高等数学第二章导数与微分(3)
高等数学 第二章 导数与微分
（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高等数学教材答案农科类
高等数学教材答案农科类答案一：第一章微分学1. 函数与极限(1) 极限的概念(2) 无穷小量与无穷大量(3) 极限运算法则(4) 两个重要极限2. 导数与微分(1) 导数的概念(2) 导数的计算(3) 函数的微分(4) 微分中值定理第二章积分学3. 不定积分(1) 不定积分的定义(2) 基本积分表(3) 换元积分法(4) 分部积分法4. 定积分(1) 定积分的概念(2) 定积分的性质(3) 定积分的计算5. 定积分的应用(1) 几何应用(2) 物理应用6. 微分方程(1) 微分方程的基本概念(2) 常微分方程(3) 一阶线性微分方程(4) 数学建模中的微分方程答案二：第一章极限与连续1. 数列极限(2) 数列极限的性质(3) 数列极限的计算2. 函数的极限(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质(3) 函数极限的计算3. 连续与间断(1) 连续的概念(2) 连续函数的性质(3) 间断点及分类第二章导数与微分4. 导数的概念与性质(1) 导数的定义(2) 导数的性质(3) 导数的计算5. 切线与法线(2) 法线的概念与性质6. 微分与近似计算(1) 微分的定义与性质(2) 微分的应用(3) 近似计算与线性化答案三：第一章函数与极限1. 函数的概念与分类(1) 函数的定义(2) 常见函数及其性质(3) 函数的分类2. 极限的概念与性质(1) 极限的定义(2) 极限的性质(3) 极限的计算方法3. 极限存在准则(1) 极限存在的几个重要准则(2) 极限不存在的情况第二章导数与微分4. 导数的定义与计算(1) 导数的定义(2) 导数的基本计算法则(3) 导数的链式法则5. 函数的凹凸性与拐点(1) 函数的凹凸性(2) 函数拐点的概念与判别方法(3) 函数图像的简化与分析6. 微分的应用(1) 极值问题与最优化(2) 误差估计与局部线性化(3) 应用题以上是关于高等数学教材中一些农科类课程的答案，希望能帮到您！。
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高等数学2导数与微分3.
《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。
=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。
dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。
通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。
d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。
dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。
解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。
解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
高等数学第二章导数知识总结
高等数学第二章知识总结在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。
微分和导数的关系求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.一.(1)单侧导数即左右导数.函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.◆求导数的方法有:(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极限）(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的实际问题.(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数导数的倒数.)(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)(6)利用隐函数求导法(7)利用参数方程确定函数的求导法.(8)利用分段函数求导法.(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连续性与可导性.二.高阶导数高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。
三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数F(x,y)=0从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化.有些隐函数不易显化,甚至不能显化.隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）(1)把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)即可。
再在方程两边分别对X求导.(2)从求导后的方程中求出y’.(3)在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.四.函数的微分.可微就可导,可导就可微.求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.常用的微分公式在书P76.五.微分的应用.1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.。
高等数学基础课课件第7讲_导数与微分(3)
2 3
2 3
2 3
(2) 参数方程求导法
设函数 y f ( x ) 由参数方程： x (t ) y (t )
1
0
0
2
确定
设 (t ), (t ) 都存在, 且 (t ) 0, x (t )存在可导的反函数 t ( x ). dy 如何求 ? dx
12
化为截距式
Y x X 3 y 3 xy ( x y ) 3 xy a
3
2 3 2 3 2 3
X
3
ax
2
Y
3
a y
2
1
线段长度：
l ( a x ) ( a y) a a
3 2 2 3 2 2 2
常数
2015-1-31 13
微分的简单应用 — 近似计算
当x 1时, 有 y dy 即 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x
t [0, 2 ]
x a( t sint ) [例2] 摆线： ,a 0 y a(1 cost )
a•
2015-1-31
2a
3
x a cos3 t [例3] 星形线： 3 y a si n t
t [0, 2 ]
内旋轮线
a
隐函数方程： x y a ,a0
1
5
2015-1-31
分析函数关系: y (t )
x (t )
t ( x)
1 1
y 通过 t 成为x 的复合函数
y [ ( x )]
