华中科技大学研究生矩阵论Matrix6-1
华中科技大学研究生矩阵论Matrix2-1
1
1
（backward identity）
§2.3 最小多项式 (minimal polynomials)
讨论 n 阶矩阵多项式的相关问题： 矩阵多项式（重点是计算） 矩阵的化零多项式（Cayley 定理） 最小多项式 Jordan标准形的应用（简化计算） 相似不变性 Jordan化的方法
n (2) 由 I A 0 知 1 2 n 0
(3) 解方程
( A 0 ) X 0 得通解
x2 x3 xn 0, x1 k
即
X k (1,0, , 0)T
于是，A关于 0 的特征向量为 X k (1,0, , 0)T , k 0, n-1 从而得T=d/dx的特征向量为 (1, x, , x ) X k , k 0.
背景：求基{i，i=1~n}, 使得 T(1 2 … n) = (1 2 …n)
1. {1 2 … n} 线性无关
1 2 n
2. L{i}是不变子空间: Ti=ii
一、变换T的特征值与特征向量
(I T )( ) O (T I )( ) O
定理2.5 (存在定理) 在复数域上，每个方阵A都相似于 一个Jordan阵JA。 含义： Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：Jordan 子块的集合惟一。 A相似于B JA 相似于JB
4 方阵A的Jordan 标准形的求法
目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA 分析方法： 在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA和P的构成。 求法与步骤：
例1 求Pn[x]上微分变换d/dx的特征值与特征向量。
华中科技大学研究生矩阵论Matrix6-1
Hermite矩阵 • 若A，B是酉矩阵，则AB和BA均是酉矩阵。
Kronecker与矩阵等价、相似关系
定理6.5（P. 141）
设矩阵A，B，为等价矩阵，则(AI)等价于(BI)
设方阵A相似与JA，方阵B相似于JB，则(AB) 相 似于(JAJB)
K-积特征值和特征向量
定理6.6（P . 142）设AFmm 的特征值、特征向量
分别是i，xi，B Fnn的特征值、特征向量分别 是 j ， yj，则
(AB) 的特征值是ij 。特征向量是(xiyj) 。
6.1 K-积和H-积的定义
例题2 设分块矩阵A = (Ast)，则 AB = (Ast B)
特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB)
例题3 快速Walsh(Hadamard)变换 yN = HNxN， 其中 H N H H N N //2 2 H H N N /2 /2 ,N 2 n,n 1 ,2 , ,H 1 [1 ]. 于是有 H N 1 1 1 1 H N /2H 2 H N /2 H 2 n . H N I IN N / /2 2 II N N /2 /2 H N /2H N /2 (H 2 IN /2 )I2 ( H N /2 )
am
nbm
n
6.1 K-积和H-积的定义
例题1 设
A
1 2
3 4,
B
3 0
0 ，计算
1
AB，BA，I2B，AB，I2A
AA B B [[aaiijb jBij]]
3 0 3 0 3 0 9 0 AB101 3010 1 0 3,
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论(华中科技大学)课后习题问题详解(1)
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论(华中科技大学)课后习题问题详解(1)
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论6稿第1章1节修改pdf
矩阵论讲稿讲稿编者：张凯院使用教材：《矩阵论》（第2版）西北工业大学出版社程云鹏等编辅助教材：《矩阵论导教导学导考》《矩阵论典型题解析及自测试题》西北工业大学出版社张凯院等编课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时第三章8学时第六章8学时第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间 一、集合与映射1．集合：能够作为整体看待的一堆东西． 列举法：},,,{321L a a a S =性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立)21S S =2121,S S S a S a ⊆∈⇒∈∀即 1212,S S S b S b ⊆∈⇒∈∀即交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+例1 R}0{2221111∈==j i a a a a A S R}0{2212112∈==j i a a a aA S ，21S S ≠ R},00{2211221121∈==a a a a A S S I R},0{21122221121121∈===j i a a a a a a a A S S U R}{2221121121∈==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等．Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的.)(,2b a S b =∈σ记作 称σ为由到的映射；称为的象， 1S 2S b a a 2为b 的象源．变换：当1S S =时，称映射σ为上的变换． 1S 例2 )2(R})({≥∈==×n a a A S j i nn j i ．映射1σ：A A det )(1=σ (R)→S 变换2σ：n I A A )det ()(2=σ ()S S → 二、线性空间及其性质1．线性空间：集合V 非空，给定数域K ，若在V 中(Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即V y x V y x ∈+∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足(1) 结合律：)()()(V z z y x z y x ∈∀++=++(2) 交换律：x y y x +=+ (3) 有零元：)(,V x xx V ∈∀=+∈∃θθ使得(4) 有负元：θ=−+∈−∃∈∀)(,)(,x x V x V x 使得.