中考数学专题复习专题一选择题解题方法

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中考数学专题复习——操作探究(详细答案)

中考数学专题复习——操作探究一.选择题1．（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．102. （2018•嘉兴•3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）3. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△CDP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c os∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．17194.（2018•海南•3 分）如图1，分别沿长方形纸片A BCD 和正方形纸片E FGH 的对角线A C，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形E FGH 的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A落在D C 边上的点F处，折痕为D E，点E在A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在直线A E 上的点H处，折痕为D G，点G在B C 边上，若AB=AD+2，EH=1，则A D= 。

2.（2018•临安•3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）．3.（2018•金华、丽水•4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A BCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边A B，BC上，三角形①的边G D在边A D上，则ABBC的值是．4. （2018·湖北省恩施·3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠AB C=90°，如图所示将R t△ABC沿直线l无滑动地滚动至R t△DE F，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）5.（2018•贵州贵阳•8 分）如图①，在 R t△ABC 中，以下是小亮探究sin a A 与sin bB之间关系的方法：∵sin A=a c ，sinB=b c ∴c =sin a A ，c=sin b B∴sin a A =sin b B根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究sin a A 、sin b B 、sin cC之间的关系，并写出探究过程．三.解答题1.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 A C ，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C ，且使∠AB C=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线 A C 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线 A C ，并写出与之对应的函数表达式．2.（2018•江苏徐州•7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）①画出△A BC 关于 x 轴对称的△A 1B 1C 1；②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A 2B 2C 2；③△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．3.（2018•山东东营市•10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC 中，点O在线段B C 上，∠BA O=30°，∠O AC=75°，AO=BO：CO=1：3，求A B 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作B D∥A C，交A O 的延长线于点D，通过构造△A BD 就可以解决．问题（如图2）请回答：∠ADB= 75 °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：在四边形A BCD 中，对角线A C 与B D 相交于点O，A C⊥AD，A O=ABC=∠A CB=75°，如图3，BO：OD=1：3，求D C 的长．4.（2018•山东济宁市•7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1 中，请你画出用T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠A PB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△B PC 绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接P P′，求出∠APB的度数；思路二：将△A PB 绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接P P′，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形A BCD 外一点，PA=3，PB=1，PB 的度数．答案详解一.选择题（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左1．图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】本题考查空间想象能力．【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选：B．【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系2. （2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在【解析】正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选A．【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．3. （2018•广西南宁•3分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△C DP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c o s∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠B OP、∠B=∠E.OP=OF 可得出△OE F≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出O E=OB.EF=BP，设E F=x，则B P=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出A F=1+x，在R t△DAF 中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出c o s∠A DF 的值．【解答】解：根据折叠，可知：△D CP≌△DE P，∴DC=DE=4，CP=EP．在△O EF 和△O BP 中，EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△O EF≌△OB P（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设E F=x，则B P=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵B F=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在R t△DAF中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴co s∠AD F=AD DF=1517．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合 A F=1+x ，求出 A F 的长度是解题的关键．4.（2018•海南•3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 A BCD 和正方形纸片 E FGH 的对角线 A C ，EG 剪开，拼成如图 2 所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形 O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为 50，则正方形 E FGH 的面积为（）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ．由题意：a 2+b 2+（a+b ）（a ﹣b ）=50， ∴a 2=25，∴正方形 E FGH 的面积=a 2=25，故选：B ．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 D C 边上的点 F 处，折痕为 D E ，点 E 在 A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 A E 上的点 H 处，折痕为 D G ，点 G 在 B C 边上，若 AB=AD+2，EH=1，则 A D= 。

2018年浙江中考数学复习方法技巧专题一：数形结合思想训练(含答案)

方法技巧专题一数形结合思想训练数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．一、选择题1．我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是( )A ．演绎B ．数形结合C ．抽象D ．公理化2．若实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图F 1－1所示，则下列式子中正确的是( )图F 1－1A ．ac ＞bcB ．|a －b |＝a －bC ．－a ＜－b ＜－cD ．－a －c ＞－b －c3．[2017·怀化] 一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P (－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则△AOB 的面积是( )A ．12 B.14C ．4D ．8 4．[2017·聊城] 端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队500米的赛道上，所划行的路程y (m )与时间x (min)之间的函数关系式如图F 1－2所示，下列说法错误的是( )图F 1－2A ．乙队比甲队提前0.25 min 到达终点B ．当乙队划行110 m 时，落后甲队15 mC ．0.5 min 后，乙队比甲队每分钟快40 mD ．自1.5 min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m /min5．[2016·天津] 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或36．[2017·鄂州 ] 如图F 1－3，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝O C.下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc＞0.其中正确的个数有( )图F 1－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．如图F 1－4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：________．图F 1－48．[2017·十堰] 如图F 1－5，直线y ＝kx 和y ＝ax ＋4交于A (1，k )，则不等式kx －6<ax ＋4<kx 的解集为________．图F 1－59．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图F 1－6所示．由图易得：12＋122＋123＋…＋12n ＝________．图F 1－610．当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，则x ＝m ＋n 时，代数式x 2－2x ＋3的值为________． 11．已知实数a 、b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，则2018|a －b |＝________．12．[2017·荆州] 观察下列图形：图F 1－7它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个点． 13．(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图F 1－8(2)观察图F 1－9，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：图F 1－91＋3＋5＋…＋(2n －1)＋(________)＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1＝__________．三、解答题14．[2016·菏泽] 如图F 1－10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B 、C )部分有两个交点，求b 的取值范围．图F 1－10参考答案1．B 2.D 3.B 4.D5．B [解析] (1)如图①，当x ＝3，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h >3，（3－h ）2＋1＝5，解得h ＝5(h ＝1舍去)；(2)如图②，当x ＝1，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h <1，（1－h ）2＋1＝5，解得h ＝－1(h ＝3舍去)． 6．C [解析] 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝c ，∴C (0，c )，∴OC ＝－c .∵OB ＝OC ，∴B (－c ，0)．∵A (－2，0)，∴－c 、－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ·(－2)＝c a ，∵c ≠0，∴a ＝12，②正确；∵a ＝12，－c 、－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B (－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a (－c )2＋b ·(－c )＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c ≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b2a ＜0，∴b ＞0.∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋bc＜0，④不正确． 7．(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab8．1<x <52 [解析] 将A (1，k )代入y ＝ax ＋4得a ＋4＝k ，将a ＋4＝k 代入不等式kx －6<ax ＋4<kx 中得(a ＋4)x －6<ax ＋4<(a ＋4)x ，解不等式(a ＋4)x －6<ax ＋4得x <52，解不等式ax ＋4<(a ＋4)x 得x >1，所以不等式的解集是1<x <52.9．1－12n (或2n－12n )10．3 11.112．135 [解析] 第1个图形有3＝3×1＝3个点；第2个图形有3＋6＝3×(1＋2)＝9个点；第3个图形有3＋6＋9＝3×(1＋2＋3)＝18个点； …第n 个图形有3＋6＋9＋…＋3n ＝3×(1＋2＋3＋…＋n )＝3n （n ＋1）2个点．当n ＝9时，＝135个点． 13.解：(1)1＋3＋5＋7＝16＝42.观察，发现规律，第一个图形：1＋3＝22，第二个图形：1＋3＋5＝32，第三个图形：1＋3＋5＋7＝42，…，第(n －1)个图形：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 故答案为：42；n 2. (2)观察图形发现：图中黑球可分三部分，1到n 行，第(n ＋1)行，(n ＋2)行到(2n ＋1)行，即1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋[2(n ＋1)－1]＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1 ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(2n ＋1)＋[(2n －1)＋…＋5＋3＋1] ＝n 2＋2n ＋1＋n 2 ＝2n 2＋2n ＋1.故答案为：2n ＋1；2n 2＋2n ＋1.14．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)如图，∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴抛物线的顶点坐标是(1，32)．由B (－2，6)和C (2，2)求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. ∴对称轴与直线BC 的交点是H (1，3)． ∴DH ＝32.∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △CDH ＝12×32×3＋12×32×1＝3.(3)如图．①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2消去y ，得x 2－x ＋4－2b ＝0.当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点，∴(－1)2－4(4－2b )＝0，解得b ＝158.②当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3.③当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5.综上，可知158＜b ≤3.。

中考数学专题复习——规律探索(详细答案)

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标为（）．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是。

初中数学中考一轮复习专题1数与式重点、考点知识、方法总结及真题练习

在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）仸何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0；（2）仸何一个实数 a 的平方是非负数，即 a2 ≥0；（3）仸何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 ( a 0 ).
非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数乊和仍是非负数；（3）几个非负数乊和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算
a a (a 0, b 0) bb
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数丌变，
即合并同类二次根式.
【典例】
1.计算：5 +
﹣×+ ÷．
【答案】【解析】解：原式= + ﹣
+3 ÷
=2 ﹣1+3
=2 +2．
x xy xy y
2.若 x 0 ，化简
注：单独一个字母戒一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则：（1）数字不字母相乘戒字母不字母相乘，通常把乘号写作“ ”戒省略丌写，字母乊间的
顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母乊前.如： 3b 丌要写成 b3 （2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如： 2a b 写成 2a
x
2
0
即
x
1 且x 2
2
.
【难度】易
【结束】
2.若
，则 ( )
A. b＞3B. b＜3C. b≥3D. b≤3
【答案】D.
【解析】
3 b = 3 b ,所以 3 b ≥0,即 b 3 .

中考数学复习攻略专题1 规律探索与归纳推理(含答案)

重点专题突破专题一规律探索与归纳推理中考重难点突破数式规律数式规律类问题通常是先给出一组数或式子，要求通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．常见数列规律❶2，4，6，8，10，12，… 2n (从2开始的连续偶数) ❷1，3，5，7，9，11，… 2n －1(从1开始的连续奇数)❸1，4，9，16，25，36，… n 2(正整数平方) ❹2，4，8，16，32，64，… 2n (2的整数次幂) ❺－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n (奇负偶正)❻1，－1, 1，－1, 1，－1，… (－1)n ＋1或(－1)n －1(奇正偶负)【例1】(2021·铜仁中考)观察下列各项：112 ，214 ，318 ，4116 ，…，则第n 项是__n ＋12n __．【解析】根据已知可得出规律：第一项：112 ＝1＋121 ，第二项：214 ＝2＋122 ，第三项：318 ＝3＋123 ，…，从而可以得出第n 项．本题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．【例2】(2020·百色一模)观察下列等式：1－12 ＝12 ，2－25 ＝85 ，3－310 ＝2710 ，4－417 ＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为 __20－20401 ＝8 000401__ .【解析】根据题意可知，这列等式的左边的被减数是从1开始的连续整数，减数是一个分数，并且分子和被减数相同，分母是被减数的平方加1；右边也是一个分数，分子是被减数的立方，分母和减数的分母相同，由此可写出第20个等式为：20－20202＋1 ＝203202＋1 ，最后化简即可．1．按一定规律排列的单项式：a ，－2a ，4a ，－8a ，16a ，－32a ，…，则第n 个单项式是( A )A ．(－2)n －1a B ．(－2)n aC ．2n －1a D ．2n a 2．(2020·百色二模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是__21__.3．观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， ……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝__(n ＋2)2__．图形规律图形规律类问题主要涉及图形的组成、分拆等过程，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画出几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想．【例3】观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32 n 2＋32 n __(用含n 的式子表示).【解析】本题可先依次列出n ＝1，2，3，…时的钢管数，再根据规律依次类推，可得出第n 个图的钢管数．第1个图的钢管数为1＋2＝3＝3×1；第2个图的钢管数为2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)；第3个图的钢管数为3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4个图的钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次类推，第n 个图的钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝32 n 2＋32n .4．(源于沪科七上P83)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( B )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株 5．(2021·遂宁中考)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第__20__个图形共有210个小球．6．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有m 个涂有阴影的小正方形，那么m 与n 的函数关系式为__m ＝4n ＋1__．与坐标有关的规律与坐标有关的规律类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．【例4】如图，直线l 为y ＝3 x ，过点A 1(1，0)作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x轴于点A 3……按此作法进行下去，则点A n 的坐标为(__2n －1，0__).【解析】∵直线l 为y ＝3 x ，点A 1(1，0)，A 1B 1⊥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝3 ，即B 1(1，3 ).∴tan ∠A 1OB 1＝3 .∴∠A 1OB 1＝60°，∠A 1B 1O ＝30°.∴OB 1＝2OA 1＝2.∵以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2，∴A 2(2，0).同理可得A 3(4，0)，A 4(8，0)，…，∴A n (2n －1，0).7．如图，在平面直角坐标系中，A (－1，1)，B (－1，－2)，C (3，－2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2 021 s 瓢虫所在点的坐标是( A )A ．(3，1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(3，－2)8．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝－13 x ＋4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2 022＝__942 021 __．中考数学专题过关1．如图，第1个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第2个图形，图中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点得到第3个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第4个图形、第5个图形……，则第7个图形中共有正方形( B )A ．21个B ．25个C ．29个D ．32个2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A (4，0)，B (0，3)，则点C 100的坐标为( B )A ．⎝⎛⎭⎫1 200，125 B ．(600，0)C ．⎝⎛⎭⎫600，125 D ．(1 200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第11对有序数对为 __(121，122)____．4．观察下列一组数：－23 ，69 ，－1227 ，2081 ，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__(－1)n ·n （n ＋1）3n__．5. (2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ；x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ；x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4；……根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021__．6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形(用含n 的代数式表示)．7．(2021·扬州中考)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__1__275__．。

