上海市各区中考数学二模试卷精选汇编二次函数专题
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上海市各区中考数学二模试卷精选汇编二次函数专题
宝山区、嘉定区
24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分) 已知平面直角坐标系xOy (如图7),直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B . (1)求m 、n 的值;
(2)如果抛物线c bx x y ++=2
经过点A 、B ,该抛物线的顶点为点P ,求ABP ∠sin 的值;
(3)设点Q 在直线m x y +=上,且在第一象限内,直线m x y +=与y 轴的交点为点D ,如果DOB AQO ∠=∠,求点Q 的坐标.
24.解:(1) ∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A
∴04=+-m ……………………1分
∴4=m ………………………………1分
∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n ……………………1分
∴1-=n …………………………………………1分
(2)由可知点B 的坐标为)3,1(-
∵抛物线c bx x y ++=2
经过点A 、B
∴⎩
⎨⎧=+-=+-310
416c b c b
∴6=b , 8=c
∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862
++=x x y …………………1分
∴抛物线862
++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分
∴23=AB ,2=
AP ,52=PB
∴2
2
2
PB BP AB =+
∴︒=∠90PAB ……………………………………1分
图7
∴PB AP ABP =∠sin ∴10
10
sin =∠ABP …………………………………………1分
(3)过点Q 作x QH ⊥轴,垂足为点H ,则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠
∴△OBD ∽△QBO ∴OB
DB
QB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD
又10=OB ,2=DB
∴25=QB ,24=DQ ……………1分
∵23=AB
∴28=AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQ
AD
QH OD = ∴
2
82
44=
QH ∴8=QH ……………………………………1分 即点Q 的纵坐标是8
又点Q 在直线4+=x y 上
点Q 的坐标为)8,4(……………1分
长宁区
24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)
如图在直角坐标平面内,抛物线32
-+=bx ax y 与y 轴交于点A ,与x 轴分别交于点
B (-1,0)、点
C (3,0),点
D 是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标; (2)联结AD 、DC ,求ACD ∆的面积;
(3)点P 在直线DC 上,联结OP ,若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似,求点P 的坐标.
24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分) 解:(1) 点B (-1,0)、C (3,0)在抛物线32
-+=bx ax y 上
∴⎩⎨
⎧=-+=--033903b a b a ,解得⎩
⎨⎧-==21
b a ( 2分)
∴抛物线的表达式为322
--=x x y ,顶点D 的坐标是(1,-4) ( 2分) (2)∵A (0,-3),C (3,0),D (1,-4) ∴23=AC ,52=CD ,2=
AD
∴2
2
2
AD AC CD += ∴︒=∠90CAD ( 2分) ∴.32232
1
21=⨯⨯=⋅⋅=
∆AD AC S ACD (1分) (3)∵︒=∠=∠90AOB CAD ,
2==AO
AC
BO AD , ∴△CAD ∽△AOB ,∴OAB ACD ∠=∠
∵OA =OC ,︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC
∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠,即BCD BAC ∠=∠ ( 1分) 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ,且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形,点P 在第四象限
由点C (3,0),D (1,-4)得直线CD 的表达式是62-=x y ,设)62,(-t t P (30< ①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =, ∴ 326=-t t ,解得56=t , ∴)5 18 ,56(1-P (2分) ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OH PH , ∴126=-t t ,解得2=t ,∴)2,2(2-P ( 2分) 综上得)5 18 ,56(1 -P 或)2,2(2-P 崇明区 24.(本题满分12分,第(1)、(2)、(3)小题满分各4分) 已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C . (1)求抛物线的解析式; (2)联结AC 、BC 、AB ,求BAC ∠的正切值; (3)点P 是该抛物线上一点,且在第一象限内,过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ,当点G 在点A 的上方,且APG △与ABC △相似时,求点P 的坐标. 24.(本题满分12分,每小题4分) 解:(1)设所求二次函数的解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠,………………………1分 将A (0,3)、B (4,)、C (3,0)代入,得 1641, 930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪ ++=⎨⎪=⎩ 解得12523a b c ⎧=⎪⎪ ⎪ =-⎨⎪=⎪⎪⎩ ………2分 所以,这个二次函数的解析式为215 322 y x x = -+ ……………………………1分