高三数学一轮复习讲义 专题50 排列与组合

专题50 排列与组合考纲导读：考纲要求: 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题; 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.考纲解读: 解排列组合应用题要依据先组后排、先分类后分步、优限等思想，具体的题型有单限、双限、捆绑、插空（相间）、等机率（除序）、挡板等.有直接法和间接法、占位模型法.另外,要注意“谁选谁的一类问题”. 排列数与组合数公式分别有两个,这些公式的应用也是命题的本原.考点精析：考点1、 排列数与组合数公式此类题主要考查排列与组合的定义和排列数与组合数公式的应用，多为公式的变形证明和解方程、解不等式等.【考例1】解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.1C 3111C ,2C C x n x nx n x n 解题思路：本题也可利用组合数公式的变形式，将C 1+x n ，C 1-x n 都用C x n 来表示，即C 1+x n =1+-x x n C x n ，C 1-x n =1+-x n x C x n ，从而方程C 1+x n =311C 1-x n 可化为1+-x x n C x n =311×1+-x n x C x n ，约去C x n ，可得解. 正确答案：∵C x n =C x n n -=C x n 2，∴n －x =2x .∴n =3x .又由C 1+x n =311C 1-x n 得)!1()!1(!--+x n x n =311·)!1()!1(!+--x n x n . ∴3（x －1）!（n －x +1）!=11（x +1）!（n －x －1）!.∴3（n －x +1）（n －x ）=11（x +1）x .将n =3x 代入得6（2x +1）=11（x +1）.∴x =5，n =3x =15.经检验，⎩⎨⎧==15,5n x 是原方程组的解. 回顾与反思：本题考查了组合组公式的性质及计算.知识链接：组合数.从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示. 组合数公式：!m )1m n ()1n (n A A C mm m n mn +--== =)!m n (!m !n -. 并且规定1C o n =，则有1C C n n o n ==.组合数性质. m n C =m n nC -, m n 1m n m 1n C C C +=-+ . 【考例2】求下列各式中的n 值.（1）3412A 140A n n =+； （2）32213A 6A 2A n n n +=+；（3）3198A 4A -=n n .解题思路：根据排列公式分别代入即可得解.正确答案：（1）由排列数公式，得（2n +1）·2n ·（2n －1）·（2n －2）=140·n （n －1）（n －2），整理得4n 2－35n ＋69＝0，∴（4n －23）（n －3）=0，∴n =3或n =423（舍去）， ∴n =3.（2）由排列数公式，得3n （n －1）（n －2）=2（n +1）·n ＋6n （n －1），整理得3n 2－17n ＋10＝0，解得n =5或n =32（舍去），∴n =5. （3）由排列数公式，得)!10(!94)!8(!83n n -⨯=-⨯， 化简，得n 2－19n ＋78＝0.n =6或n =13.∵n ≤8，∴n ＝6.回顾与反思：解组数数方程.代入组合数公式，展开成阶乘形式直接求解，是解方程的基本方法，读者要好好掌握.而利用组合数的变形式，直接消去相同的非零公因式，则可以避免不必要的烦琐计算，可使计算简化，同时体现了数学中整体消元的思想方法.知识链接：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.A m n =n (n －1)(n －2)…(n －m +1).这里n 、m ∈N *，且m ≤n ，这个公式叫做排列数公式.考点2、排列应用问题此类题主要通过应用题来进行考查，涉及的方法和题型都较多，是高考考查的重点内容.【考例1】 (·北京四中)只用1,2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A. 6个B. 9个C. 18D. 36个解题思路：先按条件将出现重复的数字按排列分为三类,每一类可以有33A 种排列,由分步计数原理可得结论.正确答案：由题意必有一个数使用了两次,这两次在四位数中可以居于14位或13位或24位,共有3种排放法,将其视为一个整体,则4位数共有33318A =种排法.故应选C.回顾与反思：本题考查了排列组合的应用,考查了考生灵活应用所学的知识分析与处理分问题的能力.知识链接：涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊位置上元素的选法，再考虑其他位置上的其他元素（这种方法叫做特殊位置或特殊元素法）；或者先求出有加限制条件的排列数，再减去不全条件的排列数（也叫做间接法或排除法）.设计解题方案时，要合理、完备，做到无重复，无遗漏，特别地，分类时标准要统一.【考例2】 (·西城区抽样)在1，2，3，4，5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有( )A ．6个B ．9个C ．12个D ．18个解题思路：符合条件的三位数共有两类,即由1,3,5或2,3,4所组成的三位数.正确答案：各数字之和为9可以取的不重复三个数字分别为:1,3,5; 2,3,4.其分别组成的三位数共有333312A A +=, 故应选C.回顾与反思：本题考查了排列组合计数在实际问题的中应用, 其体现了常规的排列数与组合问题的实际操作与题型间的灵活变换.三位数需要针对各自的实际问题进行分析,解题中要注意数的不重不漏的分析与求解.知识链接：“元素分析法”“位置分析法”是解决排列问题的最基本方法，它们的共同点是先考虑特殊元素的要求.有两个约束条件时，往往以一个约束条件为轴心展开讨论，但要兼顾其他条件的约束.直接法、间接法、插入法、捆绑法、对称法，都是分析问题的常用方法.考点3、组合应用问题此类题主要通过应用题来进行考查，涉及的方法和题型都较多，是高考考查的重点内容.【考例1】如图，要用三根数据线将四台电脑A 、B 、 C 、D 连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案的的 种数共（ ）A ．32B ．16C ．15D ．12解题思路：可以将四台电脑看作是四个点,作出平面图形来辅助理解即可得如下解法.正确答案：画一个正方形和它的两条对角线，在这６条线段中，选３条的选法有3620C =种．当中，４个直角三角形不是连接方案，故不同的连接方案共有36420416C -=-=种．故答案选B.回顾与反思：如何区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于：当取出某m 个元素后，如果改变顺序，就得到一种新的取法，就是排列问题；如果改变顺序，所得结果还是原来的取法，这就属于组合问题.知识链接：计算组合数问题时，常先设计一个组合的方案(有可能事实上做不到)，根据方案，利用两个原理和组合数公式求解.【考例2】 (·雅礼中学月考)（理）已知}5,4,3,2,1{==B A ，从A 到B 的映射f 满足：①(1)(2)(3)f f f ≤≤(4)f ≤(5)f ≤；②f 的象有且只有２个．则适合条件的映射f 的个数是Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．40 Ｄ．80解题思路：将A 集合中的元素利用隔板法分为两个有序组,再从B 集合中选出两个元素,按有序的对应方式对应即可得结论.