2020届中考数学总复习课件：核心素养专题一选择填空难题突破 (共41张PPT)

5．在平面直角坐标系中，任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)规定运算：①A⊕B＝(x1＋x2，
y1＋y2)；②A⊗B＝x1x2＋y1y2；③当 x1＝x2 且 y1＝y2 时，A＝B.有下列四个命题：(1)若 A(1，
2)，B(2，－1)，则 A⊕B＝(3，1)，A⊗B＝0；(2)若 A⊕B＝B⊕C，则 A＝C；(3)若 A⊗B
11．[2019·咸宁]有一列数，按一定规律排列成 1，－2，4，－8，16，－32，…其中某三个相邻数的积是 412，则这三个数的和是__－__3__8_4_．【解析】 ∵一列数为 1，－2，4，－8，16，－32，…∴这列数的第 n 个数可以表示为(－ 2)n－1，设这三个相邻的数为(－2)n－1，(－2)n，(－2)n＋1，由题意得(－2)n－1·(－2)n·(－2)n＋1 ＝412，即(－2)3n＝(22)12＝224，∴3n＝24，解得 n＝8，∴这三个数的和是(－2)7＋(－2)8 ＋(－2)9＝(－2)7×(1－2＋4)＝(－128)×3＝－384.
10．[2019·十堰]对于实数 a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋ 2)◎(m－3)＝24，则 m＝_－___3_或__4_．【解析】根据题意得[(m＋2)＋(m－3)]2－[(m＋2)－(m－3)]2＝24，(2m－1)2＝49，2m －1＝±7，解得 m1＝－3，m2＝4.
3＋ 5 ＞
3－
5，故
x＞0，由
x2
＝

3＋ 5－
3－
5
2
＝
3
＋
5＋3－
5－
2 （3＋ 5）（3－ 5）＝2，解得 x＝ 2，即 3＋ 5－ 3－ 5＝ 2.根据以上方法，

2024年+广东省中考专用数学复习专题一中点、角平分线、中垂线问题

①DE＝DF；②DE＋DF＝AD；③DM平分∠ADF； ④AB＋AC＝2AE；⑤连接BD，DC，则∠BDC＝ 120°.其中正确的有
()
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个D
12．(2022·广州)如图，正方形ABCD的面积是3，点E在
CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，M，
N分别是BE，BF的中点，则MN的长为
BD AD
BD, DE ,
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL). ∴AB＝EB. ∵BC＝BE＋EC， ∴BC＝AB＋AD.
6 角平分线遇垂线段，延长构等腰 10．如图，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠B＝
40°，∠BCD＝33°，则∠CAD＝__1_7_°_.
11．【变式】如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC 的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D， DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：
∴∠B′AD＋∠CAD＝180°.
∴点C，A，B′共线． ∴AC＋BC＝CB′＝8，CD＝DB′，∠CDB′＝90°.
∴CD2＋DB′2＝CB′2，CD2＋CD2＝82.
∴CD＝
2 2
CB′＝
2 ×8＝4
2
2.
(3)若⊙O的直径AB＝6 2 ，当点C在半圆弧上由点A运动到点B时，分别求动点I和弦CD的中点G所走过的路径长．
解：设∠CAI＝x，∠IAB＝x.∠DAI＝45°＋x，
∠AID＝45°＋x. ∵∠DAI＝∠AID，
∴DA＝DI＝DB.
∴动点I轨迹为以点D为圆心，以DA长为半径的圆心角
为∵9A0B°＝的6 圆2弧，． ∴AD＝AB·sin 45°＝6

