线性规划问题与图解法
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线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第1.2节 线性规划问题的图解法
x1 20 * x 2 100
* * z 1240
27
2 规划问题求解的几种可能结果
2）无穷多最优解
max z 12 x1 8 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x x2 40 1 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
23
x2 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
工序 花瓶种类 占用材料 （盎司） 艺术加工 （小时） 储存空间 （一单位） 利润值 （元）
大花瓶
1/3x1+1/3x2=40 (60,40)
x1
22
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 图1 花瓶问题的图解法
图解法的基本步骤：
（4）确定最优解。最优解是可行域中使目标
函数值达到最优的点，当目标函数直线由原点 开始沿法线方向向右上方移动时，z 值开始增 大，一直移到目标函数直线与可行域相切时为 止，切点即为最优解。
18
图解法的基本步骤：
（3）作出目标函数。由于
z 是一个待求的目 标函数值，所以目标函数常用一组平行虚线表 示，离坐标原点越远的虚线表示的目标函数值 越大。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
线性规划问题的图解法
第二十四页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。
线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。
⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。
在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。
从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。
以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。
例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。
问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。
线性规划问题的图解法
bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
线性规划问题的图解法
20 40
.
即B点坐标为20 ，40，代入目标函数可得最优值Smax 50 20 30 40 2 200 .
线性规划问题的图解法
例2
解
1. 求可行域（如图7 - 2所示）
（1）建立直角坐标系Ox1x2 . （2）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右下半平面内； （3）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右上半平面内. 由约束条件可知，无界区域ABCD是其可行域 .
3 截距最大的点即为最优解，其对应的S值就是最优值 .因此，我们可以把过原点且斜率 5的直
3 线作为参照直线，然后在可行域里进行平移，直到找到最优解 .
显然，斜率为 5的直线在可行域里平移时过B点的纵截距最大，求B点的坐标，联立 3
方程
x2 x2
Hale Waihona Puke 80 2x1 40，解得
x1 x2
图7-2
线性规划问题的图解法
2. 求最优解 把目标函数 S x1 2x2 中的S看作参数，当S 0时，目标函数S x1 2x2是一条过原点 的直线，在坐标系内画出这样的直线（用虚线表示），然后再将该直线向可行域内平移 . 在平移
时，7-2中B点是满足该约束条件的S最小值，其坐标为2 ，0，于是得到该线性规划问题的最
于是从约束条件知，由l1 ，l2 ，l3以及x1轴围成的区域 ABCD是该线性规划问题的可行域，如图7-1所示 .
图7-1
线性规划问题的图解法
2.求最优解 可行域的点满足约束条件，但并非使得目标函数 max S 50x1 30x2 取得最大值的解， 且该目标函数对应的图象也是一条直线，其斜率为 5，可行域里能使该直线与y轴的纵
7-线性规划的概念及图解法
分析： 分析：
规格/ 规格/ m 2.9 2.1 1.5 合计/ m 合计/ 料头/ 料头/ m 下料方案 方案 Ⅱ Ⅲ 2 0 0 2 1 2 7.3 7.2 0.1 0.2
Ⅰ 1 0 3 7.4 0
Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3
Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料； 第一种下料方式用掉x 根管料； 下料方式用掉
数学模型为： 数学模型为：
min S = x + x + x + x + x
1 2 3 4 1 2 4 5
x + 2 x + x ≥ 100 2 x + 2 x + x ≥ 100 3 x + x + 2 x + 3 x ≥ 100 x ≥ 0, 整数（i = 1, 2, 3,4,5）
2
A z=10000=50x1+100x2
B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
• 重要结论 ： 重要结论1：
– 当线性规划问题的可行域非空时，它是 当线性规划问题的可行域非空时， 有界或无界的凸多边形（凸集） 有界或无界的凸多边形（凸集）; – 如果线性规划有最优解，则一定有一个 如果线性规划有最优解， 可行域的顶点对应一个最优解； 可行域的顶点对应一个最优解； – 无穷多个最优解。若将例 中的目标函 无穷多个最优解。若将例1中的目标函 数变为max z=50x1+50x2，则线段 则线段BC 数变为 上的所有点都代表了最优解； 上的所有点都代表了最优解；
线性规划的图解法
s.t.
