∴112sin 2sin 2sin()sin 2233ACDCD AC AC SD ππθθ=⋅∠=⨯⨯-⋅23sin cos 2θθθ=3sin 224θθ=)6πθ=- ∵AB AD ⊥， ∴2BAC πθ=-∠，又在△ABC 中，(0,)3BAC π∠∈， ∴(,)62ππθ∈，52(,)666πππθ-∈，∴1sin(2)(,1]62πθ-∈，当2,62ππθ-=即3πθ=时sin(2)16πθ-=，∴)6ACDSπθ=-， 即ACDS. 练．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，已知2cos 2a C b c =+．（1）求A ；（2）若AM 是角A 的平分线，且2AM =，求ABC 的面积的最小值．【答案】 （1）23A π=（2）【分析】(1)根据正弦定理和两角和的正弦公式化简2cos 2a C c b -=即可； (2)如图，根据相似三角形的性质可得AC CM AB BM =，设(0)AC CMt t AB BM==>，过M 作MD 平行于AC 交AB 于D 可得三角形AMD 为正三角形，利用三角形面积公式列出三角形面积，结合基本不等式即可求出面积的最小值. （1）2cos 2a C c b -=，由正弦定理得2sin cos sin 2sin A C C B -=，2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin A C C A C A C A C ∴-=+=+，sin 2cos sin C A C ∴-=，sin 0C ≠，1cos 2A ∴=-，(0,)A π∈，23A π∴=． （2）由AM 是角A 的平分线，AC CM AB BM ∴=，设(0)AC CMt t AB BM==>， 过M 作MD 平行于AC 交AB 于D ，则三角形AMD 为正三角形，2AD AM ∴==，2BD t ∴=，22AB t ∴=+，22AC t ∴=+，1sin 2ABC S AB AC A ∆∴=⋅⋅12112(22)1)122t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎫=⨯+⨯+⨯=++=++≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭当且仅当1t =时等号成立．即ABC 的面积的最小值为 练．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b cC a-=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的周长为6，求ABC 面积S 的最大值． 【答案】 （1）3A π=（2【分析】 （1）在2cos 2b cC a-=中，利用余弦定理化角为边，可得222b c a bc +-=，再结合222cos 2b c a A bc+-=，即得解；（2）由余弦定理2222cos 3a b c bc π=+-以及6a b c ++=可得4bc ≤，再利用面积公式1sin 2S bc A =即得解 （1）由余弦定理，得222222a b c b cab a+--=， 即22222a b c b bc +-=-，则222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc+-== 又0A π<<，所以3A π=．（2）由题意，6a b c ++=，根据余弦定理，得222222cos3a b c bc b c bc π=+-=+-，则6a b c b c =++=+ 所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取“＝”．所以，ABC面积1sin 2S bc A ==≤故ABC 面积S另解： , , ,(36-12a ) 练．（2021•浙江模拟）在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 的中点，sin 2sin AC A ABD =∠，则BD =，ABC ∆面积的最大值为．【解答】解：设BC a =，AC b =，AB c =，则1122AD CD AC b ===，b c =， 因为sin 2sin AC A ABD =∠，故sin 2sin b A ABD =∠，在ABD ∆中，由正弦定理2sin sin sin bBD AD A ABD ABD==∠∠， 所以sin 2sin b ABD ABD=⋅∠，又sin 2sin b A ABD =∠， 故sin 12sin b ABD ABD==∠，在ABD ∆中，由余弦定理可得22222()1124cos 22b bc c A b bc c +-+-==⋅⋅，因为b c=，故22221514cos4bbAb b+-==-，因为(0,)Aπ∈，故sin0A>，则sin A=则1sin2ABCS bc A∆==故当2209b=，即b=时，12()83ABC maxS∆=．故答案为：1，23．类型六、其他目标最值与范围例6-1．（2021春•台州期末）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5cos45b A a c+=．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）记边AC上的高为h，求hb的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理可得，2225452b c ab a cbc+-+=，即22225()810b c a ac c+-+=，即22285a cb ac+-=，222845cos 225aca cb B ac ac +-∴===． （Ⅱ）4cos 5B =，(0,)B π∈，3sin 5B ∴=， 由三角形的面积公式可得11sin 22bh ac B =，即35bh ac =，①，由余弦定理可得2222282cos 5b ac ac B a c ac =+-=+-，②，①②两式相除，得223333558828555ac h a c b a c a c ac c a c a ===+-+--…，当且仅当a c =时取等号， ∴h b 的最大值为32． 练．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 面积的大小为S ，2AC S ⋅=. （1）求A 的值；（2）若ABC 的外接圆直径为1，求22b c +的取值范围. 【答案】 （1）3π（2）33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）2AC S ⋅=进行化简，即可求出A 的值； （2）利用正弦定理结合已知条件将问题中的边化为角，再根据三角恒等变换及二倍角公式进行化简，最后结合角的范围即可求解.（1）2AC S⋅=1cos2sin2AB AC A AB ACA⋅=⨯⋅sinA A=当2Aπ=时，cos0A=，sin1A=，等式不成立所以cos0A≠，即tan A又()0,Aπ∈所以3Aπ=（2）解：ABC的外接圆直径为1，由正弦定理得：2sin sinb r B B==，2sin sinc rC C== 2222sin sin1cos21cos222141cos2cos2231441cos2cos cos2sin sin2233111cos222211sin226b c B CB CB BB B BB BBππππ∴+=+--=+⎡⎤⎛⎫=-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-++⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=+-⎪⎝⎭3Aπ=20,3Bπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭72,666Bπππ⎛⎫∴-∈-⎪⎝⎭1sin 2126B π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭ 3131sin 24262B π⎛⎫∴<+-≤ ⎪⎝⎭ 223342b c ∴<+≤ 22b c +的取值范围为：33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦.练.(2021·徐州联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且acos B ＝1，bsin A ＝2.(1) 求sin(A ＋C)的值和边长a 的值；(2) 当b 2＋c 2取最小值时，求△ABC 的面积．解： (1) 由正弦定理及acos B ＝1与bsin A ＝2，得2Rsin Acos B ＝1，2Rsin Bsin A ＝2(R 是△ABC 的外接圆半径)，两式相除，得12＝cos B sin B.设cos B ＝k ，sin B ＝2k ，因为B 是△ABC 的内角，所以sin B>0，所以k>0. 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以k ＝55，所以cos B ＝55，sin B ＝255. 将cos B ＝55代入acos B ＝1，得a ＝5， 所以sin(A ＋C)＝sin(π－B)＝sin B ＝255. (2) 由(1)及余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝5＋c 2－2c ，所以b 2＋c 2＝2c 2－2c ＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫c －122＋92≥92，当且仅当c ＝12时，b 2＋c 2取得最小值为92， 所以S △ABC ＝12acsin B ＝12×5×12×255＝12.例6-2．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos c a b A -=，3b =. （1）求B 的大小；（2）若a =ABC 的面积； （3）求aca c+的最大值.【答案】（1）3B π=；（2（3）最大值为32. 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可；（3）根据余弦定理，结合基本不等式、函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为22cos c a b A -=，又sin sin sin abcA B C ==， 所以2sin sin 2sin cos C A B A -=， 所以2sin()sin 2sin cos A B A B A +-=， 所以2sin cos sin 0A B A -=，因为(0,)A π∈，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，可得3B π=.（2）因为222b a c ac =+-，所以260c -=，所以c =，所以ABC 的面积为1sin 2S ac B ==（3）由229a c ac +-=，得2()93a c ac +=+，因为2()4a c ac +≤，所以223()9()4a c a c +≤++，所以36a c <+≤（当且仅当3a c ==时取等号）.设t a c =+，则(]3,6t ∈，所以293ac t a c t-=+， 设2919()33t f t t t t -⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 则()f t 在区间(]3,6上单调递增，所以()f t 的最大值为3(6)2f =，所以，aca c +的最大值为32.练．在①cos cos 2B b C a c=-+，②sin sin sin A b cB C a c +=-+，③2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，求a cb+的取值范围.【答案】1⎛ ⎝⎦【分析】选①，利用正弦定理边化角，得出角B ，再结合基本不等式即可求出取值范围； 选②，利用正弦定理角化边，得出角B ，再结合基本不等式即可求出取值范围； 选③，将三角形面积公式和数量积公式代入化简得出角B ，再结合基本不等式即可求出取值范围. 【详解】 选①，cos cos 2B bC a c=-+由正弦定理得 cos sin cos 2sin sin B B C A C=-+即sin cos 2sin cos cos sin B C A B B C =-- 整理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=-sin()2sin cos B C A B +=-即sin 2sin cos A A B =-∴1cos 2B =-(0)B π，Î∴2=3B π ∴22222223()()()()24a c a cb ac ac a c ac a c ++=++=+-≥+-=即223()4a cb +≥（当且仅当ac =时取等号）∴24()3a c b +≤∴a c b +≤又a c b +>∴1a cb+>1a c b +<≤即a c b +的取值范围为1⎛ ⎝⎦； 选②，sin sin sin A b cB C a c+=-+，由正弦定理得a b c b c a c+=-+，即222a ac b c +=- ∴2221cos 22a cb B ac +-==- (0)B π，Î∴2=3B π∴22222223()()()()24a c a cb ac ac a c ac a c ++=++=+-≥+-=即223()4a cb +≥（当且仅当ac =时取等号）∴24()3a c b +≤，即a c b +≤又a c b +>∴1a cb+>1a c b +<≤即a cb +的取值范围为1⎛ ⎝⎦； 选③，23S BA BC =⋅由1sin 2S ac B =，cos BA BC ac B ⋅=∴12sin cos 2ac B B ⨯=∴tan B =(0)B π，Î∴2=3B π ∴22222223()()()()24a c a cb ac ac a c ac a c ++=++=+-≥+-=即223()4a cb +≥（当且仅当ac =时取等号）∴24()3a c b +≤，即a c b +≤又a c b +>∴1a cb+>1a c b +<≤即a cb +的取值范围为1⎛ ⎝⎦.练. (2021·安徽蚌埠高三二模(文))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos C ＋3asin C －b －c ＝0，则△ABC 外接圆周长与△ABC 周长之比的最小值为________．答案：23π9 分析：根据正弦定理，acos C ＋3asin C －b －c ＝0化简可得A ＝π3，易知所求比值为2πr 2r （sin A ＋sin B ＋sin C ）＝πsin A ＋sin B ＋sin C，令y ＝π32＋sin B ＋sin C ＝π32＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6，利用三角函数值域即可求得最值．解析：因为acos C ＋3asin C －b －c ＝0，所以sin A·cos C＋3sin A·sin C －sin B －sin C ＝0，所以sin A·cos C＋3sin A·sin C＝sin B ＋sin C ．又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π－(A ＋C)，则sin B ＝sin(A ＋C)，所以sin Acos C ＋3sin Asin C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，即sin Acos C ＋3sin Asin C ＝sin Acos C ＋cos Asin C ＋sin C ．又sin C≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.因为A∈(0，π)，所以A －π6＝π6，则A ＝π3.又a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2r ，所以△ABC 外接圆周长与△ABC周长之比为2πr 2r （sin A ＋sin B ＋sin C ）＝πsin A ＋sin B ＋sin C .因为A ＝π3，所以sinA ＝32.设y ＝π32＋sin B ＋sin C ，要使y 最小，则sin B ＋sin C 取最大，sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C)＋sin C ＝sin Acos C ＋cos Asin C ＋sin C ＝32cos C ＋12sin C ＋sin C＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6.又C∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当C ＝π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1时，sin B ＋sin C 取最大值3，所以y min ＝π32＋3＝23π9. 点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”，求最值可转化为三角函数的值域问题．练. (2021·安徽蚌埠高三二模(理))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos C ＋23sin C －b －c ＝0，且a ＝2，则△ABC 内切圆半径的最大值为________． 答案：33分析：由已知可得acos C ＋3asin C －b －c ＝0，根据正弦定理化简求得A ＝π3，由余弦定理可得b ＋c 的取值范围，根据S △ABC ＝12(a ＋b ＋c)R ＝12bcsin A ，化简计算可求得结果．解析：因为acos C ＋23sin C －b －c ＝0，且a ＝2，所以acos C ＋3asin C －b －c ＝0，所以sin Acos C ＋3sin Asin C －sin B －sin C ＝0，所以sin Acos C ＋3sin Asin C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，化简，得3sin Asin C ＝cos Asin C ＋sin C ．又sin C≠0，所以3sin A －cos A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又A∈(0，π)，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以A －π6＝π6，则A ＝π3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以(b ＋c)2－4＝3bc.又bc≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，所以(b ＋c)2－4≤3（b ＋c ）42，所以0<b ＋c≤4.又b ＋c>a ＝2，所以2<b ＋c≤4.设△ABC 内切圆半径为R ，则S △ABC ＝12(a ＋b ＋c)R＝12bcsin A ，(2＋b ＋c)R ＝32bc ，即R ＝32·13[（b ＋c ）2－4]2＋b ＋c ＝36·(b＋c －2)≤36。
2022届高考数学解三角形综合满分突破专题四 三角形中的最值(范围)问题(解析版)
