灵敏度分析
05灵敏度分析范文
05灵敏度分析范文灵敏度分析（sensitivity analysis）是一种用于评估模型输出结果对于模型输入参数的敏感程度的方法。
它可以用来确定哪些输入参数对于模型输出结果具有最大的影响力，帮助决策者了解系统的关键因素，并为决策提供有针对性的建议。
下面将对灵敏度分析的概念、方法与应用进行详细阐述。
灵敏度分析的概念与作用：灵敏度分析是系统分析和优化的重要工具，它可以帮助我们评估模型对不确定性参数的响应情况以及模型预测结果的可靠性。
通过灵敏度分析，我们能够精确地确定模型输入参数与输出结果之间的关系，识别出哪些参数对于结果的变化贡献最大，并根据这些结果来制定战略，减小系统风险或优化决策。
灵敏度分析的方法：灵敏度分析的方法通常可以分为全局灵敏度分析和局部灵敏度分析两大类。
全局灵敏度分析通过考察模型输入参数对输出结果的整体影响程度，以评估参数的重要性。
常用的全局灵敏度分析方法包括Sobol指数、Morris指数、FAST方法等。
局部灵敏度分析则是针对具体的输入参数，通过改变特定输入参数的取值来评估模型输出结果的变化情况，常用的方法包括一维灵敏度分析和多维灵敏度分析。
全局灵敏度分析通常可以通过方差分解的方式进行，可以计算各个输入参数的总效应和交互效应。
Sobol指数是一种常用的全局灵敏度指数，它能够反映每个参数的直接和交互效应对于系统的总体贡献程度。
Morris指数则通过改变参数的取值范围来计算参数的局部灵敏度指数，并通过估计偏差大小来评估模型的可靠性。
FAST方法则通过建立机器学习模型来评估参数对于输出结果的贡献度。
局部灵敏度分析则更加注重于评估单个或几个参数对于输出结果的影响。
一维灵敏度分析通常是通过改变一个参数的取值来观察输出结果的变化情况，可以通过敏感度系数（sensitivity coefficient）来评估参数对输出结果的影响程度。
多维灵敏度分析则是同时考虑多个参数对输出结果的综合影响，可以通过方差分析、设计试验等方法来进行评估。
灵敏度分析名词解释
灵敏度分析名词解释
灵敏度分析是企业或组织的常用调查分析方式，用于判断响应选择和反应情况，识别外部和内部环境变化。
灵敏度分析也称为灵敏度测试或灵敏度评估，是某种现象和外来因素之间关系的检测。
社会及经济发展的快速增长促使企业接受不断变化的环境，企业向顾客提供产
品和服务，需要持续修改和评估其产品和服务的灵敏度。
灵敏度分析旨在发现企业是否响应足够快来适应市场的变化，并且能够在变化的市场上胜出。
灵敏度分析是对影响变量和反应量之间响应关系的量化分析，它有助于企业识
别和捕捉可能影响企业绩效的众多因素。
例如，灵敏度分析可以帮助企业判断客户对定价的反应，预测价格变动对销量的影响，以及识别新产品加入市场时的客户需求。
灵敏度分析具有系统的分析和评估市场变化的能力，使企业能够提供高品质的产品和服务，保持市场领先地位。
灵敏度分析是企业必不可少的管理工具。
它有助于企业了解市场的需求，及时
适应市场变化，控制预算和避免投资失误。
它还可以帮助企业制定正确的策略，以确保企业目标的实现，保证企业顺利前行。
灵敏度分析
2 1 b1 2b1 20 B b' 1 1 20 b 20 0 1 解之得：10≤b1≤20
1
即当10≤b1≤20时，最优基不变
分析使最优基保持不变的b2的范围:
2 112 24 b2 B b' 1 1 b 12 b 0 2 2
三、灵敏度分析的内容
价值系数cj的变化的分析 约束条件右端项bi变化的分析 系数矩阵A变化的分析
系数列向量Pk变化的分析
增加新约束条件的分析
增加新变量的分析
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 利润 （元/kg） A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
x1 x1 x2 f 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 B-1b 24 -2
22 b 20
3 -104
最优单纯形表
x1 x4 -f
x1 1 0 0
x2 2 -1 -2
x3 2 -1 -4
x4 0 1 0
x5 B-1b 1 20 -1 2 -5 -100
x1 x2 -f
经迭代，得到最优单纯形表如下：
x1 1 0 -1 x2 0 1 0 x3 1 0 0 x4 2 -1 -4 x5 -1 1 -2 B-1b 4 8 -88
x3 x2 -f
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
k ' Ck CB B1Pk '
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一种用来评估模型鲁棒性的技术，它可以帮助我们了解模型输出对于输入参数的变化的反应程度。
通过灵敏度分析，我们可以识别出哪些参数对于模型输出具有重要影响，从而优化模型的性能和可靠性。
本文将介绍灵敏度分析的基本概念、方法和应用，并探讨其在科学研究和工程领域的重要性。
首先，让我们来了解一下灵敏度分析的基本概念。
灵敏度分析是通过对模型输入参数进行逐一变化，并观察模型输出的变化情况来评估模型的鲁棒性。
在进行灵敏度分析时，我们通常会选择一个基准点作为参考，比如模型输入参数的平均值或某个特定值。
