直方图和正态分布图
正态分布图制图步骤知识讲解
操作说明
1.统计数据个数；任意选个单元格，如B1，输入
count(A1:A10)；
2.求最大值；如B2中输入：max(A1:A10)
3.求最小值；如B3中输入：min(A1:A10)
4.求平均值；如B4中输入：average(A1:A10)
5.求标准偏差：如B5中输入：stdev(A1:A10)
6.获得数据区间；用最大值减最小值；如B6中输入：B3-B2
7.获得直方图个数；个数的开放加1
，如B7中输入：sqrt
（B1）+1
8.获得直方图组距；用区间除以(直方图个数-1)，如B8中输入B7/(B7-1)
下面就开始作图了：
1.任选个空单元格：如C列第一个单元格C1，令C1等于最小值，即输入=B3
2.在C2中输入=C1+$B$8 (最小值逐渐累加，绝对引用)
3.选中C2，然后向下拉，直到数据大于最大值就可以了；比如你拉到C5了。
4.统计频数，如在D1中输入frequency（A1:A10，C1:C5）确定，然后将选中D1到D5，将光标定位到公式栏，同时按住Ctrl+Shift+Enter
5.统计正态分布的数据，E1中输入normdist（C1，
$B$4,$B$5,0）回车；然后选中E1，下拉到E5。
2.4正态分布
解答
引申探究
本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值.
解 因为X服从正态分布N(1,22)， 所以对应的正态曲线关于x＝1对称. 又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，
c＋1＋c－1 因此 ＝1，即 c＝1. 2
解答
反思与感 悟
利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的
2
1 2 3 4 5
解析
答案
3.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)， (μ － 2σ ， μ ＋ 2σ) 和 (μ － 3σ ， μ ＋ 3σ) 内 取 值 的 概 率 分 别 为
68.3%,95.4% 和99.7%.若某校高一年级 1 000名学生的某次考试
成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间 (60,120) 内的学生大约有 A.997人 B.972人
解析 答案
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
3、特殊区间的概率:
特别地有
解析
由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，
曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.
1 2 3 4 5
解析
答案
2.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ ＝0无实数根的概率为 ，则μ等于 1
柏拉图及直方图和正态分布图绘制方法
正态图
40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
图9 为0
设置柱形图的“分类间距”
图10 直方图和正态分布图
准备绘制图表所需的数据。如图所示1，A3:B8单元格区域为消费支出的数 据，并按支出金额的大小排列，其中表格的第2行设计成累计值为0的空白 项目。 C3:C8单元格区域为每项支出占全部支出的比例，D3:D8单元格区域为每项 支出的累计比例，E3:E8单元格区域为绘制累计比例的XY散点图系列所对 应的x坐标值。 各列公式的设置方法如下：分别选取C3:C8、D3:D8和E3:E8单元格区域， 然后输入下列公式，按<Ctrl+Enter>组合键完成公式的编辑。
标准柏拉图（Pareto chart)
100% 80% 60% 40% 20% 0% 娱乐 租金 食物 衣服 交通 其它 17% 54% 100% 80% 60% 40% 20% 5% 3% 0%
12%
9%
图10 标准柏拉图
直方图及正态分布图绘制方法介绍
定义：直方图是通过对数据的加工整理，从而分析和掌握质量数据的分布 状况和估算工序不合格品率的一种方法。 用途：常用于分析质量原因，测量工序能力，估计工序不合格品率等。 作直方图的三大步骤：(1)作频数分布表 (2)画直方图 (3)进行相关计算 常见的几种典型形状：(1)正常型 (2)孤岛型 (3)偏向型 (4)平顶型 定量表示直方图的主要统计特征值： (1)平均值--表示数据的分布中心位置， (2)标准偏差--表示数据的分散程度 。 直方图和正态分布图是统计中使用最为频繁的图表。直方图是先按分组区 间计算出数据的发生频数，再以柱形表示频数的图表。正态分布图则描述数 据在分组区间内出现的概率，在图表中表现为一条单峰，对称的钟形曲线。 具体的绘制步骤如下： 原始数据：
直方图、正态分布、柏拉图
3.2 柏拉图绘制
2013试剂市场反馈总结 反馈原因 展板问题 假阳性 漏诊 发货问题 检测线双线 C线浅 检测值偏低 注册变更 批间差大 SD卡难插 加样溢出 检测窗口粗红线 灰壳子灵敏度低 检测线颜色不均 其他 次数 26 26 20 15 6 4 4 2 1 1 1 1 1 1 5
3.2 柏拉图绘制
组距=极差R/组数
第一组下组界 = 最小值－测定值最小位數／２ 第一组上组界 = 第一组下组界 + 组距 第一组上组界 = 第一组下组界 + 组距 第二组上组界 = 第二组下组界 + 组距
画图
1.2 直方图绘制（EXCEL）
1.2 直方图绘制（SPSS）
1.2 直方图绘制（SPSS）
1.3 直方图类型
x
和s 来估计，此时，7条水平线分别
x
±2s , x ±3s 。
2.6.2 控制图
4.质量控制图的做法
对某一观察指标，依时间顺序记录其观察数据，并在控制图上依次
描出各点。若出现以下8种情况之一，则有理由认为其数据波动不
仅仅是随机测量误差所引起，而是可能存在某种系统误差。
2.6.2 控制图
判断异常的8种情况如下：
（Lorenz）曲线.