(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即V kx K k V x ∈∈∀∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足(5) 数对元素分配律：)()(V y ky kx y x k ∈∀+=+ (6) 元素对数分配律：)()(K l lx kx x l k ∈∀+=+(7) 数因子结合律：)()()(K l xkl lx k ∈∀=(8) 有单位数：单位数x x K =∈1,使得1. 则称V 为K 上的线性空间．例3 R =K 时，n R —向量空间； n m ×R —矩阵空间][t P n —多项式空间；—函数空间],[b a CC =K 时，—复向量空间； C —复矩阵空间n C n m ×例4 集合}{是正实数m m =+R ，数域}{R 是实数k k =．加法： mn n m n m =⊕∈+,R ,数乘： k m m k k m =⊗∈∈+R,,R 验证+R 是R 上的线性空间．证 加法封闭，且(1)～(2)成立． (3) 1=⇒=⇒=⊕θθθm m m m(4) m m m m m 1)(1)()(m =−⇒=−⇒=−⊕θ 数乘封闭，(5)～(8)成立．故+R 是R 上的线性空间．例5 集合R}),({212∈==i ξξξαR ，数域R ．设R ),,(21∈=k ηηβ．运算方式1 加法： ),(2211ηξηξβα++=+数乘： ),(21ξξαk k k =运算方式2 加法： ),(112211ηξηξηξβα+++=⊕数乘： ))1(21,(2121ξξξα−+=k k k k k o 可以验证与都是)(R 2⋅+)(R 2o ⊕R 上的线性空间．[注] 在R 中, )(2o ⊕)0,0(=θ, ． ),(2121ξξξα+−−=−Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一．证 设与2θ都是V 的零元素, 则212211θθθθθθ=+=+=1θ设与都是的负元素, 则由1x 2x x θ=+1x x 及θ=+2x x 可得212111)()(x x x x x x x x ++=++=+=θ 22221)(x x x x x x =+=+=++=θθ例6 在线性空间V 中，下列结论成立．θ=x 0：θ=⇒=+=+x x x x x 01)01(01θθ=k ：θθθθ=⇒=+=+k kx x k k )(kx)()1(x x −=−：()()(]1)1[()]([)1()1x x x x x x x x −=−++−=−++−=−2．减法运算：线性空间V 中，)(y x y x −+=−．3．线性组合：K c V x x i i ∈∈若存在,,, 使m m x c x c x ++=L 11, 则称x 是的线性组合，或者可由线性表示．m x x ,,1L x m x x ,,1L 4．线性相关：若有不全为零，使得m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称m x x ,,1L 线性相关．5．线性无关：仅当全为零时，才有m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称m x x ,,1L 线性无关．[注] 在R 中, )(2o ⊕)1,1(1=α, )2,2(2=α线性无关；)1,1(1=α, )3,2(2=α线性相关．（自证）三、基与坐标1．基与维数：线性空间V 中，若元素组满足 n x x ,,1L (1) 线性无关；n x x ,,1L (2) V x ∈∀都可由线性表示．n x x ,,1L 称为n x x ,,1L V 的一个基, 为n V 的维数, 记作n V =dim ，或者V . n 例7 矩阵空间n m ×R 中, 易见(1) ),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==线性无关；(2) ．∑∑==×==mi nj j i j i n m j i E a a A 11)(故),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==是n m ×R 的一个基, .mn n m =×dimR2．坐标：给定线性空间V 的基，当时，有n n x x ,,1L n V x ∈n n x x x ξξ++=L 11．称n ξξ,,1L 为在给定基下的x n x ,,1L x 2坐标，记作列向量．Τ1),,(n ξξαL =例8 矩阵空间2R ×中，设22)(×=j i a A ．(1) 取基 ，22211211,,,E E E E 2222212112121111E a E a E a E a A +++=坐标为Τ22211211),,,(a a a a =α(2) 取基 , , , =11111B =11102B =11003B=10004B 422432132122111)()()(B a B B a B B a B B a A +−+−+−= 421223122121112111)()()(B a a B a a B a a B a −+−+−+=坐标为Τ21221221111211),,,(a a a a a a a −−−=β[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同． 例如：在上述两个基下的坐标都是；22n n E A =Τ)1,0,0,0(11E A =在上述两个基下的坐标不同．Th2 线性空间V 中，元素在给定基下的坐标唯一． 证 设V 的基为，对于，若 n x x ,,1L n V x ∈ n n x x x ξξ++=L 11n n x x ηη++=L 11则有 θηξηξ=−++−n n n x x )()(111L因为线性无关, 所以n x x ,,1L 0=−i i ηξ, 即),,2,1(n i i i L ==ηξ.故的坐标唯一．x n 例9 设线性空间V 的基为, 元素在该基下的坐标为n x x ,,1L j y ),,2,1(m j j L =α, 则元素组线性相关（线性无关）m y y ,,1L ⇔向量组m αα,,1L 线性相关（线性无关）．证 对于数组, 因为m k k ,,1L θαα=++=++))(,,(11111m m n m m k k x x y k y k L L L 等价于θαα=++m m k L 11k , 所以结论成立. 四、基变换与坐标变换1．