专题四 三角形中的最值(范围)问题三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(最值)问题也不例外．三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，πB ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 答案 C 解析 因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，所以A 为锐角．又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．(2)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎭⎫0，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π2D ．⎝⎛⎦⎤π6，π2 答案 A 解析 因为c ＝AB ＝1，a ＝BC ＝2，b ＝AC ．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1<b <3，根据余弦定理cos C ＝12ab (a 2＋b 2－c 2)＝14b (4＋b 2－1)＝14b (3＋b 2)＝34b ＋b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3b －b 2＋32≥32．所以0<C ≤π6．故选A ． (3)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎦⎤0，π4C ．⎣⎡⎦⎤π6，π4D ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 答案 B 解析 法一：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角，又sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． 法二：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12b 2＋c 22bc ≥2 12b 2·c 22bc ＝22，当且仅当c ＝22b 时等号成立，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． (4)(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案 6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c ．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2 ⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab ＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24． (5)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2＋2b 2＝c 2，则tan C tan A ＝_____；tan B 的最大值为________．答案 －3 33 解析 由正弦定理可得tan C tan A ＝sin C sin A ·cos A cos C ＝c a ·cos A cos C ，再结合余弦定理可得tan C tan A ＝c a ·cos A cos C＝c a ·b 2＋c 2－a 22bc ·2ab a 2＋b 2－c 2＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2．由a 2＋2b 2＝c 2，得tan C tan A ＝b 2＋a 2＋2b 2－a 2a 2＋b 2－a 2－2b 2＝－3．由已知条件及大边对大角可知0＜A ＜π2＜C ＜π，从而由A ＋B ＋C ＝π可知tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝－1＋tan C tan A 1tan A －tan C ＝23－tan C＋(－tan C )，因为π2＜C ＜π，所以3－tan C ＋(－tan C )≥23－tan C×(－tan C )＝23(当且仅当tan C ＝－3时取等号)，从而tan B ≤223＝33，即tan B 的最大值为33． (6)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．33C ．8D ．63解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ．又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，∴tan B tan C ＝tan A tan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号．【对点训练】1．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，π2B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，π2 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范 围是( )A ．⎝⎛⎦⎤π6，2π3B ．⎣⎡⎦⎤π6，π4C ．⎝⎛⎦⎤0，π6D ．⎣⎡⎭⎫π6，π3 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，满足cos A sin B sin C ＋cos B sin A sin C ＝2cos C sin A sin B ，则C 的最大值为________．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为________．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，则cos C 的最小值为( )A ．32B ．22C ．12D ．－126．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A ．2 B ．98 C ．1 D ．787．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A －B )取最大值时， 角B 的值为________．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B ＝c sin C －2a sin B ，则sin2A tan 2B 的最大值是__________．9．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．11．(2016江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是________．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A－1tan B的取值范围是________． 13．在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________． 考点二 三角形中与边或周长有关的最值(范围)【例题选讲】[例2](1)已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．答案 2 解析 ∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π4．设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ，得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，∴b ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴AC 边的长的最小值为2．(2)(2015·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 答案 (6－2，6＋2) 解析 通法：依题意作出四边形ABCD ，连结BD ．令BD ＝x ，AB ＝y ，∠CDB ＝α，∠CBD ＝β．在△BCD 中，由正弦定理得2sin α＝x sin 75．由题意可知，∠ADC ＝135°，则∠ADB＝135°－α．在△ABD 中，由正弦定理得x sin 75°＝y sin(135°－α)．所以y sin(135°－α)＝2sin α，即y ＝2sin(135°－α)sin α＝2sin[90°－(α－45°)]sin α＝2cos(α－45°)sin α＝2(cos α＋sin α)sin α．因为0°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，当α＝90°时，易得y ＝2；当α≠90°时，y ＝2(cos α＋sin α)sin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1．又tan 30°＝33，tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°tan 45°＝－2－3，结合正切函数的性质知，1tan α∈(3－2，3)，且1tan α≠0，所以y ＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1∈(6－2，2)∪(2，6＋2)．综上所述：y ∈(6－2，6＋2)．提速方法：画出四边形ABCD ，延长CD ，BA ，探求出AB 的取值范围．如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE ．在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－2．在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋2．∴6－2<AB <6＋2．(3)在△ABC 中，若C ＝2B ，则c b的取值范围为________． 答案 (1，2) 解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1．因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<c b<2． (4) (2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__________；c a 的取值范围是__________．答案 60° (2，＋∞) 解析 由已知得34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ，所以3(a 2＋c 2－b 2)2ac＝sin B ，由余弦定理得3cos B ＝sin B ，所以tan B ＝3，所以B ＝60°，又C ＞90°，B ＝60°，所以A <30°，且A ＋C ＝120°，所以c a ＝sin C sin A ＝sin (120°－A )sin A ＝12＋32tan A ．又A <30°，所以0＜tan A <33，即1tan A >3，所以c a >12＋32＝2． (5)在△ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为, , a b c ，且满足sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，则2ab c 的最大值为__________．答案 32解析 由sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，得sin (sin cos cos sin )sin sin cos A B C B C B C A -=，由正弦定理可得cos cos cos ab C ac B bc A -=，由余弦定理可得22222222a b c a c b ab ac bc ab ac +-+--=2222b c a bc+-，化简得2223a b c +=，又因为22232c a b ab =+≥，当且仅当a b =时等号成立，可得232ab c ≤，所以2ab c 的最大值为32． (6)在△ABC 中，若C ＝60°，c ＝2，则a ＋b 的取值范围为________．答案 (2，4] 解析 由题意，得c ＝2．由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥14(a ＋b )2，得a ＋b ≤4．又由三角形的性质可得a ＋b >2，综上可得2<a ＋b ≤4． (7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1，32B ．⎝⎛⎭⎫32，32C ．⎝⎛⎭⎫12，32D ．⎝⎛⎦⎤12，32 答案 B 解析 在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A 是△ABC 的内角，所以A ＝60°．因为a ＝32，所以由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin (120°－B )＝1，所以b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋30°)．因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＞0，所以cos B ＜0，B 为钝角，所以90°＜B ＜120°，120°＜B ＋30°＜150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32，所以b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32． (8) (2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9 解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．(9)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________． 答案 12 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A ．又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3．∵0<A <π，∴A ＝π3．由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12．(10)在△ABC 中，∠ACB ＝60°，BC >1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________． 答案 1＋22 解析 设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，△ABC 的周长为l ，由b ＝c ＋12，得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12．又cos 60°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即ab ＝a 2＋b 2－c 2，得a ⎝⎛⎭⎫c ＋12＝a 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋122－c 2，即c ＝a 2－12a ＋14a －1．l ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)2＋43()a －1＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)＋12(a －1)＋43＋12≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a －1)×12(a －1)＋43＋12，当且仅当a －1＝12(a －1)时，△ABC 的周长最短，此时a ＝1＋22，即BC 的长是1＋22． 【对点训练】1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3C ．2D ．32．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B ，C 为钝角，则c b的取值范围是________． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝3B ，则a b的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(1，3) C ．(0，1] D ．(1，2]5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，其面积满足S △ABC ＝14a 2，则c b的最大值为( ) A ．2－1 B ．2 C ．2＋1 D ．2＋26．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．7．在外接圆半径为12的△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则b ＋c 的最大值是( )A ．1B ．12C ．3D ．328．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则2a ＋c 的最大值为________．9．在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则3a ＋b 的最大值为( ) A ．7 B ．27 C ．37 D ．4710．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3B ．2213C ．32D ．35211．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且BC 边上的高为36a ，则c b ＋b c取得最大值时，内角A 的值为( )A ．π2B ．π6C ．2π3D ．π312．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5，6]B ．(3，5)C ．(3，6]D ．[5，6]13．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．14．凸函数是一类重要的函数，其具有如下性质：若定义在(a ，b )上的函数f (x )是凸函数，则对任意的x i ∈(a ，b )(i ＝1，2，…，n )，必有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ≥f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n 成立．已知y ＝sin x 是(0，π)上的凸函数，利用凸函数的性质，当△ABC 的外接圆半径为R 时，其周长的最大值为________．考点三 三角形中与面积有关的最值(范围)【例题选讲】[例3](1)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan A ＝43，a ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12答案 C 解析 因为tan A ＝43，所以sin A cos A ＝43．