3. 美国品管专家J.M.Juran（朱兰博士）将劳伦兹曲线应用于品管上,同时创出“Vital few,Trivial many”（重要的 少数,琐细的多数）的见解,并借用Pareto的名字,将此现象定为“柏拉图原理”.
4.“柏拉图”方法,由品管圈（QCC）创始人日本石川罄介绍到品管圈活动中使用,而成为品管七大手法之一.
1.5 直方图实例
2.1 正态分布简介
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的 概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态分布
例3： 正态总体为 ： 正态总体为µ=0， ， x2 1 −2 σ=1时的概率密度函数是 f ( x) = 2π e , x∈R 时的概率密度函数是 (1)求证：f(x)是偶函数； 求证： 是偶函数 是偶函数； 求证 (2)求f(x)的最大值； 求 的最大值； 的最大值 (3)利用指数函数的性质说明 的增减性． 利用指数函数的性质说明f(x)的增减性 利用指数函数的性质说明 的增减性．
1 2 π
5 10 15 20 25 30 35 x
练习3: 练习
已知函数f ( x ) =
1
2p X轴上方 轴上方 a、它的图象在__________
1
e
x2 2
，则
b、它的最大值是________ 2p 直线x=0 直线x=0 ________对 c、它的图象关于________对称
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布： 从正态分布：
以及降雨量等，水文中的水位； 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、 总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质 、
①曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线的变化趋势如何？ ③ 曲线的变化趋势如何？
一般正态分布为一个分布族:N(µ,σ2) ；标准 µσ 正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应
用
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于 。 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 轴与正态曲线所夹面积恒等于 • 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。
S(-∞,-X)
正态分布 课件
；
• 特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6862 ；
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
[答案] B
[解析] 仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝ 21πσe－
(x－μ)2
2σ2 (x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及
正态分布
• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分 布直方图 无限接近于 一条总体密度曲 线，在总体所在系统相对稳定的情况下， 总体密度曲线就是或近似地是以下函数的 图象：
• 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图 象为 正态分布密度曲线，简称 正态曲线 ．
• (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
• (5) 当 σ 一 定 时 ， 曲 线 随 μ 的 变 化而沿 x 轴 平移；
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，
曲线越“
瘦高”，表示总体的分布越
集中 ；σ越大，曲线越“
矮胖 ”，表示
总体的分布越 分散 ．
• 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概
率P(μ－a<X≤μ＋a)＝
称 性 得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ， 所 以
P(6<X≤7)＝
＝0.1359.