32xx11'' 3x1'
+ + +
2
x2 x2 x2
+ x3' − x3'' + 2x3' − 2x3'' + 3x3' − 3x3''
+
x4
−
x5
= 9 = 4 = 6
x1'
,
2
x2
,
x3' ,
x3'' ,
x4 ,
x5
≥
0
2.1问题的提出
例7 将以下线性规划问题转化为标准形式。
min f =−3x1 + 5x2 + 8x3 − 7x4
x5
≥
20
x5 xj
+ ≥
x6 0,
≥ 30 j = 1, 2, ,
6
2.1问题的提出
所谓线性规划问题
就是求一组变量 (x1,x2,…,xn)的值，它们在满足一组线 性等式或不等式的限制条件下，使某一线性函数的值达到 极大或极小。而线性规划就是研究并解决这类问题的一门 理论和方法。
线性规划模型是由决策变量、目标函数和约束条件三要素 组成。
例2 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需的工
作人员数量如下：
时段
时间
所需人数
1
6:00~10:00
60
2
10:00~14:00
70
3
14:00~18:00
60
4
18:00~22:00
50
5
22:00~2:00
20
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
简写式
Max(min)z c j x j
j 1 n
aij x j (, )bi , i＝1, 2,..., m st. j 1 x 0, j 1, 2,..., n j
n
向量式 Max(min)z CX
Pj x j (, )b st . j 1 x 0
min z C T X
线性规划的标准型
下列情况具体处理 若要求目标函数求最大化 若约束方程为不等式：非负松弛变量，非负 剩余变量 若变量不是非负：非正，自由变量， 右边为非正 任何形式的线性规划模型都可以化为标准型。
Ai
配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料
1
A
4
B
1
Ｃ
0
每单位成本
2
2
3
6
1
1
7
2
1
5
6
4
每单位添 加剂中维生 素最低含量
2
5
3
8
12
14
8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12
线性规划问题的图解法
第二步：对约束条件加以图解。
第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解：最优生产方案。
第四步：最优解带入目标函数，得出最优值。
4
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中 都代表一个半平面，只要先画出该半平面的 边界，然后确定是哪个半平面。
怎麽画边界
?
怎麽确定 半平面
以第一个约束条件: x1 2x2 ≤8 为例, 说明图解过程。
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
17
无界解
max Z x1 x2
x12x1x2
x2 ≤
≤ 2
4
x1, x2 ≥ 0
x2
6
4
2 x1
0
1
2
3
4
5
18
如图中可行域是一个无界区域，如阴影区所示。 虚线为目表函数等值线，沿着箭头指的方向平移可 以使目标函数值无限制地增大，但是找不到最优解。
12
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 ≤ 8
4 4
x1 x2
≤16 ≤12
x1, x2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x1 2x2 8
A
D
x1
0
1 2345 678
13
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
可行域有几种可能 ? 讨论
解有几种可能 ?
这种情况通常称为无“有限最优解” 或“最优 解无界”。
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规划 模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是某 些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应重 新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解：最优生产方案。
第四步：最优解带入目标函数，得出最优值。
4
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中 都代表一个半平面，只要先画出该半平面的 边界，然后确定是哪个半平面。
怎麽画边界
?
怎麽确定 半平面
以第一个约束条件: x1 2x2 ≤8 为例, 说明图解过程。
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
17
无界解
max Z x1 x2
x12x1x2
x2 ≤
≤ 2
4
x1, x2 ≥ 0
x2
6
4
2 x1
0
1
2
3
4
5
18
如图中可行域是一个无界区域，如阴影区所示。 虚线为目表函数等值线，沿着箭头指的方向平移可 以使目标函数值无限制地增大，但是找不到最优解。
12
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 ≤ 8
4 4
x1 x2
≤16 ≤12
x1, x2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x1 2x2 8
A
D
x1
0
1 2345 678
13
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
可行域有几种可能 ? 讨论
解有几种可能 ?
