第七章 无穷级数38915

aqn1
等比级数 几何级数
p—级数
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第二节 无穷级数的基本性质
定理71
Sn、Wn、Tn 则
n l T i n n l m [ i u 1 v m 1 ( ) ( u 2 v 2 ) ( u n v n )]
n l [ u i 1 u ( 2 m u n ) ( v 1 v 2 v n ) ]
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第一节 无穷级数的概念
例1.讨论几何级数 (等比级数) aqn (a 0) 的敛散性．
解：如果q1 则部分和 n0
lnim Sn
a 1q
,
当q 1时 Sn随着n为奇数或偶数而等于a或等于零
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第一节 无穷级数的概念
例2.
判定级数
1 111
1
n 1n (n 1 ) 1 22 33 4 n (n 1 )
n l ( S n i W n ) m S W 10
第二节 无穷级数的基本性质
定理72
不为零的常数a后 所得到的级数
也收敛 且其和为aS 若级数 u n 发散，则级数 au n 发散
n1
n1
证：
a a n l n l ( u ( i u 1 i 1 u u m 2 m 2 u u n n ) ) a a n n l l S i n a m m
由此可见：若级数的通项不趋于零，则级数发散
注意：级数的通项趋于零不是级数收敛的充分条件 16
n1
n
解：因级数 ln n 1 发散，故级数 3ln n 1 发散．
n1
n
n1
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n
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第二节 无穷级数的基本性质
定理73
在 一 个 级 数 的 前 面 加 上 ( 去 掉 ) 有 限 项 级 数 的 敛 散 性 不 变
例如：因 为 1 1 2 2 1 3 3 1 4 n ( n 1 1 ) 是 收 敛 的
u1u2u3 un
叫 做 无 穷 级 数 ( 简 称 级 数 ) 简 记 为 u n 即 n 1 u n u1u2u3 un , n1
其中第n项un叫做级数的通项
2
第一节 无穷级数的概念
级数的部分和： 级数的前n项和
Snu1u2u3 un
称为级数的第n次部分和 部分和
S1 , S 2 , , Sn
构成一个数列．
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第一节 无穷级数的概念
级数敛散性定义：
lnim Sn S，
S un u1u2u3 un ； n1
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第一节 无穷级数的概念
级数的余项：
它们之间的差值
RnSSn= un+1un+ 2 ，
叫做这个级数的余项 用Sn作为S的近似值所产生的误差，就是余项
的绝对值 R n .
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
第七章 无穷级数 12-14学时
无穷级数的概念 无穷级数的基本性质 正项级数 任意项级数，绝对收敛 幂级数 泰勒公式与泰勒级数 某些初等函数的幂级数展开式 幂级数的应用举例
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第一节 无穷级数的概念
无穷级数： 给定一个数列{un}， 则表达式
这 表 明 级 数 a n 收 敛 u 且 和 为 a S
11
n 1
第二节 无穷级数的基本性质
例1. 判定级数
1 n1 ( 3n
2 5n
) 的敛散性．
解：因级数
n1
1 3n
和级数
n1
2 5n
故级数
1 n1 ( 3n
2 5n
)
收敛．
都收敛，
例2. 判定级数 3ln n 1 的敛散性．
定理75(级数收敛的必要条件) 如果级数
u n u 1 u 2 u n
n2
n1
收 敛 则 n n l 1 0 u n 0 i m n1 ln n n 1
证证 ：设 级 数 n 1 u n 的 部 分 和 为 S n 且 n l i S n m S 则
n l n 0 0 u i n n n n l m ( S i n n S m n n 1 1 ) n n l S i n n n n l m S i n n 1 1 m S S 0
(ln2ln1)(ln3ln2)(ln4ln3) [ln(n1)ln n] ln(n1)
因 此 n l S i n n l m l i n n 1 m ) (
所以级数发散 8
第一节 无穷级数的概念
级数举例：
级数的展开形式
11 n11 21 31 n
简写形式 一般项 备注
调和级数
的敛散性．若级数收敛，求此级数的和．
解：
所以这级数收敛 它的和是1
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第一节 无穷级数的概念
例3. 判定级数
n 1 2 3 4 n 1
ln ln ln ln
n 1 n 1 2 3
n
的敛散性．
解解 ：解 由 由 l l n n 1 1 n l n l n n 1 ) n 1 ) l n n l ( n n ( n 1 n , n 1 2 , , ( 2 , ( ) ) 得 得 到 到 n n
也收敛 且与原级数有相同的和
注意：如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定 去括号后原来的级数也收敛
例如：级数 (11)+(11)+ 收敛于零，
但级数 1–1+11+ 却是发散的
如果加括号后所成的级数发散 则原级数也必 发散
对正项级数，无论加括号或去括号，都不影响
原级数的敛散性
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第二节 无穷级数的基本性质
是 收 敛 的 所 以 级 数
121100 0 0 0 1 1 2 0 0 2 1 3 0 3 1 4 n (n 1 1 )
和级数
111 1 344556 n(n1)
都是收敛的
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第二节 无穷级数的基本性质
n
例3. 设级数 u n
n1
的 Sn
2n 1
，判定级数
un2
n1
的敛散性，若收敛，求它的和．
解：因
n1 ln im Snln im 2n12,
故级数
n
1
u
n
收敛．
因级数 u n 2 un u1 u2 , 故级数 u n 2 收敛．
n1
n1
n1
因 u1S11, u2S2u13 211 3,
故
un2
n1
1 1 1 23
1 6
.
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第二节 无穷级数的基本性质
定理74 如果一个级数收敛 则加括号后所成的级数