【精准解析】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三补习班上学期期中考试数学(理)试卷
2021学年石嘴山市三中高二数学(理)上学期期中考试卷附答案解析
12.某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名调查他们上、下班乘车所用时间，得下表：
所用时间（分钟）
人数
25
50
15
5
5
公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴补贴金额y（元）与乘车时间t（分钟）的关系是 ，其中 表示不超过 的最大整数.以样本频率近似作为概率，则公司一名职工每月路途补贴不超过300元的概率为（）
C. D.
11.中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题.此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第 题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为 和 ，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷 颗米粒（大小忽略不计，取 ），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（）
三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
（1）焦点在 轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点 ；
（2）焦点在 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
18.已知函数 ，正数 在集合 上随机取值．
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
22.设圆 ，圆 .
（1）判断圆 与圆 的位置关系；
3.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（）
A. B. C. D.
4.设命题 函数 在 上为单调递增函数：命题 函数 为奇函数.则下列命题中真命题是（）
A B. C. D.
5.用秦九韶算法计算函数 ，当 时的值，则 （）
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次适应性考试数学(理)试题Word版含答案
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次适应性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共70.0分）1.设函数，则等于（）A. B. C. 3 D. 62.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则C B A=（）A. B.B.C. D.3.已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B. C. D.4.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是（）A. B. C. D.5.定义在R上的奇函数满足，且在上，则A. B. C. D.6.函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A. B. C. D.7.将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.B.C. D.8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=，则b=（）A. B. C. 2 D. 39.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C. D.10.若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若=2，且=λ+，则λ=（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x-1）f（x2-1）＜f（x+1）的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=ln（4+3x-x2）的单调递减区间是______．14.已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为______．15.在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则△PBC与△ABC的面积之比是______．16.设命题p：函数f（x）=x2+（a-1）x+5在（-∞，1]上是减函数；命题q：∀x∈R，lg（x2+2ax+3）＞0；若p∨￢q是真命题，p∧￢q是假命题，则实数a 的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量||=2，=（-，），且与夹角为，（1）求|+2|；（2）若（+k）⊥（2-），求实数k的值．18.已知函数（，且）.（1）若函数在上的最大值为2，求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.19. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a10=21，S10=120．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+1，求数列{b n}的前n项和T n．20.已知函数Ⅰ求函数的单调增区间；Ⅱ将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．21.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知b＋c＝2a cos B．(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．22.已知函数ⅠⅠ求函数的极值；Ⅱ若，且对任意的都成立，求整数k的最大值．2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次适应性考试数学（理）试题参考答案1.C2.A3.4.A5.C6.D7.D8.D9.D10.B11.A12.D13.14.15.16.-1，或17.解：（1）因为，所以|b|=1，又||=2，与的夹角为120°∴．…（3分）===2（2）由（a+kb）⊥（2b-a），得（+k）•（2-）=0，即2k-4+（2-k）×2×1cos120°=0，解得k=2…（10分）18.解:(1)当a>1时,f(x)在[-2,1]上单调递增,所以，即；当时，在上单调递减，因此，，即,综上，或;(2)不等式即,又，则，即，所以,所以使得成立的的取值范围是.19.20解：f（x）=sin2x+2sin2x==．（Ⅰ）由，解得．∴函数f（x）的单调增区间为[]，k∈Z；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得y=2sin[2（x）-]+1=2sin2x+1．再向下平移1个单位后得到函数g（x）=2sin2x．由x∈[-，]，得2x∈[]，∴sin2x∈[-]，则函数g（x）的值域为[-]．21.（Ⅰ）证明：∵b+c=2a cos B，∴sin B+sin C=2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）=2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B=2sin A cos B ∴sin B=sin A cos B-cos A sin B=sin（A-B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A-B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bc sin A=，∴2bc sin A=a2，∴2sin B sin C=sin A=sin2B，∴sin C=cos B，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．。
2020-2021学年石嘴山三中补习班高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年石嘴山三中补习班高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列式子：①3∈{x|x<5}；②{3}⊆{x|x<5}；③⌀⊆{x|x<5}；其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.设z是复数，a(z)表示z n=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)=()A. 8B. 6C. 4D. 23.某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为√5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为45°的直角梯形，则该多面体的体积为()A. 1B. 12C. 23D. 24.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量大约是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放能量的少倍？(参考数值：√10≈3.162，√103≈2.154)()A. 31.6B. 15.8C. 4.6D. 1.55.已知直线ax+by=0与双曲线x2a2−y2b2=1(0<a<b)交于A，B两点，若A(x1,y1)，B(x2,y2)满足|x1−x2|=3√3，且|AB|=6，则双曲线的离心率为()A. √3B. 3C. √2D. 26.若三点A(−1,0)，B(2,3)，C(0,m)共线，则m的值为()A. 1B. −1C. ±1D. 27.直线x+my−5=0与双曲线x2−y24=1的一条渐近线垂直，则正实数m=()A. 4B. 2C. 12D. 148.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体表面积为()A.B. C. D. 52 9. 已知向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(2,0)，若a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 垂直，则λ的值等于( )A. −6B. −2C. 6D. 210. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 3+a 8=9，a 6=9，则S 9的值是( )A. 64B. 72C. 54D. 以上都不对11. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若，则λ等于( ) A. B. C. D.12. 已知AC 、BD 为圆O ：x 2+y 2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1,1)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( )A. 6B. 4√2C. 5D. 5√2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在数列{a n }中，若a 1=3，a n+1=a n +4，则a 5=______．14. 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PA =6，AC =8，BC =9，则AB =________．15. 已知a >0，b >0，且2a +b =1，则√2a +√b 的最大值为______ ．16. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 为BC 边的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ .(注意：手写向量，小写字母上面要加箭头)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前项和为Sn，已知a1=1，2S n=(n+1)a n,n∈N∗(1)求数列{a n}的通项公式(2)令b n=n+1(n+2)2a n2，数列{b n}的前n项和为T n，试比较Tn与516的大小18. 若a，b，c为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C−sin2(B+C)=sinBsinC．(1)求角A；(2)若b=2，求△ABC面积的取值范围．19. 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求异面直线PM与BD所成的角20. 已知抛物线C：y2=4x与椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)有一个公共焦点F.设抛物线C与椭圆E在第一象限的交点为M.满足|MF|=53．(1)求椭图E的标准方程；(2)过点P(1,32)的直线交抛物线C于A、B两点，直线PO交椭圆E于另一点Q.若P为AB的中点，求△QAB的面积．21. 已知函数f(x)=(a−b)x2−x−xlnx．(1)若函数f(x)在x=1处的极值为−b，求a，b的值；(2)若a=1，f(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立，求b的取值范围．22. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形．(Ⅰ)求椭圆E的离心率；(Ⅱ)如图，若直线l与椭圆相交于AB且AB是圆(x−1)2+(y+1)2= 5的一条直径，求椭圆E的标准方程．23. 已知函数f(x)=|kx−1|+|kx−2k|，g(x)=x+1．(1)当k=1时，求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若存在x0∈R，使得不等式f(x0)≤2成立，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系判断，属于基础题．由集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可．解：①3∈{x|x<5}正确；②{3}⊆{x|x<5}正确；③⌀⊆{x|x<5}正确；④√3为无理数，故错误．故选C．2.答案：C解析：解：a(i)=i n=1，则最小正整数n为4．故选C．复数z n=1，要使i n=1，显然n是4的倍数，则a(i)=4．本题实际考查，复数i的n次幂的运算，是基础题目．3.答案：C解析：根据三视图可得该几何体是由一个三棱柱ABC−A1B1C1和一个三棱锥B−DB1C1组成，该多面体的体积为V=S△ABC⋅AA1+13S△DB1C1⋅AA1=12×1+13×12×1=23，故选：C．根据三视图可得该几何体是由一个三棱柱ABC−A1B1C1和一个三棱锥B−DB1C1组成，该多面体的体积为V=S△ABC⋅AA1+13S△DB1C1⋅AA1=12×1+13×12×1=23本题考查了根据三视图求组合体的体积，属于中档题．4.答案：A解析：解：设日本地震释放的能量为E1，汶川地震释放的能量为E2，则由已知可得lgE1=4.8+1.5×9=18.3，lgE2=4.8+1.5×8=16.8，。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学第三次模拟考试试题 理(含解析)
石嘴山三中2021届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =（ ）A. {1,2}B. {1,4}C. {1,2,3,4}D. {2,3}【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B ，由此能求出A B ．【详解】集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1AB ∴=，4}．故选：B ．点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.91i 1i+=- （ ） A. 1- B. i -C. 1D. i【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算规则进行运算即可.【详解】921i 1(1)1i 12i i i i +++===--.故选：D【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题. 3.已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（ ） A. 2 B.43C. 3D.125【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系计算可得cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以tan tan3144tan tan 244131tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.4.在直角梯形ABCD 中，已知//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（ ） A. 5- B. 4-C. 4D. 5【答案】D 【解析】 分析】由题意可知5cos PDA ∠=，由()()2PA PB PD BC PD CB ⋅=-⋅-+，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可.【详解】解：由题意可知，2DA CB =，PD PC =-，2214252PD PC ==+=. ∴tan 2PDA ∠=，5cos 5PDA ∠=. //BC AD ，∴BCD PDA π∠=-∠，∴()()()()2PA PB PD DA PC CB PD CB PD CB ⋅=+⋅+=+⋅-+()222525cos 24PD PD CB CB PDA π=--⋅+=--⨯⨯-∠+⨯5525855⎛⎫=--⨯⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查两个向量的加减法法则，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题. 5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A.227B.15750C.289D.337115【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.已知等差数列{}n a 的公差为3，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则6S =（ ） A. 51 B. 54 C. 68 D. 96【答案】A 【解析】 【分析】根据1a ，2a ，6a 成等比数列，列出方程解出1a ，再利用等差数列求和公式，即求出6S ． 【详解】因为1a ，2a ，6a 成等比数列，所以2216a a a =，即2111(3)(53)a a a +=+⨯，解得11a =所以665613512S ⨯=⨯+⨯=． 故选：A.【点睛】本题主要考查等比中项及等差数列前n 项和公式，属于基础题． 7.下列说法正确的是（ ）A. 命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B. 若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC. 随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D. 设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x <，得0x <或1x >，故“0x <”是“11x <”的充分不必要条件，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．9.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.【详解】由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ，又由12f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin 26A π=， 所以4A =，从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而t y e =是增函数 所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11.已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ）B. 2 D. 4+【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得.【详解】解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF a a c +==，22a c +=，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =，所以e =故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想. 12.已知函数()ln(f x x =满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. ln 2[8,)2-+∞ B. ln 25[8,2ln 2]24--- C. ln 2(,8]2-∞- D. 5(,2ln 2]4-∞--【答案】C 【解析】 【分析】由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max2maxln 2x xx a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围.【详解】由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立， 即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足()2211max2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =， 求导可得22221ln ()x h x x -'=， 2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增，所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==， 即ln 282a +≤，解得ln 282a ≤-， 故选C .【点睛】本题为函数与导数的综合应用题，考查函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.已知(2x -1)7=a o +a 1x + a 2x 2+…+a 7x 7，则a 2=____. 【答案】84- 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x -1)7的展开式通式为：()()71721rrrr T C x -+=-当=5r 时，()()2552672184T C x x =-=-，则284a =-. 故答案为：84-【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题. 14.已知f (x )是R 上最小正周期为2周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．【答案】7 【解析】当02x ≤<时，3()00,1f x x x x =-=⇒=，所以函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x轴的交点横坐标为0,1,2,3,4,5,6 共7个 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15.已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF 的内切圆半径是________.【答案】23【解析】 【分析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆方程分析可得a ，b ，c 的值，由勾股定理分析可得222116AF AF -=，12226AF AF a +==解可得1AF 和2AF 的值，计算可得2ABF 的面积与周长，由内切圆的性质计算可得内切圆半径.【详解】解：设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=，其中6a =2b =222c a b =-，1224F F c ==.因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则有222116AF AF -=，12226AF AF a +== 解得163AF =，263AF =. 2ABF 的周长22106264633l AF BF AB =++=+=.面积12112646422S AB F F =⨯⨯==，由内切圆的性质可知，有12r ⨯=，解得23r =. 故2ABF 内切圆的半径为23. 故答案为：23. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进行转化是解题关键，属于中档题. 16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC 上的中线长为4．则c ＝_____；AB BC ⋅=_____．【答案】 (1). 7(2). 967-【解析】 【分析】由正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，计算可得B ＝A 6π=，由正弦定理可得c =，再结合余弦定理，可求解c ,a ,从而可求解.AB BC ⋅【详解】由acosB ＝bcosA ，及正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A 6π=，所以由正弦定理可得c =， 由余弦定理得16＝c 2+（2a ）2﹣2c •2a •cos 6π，解得c =；可得a =，可得AB BC ⋅=-accosB 967727=-⨯=-．故答案为：7，967-．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题:(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知等比数列{}n a （其中n *∈N ），前n 项和记为n S ，满足：3716S =，且212log 1log n n a a +=-+()1求数列{}n a 的通项公式；()2求数列{}log n n a a ⋅，n *∈N 的前n 项和nT.【答案】()1112n n a +=；()213322n n n T ++=-. 【解析】 【分析】()1设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据对数的运算可得q 的值，再根据等比数列求和公式可得首项1a 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式；()2设2log n n n b a a =⋅，然后根据()1题的结果可得{}n b 的通项公式，然后根据通项公式的特点可用错位相减法求出前n 项和n T .【详解】解：()1由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，212log 1log n n a a +=-+，∴12122log log log 1n n n na a a a ++-==-，∴112n n a q a +==．由3716S =，得31127116121a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣=-⎦，解得114a =． ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a +=． ()2由题意，设2log n n n b a a =⋅，则112n n n b ++=-． ∴ 12231231222n n n n b b T b ++⎛⎫++=-+++⎪⎝+⎭＝， 故231231222n n n T ++-=+++，312212222n n n T n n +++-=+++.两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-． ∴13322n n n T ++=-． 【点睛】本题考查等比数列的性质应用，错位相减法求和的方法，考查转化思想，数学运算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪ ⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥， ∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=， 解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =， 设二面角F AB P --的平面角为θ， 则||cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅，∴二面角F AB P --. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.十八大以来，党中央提出要在2021年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次． （Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？ （Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X 的分布列与期望． 【答案】（Ⅰ）316495； （Ⅱ）X 的发分布列为：期望61EX =． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲医院的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；（Ⅱ）由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得X 的分布列，进而求出概率．【详解】解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为200070%1400⨯=，200010%200⨯=，200015%300⨯=，20005%100⨯=，而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：10080%80⨯=人，设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A ，则()2802100316495C P A C ==；（Ⅱ）由题意可得随机变量X 的可能取值为：50500.620-⨯=，1001000.460-⨯=，2002000.3140-⨯=，5005000.2400-⨯=，(20)0.7p X ==，(60)0.1P X ==，(140)0.15P X ==，(400)0.05P X ==，所以X 的发分布列为：所以可得期望200.7600.11400.154000.0561EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P 、Q (x ，y )，若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）若C 上存在两动点A B ，（A ，B 在x 轴异侧）满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.【答案】（1）24y x =；（2）48AB =【解析】 【分析】（1）设(),Q x y 122+=⨯x ，化简后可得轨迹C 的方程. （2）设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=OA OB 并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长. 【详解】（1）设(),Q x y ，则圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，122+=⨯x ， 化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立24y x =得2440y my n --=， 设()()1122,,A B x y x y ， （其中120y y <） 所以124y y m +=，124y y n ⋅=-，且0n >，因为32⋅=OA OB ，所以22121212123216⋅=+=+=y y OA OB x x y y y y ，2432n n -=，所以()()840n n -+=，故8n =或4n =- （舍）， 直线:8AB x my =+， 因为PAB ∆的周长为22AB + 所以22PA PB AB AB ++=+ 即2PA PB AB +=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y =-==所以24182m +=，解得m =±所以48AB ===.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题. 21.已知函数2()cos 2a f x x x =+（a ∈R ），()f x '是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点； （2）已知函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，再利用零点存在性定理即可解决； （2）函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可.【详解】（1）由已知，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x-=+， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()g x 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫>⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续不断.所以'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点α，当(0,)x α∈时，'()0g x <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点，即()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点； （2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=， 即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤，因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--≤0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令'2()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，∴'()4sin 280p x x x =-≤，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，当1a ≤时，'()0m x ≤，则()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，'(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是1a ≤【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是: 2x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）. ()1若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =m 值.()2设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【答案】()11m =或3m =；()22⎡-+⎣.【解析】【分析】()1把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出m 值； ()2把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x y +的取值范围.【详解】解：()1曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程为：y x m =-.∴圆心到直线l的距离（弦心距）2d ==, 圆心()2,0到直线y x m =-的距离为2=, ∴21m -=∴1m =或3m =.()2曲线C 的方程可化为()2224x y -+=，其参数方程为： 22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） (),M x y 为曲线C 上任意一点，24x y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭x y ∴+的取值范围是2⎡-+⎣. 【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.选修4—5；不等式选讲.23.已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M .（1）求M ；（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>.【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M .（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.【详解】（1）解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 由()4f x <，解得11x -<<，故{}|11M x x =-<<.（2）证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->， 所以10ab a b --+>.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期期中试题理补习班含解析
17.已知数列 是公差大于0的等差数列， ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式，再结合 成等比数列即可求出公差 ，从而可得数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，可得 ，然后利用乘公比错位相减求和即可.
