高考数学 6年高考母题精解精析 专题14 复数01 理
高考数学压轴专题最新备战高考《复数》解析含答案
【最新】数学《复数》专题解析(1)一、选择题1．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A ．25-B ．25C ．7-D ．7【答案】A【解析】【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】 Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )A B C ．3 D ．5【答案】B【解析】22(2)22(1)5z i i i i =-=-=+-=，故选B ．4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.5．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( ) A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B 【解析】【分析】化简复数得到答案. 【详解】 ()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.6．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi7．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.8．若43i z =+，则z z=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i - 【答案】D【解析】【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-， 据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.9．设3443i z i -=+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i + 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．【详解】 解：3443i z i-=+Q ()()()()344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q()()()21f z i i i ∴=---+=故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.11．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）A ．5B ．15C ．25D ．5【答案】D【解析】【分析】 化简得到1355z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++===-，∴1355z i =+，∴||z =. 故选：D .【点睛】本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.12．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i +D ．2i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．13．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】 复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题17．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.18．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 ∵()112z i i +=-，∴()()()()221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32 【答案】B【解析】【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A．-1 B．1 C．0 D．2【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。
第4节 复数--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第四节复数课标解读考向预测1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.2.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．复数是高考的必考内容，主要考查复数的加、减、乘、除运算及复数的几何意义．预计2025年高考会考查复数运算，题型以选择题、填空题为主，分值为5分或6分.必备知识——强基础1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中01a 是实部，02b 是虚部，i 为虚数单位．(2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )b 03＝0），b 04≠0）（当a 05＝0时为纯虚数）.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔06a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔07a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作08|z |或09|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝10(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝11(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝12(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )．5．复数z 的方程在复平面内表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，a 和b 为半径的两圆所夹的圆环．(2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .()(2)复数可以比较大小．()(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2023·全国甲卷)5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝()A ．－1B ．1C ．1－iD ．1＋i答案C解析5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝5（1－i ）5＝1－i.故选C.(2)(人教A 必修第二册习题7.2T2改编)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是()A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案D解析∵CA →＝CB →＋BA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i.