利用复合函数和反函数微分法, 得
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
导数与微分
第二章 导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. . 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容要点： 1 导数的定义 2左右导数3导数的几何意义 4函数的可导性与连续性的关系一、引例1、直线运动速度设描述质点运动位置的函数为()s f t =，匀速时：tsv 时间路程=， 平均速度：tsv ∆∆=，因平均速度≠瞬时速度，则0t 到t 的平均速度为00()()f t f t v t t -=-，而0t 时刻的瞬时速度为000()()lim t t f t f t v t t →-=-2、切线问题（曲线在一点处切线的斜率）当点N 沿曲线C 趋于点M 时，若割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线因0000()()tan y y f x f x yx x x x xφ--∆===--∆ [切线应为割线的极限]当N 沿曲线M C →时，0x x →，故0000()() lim lim x x x f x f x yk x x x ∆→→-∆==∆- 即为割线斜率的极限，即切线斜率。
瞬时速度000()()limt t f t f t v t t →-=-切线斜率000()()limx x f x f x k x x →-=-两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .二、导数的定义： 1、函数在一点处的导数设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数y 取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称此极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为：00000()()limlim x x x x f x x f x y y x x =∆→∆→+∆-∆'==∆∆或0()f x '，x x dy dx=或()x x df x dx =即：已知()f x ，构造yx∆∆，求此增量比的极限，若极限存在，则可导，不存在就不可导（此时切线必垂直于x 轴）。
高职高等数学 第二章 导数与微分第三节 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则
f (x)
dx
f (x) dx
d
f (x) f (x) ln f (x)
dx f (x) u(x)v(x)[v(x) ln u(x) v(x)u(x) ]
u(x)
例 5 求指数函数 y ax a 0,且a 1 的导数
解 把 y ax 改写成 x loga y ，两边对 x 求导得
沈F(x, y) 0 y f (x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例 1 求由方程 x2 y2 R2 所确定的隐函数的导数 dy
dx
解 将方程的两边同时对 x 求导，根据复合函数求导法则得
x2 y2 R2
由复合函数及反函数的求导法则得 dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t)
(t )
，即
dy dx
dt dx
dt
dt
x a cos t
例
7
求由参数方程
y
b
sin
t
确定的函数的导数
解
Q dx a sin t, dy b cos t
dt
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) xsin x (cos x ln x sin x )
x
x
一般地 f (x) u(x)v(x) (u(x) 0)
ln f (x) v(x) ln u(x)
又 d ln f (x)
《高等数学》(同济六版)教学课件★第2章.导数与微分
( C ) 0 ( sin x ) cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x ) x
初等函数求导问题
求导法则 其他基本初等 函数求导公式
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一、四则运算求导法则
定理1. 函数 u u ( x) 及 v v( x) 都在点 x 可导
第二章 导数与微分
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义
第二章
三、导数的几何意义
例6. 设
f ( x0 h) f ( x0 h) . 存在, 求极限 lim h 0 2h
是否可按下述方法作: f ( x ) f ( x0 ) hf)( x0f h (x ) 0 0) 0 解: 原式 lim
令 t x0 0h , 则 h
原式 1 f ( x ) 1 f ( x ) f ( x0 ) 0 0 2 2
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线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
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二、导数的定义
定义1 . 设函数 若
在点
的某邻域内有定义 ,
y f ( x ) f ( x0 ) x x x0
y f ( x ) f ( x0 ) lim lim x x0 x 0 x x x0
武忠祥教授高等数学考研第二三章
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0
)n1 ,
在 x0 与 x 之间.
（二）导数应用
1.洛必达法则
若 1) lim f ( x) lim g( x) 0();
x x0
x x0
2）f ( x) 和 g( x)在 x0的某去心邻域内可导,且 g( x) 0;
f ( x0 )
定义2(左导数)
f( x0 )
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x0
x
定义3(右导数)
f( x0 )
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x0
x
定理1 可导 左右导数都存在且相等
定义4(区间上可导及导函数)
2. 微分的概念
f (b) f (a) f ( ).
ba 定理4（柯西中值定理）
设 f ( x), F ( x) 在 [a, b] 连续, 在 (a, b) 内可导， 且 F( x) 0 那么至少存在一个 (a, b) ，使
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）
所确定的隐函数, 则 d 2 y dx2
_______.
(1)
x0
【例9】(2013年1）设
y
x sint, t sint cost,
d2y dx2 t __________.