又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos 2A ＝925，解得cos A ＝35或cos A ＝－35(舍去)，故sin A ＝45．又16＝b 2＋c 2－2bc ×35≥2bc －65bc ，所以bc ≤20，当且仅当b ＝c ＝25时取等号，故△ABC 的面积的最大值为12×20×45＝8． (2)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝⎛⎭⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________．答案 33 解析 因为⎝⎛⎭⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ，所以cos A 2＝sin B b ，又sin B b ＝sin A a ，a ＝23，所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12，当且仅当b ＝c ＝23时取等号，从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝33． (3)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．答案 8 解析 由题意得，4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得，2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8．(4)若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且S ＝c 2－(a －b )2，a ＋b ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．答案 417解析 S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －(a 2＋b 2－c 2)，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴c 2－(a －b )2＝2ab (1－cos C )，即S ＝2ab (1－cos C )．∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝4(1－cos C )．又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，∴17cos 2C －32cos C ＋15＝0，解得cos C ＝1517或cos C ＝1(舍去)，∴sin C ＝817，∴S ＝12ab sin C ＝417a (2－a )＝－417(a －1)2＋417．∵a ＋b ＝2，∴0<a <2，∴当a ＝1，b ＝1时，S max ＝417． (5)已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )·sin B ，则△ABC 面积的最大值为________．答案 2＋12R 2 解析 由正弦定理得a 2－c 2＝(2a －b )b ，即a 2＋b 2－c 2＝2ab ．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab 2ab ＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4．∴S ＝12ab sin C ＝12×2R sin A ·2R sin B ·22＝2R 2sin A sin B ＝2R 2sin A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2R 2sin A ⎝⎛⎭⎫22cos A ＋22sin A ＝R 2(sin A cos A ＋sin 2A )＝R 2⎝⎛⎭⎫12sin 2A ＋1－cos 2A 2＝R 2⎣⎡⎦⎤22sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＋12，∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，∴2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，∴S ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2＋12R 2，∴面积S 的最大值为2＋12R 2． (6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos B cos A．若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，如图所示，则四边形OACB 面积的最大值是( )A ．4＋534B ．8＋534C ．3D ．4＋52答案 B 解析 由b a ＝1－cos B cos A及正弦定理得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＝sin A ，所以sin C ＝sin A ，因为A ，C ∈(0，π)，所以C ＝A ，又b ＝c ，所以A ＝B ＝C ，△ABC 为等边三角形．设△ABC的边长为k ，则k 2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S 四边形OACB ＝12×1×2sin θ＋34k 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534≤2＋534＝8＋534，所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值，且最大值为8＋534． 【对点训练】1．(2014·全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．2．在△ABC 中，若AB ＝2，AC 2＋BC 2＝8，则△ABC 面积的最大值为( )A ．2B ．2C ．3D ．33．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．21B ．3214C ．212D ．321 4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝a 2－(b －c )2，且b ＋c ＝8，则 S 的最大值为________．5．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( )A ．22B ．32C ．23D ．32 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin A －sin B ＝13sin C ，3b ＝2a ，2≤a 2＋ac ≤18， 设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A ．529B ．729C ． 2D ．9287．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ，且4a 2＝b 2＋2c 2，则S a2的 最大值为________．专题四 三角形中的最值(范围)问题三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(最值)问题也不例外．三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，πB ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 答案 C 解析 因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，所以A 为锐角．又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．(2)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎭⎫0，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π2D ．⎝⎛⎦⎤π6，π2 答案 A 解析 因为c ＝AB ＝1，a ＝BC ＝2，b ＝AC ．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1<b <3，根据余弦定理cos C ＝12ab (a 2＋b 2－c 2)＝14b (4＋b 2－1)＝14b (3＋b 2)＝34b ＋b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3b －b 2＋32≥32．所以0<C ≤π6．故选A ． (3)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎦⎤0，π4C ．⎣⎡⎦⎤π6，π4D ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 答案 B 解析 法一：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角，又sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． 法二：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12b 2＋c 22bc ≥2 12b 2·c 22bc ＝22，当且仅当c ＝22b 时等号成立，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． (4)(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案6－24 解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c ．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab22ab≥2⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24． (5)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2＋2b 2＝c 2，则tan Ctan A ＝_____；tan B 的最大值为________．答案 －333 解析 由正弦定理可得tan C tan A ＝sin C sin A ·cos A cos C ＝c a ·cos A cos C ，再结合余弦定理可得tan C tan A ＝c a ·cos A cos C＝c a ·b 2＋c 2－a 22bc ·2ab a 2＋b 2－c 2＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2．由a 2＋2b 2＝c 2，得tan C tan A ＝b 2＋a 2＋2b 2－a 2a 2＋b 2－a 2－2b 2＝－3．由已知条件及大边对大角可知0＜A ＜π2＜C ＜π，从而由A ＋B ＋C ＝π可知tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－1＋tan Ctan A 1tan A －tan C ＝23－tan C ＋(－tan C )，因为π2＜C ＜π，所以3－tan C ＋(－tan C )≥23－tan C×(－tan C )＝23(当且仅当tan C ＝－3时取等号)，从而tan B ≤223＝33，即tan B 的最大值为33．(6)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．33C ．8D ．63解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ．又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，∴tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号．【对点训练】1．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，π2B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，π2 1．答案 D 解析 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0．则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2．又a 为最大边，∴A >π3．因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范 围是( )A ．⎝⎛⎦⎤π6，2π3B ．⎣⎡⎦⎤π6，π4C ．⎝⎛⎦⎤0，π6D ．⎣⎡⎭⎫π6，π3 2．答案 C 解析 在△ABC 中，由正弦定理化简已知的等式得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即 sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32(当且仅当c 2＝3a 2，即c ＝3a 时取等号)，因为A 为△ABC 的内角，且y ＝cos x在(0，π)上是减函数，所以0＜A ≤π6，故角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6． 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，满足cos A sin B sin C ＋cos B sin A sin C ＝2cos C sin A sin B ，则C 的最大值为________．3．答案 π3 解析 由正弦定理，得bc cos A ＋ac cos B ＝2ab cos C ，由余弦定理，得bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ，∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a2＋b 2－12(a 2＋b 2)2ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时，取等号．∵0<C <π，∴0<C ≤π3，∴C 的最大值为π3． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为________． 4．答案 12 解析 因为b 2＋c 2＝2a 2，则由余弦定理可知a 2＝2bc cos A ，所以cos A ＝a 22bc ＝12×b 2＋c 22bc ≥12×2bc 2bc＝12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，即cos A 的最小值为12． 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，则cos C 的最小值为( )A ．32 B ．22 C ．12 D ．－125．答案 C 解析 因为cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 22a 2＋b 2＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C ．6．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A ．2B ．98C ．1D ．786．答案 B 解析 ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A －B )取最大值时，角B 的值为________．7．答案 π6 解析 由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )，整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ，易得tan A >0，tan B >0．所以tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝21tan B ＋3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值，所以B ＝π6．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B ＝c sin C －2a sin B ，则sin2A tan 2B 的最大值是__________．8．答案 3－22 解析 依题意得a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，则2ab cos C ＝－2ab ，所以cos C ＝－22， 所以C ＝3π4，A ＝π4－B ，所以sin2A tan 2B ＝cos2B tan 2B ＝(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B ．令1＋tan 2B ＝t ，其中t ∈(1,2)，则有(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B ＝(2－t )(t －1)t ＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋3≤3－22，当且仅当t ＝2时取等号．故sin 2A tan 2B 的最大值是3－22．9．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 9．答案2＋12解析 解法1 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以，sin(A ＋B )＝2cos A cos B ，化简得tan A ＋tan B ＝2，cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A sin 2A ＋cos 2A ＋cos 2B sin 2B ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝tan 2A ＋tan 2B ＋2(tan A tan B )2＋tan 2A ＋tan 2B ＋1＝(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋2(tan A tan B )2＋(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋1＝6－2tan A tan B(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5．因为分母(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5>0，所以令6－2tan A tan B ＝t (t >0)，则cos 2A ＋cos 2B ＝4t t 2－8t ＋32＝4t ＋32t－8≤4232－8＝2＋12(当且仅当t ＝42时取等号)． 解法2 由解法1得tan A ＋tan B ＝2，令tan A ＝1＋t ，tan B ＝1－t ，则cos 2A ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝1t 2＋2＋2t ＋1t 2＋2－2t ＝2（t 2＋2）（t 2＋2）2－4t 2，令d ＝t 2＋2≥2，则cos 2A ＋cos 2B ＝2d d 2－4d ＋8＝2d ＋8d－4≤228－4＝2＋12，当且仅当d ＝22时等号成立．