于是 ，且 ，解得 ，剩余的根数为 ．
故选：A.
【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.
9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为( )
A. B.1C.2D.4
【答案】C
【解析】
【详解】由三视图知，该几何体为四棱锥 ，
如下图所示，设其内切球的半径为 ，
【详解】由 ，则 ，所以 为周期为8的周期函数， ， .故选B.
【点睛】本题考查函数的周期性与求值，考查运算求解能力.属于基础题.
11.已知数列 的前 项和为 ， ，若存在两项 ， ，使得 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得 ．求得 ，
即为三棱锥 外接球的球心，连结 ，
所以 ，
所以 ，
设外接球的半径为 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以外接球的表面积为
故答案为：
【点睛】本题考查球与几何体外接球的综合问题，重点考查空间想象能力，推理证明，计算能力，属于中档题型.
16.已知函数 ，则 __________，若函数 有无穷多个零点，则 的取值范围是__________．
石嘴山市第三中学202届高三数学上学期第三次月考期末试题文补习班
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第三次月考（期末)试题文（补习班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合,，则A. B. C. D.2.在等比数列中，若,，则A。
B. C。
D。
3.函数的定义域为A。
B。
C。
D。
4.若,，，则A. B.C. D。
5.已知x，y满足约束条件，则的最小值为A。
B. C。
D.6.已知，则“”是“为函数的周期"的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D。
既不充分也不必要条件7.在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢A. 5 B。
6 C. 7 D。
88．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A。
B。
3C。
63D。
339.函数的图象可能是A。
B.C。
D.10。
已知正数a，b满足，则的最小值为( ）．A. 8 B. 10 C. 9 D. 611。
若曲线在点处的切线过点,则函数的单调递减区间为A。
B。
，（-1,0）C。
D. ，12. 已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围为A. B C D.二．填空题(本大题共4小题，共20.0分）13。
已知向量，若，则______．14。
在前n 项和为的等差数列中，若,则______．15.若等边ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足,2131CA CB CM += 则=•MB MA ______________16。
在三棱锥中,底面ABC ，，，,则此三棱锥的外接球的表面积为______．三．解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17．（本小题满分12分)在ABC△中,360,7A c a ∠=︒=.(1)求sin C 的值；(2)若7a =，求ABC △的面积.18.（本小题12分）如图,在三棱柱中，底面，，,,点E，F分别为与AB的中点．证明：平面．求三棱锥的体积．19．（本小题满分12分）设数列{}na 、{}nb 的前n 项和分别为n S 、nT ，且)73(212n n S n +=，)1(2-=nn b T )(*N n ∈， （1）求数列{}na 、{}nb 的通项公式；(2)令n nn bac⋅=,求{}n c的前n项和n U.20. (本小题满分12分)已知函数．Ⅰ当时,求函数在点（e，f（e））处的切线方程Ⅱ若在上是单调增函数,求实数a的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()ax x x a x f 21ln )-2++=（,（1）当2=a 时，求函数()x f 的极值； （2）当0<a 时，讨论函数()x f 的单调性; （3）若对∈∀a （-3，—2），∈21,x x [1，3］恒 |)()(|3ln 2)3ln (21x f x f a m ->-+成立，求实数m 的取值范围.22。
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宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|4,R x x x A =≤∈，{}|4,x x B =≤∈Z ，则A⋂B =（ ）A. ()0,2B. []0,2C. {}0,1,2D. {}0,2【答案】C 【解析】试题分析：{}2|4,R [2,2]x x x A =≤∈=-,{}{}4,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16x x B =≤∈Z =,所以{}0,1,2A B ⋂=，故选C ．考点：集合的运算．2.若,a b 是异面直线，且a //平面α，那么b 与平面α的位置关系是（ ） A. //b α B. b 与α相交C. b α⊂D. 以上三种情况都有可能 【答案】D 【解析】若a 、b 是异面直线，且a ∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得：b ∥a 或者b ⊂α或者b 与α相交． 故选：D ．点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面之间的相互平行、相互垂直的判定定理与性质定理，熟记相关的结论3.命题“20(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ）A. 2000(0,1),0x x x ∃∉-≥B. 2000(0,1),0x x x ∃∈-≥C. 2000(0,1),0x x x ∀∉-<D. 2000(0,1),0x x x ∀∈-≥【答案】B 【解析】分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可. 详解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“()200,1,0x x x ∀∈-<”的否定是()20000,1,0x x x ∃∈-≥，故选B.点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”：“都是”与“不都是”等， 所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.4.过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是（ )A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 【答案】A 【解析】 【分析】两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.【详解】由24050x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得两条直线交点坐标为：()1,6又所求直线与20x y -=垂直 ∴直线斜率为：2-∴所求直线为：()621y x -=--，即：280x y +-=本题正确选项：A【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.5.在长方体中1111ABCD A B C D -，12AB BC AA ==，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为( )A.10 B.15C.5 D.15 【答案】B 【解析】 【分析】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11//A D B C ,得即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在1A BD ∆中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11//A D B C , 所以异面直线1A B 与1B C 所成的角，即为直线1A B 与直线1A D 所成的角， 即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在长方体1111ABCD A B C D -中，设122AB BC AA ===， 则115,22A B A D BD ===， 在1A BD ∆中，由余弦定理得222111111cos 25255A B A D BD DA B A B A D +-∠===⋅⨯⨯，故选B. 【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在1A BD ∆中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.6.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）．A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.7.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A.812πB.814πC. 65πD.652π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得. 【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意， 故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.8.设圆()22125x y ++=的圆心为C ，点1,0A 是圆内一定点，点Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A. 224412125x y -=B. 224412125x y +=C. 224412521x y -=D. 224412521x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可知AM MQ =，从而得到5MC AM +=，可知M 轨迹满足椭圆定义，可得,a c ，进而求得2b ，从而得到所求轨迹方程. 【详解】M 为AQ 垂直平分线上的一点 AM MQ ∴=5MC AM MC MQ CQ ∴+=+==M ∴点的轨迹是以,C A 为焦点的椭圆 52a ∴=，1c = 222214b ac ∴=-= M ∴的轨迹方程为224412521x y += 故选：D【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义. 9.若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A. 12a <≤ B. 4a ≥C. 2a ≤D. 03a <≤【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到该函数的单调区间，只需让[]1,1a a -+成为函数单调区间的子集即可. 【详解】因为()219ln 2f x x x =-，其定义域为()0,+∞，故可的()9f x x x '=-令()0f x '≤，解得(]0,3x ∈，故只需让[]1,1a a -+成为(]0,3的子集， 即10a ->且13a +≤ 解得(]1,2a ∈. 故选：A.【点睛】本题考查利用求导求函数的单调区间，属基础题.10.已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ）A. 3B. 1C.19D.49【答案】B 【解析】 【分析】根据公切线条数，则两圆外切，根据圆的位置关系，得到,a b 的等量关系，再根据均值不等式求最小值即可.【详解】因为两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，故两圆外切，则圆心()2,0a -到圆心()0,b 的距离等于半径2和半径1的和， 3=，整理得2249a b +=，故2211a b +()222222221111414551999a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2222224,49a b a b b a=+=时，即223,32a b ==时取得最小值1.故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系，以及利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题. 11.已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A. 22136x y -=B. 22145x y -=C. 22163x y -=D.22154x y -= 【答案】B 【解析】 ∵k AB =015312++=1, ∴直线AB 的方程为y=x-3. 由于双曲线的焦点为F(3,0), ∴c=3,c 2=9.设双曲线的标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则22x a -()223x b-=1.整理,得(b 2-a 2)x 2+6a 2x-9a 2-a 2b 2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2226a a b -=2×(-12),∴a 2=-4a 2+4b 2,∴5a 2=4b 2. 又a 2+b 2=9, ∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为24x -25y =1.故选B.12.已知函数()()ln ,02,4,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不等实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（）A. 98B.2516C.32- D.132-【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）()02424lnx xf x x⎧≤⎪=⎨-⎪⎩，＜，＜＜的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x2122x x=＞2，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k()221234111x xx x-+≥⋅-恒成立，求出()221234111x xx x-+⋅-的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【详解】函数f（x）()02424lnx xf x x⎧≤⎪=⎨-⎪⎩，＜，＜＜的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x2122x x=＞2，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k()221234111x xx x-+≥⋅-恒成立，由()()()()()2222121212123434121111213114161644x x x x x x x xx x x x x x-+-++-+===⋅-+--+[（x1+x2）﹣4123()4x x+++-8]≤232-故k ≥2-故实数k 的最小值为22- 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上 13.已知()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______．【答案】322【解析】 【详解】()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，()()()tan tan 4tan tan 441tan tan 4παββππααββπαββ⎛⎫+-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++ ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯故答案为32214.已知向量()1,2m =，()2,3n =，则m 在n 方向上的投影为__________．【解析】 【分析】根据向量的投影计算公式，代值即可求得结果.【详解】m在n方向上的投影为261313m nn⋅+==√.故答案为：13.【点睛】本题考查向量投影的计算公式，属基础题.15.双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的一条渐近线与直线21x y-+=平行，则它的离心率为___________．【解析】【分析】由直线平行则斜率相等，求得,a b之间的等量关系，再求离心率即可.【详解】因为渐近线与直线210x y-+=平行，故可得2ba=，根据双曲线离心率的计算公式可得：e==【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.16.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K棵树种植在点(),k k kP x y处，其中11x=，11y=，当2K≥时，111215551255k kk kk kx x T Tk ky y T T--⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a的整数部分，例如()2.62T=，()0.20T=．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．【答案】()4031,404【解析】【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得155k k x k T -⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=.故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404.【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题. 三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．17.如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知1BC =，且3cos 5BCD ∠=-． （1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．【答案】（15（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据余弦的倍角公式，求得BCA ∠的余弦值，再在三角形ABC 中利用余弦定理即可求得；（2）先利用内角和为180︒，求得sin BDC ∠，再在三角形BCD 中利用正弦定理即可求得. 【详解】（1）若对角线AC 平分BCD ∠，即22BCD ACB ACD ∠=∠=∠， 则23cos 2cos 15BCD ACB ∠=∠-=-，又cos 0ACB ∠>，5cos ACB ∴∠=在ABC ∆中，1BC =，2AB =，5cos ACB ∠=，由余弦定理可得 2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即22530AC AC -=， 解得5AC =35AC =（舍去）， 故AC 5（2）3cos 5BCD ∠=-，24sin 1cos 5BCD BCD ∴∠=-∠= 又45CBD ∠=︒，()()sin sin 18045sin 45CDB BCD BCD ∴∠=︒-∠=∠+︒-︒210cos )BCD BCD =∠+∠=， 在BCD ∆中，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可得sin 5sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠，即CD 的长为5．【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合性基础题.18.在等差数列{a n }中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12， 22S q b =． （Ⅰ）求a n 与b n ； （Ⅱ）求1231111nS S S S +++⋅⋅⋅+的取值范围． 【答案】（Ⅰ）13,3n n n a n b -==；（Ⅱ）12[,)33．【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比q ，等差数列的公差d ，即可求解；（Ⅱ）利用裂项法求和，即可得到结论． 【详解】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，∵2212b S +=，22S q b =∴26126q d q d ++=⎧⎨=+⎩，解得3q =或4q =- (舍)，3d =.故13,3n n n a n b -==．（Ⅱ）()()333122n n n n n S ++==∴()122113131n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴1211121111121113223131n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵1n ≥,∴11012n <≤+，111121n ≤-<+ ∴121213313n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭，即121111233n S S S ≤+++<.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等. 19.已知()22sin ,cos ,(3cos ,2),()a x x b x f x a b ===⋅. (1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值. 【详解】（1）2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈，得2,63k x k k Z ππππ++∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，为72sin106π+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，为2sin132π+=.故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点． （1）求证：1//B E 平面ACF ；（2）求平面1CEB 与平面ACF 所成二面角(锐角)的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2286. 【解析】 【分析】（1）取AC 中点为M ，通过证明FM //1B E ，进而证明线面平行；（2）取BC 中点为O ，以O 为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【详解】（1）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，如下图所示：在ABC ∆中，因为 E 为AB 的中点，//EM BC ∴，且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，1B F BC ∴//，且112B F BC =， 1EM B F ∴//，且1EM B F =，∴四边形1EMFB 为平行四边形，1//B E FM ∴又MF ⊂平面ACF ，BE ⊄平面ACF ， 1//B E ∴平面ACF ，即证.（2）取BC 中点O ，连结AO ，OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ， 以O 为原点，分别以OB ，AO ，OF 为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示：则()0,3,0A -，()1,0,0B ，()1,0,0C -，13,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2F ，()11,0,2BCE 33,2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，CF (1,0,2)=，CA ()1,3,0=-，1CB (2,0,2)=设平面1CEB 的一个法向量m (),,x y z =，则100m CE m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则00y x z -=+=⎪⎩，令1x =．