正确答案：从集合B 中任选两个元素有2510C =种选法,将之按从小到大排列好,在按从小到大排列的1,2,3,4,5中的4个空插入一个隔板将它们分为两组有144C =种隔法,将隔开的 A 如 B C两组依次与B中的两个元素相对应,即可得符合条件的映射,即得适合条件的映射f共有10440⨯=个,应选C.回顾与反思：本题考查了映射的概念及排列组合的应用.隔板法在解此类问题中的灵活应用问题及考生对概念综合性应用问题的灵活处理能力.知识链接：对具体的组合应用题，可以利用两个基本原理并结合组合数公式进行求解.解决组合应用题的常用方法是：首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类计数原理；然后局部分步，用到分步计数原理.考点4、排列与组合的综合应用问题此类题主要通过应用题来进行考查，涉及的方法和题型都较多，是高考考查的重点内容.【考例1】(·海淀区期中)某采访小组共8名同学，其中男生6名，女生2名.现从中按性别分层随机抽取4名同学参加一项采访活动，则不同的抽取方法共有（）A. 40种B. 70种C. 80种D. 240种解题思路：先求得分层抽样的抽样比,再根据抽样比决定男女生各需要抽取多少人,利用组合计数法计算可得结论.正确答案：由题意可知按分层抽样抽取4名同学,抽样比为12, 需从男生中抽取3名,从女生中抽取1名,即得共有316240C C=,故应选A.回顾与反思：本题考查了抽样统计中分层抽样的概念及排列组合的实际应用.知识链接：排列组合综合应用.①整体分类.对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，运用分类计数原理.②局部分步.整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步时不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，运用分步计数原理.【考例2】(·大同市调研)5个男生2个女生排成一排,若女生不能排在两端,且又必须相邻,则不同的排法总数有( )A.480种B. 960种C. 720种D. 1440种解题思路：将两名女生作为一个整体,男生先排,再将女生插入5名男生中即可得结论.正确答案：两名女生捆绑有222A=种排法,将男生先排有55120A=种排法,将两名女生插入5名男生中的4个空中有共有12024960⨯⨯=种不同的排法,故应选B.回顾与反思：本题考查了排列组合知识解相邻相间问题的排队问题,体现了数学知识在实际生活中的实际应用.知识链接：在不知道如何解的时候，将题目条件与结论做一个比较，明确得到结论需要什么样的条件，或者将问题转化为一个等价命题.“命题的等价转化”是重要的数学思想方法，解题时应灵活使用.创新探究：【探究1】用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相邻部分涂不同色，则涂色的方法共有种.创新思路：本题考查应用排列组合方法解决涂色问题.其有两种解决方式,分类按颜色涂色法和分步按区域涂色法.解析:按排列中相邻问题处理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的颜色.分类：若(1)(4)同色，有A 35种，若(2)(4)同色，有A 35种，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A 45种.由加法原理，共有N =2A 35+A 45=240种.【探究2】在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212111121212121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n m n m n m m n n m mn n m m n n m +++++++++创新思路：考查组合的概念及加法原理.分类讨论思想及间接法.解析: 解法一：第一类办法：从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2n 个；第二类办法：从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；第三类办法：从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1n 个.由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形.解法二：从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个.所以，个数为N =C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个.故应选C.方法归纳：1.各种与元素的位置、顺序无关的组合的问题，常见的题型有：选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题.解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“ 分步”去解决.将复杂问题通过两个原理化归为简单问题，对解排列组合综合问题往往是“ 先组合，后排列.2.在求解排列与组合应用问题时，应注意：①把具体问题转化或归结为排列或组合问题；②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；③分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；④列出式子计算和作答.3.解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种.4.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.过关必练：一、选择题:1. (·江西九校模)只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（ ）A.6个B.9个C.18个D.36个2. (·扬州二模)对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止. 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有（ ）A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种3. (·湖北八校二联)用四种不同的颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面染色，要求四种颜色用完，且相邻两个面涂不同的颜色，则所有不同的涂色方法共有（ ）A ．24种B ．96种C ．72种D ．48种4. (·成都市摸底)从1、3、5、7中任取两个数字,从0、2、4、6、8中任取两个数字组成没有重复数字的四位数,其中能被5带除的四位数的个数有( )A.360B. 720C. 300D.2405. (·盐城二模)现要给四棱锥ABCD P -的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有4种，则不同的涂色方案的种数共有A. 36B. 48C. 72D. 96二、填空题:6. (·盐城三模).现有3人从装有编号为1，2，3，4，5的五个小球的暗箱中每人摸出一只球（摸后不放回）,则有两人所摸的小球编号是连号,且三人编号不连号的摸法种数为 .7. (·南京二模)在由5,3,1,0所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数共有 个．8. (·江苏)（13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。