上海市各区中考数学二模试卷精选汇编二次函数专题

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上海市各区中考数学二模试卷精选汇编二次函数专题

宝山区、嘉定区

24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分) 已知平面直角坐标系xOy (如图7),直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B . (1)求m 、n 的值;

(2)如果抛物线c bx x y ++=2

经过点A 、B ,该抛物线的顶点为点P ,求ABP ∠sin 的值;

(3)设点Q 在直线m x y +=上,且在第一象限内,直线m x y +=与y 轴的交点为点D ,如果DOB AQO ∠=∠,求点Q 的坐标.

24.解:(1) ∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A

∴04=+-m ……………………1分

∴4=m ………………………………1分

∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n ……………………1分

∴1-=n …………………………………………1分

(2)由可知点B 的坐标为)3,1(-

∵抛物线c bx x y ++=2

经过点A 、B

∴⎩

⎨⎧=+-=+-310

416c b c b

∴6=b , 8=c

∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862

++=x x y …………………1分

∴抛物线862

++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分

∴23=AB ,2=

AP ,52=PB

∴2

2

2

PB BP AB =+

∴︒=∠90PAB ……………………………………1分

图7

∴PB AP ABP =∠sin ∴10

10

sin =∠ABP …………………………………………1分

(3)过点Q 作x QH ⊥轴,垂足为点H ,则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠

∴△OBD ∽△QBO ∴OB

DB

QB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD

又10=OB ,2=DB

∴25=QB ,24=DQ ……………1分

∵23=AB

∴28=AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQ

AD

QH OD = ∴

2

82

44=

QH ∴8=QH ……………………………………1分 即点Q 的纵坐标是8

又点Q 在直线4+=x y 上

点Q 的坐标为)8,4(……………1分

长宁区

24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)

如图在直角坐标平面内,抛物线32

-+=bx ax y 与y 轴交于点A ,与x 轴分别交于点

B (-1,0)、点

C (3,0),点

D 是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标; (2)联结AD 、DC ,求ACD ∆的面积;

(3)点P 在直线DC 上,联结OP ,若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似,求点P 的坐标.

24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分) 解:(1) 点B (-1,0)、C (3,0)在抛物线32

-+=bx ax y 上

∴⎩⎨

⎧=-+=--033903b a b a ,解得⎩

⎨⎧-==21

b a ( 2分)

∴抛物线的表达式为322

--=x x y ,顶点D 的坐标是(1,-4) ( 2分) (2)∵A (0,-3),C (3,0),D (1,-4) ∴23=AC ,52=CD ,2=

AD

∴2

2

2

AD AC CD += ∴︒=∠90CAD ( 2分) ∴.32232

1

21=⨯⨯=⋅⋅=

∆AD AC S ACD (1分) (3)∵︒=∠=∠90AOB CAD ,

2==AO

AC

BO AD , ∴△CAD ∽△AOB ,∴OAB ACD ∠=∠

∵OA =OC ,︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC

∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠,即BCD BAC ∠=∠ ( 1分) 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ,且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形,点P 在第四象限

由点C (3,0),D (1,-4)得直线CD 的表达式是62-=x y ,设)62,(-t t P (30<

①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =,

326=-t t ,解得56=t , ∴)5

18

,56(1-P (2分)

②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OH

PH ,

∴126=-t

t

,解得2=t ,∴)2,2(2-P ( 2分) 综上得)5

18

,56(1

-P 或)2,2(2-P 崇明区

24.(本题满分12分,第(1)、(2)、(3)小题满分各4分)

已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C . (1)求抛物线的解析式;

(2)联结AC 、BC 、AB ,求BAC ∠的正切值;

(3)点P 是该抛物线上一点,且在第一象限内,过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ,当点G

在点A 的上方,且APG △与ABC △相似时,求点P 的坐标.

24.(本题满分12分,每小题4分)

解:(1)设所求二次函数的解析式为2

(0)y ax bx c a =++≠,………………………1分

将A (0,3)、B (4,)、C (3,0)代入,得 1641,

930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪

++=⎨⎪=⎩

解得12523a b c ⎧=⎪⎪

=-⎨⎪=⎪⎪⎩

………2分

所以,这个二次函数的解析式为215

322

y x x =

-+ ……………………………1分

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