高等数学第二章导数与微分(3)

间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
例7 设y 1 ,求 y(5). x21
解 y 1 1( 11) x21 2x1 x1
y(5) 1 2(x51!)6(x51!)6
60(x11)6 (x11)6
a
16
练习 y 1 ,求y(n). x2x2
解 y
220e2x x2 20219e2x 2x 2019218e2x 2 2!
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
a
14
关于莱布尼兹公式，应注意：
n
u(x)v(x)(n) Cnku(nk)v(k) k0Байду номын сангаас
(1 )不 要 丢 了 系 数 C n k ；
(2) 恰当地选择u(x)和v(x)， [求导最快为0的为v(x), 容易求出任意阶导数的取做u(x)].
1 x
y (11x)2
y
2! (1 x)3
y(4)
3!
(1
x)4
y (n ) ( 1 )n 1(n 1 )! (n 1 ,0 ! 1 ) (1 x )n
a
7
例4 设 ysixn ,求 y(n ).
解 ycoxssin(x)
2
ycosx()sinx()sinx(2)
2
22
2
ycoxs(2)sinx(3)
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应 ,f(x)称 地为零 ;f(x)阶 称导 为数 一 .
二、高阶导数求法举例
直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y ar x ,求 cf( t 0 )a f, ( 0 n ).
解
y
1
1 x2
y
1
1 x2
(1
2x x2
)2
y
2x (1 x2)2
2．1 导数的概念
2．2 函数的求导法则
2．3 高阶导数
2．4 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
2．5 导数的简单应用
2．6 函数的微分
a
1
2.3 高阶导数
一、高阶导数的定义 二、高阶导数求法举例 三、高阶导数的运算法则
一、高阶导数的定义
问题: 质点作变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则 瞬 时 速 度 为 v (t) s(t)
加速 a是度 速 v对度 时 t的间 变化率 a (t) v (t) [s(t)].
a
3
定义 如 果 函 数 f(x)的 导 数 f(x)在 点 x处 可 导 ,即
(f(x))limf(xx)f(x)
x 0
x
存 在 ,则 称 (f(x))为 函 数 f(x)在 点 x处 的 二 阶 导 数 .
2
2
y(n) sinx (n) 2
同理可得 (cx o)(n s)coxsn () 2
a
8
常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
(2)
(sinx)(n)
sin(xn )
(3) (cosx)(n) cos(xn2)
2
( 4 ) ( x ) ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n
2(3 x 2 (1 x
1) 2 )3
f(0)(1 2xx2)2 x0 0; f(0)2((13xx22)13) x02.
例2 设 y x ( R )求 ,y (n ). 解 yx1
y(x1)(1)x2
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
(3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)v n(n1)u(n2)v 2!
n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n) k!
n
C u v k (nk) (k) n
莱布尼兹（Leibniz）公式
k0
例6 设 yx 2 e2 x,求 y (2).0
解 设ue2x,vx2,则由莱布尼兹公式
y(2)0(e2x)(2)0x22(0e2x)(1)9(x2) 2(020 1)(e2x)(1)8(x2)0 2!
( 1 )(n) axb
(1)nan(ax nb !)n1
(5)[ln (axb)](n)(1)n1a an((a n x 1 b ))!n
12
三、高阶导数的运算法则
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u )
(2 )(sin (a x b ))(n ) a nsin (a x b n ) 2
(3 )(c o s(a x b ))(n ) a nc o s(a x b n )
2
( 4 ) [ ( a x b ) ] ( n ) ( 1 )( n 1 ) a n ( a x b ) n
记作 f(x),y,d d22 yx或 d2 df(2x x). 二阶导数的导数称为三阶导数,
f(x),
y,
d3y d3f(x) dx3 , dx3 .
一 般 地 ,函 数 f(x ) 的 n 1 阶 导 数 的 导 数 称 为
函 数 f(x ) 的 n 阶 导 数 ,记 作 f(n)(x),y(n), dny或 dnf(x). dnx dnx
若 为 自 然 数 n,则
y(n) (xn)(n)n!, y(n1) (n!)0.
若 1
y(n)
(x1)(n)
(1)n
n! xn1
注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例3 设 y ln 1 x ()求 ,y(n ).
解 y 1
1
(x 1)(x 2)
1( 1 1 ) 3 x1 x2
y(n)1 3( 1 )nn! (x 1 1 )n 1(x 1 2)n 1
例8 设 y s6 i x n c6 o x ,求 y s ( n ).
(xn)(n)n!
(xn)(n 1 )0(1)(n)
x
(1)n
n! xn1
(5)(lx n )(n)(1)n1(nx n 1)!
a
9
练习 已 知 f ( x ) 的 n 阶 导 数 存 在 ， 求 [ f ( a x b ) ] ( n ) .
a
11
常用高阶导数公式可写成
( 1 )( a b x d ) ( n ) b n a b x d ln n a ( a 0 )(ebxd)(n) bnebxd