然后，通过改变输入参数的值，并观察模型输出的变化情况，来评估模型对于输入参数的变化的敏感程度。
灵敏度分析有多种方法和指标可以使用，常见的方法包括一元灵敏度分析、总变差分析和区间分析等。
一元灵敏度分析是最简单的方法，它通过改变单个参数的值，观察模型输出的变化情况来评估参数的影响程度。
总变差分析则是通过改变所有参数的值，观察模型输出的总变差情况来评估参数的综合影响程度。
区间分析则是通过将参数的取值范围划分为多个子区间，观察模型输出在不同子区间的变化情况来评估参数的影响程度。
灵敏度分析在科学研究和工程设计中具有广泛的应用。
在科学研究中，灵敏度分析可以帮助我们理解模型的复杂性和不确定性，从而提高模型的可信度和预测能力。
在工程设计中，灵敏度分析可以帮助我们识别出对于系统性能具有关键影响的输入参数，并进行优化和控制，从而提高系统的稳定性和可靠性。
此外，灵敏度分析还可以帮助我们进行风险评估和决策分析。
通过评估不同参数对于模型输出的影响程度，我们可以识别出可能导致系统失败或风险增加的敏感参数，并制定相应的风险控制策略。
同时，灵敏度分析还可以提供决策支持，帮助我们在不同参数取值的情况下，评估和比较不同决策方案的优劣。
综上所述，灵敏度分析是一种可以评估模型鲁棒性的重要技术。
通过灵敏度分析，我们可以识别出对于模型输出具有重要影响的参数，并优化模型的性能和可靠性。
7_灵敏度分析
0 8 6 8 x3 x2 σ x1 x2 σ 7 5 4 4 7/4 1/4 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0
2.基变量xj的价值系数cj的变化
1 －1/4 7/(7/4)=4 0 1/4 5/(1/4)=20 0 －2 4/7 －1/7 2/7 －1/7 －16/7 －10/7
当a‘rj<0时，有∆cr≤σj / a‘rj； 当a‘rj>0时，有∆cr≥σj / a‘rj； 因此，∆c允许变化范围是 σj σj ︱ a‘rj<0 . a‘rj
或利用公式求解 σj max ︱a‘rj >0 ≤ ∆cr ≤ min j a‘rj
j
σj ︱ a‘rj<0 . a‘rj
Max{-5.2/0.16}≤ ∆c2≤ min{-13.6/(-0.12)} Max{-32.5}≤ ∆c2≤ min{113.33} 即： -32.5≤∆c2≤113.33
0 Z 0 Ⅱ 0 18 Z 0 Ⅲ 10 18 Z x3 x1 x2 x3 x4 x2 x5 150 0 11 0 10 30 -5 4 0 5 4 0 /7 5 0 /7 2 0 0 /7 - 4 1 0 0 /7 1 10 2 3 /5 7/ 5* 1 /5 3 2 /5 0 1 0 0 5* 18 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 - 2 3 /7 5 /7 - 1 /7 - 3 2 /7 1 0 - 2 /5 - 3 /5 1 /5 1 8 /5 11 /7 - 3 /7 2 /7 - 6 /7
灵敏度分析的心得体会
灵敏度分析的心得体会灵敏度分析是一种常用的分析工具，它通过对模型参数进行变化，评估参数变化对模型输出结果的影响程度，从而识别出对模型结果影响最大的参数和参数组合，进而指导决策和优化过程。
在过去的几年里，我在工程设计和优化过程中经常使用灵敏度分析，并且在实践中积累了一些心得体会，现在将其分享给大家。
第一，正确理解灵敏度分析的本质灵敏度分析是一种检验和验证模型的可靠性和稳健性的手段而不是工具，它可以告诉我们，如果模型中某个参数发生变化，模型输出会发生什么程度的变化，但是，它并不能告诉我们如何处理这个问题。
根据对灵敏度分析结果的解释和理解，我们需要深入挖掘参数背后的物理意义，并结合实际问题和业务需求进行合理的决策和优化，否则，很容易被误导而做出错误的决策。
第二，选择合适的灵敏度分析方法灵敏度分析方法主要有贝叶斯统计方法、元分析法、随机抽样法、梯度分析法等。
对于不同的问题和数据类型，选择不同的方法进行分析是非常重要的。
实际应用中，我们可以结合实际场景和数据样本，选取合适的灵敏度分析方法，从而提高分析效率和结果可靠性。
第三，合理设置模型参数范围模型参数的范围设置对灵敏度分析结果的影响非常大，一般来说，过小或过大的参数范围都会导致分析结果的不准确和不可信。
在实际应用中，我们可以通过专家知识、历史数据、文献资料、政策法规等多种途径，对参数范围进行合理的设置，从而提高分析结果的可靠性和实用性。
第四，多维度或多目标灵敏度分析单一维度的灵敏度分析往往无法涵盖多方面因素对模型输出结果的影响，但是，多维度和多目标的灵敏度分析可以更全面地评估各个参数和因素对模型输出结果的影响，有利于我们全面认识问题的本质和解决问题的策略。
最后，作为一种数据驱动的分析工具，灵敏度分析需要结合实际场景和需求进行有针对性的应用，不能过分依赖它的结果，还需要结合统计学、机器学习、优化方法等多种工具和方法，才能形成完整的分析体系和决策支持系统，给我们的工作和生活带来更好的效益和质量。
灵敏度分析与全局敏感度分析比较研究论文素材
灵敏度分析与全局敏感度分析比较研究论文素材在数学建模、系统分析、风险评估等领域中，灵敏度分析和全局敏感度分析是两个常用的方法。