则m 1)=-，同理得平面ACF 的一个法向量为n 12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则286,?19m n cos m n n m ⋅==， 故平面1CEB 与平面ACF 所成二面角（锐角）的余弦值为19. 【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，且椭圆上存在一点M ，满足11214,1205MF F F M =∠=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，求1F AB ∆的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）34. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a ，再根据b 2＝a 2﹣c 2＝3，可得椭圆的方程;（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设△F1AB 的内切圆的半径为R ，表示出△F 1AB 的周长与面积，设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t =，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解△F 1AB 内切圆半径的最大值为34．【详解】（1）设2F M x =，则12F F M ∆内，由余弦定理得22214222cos1205x x ⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭，化简得166055x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得65x = 故1224,2a MF MF a =+=∴=，得2223b a c =-=所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB ∆得内切圆半径r1F AB ∆的周长为121248AF AF BF BF a +++==所以11442F AB S a r r ∆=⨯⋅= 根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+由22431x y x my ⎧+⎪⎨⎪=+⎩得()2234690m y my ++-= ()()222636340,m m y m R ∆=++>∈由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++ 112121212F ABS F F y y y y ∆∴=-=-234m ==+ 令t =121241,1313F AB t t S t t t∆≥∴==++令()13f t t t =+，则1t ≥时，()()2110,3f t f t t =->'单调递增，()()141,33F AB f t f S ∆≥=≤即当1,0t m ==时，1F AB S ∆的最大值为3，此时max 34r =.故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 22.已知函数()ln 1f x x kx =-+()k R ∈． （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：()1ln 2ln 3ln 4ln 34514n n n n -++++<+(n N *∈且1)n > 【答案】（1）()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数；（2）1k ；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数定义域，再求导，根据导数的正负，判断函数的单调性即可；（2）对参数k 进行分类讨论，求得不同情况下函数的单调性以及最大值，即可求得参数的取值范围；（3）根据（1）中的结论，构造不等式ln 112n n n -<+，进而利用数列求和，即可证明. 【详解】（1）易知()f x 的定义域为()0,∞+，又1()1f x x'=-当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<()f x ∴在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数．（2）当0k ≤时，()110f k =->，不成立，故只考虑0k >的情况 又1()f x k x'=- 当0k >时，当10x k <<时，()0f x '>；当1x k>时，()0f x '< 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时减函数 此时max 1()ln f x f k k ⎛⎫==-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只要ln 0k -≤即可 解得：1k．（3）当1k =时，有()0f x ≤在()0,∞+恒成立， 且()f x 在()1,+∞上是减函数，()10f =， 即ln 1x x <-在()1,x ∈+∞上恒成立， 令2x n =，则22ln 1n n <-， 即2ln (1)(1)n n n <-+，ln 112n n n -∴<+()*,1n N n ∈> ln 2ln 3ln 4ln 1231(1)345122224n n n n n --∴++++<++++=+即：ln 2ln 3ln 4ln (1)34514n n n n -++++<+()*1n N n ∈>且成立． 【点睛】本题考查利用导数对具体函数单调性的求解，由不等式恒成立求参数的范围，以及证明不等式恒成立；本题第三问要学会善于利用题目中的结论去证明不等式.。
2021届宁夏石嘴山三中高三(上)期末数学试卷(理科)解析版
2021届宁夏石嘴山三中高三（上）期末数学试卷（理科）解析版 2021-2021学年宁夏石嘴山三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上）．1．（5分）（2021秋?石嘴山校级期末）设全集u={0，1，2，3，4}，集合a={1，2，3}，b={2，3，4}，则a∪（?∪b）=（）a．{0，1，2，3}b．{1}c．{0，1}d．{0}2．（5分后）（2021秋?石嘴山校级期末）若复数z=i（1+i），（i就是虚数单位），则z的共轭复数就是（）a．1+ib．1ic．1+id．1i3．（5分后）（2021?长安区校级三模）某学校非政府学生出席英语测试，成绩的频率分布直方图例如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若高于60分的人数就是15人，则该班的学生人数就是（）a．45b．50c．55d．604．（5分）（2021秋?芗城区校级期末）某程序框图如图所示，若输出的s=41，则判断框内应填（）a．k＞4？b．k＞5？c．k＞6？d．k＞7？，则z=2x+y的值域范5．（5分）（2021秋?石嘴山校级期末）若实数x，y满足约束条件围是（）a．[0，6]b．[1，6]c．[1，5]d．[2，4]，2a2成等差数列，则=6．（5分后）（2021?湖北）未知等比数列{an}中，各项都就是正数，且a1，（）a．1+b．1c．3+2d．327．（5分后）（2021?海南校级演示）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积就是（）a．6b．8c．10d．12）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，8．（5分后）（2021秋?河北期末）将函数f（x）=sin（4x+再向右位移a．x=个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）b．x=c．x=d．x=9．（5分后）（2021秋?石嘴山校级期末）向例如图中边长为2的正方形中，随机利沙一粒黄豆，则黄豆落到图中阴影部分的概率为（）a．b．c．d．10．（5分）（2021?湛江二模）设α，β，γ为平面，m，n为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）a．α⊥β，α∩β=n，m⊥nb．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γc．α⊥β，β⊥γ，m⊥αd．n⊥α，n⊥β，m⊥α211．（5分）（2021?日照一模）已知抛物线y=2px（p＞0）上一点m（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线a．b．y=1的左顶点为a，若双曲线的一条渐近线与直线am平行，则实数a的值是（）c．d．212．（5分后）（2021?宁城县演示）未知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足用户f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则a．（20，32）b．（9，21）c．（8，24）d．（15，25）二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．的值域范围就是（）13．（5分）（2021秋?石嘴山校级期末）已知向量，，若与平行，则m的值就是______．5314．（5分后）（2021秋?石嘴山校级期末）在（1+x）（2+x）的展开式中，x的系数为______（用数字答题）．15．（5分后）（2021?广东演示）未知等比数列{an}的各项均为不能等同于1的正数，数列{bn}满足用户bn=lnan，b3=18，b6=12，则数列{bn}前n项和的最大值为______．16．（5分后）（2021秋?石嘴山校级期末）得出以下四个命题：①函数f（x）=lnx2+x在区间（1，e）上存有零点；②在△abc中，未知③“a=1”就是“函数=4，=12，则||=4；在定义域上就是奇函数”的充份不必要条件；④若命题p是：对任意的x∈r，都有sinx＜1，则?p为：存在x∈r，使得sinx＞1．其中所有真命题的序号是______．三、答疑题：本大题共8小题，共70分后.求解应允写下文字说明、证明过程或编程语言步骤.17．（12分）（2021?罗湖区模拟）在△abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且cosa=．①求的值．②若，求△abc的面积s的最大值．18．（12分）（2021?西宁校级模拟）为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试（1）根据题目条件顺利完成下面2×2列联表中，并据此推论你与否存有99%的把握住指出环保科学知识与专业有关杰出非杰出总计甲班30乙班60总计（2）为出席上级举行的环保科学知识竞赛，学校举行预选赛，预选赛成绩单满分100分后，杰出的同学得60分后以上通过初选，非杰出的同学得80分后以上通过初选，若每位同学得60分后以上的概率为，得80分后以上的概率为，现已言甲班存有3人出席预选赛，其中1人为优秀学生，若随机变量x则表示甲班通过初选的人数，求x的分布列及期望e（x）．附：k=2，n=a+b+c+d20.005p（k＞k0）0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.6357.879k019．（12分后）（2021?广东）例如图，四边形abcd为正方形．pd⊥平面abcd，∠dpc=30°，af⊥pc 于点f，fe∥cd，交pd于点e．（1）证明：cf⊥平面adf；（2）求二面角dafe的余弦值．20．（12分后）（2021?池州一模）未知椭圆c：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点o为圆心，椭圆c的长半轴为半径的圆与直线2xy+6=0相切．（1）求椭圆c的标准方程；（2）未知点a，b为动直线y=k（x2）（k≠0）与椭圆c的两个交点，问：在x轴上与否存有点e，并使2+?为定值？若存有，试求出点e的座标和定值，若不存有，表明理由．221．（12分后）（2021?贵州演示）未知函数f（x）=ax+xxlnx（a＞0）．2（1）若函数满足用户f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx+2x恒设立，谋实数b的值域范围；（2）若函数f（x）在定义域上就是单调函数，谋实数a的值域范围；（3）当＜x＜y＜1时，先行比较与的大小．22．（10分后）（2021?长春一模）Suippes题：几何证明选讲如图，abcd是边长为a的正方形，以d为圆心，da为半径的圆弧与以bc为直径的半圆o交于点f，延长cf交ab于e．（1）澄清：e就是ab的中点；（2）谋线段bf的长．23．（2021秋?石嘴山校级期末）以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点a的极坐标为（2，极坐标方程为ρ=cos（θ）．），直线l过点a且与极轴成角为，圆c的（ⅰ）写下直线l参数方程，并把圆c的方程化成直角坐标方程；（ⅱ）设立直线l 与曲线圆c处设b、c两点，谋|ab|?|ac|的值．24．（2021秋?石嘴山校级期末）设立函数（1）谋a；的最小值为a．（2）未知两个正数m，n满足用户m+n=a，谋22的最小值．。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理.doc
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第一次月考试题理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则等于（）A. B. C. D.2.已知命题p：对，，成立，则在上为增函数；命题q：，，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.3.点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为A. B. C. D.4.已知向量若与平行，则实数x的值是A. B. 0 C. 1 D. 25.在中，，，且，则A. 1B.C.D.6.在中，，则此三角形为A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，，则的面积为A. 6B.C.D.8.已知，则A. B. C. D.9. 函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）． A. 2B.C.D. 110. 下列关于函数的说法正确的是A. 在区间上单调递增B. 最小正周期是C. 图象关于点成中心对称D. 图象关于直线成轴对称11. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是A. B. C.D. 12. 已知函数满足，且当时，，函数，(){,2log 0,2x 21g <+≥-=x x x x ）（函数在区间上的零点的个数为A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设，则______．14. 已知正项数列的前n 项和为，且满足，则数列的通项公式为___________．15.由直线，曲线以及x轴所围成的图形的面积为______．16.已知向量，，且，则在上的投影是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知数列满足：，且，，成等差数列；证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；求数列的前n项和．18.设函数，．解不等式；若关于x的不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围．19.如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得B ，D 间的距离为21海里． （1）求的值；（2）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？20. 己知函数x x x x x f cos sin 32cos sin )(22--=求函数的最小正周期及单调增区间；若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4x ππ，求函数的值域．21. 已知正项等比数列满足，，数列满足．求数列，的通项公式；令求数列的前n 项和．22. 设函数． 求曲线在点处的切线方程；若函数有两个极值点，求实数a 的取值范围；当时，恒成立，求实数m的取值范围．答案一. 选择题D A A D D B B D C C D C二. 填空题13 .14. 15 .16.17.【答案】解：数列满足：，且，，成等差数列；所以，整理得，故，所以常数，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．由得：，所以．18.【答案】解：由题意可得，当时，，；当时，，；当时，，．综上所述，原不等式的解集为；若关于x的不等式在R上恒成立，则，，当时，上式取得等号．，即，．19.【答案】解：Ⅰ由已知可得海里，中，根据余弦定理求得，；Ⅱ由已知可得，．中，由正弦定理可得：海里，分钟．即海警船再向前航行分钟即可到达岛A．20.【答案】解：，，令，即，单调增区间为．，则，，，所以的值域为．21.【答案】解：正项等比数列的公比为，，由，，可得，解得舍，可得，则．，，，两式相减可得，化简可得．22.【答案】解：，在点处的切线斜率，则切线方程为，有两个极值点．即有两个零点，即有两个不等实根，，令，在上，在上单调递增．在上单调递减，时，．即．可化为．设，又．在上单调递减，在上恒成立，即．又在上单调递增，在上单调递减．在处取得最大值．．．。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析
2020第一学期高三9月考数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合{}21U x x =-<<，{}21xxA x e-=<，则UA 等于（ ）A. {}01x x << B. {}20x x -<< C. {}01x x ≤< D. {}20x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A ，再根据补集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}{}{}221001x xA x ex x x x x -=<=-<=<<，又{}21U x x =-<<， 则{}20UA x x =-<≤.故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的补集，涉及不等式的解法，属于基础题型. 2. 已知命题:p 对1x ∀，()212x R x x ∈≠，()()12120f x f x x x ->-成立，则()f x 在()0,∞+上为增函数；命题0:q x R ∃∈，200210x x -+<，则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. p q ∨C. ()p q ⌝∨D.()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质分别判断命题,p q 的真假再判断各选项的真假即可. 【详解】命题:p 当12x x <时,因为()()12120f x f x x x ->-故()()120f x f x -<；当12x x >时,因为()()12120f x f x x x ->-故()()120f x f x ->；故()f x 随x 的增大而增大.故命题p 为真.命题q ,因为()220002110x x x --+=≥.故命题q 为假命题.故p q ∨为真命题. 故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与函数的性质运用,属于基础题. 3. 点P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A. 1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ C. 1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义直接求点Q 的坐标. 【详解】由题意可知1r =，根据三角函数的定义可知1cos32x r π==，sin 3y r π==所以点Q 的坐标是1,22⎛ ⎝⎭. 故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题型.4. 已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A. -2 B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】【详解】因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =.5. 在ABC 中，BD DC =，AP PD =，且BP AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A. 1 B.12C. -2D. 12-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，化简得3144BP AB AC =-+，再结合BP AB AC λμ=+，求得,λμ的值，即可求解.【详解】由题意在ABC 中，BD DC =，AP PD =， 根据向量的线性运算法则，可得：11112224BP BA BD BA BC =+=+ ()11312444AB AC AB AB AC =-+-=-+，又由BP AB AC λμ=+，所以31,44λμ=-=，所以311442λμ+=-+=-.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理得应用，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的运算法则，结合平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6. 在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到tan tan A B =，由此得到A B =，进而判断出正确选项. 【详解】由正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A. 6B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 8. 已知2sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B. C.19D. 19-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简已知可得3322cos()πα-=,进而利用诱导公式，二倍角的余弦函 数公式化简所求即可计算得解. 【详解】22sin cos cos 62633ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴554sin 2cos 2cos(2)6263a a ππππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222212cos 121339πα⎛=⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⋅⎭.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式的综合运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意观察角的特点，再进行配凑.9. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A. 2B. 3C.3 D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，先得出周期，求出ω；再由最大值点求出ϕ，进而可得出结果. 