第13章 习题解答

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B X1
X1 C
P
L
CD杆： N1 X 1 P AD杆： N 2 X 1 P
AB杆： N3 X1
BC杆： N 4 X 1 CA杆： N5 2( P X1 ) BD杆： N6 2 X1
A
L
D
解法一：利用卡氏定理。 先求约束反力：YA P(), X D P(), YD P()
B
PLh2 () 2 EI L M ( x ) M ( x ) h M ( x ) M ( x ) 1 1 2 2 A dx1 dx2 0 0 EI m f EI m f
令mf=0
h 1 L { ( Px1 )( 1)dx1 ( PL )( 1)dx2 } 0 F=0 EI 0
P2 R3 2 2 P 2 R 3 sin d 2 EI 0 8EI

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1
13.4 z y
80N.m
1000N
解：计算简图为
360N
作内力图 x
80N.m
80N.m
M2 T2 U dx dx l 2 EI l 2GI P
2
(T) (My)
36N.m
（2）求A处转角，受力图如图所示
ｘ ， M( ｘ AB段： M ( １) Px １ １) 1
x1 x3 D RD=P x2 C
ｘ BC段： M ( ｘ ２) Ph， M ( ２) 1
P A
B
x2 L
ｘ ， M( CD段： M ( ｘ 3 ) Px 3 3) 0
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例题、 如图所示，桁架各杆材料相同，横截面积相等，试求各 杆的内力。
B C
P
L
B X1
X1 C
P
L
A
L
D
A
L
D
解：一次内力静不定问题。 以BD杆为多余约束，假想地把它截开，并代以多余约束 反力，得到相当系统。 问题转化为：在切口两侧相对位移Δ1 =0的条件下，计算X1
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-P L
1
A L
D
A
D
1 L
解法二：利用莫尔积分。 基本静定系在P作用下，各杆的轴力如图所示。 基本静定系在单位力作用下，各杆的轴力如图所示。
变形协调方程： 1 11 X 1 1P 0
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物理方程：1P
Ni Ni 2(1 2 ) PL Li EA EA i 1
PL ( L 2h ) 2 EI
( )
9
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13.14（b） 试求截面Ａ的水平位移和转角。
B x2 C
（1）求水平位移，受力图如图所示
， M( ｘ AB段： M (ｘ １) - Px １ １) -x １
BC段： M (ｘ ｘ ２) - Ph， M ( ２) -h 由对称性，得到：

0.2
2 2 My Mz
0
0.2
2 EI
T2 dx 0.2 2GI P

0.4
2

0
(180x) 2 (500x) 2 2 EI

802 dx 0.2 2GI P
0.4
28.537 31.83 64.4( N .mm)
(Mz)
100N.m 南昌航空大学科技学院
2
13.8（a） 试求截面B的转角和挠度。 解：虚加力偶 mf mf M ( x) Px m f x M ( x ) M ( x ) x, 1 P m f
2P B P
C
P
L
2P
B
P
C
Q
F
P-Q-F D
-2P
2(P F )
0
A
L
D
P-F A 3P-F
P-Q-F
解：Ｃ处虚加Ｆ和Ｑ，求出约束反力。 使用节点法，求出各杆的轴力，并标出在图上。
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应用卡氏定理，求出Ｃ点的位移。 5 N N xC i i Li （F=Q=0） i 1 EA F
M ( xi ) M ( xi ) dxi l EI F i 1 i 令mf=0 1 h { ( Pb )( x2 )dx 2 } F=0,Q=0 EI 0 Pbh2 () 2 EI xA
3
x3
h
x2
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4
Q FA
a
b
Pm x1 C
M ( x1 ) m f Px1
再求出各杆的轴力。 变形协调方程： 1 0 6 L N N 物理方程： 1 i i Li 4(1 2 ) X 1 2(1 2 ) P EA i 1 EA X 1


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由变形协调方程和物理方程得到补充方程：
4(1 2 ) X1 2(1 2 ) P 0 P X1 解得： 2 因此，各杆的内力为： CD杆： N1 X 1 P P / 2 AD杆： N 2 X 1 P P / 2
5
13.9(b) 刚架中各杆的EI皆相等，试求截面A、B的位移。 解：A处仅有铅直方向的位移，B处仅有水平方向位移。 （1）计算A处铅直位移，虚加集中力F。
q F
x2
A
h
x1 B ql+F 2 ql+F 2
可利用对称性简化计算。 ql F q 2 M ( x1 ) 0, M ( x2 ) x2 x2 2 2 2 M ( xi ) M ( xi ) y A 2 dxi li EI F i 1 令F=0 2 l / 2 ql q 2 x2 ( x2 x2 )( )dx 2 0 EI 2 2 2
令P=0
M ( x1 ) Px1,
2 EI

l /2
0
ql q 2 ( x2 x2 )( h )dx2 2 2
ql3h ( ) 12EI
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13.9(c) 刚架中各杆的EI皆相等，试求截面A的水平位移、 铅直位移和转角。 解：虚加F与力偶 mf P m M ( x1 ) m f Px1 L AC段：
C
x2
h
x1 A F
f
BC段：
M ( x2 ) m f PL Fx2
yA
B 令mf=0
L
0
h M ( x ) M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 dx1 dx2 0 EI P EI P
h 1 L { ( Px1 )( x1 )dx1 ( PL )( L)dx 2 } 0 F=0 EI 0
PL3 ( L 3h)() 3EI
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8
C
L
P
x2
h
x1
A
mf
F
h M ( x ) M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 xA dx1 dx2 0 0 EI F EI F L h 令mf=0 1 { ( Px1 )( 0)dx1 ( PL )( x2 )dx2 } 0 F=0 EI 0 L
5ql4 () 384EI
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6
q x2 A
（2）计算B处水平位移，在B处虚加水平力P。 可利用对称性简化计算。
h x1
P ql 2 B ql 2 P
ql q 2 M ( x2 ) Ph x2 x2 2 2 2 M ( xi ) M ( xi ) xB 2 dxi l EI P i 1 i
f
x3
h
M ( x2 ) m f Pb Fx2 Qa
M ( x3 ) Qx3
yA
i 1 3 li
x2
M ( xi ) M ( xi ) dxi EI Q
1 F=0,Q=0 EI
令mf=0

h
0
Pabh ( Pb ) adx 2 ( ) 刚架中各杆的EI皆相等，试求截面A的水平位移、 铅直位移和截面C的转角。 解：虚加F、Q与力偶 mf Q FA
M ( x1 ) m f Px1
M ( x3 ) Qx3
a
b
Pm x1 C
f
M ( x2 ) m f Pb Fx2 Qa
6 6
Ni Ni 4(1 2 ) PL 11 Li EA EA i 1
解得：
P X1 2
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13.17 如图所示，桁架各杆材料相同，横截面积相等，试求节 点Ｂ与Ｄ间的相对位移。 2
M(x1 ) M(x1 ) M(x2 ) M(x2 ) A dx 1 dx 2 EI1 EI2 0 0
Ph h L ( ) （ 2E I1 I 2
h
L
x1 1 A RA=1/L
x3 D RD=1/L
）
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13.16 如图所示，桁架各杆材料相同，横截面积相等，试求节 点Ｃ处的水平位移和垂直位移。
令mf=0
F=0,Q=0
M ( xi ) M ( xi ) C dxi l EI m f i 1 i h 1 b Pbh { ( Px1 )( 1)dx1 ( Pb )( 1)dx2 } (b 2h )( ) 0 EI 0 2 EI
3
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P
2P
B
P
C
Q F
P-Q-F
D