4
( t 为参数), 则 ( 2)
【例10】(2007年2,3）设函数 y 1 , 则 2x 3
2山东专升本高等数学第二章导数与微分
第二章 导数与微分【考试要求】1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数()yf x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()yf x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆， 也可记作0x x y ='，x x dydx=或()x x df x dx=．说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=和000()()()limx x f x f x f x x x →-'=- ；式中的h 即自变量的增量x ∆．2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数()y f x =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导．这时，对于任一x I ∈，都对应着()f x 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数()y f x =的导函数，记作y '，()f x '，dy dx 或()df x dx．显然，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=．3．单侧导数（即左右导数）根据函数()f x 在点0x 处的导数的定义，导数0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此0()f x '存在（即()f x 在点0x 处可导）的充分必要条件是左右极限 000()()lim h f x h f x h-→+- 及000()()lim h f x h f x h+→+- 都存在且相等．这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作0()f x -'和0()f x +'，即0000()()()lim h f x h f x f x h--→+-'=，0000()()()lim h f x h f x f x h++→+-'=．现在可以说，函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在并且相等．说明：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在闭区间[,]a b 上可导． 4．导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即0()tan f x α'=，其中α是切线的倾角．如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程和法线方程分别为： 切线方程：000()()y y f x x x '-=-；法线方程：0001()()y y x x f x -=--'． 5．函数可导性与连续性的关系 如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必连续，但反之不一定成立，即函数()yf x =在点0x 处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1）()0C '= ； （2）1()xx μμμ-'= ；（3）(sin )cos x x '= ； （4）(cos )sin x x '=- ；（5）2(tan )secx x '= ； （6）(cot )csc x x '=- ；（7）(sec )sec tan x x x '= ； （8）(csc )csc cot x x x '=- ；（9）()ln xx aa a '= ； （10）()x x e e '= ；（11）1(log )ln a x x a '= ； （12）1(ln )x x'= ；（13）(arcsin )x '=； （14）(arccos )x '= ；（15）21(arctan )1x x '=+ ； （16）21(arccot )1x x'=-+ ． 2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数()uu x =，()v v x =都可导，则（1）()u v u v '''±=± ； （2）()Cu Cu ''=（C 是常数）； （3）()uv u v uv '''=+ ；（4）2()u u v uv v v''-'= （0v ≠）． 3．复合函数的求导法则 设()yf u =，而()ug x =且()f u 及()g x 都可导，则复合函数[()]y f g x =的导数为dy dy dudx du dx=⋅ 或 ()()()y x f u g x '''=⋅． （三）高阶导数1．定义一般的，函数()yf x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数．我们把()y f x ''=的导数叫做函数()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d ydx ，即()y y ''''=或22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭．相应地，把()y f x =的导数()f x '叫做函数()y f x =的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，，一般的，(1)n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作y '''，(4)y ，，()n y 或33d y dx ，44d ydx ，，n nd ydx． 函数()yf x =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()f x 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对x 求导，求导时要把y 看作中间变量．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx． 解：方程两边分别对x 求导，()(0)yx x exy e ''+-= ，得0ydy dy e y x dx dx ++= ， 从而 ydy y dx x e =-+．2．一元隐函数存在定理x y F dydx F '=-'． 例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dydx． 解：设(,)y F x y e xy e =+-，则()()yx yy y e xy e F dy yx dx F e x e xy e y∂+-'∂=-=-=-∂'++-∂ ． （五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ 确定y 是x 的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为()()dy t dx t φϕ'='，上式也可写成 dy dy dt dxdx dt=．其二阶导函数公式为223()()()()()d y t t t t dx t φϕφϕϕ''''''-=' ． （六）幂指函数的导数一般地，对于形如()()v x u x （()0u x >，()1u x ≠）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法： 1．复合函数求导法将幂指函数()()v x u x 利用指数函数和对数函数的性质化为()ln ()v x u x e的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的()ln ()v x u x e 恢复为()()v x u x 的形式．例如：求幂指函数xy x =的导数dydx．解：因ln x x x x e = ，故()ln ln (ln )(1ln )x xx x x dy d e e x x x x dx dx'==⋅=+． 2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y 对x 的导数．例如：求幂指函数x y x =的导数dy dx． 