• [点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的
值，然后根据三个特殊区间上的概率值及
正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的 面积是1等)进行求解．
• [例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近 似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于 60分为不及格，求：
有关正态分布的解释
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
e
x-∞2 ＜x＜+∞
2 2
则该随机变量服从正态2分布。
式中σ为总体标准差；μ为总体均数；
π为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的
底，即2.71828···。
✓ 若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布， 记为：X～N（μ,σ2）。
144～
25
145.5
147～
20
148.5
150～
9
151.5
153～
3
154.5
156～
2
157.5
159～162
1
160.5
合计
118
—
频数
频数分布图一（又称直方图）
30
20
10
0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5
身高（X）大于 155(cm)的概率为： PX x2 155 PU u2
u2
x2 s
x
155 144.29 5.41
1.98
PX x2 155 PU u2 PU u2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下者占正常女孩总人数的 4.272%，身高 在 155 厘米以上者占正常女孩总人数的 2.385%。
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即左右 各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
使用Python绘制直方图和正态分布曲线
使⽤Python绘制直⽅图和正态分布曲线本⽂主要介绍两个内容：如何使⽤记事本⽣成包含某⼀数据集的CSV⽂件；如何使⽤Python绘制给定数据集的直⽅图和正态分布曲线。
1. 使⽤记事本创建CSV⽂件①新建⼀个⽂本⽂件，打开后输⼊数据，格式如下：name,age,addressMike,20,shanghai这⾥需要注意的是：关键字之间使⽤英⽂逗号隔开；第⼀⾏为引⽤字段，第⼆⾏为对应值。
②将⽂本⽂件另存为CSV⽂件，如下：依次选择【⽂件】→【另存为】→【⽂件名：xxx.csv】→【保存类型：所有⽂件】→【编码：utf-8】→【保存】，图⽰如下：③ CSV⽂件中的数据为100个表⽰长度的数值，如下：2539 2536 2534 2542 2545 2538 2539 2542 2547 25352541 2543 2544 2548 2545 2543 2546 2540 2551 25452540 2539 2541 2536 2538 2531 2556 2543 2540 25382537 2544 2533 2546 2540 2549 2534 2542 2550 25372535 2532 2545 2540 2527 2543 2554 2539 2545 25432540 2543 2544 2541 2553 2537 2538 2524 2544 25402536 2542 2539 2546 2538 2535 2531 2534 2540 25362541 2532 2538 2542 2540 2533 2537 2541 2549 25352547 2534 2530 2539 2536 2546 2529 2540 2537 25332540 2535 2541 2537 2547 2539 2542 2547 2538 25392. 绘制数据集的直⽅图和正态分布曲线1#2# 本⽂以某⼀批产品的长度为数据集3# 在此数据集的基础上绘制直⽅图和正态分布曲线4#56import pandas as pd # pandas是⼀个强⼤的分析结构化数据的⼯具集7import numpy as np # numpy是Python中科学计算的核⼼库8import matplotlib.pyplot as plt # matplotlib数据可视化神器910# 正态分布的概率密度函数11# x 数据集中的某⼀具体测量值12# mu 数据集的平均值，反映测量值分布的集中趋势13# sigma 数据集的标准差，反映测量值分布的分散程度14def normfun(x, mu, sigma):15 pdf = np.exp(-((x - mu) ** 2) / (2 * sigma ** 2)) / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) 16return pdf1718if__name__ == '__main__':1920 data = pd.read_csv('length.csv') # 载⼊数据⽂件21 length = data['length'] # 获得长度数据集22 mean = length.mean() # 获得数据集的平均值23 std = length.std() # 获得数据集的标准差2425# 设定X轴：前两个数字是X轴的起⽌范围，第三个数字表⽰步长26# 步长设定得越⼩，画出来的正态分布曲线越平滑27 x = np.arange(2524, 2556, 0.1)28# 设定Y轴，载⼊刚才定义的正态分布函数29 y = normfun(x, mean, std)30# 绘制数据集的正态分布曲线31 plt.plot(x, y)3233# 绘制数据集的直⽅图34 plt.hist(length, bins=12, rwidth=0.9, density=True)35 plt.title('Length distribution')36 plt.xlabel('Length')37 plt.ylabel('Probability')3839# 输出正态分布曲线和直⽅图40 plt.show()程序执⾏结果如下：。
正态分布
0.9544
.
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7). 、 求
选修2-3 高二数学 选修
2.4 正态分布
复习
100个产品尺寸的频率分布直方图 个产品尺寸的频率分布直方图 个产品尺寸的
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
∫ ϕµ σ ( x)dx µ
,
特别地有 x=µ
P( µ − σ < X ≤ µ + σ ) = 0.6826, P( µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ ) = 0.9544, P( µ − 3σ < X ≤ µ + 3σ ) = 0.9974.
µ+a
µ-a
P( µ − σ < X ≤ µ + σ ) = 0.6826, P( µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ ) = 0.9544, P( µ − 3σ < X ≤ µ + 3σ ) = 0.9974.
D.
1 f ( x) = e 2π
x2 2
例2、标准正态总体的函数为 、
1 f ( x) = e 2π
x2 − 2
, x ∈ (−∞, +∞).