解法3 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin C ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，即cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B 2＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－cos C (sin C ＋cos C )＝12－12(sin2C ＋cos2C )＝12－22sin(2C ＋π4)≤12＋22＝2＋12，当且仅当2C ＋π4＝3π2，即C ＝5π8时取等号． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．10．答案 34解析 在△ABC 中，因为3a cos C ＋b ＝0，所以C 为钝角，由正弦定理得3sin A cos C ＋sin(A＋C )＝0，3sin A cos C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝0，所以4sin A cos C ＝－cos A ·sin C ，即tan C ＝－4tan A ．因为tan A >0，所以tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－3tan A－4tan 2A －1＝34tan A ＋1tan A≤324＝34，当且仅当tan A ＝12时取等号，故tan B 的最大值是34． 11．(2016江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是________． 11．答案 8 解析 因为sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，因此tan A tan B tan C＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥2 2 tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ≥8．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A－1tan B的取值范围是________． 12．答案 ⎝⎛⎭⎫1，233 解析 思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入，又因已知锐角和边的关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，本题所求为正切值，故可以构造直角三角形，用边的关系处理．解法1 原式可化为1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝sin B cos A －cos B sin A sin A sin B ＝sin (B －A )sin A sin B ．由b 2－a 2＝ac 得，b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a ＝c －2a cos B ，也就是sin A ＝sin C －2sin A cos B ，即sin A ＝sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin(B －A )，由于△ABC 为锐角三角形，所以有A ＝B －A ，即B ＝2A ，故1tan A －1tan B ＝1sin B ，在锐角三角形ABC 中易知，π3<B <π2，32<sin B <1，故1tan A －1tan B ∈⎝⎛⎭⎫1，233．解法2 根据题意，作CD ⊥AB ，垂足为点D ，画出示意图．因为b 2－a 2＝AD 2－BD 2＝(AD ＋BD )(AD －BD )＝c (AD －BD )＝ac ，所以AD －BD ＝a ，而AD ＋BD ＝c ，所以BD ＝c －a 2，则c >a ，即ca >1，在锐角三角形ABC 中有b 2＋a 2>c 2，则a 2＋a 2＋ac >c 2，即⎝⎛⎭⎫c a 2－c a －2<0，解得－1<c a <2，因此，1<c a <2．而1tan A －1tan B ＝AD －BD CD＝a a 2－⎝⎛⎭⎫c －a 22＝11－14⎝⎛⎭⎫c a －12∈⎝⎛⎭⎫1，233．13．在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．13．答案132解析 解法1 因为2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，所以由正弦定理可得2a 2＋b 2＝2c 2，由余弦 定理及正弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝b 24ab ＝b 4a ＝sin B4sin A ，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C 4sin A ＝cos C 4＋sin C4tan C，可得tan C ＝3tan A ，代入tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A tan B tan C 得tan B ＝4tan A 3tan 2A －1，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋3tan 2A －14tan A ＋13tan A ＝3tan A 4＋1312tan A ，因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan A >0，所以3tan A 4＋1312tan A ≥23tan A 4×1312tan A ＝132，当且仅当3tan A 4＝1312tan A，即tan A ＝133时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132． 解法2 过点B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，DC ＝y ，BD ＝h ，则tan A ＝h x ，tan C ＝hy ．同解法1可得tan C ＝3tan A ，tan B ＝4tan A 3tan 2A －1 则h y ＝3h x ，即x ＝3y ，tan B ＝4hx 3⎝⎛⎭⎫h x 2－1＝4hx 3h 2－x 2，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝x h ＋3h 2－x 24hx ＋y h ＝3y h ＋3h 2－9y 212hy ＋y h ＝13y 4h ＋h 4y ≥132．当且仅当13y 4h ＝h 4y ，即y ＝113h 时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132． 考点二 三角形中与边或周长有关的最值(范围) 【例题选讲】[例2](1)已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．答案 2 解析 ∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π4．设角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ，得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，∴b ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴AC 边的长的最小值为2．(2)(2015·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 答案 (6－2，6＋2) 解析 通法：依题意作出四边形ABCD ，连结BD ．令BD ＝x ，AB ＝y ，∠CDB ＝α，∠CBD ＝β．在△BCD 中，由正弦定理得2sin α＝x sin 75．由题意可知，∠ADC ＝135°，则∠ADB＝135°－α．在△ABD 中，由正弦定理得x sin 75°＝y sin(135°－α)．所以y sin(135°－α)＝2sin α，即y ＝2sin(135°－α)sin α＝2sin[90°－(α－45°)]sin α＝2cos(α－45°)sin α＝2(cos α＋sin α)sin α．因为0°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，当α＝90°时，易得y ＝2；当α≠90°时，y ＝2(cos α＋sin α)sin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1．又tan 30°＝33，tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°tan 45°＝－2－3，结合正切函数的性质知，1tan α∈(3－2，3)，且1tan α≠0，所以y ＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1∈(6－2，2)∪(2，6＋2)．综上所述：y ∈(6－2，6＋2)．提速方法：画出四边形ABCD ，延长CD ，BA ，探求出AB 的取值范围．如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE ．在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－2．在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋2．∴6－2<AB <6＋2．(3)在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．答案 (1，2) 解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1．因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2． (4) (2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__________；ca的取值范围是__________．答案 60° (2，＋∞) 解析 由已知得34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ，所以3(a 2＋c 2－b 2)2ac ＝sin B ，由余弦定理得3cos B ＝sin B ，所以tan B ＝3，所以B ＝60°，又C ＞90°，B ＝60°，所以A <30°，且A ＋C ＝120°，所以c a ＝sin C sin A ＝sin (120°－A )sin A ＝12＋32tan A ．又A <30°，所以0＜tan A <33，即1tan A >3，所以c a >12＋32＝2．(5)在△ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为, , a b c ，且满足sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，则2abc 的最大值为__________． 答案32解析 由sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，得sin (sin cos cos sin )sin sin cos A B C B C B C A -=，由正弦定理可得cos cos cos ab C ac B bc A -=，由余弦定理可得22222222a b c a c b ab ac bcab ac+-+--=2222b c a bc+-，化简得2223a b c +=，又因为22232c a b ab =+≥，当且仅当a b =时等号成立，可得232ab c ≤，所以2ab c的最大值为32．(6)在△ABC 中，若C ＝60°，c ＝2，则a ＋b 的取值范围为________．答案 (2，4] 解析 由题意，得c ＝2．由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥14(a ＋b )2，得a ＋b ≤4．又由三角形的性质可得a ＋b >2，综上可得2<a ＋b ≤4．(7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1，32B ．⎝⎛⎭⎫32，32 C ．⎝⎛⎭⎫12，32 D ．⎝⎛⎦⎤12，32 答案 B 解析 在△ABC中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A是△ABC 的内角，所以A ＝60°．因为a ＝32，所以由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝csin (120°－B )＝1，所以b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋30°)．因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＞0，所以cos B ＜0，B 为钝角，所以90°＜B ＜120°，120°＜B ＋30°＜150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32，所以b ＋c＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32．(8) (2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9 解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．(9)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．答案 12 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A ．又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3．∵0<A <π，∴A ＝π3．由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12．(10)在△ABC 中，∠ACB ＝60°，BC >1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________．答案 1＋22 解析 设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，△ABC 的周长为l ，由b ＝c ＋12，得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12．又cos 60°＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，即ab ＝a 2＋b 2－c 2，得a ⎝⎛⎭⎫c ＋12＝a 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋122－c 2，即c ＝a 2－12a ＋14a －1．l ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)2＋43()a －1＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)＋12(a －1)＋43＋12。
专题24解三角形中地最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意 2 2a c, ac, a c 三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.a b c1、正弦定理： 2Rsin A sin B sin C，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化. 其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征. 如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/ 科-+ 网例如：（1） 2 2 2 2 2 2sin A sin B sin Asin B sin C a b ab c（2）bcosC c cosB a sin B cosC sinC cosB sinA（恒等式）（3）b c sin B sinC2 2a sin A2、余弦定理： 2 2 2 2 cosa b c bc A变式： 22 2 1 cosa b c bc A 此公式在已知a, A的情况下，配合均值不等式可得到 b c和bc的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可. 由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：a b A B sin A sin B cosA cosB其中由A B cosA cosB 利用的是余弦函数单调性，而 A B sin A sin B 仅在一个三角形内有效.5 、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【经典例题】1例1. 【2018 届百校联盟中，，T OP20高三四月联考全国一卷】已知四边形_____. 【答案】设与面积分别为，则的最大值为【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、点睛：求解三角函数的最值( 或值域取得．余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处】在中，角A,B,C 所对的边分别例2.【2018 届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研数 a 的取值范围是____________. 【答案】.为，则实【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3. 【2018 届浙江省杭州市高三第二次检测】在△A BC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任_____．【答案】 2意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为为，，，且满足例4. 【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5. 【2018 届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是, 且.(1) 求角的大小；(2) 设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1) (2) .【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6. 【2018 届四川省攀枝花市高三第三次（ 4 月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为, 且. 