解：对幂指函数x y x =两边取对数，得 ln ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x的函数，得11ln dy x y dx ⋅=+，故 (1ln )(1ln )x dy y x x x dx=+=+． 二、函数的微分1．定义：可导函数()y f x =在点0x 处的微分为00()x x dyf x dx ='= ；可导函数()y f x =在任意一点x 处的微分为()dy f x dx '=．2．可导与可微的关系函数()yf x =在点x 处可微的充分必要条件是()y f x =在点x 处可导，即可微必可导，可导必可微． 3．基本初等函数的微分公式 （1）()0d C dx = ； （2）1()d x x dx μμμ-= ；（3）(sin )cos d x xdx = ； （4）(cos )sin d x xdx =- ；（5）2(tan )sec d x xdx = ； （6）(cot )csc d x xdx =- ； （7）(sec )sec tan d x x xdx = ； （8）(csc )csc cot d x x xdx =- ；（9）()ln xx d aa adx = ； （10）()x x d e e dx = ；（11）1(log )ln ad x dx x a =； （12）1(ln )d x dx x = ；（13）(arcsin )d x dx =； （14）(arccos )d x = ；（15）21(arctan )1d x dx x =+ ； （16）21(arccot )1d x dx x=-+ ． 4．函数和、差、积、商的微分法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()d uv du dv ±=± ；（2）()d Cu Cdu =（C 是常数）；（3）()d uv vdu udv =+ ；（4）2()u vdu udvd v v-= （0v ≠）． 5．复合函数的微分法则设()y f u =及()u g x =都可导，则复合函数[()]y f g x =的微分为()()x dy y dx f u g x dx'''==．由于()g x dx du '=，所以复合函数[()]y f g x =的微分公式也可写成()dyf u du '= 或 udy y du '=． 由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式()dyf u du '=保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式()dy f u du '=并不改变．【典型例题】【例2-1】以下各题中均假定0()f x '存在，指出A 表示什么．1．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆．解：根据导数的定义式，因0x ∆→时，0x -∆→，故0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆， 即0()A f x '=-．2．设0()limx f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在． 解：因(0)0f =，且(0)f '存在，故00()()(0)lim lim (0)0x x f x f x f f x x →→-'==-，即(0)A f '=． 3．000()()limh f x h f x h A h→+--=．解：根据导数的定义式，因0h →时，0h -→，故00000000()()()()()()lim limh h f x h f x h f x h f x f x f x h h h →→+--+-+--= 00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim limh h f x h f x f x h f x h h→→+---=+- 000()()2()f x f x f x '''=+=，即 02()A f x '=．【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩ 在1x =处的可导性．解：根据导数的定义式，3211122()(1)233(1)lim lim lim(1)2113x x x x f x f f x x x x ----→→→--'===++=--，2112()(1)3(1)lim lim11x x x f x f f x x +++→→--'===+∞--，故()f x 在1x =处的左导数(1)2f -'=，右导数不存在，所以()f x 在1x =处不可导．2．讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处的可导性． 解：因20001sin 0()(0)1(0)lim lim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x →→→--'====-， 故函数()f x 在0x =处可导．3．已知函数2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 在1x =处连续且可导，求常数a 和b 的值．解：由连续性，因(1)1f =，211(1)lim ()lim 1x x f f x x ---→→===，11(1)lim ()lim()x x f f x ax b a b +++→→==+=+，从而1a b +=①再由可导性，2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--，11()(1)1(1)lim lim 11x x f x f ax b f x x +++→→-+-'==--，而由①可得1b a =-，代入(1)f +'，得11()(1)(1)lim lim 11x x f x f ax a f a x x +++→→--'===--，再由(1)(1)f f -+''=可得2a =，代入①式得1b =-．【例2-3】已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩ ，求()f x '． 解：当0x <时，()(sin )cos fx x x ''==，当0x ≥时，()()1f x x ''==，当0x =时的导数需要用导数的定义来求．0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→-'===-，00()(0)0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→--'===-，(0)(0)1f f -+''==，故 (0)1f '=，从而cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩ ． 【例2-4】求下列函数的导数． 1．(sin cos )x ye x x =+．解：()(sin cos )(sin cos )x x y e x x e x x '''=+++ (sin cos )(cos sin )x x e x x e x x =++-2cos x e x =．2．22sin1x y x =+．解：222222sin cos 111x x x y x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2222222(1)(2)cos 1(1)x x x x x +-=⋅++22222(1)2cos (1)1x xx x -=++．3．ln cos()x ye =． 解：1ln cos()cos()cos()xxx y e e e '''⎡⎤⎡⎤==⋅⎣⎦⎣⎦ 1sin()()cos()x xx e e e '⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦1sin()cos()x x x e e e ⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦ tan()x x e e =-．4．ln(yx =+．解：ln((y x x '⎡⎤''=+=⋅+⎣⎦21⎡⎤'=+⎢⎣1⎡⎤=+⎢⎣==．【例2-5】求下列幂指函数的导数． 1．sin x yx = （0x >）． 解：sin sin ln sin ln ()()(sin ln )x x x x x y x e e x x ''''===⋅sin ln 1(cos ln sin )x xex x x x=⋅+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+． 