线性规划问题与图解法

x2
(1)
0
无界解
(2)
x1
线性规划的图解法
x2
min z 3x1 2x2
(2)
s
.
t.
2xx1 1
x2 3x2
1
6
(1) (2)
(1)
x1 , x2 0
0
无可行解
x1
线性规划的图解法
LP 解的 情况
唯一最优解 无穷多最优解 有最优解
无界解 无可行解
无最优解
线性规划的图解法
练习
1. 某工厂要在计划期内生产桌子和椅子。已知每张桌子需用4 单位的木材，每把椅子需用3单位的木材；生产一张桌子可 获利40元，一把椅子为25元。市场要求生产椅子的数量至 少是生产桌子的两倍 。如果仅有20个单位的木材可供使用， 试为该工厂确定一种最佳生产方案（用图解法求解）。
所需 人数
280 150 240 250
190
310
280
为了保证销售人员充分休息，销售人员每周工作
5天，休息2天。问商场人力资源部应如何安排每天的 上班人数，使商场总的营业员最少。
线性规划问题及其数学模型
解: 定义 xi：第i天 开始上班的人数, i =1, 2, …, 7.
min z =x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7
线性规划问题及其数学模型
1 问题的提出
例1 --- 生产组织问题
资源I 资源II 资源III
产品 A (件) 2
1
1
产品 B (件) 1
1
0
可供资源 100 80
பைடு நூலகம்40
利润 （元） 3 2
问：如何安排生产计划才能使该厂获得最大利润？
线性规划问题及其数学模型
解: 定义
决策变量
x1：产品 A 的产量 x2：产品 B 的产量
x1+ x4+ x5 + x6 +x7 280
每天
x1+ x2+ x5+ x6+ x7 150
所需
x1+ x2 +x3 + x6+ x7 240
人数
x1+ x2+ x3+ x4+ x7 250 x1+ x2+ x3 + x4+ x5190 x2+ x3+ x4 + x5 + x6 310
限制 条件
❖ 特殊情形
x2
max z x1 2x2
x1 2x2 6 (1)
s
.t.
3
x1
x1
,
x
2
2x2 x2 0
12 2
(2) (3)
0
无穷多最优解
(2) (3)
x1
(1)
线性规划的图解法
max z x1 x2
s.t.
x1 x1
2x2 2 x2 1
(1) (2)
x1 , x2 0
x3+ x4+ x5+ x6+ x7 280 x1， x2, x3, x4, x5 , x6, x7 0
符号约束
决策变量 目标函数
线性规划问题及其数学模型
2 定义
定义 1 线性函数 （Linear Function）
定义 2 线性等式（Linear Equality），线性 不等式（Linear Inequality）
max z 3x1 2x2
2x1 x2 100
s.t.
x1 x2 80 x1 40
x1 , x2 0
目标函数 资源 I 约束 资源 II 约束 资源 III 约束 符号约束
线性规划问题及其数学模型
例2 ---人力资源问题
某个大型商场对销售人员的需求经统计如下表
星期 日 一 二 三 四 五 六
j
(
或
) bi
(i 1, 2,
, m)
x j 0
( j 1, 2, , n)
约束条件
线性规划的图解法
可行解
--- 满足线性规划所有约束条件的点
可行域 ---可行解的集合
最优解 ---使目标函数达到最大值(或最小值)的可行解
线性规划的图解法
例2 仍以例1来解释
max z 3x1 2x2
定义 3
决策变量 (≥，≤ 0 或 无约束)
线性规划
（Linear Programming， LP）
目标函数 (max 或 min) 约束条件 (LE 或 LI)
线性的 表达式
线性规划问题及其数学模型
3 线性规划的一般形式
max / min z c1x1 c2x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn ( 或 ) b1
2. 用图解法求解下述线性规划问题
min z x1 1.5x2
s.t.
x1 x1
3x2 x2
3 2
x1 , x2 0
1. x1=2, x2=4 ，最大利润 180元; 2. x1=1.5, x2=0.5, min z =2.25.
小结
1. 线性规划问题的模型特征
2 通过图解法了解如何求解线性规划问题及其 解的情况
s.t.a21
x1
a22 x2
a2n
xn
(
或
) b2
am1x1 am2x2 amnxn ( 或 ) bm
x1, x2, , xn (或 )0
线性规划问题及其数学模型
简写为
价值系数
n
max /min z cj xj
技术系数
j 1
右端项/限额系数
s.t.
n j 1
aij
x
2x1 x2 100 (1)
s.t.
x1 x2 80 x1 40
(2) (3)
x1 , x2 0
最优解： x* (20, 60)T .
最优值： z* 180.
x2
(0, 80)D
0
等值线
唯一最优解
(3)
G(20, 60)
F (40, 20)
E (40, 0)
(2)
x1
(1)
线性规划的图解法