关于二维热传导的理论模型

关于二维热传导的理论模型

前言

热量从系统的一部分传到另一部分或由一个系统传到另一个系统的现象叫热传导。热传导是热传递三种基本方式之一。它是固体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中层层传递，在流动情况下往往与对流同时发生。热传导实质是由大量物质的分子热运动互相撞击，而使能量从物体的高温部分传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。在固体中，热传导的微观过程是：在温度高的部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。在低温部分，微粒振动动能较小。因微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生微粒的振动，动能由动能大的部分向动能小的部分传递。在固体中热的传导，就是能量的迁移。在金属物质中，因存在大量的自由电子，在不停地作无规则的热运动。一般晶格震动的能量较小，自由电子在金属晶体中对热的传导起主要作用。所以一般的电导体也是热的良导体，但是也有例外，比如说钻石--事实上，jewller 可以通过测宝石的导热性来判断钻石的真假。在液体中热传导表现为：液体分子在温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐向周围层层传递，引起了热传导现象。由于热传导系数小，传导的较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体依靠分子的无规则热运动以及分子间的碰撞，在气体内部发生能量迁移，从而形成宏观上的热量传递。

热传导的定义：热从物体温度较高的一部分沿着物体传到温度较低的部分的方式

理论推导

考察下面的热传导定解问题

()222t x y u k u ∂=∂+∂()0,0x a y b ≤≤≤≤

(),,0(,)u x y x y φ=

解：利用高维傅里叶变换

()()()(,,),,,,i x vy u v t F u x y t u x y t e dxdy λλ+∞+∞-+-∞-∞==⎡⎤⎣⎦⎰

⎰

和反变换 ()()21(,,),,(2)i x vy u x y t u v t e d dv λλλπ+∞+∞+-∞-∞=

⎰⎰

相应有

[],x F u i u λ∂= ,y F u ivu ⎡⎤∂=⎣⎦ []

222(),F u v u λ∆=-+ 则原方程变换为：

220,du k u dt

ρ+= 222v ρλ=+ (,,0)(,)u v v λφλ=

显然有解： 22(,,)(,)k t u v t v e

ρλφλ-=

由于 222221()()21[].(2)k t k v t i x vy F e e e d dv ρλλλπ+∞+∞---+-+-∞-∞=

⎰⎰

2222exp 4x y k t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭

再利用卷积分变换公式

()*(,)(,),,u w x y u x y w d d ξηξηξη+∞+∞-∞-∞=--⎰

⎰

于是 (

)()2222(),,(,)exp 4x y u x y t d d k t ξηφξηξη+∞+∞-∞-∞⎡⎤-+-⎛=-⎢⎥ ⎝⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

成果结论

利用上式，编写程序，其中取

(,)1x y φ=，常数k=1.

可以得到如图下的截图

:

由此，我们可以得出如下的结论：

二维热传导在矩形域上，是呈现中间传热较快的特点，并且这种效率是远远比两边的传到速率要快的多，基本上呈现指数暴涨。

不足之处：

该程序采用在格林函数源程序的基础上，进行修改，涉及双重积分，导致计算量偏大，通过减少积分的间隔，可以勉强在较为配置较高的计算机上绘制出图案，但总体误差偏大，不具有定量分析的精确度。

[A,map]=imread('E:\lena.bmp'); %显示原图imshow(A,map),

title('原图'); image=double(A); %求负片k=image(1,1); for i=1:256, for j=1:256, if

k

[A,map]=imread('E:\lena.bmp'); %显示原图imshow(A,map),

title('原图'); image=double(A); %求负片k=image(1,1); for i=1:256, for j=1:256, if

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