【详解】由题意可得，2A =，332113441264T =⋅=-=ππππω，则2ω=；所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又26f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈， 因此()26k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以6π=ϕ，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此2sin 2cos 34266f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.【点睛】本题主要考查由三角函数的图形求解析式，考查求三角函数值，属于常考题型. 10. 下列关于函数πtan 23y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的说法正确的是（ ）A. 在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 B. 最小正周期是π C. 图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D. 图象关于直线π12x =-成轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】ππtan 2tan 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后运算正切函数的知识可逐一判断.【详解】函数ππtan 2tan 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无单调递增区间和对称轴，A 、D 错误 其最小正周期是2π，故B 错误πtan 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在512x π=处无意义，故其图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故C 正确 故选：C【点睛】本题考查的是正切型函数的图象及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.11. 若函数()sin f x x ω=(0)>ω在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】先由题意，求出函数的单调递减区间，再由题中条件，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由题意，令()32222k x k k Z +≤≤+∈πππωπ，则()23222k k x k Z +≤≤+∈ππππωωωω， 即函数()sin f x x ω=(0)>ω的单调递减区间为()232,22k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ππππωωωω， 因为函数()sin f x x ω=(0)>ω在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以2233222223k k T πππωωπππωωπππω⎧+≤⎪⎪⎪≤+⎨⎪⎪=>-⎪⎩()k Z ∈，解得3623406k k ωωω⎧≥+⎪⎪≤+⎨⎪<<⎪⎩()k Z ∈，所以0k =，332ω≤≤. 故选：D.【点睛】本题主要考查由正弦型函数的单调性求参数，熟记正弦函数单调性即可，属于常考题型.12. 已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且当[1,1]x ∈-时，()||f x x =，函数()()21log 2,02,0xx x g x x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩ ，则函数()()()h x f x g x =-在区间[2,5]-上的零点的个数为（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】由(2)()f x f x +=，可得()f x 的周期为2，结合()(),f x g x 的解析式，可画出其在[2,5]-上的图像，由图像可得，()(),f x g x 在[2,0]-上有2个交点，在[]2,5上有3个交点，在区间（1,2）需证明总有122x x ->-，即可得到()(),f x g x 在（1,2）只有一个交点，即可得答案.【详解】因为(2)()f x f x +=，所以()f x 为周期函数，且周期为2，结合[1,1]x ∈-时，()||f x x =可得()f x 在[2,5]-上的图象（如图所示）， 又()g x 在[2,5]-上的图象如图所示，则()(),f x g x 在[2,0]-上的图象有2个交点，在[]2,5上有3个交点， 下面证明：当()1,2x ∈时，总有122x x ->-. 令()122xs x x -=+-，则()12ln 21x s x -'=-+，因为()1,2x ∈，故()11,0x -∈-，故11122x--<-<-，又0ln 21<<， 所以112ln 0x x --<-<，所以()0s x '>，所以()s x 在()1,2为增函数，所以()1,2x ∈时，()()10s x s >=即122x x ->-总成立. 又当1x =时，()()1f x g x ==，()(),f x g x 在()0,2上的图象有1个交点 所以()()0f x g x -=在[2,5]-上有6个不同的解， 即()h x 在[2,5]-上有6个不同的零点. 故选：C .【点睛】本题考查函数的零点与方程、指对数图像的应用、函数的周期性、利用导数判断函数的单调性等知识，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，考查数形结合的思想，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设22(1)(1)i z i +=-，则z =_______．【解析】 【分析】先由复数的运算将复数化简整理，再根据复数模的计算公式，即可得出结果. 【详解】()2212(1)2(1)11(1)2i ii i i z i i i i i ++++=====-+----，因此z ==.【点睛】本题主要考查求复数的模，涉及复数的运算，属于基础题型.14. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n n n S a a =+-，则数列的通项公式为n a =________．【答案】1n + 【解析】 【分析】根据题中条件，先求出12a =，再判断数列{}n a 是以1为公差的等差数列，进而可求出通项公式.【详解】当1n =时，由222n n n S a a =+-得211122S a a =+-，即21120a a --=，解得12a =或11a =-，因为{}n a 是正项数列，所以12a =；当2n ≥时，由222n n n S a a =+-得()211222n n n S a a n --=+-≥，则22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-， 整理得2211n n n n a a a a --+=-，所以11n n a a --=，因此数列{}n a 是以1为公差的等差数列，则()211n a n n =+-=+. 故答案为：1n +.【点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项，考查求等差数列的通项，属于常考题型.15. 由直线2y x=-，曲线y x=以及x轴所围成的图形的面积为_______．【答案】103【解析】【分析】先根据题意画出所围图形，求出直线2y x=-，曲线y x=的交点坐标，再由微积分基本定理，即可求出结果.【详解】做出草图如下，解方程组2y xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得到交点为()4,2，直线2y x=-与x轴的交点为()2,0，因此，由y x=2y x=-，以及x轴所求图形面积为：)42433222020222110223323xdx x x dx x x x x⎛⎫++=+-+=⎪⎝⎭⎰.故答案为：103.【点睛】本题主要考查由定积分求围成图形的面积，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.16. 已知向量(1,3a=-，()3,b y=，且23a b a⎛⎫-⊥⎪⎪⎝⎭，则b在a上的投影是_______．3【解析】【分析】根据题中条件，得到23a b ⋅=，再由向量的投影的定义，结合向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为(1,3a =-，()3,b y =，23a b a ⎛⎫-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2303a b a ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，即2230a a b -⋅=，则40b ⋅=，所以23a b ⋅=， 因此b 在a 上的投影是23cos ,2ab b a b a ⋅<>===【点睛】本题主要考查数量积的几何意义，考查向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共72分）17. 已知数列{}n a 满足：11a =，且1-，n a ，1n a +成等差数列； （1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}1n a n ++的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析，21nn a =-；（2）21422n n n n S ++-=+. 【解析】 【分析】（1）直接利用等比数列的定义和构造新数列法求出数列的通项公式. （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.【详解】解：（1）数列{}n a 满足：11a =，且1-，n a ，1n a +成等差数列； 所以121n n a a ++=-，整理得121n n a a +=+，故1121n n a a ++=+（），所以1121n n a a ++=+（常数）， 所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1122n n a -+=⨯， 整理得21nn a =-.（2）由（1）得：12112n nn n b a n n n =++=-++=+，所以()12222(12)nn S n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+21422n n n ++-=+. 【点睛】本题考查等差数列性质、等比数列通项公式、分组求和法，考查运算求解能力. 18. 设函数()|2||1|,f x x x x R =-++∈ （1）解不等式()3f x x ≤+.（2）若关于x 的不等式2()2f x a a ≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[]0,4；（2）[]1,3-. 【解析】 【分析】（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.（2）首先将2()2f x a a ≥-在R 上恒成立，等价于2min 2()a a f x -≤，再利用绝对值三角不等式求出min ()f x ，解不等式即可.【详解】（1）当1x <-时，213x x x ---≤+，解得x φ∈， 当12x -≤≤时，213x x x -++≤+，解得02x ≤≤， 当2x >时，213x x x -++≤+，24x <≤， 综上所述：04x ≤≤.（2）2()2f x a a ≥-在R 上恒成立，等价于2min 2()a a f x -≤即可.因为()|2||1||2||1||21|3f x x x x x x x =-++=-++≥-++=， 所以min ()3f x =，所以223a a -≤，解得13a -≤≤.因此，实数a的取值范围是[]1,3-.【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查绝对值三角不等式，属于中档题. 19. 如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？ 【答案】（Ⅰ）437； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】 【分析】(Ⅰ) 在BDC 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴43sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116027)(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--=⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD⨯∠⨯∠===∠∠，∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20. 己知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =--∈R （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）若ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．【答案】（1）2,,63k k k Z πππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，；（2）⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式对原式进行化简，进而求出最小正周期和单调增区间. （2）由x 范围，求出26x π+的范围，利用正弦函数的性质求出值域即可.【详解】（1）22()sin cos cos cos 222sin(2)6π=--=--=-+f x x x x x x x x22T ππ== 令3222,262k x k k Z πππππ+<+<+∈ 即2,63k x k k Z ππππ+<<+∈单调增区间为2(,),63ππππ++∈k k k Z （2）ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π2π2,336π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦xsin(2)61π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x ，()f x ⎡∈-⎣所以()f x的值域为⎡-⎣【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式和辅助角公式、正弦型函数的最小正周期、单调区间和值域等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21. 已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令n n n c a b =⋅求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）2nn a =，12n b n =+（2）12(21)2n n S n +=+-⋅【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质得出公比为q ，从而得出数列{}n a 的通项公式，由对数的运算性质得出{}n b 的通项公式；（2）求出(21)2nn c n =+⋅，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >由12a =，2432a a a =-，可得32422q q q =-，解得2q（1-舍）可得2nn a =，则2212log 12log 212n n n b a n =+=+=+ （2）(21)2nn n n c a b n =⋅=+⋅23325272(21)2n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅两式相减可得()23162222(21)2n n n S n +-=++++-+⋅()1141262(21)212n n n -+-=+⋅-+⋅-化简可得12(21)2n n S n +=+-⋅【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求和，属于中档题. 22. 设函数()ln f x x x =（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）当120x x >>时，()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1y x =-；（2）10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）1m . 【解析】 【分析】（1）将1x =代入()f x 与()'f x ，求出切点与斜率，再利用点斜式写出切线方程即可.（2）()F x 有两个极值点等价于()F x '有两个零点，参变分离，求出新函数的单调性，借助图像，即可得出a 的取值范围. （3）原不等式等价于()()22221122m m f x x f x x ->-.即2()()2mQ x f x x =-在 在(0,)+∞上单调递减，利用()0Q x '在(0,)+∞上恒成立，参变分离，借助第（2）问的结论，即可解出m 的取值范围.【详解】（1）由题意知(1)0f =，()ln 1f x x '=+ 所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)1k f '==， 则切线方程为1y x =-. （2）定义域：(0,+)∞.()()2ln 12F x f x ax x ax ''=-=+-.()F x 有两个极值点.即()F x '有两个零点，即ln 120x ax +-=有两个不等实根，1ln 2xa x+=， 令1ln ()x g x x +=，即函数2y a =与函数1ln ()xg x x +=有两个不同的交点 又因为2ln ()xg x x-'=，所以在（0，1）上()0,()'>g x g x 在（0，1）上单调递增，在(1,)+∞上()0,()g x g x '<单调递减，max ()(1)1g x g ==. 如图所示：当12a >时，()2g x a <，函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=无交点；当12a =时，max ()2g x a =，函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=仅有一个交点；当0a ≤时，因为当1x e>时，()0>g x ，而()g x 在（0，1）上单调递增，所以函数2y a =与函数1ln ()xg x x+=至多在（0，1）上有一个交点； 当102a <<时，()g x 在（0，1）上单调递增，1(1)12,()02g a g a e=>=<，所以函数2y a =与函数1ln ()xg x x+=在（0，1）上仅有一个交点；()g x 在(1,)+∞上单调递减，1121122112222(1)12,()21(1)2aa a a g a g e a ea++++=>=<<+.所以函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=在(1,)+∞上仅有一个交点；即函数2y a =与函数1ln ()xg x x+=有两个不同的交点因此10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （3）()()()2212122m x x f x f x ->-可化为()()22221122m m f x x f x x ->-. 设2()()2m Q x f x x =-，又120x x >>. ()Q x ∴在(0,)+∞上单调递减，()1ln 0Q x x mx '∴=+-在(0,)+∞上恒成立，即1ln xmx+. 又1ln ()xh x x+=在（0，1）上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. ()h x ∴在1x =处取得最大值.(1)1h =.1m ∴.【点睛】本题考查导函数的应用，属于中档题，需熟练掌握导数的求导规则、基础函数的导数、导数的几何意义；零点问题一般可参变分离后转化为两函数的交点问题来解；解不等式时常利用参变分离将其转化为最值问题来求解.。
宁夏石嘴山三中2021届高三上学期期中考试数学(理)试题 图片版含答案
姓名，年级：时间：2020--2021年高三第一学期数学期中试卷(理科答案）BADB CABD CABA1。
答案B解析集合A表示单位圆上的所有的点，集合B表示直线y＝x上的所有的点．A∩B表示直线与圆的公共点，显然，直线y＝x经过圆x2＋y2＝1的圆心（0，0)，故共有两个公共点,即A∩B中元素的个数为2，故选B．2.答案A解析条件p：a2＋a≠0，即a≠0且a≠－1。
故条件p：a2＋a≠0是条件q:a≠0的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决．3.答案D解析A中，命题“若｜x|＝5,则x＝5”的否命题为“若｜x|≠5，则x≠5”，故A不正确;B中,由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6,所以“x ＝－1"是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B不正确;C中，“∃x0∈R,3x20＋2x0－1〉0”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－1≤0”,故C不正确；D 中,命题“若x＝y,则sin x＝sin y”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确,故选D．4。
答案B解析f[f（x)]＝f[lg （1－x)]＝lg ［1－lg （1－x）］，则错误!⇒－9〈x<1。
故选B．5.答案C解析由解析式可知，当x>b时,y>0，由此可以排除A,B．又当x≤b 时，y≤0，从而可以排除D．故选C．6。
答案A解析∵f（x）＝－x2＋4x＋a＝－(x－2）2＋a＋4，∴函数f（x)＝－x2＋4x＋a在［0,1］上单调递增，∴当x＝0时,f(x）取得最小值，当x＝1时，f（x）取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f（1)＝3＋a＝3－2＝1,故选A．7。
答案B解析由已知得a＝80。
1，b＝90.1,c＝70。
1，构造幂函数y＝x0。
1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性,知c＜a＜b。
8.答案D解析由图象知f(x)是减函数，所以0<a<1，又由图象在y轴上的截距小于1可知a－b<1,即－b〉0，所以b〈0。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试试题 理(含解析).doc