是偶函数； （1）证明 ）证明f(x)是偶函数； 是偶函数 的最大值； （2）求f(x)的最大值； ） 的最大值 的增减性。 （3）利用指数函数的性质说明 的增减性。 ）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性
直方图和正态分布
u
x
σ 相同而μ 不同的三个正态分布
μ相同而σ不同的三个正态分布
6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1， 即：
1 P ( x ) e 2 ( x )2 2 2
dx 1
二、标准正态分布
μ=0,σ2=1的正态分布称为标准正态分布(standard
normal distribution)。 随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)， u 称为标准正态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。
（3）确定组数和组距；
组数的确定根据经验公式：
组数=1+3.3LogN（N为数据的个数），
组距=全距/组数；
样本容量与组数
样本容量 30—60 60—100 100—200 200—500 组 数
5 —8 8—10 10—12 12—18
500以上
18—30
（4）确定组限和组中值。各组的最大值和最小值称为组限， 每一组的中点值为组中值。 组中值 = （组下限+组上限）/2 在资料分组时为了避免第一组中的观测值过多，第一组的 组中值以接近或等于资料中的最小观测值为好。 为了恰好使等于前一组上限和后一组下限的数据能确切归 组，确定将其归入后一组，即约定“上限不在内”。 （5）归组、作次数分布表
2
其中，μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x服从正态 分布(normal distribution)， 记为x～N （ μ,σ2 ）
(二) 正态分布的特征
正态分布密度曲线
正态分布的重要特征：
1、正态分布密度曲线是单峰、对称的“悬钟”形曲
线，
对称轴为x=μ；
2、概率分布密度函数f(x)在x=μ处达到极大。
医学统计学-正态分布
正态分布的概率密度
正态曲线（normal curve）：高峰位于中 央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两 段永远不与横轴相交的钟型曲线。
正态曲线的函数表达式 f ( x) 称为正态分布 概率密度函数：
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
8
正态分布的参数
如果变量X的概率密度函数服从上述函数，则称
4
概率密度
组段
各个组段的概率
95100105110115120125130135140-
概率 0.0006 0.0049 0.0440 0.1532 0.2936 0.3037 0.1515 0.0421 0.0061 0.0003
– P(110cm身高<115cm)= 0.153 – P(105cm身高<120cm)= 0.0440+0.1532+0.2936=0.4908 – P(身高<120cm)= 0.4963 组距越小，组段就越多，能够计算概率的区 间就越多
肺通气量的95%参考值范围 – 根据肺通气量的背景和已知的影响因素，制定 入选标准和排除标 – 入选标准和排除标准所确定的人群中随机抽样 – 确定单双侧和分布：单侧，近似正态 – 已知 x =4.5L, s=0.6L.
22
参考值范围估计正态分布法 分位数法双侧%
单侧
只有下 限 只有上 限
双侧
单侧
16
标准正态分布曲线下面积 (u) 表、图
17
-1.96≤x≤1.96的概率：
18
例：设u1=-1.83,u2=-0.3，求标准正态分布曲
线下（-1.83，-0.30）范围内的面积
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直方图和正态分布图
直方图（Historgram）是将某期间所收集的计量值数据经分组整理成次数统计表，并使用柱形予以图形化，以掌握这些数据的分布状况。
直方图的应用
制造---加工尺寸的分布
经济---收入支出的分布
教育---考试成绩的分布……
●直方图是反映分组数据频数的柱形图
●正态分布图是一条单峰、对称成钟形的曲线。
Frequency函数
●以一个垂直数组返回某个区域中数据的频率分布
●由于函数frequency返回返回一个数组，所以必须以数组公式的形式输入
Frequency（data_array，bins_array）:
data_array为一数组或对一组数值的引用，用来计算频率。
Bins_array 为间隔的数组或对间隔的引用，该间隔用于对data_array中的数值进行分组
Normdist函数
返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数
Normdist (x，mean，standard_dev，cumulative)
其中x为需要计算其分布的数值
Mean 分布的算术平均数
Standard_dev 分布的标准偏差
Cumulative 如果为false，则返回概率密度函数
正态分布图的差异：中心偏移，分布不同
分析工具库-安装加载宏：制作直方图
VBA：全称Visual Basic for Application, 它是Visual Basic 的应用程序版本，是面向对象的编程语言。
VBA也可应用于AutoCAD
VBA的应用
●自动执行重复的操作
●进行“智能化”处理
●Office二次开发的平台。