学/ 科/* 网（Ⅰ）求角；（II ）若, 当有且只有一解时, 求实数的范围及的最大值.【答案】( Ⅰ).( Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到, 再解这个三角方程即得A的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：( Ⅰ) 由己知( Ⅱ) 由己知，当有且只有一解时，或, 所以；当时，为直角三角形，当时，由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.例7. 【2018 届四川省资阳市高三 4 月（三诊）】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a b sinA sinB c sinC sinB ．（1）求A．（2）若a4，求 2 2b c 的取值范围．【答案】（1） A ；（2）16,32 .32 2 16 16b c bc ，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得 a b a b c c b ，即 2 2 2a b c bc ，则2 2 2 1b c a2bc 2，即1cosA ，由于0 A π，2【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题. 在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说, 当条件中同时出现ab 及 2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.x x x x例8．【2018 届甘肃省张掖市高三三诊】已知m 3cos ,cos ，sin ,cosn ，设函数4 44 4f x m n．（1）求函数f x 的单调增区间；（2）设ABC的内角A，B ，C 所对的边分别为 a ，b，c，且a ，b，c 成等比数列，求 f B的取值范围．【答案】(1)4 24 ,4k k ，k Z ．(2)3 31,3 12.【解析】试题分析：（1）由题x x x x x 1f x m n 3cos ,cos sin ,cos sin ，根据4 4 4 4 2 6 2k k 可求其单调增区间；2 2 6 25（2）由题 2b ac 可知cosB2 2 2 2 2 2 1a cb ac ac ac ac2ac 2ac 2ac 2，（当且仅当 a c 时取等号），所以0 B ，3B6 2 6 3，由此可求 f B 的取值范围．（当且仅当 a c时取等号），所以0 B ，3B6 2 6 3，13 1f B ，综上， f B 的取值范围为21,3 12．例9. 【2018 届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC中，A,B,C 对边为a, b,c，2 2 2 sin3 cosb ac B C ac A C（1）求A的大小；（2）求代数式b ca的取值范围. 【答案】（1）3b c（2） 3 2a【解析】试题分析：（1）由 2 2 2 sin 3 cosb ac B C ac A C 及余弦定理的变形可得2cosBsinA 3cosB ，因为cosB 0，故得3sin A，从而可得锐角ABC中2A ．（2）利用正3弦定理将所求变形为2sinB sin Bb c 32sin Ba sinA 6，然后根据B的取值范围求出代数6b c式的取值范围即可．试题解析：a（1）∵ 2 2 2 2 cosb ac ac B ，2 2 2 sin3 cosb ac B C ac A C ，∴2accosBsin B C 3accos A C ，∴2cosBsin A 3 cos B , ∴2cosBsinA 3cosB ，6∴2 3 3sin B sin B sin B cosBb c sinB sin C 3 2 22sin Ba A Asin sin 6sin3,∵ABC为锐角三角形，且 A ∴3 {BC22，即{0 B22B3 2, 解得 B ，6 2∴2B ,∴3 6 33 b csin B 1．∴ 3 22 6 a．故代数式b ca的取值范围3, 2 ．点睛：（1）求b ca的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如y Asin x 的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x 的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得B的范围，然后结合函6数的图象可得sin B 的范围，以达到求解的目的．6例10. 【2018 届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b, c ，若向量m b 2c,cosB ,n a,cosA ，且m/ /n.（1）求角A的值；（2）已知ABC的外接圆半径为 2 33 ，求ABC周长的取值范围.【答案】(1) A(2) 4,63【解析】试题分析：（1）由m/ /n，得（6 2 c)co s A a c o s B0 ，利用正弦定理统一到角上易得1 cosA ；2（2）根据题意，得a 2 R sinA 2，由余弦定理，得 22 3a b c bc ，结合均值不等式可得2b c 16 ，所以b c的最大值为4，又b c a 2，从而得到ABC周长的取值范围.得1cosA . 又A 0, ，所以2A .37（2）根据题意，得4 3 3a 2Rsin A2. 由余弦定理，得3 222 2 2 2 cos 3a b c bc A b c bc ，即2b c23bc b c 4 3 ，整理得22b c 16 ，当且仅当b c 2时，取等号，所以b c的最大值为 4. 又b c a 2，所以2 b c 4，所以4 a b c 6 .所以ABC的周长的取值范围为4,6 .【精选精练】1. 【2018 届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018 届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若, 则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】 C【解析】，，，，又，，，，故选 C.3．【2018 届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD中，AB 2 ，BC CD DA 1，设ABD 、BCD 的面积分别为S1 、S2 ，则当 2 2S S 取最大值时，BD __________．【答案】1 2 1028【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用, 考查同角三角函数关系, 考查利用余弦定理解三角形, 考查二次函数最值的求法. 首先根据题目所求, 利用三角形面积公式, 写出面积的表达式, 利用同角三角函数关系转化为余弦值, 利用余弦定理化简, 再利用配方法求得面积的最值, 并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018 届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________. 【答案】5．【2018 届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+ , 则的范围是__________．【答案】【解析】由+ 得, 所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018 届四川省攀枝花市高三第三次（ 4 月）统考】已知锐角ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c , 且2acosC c 2b, a 2, 则ABC的最大值为__________．【答案】 39即b c 4，所以ABC的最大值为1 1 3S bcsinA 4 3 ．max2 2 2点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018 届宁夏石嘴山市高三 4 月适应性测试（一模）】已知a,b, c分别为ABC内角A,B,C 的对边，且bsin A3acosB .（1）求角B；（2）若b 2 3 ，求ABC面积的最大值. 【答案】（1）B；（2）3 3 .3【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tanB 3 ，从而得解；（2）由余弦定理得 2 2 2 2 cosb ac ac B ，2 212 a c ac 结合 2 22a c ac 即可得最值.试题解析：（1）∵bsin A3acosB ，∴由正弦定理可得sinBsinA 3sinAcosB ，即ABC面积的最大值为 3 3 .8．【2018 届四川省攀枝花市高三第三次（ 4 月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为, 且.（Ⅰ）求角；（II ）若, 当有且只有一解时, 求实数的范围及的最大值.10【答案】( Ⅰ).( Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到, 再解这个三角方程即得A的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解：( Ⅰ) 由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时, 容易漏掉m=2这一种情况. 此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背. 先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC中，内角A, B,C 所对的边分别为a,b, c，已知asinC 3ccosA. （1）求角A的大小；（2）若b2，且 B ，求边 c 的取值范围.4 3【答案】(1) A ；(2) 2, 3 1 .311在ABC中，由正弦定理，得b csinB sinC，∴c22sin B2sinC 3 3cosB 31 1sin B sin B sin B tanB，∵ B ，∴1 tanB 3 ，∴2 c 3 1，即c 的取值范围为2, 3 1 .4 310．【2018 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC三个内角A, B,C 的对边分别为a,b,c ，ABC的面积S满足432 2 2S a b c ．（1）求角 C 的值；（2）求cos2A cos A B 的取值范围．【答案】（1）23；（2）0, 3tanC 3 ，又0 C ，2C .3（2）3 3cos2A cos A B =cos2A cos 2A cos2A sin2 A = 3sin 2A3 2 230 A , 2A3sin 2A0，, 33 3 3 311．【2018 届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三 4 月联考】在ABC中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知 2 2 2a c b，且sinAcosC 3cosAsin C.（1）求b的值；（2）若B，S为ABC的面积，求S 8 2cosAcosC 的取值范围.412【答案】(1) b 4 (2) 8,8 2【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理，sinAcosC 3cosAsinC 可转化为22 2ba c ，又22 2 2a cb ，从而得到b的值；（2）由正弦定理1S bcsinA 8 2sinAsinC ，故2S 8 2cosAcosC 8 2cos 2A34限制角 A 的范围，求出S 8 2cosAcosC 的取值范围.（2）由正弦定理b csin B sin C 得1 1 4S bcsinA 4 sin A sin C8 2sinAsinC2 2sin43S 8 2cosAcosC 8 2cos A C 8 2cos 2A，4在ABC中，由30 A40 A{ 2得3A 2 3 0,, A ，A2 3 0,8 24 43 2cos 2A ,14 20 C2A CS 8 2cosAcosC 8,8 2 .12．【衡水金卷信息卷（五）】在锐角ABC中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c，且2 B C 5sin 2 A sin .2 2 4（1）求角A；（2）若a 3，求ABC周长的取值范围.【答案】(1) A (2) 3 3,3 33133 3,3 3 .试题解析：（1）∵ 2 B C 5sin 2A sin ，∴2 2 41 cos B C 5 cos2 A ，2 4∴ 2 1 cosA 52cos A 1 ，整理，得2 428cos A 2cosA 1 0，∴1cosA 或41cosA ，2∵0 A ，∴21cosA ，即2A .3（2）设ABC的外接圆半径为r ，则2 3 2arsinA 32 ，∴r 1 .∴b c 2r sinB sinC 22sinB sin B 2 3sin B ，3 6∴ABC周长的取值范围是 3 3,3 3 .WORD格式14 专业资料。
压轴题05 三角函数与解三角形范围与最值问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题05三角函数与解三角形范围与最值问题三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．考向一：ω取值与范围问题考向二：面积与周长的最值与范围问题考向三：长度的范围与最值问题1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．一、单选题1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π()sin cos (0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．131,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．7,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．131,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】π1()sin cos sin sin 62f x x x x x x ωωωωω⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin cos 22x x ωω=-1sin cos 22x x ωω⎫=-⎪⎪⎭π6x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为()f x 在 [0,π]上仅有2个零点，当 [0,π]x ∈时，πππ,π666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦（0ω>），所以πππ6ππ2π6ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得71366ω≤<．故选：B.2．（2023·吉林长春·统考三模）已知函数()π2cos 13f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（0ω>）的图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．25,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．57,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()0,2πx ∈，0ω>，所以πππ,2π333x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，画出2cos 1y z =+的图象，要想图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ππ2π,3π33ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，解得50,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：A3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知函数())π2sin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A ．75,93⎛⎤⎥⎝⎦B ．75,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1010,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1010,93⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】由题意知π3sin 62x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有两个解．因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3ππ,6646x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则需2π3ππ7π3463ω≤-<，解得101093ω≤<．故选：C4．（2023·广西·统考一模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于180︒的四边形.已知在平面凸四边形ABCD 中，30,105,2A B AB AD ∠=︒==︒∠=，则CD 的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎣⎭C ．⎣⎭D ．212⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A【解析】在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 3422cos301BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯=，显然2224AB BD AD +==，即90ABD ∠=o ，60ADB ∠=o ，在BCD △中，1BD =，15CBD ∠= ，因为ABCD 为平面凸四边形，则有0120BDC <∠< ，因此45165BCD <∠< ，而62sin165sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302==-=-=，由正弦定理sin sin CD BD CBD BCD =∠∠得：sin 62sin 4sin BD CBD CD BCD BCD∠==∠∠，当4590BCD <∠≤ 时，sin 12BCD <∠≤，当90165BCD <∠< 时，sin 1BCD <∠<，sin 1BCD <∠≤，11sin BCD ≤<∠1CD ≤<，所以CD 的取值范围是62[4.故选：A5．（2023·全国·校联考二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，若2222b a c =+，则△ABC 面积的最大值为（）A ．2B ．34C ．