这种情况通常称为无“有限最优解” 或“最优 解无界”。
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规划 模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是某 些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应重 新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
第二章 线性规划的图解法
x2
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
线性规划的图解法
设备能力(h)
3 2 0 1500
65 40 75
2.2.1 线性规划的图解法
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的 总利润？用图解法求解。
解：设变量xi 为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2
2.2.1 线性规划的图解法
(1)建立直角坐标系： 分别取决策变量x1 ,x2 为坐标 向量，建立平面直角坐标系。
2.2.1 线性规划的图解法
（2）绘制可行域： 对每个约束（包括非负约束）条 件，作出其约束半平面（不等式）或 约束直线（等式）。
各半平面与直线交出来的区域若 存在，其中的点为此线性规划的可行 解。称这个区域为可行集或可行域。 然后进行下步。否则若交为空，那么 该线性规划问题无可行解。
线性规划的图解法
2.2.1 线性规划的图解法
对于只有两个决策变量的线性 规划问题，可以二维直角坐标平 面上作图表示线性规划问题的有 关概念，并求解。 图解法求解线性规划问题的步 骤如下：
例题
目标函数 Max z =1500x1+2500x2
约束条件 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 x1 ,x2 ≥ 0
2.2.1 线性规划的图解法
(3) 绘制目标函数等值线，并移动求解：
目标函数随着取值不同，为一族相 互平行的直线。 首先，任意给定目标函数一个值， 可作出一条目标函数的等值线（直线）； 然后，确定该直线平移使函数值增 加的方向； 最后，依照目标的要求平移此直线。
2.2.1 线性规划的图解法
结果
若目标函数等值线能够移动到 既与可行域有交点又达到最优的位 置，此目标函数等值线与可行域的 交点即最优解（一个或多个），此 目标函数的值即最优值。 否则，目标函数等值线与可行 域将交于无穷远处，此时称无有限 最优解。
图解法求解简单线性规划问题
x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1
y x=1
C
在该平面区域上
问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
B
o
A
第2页/共10页
x-4y=-3
3x+5y=25
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
y x=1
x-4y≤-3 3x+5y≤25，
可行域：所有可行解组成的集合。 最优解：使目标函数达到最大值
y
或 最小值 的可 行 解。
C
设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
x-4y≤-3
满足下列条件 3x+5y≤25 ，
B
x≥1
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
求ｚ的最大值和最小值。 第5页－3
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件 3x+5y≤25
x≥1
C
B
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
第3页/共10页
x-4y≤-3
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 3x+5y≤25 ，
求ｚ的最大值和最小值。
x≥1
问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形?
ｙ＝-2ｘ+ z
问题 2: z几何意义是__斜__率__为__-2_的__直__线__在__y_轴__上__的__截__距___。
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
y x=1
C
在该平面区域上
问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
B
o
A
第2页/共10页
x-4y=-3
3x+5y=25
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
y x=1
x-4y≤-3 3x+5y≤25，
可行域：所有可行解组成的集合。 最优解：使目标函数达到最大值
y
或 最小值 的可 行 解。
C
设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
x-4y≤-3
满足下列条件 3x+5y≤25 ，
B
x≥1
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
求ｚ的最大值和最小值。 第5页－3
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件 3x+5y≤25
x≥1
C
B
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
第3页/共10页
x-4y≤-3
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 3x+5y≤25 ，
求ｚ的最大值和最小值。
x≥1
问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形?
ｙ＝-2ｘ+ z
问题 2: z几何意义是__斜__率__为__-2_的__直__线__在__y_轴__上__的__截__距___。
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
线性规划的标准化及图解法
第一个约束加松弛变量x5,第二约束加剩余变量x6, 第三个约束两端乘-1，再加剩余变量x7.
22
将线性规划化成标准形式
解：首先，目标函数是极小化 , 将它化成 求最大。其次考虑3个不等式约束： 第一个约束加松弛变量x5, 2x1-3x2+5x3+6x4+x5= 28 第二约束加剩余变量x6, 4x1+2x2+3x3-9x4–x6= 39 第三个约束两端乘-1，再加剩余变量x7 -6x2- 2x3-3x4-x7= 58
9
线性规划的应用模型
于是可得如下的线性规划的模型：
10
线性规划的一般形式
11
线性规划的数学结构
• • • • 它是求一个函数最大值或最小值问题; 这个函数称为目标函数; 这个目标函数是线性函数; 这个目标函数可以认为定义在一个特定 的区域上. • 这个区域是由一组线性不等式所确定.