说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数sin x y x =两边取对数，得ln sin ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得11cos ln sin y x x x y x'⋅=+⋅， 故1(cos ln sin )y y x x x x '=+⋅sin sin (cos ln )xx x x x x=+．2．1xx yx ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（0x >）．解：ln ln 11ln 11x x x x x xx x x y e e x x x ++'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'===⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ln11ln 11xx xx x x ex xx x +⎡⎤'+⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ln1211ln 11x x xx x x x ex x x x +⎡⎤++-=⋅+⋅⋅⎢⎥++⎢⎥⎣⎦1ln 111xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取对数，得ln ln 1xy x x=+，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得 111ln ln 1111x x x x y x y x x x x x'+⎛⎫'⋅=+⋅⋅=+ ⎪++++⎝⎭ ， 故11ln ln 11111xx x x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数． 1．xy yx = （0x >）． 解：等式两边取对数，得ln ln x y y x =，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得ln ln x y y y y x y x ''+⋅=+ ，整理得 (ln )ln x yx y y y x'-=-， 则22ln ln ln ln yyy xy y x y xx xy x x y --'==-- ． 2．y =．解：等式两边取对数，得21ln lnln 2y ==，即 2212ln ln(1)ln(2)5y x x =+-+，也即 2210ln 5ln(1)ln(2)y x x =+-+，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得221010212x x y y x x '=-++ ，故222210*********y x x x x y x x x x ⎛⎫⎛'=-=- ⎪ ++++⎝⎭⎝．【例2-7】求下列抽象函数的导数． 1．已知函数()yf x =可导，求函数1sin ()xy f e=的导数dy dx． 解：111sin sin sin ()()()x x x dy d f e f e e dx dx ⎡⎤'==⋅⎢⎥⎣⎦11sin sin 1()()sin x x f e e x '=⋅⋅1111sin sin sin sin 22cos cos ()()sin sin xxx x x x f e ee f e x x-=⋅⋅=- ． 2．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f xg x +≠，试求函数y =dy dx． 解：22()()f x g x dy d dx dx'⎡⎤+==''''==．【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数()y y x =的导数．1．220xxy y -+=．解：方程两边分别对x 求导，得 220dy dyx y x y dx dx--⋅+⋅=， 整理得 (2)2dyx y x y dx-=-，故22dy x y dx x y -=- ． 说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设22(,)F x y x xy y =-+，则2222x y F dy x y x ydx F x y x y '--=-=-='-+- ． 2．1y yxe =+．解：方程两边分别对x 求导，得0y y dy dye xe dx dx=++⋅， 整理的 (1)yy dy xe e dx-=，故1yy dy e dx xe =- ．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设(,)1y F x y xe y =+-，则11y yx y yy F dy e e dx F xe xe'=-=-='-- ． 【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数()yy x =的导数．1．2t tx e y e-⎧=⎨=⎩ ．解：()()21222t t t t t dye dy e dt dx dx e e e dt --'-====-' ．2．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．解：()()2211111111t t t dy t dy t dt dx dx dt t t '+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭====--'⎛⎫ ⎪++⎝⎭．【例2-10】求下列函数的微分． 1．22()tan (12)f x x =+．解：因22222()tan (12)2tan(12)sec (12)4f x x x x x ''⎡⎤=+=+⋅+⋅⎣⎦， 故222()8tan(12)sec (12)dy f x dx x x x dx '==++．2．()f x =．解：因()()f x ''==⋅=，故()dy f x dx '==．3．2()arctan f x x =解：因(22()arctan 211f x x x x x ''==++-，故2()2arctan dy f x dx x dx ⎡'==+⎢⎣．4．22()sin ln(1)f x x x =+．解：因222222()sin ln(1)2sin cos ln(1)sin 1x f x x x x x x x x''⎡⎤=+=++⎣⎦+， 故 2222sin ()sin 2ln(1)1x x dy f x dx x x dx x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦． 【例2-11】求曲线x y xe -=在点(0,1)处的切线方程和法线方程．解：()x x x y xe e xe ---''==-，01x y ='=，故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=；法线方程为11(0)y x -=-⋅-即10x y +-=．【例2-12】求曲线224xxy y ++=在点(2,2)-处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有220x y xy y y ''+++⋅=，即22x y y x y+'=-+ ；由导数的几何意义，曲线在点(2,2)-处的斜率为2222212x x y y x y y x y===-=-+'=-=+，故曲线在点(2,2)-处的切线方程为21(2)y x +=⋅-，即 40x y --=；法线方程为 21(2)y x +=-⋅-，即0x y +=．【例2-13】求椭圆2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在点4t π=处的切线方程和法线方程．解：将4t π=代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又4cos 2cot 2sin t t y ty t x t''===-'-，切线斜率为 442cot 2t t y tππ=='=-=-，故所求切线方程为2(y x -=--，即20x y +-=；所求法线方程为1(2y x -=--，即20x y +-=．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）已知(1)1f '=，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆等于（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2- 解：根据导数的定义，00(12)(1)[1(2)](1)lim2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→-∆-+-∆-=-∆-∆ 2(1)2f '=-=-，选（D ）．