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共70.0分） 1.设函数2()f x x x =+,则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆( )A. -6B. -3C. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可知()()11x f x f limx→+-=f ′（1），求导，即可求得答案． 【详解】根据导数的定义：则()()11x f x f lim x→+-=f ′（1）， 由f ′（x ）＝2x +1， ∴f ′（1）＝3， ∴()()113x f x f limx→+-=，故选C ．【点睛】本题考查导数的定义，导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题． 2.已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A. [3,)+∞B. (3,)+∞C. (,1][3,)-∞-⋃+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 3.已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≤ B. 3a ≤-C. 1a ≥-D. 1a ≥【答案】D 【解析】 【分析】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，即q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >， 所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对p ⌝是q ⌝的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.4.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ）A. 13,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 12[,)33C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 12[,)23【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意得到112133x -<-<，再解不等式即可. 【详解】由题知：偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增， 因为1(21)()3f x f -<，所以112133x -<-<， 解得1233x <<. 故选：A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题.5.定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A.32B. 23-C.23D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. π2sin(2)4y x =+B. 2sin(2)3y x π=+C. 2sin(2)4y x π=-D.2sin(2)3y x π=-【答案】D 【解析】【详解】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位， 所得图象对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-， 故选D.8.△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b= C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！9.若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A. 725 B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．10.若函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 24(,)e+∞ B. 24(0,)e C. 2(0,4)eD. (0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围.【详解】函数2x y x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e. 故选B【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.11.在ABC ∆中.已知D 是BC 延长线上一点.点E 为线段AD 的中点.若2BC CD =.且34AE AB AC λ=+.则λ=( )A. 14-B.14C. 13-D.13【答案】A 【解析】 【分析】 通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由1,2AE AD AD BD BA ==-,AC BC BA =-,32BD BC =,求解AE ,结合条件,即可求得答案.【详解】1,2AE AD AD BD BA ==-,AC BC BA =-,32BD BC =, 可得:()1122AE AD BD BA ==-1122BD AB +=2341BC AB =+()1234BA AC AB =++ 123344AB AC AB =-++1344AB AC =-+由34AE AB AC λ=+∴14λ=-故选:A.【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x '+>（()f x '是()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为（ ）A. (),2-∞B. ()1,+∞C. ()1,2-D. ()1,2【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x =，利用导数分析函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +化为()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，然后利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数()()g x xf x =，其中0x >，则()()()0g x f x xf x ''=+>， 所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数， 在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得()()()()221111xf x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，所以22111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩，解得12x <<，因此，不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为()1,2，故选D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数()y g x =；（2）利用导数分析函数()y g x =的单调性，必要时分析该函数的奇偶性； （3）将不等式变形为()()12g x g x <，利用函数()y g x =的单调性与奇偶性求解. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.函数()()2ln 43f x x x =+-的单调递减区间是______．【答案】3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：令2430t x x =+->，求得14x -<<，故函数的定义域为()1,4-且ln y t =，故本题即求函数t 在()1,4-上的减区间，再利用二次函数t 的性质求得二次函数t 在()1,4-上的减区间为3,42⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 考点：对数函数的性质及复合函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→增，减减→增，增减→减，减增→减）.14.已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________． 【答案】12n n a -=【解析】 【分析】由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-，得2n >时1123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,()11121212nn n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a .故答案为:12n na .【点睛】本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.15.已知在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是_____． 【答案】2:3 【解析】 【分析】根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点，从而可求PBC ∆与ABC ∆的面积之比． 【详解】因为PA PB PC AB ++=，所以2PC AB PB PA AB BP AP AP =--=++=，所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点，所以PBC ∆和ABC ∆的面积之比为2:3．故答案为：2:3．【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题.16.设命题p ：函数()f x ＝()215x a x +-+在(],1-∞上是减函数；命题:q x R ∀∈，()2lg 230x ax ++>．若p ∨￢q 是真命题，p ∧￢q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】1a <≤-或a ≥【解析】 【分析】由二次函数的性质，求得1a ≤-；根据对数函数的性质，求得a <<，再由题意，得到p 与q 同真同假，列出不等式组，即可求解.【详解】由命题p ：函数()f x ＝()215x a x +-+在(],1-∞上是减函数,所以112a --≥，解得1a ≤-； 命题:q x R ∀∈，2lg(23)0x ax ++>，则2231x ax ++>，即2220x ax ++>， 则2480a ∆=-<，解得a <<，若p ∨￢q 是真命题，p ∧￢q 是假命题，所以p 与q ⌝一真一假，即p 与q 同真同假，所以1a a ≤-⎧⎪⎨<<⎪⎩或1a a a >-⎧⎪⎨≤≥⎪⎩1a <≤-或a ≥则实数a的取值范围是1a <≤-或a ≥故答案为：1a <≤-或a ≥【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的解法，以及简易逻辑的判定方法等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知向量12,(,2a b ==-且a 与b 夹角为23π， （1）求2a b +；（2）若(2)a kb b a +⊥-）（，求实数k 的值． 【答案】（1）2 （2）2k = 【解析】 【分析】 （1）由()222a b a b +=+结合向量的数量积的定义和性质，计算可得；（2）由向量垂直的条件：数量积为0，计算可得k ．【详解】解：（1）因为1,2b ⎛=- ⎝⎭，所以1b =，又因为2a =，a 与b 的夹角为120︒ ， ∴1a b =-， 所以()2222244442a b a b a a b b +=+=++=+=;（2）由()()2a kb b a +⊥-，得()()20a kb b a +-=，即()24221cos1200k k -+-⨯⨯⨯︒=， 解得2k =.【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．18.已知函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）. （1）若函数()f x 在[]2,1-上的最大值为2，求a 的值；（2）若01a <<，求使得()2log 11f x ->成立的x 的取值范围.【答案】(1)2a =或2a =；(2)02x <<. 【解析】试题分析：(1)分类讨论1a >和01a <<两种情况，结合函数的单调性可得：2a =或2a =； (2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得210log x -<，求解对数不等式可得x 的取值范围是02x <<.试题解析：（1）当1a >时，()x f x a =在[]2,1-上单调递增， 因此，()()12max f x f a ===，即2a =；当01a <<时，()x f x a =在[]2,1-上单调递减，因此，()()222max f x f a -=-==，即2a =.综上，2a =或2a =. （2）不等式()211f log x ->即210log x a a ->.又01a <<，则210log x -<，即21log x <，所以02x <<.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a ＝21，10S ＝120．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设111n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）n a ＝21n ；（2）69n n n ++. 【解析】【分析】 （1）根据等差数列通项公式及求和公式列方程求解即可；（2）根据裂项相消法，分组求和法即可求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵10a ＝21，10S ＝120∴19a d +＝21，1109102a d ⨯+＝120， 解得1a ＝3，d ＝2．∴n a ＝()321n +-＝21n ． ()()()1111112111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫=+=+=-+ ⎪++++⎝⎭， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111235572123n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112323n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭69n n n =++． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，求和的裂项相消法，分组法，属于中档题.20.已知函数()222sin f x x x =+ （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位后得到函数()g x 的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）2⎡⎤⎣⎦ 【解析】【分析】 利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．（1）由相位在正弦函数的增区间内求得x 的取值范围，可得函数()f x 的单调增区间；（2）由函数的伸缩和平移变换求得()g x 的解析式，结合x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数()g x 的值域．【详解】解：()222sin f x x x =+21cos 2x x =+-122cos 2122x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （1）由222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈， 解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．∴函数()f x 的单调增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； （2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位， 得2sin 212sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 再向下平移1个单位后得到函数2sin 2g x x ，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin 22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 则函数()g x的值域为2⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查()sin y A ωx φ=+型函数的图象和性质，属中档题．21.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）2A π=或4A π=.【解析】 试题分析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，进而得()sin sin B A B =-，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由24a S =得21sin 24a ab C =，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得sin cos C B =，进而得讨论得结果.试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是()sin sin B A B =-． 又(),0,A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此A π=（舍去）或2A B =，所以2A B =．（2）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因sin 0B ≠，得sin cos C B =．又(),0,B C π∈，所以2C B π=±．当2B C π+=时，2A π=；当2C B π-=时，4A π=．综上，2A π=或4A π=．考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.22.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且'1()(1)ln 2f x f x x x =+. （1）求函数()f x 的极值；（2）若k Z ∈，且()()1f x k x >-对任意的()1,x ∈+∞都成立，求k 的最大值．【答案】（1）极小值为2e --，没有极大值；（2）3.【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后令1x =，则可求出()'1f ，从而可得()f x 的解析式，令()'0f x =，可求出极值点，从而可求出极值；（2）()()1f x k x >-对任意的()1,x ∈+∞都成立，等价于ln 1x x x k x +<-对任意的1x >恒成立，然后构造函数()ln (1)1x x x g x x x +=>-，通过利用导数求出函数()g x 的最小值即可. 【详解】解：()()()''111ln 12f x f x =++，(0x >) 则()()()'''111ln11122f f f =++⇒=， 所以()ln f x x x x =+，()'ln 2fx x =+，()0x ∈+∞，， 令()'2ln 0f x x =+=，解得2x e -=，当20x e -<<时，()'2ln 0f x x =+<，当2x e ->时，()'2ln 0f x x =+>，所以()f x 在()20e -，上单调递减，在()2e-+∞，上单调递增， 所以函数()f x 在2x e -=处取得极小值， 且极小值为()22f e e --=-，没有极大值；()2由()1和题意得()1f x k x <-对任意的1x >都恒成立， 即ln 1x x x k x +<-对任意的1x >都恒成立，令()ln (1)1x x x g x x x +=>-，则()()'2ln 21x x g x x --=-， 令()ln 2(1)h x x x x =-->，则()'1110x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()1+∞，上单调递增， 因为()31ln30h =-<，()42ln40h =->，所以方程()0h x =存在唯一实根0x ，且满足()034x ∈，， 即有()000ln 20h x x x =--=，00ln 2x x =-.当01x x <<时，()0h x <，即()'0g x <，当0x x >时，()0h x >，即()'0g x >，所以函数()g x 在()01x ，上单调递减，在()0x +∞，上单调递增， 所以()()00min 001ln ()1x x g x g x x +==-()0000121x x x x +-==-，所以min 0()k g x x <=，()034x ∈，， 故整数k 的最大值为3.【点睛】此题考查利用导数求函数的极值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.。
2021届宁夏石嘴山三中高三补习班上第三次适应性考试数学试卷
2021年宁夏石嘴山三中高三补习班上第三次适应性考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，集合{}2,4B =，则()U C A B 为（ ）A ．{}245，，B ．{}134，， C ．{}124，， D ．{}2,3,4,52．（2015秋•石嘴山校级月考）若a+bi=（i 是虚数单位，a ，b ∈R ），则ab=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．（2013秋•成安县校级期中）已知等比数列{a n }的首项a 1=1，公比q=2，则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 11=（ ）A ．50B ．35C ．55D ．464．（2014•辽宁校级模拟）已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan （α﹣）等于（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．5．（2015秋•石嘴山校级月考）正项等比数列{a n }中，a 1a 3+2a 2a 3+a 1a 5=16，则a 2+a 3的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题：①-2是函数()y f x =的极值点；②1是函数()y f x =的最小值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间（-2，2）上单调递增.则正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③7．（2015秋•石嘴山校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（ ）A ．y=﹣B ．y=sinxC ．y=xD ．y=ln|x|8．（2015•咸阳一模）函数f （x ）=ln （x ﹣）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是 （ ）A ．4sin(4)6y x π=+B ．2sin(4)26y x π=++ C ．2sin(2)23y x π=++D ．2sin(4)23y x π=++10．给出下列四个命题： （1）命题“若，则tanα=1”的逆否命题为假命题；（2）命题p ：∀x ∈R ，sinx≤1．则￢p ：∃x 0∈R ，使sinx 0＞1；（3）“”是“函数y=sin （2x+ϕ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p ：“∃x 0∈R ，使”；命题q ：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p ）∧q 为真命题． 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1612．（2015秋•石嘴山校级月考）已知函数f （x ）=x 2+2bx 的图象在点A （0，f （0））处的切线l 与直线x+y+3=0垂直，若数列{}的前n 项和为S n ，则S 2011的值为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．（2015秋•石嘴山校级月考）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 3=20﹣a 6，则S 8等于 ．14．（2015秋•石嘴山校级月考）若log a （a+6）=2，则= ．15．（2015秋•石嘴山校级月考）函数f （x ）=x+|x ﹣2|的值域是 ．16．（2011•番禺区校级模拟）已知函数f （x ）=sinx+5x ，x ∈（﹣1，1），如果f （1﹣a ）+f （1﹣a 2）＜0，则a 的取值范围是 ．三、解答题17．（2015秋•石嘴山校级月考），的夹角为120°，||=1，||=3． （1）7； （2）．18．（2012春•云梦县校级期中）设数列{a n }满足当n ＞1时，．（1）求证：数列为等差数列；（2）试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由． 19．