1D ．32【答案】D【解析】因为2222b a c =+，所以()222cos ,0,π22a c b aB B ac c+-==-∈，所以sin B =42c=，所以△ABC 的面积14sin 24ABCS ac B == =222194122a c a +-⨯()22421122a c +=⨯32=，当且仅当22249c a a -=，即a c ==ABC 面积的最大值为32.故选:D6．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知60B = ，4b =，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【解析】由余弦定理可得22222162cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=，即16ac ≤，当且仅当4a c ==时，等号成立，故1sin 162ABC S ac B ac =⨯= .因此，ABC面积的最大值为故选：B.7．（2023·全国·模拟预测）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数，其图象关于直线π36x =-对称，且f （x ）的一个零点是7π72x =，则ω的最小值为（）A ．2B ．12C ．4D ．8【答案】C【解析】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象关于直线π36x =-对称，所以πππ362n ωϕ-⋅+=+，n ∈Z ，所以ϕ=1π236n ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，n ∈Z ，根据π5π1836x <<，则π5π1836x ωωω<<，所以π5π1836x ωωϕωϕϕ+<+<+，因为()()sin f x x ωϕ=+是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数.所以ππ2π,1825π3π2π,362k k k k ωϕωϕ⎧+≥+∈⎪⎪⎨⎪+≤+∈⎪⎩Z Z ，所以π1ππ2π,,1823625π13ππ2π,,362362n k n k n k n k ωωωω⎧⎛⎫+++≥+∈∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++≤+∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎩Z Z Z Z ，即112,,1823625132,,362362n k n k n k n k ωωωω⎧⎛⎫+++≥+∈∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++≤+∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎩Z Z Z Z ，解得()()122621k n k n ω-≤≤-+，n ∈Z ，k ∈Z ，因为0ω>，所以20k n -=或21k n -=，当20k n -=时，06ω<≤，当21k n -=时，1212ω≤≤；由于π7π5π187236<<，且f （x ）的一个零点是7π72x =，所以()7π21π72m ωϕ⨯+=+，m ∈Z ，所以()7π1π21π72236n m ωω⎛⎫⨯+++=+ ⎪⎝⎭，m ∈Z ，n ∈Z ，即()824m n ω=-+，m ∈Z ，n ∈Z .根据06ω<≤或1212ω≤≤，可得4ω=，或12ω=，所以ω的最小值为4.故选：C.二、多选题8．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰三角形，顶角OAB θ∠=，点()3,0D 为AB 的中点，记△OAB 的面积()S f θ=，则（）A ．()18sin 54cos f θθθ=-B ．S 的最大值为6C ．AB 的最大值为6D ．点B 的轨迹方程是()22400x y x y +-=≠【答案】ABD【解析】由OAB θ∠=，OA AB =，()3,0D 为AB 的中点，若(,)A x y 且0y ≠，则(6,)B x y --，故222222(62)(2)4(3)4x y x y x y +=-+-=-+，整理得：22(4)4x y -+=，则A 轨迹是圆心为(4,0)，半径为2的圆（去掉与x 轴交点），如下图，由圆的对称性，不妨令A 在轨迹圆的上半部分，即02A y <≤，令22OA AB AD a ===，则222||||2cos OD OA AD OA AD θ=+-，所以2254cos 9a a θ-=，则2954cos a θ=-，所以2118sin sin 2sin 254cos OAB OAD OBD S S S OA AB a θθθθ=+===- ，A 正确；由113(0,6]22OAB OAD OBD A B A S S S y OD y OD y =+=⋅+⋅=∈ ，则S 的最大值为6，B 正确；由下图知：(2,6)OA AB =∈，所以AB 无最大值，C 错误；令(,)B m n ，则60A A x my n =-⎧⎨=-≠⎩代入A 轨迹得22(2)4m n -+=，即2240m m n -+=，所以B 轨迹为2240x x y -+=且0y ≠，D正确；故选：ABD三、填空题9．（2023·青海·校联考模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且()2sin 2sin cos sin 2c B A a A B b A -=+，则ca的取值范围是______．【答案】()1,2【解析】由正弦定理和正弦二倍角公式可得()2sin sin 2sin sin cos sin sin 2C B A A A B B A-=+()2sin sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos sin cos A A B B A A A A B B A =+=+()2sin sin A A B =+，因为π0<<,π2C C A B -=+，所以()()0s s in s in πin C A C B =-=≠+，可得()sin sin B A A -=，因为ππ0022A B <<<<，，所以ππ22B A -<-<，所以2B A =，π3C A =-，由202πB A <=<，203ππC A <<=-可得ππ64A <<，cos 22A <<，213cos 24A <<，由正弦定理得()sin 2sin sin 3sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin A A c C A A A A Aa A A A A++====()222cos cos 24cos 11,2A A A =+=-∈.故答案为：()1,2.10．（2023·上海金山·统考二模）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.【答案】506ω<≤【解析】因为0ω>，()0,πx ∈，所以ππππ333x ωω-<-<-，又因为函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，所以πππ32ω-≤，解得506ω<≤，所以ω的取值范围是506ω<≤故答案为：506ω<≤.11．（2023·全国·校联考二模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin b B a A a C =+，则3b ca-的取值范围是______.【答案】132,]4【解析】由sin sin sin b B a A a C =+,得22b a ac =+,由余弦定理得2222cos 222b c a c ac a cA bc bc b+-++===,由正弦定理得sin sin cos 22sin a c A C A b B++==,即s sin 2sin c i o n s C B A A +=,又()sin sin C A B =+，所以sin sin cos cos sin 2cos sin A A B A B A B ++=,即sin sin os sin cos A Bc A A B =-,所以()sin sin A B A =-，因为,A B 为ABC 的内角,所以πB A A -+=(舍去)或B A A -=,所以2B A =.由正弦定理得33sin sin 3sin 2sin()3sin 2sin 3sin sin sin b c B C A B A A Aa A A A---+-===因为()2sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin 2sin cos cos 2sin A A A A A A A A A A A =+=+=+,又(0,π),sin 0A A ∈≠，所以236sin cos 2sin cos cos 2sin sin b c A A A A A Aa A---=2226cos 2cos cos 26cos 2cos 2cos 1A A A A A A =--=--+223134cos 6cos 14(cos )44A A A =-++=--+,由于π2(0,)2B A =∈得π(0,)4A ∈，由πππ3(0,)2C A B A =--=-∈，得ππ(,)63A ∈，则ππ(,)64A ∈，所以2cos 2A ∈，当3cos 4A =时，23134(cos )44A --+取最大值134，当cos A =23134(cos )44A --+等于2，当cos A =23134(cos )44A --+等于1，而21>，所以3b ca -取值范围是132,]4，故答案为：132,]412．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP △的面积的最大值为__________．【答案】【解析】由题意可知，6C AB C B A =-=，即6PC PB +=.在CDP △中，有CD AC 2==，DP PB =，所以6PC DP +=.由余弦定理可得，()222224cos 22PC DP PC DP PC DP CD CPD PC DP PC DP+-⋅-+-∠==⋅⋅3624162PC DP PC DP PC DP PC DP-⋅--⋅==⋅⋅，所以22sin 1cos CPD CPD ∠=-∠2161PC DP PC DP -⋅⎛⎫=- ⎪⋅⎝⎭2221632PC DP PC DP -+⋅=⋅，所以有221sin 2CDPS PC PD CPD ⎛⎫=⋅∠ ⎪⎝⎭△22221256324PC DPPC DP PC DP -+⋅=⋅⋅⋅⋅864PC DP =⋅-2864896482PC DP +⎛⎫≤-=⨯-= ⎪⎝⎭，当且仅当3PC PB ==时，等号成立.所以，28CDP S ≤△，所以，CDP S ≤△CDP △的面积的最大值为故答案为：四、解答题13．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①sin sin 2B Cc a C +=；②sin 1cos a C A=-；③ABC )222b c a +-.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）选择①：由正弦定理可得，sin cossin sin 2AC A C =，因为(0,π),sin 0C C ∈>，所以cossin 2A A =，即cos 2sin cos 222A A A =，因为π022A <<，所以cos 02A >，所以1sin 22A =，所以π26A =，即π3A =；选择②sin 1cos a CA=-，则sin cos a C A =，由正弦定理得sin sin cos A C C C A =-，因为(0,π),sin 0C C ∈>，所以sin A A =，即π3sin 32A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ4π333A <+<，所以π2π33A +=，即π3A =；选择③：由()2221sin 42ABC S b c a bc A =+-= ，222sin 2b c a A bc+-=sin A A =，所以tan A =0πA <<，故π3A =.（2）方法一：πsin sin sin sin 3B C B B ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1sin sin cos 22B B B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin sin cos 22B B B =+11cos244B B =-11πsin 2426B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为2π03B <<，所以ππ7π2666B -<-<，所以1πsin 2126B ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以11π3024264B ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即sin sin B C 的取值范围为30,4⎛⎤⎥⎝⎦.方法二：由余弦定理，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，再由正弦定理，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，因为π3A =，所以223sin sin sin sin 2sin sin sin sin 4B C B C B C B C =+-≥-，即3sin sin 4B C ≥，当且仅当sin sin 2B C ==时“=”成立.又因为sin 0B >，sin 0C >，所以30sin sin 4B C <≤，即sin sin B C 的取值范围为30,4⎛⎤⎥⎝⎦.14．（2023·陕西榆林·统考三模）已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，4AB AC ⋅=，且sin 8sin ac B A =．(1)求A ；(2)求sin sin sin A B C 的取值范围．【解析】（1）cos 4AB AC bc A ⋅==，由sin 8sin ac B A =及正弦定理，得8abc a =，得8bc =，代入cos 4bc A =得1cos 2A =，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）由（1）知π3A =，所以2ππ3C A B B =--=-.所以2ππsin sin sin sin sin 33A B C B B B B ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213cos sin sin cos sin 22244B B B B B B ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭3sin 228B B =+π2468B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2π03B <<,所以ππ7π2666B -<-<，所以1πsin 2126B ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以3π333024688B ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，故sin sin sin A B C 的取值范围是⎛ ⎝⎦.15．（2023·上海浦东新·统考二模）已知,0R ωω∈>，函数cos y x x ωω-在区间[0,2]上有唯一的最小值-2，则ω的取值范围为______________．【解析】πcos 2sin 6y x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为[]0,2x ∈，0ω>，所以πππ,2666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为函数π2sin 6y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2x ∈上有唯一的最小值-2，所以π3π7π2,622ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，解得5π11π,66ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故ω的取值范围是5π11π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：5π11π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．（2023·浙江金华·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．已知ABC 的面积4ac S =，其外接圆半径2R =，且()224cos cos ()sin A B b B -=．(1)求sin A ；(2)若A 为钝角，P 为ABC 外接圆上的一点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的取值范围．【解析】（1）由1sin 42ac S ac B ==，得1sin 2B =，()()()()2222224cos cos 41sin 1sin 4sin sin A B A B B A ⎡⎤-=---=-⎣⎦，由正弦定理24sin sin a bR A B===，4sin ,4sin a A b B ==，则2()sin 4sin 4sin b B B A B =-，由()224cos cos ()sin A B b B -=，得()2224sin sin 4sin 4sin B A B A B -=-，化简得2sin sin A A B =，由()0,πA ∈，sin 0A ≠，解得sin A B =，因此sin A =.（2）由（1）得，若A 为钝角，则120A =o ，则3030B C == ，，如图建立平面直角坐标系，则(0,2),(A B C ，设(2cos ,2sin )P θθ．则(2cos ,22sin )PA θθ=-- ，(2cos ,12sin )PB θθ=- ，2cos ,12sin )PC θθ=-，有66sin PA PB θθ⋅=-+ ，66sin PA PC θθ⋅=-- ，24sin PB PC θ⋅=-，则1416sin PA PB PA PC PB PC ⋅+⋅+⋅=-θ．由sin [1,1]θ∈-，则1416sin [2,30]-∈-θ，所以PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的取值范围为[2,30]-.17．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象是由π2sin 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到的.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的图象与y 轴距离最近的对称轴方程；(2)若()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，求ω的取值范围.