12
线性规划的标准形式
但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相 同，但他们最优解的目标函数值 却相差一个符号，即 Min f ＝ - Max z
15
将线性规划化成标准形式
2、约束条件不是等式的问题：
设约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量 (称为松弛变量)xn+i ， xn+i ≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+ xn+i = bi
2
线性规划的问题
• 某工厂生产两种型号的电机（记为A和B），每台 A型电机需用原料2个单位，4个工时，每台B型电 机需用原料3个单位，2个工时，工厂共有原料 100个单位，120个工时，A、B型电机的每台利 润分别为600元和400元，问两种电机各生产多少 可使利润最大？
第三章 线性规划及图解法
第三章线性规划及图解法3.1根据下面决策变量x l、x2的约束条件，各画一张图显示满足这个约束的非负解。
再将这些约束条件综合在一张图上，表示出在外在约束（函数约束）和简单约束（非负约束）下的可行域。
x l- x2≤2-3x l+6 x2≥34x l-3 x2≥1解：3.2 有下面决策变量x l、x2构成的目标函数：max Z=2x l+3 x21、在一张图上分别画出Z =6、Z =12、Z =18时相应的目标函数直线。
2、写出这三条直线方程的斜截式形式，比较三条直线的斜率以及在x2轴上的截距。
解：1、2、三个斜截式中斜率相同，都是 ，在 2轴上的截距分别为2、4、6。
3.3 将下列线性规划问题划为标准形式 1、 max Z=3x l +2 x 2+4 x 3-8 x 4 S.T. x l +2 x 2+5 x 3+6 x 4≥8 -2x l +5 x 2+3 x 3-5 x 4≤2 2x l +4 x 2+4 x 3-5 x 4=18x l 、x 2、x 3 ≥0 x 4无约束解： max Z=3x l +2 x 2+4 x 3-8 x 5+8x 6+0x 7+0x 8S.T. x l +2 x 2+5 x 3+6 x 5-6x 6-x 7=8-2x l +5 x 2+3 x 3-5 x 5+5x 6+x 8=2 2x l +4 x 2+4 x 3-5 x 5+5x 6=18x l 、x 2、x 3、x 4、x 5 、x 6、x 7 、x 8 ≥0 2、 min f=5x l -2 x 2+4 x 3-3 x 4 S.T. -x l +2 x 2- x 3+4 x 4=-2 -x l +3 x 2+ x 3+ x 4≤14 2x l - x 2+3 x 3- x 4≥2x l 符号不限，x 2≤0，x 3 、x 4≥0解： max f=5x 1-5x 2 +2 x 3+4 x 4-3 x 5+0x 6+0x 7S.T. x 1-x 2 +2 x 3+ x 4-4 x 5=2-x 1+x 2 -3 x 3+ x 4+ x 5+x 6=142x l -2x 2+ x 3+3 x 4- x 5-x 7=2x 1、x 2、x 3、x 4 、x 5、x 6 、x 7≥03.4 用图解法求解下列线性规划问题 1、max Z=x l +2 x 2S.T. 3x l +5 x 2≤15 6x l +2 x 2≤12 x l 、 x 2≥0解： 最优解为（0，3），最优值：6。
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2. 用图解法求解下述线性规划问题
min z x1 1.5x2
s.t.
x1 x1
3x2 x2
3 2
x1 , x2 0
1. x1=2, x2=4 ，最大利润 180元; 2. x1=1.5, x2=0.5, min z =2.25.