基变换：设线性空间V 的基(Ⅰ)为, 基(Ⅱ)为, 则n n x x ,,1L n y ,,1L y+++=+++=+++=n nn n n nn n nn x c x c x c y xc x c x c y x c x c x c y L L L L L L 22112222112212211111 C=nn n n n n c c c c c c c c c L M M M L L 212222111211写成矩阵乘法形式为 (C x x y y n n ),,(),,11L L =称上式为基变换公式，C 为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵.[注] 过渡矩阵C 一定可逆. 否则C 的个列向量线性相关, 从而n n y ,,1L y 1−线性相关（例9）．矛盾！由此可得111),,(),,(−=C y y x x n n L L称C 为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵．2．坐标变换：设在两个基下的坐标分别为n V x ∈α和β,则有 =++=n n x x x ξξL 11α),,(1n x x Ln n y y x ηη++=L 11β),,(1n y y L =βC x x n ),,(1L =由定理2可得βαC =，或者，称为坐标变换公式. αβ1−=C 例10 矩阵空间22R ×中，取基(Ⅰ) , , ,=10011A −=10012A =01103A−=01104A (Ⅱ) , , , =11111B =01112B =00113B=00014B(1) 求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵； (2) 求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式． 解 采用中介法求过渡矩阵.基(0)：, , ,=000111E =001012E =010021E=100022E (0)→(Ⅰ)：1222112114321),,,(),,,(C E E E E A A A A = (0)→(Ⅱ)：2222112114321),,,(),,,(C E E E E B B B B =，−−=00111100110000111C=00010011011111112C (Ⅰ)(Ⅱ)：→=),,,4321B B B B (2114321),,,(C C A A A A −=−−==−0100012211101112210110011010011001212211C C C C+++++++==332143243214321432122221ηηηηηηηηηηηηηηηξξξξC五、线性子空间1．定义：线性空间V 中，若子集V 非空，且对1V 中的线性运算封闭，即 (1) 11,V y x V y x ∈+⇒∈∀ (2) 11,V kx K k V x ∈⇒∈∀∈∀称V 为1V 的线性子空间，简称为子空间．1[注] (1) 子空间V 也是线性空间, 而且V V dim dim 1≤.(2) }{θ是V 的线性子空间, 规定dim{0}=θ. (3) 子空间V 的零元素就是1V 的零元素. 例11 线性空间V 中，子集V 是1V 的子空间⇔对11,,,,V ly kx K l k V y x ∈+∈∀∈∀．有证 充分性. ：1==l k 11,V y x V y x ∈+⇒∈∀0=l ：110 ,V y kx kx K k V x ∈+=⇒∈∀∈∀故V 是1V 的子空间.必要性. 11 ,V kx K k V x ∈⇒∈∀∈∀ （数乘封闭）11 ,V ly K l V y ∈⇒∈∀∈∀ （数乘封闭）故 （加法封闭）1V y l x k ∈+例12 在线性空间V 中，设),,2,1(m i V x i L =∈，则 }{111K k x k x k x i mm ∈++==L V是V 的子空间，称V 为由生成的子空间．1m x x ,,1L 证 m m x k x k x V x ++=⇒∈L 111∀m m x l x l y V y ++=⇒∈∀L 111:1111)()(V x l l kk x l l kk y l kx m m m ,K l k ∈∀ ∈++++=+L根据例11知，V 是1V 的子空间．[注] (1) 将V 记作span 或者．1},,{1m x x L ),,(1m x x L L (2) 元素组的最大无关组是的基； m x x ,,1L ),,(1m x x L L (3) 若线性空间V 的基为，则V ． n n x x ,,1L ),,(1n n x x L L = 2．矩阵的值域（列空间）：划分（），n m n n m j i a A ××∈==C ),,()(1ββL m j C ∈β称),,()(1n L A R ββL =为矩阵的值域（列空间）． A 易见A A R rank )(=dim ． 例13 矩阵A 的值域}C {)(n x AxA R ∈==β.证 ∈∀β左, 有 右∈= =++=Ax k k k k n n n n M L L 1111),,(βββββ∈∀β右, 有左∈++===n n n n k k k k Ax βββββL M L 1111),,( 3．矩阵的零空间：设，称n m A ×∈C }C ,0{)(n x Ax xA N ∈==为矩阵A 的零空间．易见A n A N rank )(−=dim ．Th3 线性空间V 中, 设子空间V 的基为n 1)(,,1n m x x m <L , 则存在n n m V x x ∈+,,1L , 使得为V 的基．n m m x x x x ,,,,,11L L +n 证线性表示不能由m n m x x V x n m ,,11L ∈∃⇒<+ ,,,11线性无关+⇒m m x x x L若，则是V 的基;n n m =+111,,,+m m x x x L n 否则，mn <+1线性表示不能由112,,,++∈∃⇒m m n m x x x V x L ,,,,211线性无关++⇒m m m x x x x L若，则是V 的基;m =+2211,,,,++m m m x x x x L n 否则，m ． L L ⇒<+n 2依此类推, 即得所证．六、子空间的交与和1．子空间的交：}{2121V x V x x V ∈∈=且I VTh4 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 是21V I V 的子空间． 