故选D.(3)若a ＋b i(a ，b ∈R )是1－i1＋i 的共轭复数，则a ＋b ＝________．答案1解析由1－i 1＋i ＝（1－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－i ，得a ＋b i ＝i ，即a ＝0，b ＝1，则a ＋b ＝1.(4)(人教B 必修第四册习题10－1A T2改编)已知(a －i)(1－2i)＝－3＋b i ，a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a ＋b ＝________；若复数z ＝a ＋b i ，则z 在复平面内对应的点位于第________象限．答案0二解析由(a －i)(1－2i)＝－3＋b i ，得a －2－(1＋2a )i ＝－3＋b i ，由复数相等的充要条件得－2＝－3，1＋2a ）＝b ，＝－1，＝1，所以a ＋b ＝0，z ＝－1＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．考点探究——提素养考点一复数的有关概念例1(1)(2023·苏州期末)设i 为虚数单位，若复数(1－i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案A解析∵(1－i)(1＋a i)＝1＋a i －i ＋a ＝1＋a ＋(a －1)i 为纯虚数，∴1＋a ＝0，且a －1≠0，∴a＝－1.故选A.(2)若复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z －的实部为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案C解析由题意，得z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i 5＝2－i ，所以z －＝2＋i ，故z －的实部为2.故选C.【通性通法】解决复数概念问题的两个注意事项【巩固迁移】1．(2024·衡水中学模拟)已知x1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为()A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i答案B解析由x 1＋i ＝1－y i ，得x （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－y i ，即x 2－x2i ＝1－y i1，y ，解得x ＝2，y＝1，∴x ＋y i ＝2＋i ，∴其共轭复数为2－i.故选B.2．复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________．答案－4解析z＝(3＋i)(1－4i)＝7－11i，则z的实部为7，虚部为－11，故复数z的实部与虚部之和是7－11＝－4.考点二复数的运算例2(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝1－i2＋2i，则z－z－＝()A．－i B．i C．0D．1答案A解析因为z＝1－i2＋2i＝（1－i）（1－i）2（1＋i）（1－i）＝－2i4＝－12i，所以z－＝12i，所以z－z－＝－i.故选A.(2)若复数z满足z－iz＋1＝i，则z2＝________，|z|＝________．答案－2i2解析设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z－iz＋1＝a＋（b－1）i（a＋1）＋b i＝i，a＋(b－1)i＝i·[(a＋1)＋b i]＝－b＋(a＋1)i，＝－b，－1＝a＋1，＝－1，＝1，所以z＝－1＋i，故z2＝(－1＋i)2＝－2i，|z|＝（－1）2＋12＝ 2.【通性通法】复数代数形式运算的策略【巩固迁移】3．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i答案D解析(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D.4．(2023·全国乙卷)设z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5，则z －＝()A ．1－2iB ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案B解析由题意可得z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5＝2＋i 1－1＋i ＝i （2＋i ）i 2＝2i －1－1＝1－2i ，则z －＝1＋2i.故选B.考点三复数的几何意义例3(1)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为()A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i答案D解析由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.(2)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z 1＝－2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为A ，复数z 2满足|z 2－1＋i|＝2，z 2在复平面内对应的点为B (x ，y )，则下列结论正确的是()A ．复数z 1的虚部为iB ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4C ．|z 1－z 2|的最大值为13＋2D ．|z 1＋z 2|的最小值为13－2答案BC解析由z 1＝－2＋i 知，虚部为1，故A 错误；因为|z 2－1＋i|＝2，z 2在复平面内对应的点为B (x ，y )，则|(x －1)＋(y ＋1)i|＝2，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，故B 正确；由题意知，点B 在以(1，－1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，|AB |＝|z 1－z 2|，所以|z 1－z 2|max ＝（－2－1）2＋（1＋1）2＋2＝13＋2，故C 正确；|z 1＋z 2|＝|(－2＋x )＋(1＋y )i|＝（x －2）2＋（y ＋1）2表示点B 与定点(2，－1)的距离，易知点(2，－1)在圆内，所以|z 1＋z 2|min ＝2－（2－1）2＋（－1＋1）2＝1，故D 错误．故选BC.【通性通法】复数z 、复平面内的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【巩固迁移】5．在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案D解析11－i ＝1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋12i 的共轭复数为12－12i ，在第四象限．故选D.6．设复数z 满足|z －2i|＝1，在复平面内z 对应的点到原点的距离的最大值是()A ．1B ．3C ．5D ．