2．（2010年，1分）曲线2y x =在点(1,1)处的法线方程为（ ）（A ）y x = （B ）322x y =-+（C ）322x y=+ （D ）322x y =--解：根据导数的几何意义，切线的斜率1122x x k y x=='===，故法线方程为11(1)2y x -=--，即 322x y =-+，选（B ）． 3．（2010年，1分）设函数()f x 在点0x 处不连续，则（ ）（A ）0()f x '存在 （B ）0()f x '不存在（C ）lim()x f x →∞必存在 （D ）()f x 在点0x 处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B ）正确．4．（2009年，1分）若000()()lim h f x h f x h A h→+--=，则A =（ ）（A ）0()f x ' （B ）02()f x ' （C ）0 （D ）01()2f x ' 解：000()()lim h f x h f x h A h→+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim limh h f x h f x f x h f x h h→→+---=+- 000()()2()f x f x f x '''=+=，选项（B ）正确．5．（2008年，3分）函数()f x x =，在点0x =处()f x （ ）（A ）可导 （B ）间断 （C ）连续不可导 （D ）连续可导 解：由()f x x =的图象可知，()f x 在点0x =处连续但不可导，选项（C ）正确．说明：()f x x =的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．6．（2008年，3分）设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（ ）（A ）000()()limx x f x f x x x →-- （B ）000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆（C ）000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆ （D ）000()()lim ()x f x x f x x ∆→-∆--∆解：根据导数的定义，选项（C ）符合题意． 7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（ ）（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()lim x x f x f x x x →--（C ）000()()lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()lim x f x x f x x x∆→+∆-+∆∆解：选项（A ）000001()()1lim [()()]lim()1n n f x f x n n f x f x f x nn+→∞→∞+-'+-==，选项（C ）0000()()lim2()x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆，选项（D ）0000(3)()lim 2()x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，故选（B ）． 8．（2007年，3分）若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（ ）（A ）(2)x f dx ' （B ）(2)2x x f d ' （C ）[(2)]2x x fd ' （D ）(2)2x x f dx '解：因(2)(2)2(2)2ln 2x x x x x dydf f d f dx ''===，故选项（B ）正确．9．（2006年，2分）设()u x ，()v x 为可导函数，则()ud v=（ ） （A ）du dv （B ）2vdu udv u- （C ）2udv vdu u + （D ）2udv vduu- 解：222()()u u u v uv u vdx uv dx vdu udvd dx dx v v v v v''''---'====，选（B ）． 10．（2005年，3分）设()(1)(2)(99)f x x x x x =---，则(0)f '=（ ）（A ）99!- （B ）0 （C ）99! （D ）99 解：当0x=时，()f x '中除(1)(2)(99)x x x ---项外，其他全为零，故(0)(01)(02)(099)99!f '=---=-，选项（A ）正确． 11．（2005年，3分）设ln y x =，则()n y =（ ）（A ）(1)!nn n x -- （B ）2(1)(1)!n n n x --- （C ）1(1)(1)!n n n x ---- （D ）11(1)!n n n x --+-解：由ln yx =可得，1y x '=，21y x''=-，433222!x y x x x-'''=-==， 2(4)64233!x yx x⋅=-=-，，对比可知，选项（C ）正确．12．（2005年，3分）2sin ()d xd x =（ ） （A ）cos x （B ）sin x - （C ）cos 2x （D ）cos 2xx解：2sin cos cos ()22d x xdx xd x xdx x==，选项（D ）正确． 二、填空题1．（2010年，2分）若曲线()yf x =在点00(,())x f x 处的切线平行于直线23y x =-，则0()f x '= ．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故0()2f x '=．2．（2010年，2分）设cos(sin )y x =，则dy = ．解：cos(sin )sin(sin )cos dyd x x xdx ==-．3．（2008年，4分）曲线21y x =+在点(1,2)的切线的斜率等于 ．解：由导数的几何意义可知，切线斜率(1,2)(1,2)22k y x'===．4．（2008年，4分）由参数方程cos sin x t y t =⎧⎨=⎩ 确定的dy dx = ．解：(sin )cos cot (cos )sin t t y dy t tt dx t tx ''====-'-'． 5．（2006年，2分）曲线2sin yx x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是 ．解：切线的斜率(,1)(,1)2222(12sin cos )1k y x x ππππ++'==+=，故切线方程为(1)1()22y x ππ-+=⋅-，即 1y x =+．6．（2006年，2分）函数2()(1)f x x x x =-不可导点的个数是 ．解：2222(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩ ，显然，当0x ≠时，()f x 可导；当0x =时，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x +++→→-+'===-，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x-+-→→--+'===-，故 (0)0f '=．故函数()f x 的不可导点的个数为0．7．（2006年，2分）设1(1)xy x=+，则dy = ．解：因11ln(1)ln(1)21111[(1)][][ln(1)()]11x x x x x y e e x x x x x++'''=+==++⋅⋅-+111(1)[ln(1)]1x x x x =++-+，故 111(1)[ln(1)]1x dy dx x x x =++-+．三、计算题1．（2010年，5分）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，求x dydx=．解：方程2xyx y =+两边对x 求导，考虑到y 是x 的函数，得2ln 2()1xy dy dy y xdx dx ⋅+=+，整理得 2ln 22ln 21xy xy dy dy y x dx dx+⋅=+， 故2ln 2112ln 2xy xydy y dx x -=-．