证 212121,V V V V V V I I ⇒∈⇒∈∈θθθ非空∈+⇒∈∈+⇒∈⇒∈∀221121,,,V y x V y x V y x V y x V V y x I 21V V y x I ∈+⇒∈⇒∈∈⇒∈⇒∈∀∈∀221121,V kx V x V kx V x V V x K k I 21V V kx I ∈⇒ 所以V 是21V I V 的子空间．2．子空间的和： },{22112121V x V x x x x V V ∈∈+==+ Th5 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是V 的子空间． 证 212121,V V V V V V +⇒+∈+=⇒∈∈θθθθθ非空∈∈+=∈∈+=⇒+∈∀22112122112121,,,,,V y V y y y y V x V x x x x V V y x )()(2211y x y x y x +++=+⇒，222111,V y x V y x ∈+∈+ 21V V y x +∈+⇒22112121,,,V x V x x x x V V x K k ∈∈+=⇒+∈∀∈∀221121,,V kx V kx kx kx kx ∈∈+=⇒ 21V V kx +∈⇒所以V 是21V +V 的子空间． [注] 不一定是21V V U V 的子空间．例如：在2R 中，V )()(2211e L V e L ==与的并集为}R ,0),({212121∈=⋅==i V V ξξξξξαU易见21212121)1,1(,,V V e e V V e e U U ∉=+∈但, 故加法运算不封闭.2Th6 设V 是线性空间1,V V 的有限维子空间，则)(dim dim dim )(dim 212121V V V V V V I −+=+ 证 记 ，dim 11dim n V =22n V =，m V V =21I dim 欲证 m n n V V −+=+2121)(dim (1) ：(1n m =121121)V V V V V V =⇒⊂I I22121221)(V V V V V V V V =+⇒⊂⇒⊂Im n n n V V V −+===+212221dim )(dim (2) ：(2n m =221221)V V V V V V =⇒⊂I I12112121)(V V V V V V V V =+⇒⊂⇒⊂Im n n n V V V −+===+211121dim )(dim(3) ：设V 的基为，那么212L 1,n m n m <<21V I m x x ,,1L 扩充为V 的基： (Ⅰ) m n m y y x x −1,,,,,11L L 扩充为V 的基： (Ⅱ) m n m z z x x −2,,,,,11L L 考虑元素组： (Ⅲ)m n m n m z z y y x x −−21,,,,,,,,111L L L 因为 (Ⅰ)，V (Ⅱ) ，所以 V V =1L =2L V =+21(Ⅲ) （自证）． 下面证明元素组(Ⅲ)线性无关：设数组k 使得m n m n m q q p p k −−21,,,,,,,,111L L L m n m n m m y p y p x k x k −−+++++111111L L θ=+++−−m n m n z q z q 2211L由 (*)∈++−∈+++++=−−−−21111111)(2211V z q z q V y p y p x k x k x m n m n m n m n m m L L L 得 m m x l x l x V V x ++=⇒∈L I 1121 结合(*)中第二式得θ=+++++−−m n m n m m z q z q x l x l 221111L L(Ⅱ)线性无关0,0211======−m n m q q l l L L ⇒结合(*)中第一式得θ=+++++−−m n m n m m y p y p x k x k 111111L L(Ⅰ)线性无关0,0111======−m n m p p k k L L ⇒故元素组(Ⅲ)线性无关，从而是V 21V +的一个基． 因此 m n n V V −+=+2121)(dim ． 3．子空间的直和：},{22112121V x V x x x x V V ∈∈+==+唯一唯一记作：V2121V V V ⊕=+Th7 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是直和⇔}{21θ=V I V ． 证 充分性．已知}{21θ=V I V ：对于21V V z +∈∀，若∈∈+=∈∈+=221121221121,,,,V y V y y y z V x V x x x z 则有 2221112211,,)()(V y x V y x y x y x ∈−∈−=−+−θ22112211212211,,)(y x y x y x y x V V y x y x ==⇒=−=−⇒∈−−=−⇒θθI 故的分解式唯一, 从而V 21V V z +∈2121V V V ⊕=+．必要性．若}{21θ≠V I V ，则有21V V x I ∈≠θ．对于21V V +∈θ，有2121)(,),(,,V x V x x x V V ∈−∈−+=∈∈+=θθθθθθ即21V V +∈θ有两种不同的分解式．这与V 21V +是直和矛盾． 故}{21θ=V I V ．2推论1 V 是直和1V +2121dim dim )(dim V V V V +=+⇔推论2 设V 是直和，V 的基为，V 的基为，221V +1k x x ,,1L 2l y y ,,1L 则V 的基为．1V +l k y y x x ,,,,,11L L 证 因为 ，且 2),,,,,(11l k y y x x L L L =1V V + l k V V V V +=+=+2121dim dim )(dim所以线性无关, 故是V 的基． l k y y x x ,,,,,11L L l k y y x x ,,,,,11L L 21V +。
某211高校研究生课程《矩阵论》第4章l矩阵的因子分解剖析
(4.6.1)
引理4.6.2 设A C mn ,则
(1) AH A与AAH的特征值均为非负实数 ； (2) AH A与AAH的非零特征值相同，并且非零特征
值的个数(重特征值按重数计算)等于rank ( A).
定义4.6.1 设ACmn ,如果存在非负实数和非零向量
u Cn, v Cm使得
Au v, AH v u
定理4.6.1 若A是正规矩阵，则 A的奇异值是A的特征 值的模。
定理4.6.2 设 A是 m n 矩阵，且rank(A) = r，则存在 m阶酉矩阵V 和 n 阶酉矩阵U使得
V
H
AU
0
0 0
(4.6.5)
其中 diag(1,, r )，且1 r 0.
(4.6.5)称为矩阵 A的奇异值分解.