3答案D解析由题意可知，在复平面内复数z 对应的点为复平面内一动点到定点(0，2)的距离为1的点的集合，即以(0，2)为圆心，1为半径的圆，圆心(0，2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3.故选D.课时作业一、单项选择题1．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析因为复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ∈R )为纯虚数，2－4＝0，－3≠0，即a ＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a ＝2”是“a ＝±2”的充分不必要条件，所以“a ＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．故选A.2．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案A解析因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i －3i 2＝6＋8i ，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A.3．(2024·长春模拟)若复数z 的共轭复数为z －，且满足z －·(1＋2i)＝1－i ，则复数z 的虚部为()A ．35B ．－35iC ．35iD ．－35答案A解析z －·(1＋2i)＝1－i ，∴z －＝1－i 1＋2i ＝（1－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝－1－3i 5＝－15－35i ，∴z ＝－15＋35i ，∴复数z 的虚部为35.故选A.4．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z )＝1，则z ＋z －＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案D解析因为i(1－z )＝1，两边同乘以i ，则原式变为i 2(1－z )＝i ，即－1＋z ＝i ，z ＝1＋i ，那么z －＝1－i ，则z ＋z －＝1＋i ＋1－i ＝2.故选D.5．若复数z 满足(1＋i)·z ＝2－4i ，则|z －|＝()A ．10B ．10C ．20D ．25答案B解析z ＝2－4i 1＋i ＝（2－4i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－2i －4i ＋4i 22＝－1－3i ，所以|z －|＝|－1＋3i|＝（－1）2＋32＝10.故选B.6．设z －是复数z 的共轭复数．在复平面内，复数z ＋2与z －＋2i 对应的点关于y 轴对称，则1z ＝()A ．－1＋iB ．－12－i 2C ．12－i 2D ．－12＋i 2答案B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2＝(a ＋2)＋b i ，z －＋2i ＝a ＋(2－b )i ，因为复数z ＋2与z－＋2i 对应的点关于y 轴对称，所以a ＋2＋a ＝0且b ＝2－b ，解得a ＝－1，b ＝1，则z ＝－1＋i ，1z ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i 2＝－12－i2.故选B.7．已知复数z 满足|z －1－i|≤1，则|z |的最小值为()A ．1B ．2－1C ．2D ．2＋1答案B解析令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由题意有(x －1)2＋(y －1)2≤1，∴|z |的最小值即为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z |的最小值为2－1.故选B.8．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则()A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝2，c ＝－3C ．b ＝－2，c ＝－3D ．b ＝－2，c ＝3答案D解析方程的根为x ＝－b ±b 2－4c 2＝－b 2±b 2－4c4，1＋2i 为其中一个复数根，则有，2，＝－2，＝3.故选D.二、多项选择题9．(2023·苏州模拟)若复数z 满足(1＋i)z ＝5＋3i(其中i 是虚数单位)，则()A ．z 的虚部为－iB ．z 的模为17C ．z 的共轭复数为4－iD ．z 在复平面内对应的点位于第四象限答案BD解析由(1＋i)z ＝5＋3i ，得z ＝5＋3i 1＋i ＝（5＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝8－2i2＝4－i ，所以z 的虚部为－1，A 错误；z 的模为42＋（－1）2＝17，B 正确；z 的共轭复数为4＋i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D 正确．故选BD.10．(2024·湖北襄阳一中阶段考试)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.下列命题中正确的是()A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z －2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2答案BC解析由|i|＝|1|，知A 错误；z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又z 1≠0，所以z 2＝z 3，故B 正确；|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，又z －2＝z 3，所以|z 2|＝|z －2|＝|z 3|，故C 正确；令z 1＝i ，z 2＝－i ，满足z 1z 2＝|z 1|2，不满足z 1＝z 2，故D 错误．故选BC.11．欧拉公式e x i ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法正确的是()A ．复数e 2i 对应的点位于第二象限B ．eπ2i为纯虚数C ．复数e x i 3＋i的模等于12D ．e π6i 的共轭复数为12－32i答案ABC解析对于A ，e 2i ＝cos2＋isin2，因为π2<2<π，即cos2<0，sin2>0，所以复数e 2i 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，e π2i ＝cos π2＋isin π2＝i ，e π2i 为纯虚数，B 正确；对于C ，e x i 3＋i＝cos x ＋isin x 3＋i＝（cos x ＋isin x ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x4i ，于是得|e x i3＋i |＝12，C 正确；对于D ，e π6i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，其共轭复数为32－12i ，D 不正确．故选ABC.三、填空题12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝3－i1＋i ，则|i z |＝________．