高三数学一轮复习讲义 专题50 排列与组合

专题50 排列与组合

考纲导读：

考纲要求: 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题; 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.

考纲解读: 解排列组合应用题要依据先组后排、先分类后分步、优限等思想，具体的题型有单限、双限、捆绑、插空（相间）、等机率（除序）、挡板等.有直接法和间接法、占位模型法.另外,要注意“谁选谁的一类问题”. 排列数与组合数公式分别有两个,这些公式的应用也是命题的本原.

考点精析：

考点1、 排列数与组合数公式

此类题主要考查排列与组合的定义和排列数与组合数公式的应用，多为公式的变形证明和解方程、解不等式等.

【考例1】解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.1C 3111C ,2C C x n x n

x n x n 解题思路：本题也可利用组合数公式的变形式，将C 1+x n ，C 1-x n 都用C x n 来表示，即

C 1+x n =1+-x x n C x n ，C 1-x n =1+-x n x C x n ，从而方程C 1+x n =311C 1-x n 可化为1

+-x x n C x n =311×1

+-x n x C x n ，约去C x n ，可得解. 正确答案：∵C x n =C x n n -=C x n 2，∴n －x =2x .∴n =3x .

又由C 1+x n =3

11C 1-x n 得)!1()!1(!--+x n x n =311·)!1()!1(!+--x n x n . ∴3（x －1）!（n －x +1）!=11（x +1）!（n －x －1）!.

∴3（n －x +1）（n －x ）=11（x +1）x .

将n =3x 代入得6（2x +1）=11（x +1）.

∴x =5，n =3x =15.

经检验，⎩

⎨⎧==15,5n x 是原方程组的解. 回顾与反思：本题考查了组合组公式的性质及计算.

知识链接：组合数.从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m

n C 表示. 组合数公式：

!m )1m n ()1n (n A A C m

m m n m

n +--== =)!

m n (!m !n -. 并且规定1C o n =，则有1C C n n o n ==.组合数性质. m n C =m n n

C -, m n 1m n m 1n C C C +=-+ . 【考例2】求下列各式中的n 值.

（1）3412A 140A n n =+； （2）32213A 6A 2A n n n +=+；

（3）3198A 4A -=n n .

解题思路：根据排列公式分别代入即可得解.

正确答案：（1）由排列数公式，得

（2n +1）·2n ·（2n －1）·（2n －2）

=140·n （n －1）（n －2），

整理得4n 2－35n ＋69＝0，

∴（4n －23）（n －3）=0，

∴n =3或n =4

23（舍去）， ∴n =3.

（2）由排列数公式，得3n （n －1）（n －2）=2（n +1）·n ＋6n （n －1），

整理得3n 2－17n ＋10＝0，

解得n =5或n =

3

2（舍去），∴n =5. （3）由排列数公式，得

)!10(!94)!8(!83n n -⨯=-⨯， 化简，得n 2－19n ＋78＝0.

n =6或n =13.

∵n ≤8，∴n ＝6.

回顾与反思：解组数数方程.代入组合数公式，展开成阶乘形式直接求解，是解方程的基本方法，读者要好好掌握.而利用组合数的变形式，直接消去相同的非零公因式，则可以避免不必要的烦琐计算，可使计算简化，同时体现了数学中整体消元的思想方法.

知识链接：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.A m n =n (n －1)(n －2)…(n －m +1).这里n 、m ∈N *，且m ≤n ，这个公式叫做排列数公式.

考点2、排列应用问题

此类题主要通过应用题来进行考查，涉及的方法和题型都较多，是高考考查的重点内容.

【考例1】 (·北京四中)只用1,2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )

A. 6个

B. 9个

C. 18

D. 36个

解题思路：先按条件将出现重复的数字按排列分为三类,每一类可以有33A 种排列,由分

步计数原理可得结论.

正确答案：由题意必有一个数使用了两次,这两次在四位数中可以居于14位或13位或

24位,共有3种排放法,将其视为一个整体,则4位数共有33318A =种排法.故应选C.

回顾与反思：本题考查了排列组合的应用,考查了考生灵活应用所学的知识分析与处理分问题的能力.

知识链接：涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊位置上元素的选法，再考虑其他位置上的其他元素（这种方法叫做特殊位置或特殊元素法）；或者先求出有加限制条件的排列数，再减去不全条件的排列数（也叫做间接法或排除法）.设计解题方案时，要合理、完备，做到无重复，无遗漏，特别地，分类时标准要统一.

【考例2】 (·西城区抽样)在1，2，3，4，5这五个数字所组成的没有重复数字的三位

数中，其各个数字之和为9的三位数共有( )

A ．6个

B ．9个

C ．12个

D ．18个

解题思路：符合条件的三位数共有两类,即由1,3,5或2,3,4所组成的三位数.

正确答案：各数字之和为9可以取的不重复三个数字分别为:1,3,5; 2,3,4.

其分别组成的三位数共有333312A A +=, 故应选C.

回顾与反思：本题考查了排列组合计数在实际问题的中应用, 其体现了常规的排列数与组合问题的实际操作与题型间的灵活变换.三位数需要针对各自的实际问题进行分析,解题中要注意数的不重不漏的分析与求解.

知识链接：“元素分析法”“位置分析法”是解决排列问题的最基本方法，它们的共同点是先考虑特殊元素的要求.有两个约束条件时，往往以一个约束条件为轴心展开讨论，但要兼顾其他条件的约束.直接法、间接法、插入法、捆绑法、对称法，都是分析问题的常用方法.

考点3、组合应用问题

此类题主要通过应用题来进行考查，涉及的方法和题型都较多，是高考考查的重点内容.

【考例1】如图，要用三根数据线将四台电脑A 、B 、 C 、D 连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案的的 种数共（ ）

A ．32

B ．16

C ．15

D ．12

解题思路：可以将四台电脑看作是四个点,作出平面

图形来辅助理解即可得如下解法.

正确答案：画一个正方形和它的两条对角线，在这６

条线段中，选３条的选法有3620C =种．当中，４个直角三角形不是连接方案，故不同的连

接方案共有36420416C -=-=种．故答案选B.

回顾与反思：如何区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于：当取出某m 个元素后，如果改变顺序，就得到一种新的取法，就是排列问题；如果改变顺序，所得结果还是原来的取法，这就属于组合问题.

知识链接：计算组合数问题时，常先设计一个组合的方案(有可能事实上做不到)，根据方案，利用两个原理和组合数公式求解.

【考例2】 (·雅礼中学月考)（理）已知}5,4,3,2,1{==B A ，从A 到B 的映射f 满足：①(1)(2)(3)f f f ≤≤(4)f ≤(5)f ≤；②f 的象有且只有２个．则适合条件的映射f 的个数是

Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．40 Ｄ．80

解题思路：将A 集合中的元素利用隔板法分为两个有序组,再从B 集合中选出两个元素,按有序的对应方式对应即可得结论.

正确答案：从集合B 中任选两个元素有2

510C =种选法,将之按从小到大排列好,在按从

小到大排列的1,2,3,4,5中的4个空插入一个隔板将它们分为两组有144C =种隔法,

将隔开的 A 如 B C