中考数学专题复习常见模型方法瓜豆原理

中考数学专题复习常见模型方法瓜豆原理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，()C0,4，()A3,0，A半径为2，P为A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是()A．1 B．32C．2 D．22．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（）A．14B．7C．9D．63．如图，A是△B上任意一点，点C在△B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则BCD△的面积的最大值为（）A．43＋4B．4C．43＋8D．6评卷人得分二、填空题4．如图，90BAD∠=︒，4AB AD==，点C为平面内一动点，且2BC=，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为______．5．如图，在直角坐标系中，△A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是△A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是_____．6．如图，点P（3，4），△P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是△P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是________．7．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P 沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．8．如图，AB为△O的直径，C为△O上一点，其中AB=8，△AOC=120°，P为△O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为_______.9．如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______．10．如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_____．11．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画△B，点P在△B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为_____cm．12．如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_____．13．在平面直角坐标系中，(1,0),(0,3)A B，过点B作直线BC△x轴，点P是直线BC 上的一个动点以AP为边在AP右侧作Rt APQ，使90APQ︒∠=，且:1:3AP PQ=，连结AB、BQ，则ABQ周长的最小值为___________.14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝45，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则线段BE的取值范围为___________16．正方形ABCD的边长为1，E为边BC上动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，M为DE的中点，连接MF，则MF的最小值为________评卷人得分三、解答题17．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点．（1）当点E从点D向点A运动的过程中：△求证：AF△BE；△在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；（2）在整个运动过程中：△线段DH长度的最小值为______．△线段DH长度的最大值为_________．18．如图，△O的半径为1，点P是△O上的一点，将点P绕点A（－4，0）逆时针旋转60°得到点Q，则点P在△O上运动时，点Q也随之运动，连接OQ．求当点P在△O上运动时，求OQ的最小值．参考答案：1．B【解析】【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．=，CH AHCE EP=，1∴==，EH PA12∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，()A3,0，C0,4，()()∴，H1.5,222．，∴=+=OH215 2.5=-=-=，∴的最小值OH EH 2.51 1.5OE故选B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．2．B【解析】【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后在CEM 中根据三边关系即可求解．【详解】解：作AB 的中点E ，连接EM 、CE 、AD ，在直角ABC 中，2210AB AC BC =+=△E 是直角ABC 斜边AB 上的中点，△152CE AB ==， △M 是BD 的中点，E 是AB 的中点，△122ME AD ==， △在CEM 中，5252CM -≤≤+，即37CM ≤≤，△最大值为7，故选：B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键．3．A【解析】【分析】以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，证明()DCM ACB SAS ≅得到2DM AB ==，分析出点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆，在求出点D 到BC 的最大距离，即可求出面积最大值．解：如图，以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，△60DCA MCB ∠=∠=︒，△DCA ACM MCB ACM ∠-∠=∠-∠，即DCM ACB =∠∠在DCM △和ACB △中，DC AC DCM ACB MC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()DCM ACB SAS ≅，△2DM AB ==，△点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆，要使BCD △面积最大，则求出点D 到线段BC 的最大距离，△BCM 是边长为4的等边三角形，△点M 到BC 的距离是23，△点D 到BC 的最大距离是232+，△BCD △的面积最大值是()142324342⨯⨯+=+．故选：A ．【点睛】本题考查动点轨迹是圆的问题，解题的关键是利用构造全等三角形找到动点D 的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．4．221221AM -≤≤+【分析】连接BD ，取BD 的中点N ，连接,AN MN ，先根据三角形中位线定理可得1MN =，再根据勾股定理、直角三角形的性质可得22AN =，然后分三种情况，根据三角形的三边关系、线段的和差即可得．【详解】解：如图1，连接BD ，取BD 的中点N ，连接,AN MN ，点M 为线段CD 中点，MN ∴是BCD △的中位线，112122MN BC ∴==⨯=， 90BAD ∠=︒，4AB AD ==，2242BD AB AD ∴=+=，又点N 为BD 的中点，1222AN BD ∴==，（1）如图1，当点,,A N M 不共线时，由三角形的三边关系得：AN MN AM AN MN -<<+，即221221AM -<<+；（2）如图2，当点,,A N M 共线，且点N 位于点,A M 中间时，则221AM AN MN=+=+；（3）如图3，当点,,A N M共线，且点M位于点,A N中间时，则221AM AN MN=-=-；综上，线段AM的取值范围为221221AM-≤≤+，故答案为：221221AM-≤≤+．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．5．3722OP≤≤【解析】【分析】如图，在y轴上取一点()0,3B'-，连接B A'，B C'，由勾股定理求出B A'=5，由三角形中位线定理求B C'=2OP，当C在线段B A'上时，B C'的长度最小值=5-2-3，当C在线段B A'延长线上时，B C'的长度最大值=5+2=7，即可求解．【详解】如图，在y轴上取一点()0,3B'-，连接B A'，B C'，△B（0，3），()0,3B'-，A（4，0），△3OB OB'==，4OA=，△22345B A'=+=，△点P是BC的中点，△BP PC=，△OB OB'=，BP PC=，△2B C OP'=，当C在线段B A'上时，B C'的长度最小值为：5-2=3，当C在线段B A'延长线上时，B C'的长度最大值为：5+2=7，△3722OP≤≤，故答案为：3722OP≤≤．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键．6．32##1.5【解析】【分析】【详解】如图，连接OP交△P于M′，连接OM．△点P（3，4），A（2.8，0），B（5.6，0），△OP=22345+=，AO=2.8，OB=5.6，△AB=5.6-2.8=2.8，△OA=AB，又△CM=CB，△AC=12OM，△当OM最小时，AC最小，△当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值=12OM′=12（OP﹣PM′）=32．考点：1、点与圆的位置关系；2、坐标与图形性质；3、三角形中位线定理7．π【解析】【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得AB的长度，由三角形中位线定理可知12DM OP=，可以推出点M的运动轨迹是以D为圆心，12OP为半径的半圆．【详解】如图所示，取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，△ABC为等腰直角三角形，△2222(22)(22)4A AB C BC=+=+=，122OP AB∴==，112MD OP∴==，由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以1为半径的半圆，∴点M的运动路径长12π1π2=⨯⨯=，故答案为：π．【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．8．27+2【解析】【分析】连接,OQ作CH AB⊥于H,,AQ PQ=得到,OQ AP⊥90,AQO∠=点Q的运动轨迹是以AO 为直径的K,连接CK,当点Q在CK的延长线上时，CQ取得最大值，在Rt OCH中，60,COH∠=14,2OC AB==12,2OH OC==23,CH=在Rt CKH中，()2223427,CK=+=即可求出线段CQ的最大值.【详解】连接,OQ作CH AB⊥于H,,AQ PQ=得到,OQ AP⊥∴90,AQO∠=点Q的运动轨迹是以AO为直径的K,连接CK,当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 取得最大值，在Rt OCH 中，60,COH ∠=14,2OC AB == 12,2OH OC == 23,CH = 在Rt CKH 中，()2223427,CK =+=线段CQ 的最大值为：27 2.+【点睛】考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度较大，得到点Q 的运动轨迹是以AO 为直径的K 是解题的关键.9．2【解析】【分析】以OA 为对称轴，构造等边三角形ADF ，作直线DC ，交x 轴于点E ，先确定点C 在直线DE 上运动，根据垂线段最短计算即可．【详解】如图，以OA 为对称轴，构造等边三角形ADF ，作直线DC ，交x 轴于点E ，△△ABC ，△ADF 都是等边三角形， △AB =AC ，AF =AD ，△F AC +△BAF =△F AC +△CAD =60°，△AB =AC ，AF =AD ，△BAF =△CAD ，△△BAF △△CAD ，△△BF A =△CDA =120°，△△ODE =△ODA =60°，△△OED=30°，△OE=OA=4，△点C在直线DE上运动，△当OC△DE时，OC最小，OE=2，此时OC=12故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键．10．522-．【解析】【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO△△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝52，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，△△EDF＝△ODM＝90°，△△EDO＝△FDM，△DE＝DF，DO＝DM，△△EDO△△FDM（SAS），△FM＝OE＝2，△正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，△OC＝5，△OD＝22+＝5，(25)(5)△OM＝22+＝52，55△OF+MF≥OM，△OF≥522-，△线段OF长的最小值为522-．故答案为：522-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．11．321-【解析】【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB△△P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD 的长，则得出BP′的长．【详解】如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，连接BP，由旋转得：AP=AP′，△PAP′=90°，△△PAB+△BAP′=90°，△四边形ABCD为正方形，△AB=AD，△BAD=90°，△△BAP′+△DAP′=90°，△△PAB=△DAP′，△△PAB△△P′AD，△P′D=PB=1，在Rt△ABD中，△AB=AD=3，由勾股定理得：BD=22+，323=3△BP′=BD-P′D=32-1，即BP′长度的最小值为（32-1）cm．故答案为（32-1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值最小值．12．522-．【解析】【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO△△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝52，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，△△EDF＝△ODM＝90°，△△EDO＝△FDM，△DE＝DF，DO＝DM，△△EDO△△FDM（SAS），△FM＝OE＝2，△正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，△OC＝5，△OD＝22+＝5，(25)(5)△OM＝22+＝52，55△OF +MF ≥OM ，△OF≥522-，△线段OF 长的最小值为522-．故答案为：522-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．13．2213+【解析】【分析】先证明△AOB △△APQ ，得到OA AB AP AQ =，由△OAP ∼△BAQ ，得到BQ =2OP ，进而得到ABQ C =22()AP OP ++．作O 关于直线3y =的对称点O ’，连接'AO ，PO '，则OP =O 'P ，AO '=13，根据两边之和大于第三边即可得到AP OP AO '+≥，从而得到答案．【详解】如图所示．连接OP ．在t R APQ 中，90APQ ︒∠=．:1:3AP PQ =2AQ AP ∴=又在Rt OAB ∆中，:1:3OA OB =OA PA OB PQ∴= 又△90AOB APQ ︒∠=∠=~AOB APQ ∴OA AB AP AQ∴=，△OAB =△P AQ ， OAP BAQ ∴∠=∠OAP BAQ ∴21BQ AQ OP AP ∴== 2BQ OP ∴=．△OA =1．OB =3，△AB =22221(3)2OA OB +=+=，ABQ C AB AQ BQ ∴=++222AP OP =++22()AP OP =++又P 为直线3y =上的动点．△作O 关于直线3y =的对称点O ’，(0,23)O '∴，连接'AO ，PO '．△OP =O 'P ，AO '=221(23)13+=，△AP +OP =AP +PO '13AO '≥= ()min 2213ABQ C ∴=+即ABQ △的最小值为2213+．故答案为：2213+．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是把△ABQ 周长的最小值转化为求AP +OP 的最小值．