小结
1. 线性规划问题的模型特征
2 通过图解法了解如何求解线性规划问题及其 解的情况
x3+ x4+ x5+ x6+ x7 280 x1， x2, x3, x4, x5 , x6, x7 0
符号约束
决策变量 目标函数
线性规划问题及其数学模型
2 定义
定义 1 线性函数 （Linear Function）
定义 2 线性等式（Linear Equality），线性 不等式（Linear Inequality）
定义 3
决策变量 (≥，≤ 0 或 无约束)
线性规划
（Linear Programming， LP）
目标函数 (max 或 min) 约束条件 (LE 或 LI)
线性的 表达式
线性规划问题及其数学模型
3 线性规划的一般形式
max / min z c1x1 c2x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn ( 或 ) b1
线性规划问题及其数学模型
1 问题的提出
例1 --- 生产组织问题
资源I 资源II 资源III
产品 A (件) 2
1
1
产品 B (件) 1
1
0
可供资源 100 80
40
利润 （元） 3 2
问：如何安排生产计划才能使该厂获得最大利润？
线性规划问题及其数学模型
解: 定义
决策变量
x1：产品 A 的产量 x2：产品 B 的产量
❖ 特殊情形
x2
max z x1 2x2
x1 2x2 6 (1)
s
.t.
3
x1
x1
,
x
2
2x2 x2 0
12 2
(2) (3)
0
无穷多最优解
(2) (3)
x1
(1)
线性规划的图解法
max z x1 x2
s.t.
x1 x1
2x2 2 x2 1
(1) (2)
x1 , x2 0
s.t.a21
x1
a22 x2
a2n
xn
(
或
) b2
am1x1 am2x2 amnxn ( 或 ) bm
x1, x2, , xn (或 )0
线性规划问题及其数学模型
简写为
价值系数
n
max /min z cj xj
技术系数
j 1
右端项/限额系数
s.t.
n j 1
aij
x
所需 人数
280 150 240 250
190
310
280
为了保证销售人员充分休息，销售人员每周工作
5天，休息2天。问商场人力资源部应如何安排每天的 上班人数，使商场总的营业员最少。
线性规划问题及其数学模型
解: 定义 xi：第i天 开始上班的人数, i =1, 2, …, 7.
min z =x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7
2x1 x2 100 (1)
s.t.
x1 x2 80 x1 40
(2) (3)
x1 , x2 0
最优解： x* (20, 60)T .
最优值： z* 180.
x2
(0, 80)D
0
等值线
唯一最优解
(3)
G(20, 60)
F (40, 20)
E (40, 0)
(2)
x1
(1)
线性规划的图解法
j
(
或
) bi
(i 1, 2,
, m)
x j 0
( j 1, 2, , n)
约束条件
线性规划的图解法
可行解
--- 满足线性规划所有约束条件的点
可行域 ---可行解的集合
最优解 ---使目标函数达到最大值(或最小值)的可行解
线性规划的图解法
例2 仍以例1来解释
max z 3x1 2x2
max z 3x1 2x2
2x1 x2 100
s.t.Biblioteka x1 x2 80 x1 40
x1 , x2 0
目标函数 资源 I 约束 资源 II 约束 资源 III 约束 符号约束
线性规划问题及其数学模型
例2 ---人力资源问题
某个大型商场对销售人员的需求经统计如下表
星期 日 一 二 三 四 五 六
x2
(1)
0
无界解
(2)
x1
线性规划的图解法
x2
min z 3x1 2x2
(2)
s
.
t.
2xx1 1
x2 3x2
1
6
(1) (2)
(1)
x1 , x2 0
0
无可行解
x1
线性规划的图解法
LP 解的 情况
唯一最优解 无穷多最优解 有最优解
无界解 无可行解
无最优解
线性规划的图解法
练习
1. 某工厂要在计划期内生产桌子和椅子。已知每张桌子需用4 单位的木材，每把椅子需用3单位的木材；生产一张桌子可 获利40元，一把椅子为25元。市场要求生产椅子的数量至 少是生产桌子的两倍 。如果仅有20个单位的木材可供使用， 试为该工厂确定一种最佳生产方案（用图解法求解）。
x1+ x4+ x5 + x6 +x7 280
每天
x1+ x2+ x5+ x6+ x7 150
所需
x1+ x2 +x3 + x6+ x7 240
人数
x1+ x2+ x3+ x4+ x7 250 x1+ x2+ x3 + x4+ x5190 x2+ x3+ x4 + x5 + x6 310
限制 条件