本文将对这两种分析方法进行比较研究，探讨其优缺点及适用场景，为相关领域的研究者提供参考。
一、灵敏度分析灵敏度分析是一种用来评估模型中参数对输出结果的影响程度的方法。
它通过改变模型中的一个或多个参数，并观察模型输出结果的变化，来衡量参数对结果的敏感程度。
灵敏度分析可分为局部敏感度分析和全局敏感度分析两种方法，下面将重点介绍局部敏感度分析。
1. 局部敏感度分析局部敏感度分析是在给定某一特定点上，对各个参数的灵敏度进行分析。
它的核心思想是通过改变参数的值，并观察输出结果的变化，来判断参数对结果的影响程度。
常用的方法包括参数敏感度指标、敏感度曲线等。
2. 局部敏感度分析的优点和适用场景局部敏感度分析的优点是计算简单、易于理解，并且适用于大多数情况下。
它可以帮助研究者了解模型中各个参数对结果的影响程度，进行参数的优化和调整。
适用场景包括模型初步建立阶段、局部问题分析以及参数敏感度分析等。
二、全局敏感度分析全局敏感度分析是在整个参数空间范围内，对各个参数的灵敏度进行分析。
与局部敏感度分析不同的是，全局敏感度分析考虑了参数之间的相互作用和不确定性，能够更全面地评估参数对模型输出结果的影响。
1. 全局敏感度分析方法全局敏感度分析方法包括元胞自动机方法、Monte Carlo方法、Sobol分析等。
其中，Sobol分析是一种较为常用的方法，可用于评估参数对输出的主效应和交互效应。
2. 全局敏感度分析的优点和适用场景全局敏感度分析的优点是能够综合考虑参数之间的相互作用，更全面地评估参数对输出结果的影响。
它可以帮助研究者了解参数之间的关联性，提高模型的可信度。
适用于参数空间较大、参数之间相互关联较强的情况下。
三、灵敏度分析与全局敏感度分析的比较灵敏度分析和全局敏感度分析都可以评估参数对输出结果的影响程度，但在方法、计算复杂度和适用场景上存在差异。
实验结果的灵敏度分析
实验结果的灵敏度分析实验是科学研究中不可或缺的一部分。
通过实验可以验证理论，揭示规律，为科学研究的发展提供支持。
然而，实验结果的可靠性和准确性往往是人们关注的焦点。
为了评估实验结果的稳定性和可信度，灵敏度分析是一种常用的方法。
本文将对实验结果的灵敏度分析进行探讨，旨在阐明其重要性和应用场景。
一、什么是灵敏度分析灵敏度分析是一种系统地评估实验结果对于输入参数变化的敏感程度的方法。
它能够帮助我们了解实验结果对于参数的响应程度，找出影响实验结果的主要因素，从而为进一步的研究和决策提供依据。
通常，灵敏度分析可通过多种途径进行，如参数敏感度分析、局部敏感度分析和全局敏感度分析等。
二、灵敏度分析的意义灵敏度分析对于科学研究具有重要意义。
首先，它可以帮助我们了解实验结果的稳定性。
通过灵敏度分析，我们可以观察输入参数变化对实验结果的影响程度，若实验结果对于参数变化不敏感，则说明实验结果较为稳定可靠。
其次，灵敏度分析可以揭示实验结果中的主要因素。
在实验过程中，我们常常需要面对各种参数和影响因素，通过灵敏度分析，可以确定哪些因素对实验结果具有重要影响，进而提供优化研究方向和决策依据。
此外，灵敏度分析还可以帮助我们发现异常结果和探索实验结果潜在的风险因素。
三、灵敏度分析的应用场景根据实际需求和研究目的，灵敏度分析可以应用于多个领域。
以下将针对不同领域的实验结果灵敏度分析进行简要介绍。
1. 生态学领域生态学研究中，我们常常需要评估各种生态系统的稳定性和脆弱性。
通过灵敏度分析，可以了解生态系统对于各种环境因素的响应程度，找出对生态系统稳定性具有重要影响的关键因素，为生态保护和可持续发展提供科学依据。
2. 经济学领域经济学研究往往需要分析不同经济因素对于经济系统的影响。
通过灵敏度分析，可以评估经济模型中各个参数对于经济结果的敏感程度，识别经济政策的潜在风险和利益分配的不平衡情况，为经济决策提供参考。
3. 工程领域工程设计中常常需要考虑各种参数对于产品性能和安全性能的影响。
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
3.灵敏度分析
3T (0,0,1)
T
b (14,8,92)
Min( 8 1
,
92 ) 4
b1
Max( 14) 2
即， 120 b1 105
15 15
15
14 92
8
Min( , ) b Max( )
1 13
2
8
即, 1380 13
b2
15
15 15
15
b 92 3 11
例4 下面是某LP问题的单纯形表 x4 , x5为松弛变量
1 2
4 2
0
所以， 1 1
4
13
五、C的改变
例4:下面是一张LP问题的最优单纯
形表,观察其基变量、非基变量目标
函数系数的改变对检验数的影响
cj
2 3100
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5
2 x1 1 1 0 -1 3 -1
3 x2 2 0 1 2 -1 1
σ
0 0 -3 -3 -1
bi
ir
当ir
0时，br
bi
ir
6
即，br的变化范围是：
Max（ bi
ir
|
ir
O）
br
Min（ bi
ir
|
ir
0）
注：
(1) 此时最优基不变，但最优值发生改变
(2) 只能有一个常数项发生改变
7
例 2:
下面是求解同一LP问题的初始单纯形表
和最优单纯形表
求b1, b2 , b3的变化范围，使原最优基仍最优 初始单纯形表
cj cB xB b