（2013•市中区校级三模）已知函数f （x ）=1+sinxcosx ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（2）若tanx=2，求f（x）的值．20．（2015秋•石嘴山校级月考）已知数列{a n}满足的前n项和为S n，且S n=+n ﹣1，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式满足b n=n（1﹣a n），求数列{b n}的前n项和T n．21．（2015•宝鸡二模）△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2=a2﹣（b+c）2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2﹣sin（﹣B）的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．22．（2014•达州模拟）设函数f（x）=x2（e x﹣1）+ax3（1）当时，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案1．A 【解析】(){}2,5U C A =，所以(){}2,4,5U C A ⋃=，选A.2．A 【解析】试题分析：利用复数代数形式的乘除运算，由此能求出ab 的值． 解：a+bi===1﹣2i ，∴a=1，b=﹣2， ∴ab=﹣2， 故选：A ．考点：复数代数形式的乘除运算． 3．C 【解析】试题分析：先利用等比数列的性质得出a 1a 11=a 62=a 1q 5=25，再由对数的运算性质可知log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 11=log 2（a 1a 2…a 11）=log 2255，即可得出结果． 解：∵{a n }是等比数列a 1=1，公比q=2 ∴a 1a 11=a 62=a 1q 5=25∴log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 11=log 2（a 1a 2…a 11）=log 2 （a 1a 11）5=log 2（a 6）11=log 2255=55 故选：C ．考点：等比数列的性质． 4．B 【解析】试题分析：根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cosα，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果． 解：∵，∴cosα+2sinα=0， ∴tanα=，∴tan（）==﹣3，故选B考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数．5．B【解析】试题分析：先根据等比中项的性质可知a1a3=a22，a1a5=a32，然后代入a1a3+2a2a3+a1a5=16，化简变形可求出a2+a3的值，注意不要忘了正数这一条件．解：∵{a n}是等比数列，∴a1a3=a22，a1a5=a32∵a1a3+2a2a3+a1a5=16，∴a22+a32+2a2a3=（a2+a3）2=16∵由正数构成的等比数列{a n}，∴a2+a3=4故选：B．考点：等比数列的性质．6．A【解析】试题分析：由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：根据导函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上为增函数．故﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；故1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；根据函数（﹣2，+∞）上为增函数，故y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③正确；根据y=f（x）=在区间（﹣2，2）上的导数大于或等于零，故f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，故④正确，故选A．考点：命题的真假判断与应用．7．C【解析】试题分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可．解：y=﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除A；y=sinx在每个区间（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除B；令f（x）=，其定义域为R，且f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f′（x）=3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增，故选：C．考点：函数奇偶性的判断．8．B【解析】试题分析：根据函数的性质，结合函数图象特点即可得到结论．解：由x﹣＞0 得，﹣1＜x＜0或x＞1，即函数的定义域为{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故A，D错误．当x＞1时，y=x﹣为增函数，∴f（x）=ln（x﹣）也为增函数，∴排除C，故选：B．考点：函数的图象．9．B【解析】【详解】：∵函数y=Asin （ωx+φ）+m 的最大值是4，最小值是0，∴A=402-=2，m =402+=2 ∵2,42T Tππω=== ∵直线x =3π是其图象的一条对称轴， 所以4,()32k k Z ππϕπ+=+∈ φ=-56π+kπ，k ∈Z∴函数的解析式为y=2sin （4x-56π+kπ）+2，k ∈Z ，可以为2sin(4)26y x π=++ 故选B 10．B 【解析】试题分析：（1）先判断原命题的真假，利用原命题与逆否命题的等价性即可判断出； （2）利用命题p 与￢p 的关系即可判断出；（3）利用偶函数的定义及三角函数的最值即可判断出； （4）先判断命题p 、q 真假，进而即可判断（￢p ）∧q 真假． 解：（1）∵命题“若，则tanα=1”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）根据“命题p ：∀x ∈R ，p （x ）成立”的￢p 为“∃x 0∈R ，p （x ）的反面成立”，可知正确． （3）当时，则函数y=sin （2x+φ）=sin （2x+）=±cos2x 为偶函数；反之也成立．故“”是“函数y=sin （2x+ϕ）为偶函数”的充要条件；（4）∵，故不存在x 0使成立，∴命题p 是假命题，￢p 是真命题； 对于命题q ：取，β=π，虽然，但是α＜β，故命题q 是假命题．∴（￢p ）∧q 为假命题，因此（4）不正确． 综上可知：真命题的个数2． 故选B ．考点：复合命题的真假；命题的真假判断与应用．11．C【详解】试题分析：根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2•=8，当且仅当m=，n=时取等号．故选C．考点：基本不等式在最值问题中的应用．12．B【解析】试题分析：由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值，根据f（n）的解析式，用裂项法求得数列{}的前n项和为S n的值，可得S2011的值．解：由题意可得A（0，0），函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，0）处的切线l的斜率为0+2b=2b，再根据l与直线x+y+3=0垂直，可得2b•（﹣1）=1，∴b=﹣．∵f（n）=n2+2bn=n2﹣n=n（n﹣1），∴=﹣，故数列{}的前n项和为S n =0+（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（）=1﹣，∴S2011=1﹣=，故选：B．考点：数列与函数的综合；数列的求和．13．80【解析】试题分析：a3=20﹣a6，利用等差数列的性质可得：a3+a6=20=a1+a8．再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．解：∵a3=20﹣a6，利用等差数列的性质可得：a3+a6=20=a1+a8．则S8==4×20=80．故答案为：80．考点：等差数列的前n项和．14．﹣【解析】试题分析：利用对数的定义将已知的等式变形，得到关于a的方程，求出方程的解得到a 的值，将所求式子的底数利用余弦函数为偶函数化简，再将其中的角π变形为8π﹣π，利用诱导公式cos（2kπ+α）=cosα化简，再利用余弦函数为偶函数化简，将角变形后利用诱导公式cos（π﹣α）=﹣cosα化简，利用特殊角的三角函数值求出底数的值，将底数的值及指数a的值代入，计算后即可得到所求式子的值．解：由log a（a+6）=2得到a2=a+6，即（a﹣3）（a+2）=0，解得：a=3或a=﹣2（舍去），∴a=3，又cos（﹣π）=cosπ=cos（8π﹣π）=cos（﹣π）=cosπ=cos（π﹣）=﹣cos=﹣，则=（﹣）3=﹣．故答案为：﹣考点：运用诱导公式化简求值．15．[2，+∞）【解析】试题分析：根据函数的解析式，去绝对值符号，根据函数的单调性求得函数的值域．解：因为当x∈（﹣∞，2]时，f（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x﹣2＞2，故f（x）的值域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．考点：函数的值域．16．1＜a＜【解析】试题分析：判定函数的单调性，奇偶性，然后通过f （1﹣a）+f （1﹣a2）＜0，推出a的不等式，求解即可．解：函数f （x）=sinx+5x，x∈（﹣1，1），所以函数是增函数，奇函数，所以f （1﹣a）+f （1﹣a2）＜0，可得﹣1＜1﹣a2＜a﹣1＜1，解得1＜a＜，故答案为：1＜a＜．考点：正弦函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．17．【解析】试题分析：（1）利用，展开后代入数量积公式求得答案；（2）由+λ与λ﹣互相垂直，得（+λ）•（λ﹣）=0，展开后化为关于λ的方程求解．解：（1）∵，的夹角为120°，||=1，||=3，∴==25×12﹣10×1×3×cos120°+32==49．∴=7；（2）若+λ与λ﹣互相垂直，则（+λ）•（λ﹣）=0，即λ+（λ2﹣1）﹣λ．∴λ+（λ2﹣1）﹣9λ=0．∴，整理得：3λ2+16λ﹣3=0．解得：λ=．考点：平面向量数量积的运算．18．（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）由题意数列为非0数列，递推关系式取倒数、即可判断数列是首项为5，公差为4的等差数列．（2）求出数列的通项公式，求出a1a2令它等于通项，求出n的值即可得到结论．解：（1）根据题意及递推关系有a n≠0，因为，取倒数得：，即所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．（2）由（1）得：，又．所以a1a2是数列{a n}中的项，是第11项．考点：等差关系的确定；数列的函数特性．19．（1）[+kπ，+kπ]（k∈Z）；（2）．【解析】试题分析：（1）将函数解析式第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的递减区间为[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）列出不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递减区间；（2）将函数解析式分母看做“1”，以及分子中“1”利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，把tanx的值代入即可求出值．解：（1）f（x）=1+sinxcosx=1+sin2x，∵ω=2，∴T=π；令+2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z），解得：+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），则函数f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]（k∈Z）；（2）由已知f（x）==∴当tanx=2时，f（x）==．考点：二倍角的正弦；函数的值；正弦函数的单调性．20．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用数列的前n项和，通过S n﹣S n﹣1=a n求出数列的通项公式．（2）化简数列{b n}的通项公式b n=n（1﹣a n），利用错位相减法求解数列的和即可．解：（1）由，当n=1时得，当n≥2时得，又满足上式，所以：数列{a n}的通项公式为．（2）由．所以，得相减得：∴．考点：数列的求和．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）B=C=．【解析】试题分析：（Ⅰ）通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；（Ⅱ）通过A利用2021年6月7日17：54：00想的内角和，化简为C的三角函数，通过C的范围求出表达式的最大值，即可求出最大值时角B、C的大小．解：（Ⅰ）由已知，化为2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴，．=．∵，∴，∴当C+=，取最大值，解得B=C=．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域．22．（1）（﹣∞，﹣2）；（2）[﹣1，+∞）．【解析】试题分析：（1）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，（2）由于f（x）=x2（e x﹣1）+ax3=x2（e x﹣1+ax），令g（x）=e x﹣1+axx∈[0，+∞），求其导数g′（x）=e x+a，下面就a的值分类讨论，利用导数工具研究函数的单调性和最值，即可得a的取值范围．解：（1）当时，f′（x）=2x（e x﹣1）+x2e x﹣x2=（2x+x2）（e x﹣1）令f′（x）＞0，得x＞0或﹣2＜x＜0；令f′（x）＜0，得x＜﹣2∴f（x）的单调递增区间为（﹣2，0），（0，+∞）f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）（2）f（x）=x2（e x﹣1）+ax3=x2（e x﹣1+ax）令g（x）=e x﹣1+axx∈[0，+∞）g′（x）=e x+a当a≥﹣1时，g′（x）=e x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上为增函数．而g（0）=0，从而当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0恒成立．若当a＜﹣1时，令g′（x）=e x+a=0，得x=ln（﹣a）当x∈（0，ln（﹣a））时，g′（x）＜0，g（x）在（0，ln（﹣a））上是减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，ln（﹣a））时，g（x）＜0，即f（x）＜0综上可得a的取值范围为[﹣1，+∞）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．。
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期中考试数学试卷(文)(解析版)
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期期中考试数学试卷（文）第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（ ）A. 0B. 1C.2D. 3『答案』C『解析』联立221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即221x y +=与y x =相交于两点22⎛ ⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，故AB 中有两个元素.故选：C ．2. 设条件p ：a 2＋a ≠0，条件q ：a ≠0，那么p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』条件20p a a +≠：，即为0a ≠ 且1a ≠-，故条件20p a a +≠：，是条件0q a ≠：的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决．3. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x =，则5x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“0x ∃∈R ，2003210x x +->”的否定是“x R ∀∈，23210x x +-<” D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题『答案』D『解析』A 中，命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x ≠，则5x ≠”，故A 不正确；B 中，由2560x x --=，解得1x =-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“0x ∃∈R ，2003210x x +->”的否定是“x ∀∈R ，23210x x +-≤”，故C 不正确； D 中，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确， 故选：D ．4. 设函数()lg(1)f x x =-，则函数(())f f x 的定义域为（ ） A. (9,)-+∞B. (9,1)-C. [9,)-+∞D. [9,1)-『答案』B『解析』复合函数()()f f x 的定义域满足1x 0->且()1f x 0->，即是()1x 0,1lg 1x 0->-->，解得()x 9,1∈-，故选B点睛：在抽象函数中，若已知()f x 的定义域()x a,b ∈，那么复合函数(())f g x 的定义域指的是()g x a,b ∈（）关于x 的解集．若已知复合函数(())f g x 的定义域()x a,b ∈，()g x 的值域为()f x 的定义域．5. 设a ＜b ,函数2()()y x a x b =--的图象可能是( )A. B.C. D.『答案』C『解析』/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当23a b x +=时y取极小值且极小值为负．故选C ．6. f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈『0,1』，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值( ) A. －1B. 0C. 1D. 2『答案』C『解析』因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.7. 设0.32=a ，0.23b =，0.17c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. c a b <<C. a b c <<D. c b a <<『答案』B『解析』由题意得：0.32a ===0.23b ===，0.17c ==y =()0,∞+上是增函数且987>>b ac ∴>>本题正确选项：B.8. 函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A. a ＞1，b ＜0B. a ＞1，b ＞0 C 0＜a ＜1，b ＞0 D. 0＜a ＜1，b ＜0『答案』D『解析』由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1. 函数f (x )＝a x －b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b ＜0. 故选：D.9. 设函数f (x )=()212log ,0log ,0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a取值范围是（ ）A. ()()1,00,1-B. ()(),11,-∞-+∞C. ()()1,01,-⋃+∞D. ()(),10,1-∞-⋃『答案』C『解析』当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a >，所以22log 0a >，可得：1a >， 当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<， 综上可知：10a -<<或1a >. 故选：C.10. 将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭∣的图象向左平移6π个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A.－2B. －12C.12D.2的『答案』A『解析』将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后对应解析式为()sin 26g x x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，它的图象关于原点对称，则,3k k Z πϕπ+=∈，又2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以min ()sin 3f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故选：A ．11. 已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，()21x f x =-，则函数()()lg F x f x x =-的零点个数是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 18『答案』B『解析』()()lg F x f x x =-零点个数就是(),lg y f x y x ==图象交点个数，作出(),lg y f x y x ==图象，如图。
2021年宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第三次月考(期末考试)数学(理)试题及答案