14．52【解析】【分析】方法一：因为点E在线段AB上运动，根据瓜豆原理可知从动点F在一条直线上运动，找出这条直线根据点到直线的距离垂线段最短即可求出CF的最小值．方法二：依题意，当点E运动到A点时，以AD为边作正方形12ADG F；同理当点E运动到B点时，作正方形1DBF G；故点F在1F与2F间运动，当12CF F F⊥时，可得CF最小；【详解】方法一：解：如图，在BA延长线上取点M，使AM=AD，△在矩形ABCD中，90BAD MAD∠=∠=︒，△45MDA∠=︒，2MD AD=,△在正方形DEFG中，45EDF∠=︒，2FD ED=△△EDF=△MDA，=2FD DMED AD=,△EDA FDM△90FMD EAD∠=∠=︒，△点F在过M点垂直DM的直线MN上，故CF的最小值为点C到直线MN的距离；过点C作'CF△MN，过D点作DH△'CF，△四边形DHF M'是矩形，△2=32HF DM AD'==，△90ADC MDH∠=∠=︒，45MDA∠=︒，△45HDA HDC ∠=∠=︒，△CHD 是等腰直角三角形，△2CD HC =，△22=4=2222HC CD =⨯， △=223252CF HC HF ''=++=故答案为52．方法二：如图：当点E 运动到A 点时，以AD 为边作正方形12ADG F ；同理当运动到B 点时，作正方形1DBF G ；过点1F 作12F H BF ⊥，90BDC DBC ∠+∠=︒ ，又190F BH DBH ∠+∠=︒；又ABCD 为矩形，△ BDC DBH ∠=∠；△ 1DBC F BH ∠=∠在1F HB ∆和BCD ∆中11190DBC F BH BCD F HB BF BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩1F HB BCD ∆≅∆14CD F H ==，又3AD BC ==△222211()7358CF BH F H AD =++=+=；同理可得258CF =；△124HF HF ==；△ 1242F F =；当点到达点,A B ，为点F 的运动的最大范围，又依据等腰三角形的性质，点F 在1F 与2F 间运动，且当12CF F F ⊥时，可得CF 最小；△()22122522F F CF CF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；故答案为：52【点睛】本题考查正方形及直角三角形的性质，关键在寻找等量关系及其最小值的位置．15．63102BE≤≤【解析】【分析】以BC为斜边向BC下方作等腰直角三角形BPC，连接EC、PD，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质易得△BCE△△PCD，则有2BE PD=，则把问题转化为求PD的取值范围，过点P作PG△BE于点G，连接AP交BC于点H，进而易得35,6AP PG==，则有635PD≤≤，最后问题可求解．【详解】解：以BC为斜边向BC下方作等腰直角三角形BPC，连接EC、PD，如图所示：△245,BCP BC PC∠=︒=，△四边形DCFE 是正方形，△△DCE =△BCP =45°，2CE CD =，△ECB DCP ∠=∠，2BC EC PC DC==， △△BCE △△PCD ，△2BE PD =，则把问题转化为求PD 的取值范围，过点P 作PG △BE 于点G ，连接AP 交BC 于点H ， △5,AB AC BP PC ===，△AP 垂直平分BC ，△BC ＝45，△25BH CH PH ===，△225A AB H BH ==-，△2535,sin 5PG BH AP GAP AP AB =∠===， △2565PG AP ==， △D 为边AB 上一动点（B 点除外），△635PD ≤≤，△63102BE ≤≤；故答案为63102BE ≤≤．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及正方形的性质是解题的关键．16．3510【解析】【分析】方法一：应用瓜豆原理得到F 点的轨迹，利用三垂直模型可得F 点在射线CF 上，△FCB =135°，构造Rt △MPF 求PF 长即可解答．方法二：将AE 绕E 点顺时针旋转90°，得线段EF ，因为E 是边BC 上的动点，故F 是一条线段的动点，利用三垂直模型可得F 点在射线CF 上，△FCB =135°，构造Rt △MPF 求PF 长即可解答．方法三：构造一线三直角模型，建立直角坐标系，运用两点间的距离公式，用二次函数思想确定最小值即可．【详解】方法一：连接AC,AF ,CF ,A 点是定点，E,F 动点，△AE =EF ,AE △EF ,△△EAF =45°，2AF AE = ,在正方形ABCD 中，△BAC =45°，2AF AE = ,△△BAE =△BAC -△EAC , △CAF =△EAF -△EAC,△△BAE =△CAF ，又△2AC AF AB AE== , △△ABE △△ACF ,△△ACF =△ABE =90°，△△DCF =45°，△F 在射线CF 上运动，且△DCF =45°.取EC 的中点H ，连接MH ，△MD =ME ，△//MH CD ，11=22MH CD =， △MH △EC ，过F 点作FP △MH ，△四边形FGHP 是矩形，△PH =FG设BE CG FG x===，则1EC x=-，1122xHC EC-==，△1122x xPF HG HC CG x-+==+=+=，12MP MH PH x=-=-，在Rt△MPF中，222MF MP PF=+,即：22211()()22xMF x+=-+，△222511519=()4224520MF x x x=-+-+，当15x=时，2MF的最大值为920，△MF的最大值为3510，故答案为3510．方法二：解：如图，过点F作FG△BC垂足为G，△在正方形ABCD中，AB=BC=CD=1，△ABC=90°，由旋转性质可知：AE=FE，△AEF=90°，△90=AEB FEG FEG EFG∠+∠=︒∠+∠，△=AEB EFG∠∠，△ABE EGF≅（SAS），△BE CF=，AB EG BC==，△BE EC EC CG+=+，△BE CG FG==，△45FCG CFG∠=∠=︒，取EC的中点H，连接MH，△MD=ME，△//MH CD，11=22 MH CD=，△MH△EC，过F点作FP△MH，△四边形FGHP是矩形，△PH=FG设BE CG FG x===，则1EC x=-，1122xHC EC-==，△1122x xPF HG HC CG x-+==+=+=，12MP MH PH x=-=-，在Rt△MPF中，222MF MP PF=+,即：22211()()22xMF x+=-+，△222511519=()4224520MF x x x=-+-+，当15x=时，2MF的最小值为920，△MF的最大值为3510，故答案为3510．方法三：以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点E（a，0），△正方形的边长为1，△点D （1，1）；过点F 作FG △x 轴，垂足为G ，△△AEF =90°，△△BAE =△GEF ，△△ABE =△EGF =90°，AE =EF ，△△ABE △△EGF ，△BE =GF ，AB =EG =1，△M （a 12+，12），F （a 1+，a ）， △MF =2211(1)()22a a a ++-+- =2221144a a a a +++-+ =25224a a -+ =215222a a -+ =21195()255a -+，当a =15时，MF 有最小值，且最小值为3510；故答案为：3510．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等和性质，两点间的距离公式，二次函数的最小值，熟练掌握一线三直角模型，借助坐标系构造二次函数是解题的关键．17．（1）△见解析；△3π；（2）△25-2．△25+2．【解析】【分析】（1）△证明△ABE△△DAF，运用互余原理证明即可；△根据△AHB=90°，且AB是定长，判定点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，根据弧长公式计算即可；（2）△根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，根据勾股定理计算即可．△根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最长，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）△△四边形ABCD是正方形，△AB=DA=CD，△BAE=△ADF=90°，△DE＝CF，△AE=DF，△△ABE△△DAF，△△ABE=△DAF，△△ABE+△AEB=90°，△△DAF+△AEB=90°，△△AHE=90°，△AF△BE；△点H运动路径画图如下，△△AHB=90°，且AB是定长，△点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，设AB的中点为点O，连接BD，设BD的中点为点M，连接OM△△BOM=90°，△AB=4，△圆的半径为2，△弧长为2702180π⨯⨯=3π；（2）△根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，当H与点G重合时，最短，△AD=4，AO=2，△DO=2222AO AD+=+=25；24△DH=DO-OG=25-2，故答案为：25-2．△根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最大，当H与点Q重合时，最大，△AD=4，AO=2，△DO=2222+=+=25；24AO AD△DH=DO+OQ=25+2，故答案为：25+2．【点睛】本题考查了正方形的性质，弧长公式，圆的基本性质，圆的定义，三角形的全等判定与性质，熟练运用正方形的性质，灵活运用弧长公式和圆的性质是解题的关键．18．3【解析】【分析】将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB，易证△ABO是等边三角形，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，易证△APQ是等边三角形，易证△APO△△AQB，得到QB=PO=1，点Q满足了到定点的距离等于定长，从而确定点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，根据圆的基本性质可以确定OQ的最小值．【详解】△点A（－4，0），△OA=4，如图，将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB，△AB=AO，△OAB=60°，△△ABO是等边三角形，△OA=OB=4，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，△AP=AQ，△P AQ=60°，△△APQ是等边三角形，△△OAP+△P AB=△QAB+△P AB=60°，△△OAP=△QAB，△△APO△△AQB，△QB=PO=1，△点Q满足了到定点的距离等于定长，△点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，根据圆的基本性质，得当B，Q，O三点一线时，OQ取得最小值，此时OQ=OB-BC=4-1=3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆的定义和性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用圆的定义和性质是解题的关键．答案第25页，共25页。

中考数学复习专题数形结合思想(含答案)

数形结合思想一、选择题1、已知点M(1-a ，a+2)在第二象限，则a 的取值范围是（）（A ）a>－2 (B)－2<a<1 (C)a<－2 (D)a>1 2、在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）（A ）相应各组的频数（B ）组数（C ）相应各组的频率（D ）组距 3、已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（）A ．x >0B ．x <0C ．-2<x <0D ．x <1 4、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ．则OM 的长为（）A．3cmB ．5cmC ．2cmD ．3cm5、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为（） A ．600B ．1800C ．300D ．9006、若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的①、②、③、④对应顺序。

① 小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系)② 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系) ③ 运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)④ 小杨从A 到B 后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系) 正确的顺序是A ．③④②①B ．①②③④C ．②③①④D ．④①③②7、小圆圈是网络的结点，结点之间的边线表示它们之间的网线相联，边线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现在的结O 1-2点A向结点B传递信息，可以分开沿不同的路线同时传递，单位时间内传递的最大信息量为：A．19B．20C．24D．268、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是( )9、如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD面积为（）（A）98 （B）196 （C）280 (D) 28410、如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对二、填空题：1、把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA'是2、如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B的坐标为(4，2)，直线12y x b=+恰好将矩形OACB分成面积相等的两部分，则b= 。

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

中考数学专题复习：用公式法求解一元二次方程

中考数学专题复习：用公式法求解一元二次方程一、选择题1.用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3=0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A.a=3，b=2，c=3B.a=－3，b=2，c=3C.a=3，b=2，c=－3D.a=3，b=－2，c=32.用公式法解方程4x 2﹣12x=3所得的解正确的是( ) A.x= B.x= C.x= D.x=3.用配方法解关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是（）A.(x ﹣1)2=4B.(x+1)2=4C.(x ﹣1)2=16D.(x+1)2=164.解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( )A.直接开平方法B.配方法C.公式法或配方法D.分解因式法 5.已知一元二次方程x 2－x-3=0的较小根为x 1，则下面对x 1的估计正确的是( )A.-2<x 1<-1B.-3<x 1<-2C.2<x 1<3D.-1<x 1<06.用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3=0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A.a=3，b=2，c=3B.a=－3，b=2，c=3C.a=3，b=2，c=-3D.a=3，b=-2，c=37.方程x 2＋x －1=0的一个根是( )A.1－ 5B.1－52C.－1＋ 5D.－1＋528.方程2x 2＋43x ＋62=0的根是( )A.x 1=2，x 2= 3B.x 1=6，x 2= 2C.x 1=22，x 2= 2D.x 1=x 2=－ 6二、填空题9.方程2x 2－6x －1=0的负数根为________.10.把方程(x+3)(x ﹣1)=x(1﹣x)整理成ax 2+bx+c=0的形式________，b 2﹣4ac 的值是________. 11.用公式法解一元二次方程﹣x 2+3x=1时，应求出a ，b ，c 的值，则：a=________；b=________；c=________.12.用求根公式解方程x 2+3x=﹣1，先求得b 2﹣4ac=________，则 x 1=________，x 2=________.13.等腰三角形的边长是方程x 2-错误!未找到引用源。