2 x1 1 3 x2 2 0 x6 1
σ -8
灵敏度分析
≥0 <0
可行解 可行解 非可行解
单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解
非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 引进人工变量， 新计算 第15页 页
灵敏度分析的主要内容
max z = ∑c j x j
s.t.
n
1. 分析 cj 的变化 2. 分析 bi 的变化
≥0 <0
可行解 可行解 非可行解
单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 对偶单纯形法继续迭代求最优解
非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 引进人工变量， 新计算 第12页 页
分别在什么范围变化时，最优基不变？ 例1-2 分析λi分别在什么范围变化时，最优基不变？
max z = 2x1 + 3x2 max z = 2 x1 + 3 x2 变化
s.t. 2x + 2x ≤ 12 1 2
4x1 ≤ 16 5x2 ≤ 15 x1, x2 ≥ 0
s.t. 2x + 2x ≤ 12 +λ 1 2 1
4x1 ≤ 16 +λ2 5x2 ≤ 15 +λ3 x1, x2 ≥ 0
非基变量 XN B-1N CN－CBB-1N Xs B-1
－CBB-1
基变量 XB I 0
XB
B-1b
Y*T= CBB-1 Z*=CBB-1b
X B' = B (b + ∆b)
原问题
cj − zj
对偶问题 可行解 可行解
结论或继续计算的步骤 问题的最优解或最优基不变 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 对偶单纯形法继续迭代求最优解
第五章灵敏度分析
第五章灵敏度分析灵敏度分析（Sensitivity Analysis）是指在决策分析中，根据改变决策变量的数值，研究对最优解产生影响的因素。
通过灵敏度分析，可以评估决策变量的变化对最优解的敏感程度，帮助决策者了解决策方案的稳定性和可靠性，并能够帮助决策者制定出合理的决策方案。
在灵敏度分析中，常用的指标包括目标函数系数的灵敏度分析、资源限制系数的灵敏度分析和松弛度分析。
首先，进行目标函数系数的灵敏度分析。
目标函数系数代表着对决策变量的偏好程度，通过改变目标函数系数的数值，可以分析对最优解的影响。
如果目标函数系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该目标函数系数相对不敏感。
反之，如果目标函数系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该目标函数系数相对较敏感。
其次，进行资源限制系数的灵敏度分析。
资源限制系数反映了资源约束对最优解的影响程度，通过改变资源的可用量，可以分析对最优解的影响。
如果资源限制系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该资源限制系数相对不敏感。
反之，如果资源限制系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该资源限制系数相对较敏感。
最后，进行松弛度分析。
松弛度是指资源使用量与其可用量之差，表示资源的闲置程度。
通过分析松弛度，可以了解决策方案的稳健性。
如果一些资源的松弛度较大，则说明该资源具有一定的闲置容量，决策方案对该资源限制相对较不敏感。
反之，如果一些资源的松弛度较小，则说明该资源的利用率较高，决策方案对该资源限制相对较敏感。
在灵敏度分析中，还可以进行多因素综合分析，研究多个因素同时改变时对最优解的影响。
通过综合分析，可以确定各个因素对最优解的贡献程度，帮助决策者优化决策方案。
总之，灵敏度分析是决策分析中重要的工具，能够评估决策方案的稳定性和可靠性，对于决策者进行决策方案选择具有重要的指导作用。
灵敏度分析应该结合具体的决策问题和决策变量的特征来进行，并且要注意分析结果的合理性和可靠性。
《灵敏度分析》课件
案例二：建筑结构优化中的灵敏度分析
背景：建筑结 构优化需要灵 敏度分析来提 高安全性和稳
定性
目的：通过灵 敏度分析，找 出影响建筑结 构稳定性的关
键因素
方法：采用灵 敏度分析方法， 对建筑结构进
行优化设计
结果：提高了 建筑结构的安 全性和稳定性，
降低了成本
案例三：气候变化模拟中的灵敏度分析
背景：全球气候变化问题日益严重，需要准确预测气候变化的影响
教学质量
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价值
灵敏度分析可以 帮助我们更好地 理解和优化模型， 从而提高决策的 科学性和准确性
对未来研究和应用的建议
加强灵敏度分 析在工程设计 中的应用，提
高设计质量
开展灵敏度分 析在复杂系统 中的应用研究， 提高系统稳定
性
推广灵敏度分 析在科学研究 中的应用，提
高科研效率
加强灵敏度分 析在教育领域 的应用，提高
灵敏度分析的步骤：确定参数、 计算灵敏度、分析结果
灵敏度分析的应用：优化模型、 风险评估、决策支持
灵敏度分析的实 现过程
确定分析目标