绝密★启用前2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第三次月考（期末考试）数学（理）试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合{}21xA y y ==+，{}20B x x =-<，则A B =（）A.()1,2B.()0,2C.()1,+∞D.()2,+∞答案：A先求出集合,A B ，再利用集合的交集运算求解即可. 解：由{}1A y y =>，{}2B x x =<， 得()1,2A B ⋂=. 故选：A.2.在等比数列{}n a 中，若43a =，996a =，则1a =（） A.34B.38C.32D.35答案：B根据等比数列的通项公式即可计算. 解：解：设等比数列{}n a 公比为q ，则59496323a q a ===， 解得：2q ，则41338a a q ==. 故选：B. 3.函数()f x =定义域为（）A.()2,+∞B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)2,+∞答案：A首先根据题意得到2log 10x x >⎧⎨->⎩，再解不等式组即可.解：由题知：2002log 102x x x x x >>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨->>⎩⎩. 所以函数()f x =的定义域为()2,+∞.故选：A4.若0.12a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.1c =，则（） A.b a c >> B.b c a >>C.a b c >>D.a c b >>答案：A由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.解：0.20.20.112202b a -⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭，由对数函数的性质可得2log 0.10c =<， 故b a c >>. 故选：A点评：本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.5.已知x ，y 满足约束条件204101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩，则31z x y =+-的最小值为（）A.-6B.-7C.-8D.-9答案：D画出约束条件所表示的平面区域，根据图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.解：画出约束条件204101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩所表示的平面区域，如图所示，由目标函数31z x y =+-可化为31y x z =-++，当直线31y x z =-++过点A 时，在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由4101x y x --=⎧⎨=-⎩，解得：)(1,5A --，所以z 的最小值为()31519⨯---=-. 故选：D.点评：方法点睛：根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解； （3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解． 6.已知0>ω，则“2ω=”是“π为函数3()sin 20f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A当2ω=时，可得函数()f x 的最小正周期为π；当π为函数3()sin 20f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期时，ω不一定等于2，即可判断.解：当2ω=时，函数3()sin 20f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π； 当4ω=时，函数3()sin 20f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，π也是函数()f x 的周期.故“2ω=”是“π为函数3()sin 20f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个周期”的充分不必要条件. 故选：A.7.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（） A.5 B.6C.7D.8答案：B由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列，小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为12的等比数列，设两鼠n 天可相逢，求两数列的前n 项和加起来大于或等于33的最小的正整数n 即可. 解：设两鼠n 天可相逢，由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列，大鼠n 天打洞尺寸为122112nn -=--，小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为12的等比数列， 小鼠n 天打洞尺寸为1111221212n n --=--， 两鼠n 天打洞尺寸之和为：11112122122n nn n ---+-=-+，令1121332nn --+≥，经验证：5n =时，1121332nn --+≥不成立；6n =时，1121332n n --+≥成立；所以两鼠6日可相逢， 故选：B点评：方法点睛：数列实际应用中常见的模型：（1）等差模型：如果增加或减少的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差； （2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n 项n a 与第1n +项1n a +的递推关系，还是前n 项和n S 与前1n +和1n S +之间的递推关系. 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A.33B.3C.63D.3 答案：A解：由三视图可得，该几何体为放倒是三棱柱，底面积，高，因此棱柱的体积，故答案为A ．9.函数y=||2x sin2x 的图象可能是A. B.C D.答案：D分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 10.已知正数a ，b 满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（） A.8 B.10C.9D.6答案：C利用211b a +=将2+a b 化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.解：由2a b ab +=得211b a+=，因为0,.0a b >>，所以21222(2)()5a b a b a b b a b a +=++=++225549a b b a≥+⋅=+=， 当且仅当22a b b a=且211b a +=，即3a b ==时，等号成立.所以2+a b 的最小值为9. 故选：C点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为（）A.(),0-∞B.()0,∞+，(-1，0)C.()(),11,0-∞--D.()(),1,1,0-∞--答案：D根据切线的斜率12(1)(1)e k f a -'==+(1)01(1)f -=--解得1a =，再利用()0f x '<可解得结果.解：因为()21x e f x ax -=+，所以222(1)()(1)x x e ax e a f x ax --+-⋅'=+22(1)(1)x e ax a ax -+-=+，所以切线的斜率12(1)(1)e kf a -'==+，又曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，所以(1)011f k -==+12(1)e a -+，所以112(1)2(1)e e a a --=++，解得1a =， 所以()21x e f x ax -=+21x e x -=+22()(1)x xe f x x -'=+,由()0f x '<得0x <且1x ≠-，所以函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，(1,0)-. 故选：D点评：易错点点睛：函数的单调区间不能用符号“”连接，要用逗号隔开.12.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A.1010B.-2020C.2020D.4040答案：C根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求．解：函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ．点评：本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称．二．填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知向量a b ⊥，若()2315a b a ⋅+=，则a =________.由a b ⊥得0a b ⋅=，再根据()2315a b a ⋅+=，即可求得a . 解：解：a b ⊥，0a b ∴⋅=，又()2315a b a ⋅+=，即22315a b a ⋅+=， 即2315a =， 解得：5a =..14.在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，若()()153693218a a a a a ++++=，则8S =________. 答案：12根据等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解.解：解：()()153693218a a a a a ++++=，即366618a a +=， 即363a a +=，则()()1883684122a a S a a +==+=. 故答案为：12.15.若等边ABC 的边长为1，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=______________. 答案：29-用,CA CB 表示出,MA MB 后求数量积． 解：由已知111cos602CA CB ⋅=⨯⨯︒=， 11113223MA CA CM CA CB CA CA CB =-=--=-，11213232MB CB CM CB CB CA CB CA =-=--=-，∴22112111211122()()233242942299MA MB CA CB CB CA CA CA CB CB ⋅=-⋅-=-+⋅-=-+⨯-=- ，故答案为：29-． 16.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AB =，5AP =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.答案：9π2将三棱锥P ABC -放在长方体中，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球，球的直径为长方体的体对角线的长求解. 解：如图所示：将三棱锥P ABC -放在长方体ACBD PGEF -中，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球， 球的直径是PB ，球的半径135422r =+=， 属于三棱锥P ABC -的外接球的体积为3439ππ322⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：9π2点评：本题主要考查几何体的外接球的体积，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.三．解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数()2ln f x x a x =+.（1）当2a =-时，求函数()f x 在点(e ，f(e))处的切线方程 （2）若()()2g x f x x=+在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 答案：（1）2222e y x e e-=-（2）0a ≥（1）利用导数的几何意义可求得结果； （2）转化为()0g x '≥，即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.解：（1）当2a =-时，()22f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞， 2222()2x f x x x x -'=-=，所以函数()f x 在点(e ，f(e))处的切线的斜率为222()e f e e-'=， 又2()2f e e =-， 所以函数()f x 在点(e ，f(e))处的切线方程为2222(2)()e y e x e e ---=-，即2222e y x e e -=-. （2）因为()()2g x f x x=+22ln x a x x =++在[1,+)∞上是单调增函数， 所以322222()2a x ax g x x x x x+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立， 即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x =-取得最大值0， 所以0a ≥.点评：结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点.（1）证明：//EF 平面11BCC B .（2）求三棱锥1B AEF -的体积.答案：（1）见解析（2）4（1）连接1AC ，1BC ，根据三角形中位线的性质可得1//EF BC ，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）根据等积法，将所求转化为三棱锥1E AB F -的体积求解．解：（1）证明：如图，连接1AC ，1BC ，在三棱柱111ABC A B C -中，E 为1AC 的中点，F 为AB 的中点，所以1//EF BC ，又EF ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以//EF 平面11BCC B ．（2）解：因为AC AB ⊥，1AA AC ⊥，1AA AB A ⋂=，所以AC ⊥平面11ABB A ，又4AC =，E 为1A C 的中点，所以点E 到平面11ABB A 的距离为114222d AC ==⨯=． 又1AB F ∆的面积为112662AB F S ∆=⨯⨯=， 所以1112643B AEF E AB F V V --==⨯⨯=． 点评：本题考查空间中线面关系的证明和三棱锥体积的求法，是立体几何中的常规题型，求三棱锥的体积时常用的方法是等积法，即将所求锥体的体积转化为容易求解的同体积的三棱锥的体积求解．19.如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.（1）求cos∠CAD 的值；（2）若，求BC 的长． 答案：(1)cos 7CAD ∠=(2)3试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得cos CAD ∠=(2)利用题意结合正弦定理可得：3BC =.试题解析： （I ）在ADC中，由余弦定理得cos CAD ∠=(II)设,BAC BAD CAD αα∠==∠-∠则,71472cos CAD cos BAD sin CAD sin BAD sin α∠=∠=-∴∠=∠=∴=在ABC 中，由正弦定理， sin sin BC AC CBAα=∠ 故3BC =点睛：在解决三角形问题中，面积公式S ＝12absinC ＝12bcsinA ＝12acsinB 最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.20.设数列{}n a ､{}n b 的前n 项和分别为n S ､n T ，且21(37)2n S n n =+，2(1)n n T b =-*()n N ∈， （1）求数列{}n a ､{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n U .答案：（1）32n a n =+，2n n b =（2）1(31)22n n U n +=-⨯+（1）利用1n n n a S S -=-可求得n a ；利用1n n n b T T -=-可得12n n b b -=，可得数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得n b ；（2）根据错位相减法可求得结果.解：（1）由21(37)2n S n n =+得115a S ==， 当2n ≥时，()()22111(37)317122n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦32n =+， 当1n =时，1325a =+=也适合，故32n a n =+.由2(1)n n T b =-得1112(1)b T b ==-，得12b =，当2n ≥时，112(1)2(1)n n n n n b T T b b --=-=---，得12n n b b -=，又12b =，所以12n n b b -=，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以1222n n n b -=⨯=.综上所述：32n a n =+，2n n b =.（2）(32)2n n n n c a b n ==+⨯，所以1235282112(32)2n n U n =⨯+⨯+⨯+++⨯， 所以234125282112(32)2n n U n +=⨯+⨯+⨯+++⨯， 所以2312523(222)(32)2n n n n U U n +-=⨯++++-+⨯， 所以23143(2222)(32)2n n n U n +-=+++++-+⨯12(12)43(32)212n n n +-=+⨯-+⨯- (62)22n n =-+⨯-，所以1(31)22n n U n +=-⨯+.点评：关键点点睛：第（2）问掌握错位相减法求和的几个步骤是解题关键.21.已知函数)f x =（ae 2x +(a ﹣2)e x ﹣x. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.答案：（1）见解析；（2）(0,1).试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)∈a 进行讨论，可知当(0,1)∈a 时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a -=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a -+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.22.已知a ，()0,b ∈+∞，且242a b =.（1）求21a b+的最小值； （2）若存在a ，()0,b ∈+∞，使得不等式2113x a b -+≥+成立，求实数x 的取值范围. 答案：（1）8（2）4x ≤-或6x ≥（1）由242a b =得21a b +=，将21a b +化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果； （2）转化为min2113x a b ⎛⎫-+≥+ ⎪⎝⎭可求得结果. 解：（1）因为242a b =，所以222a b +=，所以21a b +=，因为0,0a b >>， 所以2121(2)()a b a b a b +=++4448b a a b =++≥+=， 当且仅当11,24a b ==时，等号成立. 所以21a b+的最小值为8. （2）若存a ，()0,b ∈+∞，使得不等式2113x a b-+≥+成立， 则min2113x a b ⎛⎫-+≥+ ⎪⎝⎭， 由（1）知min 218a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以|1|38x -+≥，即15x -≥， 所以4x ≤-或6x ≥.点评：结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第三次月考期末试题文补习班(含答案)
石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第三次月考（期末）试题文（补习班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.在等比数列中，若，，则A. B. C. D.3.函数的定义域为A. B.C. D.4.若，，，则A. B.C. D.5.已知x，y满足约束条件，则的最小值为A. B. C. D.6.已知，则“”是“为函数的周期”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢A. 5B. 6C. 7D. 88．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A. B. 3 C. 63 D.3 39.函数的图象可能是A. B.C. D.10. 已知正数a ，b 满足，则的最小值为（ ）．A. 8B. 10C. 9D. 611.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为A.B. ,(-1,0)C.D.，12. 已知函数，若函数的值域为R ，则实数a 的取值范围为A. B C D.二．填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则______．14.在前n 项和为的等差数列中，若，则______．15.若等边ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足,2131+= 则=•______________16.在三棱锥中，底面ABC ，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为______．三．解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，360,7A c a ∠=︒=.(1) 求sin C 的值；(2) 若7a =，求ABC △的面积.18.（本小题12分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点E ，F 分别为与AB 的中点．证明：平面．求三棱锥的体积．19．（本小题满分12分）设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且)73(212n n S n +=，)1(2-=n n b T )(*N n ∈，（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n U .20. （本小题满分12分）已知函数．Ⅰ当时，求函数在点（e, f(e)）处的切线方程Ⅱ若在上是单调增函数，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()axxx a x f 21ln )-2++=（， （1）当2=a 时，求函数()x f 的极值；（2）当0<a 时，讨论函数()x f 的单调性；（3）若对∈∀a （-3，-2），∈21,x x [1，3]恒 |)()(|3ln 2)3ln (21x f x f a m ->-+成立，求实数m 的取值范围.22.（本小题10分）已知a ，，且．Ⅰ求的最小值；Ⅱ若存在a ，，使得不等式成立，求实数x 的取值范围．2020-2021市三中补习班第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 8. 已知集合，，则A. B. C. D.9. 在等比数列中，若，，则A. B. C. D.10. 函数的定义域为A. B.C. D.11. 若，，，则A. B.C. D.12.已知x，y满足约束条件，则的最小值为A. B. C. D.13.已知，则“”是“为函数的周期”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢A. 5B. 6C. 7D. 88．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ A ）A. B. 3 C. 63 D.3 39.函数的图象可能是A. B.C. D.10. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ C ）．A. 8B. 10C. 9D. 611.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为A. B. ,(-1,0)C. D. ，12. 已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围为A. B C D.二．填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则_______．14.在前n 项和为的等差数列中，若，则__12____．15.若等边ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足,2131CA CB CM += 则=•MB MA _____-2/9_________16.在三棱锥中，底面ABC ，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为___36___．三．解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，360,7A c a ∠=︒=.(3) 求sin C 的值；(4) 若7a =，求ABC △的面积.18.（本小题12分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点E，F分别为与AB的中点．证明：平面．求三棱锥的体积．【答案】证明：如图，连接．在三棱柱中，E为的中点．又因为F为AB的中点，所以．又平面，平面，所以平面．或先证面面平行，再证线面平行，也是常见的方法解：因为，，，、平面，所以平面，又，E为的中点，所以E到平面的距离为：．因为的面积为：，所以．19．（本小题满分12分）设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且)73(212n n S n +=，)1(2-=n n b T )(*N n ∈，（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n U .20. （本小题满分12分）已知函数．Ⅰ当时，求函数在点（e, f(e)）处的切线方程Ⅱ若在上是单调增函数，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()ax xx a x f 21ln )-2++=（， （1）当2=a 时，求函数()x f 的极值；（2）当0<a 时，讨论函数()x f 的单调性；（3）若对∈∀a （-3，-2），∈21,x x [1，3]恒 |)()(|3ln 2)3ln (21x f x f a m ->-+成立，求实数m 的取值范围.22.（本小题10分）已知a，，且．Ⅰ求的最小值；Ⅱ若存在a，，使得不等式成立，求实数x的取值范围．答案1） 82）x6或x。