2013年北京中考数学复习专题讲座一：选择题解题方法(含答案)+讲座二：新概念型问题(含答案)

考点三：筛选法（也叫排除法、淘汰法）分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是 “答案唯一” ，即四个选项中有且只有一个答案正确. 例 3 （2012• 东营）方程(k-1)x-2 1 − k x+
2 的图象上，∴S 阴影=2； x
2 的图象上，∴S 阴影=2； x 1 1 ×2+ 2 2
C、如图所示，分别过点 MN 作 MA⊥x 轴， NB ⊥x 轴，则 S 阴影=S△OAM+S 阴影梯形 ABNM-S△OBN = （2+1）×1-
1 3 ×2= ； 2 2
D、∵M 、N 两点均在反比例函数 y= ∵
A．﹣1
B．1
C．2
D．﹣2
考点七：动手操作法与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的. 例 7 （ 2012• 西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图 ①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（）
B．相交
C．外切
D．外离
3．（2012• 安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a，则阴影部分的面积为（）

2015届湘教版中考数学复习课件专题一_选择题解题策略

专题一┃ 选择题解题策略
探究五
图形性质考题
例5 [2014· 张家界] 如图Z1－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于 D，E两点．若BD＝2，则AC的长是 ( B ) A. 4 C. 8 B. 4 D. 8 3 3
专题一┃ 选择题解题策略
解析
专题一┃ 选择题解题策略
探究三几何图形的变化考题
例3 如图Z1－1，是一对变量满足的函数关系的图象．有下列3个不同的问题情境： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分钟，在原地休息了4分钟，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分钟，离出发地的距离为y 千米；
专题一┃ 选择题解题策略
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴∠A＝30°. ∵DE垂直平分斜边AC，∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD＝30°， ∴∠DCB＝60°－30°＝30°. ∵BD＝2，∴CD＝AD＝4，∴AB＝2＋4＝6. 在Rt△BCD中，由勾股定理得CB＝2 中，由勾股定理得AC＝ AB2＋BC2＝4 3 ，在Rt△ABC 3，故选B.
【例题分层分析】 (1)解方程组的方法有________和________； (2)将两个方程左右两边分别相加，可得到________．【解题方法点析】求值与求解类的选择题，可以采用直接求解的方法，也可以采用代入法，这样可以避免解题带来的错误与麻烦．代入法是解选择题的有效避误的法宝．
专题一┃ 选择题解题策略
专题一┃ 选择题解题策略
解析
①根据情境知，前5分钟应行驶了400×5＝
2000(米)，而图象上反映的是6千米，所以不正确；②根据情境知，前5分钟注水1.2×5＝6(升)；此时注满，5～9分钟时水的高度不变；9～12分钟后，每分钟倒出2升，3分钟倒空，符合图象；③AC＝ 32＋42 ＝5，则当0＜x≤5时(如图

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二、解题策略与解法精讲
• 选择题解题旳基本原则是：充分利用选择题旳特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.
• 解选择题旳基本思想是既要看到各类常规题旳解题思想，但更应看到选择题旳特殊性，数学选择题旳四个选择支中有且仅有一种是正确旳，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一种“选”字，尽量降低书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供旳信息，根据题目旳详细特点，灵活、巧妙、迅速地选择解法，以便迅速智取，这是解选择题旳基本策略. 详细求解时，一是从题干出发考虑，探求成果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 实际上，后者在解答选择题时更常用、更有效.
• 例3 下列四个点中，在反百分比函数y＝− 旳图象上旳是（）
• A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3）
• 思绪分析：根据反百分比函数中k=xy旳特点进行解答即可．
• 解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反百分比函数旳图象上，故本选项正确； B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误．故选A．
• 思绪分析：反百分比函数旳图象是中心对称图形， • 则与经过原点旳直线旳两个交点一定有关原点对称． • 解：因为直线y=mx过原点，双曲线旳两个分支有关原点对称，
所以其交点坐标有关原点对称，一种交点坐标为（3，4），另一种交点旳坐标为（-3，-4）．故选：C． • 点评：此题考察了函数交点旳对称性，经过数形结合和中心对称旳定义很轻易处理．
• 一. 一次函数、反百分比函数和二次函数图象旳分析问题

中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习

中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习一元二次方程综合复习一选择题：1. 关于X 的一元二次方程（m-1） x=+5x+m : - 3m+2=0,常数项为0,则m 值等于（） A. 1 B. 2C ・ 1 或 2 D. 0 2. 下列方程中，是一元二次方程共有（） ①呂3二0：②2x c - 3xy+4=0； (3)x : - 4x+k=0：④x ：hnx - 1 二0；⑤3x :+x=20・ 3A.2个B.3个C.4个D.5个 3. —元二次方程3x c - 4= - 2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） C. 3, 2, -4 D.3, -4,04. 若关于x 的一元二次方程kx 2 - 6x+9二0有两个不相等的实数根，则k 的取值范羽（）5. 关于x 的一元二次方程（m ・1） x 2+5x+m : - 3m+2二0的常数项为0,则m 等于（） 6. 用配方法解一元二次方程x :-6x-4=0.下列变开征确的是（） 7•三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x=10x+21二0的根，则该三角形的周长为（） A. 14 B. 10 C. 10或14 D.以上都不对8.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程X 3 -4x+3二0的根，则该三角形的周长可以是（）A. 5B.7 9. 一元二次方程4x=+l=4x 的根的情况是（A.没有实数根C.有两个相等的实数根 B. 3, - 2, - 4 A. kV ］且 k^O B.k^O C.k<lD.k>lA. 1B.2 C ・1或2 D.0A. (x-6) '=-4+36B. (x-6)2=4+36C. (x-3) J-4+9D. (x-3)^4+9C. 5 或 7D. 10B.只有一个实数根D.有两个不相等的实数根A. 1B.2 C ・1或2 D.010•已知“ &是关于x的方程x2+ax - 2b=0的两实数根，且X,+XF・2, X/X R,则X的值是（）A. 1B. - 1C.4D. - 14 411.若关于x的一元二次方程x:+mx+m-3m+3=0的两根互为倒数，则m的值等于（）12•已知x为实数，且满足（丘+3»+2（€+3»-3二0,那么€+3x的值为（）A. 1B. -3 或1C.313•有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习A. x (x+1) =64B. x (x - 1) =64C. (1+x)'二64D. (l+2x) =6414.某市2013年生产总值(GDP)比2012年增长T 12%,由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2013年增长7%.若这两年GDP年平均增长率为嚥，则硫满足的关系是( )A. 12%+7%=x%B. (1+12%) (1+7%) =2 (1+x%)C. 12%+7%=2*x%D. (1+12%) (1+7%) = (1+x%):15.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A. 200(l+x)==1000B. 200+200X2x=1000C. 200+200 X3x=1000D. 200 C1+ (1+x) + (1+x) :]=100016.有两个一元二次方程：M： ax'+bx+c二0, N： cf+bx+a二0,其中a+c二0,以下列四个结论中，错误的是( ) A.如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B•如果6是方程M的一个根，那么寺是方程N的一个根6C.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是X二-1D.如果方程M有两根符号相异，那么方程N的两根符号也相异17•根据下面表格中的取值，方程x:+x - 3=0有一个根的近似值(精确到0.1)是( )A. 1.5B. 1.2C. 1.3D. 1.418.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A.4个B.5个C.6个D.7个19•已知实数/ b分别满足a: - 6a+4=0, b2 - 6b+4=0,且aHb,则屯冲的值是( )a bA. 7B. - 7C. 11D. - 1120.设关于x的一元二次方程(x-l)(x-2)二m(m>0)的两实根分别为0 ,且0< 0，则G, 0满足( )A. l<a <3 <2B. 1< a <2< BC. a <1<P<2D. a < 1 且B >2二填空题:中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习21.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求疑不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为_%.22.某公司4月份的利润为160万元，由于经济危机，6月份的■利润降到90万元，则平均每月减少的百分率是___________________ .23. __________________________________________________________________________设血&是方程X2+X-2013= 0的两个不相等的实数根，则/十的值为____________________________________________•24.九年级(3)班全体同学在圣诞节将自己的贺卡向本班其他同学各赠送一张，全班共互贈了1980张，若全班共有x名学生，则根据题意列出的方程是________________________25.某厂一月份生产零件50万件，第一季度共生产零件182万个，该厂二、三月份平均每月的增长率为兀，则兀满足的方程是___________________________________ .26.若m、n是方程x:+6x・5=0的两根，则3m+3n - 2mn二____ ・27.若关于x的一元二次方程(k - 1) x:+2x - 2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范用是2&如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x:+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是 ______________ .29.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长岀x个小分支，则可得方程为____________________________________ .30.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m\那么通道的宽应设计成多少m?设通道31•解方程：(2x- l)s=(3-x)s32.解方程:3x2 - 6x+l=0 (用配方法)33•解方程:x2+l=3x：中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习34•已知a、b. c是三角形的三条边长，且关于x的方程(c-b)x c+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状.35•已知：关于x的一元二次方程(4k+l) x+3k+3=0 (k是整数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根：(2)若方程的两个实数根分别为m X：(其中X1<x=),设y二判断y是否为变量k的函数？如果是，请写岀函数解析式；若不是，请说明理由.36. 已知关于x的一元二次方程x2+2 (m+1) x+m2 - 1=0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围：(2)若方程两实数根分别为X-也且满足(x厂Q咗16-xg 求实数m的值.37•如图，有长为24米的篱笆，一而利用墙（墙的最大可用长度为幺为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.如果要围成而积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？1///////7/"/////////IA\ \ \DB C38•在美化校园的活动中.某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆用成一个矩形花|TC| ABCD （篱笆只围AB, BC两边），设AB=xm・（1）若花园的而积为192m：,求x的值;（2）若在P处有一棵树与墙CD, AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树囤在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求X取何值时，花园面积S最大，并求出花园而积S的最大值.39. 如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通适的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地而作为运动场地.（1）________________________________________ 设通道的宽度为x米，则a二（用含x的代数式表示）：（2）若塑胶运动场地总占地而积为2430平方米.请问通道的宽度为多少米？40. 如图，在直角三角形ABC中，直角边AC二3cm, BOlcm.设P、Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB 方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒lcm,当Q 点到达C点时，P点就停止移动.设P、Q移动的时间t秒.（1）写出APBQ的面积S（cm’）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围.（2）当f为何值时，APBQ为等腰三角形？（3）APBQ能否与直角三角形ABC相似？若能，求f的值；若不能，说明理由.中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习参考答案 x :+x+l=91 30、(30 - 2x) (20 ・x)二6X78 Ab 2-4ac=(-3)2-4XlXl = 5>0. ：.x=3^ ・：.x.= 3^ , x 戶朋・21 2 2 34、解：由已知条件得 A = [2(A - «) f - 4(c - i) (« - A) = 0 整理为仙—E)@ — Q = 0：• a = b 或ct = c •: U —Z PH O j[lj c b 这个二角形是等腰二角形・35、【解答】(1)证明：kHO, △二(4k+l) 2-4k (3k+3) = (2k- 1) %•・・k 是整数,・・・kH 寺,2k ・lH0, ・•・△= (2k ・1) 3>0, /.方程有两个不相等的实数根;Tk 是整数,•••1』W2<3・又m, /.X1=lkk 36、【解答】解：(1)由题意有△二[2 (m+1) ]_41) 20,整理得8m+8M0,解得- b•'・实数 m 的取值范【间是 - 1： (2)由两根关系，得 Xi+x2= - 2 (m-rl) , x^x^m' - 1> (x ： - x ：) "=16 - XiXc (Xi+x ：) ■・ 3xiX ： ■ 16 二 0, •： [ ■ 2 (m+1 )]"-3(m'"l) - 16-0, .•.m"+8m ・ 9二0,解得 • 9 或 m^l - 137、 (1)设AB 的长是x 米.(24-3x)x=45,解得X ：=5,当x 二3时，长方形花圃的长为24-3x=15；当x=5 时，长方形花圃的长为24-3x=9,均符合题意：・・.AB 的长为3m 或5m.(2)花圃的而积为(24-3x) x=-3x2+24x=-3 (x2-8x+16-16)二-3 (x-4) 2+4&・••当AB 长为4m,宽为12m 时，有最大面积，为48平方米.38、 (1) VAB=xm,则 BC 二(28-x) m, Ax (28-x)二 192,解得：xl=12, x2二 16,答：x 的值为 12m 或 16m ：x 2 6(2)由题意可得出：i ' 、仃，解得：6 < x < 13•又 S=x (28-X )= - x2+28x= - (x- 14) 2+196.28 - K > 15•••当x£14时，S 随x 的增大而增大■•••x=13时，S 取到最大值为：S=- (13-14) 2+196=195 答：X 为13m 时，花恫而积S 最大，最大而积为195m :.39、【解答】解：(1)设通道的宽度为x 米，则店~-—:故答案为：一-—60 ■ 3x(2)根据题意得，(50・2x) (60-3x) - 一-~=2430,解得x ：=2, x ：=38 (不合题意，舍去).40、作 PH 丄BC 于 M AC=3cm, BC=4cm, ZC=90° AAB=5 VPA=BQ=t APM=sinB PB=3/5(5-t)BM=cosB fB 二4/5(5-1) •••QH 二BM-BQ 二4-9/5 •'•PQ 二 VQM 2 +PM 2 = 4(4-9/5 •t)2 + (3-3/5 *t)2 V APBQ 为等腰三角形•••①当 BQ 二PB 时 5-t=t, /. t=2. 5②当 PQ 二BQ 时 t 二 J (4-9/5 • t)2+ (3-3/5 • t)2 A 13t 2-90t+125=0 At=25/13, (t=5 不符合题意，舍去) ③当 PB=PQ 时 5-t= 4 (4-9/5 • t)2+ (3-3/5 • t)2t=40/13, (t=0 不符合题意,舍去)总之,t=2. 5或t 二25/13,或t 二40/13时，APBQ 为等腰三角形.1、B2、B3、C 4. A 5. B 6、D14.24、 7、 B 8、 B D 15、 D 16、 C 17、 C 18、 B 19、 A 20、 D X (X- 1) =1980 25. 50+50(1+x)+50(l+x)J1829、 21、 26、C 10、 A 11、 B 12. A 10 ■ 22、 25% 23. -8 . 27、k>~|•且 kHl 13、C 2012 29、 31、 33、3G 咗(1)将原方程化为一般形式，得x s -3x+l=0, Va=l, b=-3, 可用直接开平方X1 = -2,x 2 = -32. 3x ：-6x+l 二0, ⑵照y 是k 的函数.解方爾，严)士护+牟严2A x=3 或 x=。