明确分析目的： 了解灵敏度对系 统稳定性的影响
确定分析范围：系 统参数、输入输出、 环境因素等
确定分析方法：灵 敏度分析、稳定性 分析、响应分析等
确定分析工具： MATL AB、 Python、 Simulink等
计算灵敏度指标 分析灵敏度结果 提出改进措施或建议
结果解释与优化建议
灵敏度分析结果：包括灵敏度系数、灵敏度区间等 结果解释：对灵敏度系数、灵敏度区间进行解释，说明其含义和影响因素 优化建议：根据灵敏度分析结果，提出优化建议，如调整参数、改进模型等 案例分析：结合实际案例，分析灵敏度分析结果的应用和优化建议的效果
灵敏度分析
2.灵敏度分析度实例
4.电压稳定薄弱节点判定
5.无功补偿位置
灵敏度分析优缺点
（2）严格的说，在实际系统中，各控制变量之间并不是完
全独立的，而很多计算忽略了各控制变量之间的相互关系，
将各控制变量看作是独立的变量。 （3）有些计算方法用偏微分来进行计算，例如在输出变量 对控制变量的灵敏度时，将输出方程对控制变量U求偏导， 只考虑控制变量U的变化而不考虑状态变量X的变化，从数学 上讲，这显然是不正确的。
灵敏度分析
1.灵敏度定义及分类 2.灵敏度分析优缺点
3.灵敏度分析数学方程
4.电压稳定性判定
5.电压稳定薄弱节点判定
6.无功补偿位置的确定
1.灵敏度定义及分类
• 在实际系统中，当控制变量发生微小变化时，系
统的状态变量或输出变量都会发生微小变化，用 它们之间的微分关系来表示这种变化关系，就称 为灵敏度指标。 • 灵敏度分析方法是建立在潮流方程基础上的静态 电压稳定分析方法。 • 其变量可分为四类：独立参数变量，状态变量， 控制变量，输出变量。
第5章灵敏度分析
第5章灵敏度分析灵敏度分析是指在建立模型之后，通过改变模型中的一个或多个参数，观察模型的输出结果发生的变化程度。
也就是说，灵敏度分析是通过改变输入参数来检测模型对参数变化的敏感程度，从而评估输入参数对模型输出结果的影响。
在实际应用中，灵敏度分析有助于确定模型的输入参数，以及优化模型的结果。
灵敏度分析可以从不同的角度进行分类。
一种常见的分类方法是根据分析的目标，将灵敏度分析分为全局灵敏度分析和局部灵敏度分析。
全局灵敏度分析是通过改变所有参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估每个参数对模型输出结果的影响程度。
全局灵敏度分析通常使用敏感性指标来衡量参数对输出结果的贡献程度。
常见的敏感性指标包括Sobol指数、Morris方法和FAST方法等。
这些方法可以通过统计学的方式分析不同参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析是在给定一个参数值的情况下，通过改变该参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估该参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析通常使用敏感度系数来衡量参数对输出结果的贡献程度。
敏感度系数可以通过计算参数对输出结果的一阶导数或二阶导数来得到。
灵敏度分析在实际应用中有很多的应用场景。
例如，在金融领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同投资组合的风险敏感性；在环境领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同因素对环境污染的影响程度；在工程领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同参数对工程设计的影响程度。
在进行灵敏度分析时，需要注意以下几点。
首先，应该选择合适的参数范围，在整个参数变化范围内均匀地选取参数值。
其次，应该选择合适的敏感性指标或敏感度系数来评估参数的影响程度。
最后，应该进行敏感性分析的可行性研究，确保所选择的参数和指标可以反映真实的模型情况。
总之，灵敏度分析是建立模型之后的一项重要工作，可以通过改变模型中的参数来评估参数对模型输出结果的影响程度。
灵敏度分析可以帮助我们确定模型的输入参数，以及优化模型的结果，在实际应用中具有广泛的应用前景。
第三章 第五节 灵敏度分析
5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 σj
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ∆ck， 则σk’= σk+ ∆ck 只要 σk’≤ 0 ,即 ∆ck ≤ - σk ，则 最优解不变；否则，将最优单纯形表 中的检验数 σk 用 σk’取代，继续用单 纯形法的表格计算。
由上式，可得 Δb2≥-4/0.25=-16 ， Δb2≥-4/0.5=-8 ， b2≤2/0.125=16。所以Δb2 的变化范围是［-8， 16］；显然原b2 =16，加它的变化范围后， b2的 变化范围是［8，32］。
2010-10-31 20
5.3
增加一个变量xj的分析
若增加一个新变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ,cn+1发生变化。 那么计算出B-1pn+1 , σn+1=cn+1-∑cri ari n+1 填入最优单纯形表, 若 σn+1 ≤ 0 则最优解不变； 否则，进一步用单纯形法求解即可。