【解析】（1）由2ππω=，得2ω=，所以()πππ2sin 22sin 2666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令ππ2π62x k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x =+，k ∈Z ，取0k =，得π3x =，取1k =-，得π6x =-，因为ππ63-<，所以与y 轴距离最近的对称轴方程为π6x =-.（2）由已知得()()1πππ2sin 2sin666f x x x ωωω-⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令()1ππ6x k ωω-+=，k ∈Z ，解得61π6k x ωω+-=，k ∈Z .因为()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，所以π613ππ26267ππ<62653ππ>62k k k ωωωωωω+-⎧≤≤⎪⎪+-⎪⎨⎪++⎪⎪⎩()k ∈Z 所以616182676528k k k k ωω--⎧≤≤⎪⎪⎨-+⎪<<⎪⎩.因为0ω>，所以616102861026567082k k k k k --⎧-≥⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩，解得133618k <<，k ∈Z ，所以1k =，解得51188ω≤<，即ω的取值范围为511,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18．（2023·山东德州·统考一模）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b -=．(1)求证：2A B =；(2)若A 的角平分线交BC 于D ，且2c =，求ABD △面积的取值范围．【解析】（1）因为2cos c b A b -=，由正弦定理得sin 2sin cos sin C B A B -=又πA B C ++=，所以()()sin 2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B A A B A B A B B+-=-=-=因为ABC 为锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22A B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又sin y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以A B B -=，即2A B =；（2）由（1）可知，2A B =，所以在ABD △中，ABC BAD ∠=∠，由正弦定理得：()2sin sin π2sin2AD AB B B B ==-，所以1cos AD BD B==，所以1sin sin tan 2cos ABD BS AB AD B B B=⨯⨯⨯== ．又因为ABC 为锐角三角形，所以π02B <<，0π22B <<，0π3π2B <-<，解得π6π4B <<，所以tan B ⎫∈⎪⎪⎝⎭，即ABD △面积的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭．19．（2023·江西吉安·统考一模）在直角坐标系xOy 中,M 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求M 的普通方程;(2)若D 为M 上一动点,求D 到l 距离的取值范围.【解析】（1）由22sin cos 1θθ+=得M 的普通方程为2214y x +=.（2）直线l 即sin cos 4ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==得直线l 的普通方程为40x y +-=，设(cos ,2sin )D θθ，则d =其中cos ϕϕ==因为cos()[1,1]θϕ-∈-,⎤⎥⎣⎦，所以D 到l 距离的取值范围为4210421022⎡⎢⎣⎦.20．（2023·江西九江·统考二模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知()()0a b c a b c ab -+--+=，sin 3cos 3cos bc C c A a C =+．(1)求c ；(2)求a b +的取值范围．【解析】（1）()()0a b c a b c ab -+--+= ，222a b c ab ∴+-=，即222122a b c ab +-=，1cos 2C ∴=，又0πC << ，π3C ∴=，sin C ∴=，sin 3cos 3cos bc C c A a C =+，sin C=sin 3(sin cos sin cos )3sin()3sin 2B cC A A C A C B∴⋅⋅=+=+=，0πB << ，即sin 0B ≠，32c =，解得c =．（2）由正弦定理得，4sin sin sin a b c A B C ===，∴4sin a A =，4sin b B =，∴4sin 4sin a b A B +=+，πA B C ++=，π3C =，∴2π3B A =-则2π4sin 4sin 3a b A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭14(sin cos sin )2A A A =+6sin A A=+π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ABC 为锐角三角形，∴π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππ2π,633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴πsin ,162A ⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，∴(π6,6A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即(6,a b +∈．21．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin B A Cb c b a-=-+.(1)求角A 的值；(2)若2c =，求a b +的取值范围．【解析】（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：b a cb c b a-=-+，整理得：222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∵(0,π)A ∈，则π3A =.（2）由（1）可得：π3A =，且2c =，锐角ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin a b cA B C==，可得π2sin sin sin 31sin sin sin C c A c B a b C C C ⎛⎫+ ⎪⋅⋅⎝⎭====则)21cos 21111sin 2sin cos tan 222CC a b C C C C ++=++=+=+∵ABC 锐角三角形，且π3A =，则π02π02C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C <<，即ππ1224C <<，且ππtantanπππ34tan tan 2ππ12341tan tan 34-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭+⋅可得()tan 22C ∈，则(114tan 2C++，故a b +的范围是(14+.22．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7b =，且sin sin sin sin a b A Cc A B+-=-.(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【解析】（1）由正弦定理，sin sin sin sin a b A C a cc A B a b+--==--，可得222,b a c ac =+-再由余弦定理，1cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π3B =.因为2sin3bRB==，所以3R=.（2）由（1）可知：2249a c ac+-=，则2()493a c ac+=+.()11sin22ABCS ac B a b c r==++⋅则)23()497277ac a cr a ca c a c+-===+-++++.在ABC中，由正弦定理，sin sin sina c bA C B===,sina A c C，则)1431432πsin sin sin sin333a c A C A A⎡⎤⎛⎫+=+=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14331sin cos sin322A A A⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭31πsin cos14sin cos14sin226A A A A A⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又ππ2π0,,333A⎛⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππ5π,,66226A⎛⎫⎛⎫+∈⋃⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin,162A⎛⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π14sin7,146A⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以r⎛∈⎝⎭.23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角ABC中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C，且22a b bc-=．(1)求角B的取值范围；(2)若4c=，求ABC中AB边上的高h的取值范围．【解析】（1）因为22a b bc-=，所以2222cos 222b c a c bc c bA bc bc b+---===，所以2cos c b b A -=，sin sin 2sin cos C B B A -=，又()πC A B =-+，所以()sin sin 2sin cos A B B B A =+-，整理可得()sin sin A B B -=，所以A B B -=或πA B B -+=(舍去)，所以2A B =，又ABC 为锐角三角形，所以π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）由题可知11sin 22S ch ac B ==，即sin h a B =，又()sin 2sin sin π3a b cB B B ==-，所以4sin 2sin 3Ba B=，所以4sin 2sin 4sin 2sin sin sin 3sin 2cos cos 2sin B B B Bh a B B B B B B===+248tan 81133tan tan tan tan 2tan B B B B B B===-+-，由64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得tan B ⎫∈⎪⎪⎝⎭，所以3tan tan B B ⎛-∈ ⎝⎭，所以)4h ∈，即ABC 中AB 边上的高h 的取值范围是)4.24．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①2sin cos cos cos a B B C B =；②()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-；③sin 1cos Aa B=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________，(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，1c =，求22a b +的取值范围.【解析】（1）若选①因为2sin cos cos cos a B B C B =，由正弦定理得2sin sin cos cos cos A B B B C C B =，即sin sin (sin cos sin cos )A B B B C C B +sin()B B C =+，所以sin sin sin A B B A =，由(0,π)A ∈，得sin 0A ≠，所以sin B B =，即tan B =因为(0,π)B ∈，所以π3B =.若选②由22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-，化简得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=.由正弦定理得：222a cb ac +-=，即222122a cb ac +-=，所以1cos 2B =.因为(0,π)B ∈，所以π3B =.若选③sin A =sin sin (1cos )B A A B =+，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，1cos B B =+，所以π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为ππ5π666B -<-<，所以π3B =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin c A a C =，sin sin 2sin c B b C C ==由（1）知：π3B =，又с=1代入上式得：222223sin 3sin 3sin()22cos 12()cos 1cos 1cos sin sin sin sin A A B C a b c ab C C C CC C C C ++=+=+⨯=+=+22π1sin()3321cos 1cos 1sin 2tan C C C C C +=+==+因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C1tan C ∴∈，所以()2222331711,72tan 2tan 2tan 68a b C C C ⎛+=++=++∈ ⎝⎭.25．（2023·福建·统考模拟预测）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=，求四边形ABCD 面积的最大值.【解析】（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin sin cos 122A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，即sin cos 0n sin A C C A =，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =又因为()0,πC ∈，所以π6C =.（2）解法一：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥，故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD =.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△111222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅22112222x y +≤+⋅=，当且仅当x y ==时，等号成立.所以四边形ABCD1+.解法二：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD 在BA上的投影向量为BA λ ，所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅= .又22BA BD BA BA ⋅== ，所以1λ=，所以BD 在BA 上的投影向量为BA ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =，在ABD △中，AD =.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=，所以ABD CBD S S S =+△△1122B AD CD AB C =⋅⋅+sin 22θ=+，当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法三：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅= ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD =.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=2h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法四：设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC 外接圆O 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则12A ⎛ ⎝⎭，()10B ,.因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以122BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos 1,sin BD ββ=- ，代入2BA BD BA ⋅= ，即1BA BD ⋅=，可得11cos 122ββ-+=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 2222ABD CBD S S S BD BD αα=+=⋅+⋅=+△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为12+.26．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC ∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==(1)若BD =AD 的长；(2)求ABD △面积的最大值．【解析】（1）在BCD △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos 3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-∴2222221c os27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin DBC ∠=,∴2π1311cos cos cos sin 32214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠= ⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD =（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2πsin()sin π314sin()2πsin 3sin 3BC BCD BD BDCθθ-∠===+∠，所以π2π11sin sin 2214sin()()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34()θ=+，当2πsin (13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值27．