2023届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期中考试数学试题(理)试题(解析版)
2023届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期中考试数学试题（理）试题一、单选题1．下列六个关系式：①0{}0∈，②{}0∅∈，③{}0∅⊆，④{}0∅=，⑤A ⊆A ，⑥A A =∅；其中正确的个数为（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，空集的定义，子集的概念，交集的运算逐项判断即可.【详解】①根据元素与集合的关系可知0{}0∈正确；②集合中的元素只有一个0，所以{}0∅∈不正确；③根据空集是任何集合的子集可知{}0∅⊆正确；④空集不含任何元素，集合{}0有一个元素0，所以{}0∅=不正确；⑤因为任何集合都是本身的子集，故A ⊆A 正确； ⑥由集合的交集运算可知A A =A ,故A A =∅不正确. 故正确的有①③⑤. 故选：C 2．定积分320sin x dx π=⎰（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】B【分析】利用定积分公式可求得结果. 【详解】332203sin cos coscos012xdx xπππ=-=-+=⎰. 故选：B. 3．在ABC 中，已知222sin 2sin sin A B C +=则该三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】C【分析】根据正弦定理可得出2222a b c +=，从而可得出cos 0C <，然后可得出C 为钝角，从而得出正确的选项.【详解】因为222sin 2sin sin A B C +=， 所以根据正弦定理得，2222a b c +=， 则22220a b c b +-=-<，故cos 0C <，且(0,)C π∈， 所以C 为钝角，ABC 为钝角三角形.故选：C.4．已知点(0,1),(2,3)A B ，向量(3,1)BC =-，则向量AC =（ ） A ．(1,2)- B ．(1,2)-C ．(1,3)-D ．(1,3)-【答案】D【分析】由向量的减法和向量的坐标运算即可求出答案.【详解】设(),C x y ，所以 ()(3,1)2,3BC x y =-=--，整理得：()1,4C -，所以()()()1,40,11,3AC =--=-.故选：D.5．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()23sin 12x xf x x =+B ．()22sin 1x xf x x =+C ．()223cos 12x xf x x =+D ．()22cos 1x xf x x =+【答案】D【分析】通过函数奇偶性的定义对选项逐个进行判断，再取图象上的特殊点进行排除即可. 【详解】由图可知，()f x 在[]π,π-上的图象关于y 轴对称，所以()f x 在[]π,π-上为偶函数，故应先判断各选项中函数()f x 的奇偶性. 对A ，()()223()sin()3sin 12()12x x x x f x f x x x ---===+-+，()23sin 12x xf x x ∴=+为偶函数，故A 选项的函数()f x 为其定义域内的偶函数. 同理：对C 、D 选项的()f x 均为其定义域内的偶函数，只有B 选项的()f x 为其定义域内的奇函数，从而排除选项B.又π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对A 选项：22ππ3π3sinπ2220ππ212()12()22f ⨯⋅⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭++，所以排除A. 而由图可知()1f >-π，对C 选项：22212ππ2π+>+，()22222223πcos π3π2πππ1121π12π2πf +∴-+===-<-++，故排除C. 故选：D.6．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．若,αββγ∥∥，则αγ∥ B ．若,,m n n αβα⊥∥∥，则m β⊥ C ．若,ααβ⊥⊥m ，则//m β D ．若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥ 【答案】C【分析】根据空间中直线与平面,平面与平面的位置关系即可逐一求解. 【详解】对于A ，由平行具有传递可知A 正确；对于B ，若,n αβα⊥∥，则n β⊥，又m n ∥，则,m β⊥故B 正确； 对于C ，若,ααβ⊥⊥m ，则//m β或m β⊂，C 错误； 对于D ，由,m m αβ⊥⊥，则αβ∥，D 正确. 故选：C.7．函数()()sin sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ） A ．3πB ．2π C ．π D ．2π【答案】C【分析】将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.【详解】因为()21cos 2sin 2()sin sin cos sin sin cos 22x xf x x x x x x x -=+=+=+12224x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 所以最小正周期22T ππ==. 故选：C8．若1x =是函数()()211e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ）A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】C【分析】先根据极值点，求出参数a ，再据此求导，讨论单调性，求得最大值. 【详解】因为21()(1)e x f x x ax -=+-，故可得()()()()111222e e 21e 1x x x x f x x a ax x a x a ---'⎡⎤=+++++-+-⎣=⎦， 因为1x =是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，故可得()10f '=， 即220a +=，解得1a =-.此时()()()()121e 2e 21x xf x x x x x --'=+-=+-令()0f x '=，解得122,1x x =-=， 由0fx可得<2x -或1x >；由()0f x '<可得2<<1x -，所以()f x 在区间(),2-∞-单调递增，在()2,1-单调递减，在()1,+∞单调递增， 故()f x 的极大值点为2x =-.则()f x 的极大值为()()332421e 5e f ---=+-=.故选：C.9．图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】D【分析】由圆锥和球的体积公式列不等式求解【详解】设圆锥的底面半径为R ，高为h ，由题意得2V V ρρ≥半球圆锥，即32212ππ33R R h ⨯≥，则4h R ≤，故选：D10．若实数x ，y 满足约束条件03250210x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为（ ）A ．3-B ．3C ．4-D ．4【答案】D【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可． 【详解】解：可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值， 即直线经过点C ．解方程组3250x yx y =⎧⎨+-=⎩得(1C ，1)，所以3114max z =⨯+=． 故选：D ．11．在正方体1111ABCD A B C D -中O 为面11AA B B 的中心，1O 为面1111D C B A 的中心.若E 为CD 中点，则异面直线AE 与1OO 所成角的余弦值为（ ） A 25 B 10C 5D 5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线AE 与1OO 所成角的余弦值. 【详解】设正方体的边长为2，建立如图所示空间直角坐标系，()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,1,1,1,2A E O O ，()()12,1,0,1,0,1AE OO =-=-，设异面直线AE 与1OO 所成角为θ， 则11210cos 552AE OO AE OO θ⋅===⨯⋅. 故选：B12．有一个非常有趣的数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++≈+，其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈…，至今为止都还不确定γ是有理数还是无理数．由于上式在n 很大时才成立，故当n 较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知ln 20.693≈，ln10 2.303≈．用上式估算出的ln 5与实际的ln 5的误差绝对值近似为（ ） A ．0.003 B ．0.096 C ．0.121 D ．0.216【答案】B【分析】直接通过两种方法求出ln 5，作差取绝对值即可求出结果. 【详解】11111371ln 5ln 5234560γγ++++≈+⇒≈-， 又ln5ln10ln 2 2.3030.6931610=-≈-=． ln 5与实际的ln 5的误差绝对值近似为1370.577 1.6100.09660--≈. 故选：B.二、填空题 13．设7sin 2α=，()0,πα∈，则sin α=______． 26【分析】首先求出cos2α，再根据二倍角正弦公式计算可得.【详解】解：因为()0,πα∈，所以π0,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又7sin 27α=， 所以242cos1sin 227αα=-=， 所以26sin 2sin cos227ααα==． 故答案为：26714．若x ，y 满足约束条件20220x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩，则()()2211x y -+-的最小值为 _____．【答案】22【分析】作出平面区域，根据两点间距离的几何意义结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】如图，根据约束条件作出平面区域，其中()()()2,0,2,2,0,2A B C ----，()()2211x y -+-表示平面区域内的动点M 到定点()1,1P 的距离，∵10PA PC ==，即PAC △为以点P 为顶点的等腰三角形， ∴AC 边上的高线在PAC △内， 故()()2211x y -+-的最小值为点()1,1P 到直线20x y ++=的距离221122211d ++==+.故答案为：22.15．设函数()2,01,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，若()()4f f a =，则实数a ＝_____．【答案】2a =或3a =【分析】由分段函数解析式可得()0f x >在定义域内恒成立，由题意可得()3f a =，分0a ≥和a<0两种情况，运算求解.【详解】当0x <时，则()20f x x =>；当0x ≥时，则()10f x x =+>； 综上所述：()0f x >在定义域内恒成立，令()0t f a =>，则14t +=，解得3t =，即()3f a =， 当0a ≥时，则13a +=，解得2a =；当a<0时，则23a =，解得3a =-或3a =（舍去）； 综上所述：2a =或3a =-. 故答案为：2a =或3a =-.16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AD ==，22AB =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为___________. 【答案】32π3##32π3【分析】构造长方体，利用长方体外接球即可求得四棱锥P ABCD -的外接球的体积 【详解】如图，构造长方体111ABCD PB C D -，则长方体111ABCD PB C D -的外接球即为四棱锥P −ABCD 的外接球， 即四棱锥P −ABCD 的外接球球心O 为PC （或1AC ）的中点. 设外接球半径为r ，则()222222224r ++=，可得r =2，故四棱锥P −ABCD 的外接球的体积为3432π2π33⋅=.故答案为：32π3三、解答题17．已知等差数列{an }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2.(1)求{an }的通项公式；(2)设bn =2n a ，求数列{bn }的前n 项和. 【答案】(1)3n a n =-+；(2)3182n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【分析】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，列方程组解方程组即得解； （2）利用等比数列的求和公式求解.【详解】（1）解：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意，可得()1111224062320a d a d a d a d +++=⎧⎨+-++=⎩ 解得12,1a d ==-.3n a n ∴=-+.（2）解：由（1），可得32n n b -+=. 所以数列{}n b 是一个以4为首项，以12为公比的等比数列， 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则123n n S b b b b =++++.1412112n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=-31181822n n -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos a c b A +=． (1)证明：2B A =；(2)当4,6a b ==时，求ABC 的面积S ． 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦， 整理可证明2B A =成立.（2）由正弦定理及已知中的a 和b 的值，整理可求得sin C 值，进而利用三角形面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意：因为正弦定理：sin sin sin a b cA B C==， 所以对于2cos a c b A +=， 有sin sin 2sin cos C A B A +=，sin()2sin cos sin A B B A A ∴+=-整理得：sin cos sin cos sin A B B A A -=-，所以，sin()sin()A B A -=-，因为A ，B ，C 为ABC 的三个角， 所以A B A -=-，得2B A =. （2）由(1)及题意可得：sin sin a bA B =，46sin sin 2A A ∴=，0A π>>，sin 0A ≠，3cos 4A ∴=，sin A =1sin cos 8B B ==，()13sin sin 84C A B ∴=+=+=则11sin 6422ABCSba C ==⨯⨯=所以ABC 19．已知函数()sin f x x x =-，,()0x ∈+∞． (1)求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；(2)证明：2e ()cos e 1x x f x x ⋅+⋅>． 【答案】(1)10x y --= (2)证明见解析【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）构造函数()(22sin cos )e x g x x x x =-+，利用导数判断()g x 的单调性，从而证得不等式成立. 【详解】（1）()1cos f x x '=-，π()12f '=，ππ()122f =-，故曲线()y f x =在点ππ(,())22f 处的切线方程为ππ122y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭.即10x y --=．（2）设()(22sin cos )e x g x x x x =-+，则()(22sin cos )e (22cos sin )e x x g x x x x x x =-++--'π[2(sin )22sin()]e 4x x x x =-+-+． 由（1）知sin x x >，又π22sin()04x -+>， 所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)1g x g >=，所以，(0,)∀∈+∞x ，2e ()cos e 1x x f x x ⋅+⋅>．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，π,22ABC AB BC ∠===，E 为线段BC 的中点．(1)证明：1A B ∥平面1AEC ；(2)若11AA =，求二面角1A C E C --的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)223．【分析】（1）连接1A C 交1AC 于点O ，连接OE ，证明1OE A B ∥，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面1AEC 的法向量，根据向量的夹角公式求得二面角1A C E C --的平面角的余弦值，即可求得答案.【详解】（1）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OE ，在直三棱柱111ABC A B C 中，11ACC A 为矩形，所以O 为1A C 中点，又因为E 为BC 中点，所以1OE A B ∥，又由OE ⊂平面11,AEC A B ⊄平面1AEC ，所以1A B ∥平面1AEC ．（2）由题意知在直三棱柱111ABC A B C 中，π2ABC ∠=，故1,,BC BA BB 两两垂直，以B 点为坐标原点，1,,BC BA BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,2,0),(1,0,0),(2,0,1),(2,0,0)A E C C ，可得1(1,2,0),(2,2,1)AE AC =-=-，设平面1AEC 的法向量为(,,)m x y z =，则120220m AE x y m AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令1y =，则2,2x z ==-，所以平面1AEC 的一个法向量为(2,1,2)m =-， 因为平面1CC E 的一个法向量可取为(0,1,0)n =，设二面角1A C E C --的平面角为θ，则||11|cos ||cos ,|||||3414m n m n m n θ⋅=〈〉===++， 所以二面角1A C E C --212133⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 21．已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】(1)()*1(1)N 2n a n n n =+∈ (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到111n n a a n n -=+-，变形后求出通项公式； （2）构造()sin (0)F x x x x =->，利用导函数得到其单调性，得到sin x x <，再令n x a =，则证明出结论；（3）先不等式两边取对数，再构造()()ln 1h x x x =+-，0x >，利用导函数得到其单调性，得到ln(1)(0)x x x +<>，从而对不等式放缩得到111ln 1sin 21n a n n ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，利用累加法和放缩法证明出不等式.【详解】（1）3(2)(1)n n S n a =+当2n ≥时113(1)(2)n n S n a --=+，(1)(2)-得：13(2)(1)n n n a n a n a -∴=+-+，1(1)(1)n n n a n a --=+，即111n n a a n n -=+-， 变形为111(1)(1)122n n a a a n n n n-====+-⨯， ()1(1)22n a n n n ∴=+≥，经检验1n =时也适合． ()*1(1)N 2n a n n n ∴=+∈. （2）构造函数()sin (0)F x x x x =->，()cos 10F x x '=-≤，()F x ∴在(0,)+∞上递减，()(0)0F x F ∴<=，0x ∴>时sin x x <．∵1(1)02n a n n =+>，()*N n ∈ ∴令n x a =，则有sin 0n n a a -<（3）1(0,1]n a ∈，1sin 0n a ∴>，原不等式等价于证明： 1211111ln 1sin ln 1sin ln 1sin ln 1sin 2n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()()ln 1h x x x =+-，0x >，则()11011x h x x x-'=-=<++， 所以()()ln 1h x x x =+-在0x >上单调递减，所以()()00h x h <=，所以ln(1)(0)x x x +<>，111211ln 1sin sin 2(1)1n n n a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫∴+<<==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 令1,2,3n n =，然后累加得：1211111ln 1sin ln 1sin ln 1sin ln 1sin n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111112121222311n n n ⎛⎫⎛⎫<-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．原不等式得证． 【点睛】利用导函数证明数列相关的不等式，要结合不等式特点，构造相关的函数，再将数列代入即可，本题第三问要构造()()ln 1h x x x =+-，0x >，得到ln(1)(0)x x x +<>，再进行相应的放缩. 22．已知函数()f x =|x -1|+2|x +1|.(1)求不等式()f x <5的解集；(2)设()f x 的最小值为m .若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值.【答案】(1)42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)617. 【分析】（1）对x 分三种情况讨论解绝对值不等式得解；（2）先求出2m =，再利用柯西不等式求解.【详解】（1）解：①当1x ≥时，()(1)2(1)31f x x x x =-++=+.由()5f x <，解得43x <.此时413x ≤<； ②当11x -<<时，()(1)2(1)3f x x x x =--++=+.由()5f x <，解得2x <.此时11x -<<；③当1x ≤-时，()(1)2(1)31f x x x x =---+=--. 由()5f x <，解得2x >-.此时21x -<≤-. 综上，原不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）（2）由（1）得31,1()3,1131,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩. 当=1x -时，()f x 取得最小值2. 2m ∴=. 232a b c ∴++=.由柯西不等式得()222213229(23)43a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭. 22263217a b c ∴++≥.3c ==，即139,,171717a b c ===时，等号成立. 22232a b c ∴++的最小值为617.。