d1 a11 ,
dk
k k 1
,
k 2,, n
分解式 A LDU称为矩阵A的LDU分解。
一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵， A未必 能作LU分解和LDU分解。
定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)， 以e1, e2,, en为列作成的矩阵[ei1 , ei2 , , ein ] 称为 n 阶 排列矩阵，其中 i1, i2 ,, in 是1,2,…n的一个排列。
推论4.5.2 若 A是n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于实 对角矩阵，即存在n 阶正交矩阵 Q 使得
QT AQ
(4.5.13)
其中 diag(1,, n )，i (i 1,, n)是A的实
特征值。
4.6 奇异值分解
引理4.6.1 设A C mn ,则
rank( AH A) rank( AAH ) rank( A)
华中科技大学研究生数学矩阵论练习和习题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
L L{1，2，···，m }
W
W1＋W2
矩 矩阵AF m×n，两个子空间
不不变子空间
线线性变换旳数量关系：
➢线性变换旳表达 ➢线性变换旳数量关系 ➢主要旳线性变换
第1章习题选讲
P31，习题一 1（3），2，4，9，10，11 ，17，20， 23（4），26，29，30
第2章推荐习题
P58 1，2，3，6，8，9，11， 12， 13，16，19，20
第2章习题选讲
P58 1，3，6，8，9，11， 13，16， 19，20
线性空间旳问题
线性空间旳表达形式：
集合表达形式：Vn（F）=｛ 满足旳性质｝ 向量生成形式：L{1，2，···，m }
子空间类型：
L{1，2，···，m } W1＋W2 矩阵AF m×n，两个子空间 不变子空间
线性空间旳数量关系与矩阵
线性变换旳数量关系
线性变换旳给定方式 线性变换旳变换矩阵 空间分解与矩阵分解
复习与习题
2023 级矩阵论考试信息
考试时间：第16周六（12月22日），
考试地点：西12楼（详见网上告知） 答疑时间：第16周三、四、五：下午 答疑地点：逸夫科技楼（北）913#
矩阵论复习（07）
要点：
线性空间旳问题 线性变换旳数量关系 JA，mA() ，f() =|I-A | 之间旳关系 A与f(A)在Jordan原则形上旳关系 正规矩阵旳性质与应用 向量范数与矩阵范数 矩阵幂级数和矩阵函数
试题旳构造
习题选讲
P31，习题一 2，4，10，11 ，17， 23（4），26，29，30 P57，习题二 3，6，11，13， 20
试题旳构造
填空题 25% 计算题60% 证明题 15% 试题样板
华中科技大学研究生矩阵论课件
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ：
定理1·8 设W=W1＋W2，则下列各条等价：
（1）
W=W1W2
（2）
X W，X=X 1＋X2的表
是惟一的
（3） W中零向量的表示是惟一的
（4）
dim W =dimW1＋dimW2
.
26
例1
P12 eg18
例2 设在Rn×n中，子空间
W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。
线性空间的一般性的观点：
线性空间的一般形式：
V（F），元素被统称为向量：， ，，
线性空间的简单性质（共性）：
定理1 . 1：V（F）具有性质：
（1） V（F）中的零元素是惟一的。
（2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。
（3）数零和零元素的性质： 数0 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0
例3 子空间W的“直和补子空间”
.
27
1·2 内积空间
主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系。
一、 欧氏空间和酉空间 1 几何空间中度量关系的定义基础 2 内积的定义 定义1·7 (P13) ：要点 • 内积(，)是二元运算：Vn(F) F • (，)的公理性质 • (，)是任何满足定义的运算。 • 讨论(，1＋2), (，k)
（II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 }
0
0
1
0
3
1
0
3
1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基（II）的坐标Y。
1
2
§1.1 五、 子空间
概述：线性空间Vn（F）中，向量集合V可 以有集合的运算和关系： Wi V， W1W2， W1W2， 问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？
华中科技大学矩阵论样题
—4—
四、（15 分）设线性方程组 AX=b 表示如下:
x3 x1
1 x2
x3
1
x1 x2 1
（1）求 A 的满秩分解; （2）计算 A+ （3）求该方程组的最佳最小二乘解。
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五、（15 分） 设非零列向量，Rn，n2，A=TRnn, tr(A)表示矩阵 A 的迹 （1）求矩阵 A 的特征值. （2）证明 A 的最小多项式是 m()=2 tr(A) （3）写出矩阵 A 的 Jordan 标准型.
（4） (7 分)假设 A Cnn 是可逆的，证明：
其中 ， 分别为 的最大和最小的奇异值.
—2—
—3—
三、（15 分）
3 1 0 0
设矩阵 A 1 0
1 0
0 5
0
3
,求矩阵
A
的
Jordan
标准型
Hale Waihona Puke JA和可逆矩阵P,使得
P1AP=JA.
0 0 3 1
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华中科技大学研究生课程考试草稿纸
课程名称：
矩阵论
学生类别
考试日期
学号__________________
课程类别
√□公共课 □专业课
考核形式
□开卷 √□闭卷
2014.12.18 学生所在院系_______________ 姓名__________________
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华中科技大学研究生课程考试答题纸
课程名称： 学生类别
矩阵论 硕士 考试日期
课程类别
√□公共课 □专业课
考核形式
□开卷 √□闭卷
2014.12.18 学生所在院系_______________
高等工程数学讲义 华科 (矩阵论)
矩阵论为何要学矩阵论？自然界和社会发展的本质——“变”（change ）。