中考复习专题定值问题

苏州市初三数学定值问题专题复习课前演练：一、选择题1．2015·潍坊如图;直线l是一条河;A;B两地相距5 km;A;B两地到l的距离分别为3 km;6 km;欲在l上的某点M处修建一个水泵站;向A;B两地供水;现有如下四种铺设方案;图中实线表示铺设的管道;则铺设的管道最短的是2.2015·甘肃如图;A;B两个电话机离电话线l的距离分别是3米;5米;CD＝6米;若由l上一点分别向A;B连线;最短为A．11米B．10米C．9米D．8米第2题图第3题图3．如图;AC⊥BC于C;连接AB;点D是AB上的动点;AC＝6;BC＝8;AB＝10;则点C到点D的最短距离是A．6 B．8 C.错误!D.错误!第4题图;第5题图;第6题图4．2015·贵阳模拟如图Rt△ABC中;AB＝BC＝4;D为BC的中点;在AC边上存在一点E;连接ED;EB;则△BDE周长的最小值为A．2错误!B．2错误!C．2错误!＋2 D．2错误!＋2二、填空题5．如图;从直线外一点A到这条直线的所有线段中;线段__ __最短．6．如图;想在河堤两岸搭建一座桥;图中搭建方式中;最短的是PB;理由是__ _ _．7．如图;在等腰三角形△ABC中;∠ABC＝120°;P是底边AC上的一个动点;M;N分别是AB;BC的中点;若PM＋PN 的最小值是2;则△ABC的周长是__ __．;第7题图;第8题图8．如图;在菱形ABCD中;∠BAD＝60°;点M是AB的中点;P是对角线AC上的一个动点;若PM＋PB的最小值是9;则AB的长是__ __．9．如果P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点且PE⊥DB;PF⊥CA;垂足分别为E;F;则PE＋PF ＝__ __．;第9题图;第10题图10．如图;∠ABC＝45°;BC＝4错误!;BD平分∠ABC交AC于点D;M;N分别是BD和BC上的动点M与B;D两点不重合;N与B;C两点不重合;则CM＋MN的最小值是__ __．典型例题：例1．小虎家新建一间房子;要在屋外的A处安装水表;从大路边到A处怎样接水管最近把最短的线段画出来;并简要说明道理．例2．等边△ABC的边长是8;AD⊥BC;E是BD的中点;M;N分别是AB;AD上的动点;求MN＋EN的最小值．例3．如图;∠AOB＝45°;P是∠AOB内一定点;PO＝10;Q;R分别是OA;OB上的动点;求△PQR周长的最小值．要求画出示意图;写出解题过程例4．如图;在菱形ABCD中;AB＝4;∠A＝135°;点P;M;N分别为对角线BD及边BC;CD上的动点;求PM＋PN的最小值．例5．如图;正方形ABCD的边长为4;∠DAC的平分线交DC于点E;若点P;Q分别是AD和AE上的动点;求DQ＋PQ的最小值．巩固练习：一、填空题1．在半⊙O中;点C是半圆弧AB的中点;D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点;点P是直径AB上的动点;若AB＝10;则PC＋PD的最小值是_ __.第1题图第2题图第3题图2．2015·株洲如图;AB是⊙O的一条弦;点C是⊙O上一动点;且∠ACB＝30°;点E;F分别是AC;BC的中点;直线EF 与⊙O交于G;H两点;若⊙O的半径为7;则GE＋FH的最大值为__ _．3．2015·莆田如图;在反比例函数y＝错误!上有两点A3;2;B6;1;在直线y＝－x上有一动点P;当P点的坐标为__ _时;PA＋PB有最小值．二、解答题4．已知点M3;2;N1;－1;点P在y轴上;求使得△PMN的周长最小的点P的坐标．5．2015·宁德如图;AB是⊙O的直径;AB＝8;点M在⊙O上;∠MAB＝20°;N是弧MB的中点;P是直径AB 上的一动点．若MN＝1;则△PMN周长的最小值为多少．6．2015·永州模拟如图;已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A－3;0;B1;0;C0;3三点;其顶点为D;对称轴与x轴交于点H.1求抛物线的解析式；2若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点;求△PBC周长的最小值．7．小明在学习轴对称的时候;老师留了一道思考题：如图1;若点A;B在直线m的同侧;在直线m上找一点P;使得AP＋BP的值最小;小明通过独立思考;很快得出了解决这个问题的正确方法;他的做法是这样的：a作点B关于直线m的对称点B′;b连接AB′与直线m交于点P;则点P为所求．请你参考小明的做法解决下列问题：1如图2;在等边△ABC中;AB＝2;点E是AB的中点;AD是高;在AD上找一点P尺规作图;保留作图痕迹;不写作法;使得BP＋PE的值最小;并求出最小值；2如图3;在矩形ABCD中;AB＝4;BC＝6;G为边AD上的中点;若E;F为AB边上的两个动点;点E在点F的左侧;且EF＝1;当四边形CGEF的周长最小时;请你在图3中确定点E;F的位置尺规作图;保留作图痕迹;不写作法;并求出四边形CGEF的周长的最小值．8．2015·大庆如图;抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A;B两点;与y轴交于点C.已知M0;1;Ea;0;Fa＋1;0;点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底的等腰三角形．1求点P的坐标；2当a为多少时;四边形PMEF周长最小.拓展提高：1．2012年苏州如图;已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A;点P是直径AB左侧半圆上的动点;过点P作直线l的垂线;垂足为C;PC与⊙O交于点D;连接PA、PB;设PC的长为x2＜x＜4．1当x=时;求弦PA、PB的长度；2当x为何值时;PD•CD的值最大最大值是多少2．2012年苏州如图;正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合;将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动;移动开始前点A与点F重合;在移动过程中;边AD始终与边FG重合;连接CG;过点A作CG的平行线交线段GH于点P;连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm;矩形EFGH的边FG;GH的长分别为4cm;3cm;设正方形移动时间为xs;线段GP的长为ycm;其中0≤x≤2.5．1试求出y关于x的函数关系式;并求当y=3时相应x的值；2记△DGP的面积为S1;△CDG的面积为S2．试说明S1﹣S2是常数；3当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时;求线段PD的长．中午作业：分类练习一、定值问题解1、如图;在平面直角坐标系x O y中;矩形AOCD的顶点A的坐标是0;4;现有两动点P、Q;点P从点O出发沿线段OC 不包括端点O;C以每秒2个单位长度的速度;匀速向点C运动;点Q从点C出发沿线段CD不包括端点C;D以每秒12.个单位长度的速度匀速向点D运动.点P;Q同时出发;同时停止;设运动时间为t秒;当t=2秒时PQ=51求点D的坐标;并直接写出t的取值范围；2连接AQ并延长交x轴于点E;把AE沿AD翻折交CD延长线于点F;连接EF;则△A EF的面积S是否随t的变化而变化若变化;求出S与t的函数关系式；若不变化;求出S的值.3在2的条件下;t为何值时;四边形APQF是梯形第1题图2、如图所示;在菱形ABCD中;AB=4;∠BAD=120°;△AEF为正三角形;点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动;且E、F不与B．C．D重合．1证明不论E、F在BC．CD上如何滑动;总有BE=CF；2当点E、F在BC．CD上滑动时;分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化如果不变;求出这个定值；如果变化;求出最大或最小值．2题图3题图二、由运动产生的线段和差问题最值问题3、如图所示;已知A 11(,y )2;B 2(2,y )为反比例函数1y x=图像上的两点;动点P (x,0)在x 正半轴上运动;当线段AP 与线段BP 之差达到最大时;点P 的坐标是A. 1(,0)2B. (1,0)C. 3(,0)2D. 5(,0)24、如图;抛物线l 交x 轴于点A ﹣3;0、B1;0;交y 轴于点C0;﹣3．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线l 1．1求l 1的解析式；2在l 1的对称轴上找出点P;使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大;并说出理由；5、如图;已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A ﹣1;0;C2;3两点;与y 轴交于点N ．其顶点为D ．1抛物线及直线AC 的函数关系式；2设点M3;m;求使MN+MD 的值最小时m 的值；3若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B;E 为直线AC 上的任意一点;过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F;以B;D;E;F 为顶点的四边形能否为平行四边形若能;求点E 的坐标；若不能;请说明理由；4若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点;求△APC 的面积的最大值．回家作业：压轴题训练1、如图;已知抛物线2y ax bx c =++经过A4;0;B2;3;C0;3三点．1求抛物线的解析式及对称轴．2在抛物线的对称轴上找一点M;使得MA+MB 的值最小;并求出点M 的坐标．3在抛物线上是否存在一点P;使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形若存在;请求出点P 的坐标；若不存在;请说明理由．2. 2012四川自贡12分如图所示;在菱形ABCD中;AB=4;∠BAD=120°;△AEF为正三角形;点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动;且E、F不与B．C．D重合．1证明不论E、F在BC．CD上如何滑动;总有BE=CF；2当点E、F在BC．CD上滑动时;分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化如果不变;求出这个定值；如果变化;求出最大或最小值．3. 2015•常州10分如图;一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B;过点A作x轴的垂线l;点P为直线l上的动点;点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点;点P、Q与点A都不重合．1写出点A的坐标；2当点P在直线l上运动时;是否存在点P使得△OQB与△APQ全等如果存在;求出点P的坐标；如果不存在;请说明理由．3若点M在直线l上;且∠POM=90°;记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2;求的值．参考答案：课前演练：1.B；2. B；3.D；4. C；5. AD；6. 垂线段最短；7. 4＋2错误!；8. 6错误!；9. 错误!；10. 4；2.典型例题：例1.解：如图所示：沿AB线段接水管最近;因为直线外一点与直线的所有连接线段中;垂直线段最短例1答图例2答图例3答图例2.解：作点E关于AD的对称点H;过点H作HG⊥AB于G;则MN＋EN的最小值是HG;Rt△HBG中;sin60°＝错误!;解得;GH＝3错误!..例3.解：分别作点P关于OA;OB的对称点M;N;连接OM;ON;MN;MN交OA;OB于点Q;R;连接PR;PQ;此时△PQR 周长的最小值等于MN.由轴对称性质可得;OM＝ON＝OP＝10;∠MOA＝∠POA;∠NOB＝∠POB;∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°;在Rt△MON中;MN＝错误!＝10错误!;即△PQR周长的最小值等于10错误!..例4.解：过点M作关于BD的对称点M1; 连接M1N交BD于点P;连接PM; 则PM＋PN的最小值就是M1N;过点C作CH⊥AB于点H; 则M1N＞CH;∵∠A＝135°;∴∠HBC＝45°;∵四边形ABCD是菱形;∴AB＝BC＝4;由三角函数的定义有;sin45°＝错误!;∴错误!＝错误!;解得;CH＝2错误!;即PM＋PN的最小值为2错误!..例4答图例5答图例5.解：作D关于AE的对称点D′;再过D′作D′P′⊥AD于P′;∵DD′⊥AE;∴∠AFD＝∠AFD′;∵AF＝AF;∠DAE＝∠CAE;∴△DAF≌△D′AF;∴D′是D关于AE的对称点;AD′＝AD＝4;∴D′P′即为DQ＋PQ的最小值;∵四边形ABCD是正方形;∴∠DAD′＝45°;∴AP′＝P′D′;∴在Rt△AP′D′中;P′D′2＋AP′2＝AD′2;AD′2＝16;∵AP′＝P′D';2P′D′2＝AD′2;即2P′D′2＝16;∴P′D′＝2错误!;即DQ＋PQ的最小值为2错误!巩固练习：1. _5错误!；2. 错误!_；3. 错误!;－错误!_点拨：设A点关于直线y＝－x的对称点为A′;连接A′B;交直线y＝－x为P点;此时PA＋PB有最小值;∵A点关于直线y＝－x的对称点为A′;A3;2;∴A′－2;－3;设直线A′B的直线解析式为y＝kx＋b;错误!解得k＝错误!;b＝－2;∴直线A′B解析式为y＝错误!x－2;联立错误!解得x＝错误!;y＝－错误!;即P点坐标错误!;－错误!;故答案为错误!;－错误!..4.解：作出M关于y轴的对称点M′;连接NM′;与y轴相交于点P;则P点即为所求;设过NM′两点的直线解析式为y ＝kx＋bk≠0;则错误!解得k＝－错误!;b＝－错误!;故此一次函数的解析式为y＝－错误!x－错误!;因为b＝－错误!;所以P点坐标为0;－错误!..5.解：作N关于AB的对称点N′;连接MN′;NN′; ON′;OM;ON;∵N关于AB的对称点N′; ∴MN′与AB 的交点P′即为△PMN 周长最小时的点;∵N是弧MB的中点; ∴∠A＝∠NOB＝∠MON＝20°;∴∠MON′＝60°; ∴△MON′为等边三角形;∴MN′＝OM＝4; ∴△PMN周长的最小值为4＋1＝55题答图6题答图7题答图6.解：1把A－3;0;B1;0;C0;3三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中;错误!解得错误!即抛物线的解析式是y＝－x2－2x＋32如图;△PBC的周长＝PB＋PC＋BC;∵BC是定值;∴当PB＋PC最小时;△PBC的周长最小．A;B两点关于对称轴对称;连接AC;交对称轴于点P;点P即为所求;∵AP＝BP;△PBC的最小周长＝PB＋PC＋BC＝AC＋BC;∵A－3;0;B1;0;C0;3;∴AC＝3错误!;BC＝错误!;∴△PBC的最小周长＝3错误!＋错误!..7.解：1如图2;作点E 关于AD的对称点F;交AC于点F;连接BF;交AD 于点P;连接PE; 点P即为所求. 在等边△ABC中; AB＝2;点E是AB 的中点;AD是高;∴F是AC的中点;∴BF⊥AC于点F;∴BP＋PE的最小值＝BF＝错误!＝错误!2如图3;作点G关于AB的对称点M;在CD上截取CH＝1;连接MH;交AB于点E;在BE上截取EF＝1;连接CF;则E;F为所求;∵AB＝4;BC＝6; G为边AD上的中点;∴DG＝GA＝AM＝3;∵AE∥DH;∴△MAE ∽△MDH;∴错误!＝错误!;∴错误!＝错误!;∴AE＝1;∴在Rt△GAE;Rt△CBF;Rt△CDG中;分别由勾股定理解得;GE ＝错误!＝错误!＝错误!;CF＝错误!＝错误!＝2错误!;CG＝错误!＝5; ∴四边形GEFC的周长的最小值＝GE＋EF ＋FC＋CG＝错误!＋1＋2错误!＋5 ＝6＋3错误!8.解：1∵y＝－x2＋4x＋5与y轴交于点C;∴点C的坐标为0;5又∵M0;1;△PCM是以点P为顶点的等腰三角形;∴点P的纵坐标为3;令y＝－x2＋4x＋5＝3;解得x＝2±错误!;∵点P在第一象限;∴P2＋错误!;3 2四边形PMEF的四条边中;PM;EF长度固定;因此只要ME＋PF最小;则PMEF的周长将取得最小值; 将点M向右平移1个单位长度EF的长度;得M11;1;作点M1关于x轴的对称点M2;则M21;－1;连接PM2;与x轴交于F点;此时ME＋PF＝PM2最小;设直线PM2的解析式为y＝mx＋n;将P2＋错误!;3;M21;－1代入得：错误!;解得：错误!;∴y＝错误!x－错误!;当y＝0时;解得x＝错误!.