例子从略54分析参数aij的变化2707202024参数aij的变化若变量x在最终单纯形表中为基变量则aij的变化将使相应的b和b1发生变化因此有可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况这时需要引进人工变量将原问题的解转化为可行解再用单纯形法求解例见课本例112707202025增加一个约束之后应把最优解代入新的约束若满足则最优解不变否则填入最优单纯形表作为新的一行引入一个新的非负变量原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量否则引入非负人工变量并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解
b 2/5 11/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一项重要的决策工具，用于评估一个系统对其输入参数变化的敏感程度。
它在不同领域和行业中都有广泛的应用，包括金融、工程、环境等。
本文将详细介绍灵敏度分析的概念、方法和应用，并探讨其在决策过程中的重要性。
灵敏度分析是指通过改变一个或多个输入变量，观察系统输出变量的变化情况，从而确定输入变量对输出变量的影响程度。
它能够帮助我们了解系统的稳定性和可靠性，并得出相应的决策。
灵敏度分析通常与多元回归分析或其他统计模型一起使用，以揭示模型背后的关键因素。
灵敏度分析的方法有很多种，其中最常见的一种是参数灵敏度分析。
参数灵敏度分析通过改变系统输入参数的值，观察输出结果的变化情况，从而确定每个参数对输出结果的影响程度。
这种方法可以帮助我们识别问题中最重要的参数，并为决策提供基础数据。
除了参数灵敏度分析，还有一些其他的灵敏度分析方法，如局部敏感性分析、全局敏感性分析等。
局部敏感性分析通常用于评估系统在输入参数变化的某一特定范围内的敏感性。
全局敏感性分析则可以帮助我们了解整个系统在不同参数组合下的行为。
这些方法的选择取决于具体问题的需求。
灵敏度分析在不同领域和行业中都有广泛的应用。
在金融领域，灵敏度分析可以帮助投资者评估不同投资组合的风险和回报，从而做出更明智的决策。
在工程领域，它可以用于评估系统设计方案的可行性和稳定性。
在环境领域，灵敏度分析可以帮助我们了解环境参数对气候变化或生态系统健康的影响，从而制定相应的保护政策。
灵敏度分析在决策过程中的重要性不言而喻。
通过对系统的关键参数进行分析，我们可以更好地理解系统的行为和性能，从而制定更科学、更有效的决策。
它可以帮助我们识别风险和机遇，并为决策者提供决策依据。
然而，灵敏度分析也存在一些局限性。
首先，它假设系统的行为是线性的，这在实际情况下往往是不成立的。
其次，它无法考虑参数之间的交互作用，这可能导致结果的片面性。
因此，在进行灵敏度分析时，我们应该结合其他分析方法和经验判断，以获得更全面和可靠的结果。
第四章 灵敏度分析
4
线性规划问题 I 表与 B 表的关系 给定符合典式的线性规划问题如下： 给定符合典式的线性规划问题如下：
0 X5 0 0 1 0 0 X5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
19
Cj 解 15/2 7/2 3/2
2 X1 0 1 0 0
增加到30，最优解如何变化？ 若b2增加到 ，最优解如何变化？
1 5 / 4 − 15 / 2 −1 B = 0 1/ 4 −1/ 2 0 −1/ 4 3 / 2 15 b' = 30 5
Max Z = CX + 0XS AX + IXS = b X ，XS ≥ 0 a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n ……………….. am1 am2 … amn b= C = （c1 ，c2 ，…，cn ） 其中 X= b1 b2 . . . bm x1 x2 . . . xn XS = xS1 xS2 . . . xSm
13
I表 CB 0 0 0 基 X3 X4 X5 检验数σj 检验数σ B表 CB 0 2 1 基 X3 X1 X2 检验数σ 检验数σj
Cj 解 15 24 5
2 X1 0 6 1 2
1 X2 5 2 1 1 1 X2 0 0 1 0
0 X3 1 0 0 0 0 X3 1 0 0 0
0 X4 0 1 0 0 0 X4 5/4 1/4 -1/4 -1/4
灵敏度分析
２、基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
例2.1
已知线性规划问题
max η = 30x 1 + 25x 2 + 35x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 800 x + x + 2x ≤ 1000 1 2 3 s.t. 2x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2000 x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
25 X2 3 -1 -4 1 3 -1 -4 -6
35 X3 0 1 0 2 0 1 0 0
0 X4 2 -1 -3 0 2 -1 -3 -4
0 X5 -1 1 1 0 -1 1 1 3
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 600 200 600 -600 600 200 600 1600
课堂练习
1 已知线性规划问题：
P153(4)
max Z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 ≤ 40 s.t. 2x 1 + x 2 ≤ 50 x , x ≥ 0 1 2
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数 c j 允许 变化的范围。 （2）每个约束条件的影子价格
X6 X7 b
-30 0
-25 -5
-30 0
-25 -5
30 25 30 X1 35 X3 0 0 X6 X7 1 0 0 0 0 30 X1 35 X3 0 0 X6 X7 1 0 0 0 0 3 -1 -4 -6 0 0 0 1 0
35 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 -1 -3 -4 -25 0
XB
-1
什么是“灵敏度分析”,它如何改进我们对不同现象的理解？
什么是“灵敏度分析”，它如何改进我们对不同现象的理解？灵敏度分析是指在一定范围内，改变某些参数的取值时，对于系统性能或者输出结果所引起的变化程度的分析。
这种方法可以在预先设计的过程中，识别出哪些参数在不同的处理条件下对输出结果的影响最大。
因此，它能为我们提供更加全面的数据信息，进而帮助我们对系统或事物的总体性能进行更深入的了解。
下面，我们将为您详细阐述灵敏度分析的作用，以及它对我们对不同现象的理解所做出的贡献。
一、灵敏度分析的主要作用1. 发现控制因素。
通过灵敏度分析，我们可以知道哪些变量或参数对于某个系统或者应用来说，是最重要的。
这些变量或参数被称为控制因素，因为我们可以通过调整它们的数值来改善系统/应用性能。
2. 预测性能。
灵敏度分析还可以用于预测系统或应用性能。
即使在没有实际数据的情况下，通过定量评估控制参数对结果的影响，我们可以大致估计系统或应用的性能，并为未来的问题提供预测性指南。
3. 优化系统。
灵敏度分析可以用于优化系统或应用程序，并改善绩效。
分析结果可以提供关于如何调整特定参数的建议，以达到更好的结果。
此外，这种方法也可以帮助我们发现系统的弱点，在设计更好的系统方案时提供启示。
二、灵敏度分析在不同领域的应用1. 财务领域。
在财务领域，灵敏度分析可以用于识别市场趋势，分析投资风险，以及测量资产投资组合的表现。
2. 制造业。
在制造业，灵敏度分析可以用于定量评估材料变化、产量、销售价格等因素对盈亏平衡点的影响，以及为实现质量、效率和利润的优化提供指导。
3. 气象领域。
在气象领域，灵敏度分析可用于预测天气变化，改善对天气和气象因素的干预力度，如农作物生长的影响，以及自然灾害的风险评估和应对。
4. 经济学。
在经济学中，灵敏度分析可分析某种政策、法规或市场变化对个人或整个企业的影响，从而帮助我们了解这些变化对于人们日常生活和企业运行的各个方面的影响。
三、结语总之，灵敏度分析不仅可以帮助我们了解事物中关键信息的来源和对它们的影响程度，而且也可以帮助我们评估不同方案或决策的影响，以及找到最佳解决方案。
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对某一线性规划问题来说，一旦其约束条件系数矩阵A、约 束条件的右端常数向量b和价值系数向量C给定以后，这个线性 规划问题就确定了。反之，给定一个线性规划问题，就有确定 的一组A、b、C与之对应。在此之前我们一直假定A、b、C中 的元素均为常数，他们不发生变化。但实际上这些系数往往是 通过估计、预测或人为决策得来的，不可能十分准确和一成不 变件b的系。元数例素矩如b：阵i随市A着中场资的条源元件使素一用a变i量j往，的往价变随值化着系而工数改艺c变j技就。术会这条跟就件着是的变说改化，变；随而约着改束时变条间； 的推移或情况的改变，我们往往需要修改原来线性规划问题中 的若干系数，从而使原来的线性规划问题有所改变。因此，就 实际需要来说，单单把线性规划问题的最优解确定下来，还不 能说问题已完全解决了。决策者还需要知道这样的问题：
由上表可知：当⊿c3≤ 2 ，即 0≤ c3≤8时，最优解不变
1.2基变量对应价值系数变化
•由于基变量对应的价值系数在CB中出现，因此它会影响所有
非基变量的检验数
•只有一个基变量的 ck发生变化，变化量为ck
2.约束条件右端项bi变化的分析(1)
•设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b 0 •b的变化不会影响检验数
二、灵敏度分析的定义
灵敏度分析就是研究cj、bi、aij等参数在什么范围内变
化时最优解不变，若最优解发生变化，如何用简便的方 法求出新的最优解。 线性规划中用到的数据很多，决策者既希望知道个别数 据变化的影响，还希望知道几个数据同时发生变化所产 生的影响。因此灵敏度分析的范围是相当广的，这里只 讨论个别数据变化的灵敏度分析。