种子幼苗 树林 房梁、桌椅…… 婴儿小学生中学生硕士、博士……数学描述：f ：x y=f(x)：RxRy function推于T ： )(αβαT =→： βαB B T −→− transformationB α，B β具有线性结构：ααααααB B 2121∈⇒∈，，， 变换具有线性性质：)()()(2121ααααT T T +=+，)()(ααkT k T =那么α可表为向量α=（x1，… xn ）T ，T 可表为矩阵n m ij a A ⨯=)( ，αβA y T =⋯=)y (m 1因此要研究矩阵的性质。
（等于研究线性变换的性质） 如解线性方程组：Ax=b b A x 1-=⇒，1-A 存在？唯一？ 正如二次型Ax x x x a x x f T ji j i ij n ==⋯∑，，),(1若有P 使∧=⋯=)(n 1λλ，，diag AP P T 则2n 211y )()(x n T T y Px Px Ax λλ+⋯+=∧= ~标准化其中T n y y Px y )(1，，⋯== 引出相似对角化问题。
2.方阵的相似化简2.1 Jordan 标准型2．1.1 矩阵的相似及对角化A 与B 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。
A 课相似对角化~)(~1n diag A λλ，，⋯ 定理1.5.6 A 可相似对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量。
事实上i i i x Ax λ= n i ，，⋯=1 取)x (1n x P ⋯= （可选）有P -1AP =)(1n diag λλ，，⋯ 为求特征值∑==-⋯⋯-⋯⋯-=-n n I A i ns nin m ，（）（0))(||1s 1i 11λλλλλλλi λ的代数重数~i n为求特征向量解0)(=-x I A i λ有)(I A R n i λ--个线性无关的解i λ的几何重数~)(I A R n k i i λ--=定理2.1.1 对任何方阵A 的特征值i λ有i i n k ≤证明：t i t A αλα= t=1，…，i k 。
2291 博士研究生《矩阵论和随机过程》科目 - 华中科技大学研究生招生
华中科技大学博士研究生入学考试《软件工程理论基础综合》考试大纲（科目代码：3543）第一部分考试说明一、考试性质博士生入学考试是为华中科技大学招收博士研究生而设置的。
其中，“软件工程理论基础综合”考试科目主要是针对报考软件工程学科软件服务与应用、数字媒体技术方向的考生而设置的。
该课程的评价标准是高等学校优秀硕士毕业生能达到及格或及格以上水平，以保证被录取者具有基本的专业理论素质并有利于招收单位和导师择优选拔。
考试对象为参加博士生入学考试的硕士毕业生，以及具有同等学力的在职人员。
二、评价目标1．掌握软件工程领域的基本原理、技术和方法；2．“X”部分的评价目标见各选项具体要求。
三、考试形式和试卷结构1．考试形式：闭卷、笔试；2．答题时间：180分钟；3．试卷题型：基础部分为选择题、问答题、计算题；“X”部分见各选项说明；4．各部分内容的考试比例：软件工程理论基础综合 = 软件工程理论基础（40%）+X（60%）其中：“X”有二项选择（1.现代计算机网络； 2.计算机图形学），考生报名时只需选考其一。
第二部分考察要点一、软件工程理论基础部分1．软件需求需求获取；需求分类；需求验证；需求管理。
2．软件设计体系结构；面向对象技术；实时软件的设计；用户界面设计。
3．软件开发设计模式；软件复用；组件模型；内聚和耦合。
4．软件检验和验证软件测试；测试自动化；软件检验；软件检验验证。
5．软件工程管理软件过程及改进，软件生存期模型；软件度量；软件质量6．软件工程新兴技术二、“X”部分——现代计算机网络●评价目标：掌握计算机网络的基本概念、基本原理与技术；应用计算机网络理论知识分析问题与解决问题能力。
●试卷题型：填空题、选择题、简答题、计算与分析题。
针对专业特点，本课程主要考察考生对计算机网络了解、掌握的广度和深度。
熟练掌握计算机网络基础、网络体系结构、局域网技术和拥塞控制等理论知识和实现技术。
正确理解并解释协议工程基本概念和当前网络技术和研究前沿热点问题与应用的新概念和新技术。
华中科技大学研究生矩阵论Matrix3-2
v1 (1,1,0)T / 2 , v2 (0,0,1)T , v3 (1,1,0)T / 2.
u1 Bv1 / 1 (1,0)T , u2 Bv 2 / 2 (0,1)T , 已得U！
B UV
H
设UHAV=，U=[U1 U2]，V=[V1 V2]，分块运算可得
T T T
u1 Av1 / 1 , u2 Av2 / 2
1 0 1 求矩阵A和B的奇异值分解，A= 0 1 1 ； 1 1 0 。 B= 0 0 0 0 0 1 解 (1) 求AHA的特征值：1 3, 2 1, 3 0
二、矩阵的奇异值分解
1、定理314（P83）
任何矩阵AC m×n，秩(A) = r，则存在酉矩阵 UC m×m，VC n×n，使得 1 1 2 2
0 0
A U
r
证明思想：AV=U，即 Avi= σiui，i<=r; =0, i>r。 2 AHA正规，VHAHAV = r ， 酉矩阵V。
2、矩阵U，V的空间性质：
右奇异向量
V=[v 1，v2，，vr ， ，v n] =[V1 V2]C n×n的列向 量是空间C n的标准正交基。
V2的列向量是空间N(A)的标准正交基（AV2=0）。 V1的列向量是空间N(A) 的标准正交基（V1HV2=0）。
U=[u 1，u2，，ur ， ，u m] =[U1 U2]C m×m的列 左奇异向量 向量是空间C m的标准正交基。 3、奇异值分解的展开形式及其应用 A U1 rV1H 定理315（ P87）（由奇异值分解展开得到！）
矩阵论(华中科技大学)课后习题答案
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
华中科技大学人工智能与自动化学院2019-2020第一学期课表(适用于学术型硕士V8)
下午
5-6
燃料电池及其控制2-9周C12-S211
交流电机控制原理与设计10-17周C12-N507
7-8
机器人原理与控制技术2-9周C12-S505
最优控制2-9周C12-S512
晚上
9-10
数据库设计与实现1班2-9周C12- S203
线性系统理论2-9周C12-N204
人工智能与自动化学院研究生专业课课程表
自动控制系适用2019—2020学年第一学期（学术型硕士）
课程
学时
学分
控制工程数学48/3樊慧津关治洪刘慧池明；线性系统理论32/2秦肖臻关治洪；机器人原理与控制技术32/2黄剑；最优控制32/2胡晓娅、刘慧；网络化控制系统及其应用32/2周纯杰孙志刚秦元庆；交流电机控制原理与设计32/2沈安文李叶松；模糊控制32/2赵金刘洋；鲁棒控制理论基础32/2方华京郑英；现代功率变换器技术32/2程善美徐金榜；DSP原理与运动控制系统32/2李叶松尹泉；系统辨识32/2孙志刚肖力；燃料电池及其控制32/2李曦邓忠华蒋建华；非线性控制理论基础32/2关治洪胡滨刘智伟黄剑；计算神经科学32/2关治洪、胡滨、黄剑
11-12
最优化理论与方法2-9周C12-S304
分布式系统与物联网2-9周C12-S306
四
上午
1-2
复杂网络与控制2-9周C12-N510
3-4
系统科学与工程导论2-9周C12-S512
统计数据分析2-9周C12-N211
下午
5-6
7-8
晚上
9-10
建模与仿真2-9周C12-S207
11-12
中国特色社会主义理论与实践研究13班2-10周C12- S201
华中科技大学(主校区)硕士研究生公共课表
C12- N401、N404、S312、S504
0—1
华中科技大学（主校区）硕士研究生公共课表（2）
2012—2013学年第1学期
星期
时间
课程名称
班级
教学周次
教室安排
四
上午
1-2
第一外国语（英语）
23-33班
2-12、14-18周
D9-A303、A304、A305、A306、A307、A313、A314、A315、A316、A317、A318
上海交通大学出版社
徐兰芳等
1班
所有院（系、所）
80
新能源技术
32
2
明延臻
杜一庆
《能源概论》
《能源与节能技术》
中国电力出版社
黄素逸
1班
具体分班待选课结束后公布
360
2班
具体分班待选课结束后公布
0—5
研究生院公共课安排说明（3）
2012—2013学年第1学期
所承担的课程
学时
学分
任课教师
使用教材
出版社
作者
D9-A313、A314、A315
3-4
英语论文写作
4-6班
6-9周
D9-A313、A314、A315
英语论文写作
10-12班
10-12、14周
D9-A313、A314、A315
下午
5-6
7-8
晚上
9-10
11-12
二
上午
1-2
中国马克思主义与当代
1-5班
6－12、14－15周
C12-S312、N401、N404、S501、S504
中国特色社会主义理论与实践研究
华中科技大学研究生矩阵论Matrix3-1
方法3：求列的极大无关组及表示（行变换）：不用求逆 例题2 （P.69，eg5） 例题3（P.70，eg6） 法2
C r行 (A I) O P ，rank (C ) r rank ( A) C C 1 C PA O AP O ( B, B2 ) O BC
方阵的LU和LDV分解（P.61）~ 解方程
例题1（P.61eg1）设 求A的LU和LDV分解。
2 2 3 A 4 7 7 2 4 5
2 2 3 1 0 0 2 2 3 1 0 0 r 2 r 2 2 3 1 0 0 r 2 r 3 2 2 1 ( A I ) 4 7 7 0 1 0 0 3 1 2 1 0 0 3 1 2 1 0 r3 r1 2 4 5 0 0 1 0 0 6 5 2 1 0 6 8 1 0 1
1 0 1 0 1 1 2 1 1 2 A BC 0 1 0 2 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 / 2
1 1 2 二、矩阵的满秩分解 A 0 2 2 满秩分解的求法：初等变换 1 0 1 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解
Ir S A ( B, B2 ) O O ( B, BS ) B( I r , S ) BC
B ??
A ( A1 , A2 ) B A1
1 1 2 二、矩阵的满秩分解 A 0 2 2 满秩分解的求法：初等变换 1 0 1 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解
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若A相似于JA，B相似于JB，则 AB 相似于 JAJB，AB 相似于 JAJB。
更一般的结果：
T
定理6.7（P. 142） P( A, B) cij Ai B j
的特征值为
i, j0 T
P(r , t ) cij ri t j
i, j0
Kronecker积的矩阵函数性质
定理6.8（P. 143）设是f(z)解析函数，f(A) 有意义，则
H-积的基本性质： 设A，B为同阶矩阵，则
AB = BA (kA)B = A(kB) A(B + C) = AB + AC (AB)C = A(BC) (AB)H = AH BH
Kronecker和Hadamard的关系：
定理6.3（P. 139） AB 可由AB的元素构成。
K-积与矩阵乘法 定理6.2（P. 138）设矩阵A，B，C，D使得 下列运算有意义，则有
H2 HN/2
H
n 2
.
HN
H
N
/
2
I N / 2
H
N
/
2
I
N
/
2
IN/2 IN/2
(I2
HN
/2 )(H2
IN
/2)
6.1 K-积和H-积的定义
例题2 设分块矩阵A = (Ast)，则 AB = (Ast B)
特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB)
(BT A)k Vec(D) k 0
Vec( Ak DB k ) k 0
用向量化算子求解矩阵微分方程
4 A，B，XFnn ， X'(t) = AX(t) +X(t)B, X(t0) = C
VecX'(t) = (I A+BTI)VecX(t), VecX(t0) = VecC。
交换矩阵Kmn及其性质
性质：（P. 146）
a1n a2n … amn)T
1. Vec是线性算子，并保持线性关系不变：
Vec (k1A+k2B) = k1Vec (A) + k2Vec (B) 2. 定理6. 10（P. 146）Vec(ABC) = (CT A)VecB
3. Vec(AX) = (I A)VecX
令 B = X, C = I
f(A)的矩阵性质
复习选讲
正规矩阵的性质与应用
向量范数与矩阵范数
向量的p范数 矩阵的F范数和p范数
矩阵幂级数和矩阵函数
矩阵幂级数的收敛与矩阵函数的意义 矩阵幂级数的求和与矩阵函数的计算 矩阵函数与矩阵多项式
习题选讲
P150：9 P31: 1(3), 17, P58：6, 11，20 P92：11，12 ，15，
6.1 K-积和H-积的定义
例题1 设
A
1 2
43,
3 B 0
01，计算
A B [aij B] A B [aijbij ]
AB，BA，I2B，AB，I2A
A
B
1
3 0
0 1
3
3 0
0 3
1
0
0 1
9 0
0 3,
AB
3 0 3 0
2
0
1
4 0
1
6 0 12 0 0 2 0 4
例题2（P . 144） ，设
A
3 0
1
1
，B
2 1
0 1
求(AB)的特征值和特征向量
求[(AI) +(IB)]的特征值和特征向量
例题3：证明对任何方阵A, B, 有
eAB eA eB eB eA
Hadamard积的性质
定理6.9（Schur积定理）设A、B为同阶方 阵。若A和B半正定（正定），则AB亦半 正定（正定）。
例题3 快速Walsh(Hadamard)变换 yN = HNxN，
其中
HN
HN /2 H N / 2
HN/2 HN/
2
,
N
2n ,
n
1,
2, ,
H1
[1].