（2023·湖南·校联考二模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足236sin02A Ba b b +-+=．(1)求证：3cos 0a b C +=；(2)求tan A 的最大值．【解析】（1）∵236sin02A Ba b b +-+=，∴22π36sin36cos 022C Ca b b a b b --+=-+=，∴1cos 3602Ca b b +-+⋅=，∴3cos 0a b C +=．（2）由（1）可得：sin 3sin cos 0A B C +=，且C 为钝角，即4sin cos cos sin 0B C B C +=，即4tan tan 0B C +=，tan 4tan C B =-，()2tan tan 3tan 3tan tan 11tan tan 4tan 14tan tan B C B A B C B C B B B+=-+=-==-++34=，当且仅当14tan tan B B =，即1tan 2B =时取等号．故tan A 的最大值为34．28．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）在ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且sin sin sin sin b a c A C B C-=+-．(1)求角A 的大小；(2)记ABC 的面积为S ，若12BM MC = ，求2AMS的最小值．【解析】（1）因为sin sin sin sin b a c A C B C -=+-，即sin sin sin sin B C a cA C b--=+由正弦定理可得，b c a ca c b--=+，化简可得222a b c bc =+-，且由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =.（2）因为12BM MC = ，则可得1233AM AC AB =+ ，所以222212144cos 33999AM AC AB AC AC AB A AB ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭22142999b c =++且1sin 2S bc A ==，即2221424299999b c bc bc bcAM S+++= 当且仅当1233b c =，即2b c =时，等号成立.所以2minAM S ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 29．（2023·云南·统考二模）ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，π3A =．(1)若2b =，3c =．求证：tan sin a bA B+=(2)若D 为BC 边的中点，且ABC的面积为AD 长的最小值．【解析】（1）证明：π3A =Q ，2b =，3c =，由余弦定理可得22212cos 4922372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴=ππtan sin tan sin tan sin 33a b a a A B A A ∴+=+.（2）由1sin 24ABC S bc A bc ===V 24bc =．D 为边BC 的中点，则0DB DC +=，()()2AB AC AD DB AD DC AD ∴+=+++=，所以，()222222π422cos3AD AB ACAB AC AB AC c b cb =+=++⋅=++222372b c bc bc bc bc =++≥+==，即AD ≥当且仅当b c ==AD 长的最小值为30．（2023·广西·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足(2)cos cos 0b a C c B ++=.(1)求C ；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且2CD =，求2a b +的最小值.【解析】（1）因为(2)cos cos 0b a C c B ++=，由正弦定理得(sin 2sin )cos sin cos 0B A C C B ++=，即sin cos sin cos 2sin cos B C C B A C +=-，所以()sin sin 2sin cos B C A A C +==-，又()0,πA ∈，则sin 0A >，所以1cos 2C =-，又因()0,πC ∈，所以2π3C =；（2）因为角C 的平分线交AB 于点D ，所以π3ACD BCD ∠=∠=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，得12π1π1πsinsin sin 232323ab CD b CD a =⋅+⋅，即22a b ab +=，所以221ab+=，则()222422666b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当24b a a b=，即2b ==时取等号，所以2a b +的最小值为6+.31．（2023·安徽宣城·统考二模）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B--=．(1)判断ABC 的形状，并说明理由；(2)求2254cos a a c c B-的最小值．【解析】（1）ABC 为钝角三角形，证明如下：由21sin 1cos 22sin sin cos sin 22sin cos cos A B B B A B B B B--===，则有cos sin cos sin cos B A B B A -=，所以cos sin()B A B =+，因为()0,πA B +∈，所以()cos sin 0B A B =+>，则B 为锐角．所以()cos sin sin 2πB B A B ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，所以π2B A B -=+或()2πB A B π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，则22πA B +=或π2A =，由题意知cos 0A ≠，所以π2A ≠，所以22πA B +=，所以,22C πA B B πππ⎛⎫=--=+∈ ⎪⎝⎭，故ABC 为钝角三角形．（2）由（1）知22πA B +=，π2C B =+，由正弦定理，有22225sin 5sin 4cos sin 4sin cos a a A Ac c B C C B-=-22sin 25sin 222sin 4sin cos 22B B B B B ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 25cos 2cos 4cos B B B B =-222222cos 15(2cos 1)cos 4c ()os B B B B --=-42224cos 4cos 155cos 4cos 2B B B B -+=+-229134cos 4cos 2B B =+-132≥12=-当且仅当2294cos 4cos B B=时等号成立，由B 为锐角，则cos 2B =，所以当π6B =时取最小值12-．32．（2023·全国·模拟预测）已知ABC 是斜三角形，角A ，B ，C 满足cos(2)cos sin 2A B A B ++=.(1)求证：cos sin 0C B +=；(2)若角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，求22245a b c+的最小值，并求此时ABC 的各个内角的大小.【解析】（1）由()cos 2cos sin2A B A B ++=得cos cos2sin sin2cos sin2A B A B A B -+=，所以()()cos 1cos21sin sin2A B A B +=+，所以()22cos cos 21sin sin cos A B A B B =+.因为ABC 是斜三角形，所以cos 0B ≠，所以()cos cos 1sin sin A B A B =+，所以cos cos sin sin sin 0A B A B B --=，所以()cos sin 0A B B +-=，又A B C π++=，所以cos sin 0C B +=.（2）在ABC 中，有sin 0B >，由（1）知cos sin 0C B +=，所以cos 0C <，于是角C 为钝角，角B 为锐角，根据cos cos 2C B π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以2C B π=+.由正弦定理，得()2222222222224sin 25sin 4sin 5sin 454sin 5sin 22sin sin sin C C B C B a b A B c C C Cππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭===()()2222242222412sin 55sin 4cos 25cos 16sin 21sin 9sin sin sin CCC CC C CCC-+-+-+===，22916sin 21213sin C C=+-≥=，当且仅当22916sin sin C C =，即23sin 4C =，sin 2C =时等号成立，又角C 为钝角，所以120C =︒时，等号成立，由2C B π=+，得30B =︒，由180A B C ++=︒，得30A =︒，因此22245a b c +的最小值为3，此时三角形ABC 的各个内角为30A =︒，30B =︒，120C =︒.33．（2023·吉林·统考三模）如图，圆O 为ABC 的外接圆，且O 在ABC 内部，1OA =，2π3BOC ∠=．(1)当π2AOB ∠=时，求AC ；(2)求图中阴影部分面积的最小值．【解析】（1）法一：由题意可知，π2π5π2π236AOC ∠=--=，在AOC 中，由余弦定理得2222311211cos 22AC OA OC OA O AOC C ⎛∠=+-⨯⨯⨯-=+⎭-⎝=+⋅∴622AC =.法二：在ABC 中，π2π5π2π236AOC ∠=--=，1OA =，1π24ACB AOB ∠=∠=，15π212ABC AOC ∠=∠=，AB =由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，∴π5πsin sin 412AC=，5πππππππsin sin()sin cos cos sin 124646464=+=+=，∴2AC =.（2）设AOB θ∠=，则4π3AOC θ∠=-114π1π11sin 11sin sin sin 22323AOB AOC S S θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦△△13πsin sin 22226θθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设阴影部分面积为S ，优弧 BC所对的扇形BOC 面积为S 扇形，则212π2π12π233S ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭扇形,∴()π2πsin 263AOB AOC S S S S θ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭扇形△△,∵点O 在ABC 内部，∴ππ3θ<<，∴ππ5π666θ<-<,当ππ62θ-=时，即2π3θ=时，min 2π3S =-。
2024年高考数学复习拓展考点精讲精练讲义 16 解三角形中三角形面积和周长(边)的最值问题含详解
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展16解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.基本不等式（优先用基本不等式）2a b+≤②222a b ab+≥6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
【典例1】若π3A =，3a =，求ABC S 的最大值．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式．法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．9二、题型精讲精练一、知识点梳理【典例2】若π3A=，3a=，求ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．法二：正弦定理＋辅助角公式．即ABC 周长的取值范围为(]6,9.【题型训练1-刷真题】1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c+的最小值．2．（2020·全国·统考高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【题型训练2-刷模拟】1.面积的最值（范围）问题一、解答题(1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.2.周长（边）的最值（范围）问题一、解答题【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展16解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.基本不等式（优先用基本不等式）2a b+≤②222a b ab+≥6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
高考数学专题05解三角形(第01期)百强校小题精练理(最新整理)
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第5练解三角形一、单选题1．在中，三个内角，,所对的边分别为，,,若，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】D点睛：本题考查正弦定理、余弦定理等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力. 2．在中，角，，所对的边分别为，,，若，,且的面积为，则的周长为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，根据三角形面积公式，得，即,解得，根据余弦定理得，即，，所以的周长为。
故选B.3．已知在锐角ABC∆中,角,,A B C的对边分别为,,a b c，且cos cos3sinB Cb c C+=。
则b的值为（）A ． 3B ． 23C ． 32D ． 6 【答案】A【解析】由正弦定理和余弦定理得222222223a c b a b c aabc abc c+-+-+=，化简得3b =.4．锐角．．ABC ∆中,内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若3a =,则22b c +的取值范围是( )A ． (]3,6B ． ()3,5C ． (]5,6D ． []5,6 【答案】A点晴：本题考查的是三角恒等变换，正余、弦定理的综合应用。
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一、解答题
1．在中，已知角、、的对边分别为，，且.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】(1).（2）.
【解析】分析：（1）应用正弦、余弦定理化简，即可求出b的值；（2）先由B的余弦定理可得：，再结合基本不等式
，即，即可得出结论.
点睛：考查正余弦定理的应用、基本不等式求最值，对题意的正确分析和定理的灵活运用是解关键，属于基础题.
2．的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为.（1）求；
（2）若为中点，且，求的最大值.
【答案】(1).(2).
【解析】分析：（1）先设面积公式，化角为边，整理
求出C。
（2）利用余弦定理列出中线在中，在中的表达式，由两角互补化简两组表达式，得出的关系式，再用均值不等式求解最值。
（2）在中，
，即，
在中，
，即.
因为，所以，
所以，
由（1）及得，，所以，
所以，即，
当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
解法二：（1）同解法一.
因为，，所以，即.
因为为中点，所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
点睛：（1）三角恒等式的化简有两种化边为角或者化角为边。
（2）三角形的中线问题，利用中线位于两个三角形中且底角互补，化简整理出中线与三角形三边关系的表达式。
3．在中，分别是内角所对的边，向量，
,且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，设角的大小为，的周长为，求的最大值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【详解】
（1）因为a b，所以.
由正弦定理得，即.
由余弦定理得，又因为，所以.
（2）由，及正弦定理得，
而，，则，，
于是，
由得，所以当即时，.
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，向量的数量积、余弦定理、正弦定理的应用，考查计算能力．属中档题.
4．在中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 的取值范围为.
【解析】
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以，由正弦定理，得，
所以，又因为，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，
所以
，
，因为，所以，
所以当时，取得最大值；
当时，.
所以的取值范围为
【点睛】
（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．
（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．
5．设函数．
(Ⅰ) 求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
(Ⅱ) 已知中，角、、的对边分别为、、．若，，求的最小值．
【答案】（1）2，（2）1
【详解】
的最大值为
要使取得最大值时，则，
故的集合为
【点睛】
本题是道三角函数综合题目，运用二倍角、辅助角公式进行化简，求出最大值时的集合，并结合余弦定理和基本不等式求出最值。
6．设三个内角所对的变分别为已知
(1)求角的大小；
(2)如图，在的一个外角内去一点，使得，过点分别作直线的垂线，垂足分别为.设,求的最大值及此时的取值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由，利用余弦定理可得：
化为：．可得，进而得出．
（2）在中，．同理可得
，化简整理利用三角函数的单调性即可得出．
【点睛】
本题考查了解三角形、余弦定理、勾股定理的逆定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。