∴F错误!;0;∵Fa＋1;0;∴a＝错误!;∴a＝错误!时;四边形PMEF周长最小8题答图拓展1答图拓展2答图拓展提高：1. 解：1∵⊙O与直线l相切于点A;且AB为⊙O的直径;∴AB⊥l;又∵PC⊥l;∴AB∥PC;∴∠CPA=∠PAB;∵AB是⊙O的直径;∴∠APB=90°;又PC⊥l;∴∠PCA=∠APB=90°;∴△PCA∽△APB;∴=;即PA2=PC•AB;∵PC=;AB=4;∴PA==;∴Rt△APB 中;AB=4;PA=;由勾股定理得：PB==；2过O作OE⊥PD;垂足为E;∵PD是⊙O的弦;OE⊥PD;∴PE=ED;又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°;∴四边形OACE为矩形;∴CE=OA=2;又PC=x;∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2;∴CD=PC﹣PD=x﹣2x﹣2=4﹣x;∴PD•CD=2x﹣2•4﹣x=﹣2x2+12x﹣16=﹣2x﹣32+2;∵2＜x＜4;∴当x=3时;PD•CD的值最大;最大值是2．2. 解：1∵CG∥AP;∴△GCD∽△APG;∴=;∵GF=4;CD=DA=1;AF=x;∴GD=3﹣x;AG=4﹣x;∴=;即y=;∴y关于x的函数关系式为y=;当y=3时;=3;解得x=2.5;经检验的x=2.5是分式方程的根．故x的值为2.5；2∵S1=GP•GD=••3﹣x=;S2=GD•CD=3﹣x1=;∴S1﹣S2=﹣=即为常数；3延长PD交AC于点Q．∵正方形ABCD中;AC为对角线;∴∠CAD=45°;∵PQ ⊥AC;∴∠ADQ=45°;∴∠GDP=∠ADQ=45°．∴△DGP 是等腰直角三角形;则GD=GP;∴3﹣x=;化简得：x 2﹣5x+5=0．解得：x=;∵0≤x ≤2.5; ∴x=;在Rt △DGP 中;PD==3﹣x=．中午作业：1.答案解：1由题意可知;当t=2秒时;OP=4;CQ=2;在Rt△PCQ 中;由勾股定理得：PC=()2222PQ CQ 252-=-=4;∴OC=OP+P C=4+4=8..又∵矩形AOCD;A0;4;∴D8;4..t 的取值范围为：0＜t ＜4..2结论：△AEF 的面积S 不变化..∵AOCD 是矩形;∴AD∥OE;∴△AQD∽△EQC..∴CE CQ AD DQ =;即CE t 84t =-;解得CE=8t 4t-..由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t;则CF=CD+DF=8－t.. S=S 梯形AOCF ＋S △FCE －S △AOE =12OA+CF•OC+12CF•CE－12OA•OE =12 4＋8－t×8+128－t•8t 4t -－12×4×8＋8t 4t-..化简得：S=32为定值..所以△AEF 的面积S 不变化;S=32..3若四边形APQF 是梯形;因为AP 与CF 不平行;所以只有PQ∥AF..由PQ∥AF 可得：△CPQ∽△DAF.. ∴CP：AD=CQ ：DF;即8－2t ：8= t ：4－t;化简得t 2－12t ＋16=0;解得：t 1=6+25;t 2=625-.. 由1可知;0＜t ＜4;∴t 1=6+25不符合题意;舍去..∴当t=625-秒时;四边形APQF 是梯形..2. 答案解：1证明：如图;连接AC..∵四边形ABCD 为菱形;∠BAD=120°;∠BAE+∠EAC=60°;∠FAC+∠EAC=60°;∴∠BAE=∠FAC..∵∠BAD=120°;∴∠ABF=60°..∴△ABC 和△ACD 为等边三角形..∴∠ACF=60°;AC=AB..∴∠ABE=∠AFC..∴在△ABE 和△ACF 中;∵∠BAE=∠FAC;AB=AC;∠ABE=∠AFC;∴△ABE≌△ACFASA..∴BE=CF..2四边形AECF 的面积不变;△CEF 的面积发生变化..理由如下：由1得△ABE≌△ACF;则S △ABE =S △ACF ..∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ;是定值..作AH⊥BC 于H 点;则BH=2; 22AECF ABC 11S S BC AH BC AB BH 4322∆==⋅⋅=⋅-=四形边.. 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时;边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化;且当AE 最短时;正三角形AEF 的面积会最小;又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ;则此时△CEF 的面积就会最大．∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ()()221432323332=-⋅⋅-=..∴△CEF 的面积的最大值是3..3.答案D.. 考点反比例函数综合题;待定系数法;曲线上点的坐标与方程的关系;三角形三边关系.. 分析∵把A 11(,y )2;B 2(2,y )分别代入反比例函数1y x =得：y 1=2;y 2=12 ; ∴A 12 ;2;B2;12.. ∵在△ABP 中;由三角形的三边关系定理得：|AP －BP|＜AB;∴延长AB 交x 轴于P′;当P 在P′点时;PA －PB=AB;即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大..设直线AB 的解析式是y=kx+b;把A 、B 的坐标代入得： 12=k+b 21=2k+b 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩;解得：k=15b=2-⎧⎪⎨⎪⎩..∴直线AB 的解析式是5y x 2=-+..当y=0时;x= 52;即P 52;0..故选D.. 4.答案解：1如图1;设经翻折后;点A ．B 的对应点分别为A 1、B 1;依题意;由翻折变换的性质可知A 13;0;B 1﹣1;0;C 点坐标不变;∴抛物线l 1经过A 13;0;B 1﹣1;0;C0;﹣3三点;设抛物线l 1的解析式为y=ax 2+bx+c;则 9a+3b+c=0a b+c=0c=3⎧⎪-⎨⎪-⎩;解得a=1b=2c=3⎧⎪-⎨⎪-⎩..∴抛物线l 1的解析式为：y=x 2﹣2x ﹣3..2抛物线l 1的对称轴为：x=b 2==12a 2---; 如图2;连接B 1C 并延长;与对称轴x=1交于点P;则点P 即为所求..此时;|PA 1﹣PC|=|PB 1﹣PC|=B 1C..设P′为对称轴x=1上不同于点P 的任意一点;则有：|P ′A﹣P′C|=|P′B 1﹣P′C|＜B 1C 三角形两边之差小于第三边;∴|P′A﹣P′C|＜|PA 1﹣PC|;即|PA 1﹣PC|最大..设直线B 1C 的解析式为y=kx+b;则k+b=0b=3-⎧⎨-⎩; 解得k=b=﹣3..∴直线B 1C 的解析式为：y=﹣3x ﹣3..令x=1;得y=﹣6..∴P1;﹣6..5. 答案解：1由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A ﹣1;0及C2;3得;1b+c=04+2b+c=3--⎧⎨-⎩;解得b=2c=3⎧⎨⎩..∴抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++.. 设直线AC 的函数关系式为y=kx+n;由直线AC 过点A ﹣1;0及C2;3得：k+n=02k+n=3-⎧⎨⎩;解得k=1n=1⎧⎨⎩.. ∴直线AC 的函数关系式为y=x+1..2作N 点关于直线x=3的对称点N′;令x=0;得y=3;即N0;3.. ∴N′6;3由()22y x 2x 3=x 1+4=-++--得：D1;4.. 设直线DN′的函数关系式为y=sx+t;则：6s+t=3s+t=4⎧⎨⎩;解得1s=521t=5⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩.. ∴故直线DN′的函数关系式为121y x 55=-+.. 根据轴对称的性质和三角形三边关系;知当M3;m 在直线DN′上时;MN+MD 的值最小;∴12118m 3=555=-⨯+..∴使MN+MD 的值最小时m 的值为185.. 3由1、2得D1;4;B1;2;①当BD 为平行四边形对角线时;由B 、C 、D 、N 的坐标知;四边形BCDN 是平行四边形;此时;点E 与点C 重合;即E2;3..②当BD 为平行四边形边时;∵点E 在直线AC 上;∴设Ex;x+1;则Fx;2x 2x 3-++..又∵BD=2;∴若四边形BDEF 或BDFE 是平行四边形时;BD=EF..∴()2x 2x 3x 1=2-++-+;即2x x 2=2-++..若2x x 2=2-++;解得;x=0或x=1舍去;∴E0;1..若2x x 2=2-++-;解得;117x=2±;∴E 1+173+1722⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，或E 11731722⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，.. 综上;满足条件的点E 为2;3、0;1、1+173+1722⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，、11731722⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，.. 4如图;过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG⊥x 轴于点G;设Qx;x+1;则Px;﹣x 2+2x+3.. ∴22PQ x 2x 3x 1x x 2=-++--=-++（）（）.. ∴APC APQ CPQ 1S S +S PQ AG 2∆∆∆==⋅ 2213127x x 23x 2228=-++⨯=--+（）（）..∵302<-;∴当1x=2时;△APC 的面积取得最大值;最大值为278.. 回家作业：压轴题训练 1. 答案解：1∵抛物线2y ax bx c =++经过A4;0;B2;3;C0;3三点;∴ 16a 4b c 04a 2b c 3 c 3++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩;解得3a 83b 4c 3⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.. ∴抛物线的解析式为：233y x x 384=-++;其对称轴为：b x 12a=-=.. 2由B2;3;C0;3;且对称轴为x=1;可知点B 、C 是关于对称轴x=1的对称点..如图1所示;连接AC;交对称轴x=1于点M;连接MB;则MA ＋MB=MA ＋MC=AC;根据两点之间线段最短可知此时MA ＋MB 的值最小..设直线AC 的解析式为y=kx ＋b;∵A4;0;C0;3;∴ 4k b 0 b 3+=⎧⎨=⎩ ;解得3k 4b 3⎧=-⎪⎨⎪=⎩..∴直线AC 的解析式为：y=34-x ＋3.. 令x=1;得y=94 ..∴M 点坐标为1;94.. 3结论：存在..如图2所示;在抛物线上有两个点P 满足题意：①若BC∥AP 1;此时梯形为ABCP 1..由B2;3;C0;3;可知BC∥x 轴;则x 轴与抛物线的另一个交点P 1即为所求..在233y x x 384=-++中令y=0;解得x 1=-2;x 2=4.. ∴P 1－2;0..∵P 1A=6;BC=2;∴P 1A≠BC..∴四边形ABCP 1为梯形..②若AB∥CP 2;此时梯形为ABCP 2..设CP 2与x 轴交于点N;∵BC∥x 轴;AB∥CP 2;∴四边形ABCN 为平行四边形..∴AN=BC=2..∴N2;0..设直线CN 的解析式为y=k 1x+b 1;则有： 1112k b 0b 3 +=⎧⎨=⎩;解得3k 2b 3⎧=-⎪⎨⎪=⎩..∴直线CN 的解析式为：y=32-x+3..∵点P 2既在直线CN ：y=32-x+3上;又在抛物线：233y x x 384=-++上; ∴32-x+3=233 x x 384-++;化简得：x 2－6x=0;解得x 1=0舍去;x 2=6.. ∴点P 2横坐标为6;代入直线CN 解析式求得纵坐标为－6..∴P 26;－6..∵ABCN;∴AB=CN;而CP 2≠CN;∴CP 2≠AB..∴四边形ABCP 2为梯形..综上所述;在抛物线上存在点P;使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形;点P 的坐标为－2;0或6;－6..2. 答案解：1证明：如图;连接AC∵四边形ABCD 为菱形;∠BAD=120°;∠BAE+∠EAC=60°;∠FAC+∠EAC=60°;∴∠BAE=∠FAC..∵∠BAD=120°;∴∠ABF=60°..∴△ABC 和△ACD 为等边三角形..∴∠ACF=60°;AC=AB..∴∠ABE=∠AFC..∴在△ABE 和△ACF 中;∵∠BAE=∠FAC;AB=AC;∠ABE=∠AFC;∴△ABE ≌△ACFASA..∴BE=CF..2四边形AECF 的面积不变;△CEF 的面积发生变化..理由如下：由1得△ABE ≌△ACF;则S △ABE =S △ACF ..∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ;是定值..作AH ⊥BC 于H 点;则BH=2; 22AECF ABC 11S S BC AH BC AB BH 4322∆==⋅⋅=⋅-=四形边.. 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时;边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化;且当AE 最短时;正三角形AEF 的面积会最小;又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ;则此时△CEF 的面积就会最大．∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF()()221432323332=-⋅⋅-=..∴△CEF 的面积的最大值是3..考点菱形的性质;等边三角形的判定和性质;全等三角形的判定和性质;勾股定理;垂直线段的性质..分析1先求证AB=AC;进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形;得∠ACF =60°;AC=AB;从而求证△ABE ≌△ACF;即可求得BE=CF..2由△ABE ≌△ACF 可得S △ABE =S △ACF ;故根据S 四边形AEC F=S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △AB E=S △ABC 即可得四边形AECF 的面积是定值..当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时;边AE 最短．△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化;且当AE 最短时;正三角形AEF 的面积会最小;根据S △CEF =S 四边形AECF －S △AEF ;则△CEF 的面积就会最大..3. 解1令y=0;得：﹣x+4=0;解得x=4;所以点A 的坐标为4;0；2存在．理由：如图下图1所示：图1图2将x=0代入y=﹣x+4得：y=4;∴OB=4;由1可知OA=4;在Rt△BOA中;由勾股定理得：AB==4．∵△BOQ≌△AQP．∴QA=OB=4;BQ=PA．∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4;∴PA=4﹣4．∴点P的坐标为4;4﹣4．3如下图2所示：∵OP⊥OM;∴∠1+∠3=90°．又∵∠2+∠1=90°;∴∠2=∠3．又∵∠OAP=∠OAM=90°;∴△OAM∽△PAO．∴;设AP=m;则：;∴AM=．在Rt△OAP中;PO=;∴S1===;在Rt△OAM中;OM==;∴S2===;∴=+=1+=．点评：本题主要考查的是全等三角形的性质;相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一次函数的综合应用;根据题意画出图形;利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得AM和PA的长度是解题的关键．。