于是有
HN
1 1
1 1 H N /2
H2 HN/2
H
n 2
.
HN
I I
N N
/ /
2 2
IN /2 HN /2
I
N
/
2
HN
特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB)
例题3 快速Walsh(Hadamard)变换 yN = HNxN，
其中
HN
HN /2 H N / 2
HN/2 HN/
2
,
N
2n ,
n
1,
2, ,
H1
[1].
于是有
HN
1 1
1 1 H N /2
分别是i，xi，B Fnn的特征值、特征向量分别 是 j ， yj，则
(AB) 的特征值是ij 。特征向量是(xiyj) 。
(AIn) +(ImB) 的特征值是i + j ，特征向量是
(xiyj)
Kronecker和，记为AB
Kronecker与矩阵等价、相似关系
推论
若A，B正定（半正定），则AB和AB均正定 （半正定）；
f(IA) = If(A) f(AI) = f(A)I
特例：
SN(IA) = ISN(A) SN(AI) = SN(A)I
eImA Im eA
e AIm e A Im
定理的证明思路：利用定理5.12，矩阵函数可由多 项式表示。也可以直接用极限性质证明。
例题1 设 AFmn，BFst ，证明 rank (A B) = rank (A) rank (B)
0 1 A2 2 1
0 2 B2 1 2
D
4 0
6
8
例题4 设A Cmm，B Cnn，D Fmn，证明 谱半径 (A) ·(B) 1 时方程：
X = AXB + D
的解为
X Ak DB k
k 0
证 (I BT A)Vec( X ) Vec(D)
Vec( X ) (I BT A)1Vec(D)
4. Vec(XC) = (CTI)VecX
令 B = X, A = I
用向量化算子求解矩阵方程
思想：用Vec算子，结合Kronecker积将矩阵方 程化为线性方程组求解。
1、AFmm，BFnn，DFmn，AX+XB = D 分析：
AX + XB = D (IA + BTI)VecX = VecD G = (IA + BTI)， 方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即 A和-B没有共同的特征值。 例题1 （P. 147）
mn
Kmn
Eij EiTj , Eij F mn
i1 j 1
定理6.11
(1)
K
T mn
Knm ;
(2) K1n
K n1
In;
n
(3) K mn eTj I m e j .
j 1
定理6.12 设 A (aij )mn 则
Vec( A) KmTnVec( AT ). 定理6.13 设 A F m p , B F nq , 则
证明思路：利用定理3.6，有
k
l
A vrvrH , B wswsH ,
r 1
s 1
推出 AB可表示为
kl
A B
ursurHs , urs vr ws .
r 1 s1
6. 3 矩阵的向量化算子和K-积
向量化算子Vec: Fm×n Fmn
定义（P . 143）设 A = [aij]mn , 则 Vec(A) = (a11 a21 … am1； a12 a22 … am2 ；…；
/2
(H2
IN
/2 )(I2
HN
/2)
K-积，H-积的基本结果：
A和B中有一个为零矩阵，则 AB=0，AB=0 II=I，II=I 若A为对角矩阵，则AB为分块对角矩阵，AB为 对角矩阵。
K-积的基本性质
定理6.1（P. 138）设以下矩阵使计算有意义，则 • (kA)B = A(kB) • A(B + C) = AB + AC • (AB)C = A(BC) • (AB)H = AH BH • AB BA
(AB) (CD) = (AC) (BD)
意义：建立Kronecker积和矩阵乘法的相互转换。 特别情形：设 AFmm ，B Fnn，则 AB = (ImA)(BIn) = (AIm)(InB)
= (ImB) (AIn) = (AIn) (ImB) (AB) k = Ak Bk
(A1B1C1)(A2B2C2) = (A1A2)(B1B2)(C1C2) (A1B1)(A2B2)(A3B3) = (A1A2A3)(B1B2B3)
Kmn (B
A)
K
T pq
A B.
复习选讲：
线性空间的表示 线性变换与变换矩阵
线性变换的确定方法 相应变换矩阵的求法
矩阵分解与空间分解
准对角矩阵分解与不变子空间的分解 可对角化矩阵的分解与特征子空间的分解 幂等矩阵的空间分解
JA，mA() ，f() =|I-A | 之间的关系 A与f(A)在Jordan标准形上的关系
B
A
B
A
3
1 2
3 4
0
1 2
3 4
3
6
9 12
0 0
0
0
,
1 3 1 3