当0x =时，代入原方程可得1y =，所以 0012ln 21ln 21ln 2112ln 21xy x x xy y dy y dx x ===--===--． 说明：当得到2ln 2()1xydy dyy xdx dx⋅+=+后，也可直接将0x =，1y =代入，得 ln 21dydx=+，故ln 21x dy dx ==-．2．（2010年，5分）求函数sin x y x =（0x >）的导数．解：sin sin ln sin ln sin ln 1()()()(cos ln sin )x x x x x x xy x e e e x x x x ''''====+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+． 3．（2009年，5分）设22sin1xy x =+，求dy dx．解：因22sin1x y x =+，故22(sin )1dy x dx x'=+2222222222(1)22222cos cos 1(1)(1)1x x x x x x x x x x+-⋅-=⋅=++++． 4．（2006年，4分）设()f x可导，且()f x '=d f dx ．解：df f dx ''=⋅2x x==-． 5．（2005年，5分）已知0sin ,0(),0x tdt x f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ ．（1）()f x 在0x =处连续，求a ； （2）求()f x '．解：（1）因 0sin lim ()limlimsin 0xx x x tdt f x x x→→→===⎰，故由()f x 在0x =处连续可得，0lim()(0)x f x f →=，即 0a =．（2）当0x ≠时，002sin sin sin ()x x tdt x x tdt f x x x '⎛⎫- ⎪'== ⎪⎝⎭⎰⎰； 当0x =时，02000sin sin ()(0)(0)limlim limxxx x x tdt tdt f x f xf x xx→→→-'===-⎰⎰0sin 1lim22x x x →==．故2sin sin,0 ()1,02xx x tdtxxf xx⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．。
高等数学(上册)(慕课版)第二章 导数与微分
y f (x0 x) f (x0 )
dy f (x0 )x
标准形式
y Ax (x)
近似
dy Ax
10
02 微分
几何意义
y
M0 y f(x)
T M
P dyy Q
“以直代曲”
x
O
x0
x0 x
x
数学思想
注意 当曲线y f (x)在点M (x, y)处的横坐标x 有增量x 时， y是其纵坐标的增量，dy 就是曲线切线上点的纵坐标相应增量. 当 x 很小时，y dy.
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
一、 导数的定义
定义2.1
设函数y f (x)在点x0 的某邻域内有定义，当自变量x 在x0 处有增量x时，
相应函数的增量为y
f (x0 x)
f
( x0
).
如果当x
0
时，极限
lim
x0
y x
存在，
则称函数y f (x)在点x0 处可导，并把这个极限值称为
f (x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在且相等.
19
一、 导数的定义
例1
若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在，证明f (x)在x=0 处可导. x0 x
证法一
设 lim f (x) A( A为常数)，则lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
记作：f (x) ，y，df ，dy ， dx dx
即
f (x) lim f (x x) f (x) ，
《高等数学》上册(课件全集)第2章 导数及微分
根据导数的几何意义，过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)的切线方程为
对应的法线方程为
当f′(x0)=0时，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0.
２.2 初等函数的求导法则
1.导数的基本公式 前一节由导数的定义，求出了几个简单函数的导数，但对于较复杂的函数，用定 义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法，借助 这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的 导数基本公式如下：
为Δ y=f(x0+Δ x)－f(x0).当Δ x→0时，若比值Δ yΔ x 的极限存在，则称函数y=f (x)在点
x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值，记作f′(x0)，
即
也记作
如果极限
不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.
如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x) 在区间(a,b)内可导.
内所经过的路程为Δ s，
即
则在时间段Δ t内的平均速度
显然，时间段Δ t越小，质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平 均速度v就越接近于质点在t0时刻的瞬时速度v(t0)，即当Δ t→0，平均速度v的极
限，便是质点在t0时刻的瞬时速度，即
2.导数的定义
定义 设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量Δ x(Δ x≠0)(也叫自变量的增量)时，相应函数的改变量(也叫函数的增量)
如果函数z=f(x,y)在某个平面区域D内的每一点(x,y)处，对x的偏导数都存在， 那么，这个偏导数就是x,y的函数，称它为z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称偏 导数，记作
高等数学 第2章 第一节 导数的概念
曲线y f ( x)在点x0 , f ( x0 )处的切线方程为：
y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
当f ' ( x0 ) 0时，在该点处的法线方 程为：
y
f (x0 )
f
'(
1 x0
)
(
x
x0
)
8
四.可导与连续的关系
f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。 f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。
解 当 x 1 时， 1 n 1 x 3n n 2 , f ( x) lim n 1 x 3n 1, n
当 x 1 时， f ( x) limn 1 x 3n limn 2 1,
n
n
当 x 1 时， x 3 n x 3n n 1 x 3n n 2 x 3n n 2 x 3 ,
ex ex.
12
例5 求函数 y ln x 的导数
解： x (0,)
当x 0时, Ln(1+x)~x
(ln x)' lim ln(x x) ln x
x 0
x
ln(1 lim
x ) x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
即 : 对x 0, (ln x)' 1 x
例6 设 f x x sin x, 求 f 0.
f (x0 x)
y f ( x0 x) f ( x0 );
（2）比值
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
f (x0)
P0
•
O
x0
•P
P1
•
P2•
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(3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)v n(n1)u(n2)v 2!
n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n) k!
n
C u v k (nk) (k) n
莱布尼兹（Leibniz）公式
k0
例6 设 yx 2 e2 x,求 y (2).0
解 设ue2x,vx2,则由莱布尼兹公式
y(2)0(e2x)(2)0x22(0e2x)(1)9(x2) 2(020 1)(e2x)(1)8(x2)0 2!