中考数学专题复习常见模型方法数与式的规律问题

中考数学专题复习常见模型方法数与式的规律问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是( ) A ．2925B ．2025C ．3225D ．26252．已知又一个有序数组(),,,a b c d ，按下列方式重新写成数组()1111,,,a b c d ，使得1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，接着按同样的方式重新写成数组()2222,,,a b c d ，使得211a a b =+，211b b c =+，211c c d =+，211d d a =+，按照这个规律继续写下去，若有一个数组(),,,n n n n a b c d 满足10002000n n n na b c d a b c d+++<<+++，则n 的值为（） A ．9B ．10C ．11D ．123．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，用你所发现的规律得出2017201822+的末位数字是（）A ．2B ．4C ．8D ．64．观察下列等式：=123456733,39,327,381,3243,3729,32187,======．解答下列问题：234202033333+++++的末尾数字是（）A ．0B ．2C ．3D ．95．观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（） A ．2500 B ．2501C ．2601D ．26026．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（）（用含n 的代数式表示）A．21n - B ．22n - C ．23n - D ．24n -7．如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第n 个图形中小黑点的个数应该是（）A ．41n +B ．32n +C ．51n -D ．62n -8．用火柴棒按下图的方式搭图形，搭第n 个图形需要火柴棒根数为（）A ．21nB ．2nC ．21n -D ．2(1)n +9．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（）A ．28B ．30C ．36D ．4210．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，⋯依此规律，如果第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n =（）A．504B．505C．506D．50711．下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第①个图形一共有6颗棋子，第①个图形一共有16颗棋子，…，则第①个图形中棋子的颗数为（）A．141B．106C．169D．15012．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第50个图形中有（）个小圆圈．A．2454B．2605C．2504D．2554 13．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个知形的面积为（）A．14B．114n-C．14nD．114n+评卷人得分二、填空题14．观察给定的分式，探索规律：（1）1x，22x，33x，44x，…其中第6个分式是__________；（2）2xy，43xy-，65xy，87xy-，…其中第6个分式是__________；（3）2ba-，52ba，83ba-，114ba，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．15．若x 是不等于1的实数，我们把11x-称为x 的差倒数，如2的差倒数是11,112=---的差倒数为()11112=--，现已知121,3x x =-是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，···，依此类推，则2020x =________． 16．已知：11t a t =-，2111a a=-，3211a a =- ，……，111n n a a +=-；则2020a ＝_______．（用含t 的代数式表示）17．如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为______．18．观察数表：根据数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为_________．19．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是______． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ……20．如图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用x 个如图1所示的图形拼出来的总长度y 会随着x 的变化而变化，y 与x 的关系式为y =______．21．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品．．．．．．，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉．．．．．．．．．．．．．．，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品________张．22．德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；．．，一直如此操作下去大在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．如图是最初几个阶段，（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为____________．（2）当达到第n个阶段时(n为正整数)，去掉的线段的长度之和为___ (用含n的式子表示)评卷人得分三、解答题23．观察下面一列数，探求其规律：1-，12，13-，14，15-，16，…（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？（2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？24．观察下面三行有规律的数： -2，4，-8，16，- 32，64，……① -4，2，-10，14，- 34，62，……① 4，-8，16，- 32，64，-128，……① （1）第一行数的第10个数是__________ ；（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n 个数是_____________；（3）取每行的第100个数，计算这三个数和．25．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯．将以上三个等式的两边分别相加，得：111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯．（1）直接写出计算结果：111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯＝________．（2）计算：1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+．（3）猜想并直接写出：1111133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-⨯+＝________．（n 为正整数）26．一列数123n a a a a 、、、、，其中11a =-，2111a a =-，3211a a =- ，……，111n n a a -=-；求：（1）2020a 的值；（2）1232021a a a a ++++的值．27．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：加数m 的个数和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 52+4+6+8+10＝30＝5×6（1）按这个规律，当m ＝6时，和S 为；（2）从2开始，m 个连续偶数相加，它们的和S 与m 之间的关系，用公式表示出来为：S ＝．（3）应用上述公式计算．．．．．．．．： ①2+4+6+…+100①1002+1004+1006+…+1100 ①1+3+5+7+…+9928．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a ，b ，c ，d ，x 表示．（1）若17x=，则a b c d+++=______．（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．（3）设M a b c d x=++++，判断M的值能否等于2010，请说明理由．29．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，第3个图案中有16根小棒……（1）第8个图案中有根小棒；（2）如果第n个图案中有1011根小棒，那么n的值是多少？30．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推．（1）填写下表：层数123456该层对应的点数所有层的总点数（2）写出第n层所对应的点数．（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗？（4）有没有一层，它的点数为100点？（5）写出n层的六边形点阵的总点数．答案第1页，共21页参考答案：1．A 【解析】【分析】根据题意找到规律：()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦即可求解．【详解】解：①13=12， 13+23=(1+2)2=32， 13+23+33=(1+2+3)2=62， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102， …，①()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦，53+63+73+83+93+103=(33333123410++++⋯+)-(33331234+++)22(123410)(1234)=++++⋯+-+++()()221011041422⎡⎤⎡⎤⨯+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦225510=-2925=．故选：A ．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 2．B 【解析】【分析】根据题意可得1111a b c d +++=2()a b c d +++，2222a b c d +++=22()a b c d +++，3333a b c d +++=23()a b c d +++，从而可得n n n n a b c d +++=2n ()a b c d +++，代入不等式并化简可得100022000n <<，即可求出n 的值．【详解】解：①1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，①1111a b c d +++=a b +＋b c +＋+c d ＋d a +=2()a b c d +++①211a a b =+，211b b c =+，211c c d =+，211d d a =+①2222a b c d +++=11a b +＋11b c +＋11c d +＋11d a +=2()1111a b c d +++=22()a b c d +++同理可得：3333a b c d +++=23()a b c d +++①n n n n a b c d +++=2n ()a b c d +++①10002000n n n n a b c d a b c d+++<<+++ ①()210002000n a b c d a b c d+++<<+++ ①100022000n <<①29=512，210=1024，211=2048①10100022000<<①n=10故选B ．【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．3．D【解析】【分析】因为122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，观察发现：2n 的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据201745041÷=…，201845042÷=…，得出20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，进一步求解即可．【详解】解：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，⋯． 201745041÷=…，201845042÷=…，①20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，246+=．故2017201822+的末位数字是6．故选：D ．【点睛】本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题． 4．A【解析】【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得3+32+33+34+…+32020的末位数字是多少．【详解】解：①31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，①3=3，3+9=12，12+27=39，39+81=120，120+243=363，363+729=1092，1092+2187=3279，...通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环①2020÷4=505①3+32+33+34+…+32020的末位数字是0故选A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化规律是解题的关键．5．B【解析】【分析】观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．【详解】由题意可知，第n行的最后一个数是n2，所以第50行的最后一个数是502=2500，第51行的第1个数是2500+1=2501，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n行的最后一个数是n2的规律．6．B【解析】【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．【详解】解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是22n ．【点睛】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．7．A【解析】【分析】观察规律，逐个总结，从特殊到一般即可．【详解】第1个图形，1+1×4=5个；第2个图形，1+2×4=9个；第3个图形，1+3×4=13个；第n个图形，1+4n个；故选：A．【点睛】本题考查利用整式表示图形的规律，仔细观察规律并用整式准确表达是解题关键．8．A【解析】【分析】观察给出图形的根数，发现以此增加2，即可列出代数式．【详解】第一个图形有：1+2=3根，第二个图形有：1+2×2=5根，第三个图形有：1+2×3=7根，第四个图形有：1+2×4=9根，⋯⋯①第n个图形有：2n+1根；【点睛】本题考查列代数式表示图形的变化规律，找准每个图形增加的数量关系是解题关键． 9．B【解析】【分析】观察图形变化，得出n 张餐桌时，椅子数为4n +2把（n 为正整数），代入n ＝7即可得出结论．【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，…，n 张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n ，令n ＝7，可得2+4×7＝30（把）．故选：B ．【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值．【详解】解：①第①个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个；第①个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个；第①个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个；第①个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；①第n 个图案有()43131n n +-=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个①第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个①412021n +=①505n =．故选择：B【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．11．A【解析】【分析】本题的图从①个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是5的整数倍关系．所以第①个图形中棋子的颗数也就容易计算了．【详解】解： ①第①个图形中棋子的个数为：1150=+⨯ ＝1＋5×0；第①个图形中棋子的个数为：()15016+⨯+= ；第①个图形中棋子的个数为：()1501216+⨯++=；…①第n 个图形中棋子的个数为：()()5n n 115012n 112-+⨯++++-=+；则第①个图形中棋子的颗数为：58711412⨯⨯+= 故应选A ．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．12．D【解析】【分析】设第n 个图形中有a n 个小圆圈(n 为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)”，再代入n ＝50即可求出结论．【详解】解：设第n 个图形中有a n 个小圆圈(n 为正整数)观察图形，可知：a 1＝4+1×2，a 2＝4+2×3，a 3＝4+3×4，a 4＝4+4×5，…，①a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)，①a 50＝4+50×51＝2554故选D ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)”是解题的关键．13．B【解析】【分析】易得第二个矩形的面积为(21)2，第三个矩形的面积为(41)2，依此类推，第n 个矩形的面积为(221)2n -．【详解】解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的(22211)24⨯-=；第三个矩形的面积是(23211)216⨯-=； ⋯故第n 个矩形的面积为：(2211111)()244n n n ---==．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．14． 66x 1211x y - 31(1)n n nb a -- 【解析】【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是66x ，（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是1211x y-，（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31(1)n nn b a -- 【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键15．13- 【解析】【分析】根据差倒数的概念逐一计算，然后找到规律，利用规律即可解答．【详解】113x =-， 213141()3x ∴==-- ，同理，3414,3x x ==- ， ①n x 是13,,434-这三个数的循环． ①202036731÷= ，202013x ∴=-．故答案为：13-．【点睛】本题主要考查差倒数，理解差倒数的求法并找到规律是解题的关键．16．1t t - 【解析】【分析】观察数据可知，11t a t =-，2111a a =-=1-t ，3211a a =-=1t，43111a a t t =--=，…，从第一项开始3个一循环，再用2020除以3得出余数即可求解．【详解】解：观察数据可知：11t a t =-，2111a a =-=1-t ，3211a a =-=1t ，43111a a t t =--=，…，从第一项开始3个一循环，①2020÷3＝673…1，①2020a ＝11t a t =-．故答案为：1t t -．【点睛】考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．17．370．【解析】【详解】试题分析：观察可得左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，所以2n=20，m=2n﹣1，解得n=10，m=19，又因右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，由此可得第n个：2n（2n﹣1）﹣n，即可得x=19×20﹣10=370．考点：数字规律探究题.18．2n−1【解析】【分析】由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，第n行与第n 列交叉点上的数构成一个等差数列．【详解】解：由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，交叉点上的数构成一个等差数列．第n 行与第n 列交叉点上的数是2n−1，故答案为：2n−1．【点睛】本题考查归纳推理，解答关键是利用已有的数据进行归纳，解题时要认真审题，仔细解答．19．640【解析】【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．【详解】观察数字的变化可知：第n行有n个偶数，因为第1行的第1个数是：2＝1×0＋2；第2行的第1个数是：4＝2×1＋2；第3行的第1个数是：8＝3×2＋2； …所以第n 行的第1个数是：n （n−1）＋2，所以第25行第1个数是：25×24＋2＝602，所以第25行第20个数是：602+2×19=640．故答案为：640．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 20．52x + 【解析】【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】观察图形可知：当两个图（1）拼接时，总长度为：7+5=12；当三个图（1）拼接时，总长度为：7+2×5；以此类推，可知：用x 个这样的图形拼出来的图形总长度为：()75152x x +-=+， ①y 与x 的关系式为52y x =+．故答案为：52x +．【点睛】本题考查了图形规律，根据图形的拼接规律得出y 与x 的关系式是解题的关键． 21．30 【解析】【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．【详解】解：①如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，①43枚图钉最多可以展示20张画；①如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，14-1=13（张），2×13=26（张），①43枚图钉最多可以展示26张画；①如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，10-1=9（张），3×9=27（张），①43枚图钉最多可以展示27张画；①如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，8-1=7（张），4×7=28（张），①43枚图钉最多可以展示28张画；①如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，7-1=6（张），5×6=30（张），①43枚图钉最多可以展示30张画；①如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，6-1=5（张），6×5=30（张），①43枚图钉最多可以展示30张画；①如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，5-1=4（张），4×7=28（张），①43枚图钉最多可以展示28张画；综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．故答案为：30．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．22．（1）32；（2）1 ()3n．【解析】【分析】根据题意写出前面所求的结果的式子，然后推广得出规律，即可解答．【详解】（1）根据题意可知：第一阶段余下的线段的条数为12=2条；第二阶段余下的线段的条数为22=4条；第三阶段余下的线段的条数为32=8条；第四阶段余下的线段的条数为42=16条；第五阶段余下的线段的条数为52=32条；故答案为32．（2）根据题意可知：第一阶段去掉的线段的长度为11()3；第二阶段去掉的线段的长度和为211111=()33333⨯+⨯；第三阶段去掉的线段的长度和为22311111()()()33333⨯+⨯=；以此类推，第n 阶段去掉的线段的长度和为1()3n．故答案为1()3n．【点睛】考查发现图形的规律，根据图形写出前面的几种情况，然后找出其规律是解答本题的关键．23．（1）17-，18，19-；（2）12015-，与0越来越接近【解析】【分析】（1）分子是1，分母是从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第n 个数是1(1)nn-；（2）根据（1）中发现的规律即可求解，因为它们的分子不变是1，分母越来越大，所以越来越接近0．【详解】解：（1）第n 个数是1(1)nn-， ∴第7个，第8个，第9个数分别是17-，18，19-．（2）第2015个数是12015-，如果这列数无限排列下去，与0越来越接近．【点睛】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现符号、分子、分母的规律，并应用发现的规律解决问题． 24．（1）1024；（2）1022，()12n +-；（3）－2．【解析】【分析】（1）通过观察可知第一行数据的规律是()()()()()()1234562,2,2,2,2,2,------，进而可以得出答案；（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，便可得出答案；（3）根据得出的规律将每一行第100个数字相加即可．【详解】解：（1）①-2，4，-8，16，- 32，64，……，①该组数据的规律是：()12-，()22-，()32-，()42-，()52-，()62-，……，①第一行数的第10个数是()1021024-=；（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，则第二行的第10个数是()10221022--=，第三行的第n 个数是()()()1222n n +-⋅-=-，（3）①第一行数的第100个数是()10010022-=，第二行的第100个数是10022-，第三行的第100个数是()10110122-=-①()10010010110110122222222+-+-=--=-，即这三个数的和为－2．【点睛】本题考查了数字的规律探究，找出数字的规律是解题的关键． 25．（1）56；（2）1n n +；（3）21n n +．【解析】【分析】（1）根据所给等式对111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯进行拆分，然后计算即可；（2）按照（1）的思路对1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+拆分计算即可；（3）由（2）的结论，可以推出()1111()21(21)22121n n n n =--+-+，然后运用该规律解答即可．【详解】解：（1）111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯ =1111111111223344556-+-+-+-+-=1-16=56；故答案为56；（2）1111122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+ =1111112231n n -+-+⋅⋅⋅+-+=111n -+ 1nn =+；（3）1111133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-⨯+=1111111112335572121n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭=111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=12221n n ⨯+ =21nn +．【点睛】本题主要考查了探究数字规律和有理数的混合运算，分析已知等式、找出规律是解答本题的关键．26．（1）-1；（2）1009 【解析】【分析】（1）先依次计算出123n a a a a 、、、、的值，从中发现循环规律，然后对应解答问题．（2）根据第（1）题的数字循环规律，即可求解．【详解】解：（1）①11a =- ，211112a ==+ ，312112a ==- ，41112a ==--，…… ．从上面的解答可以看出123n a a a a 、、、、的值依次按-1，12，2为一个循环节循环的．①202036731÷=，①2020a 的值对应的是“-1，12，2”循环节的第一个数，故20201a =-；（2）①202136732÷=，一个循环节的和为-1+12+2=32，①余数为2对应的-1，12两个数．①1232021a a a a ++++=31673100922⨯+=(-1)+．【点睛】本题可以看作“数式循环规律”的题型，这类题关键经过计算得出循环的规律，得出循环节的组成，在根据问题与循环节的对应关系解答问题．27．（1）42；（2）()1m m +；（3）①2550；①52550；①2500．【解析】【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；（2）根据表格归纳类推出一般规律即可得；（3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； ①利用241100+++的值减去241000+++的值即可得；①将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得．【详解】（1）根据规律得：当6m =时，和6742S =⨯=，故答案为：42；（2）由表可知，当1m =时，()12111S =⨯=⨯+，当2m =时，()23221S =⨯=⨯+，当3m =时，()34331S =⨯=⨯+，当4m =时，()45441S =⨯=⨯+，归纳类推得：()1S m m =+，故答案为：()1m m +；（3）①()24610050501++++=⨯+，5051=⨯，2550=；①1002100410061100++++，()()241100241000=+++-+++，()()55055015005001=⨯+-⨯+， 550551500501=⨯-⨯， 303050250500=-，52550=；①135799+++++，()()()()()11315171991150=++++++++++-⨯，246810050=+++++-，255050=-，2500=．【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 28．（1）68；（2）12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+；（3）不能等于2010，理由见解析．【解析】【分析】观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+．（1）当x=17时，找出a 、b 、c 、d 的值，将其相加即可求出结论；（2）由12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+，即可求出a+b+c+d 的值；（3）根据M=2020，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出x 的值，由x 为偶数即可得出M 不能为2010．【详解】观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+．（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29， ①515192968a b c d +++=+++=．故答案为：68．（2）①12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+， ①()()()()1222124a b c d x x x x x +++=-+-++++=，故答案为：4x ；（3）M 的值不能等于2020，理由如下： ①4a b c d x +++=，①M 2010a b c d x =++++=，则52010x =，解得：402x =． ①402是偶数不是奇数， ①与题目x 为奇数的要求矛盾， ①M 不能为2010．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a 、b 、c 、d 四个数相加；（2）观察图1，用含x 的代数式表示出a 、b 、c 、d ；（3）由M=2010，列出关于x 的一元一次方程． 29．（1）41；（2）202 【解析】【分析】（1）前三个图案中的6，11，16可分别写为6=5×1+1，11=5×2+1，16=5×3+1，于是可得规律，进而可求出第8个图案的小棒数量；（2）由（1）题的规律可得第n 个图案中小棒的数量，于是可得关于n 的方程，解方程即得答案．【详解】解：第1个图案中有6根小棒，6=5×1+1，第2个图案中有11根小棒，11=5×2+1，第3个图案中有16根小棒，16=5×3+1， ……，所以第8个图案中有（5×8+1）=41根小棒；故答案为：41；（2）第n 个图案中有()51n +根小棒，根据题意，得 5n+1=1011，解得n=202．答：n 的值是202．【点睛】本题考查了图形类规律探求和一元一次方程的应用，找准规律是解题的关键． 30．（1）见详解；（2）（6n ﹣6）个点；（3）17；（4）没有；（5）3n 2﹣3n +1．【解析】【分析】（1）观察点阵可以写出答案；（2）观察点阵可知：第二层每边有2个点，第三层每边有3个点，第四层每边有4个点，第五层每边有5个点，得出第n （n ＞1）层每边对应的点数是n ，从而得出第n 层所对应的点数；（3）根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6﹣6＝6（个）点，第三层有3×6﹣6＝12（个）点，进一步得出第n 层有6（n ﹣1）个点，代入96求得答案即可；（4）将100代入建立方程求解即可判定；（5）根据表格所得出的规律是从第二层，后面到几层就增加几个数6，由此即可求出答案．【详解】解：（1）如表：层数123456该层对应的点数1612182430所有层的总点数1719376191（2）根据表格可得出第n层每边对应的点数是n；则第n层所对应的点数为（6n﹣6）个点，（3）因为第n层有（6n﹣6）个点，则有6n﹣6＝96，解得n＝17，即在第17层；（4）6n﹣6＝100解得535n=，不合题意，所以没有一层，它的点数为100点；（5）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n层六边形点阵的总点数为，1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6＝1+6[1+2+3+4+…+（n﹣1）]＝1+6()12 n n-⨯＝1+3n（n﹣1）＝3n2﹣3n+1．第n层六边形的点阵的总点数为：3n2﹣3n+1．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．。

德州市中考数学一轮复习课件专题一：探索规律问题

y＝
与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形
A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为
边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线
l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2 017
的横坐标是．
【分析】利用直线的解析式及等边三角形的性质计算出A1，
类型三点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平
面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．
例3 (2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：
一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．
例2 (2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一
类型一数式规律这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归
纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．
例1 (2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21， …叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，计算a1 ＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝．