灵敏度分析

最优单纯形表变为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 0 0 2
x2 0 1 1 1
f 0 0 2 2
x5 B-1b 1 12 14 3 -92
结论：当b1=16时，最优基不变，最优解变
为： x1=12，x2=4
当b1=22时 b 2202
B
1b
2 1
11
2202
24 2
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x1 1 0 0 2 1 24 x2 0 1 1 1 1 -2 f 0 0 2 2 3 -104
最优单纯形表
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x1 1 2 2 0 1 20 x4 0 -1 -1 1 -1 2 -f 0 -2 -4 0 -5 -100
结论：当b1=22时，最优基改变，最优解变为：
x1=20，x4=2
当b2=18时，最优单纯形表为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 0 0 2 x2 0 1 1 -1 -f 0 0 -2 -2
三、灵敏度分析的内容
❖价值系数cj的变化的分析 ❖约束条件右端项bi变化的分析 ❖系数矩阵A变化的分析
系数列向量Pk变化的分析
增加新约束条件的分析 增加新变量的分析
实例1
产品
资源
A
B
C
资源拥 有量
原料甲
1
1
1 12kg
原料乙
1
2
2 20kg
利润
（元/kg） 5
8
6
实例1的数学模型
设产品A、B、C 的产量分别为x1、x2、x3，
–非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数
–基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
1.1非基变量对应的价值系数变化
若非基变量xj对应的系数cj的变化量为⊿cj，新的判别数为
j c jHale Waihona Puke Baidu
要保持 j c，j 故0有
c j j
在实例1中，分析产品丙的利润变化对最优解的影响。
x1 x2 x3 x4 x5 bi x1 1 0 0 2 1 4 x2 0 1 1 1 1 8 f 0 0 2 2 3 84
由上表可知：当⊿c3≤ 2 ，即 0≤ c3≤8时，最优解不变
1.2基变量对应价值系数变化
•由于基变量对应的价值系数在CB中出现，因此它会影响所有
非基变量的检验数
•只有一个基变量的 ck发生变化，变化量为ck
2.约束条件右端项bi变化的分析(1)
•设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b 0 •b的变化不会影响检验数
一、灵敏度分析概述
对某一线性规划问题来说，一旦其约束条件系数矩阵A、约 束条件的右端常数向量b和价值系数向量C给定以后，这个线性 规划问题就确定了。反之，给定一个线性规划问题，就有确定 的一组A、b、C与之对应。在此之前我们一直假定A、b、C中 的元素均为常数，他们不发生变化。但实际上这些系数往往是 通过估计、预测或人为决策得来的，不可能十分准确和一成不 变件b的系。元数例素矩如b：阵i随市A着中场资的条源元件使素一用a变i量j往，的往价变随值化着系而工数改艺c变j技就。术会这条跟就件着是的变说改化，变；随而约着改束时变条间； 的推移或情况的改变，我们往往需要修改原来线性规划问题中 的若干系数，从而使原来的线性规划问题有所改变。因此，就 实际需要来说，单单把线性规划问题的最优解确定下来，还不 能说问题已完全解决了。决策者还需要知道这样的问题：
最优单纯形表
x1 x2 x3 x4 x5 bi x1 1 0 0 2 1 4
x2 0 1 1 1 1 8
f 0 0 2 2 3 84
1.价值系数cj变化的分析
•cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动。 •cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 分析cj 允许的变动范围cj •cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况：
x5 B-1b -1 14 12 -3 -86
结论：当b2=18时，最优基不变，最优解变为： x1=14，x2=2
当b2=24时，最优单纯形表为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 2 2 0 x2 0 -1 -1 1 -f 0 0 -2 -2
x5 B-1b 18 -1 8 -3 -104
结论：当b2=24时，最优基不变，最优解变为： x1=8，x2=8
2.约束条件右端项bi变化的分析(2)
在实例1中:
1. 分析b1在什么范围内变化时，最优基不变。 2. 分析b2在什么范围内变化时，最优基不变。 分析使最优基保持不变的b1的范围:
B
1b'
2 1
11
b1 20
2b1 b1
20 20
0
解之得：10≤b1≤20
即当10≤b1≤20时，最优基不变
分析使最优基保持不变的b2的范围:
1. 当这些系数中的一个或几个发生变化时，已求得的 最优解会有什么变化；
2. 这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最 优解或最优基不变；
3. 若最优解变化，如何用最简便的方法找到新的最优 解。
为了回答这些问题，可以在变化了的条件下重新求 解线性规划问题。但是这样做太麻烦，也不必要。本节 的目的是讲，如何在已经得到的最优解的基础上，进行 适当的修改计算，即可回答上面的问题。这就是灵敏度 分析的基本内容。
•b的变化量b可能导致原最优解变为非基可行解 设b’=b+ b
为保证最优基不变，必须满足XB=B-1b’ 0
在实例1中:
1. 分析b1=16和b1=22时，最优基和最优解的变
化。
2. 分化析。b2=18和b2=24B时1，最 优21 基和11最优解的变
解：由最优单纯b 形表12可60知：
当Bb11b=16时 ，21 111260 142
则该问题的数学模型为：
max f 5x1 8x2 6x3
xx11
x2 x3 12 2x2 2x3 20
x1 , x2 , x3 0
用单纯形法求解结果
初始单纯形表
x1 x2 x3 x4 x5 bi x4 1 1 1 1 0 12 x5 1 2 2 0 1 20 f 5 8 6 0 0 0
二、灵敏度分析的定义
灵敏度分析就是研究cj、bi、aij等参数在什么范围内变
化时最优解不变，若最优解发生变化，如何用简便的方 法求出新的最优解。 线性规划中用到的数据很多，决策者既希望知道个别数 据变化的影响，还希望知道几个数据同时发生变化所产 生的影响。因此灵敏度分析的范围是相当广的，这里只 讨论个别数据变化的灵敏度分析。