1 x
y (11x)2
y
2! (1 x)3
y(4)
3!
(1
x)4
y (n ) ( 1 )n 1(n 1 )! (n 1 ,0 ! 1 ) (1 x )n
a
7
例4 设 ysixn ,求 y(n ).
解 ycoxssin(x)
2
ycosx()sinx()sinx(2)
2
22
2
ycoxs(2)sinx(3)
(xn)(n)n!
(xn)(n 1 )0(1)(n)
x
(1)n
n! xn1
(5)(lx n )(n)(1)n1(nx n 1)!
a
9
练习 已 知 f ( x ) 的 n 阶 导 数 存 在 ， 求 [ f ( a x b ) ] ( n ) .
a
11
常用高阶导数公式可写成
( 1 )( a b x d ) ( n ) b n a b x d ln n a ( a 0 )(ebxd)(n) bnebxd
1
(x 1)(x 2)
1( 1 1 ) 3 x1 x2
y(n)1 3( 1 )nn! (x 1 1 )n 1(x 1 2)n 1
例8 设 y s6 i x n c6 o x ,求 y s ( n ).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应 ,f(x)称 地为零 ;f(x)阶 称导 为数 一 .
二、高阶导数求法举例
直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y ar x ,求 cf( t 0 )a f, ( 0 n ).
解
y
1
1 x2
y
1
1 x2
(1
2x x2
)2
y
2x (1 x2)2
若 为 自 然 数 n,则
y(n) (xn)(n)n!, y(n1) (n!)0.
若 1
y(n)
(x1)(n)
(1)n
n! xn1
注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例3 设 y ln 1 x ()求 ,y(n ).
解 y 1
记作 f(x),y,d d22 yx或 d2 df(2x x). 二阶导数的导数称为三阶导数,
f(x),
y,d3y d3f(Fra bibliotek) dx3 , dx3 .
一 般 地 ,函 数 f(x ) 的 n 1 阶 导 数 的 导 数 称 为
函 数 f(x ) 的 n 阶 导 数 ,记 作 f(n)(x),y(n), dny或 dnf(x). dnx dnx
2(3 x 2 (1 x
1) 2 )3
f(0)(1 2xx2)2 x0 0; f(0)2((13xx22)13) x02.
例2 设 y x ( R )求 ,y (n ). 解 yx1
y(x1)(1)x2
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
( 1 )(n) axb
(1)nan(ax nb !)n1
(5)[ln (axb)](n)(1)n1a an((a n x 1 b ))!n
12
三、高阶导数的运算法则
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u )
220e2x x2 20219e2x 2x 2019218e2x 2 2!
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
a
14
关于莱布尼兹公式，应注意：
n
u(x)v(x)(n) Cnku(nk)v(k) k0
(1 )不 要 丢 了 系 数 C n k ；
(2) 恰当地选择u(x)和v(x)， [求导最快为0的为v(x), 容易求出任意阶导数的取做u(x)].
(2 )(sin (a x b ))(n ) a nsin (a x b n ) 2
(3 )(c o s(a x b ))(n ) a nc o s(a x b n )
2
( 4 ) [ ( a x b ) ] ( n ) ( 1 )( n 1 ) a n ( a x b ) n
2．1 导数的概念
2．2 函数的求导法则
2．3 高阶导数
2．4 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
2．5 导数的简单应用
2．6 函数的微分
a
1
2.3 高阶导数
一、高阶导数的定义 二、高阶导数求法举例 三、高阶导数的运算法则
一、高阶导数的定义
问题: 质点作变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则 瞬 时 速 度 为 v (t) s(t)
间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
例7 设y 1 ,求 y(5). x21
解 y 1 1( 11) x21 2x1 x1
y(5) 1 2(x51!)6(x51!)6
60(x11)6 (x11)6
a
16
练习 y 1 ,求y(n). x2x2
解 y
2
2
y(n) sinx (n) 2
同理可得 (cx o)(n s)coxsn () 2
a
8
常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
(2)
(sinx)(n)
sin(xn )
(3) (cosx)(n) cos(xn2)
2
( 4 ) ( x ) ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n
加速 a是度 速 v对度 时 t的间 变化率 a (t) v (t) [s(t)].
a
3
定义 如 果 函 数 f(x)的 导 数 f(x)在 点 x处 可 导 ,即
(f(x))limf(xx)f(x)
x 0
x
存 在 ,则 称 (f(x))为 函 数 f(x)在 点 x处 的 二 阶 导 数 .