1. 当这些系数中的一个或几个发生变化时，已求得的 最优解会有什么变化；
2. 这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最 优解或最优基不变；
3. 若最优解变化，如何用最简便的方法找到新的最优 解。
为了回答这些问题，可以在变化了的条件下重新求 解线性规划问题。但是这样做太麻烦，也不必要。本节 的目的是讲，如何在已经得到的最优解的基础上，进行 适当的修改计算，即可回答上面的问题。这就是灵敏度 分析的基本内容。
则该问题的数学模型为：
max f 5x1 8x2 6x3
xx11
x2 x3 12 2x2 2x3 20
x1 , x2 , x3 0
用单纯形法求解结果
初始单纯形表
x1 x2 x3 x4 x5 bi x4 1 1 1 1 0 12 x5 1 2 2 0 1 20 f 5 8 6 0 0 0
x5 B-1b -1 14 12 -3 -86
结论：当b2=18时，最优基不变，最优解变为： x1=14，x2=2
当b2=24时，最优单纯形表为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 2 2 0 x2 0 -1 -1 1 -f 0 0 -2 -2
x5 B-1b 18 -1 8 -3 -104
结论：当b2=24时，最优基不变，最优解变为： x1=8，x2=8
最优单纯形表
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x1 1 2 2 0 1 20 x4 0 -1 -1 1 -1 2 -f 0 -2 -4 0 -5 -100
结论：当b1=22时，最优基改变，最优解变为：
x1=20，x4=2
当b2=18时，最优单纯形表为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 0 0 2 x2 0 1 1 -1 -f 0 0 -2 -2
•b的变化量b可能导致原最优解变为非基可行解 设b’=b+ b
为保证最优基不变，必须满足XB=B-1b’ 0
在实例1中:
1. 分析b1=16和b1=22时，最优基和最优解的变
化。
2. 分化析。b2=18和b2=24B时1，最 优21 基和11最优解的变
解：由最优单纯b 形表12可60知：
当Bb11b=16时 ，21 111260 142
–非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数
–基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
1.1非基变量对应的价值系数变化
若非基变量xj对应的系数cj的变化量为⊿cj，新的判别数为
j c j
要保持 j c，j 故0有
c j j
在实例1中，分析产品丙的利润变化对最优解的影响。
x1 x2 x3 x4 x5 bi x1 1 0 0 2 1 4 x2 0 1 1 1 1 8 f 0 0 2 2 3 84
2.约束条件右端项bi变化的分析(2)
在实例1中:
1. 分析b1在什么范围内变化时，最优基不变。 2. 分析b2在什么范围内变化时，最优基不变。 分析使最优基保持不变的b1的范围:
B
1b'
2 1
11
b1 20
2b1 b1
20 20
0
解之得：10≤b1≤20
即当10≤b1≤20时，最优基不变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析使最优基保持不变的b2的范围:
最优单纯形表变为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 0 0 2
x2 0 1 1 1
f 0 0 2 2
x5 B-1b 1 12 14 3 -92
结论：当b1=16时，最优基不变，最优解变
为： x1=12，x2=4
当b1=22时 b 2202
B
1b
2 1
11
2202
24 2
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x1 1 0 0 2 1 24 x2 0 1 1 1 1 -2 f 0 0 2 2 3 -104
三、灵敏度分析的内容
❖价值系数cj的变化的分析 ❖约束条件右端项bi变化的分析 ❖系数矩阵A变化的分析
系数列向量Pk变化的分析
增加新约束条件的分析 增加新变量的分析
实例1
产品
资源
A
B
C
资源拥 有量
原料甲
1
1
1 12kg
原料乙
1
2
2 20kg
利润
（元/kg） 5
8
6
实例1的数学模型
设产品A、B、C 的产量分别为x1、x2、x3，
最优单纯形表
x1 x2 x3 x4 x5 bi x1 1 0 0 2 1 4
x2 0 1 1 1 1 8
f 0 0 2 2 3 84
1.价值系数cj变化的分析
•cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动。 •cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 分析cj 允许的变动范围cj •cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况：