答案5解析解法一：i z ＝（3－i ）i 1＋i ＝1＋3i 1＋i ＝（1＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4＋2i2＝2＋i ，所以|i z |＝22＋12＝5.解法二：|i z |＝|i||z |＝1×|3－i1＋i|＝|3－i||1＋i|＝32＋（－1）212＋12＝102＝ 5.13．已知i 为虚数单位，若|z |2＋(z ＋z －)i ＝1－i 且复数z 对应的点在第三象限，则复数z 的虚部为________．答案－32解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由|z |2＋(z ＋z －)i ＝1－i 可得a 2＋b 2＋2a i ＝1－i ，所以2＋b 2＝1，a ＝－1，＝－12，＝－32＝－12，＝32，又因为复数z 对应的点在第三象限，所以z＝－12－32i ，故复数z 的虚部为－32.14．设复数z ，i 为虚数单位，n ∈N ，则由z 的所有可能取值构成的集合为________．答案{－2，0，2}解析z ＝i n ＋(－i)n ，i 为虚数单位，n ∈N ，当n ＝4k (k ∈N )时，z ＝2；当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，z＝0；当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，z ＝－2；当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，z ＝0.综上所述，由z 的所有可能取值构成的集合为{－2，0，2}．15.(2024·河南郑州外国语学校期中)如图，已知复数z 在复平面内所对应的向量是AB →，图中每个小正方形网格的边长均为1，则z－1－i＝()A ．1＋2iB ．1＋3iC ．3＋iD ．2＋i答案D解析由题图可知AB →＝OB →－OA →＝(4，2)－(1，1)＝(3，1)，即z ＝3＋i ，所以z －＝3－i ，故z －1－i＝3－i 1－i＝（3－i ）（1＋i ）2＝2＋i.故选D.16.(多选)(2024·广东东莞实验中学质检)已知复数z 满足|z －1＋i|＝3，则()A ．复数z 虚部的最大值为2B ．复数z 实部的取值范围是[－2，4]C ．|z ＋1＋i|的最小值为1D ．复数z 在复平面内对应的点位于第一、三、四象限答案ABC解析满足|z －1＋i|＝3的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(1，－1)为圆心，3为半径的圆，如图．由图可知，虚部最大的复数为z ＝1＋2i ，即复数z 虚部的最大值为2，A 正确；实部最小的复数为z ＝－2－i ，实部最大的复数为z ＝4－i ，所以复数z 实部的取值范围是[－2，4]，B 正确；|z ＋1＋i|表示复数z 在复平面内对应的点到(－1，－1)的距离，所以|z ＋1＋i|的最小值为3－2＝1，C 正确；由图可知，复数z 在复平面内对应的点位于第一、二、三、四象限，故D 错误.故选ABC.17．(多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是()A ．z1z 2∈RB ．z 1·z 2——＝z －1·z －2C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z －1，z －2在复平面内对应的向量分别为OA →，OB →(O 为坐标原点)，则|AB →|＝5答案BC解析对于A ，z1z 2＝2＋3i －1＋i ＝（2＋3i ）（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝1－5i 2＝12－52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i ，∴z 1·z 2——＝－5＋i ，又z －1·z －2＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i ，∴z 1·z 2——＝z －1·z －2，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2，C 正确；对于D ，由题意得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－1，－1)，∴AB →＝OB →－OA →＝(－3，2)，∴|AB →|＝9＋4＝13，D 错误．故选BC.18．(多选)已知两个复数z 1，z 2满足z 1z 2＝i ，且z 1＝1－i ，则下列说法正确的是()A ．z 2＝－1＋i 2B ．|z 1|＝1|z 2|C ．|z 1＋z 2|≥2D ．z －1·z －2＝－i答案ABD解析因为z 1z 2＝i ，z 1＝1－i ，所以z 2＝i 1－i ＝－1＋i 2，故A 正确；|z 1|＝12＋（－1）2＝2，|z 2|＝22，所以|z 1|＝1|z 2|，故B 正确；因为|z 1＋z 2|＝|1－i 2|＝22＜2，故C 错误；z －1·z －2＝(1＋i)×－1－i 2＝－i ，故D 正确．故选ABD.19．(多选)(2024·九省联考)已知复数z ，w 均不为0，则()A ．z 2＝|z |2B ．z z－＝z 2|z |2C ．z －w ＝z －－w －D ．|zw |＝|z ||w |答案BCD解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )．对于A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2)2＝a 2＋b 2，故A 错误；对于B,z z －＝z 2z －·z ，又z －·z ＝|z |2，即有z z －＝z 2|z |2，故B 正确；对于C ，z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z －＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z －－w －＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z －－w －，故C 正确；对于D ，|zw |＝|a ＋b ic ＋d i |＝|（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）|＝|ac ＋bd －（ad －bc ）i 2＋d 2|＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）（c 2＋d 2）2＝a 2＋b 2c 2＋d 2，|z ||w |＝a 2＋b 2c 2＋d2＝a 2＋b 2c 2＋d 2，即有|zw |＝|z ||w |，故D 正确．故选BCD.20．已知i 是虚数单位，则|i 2023|＝________．答案2解析因为i 2023＝－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）2024＝i 2024＝1，所以|i 2023|＝|－i ＋1|＝1＋1＝ 2.。
高考数学压轴专题杭州备战高考《复数》图文解析
新数学高考《复数》复习资料一、选择题1．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】， 的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v向左平移一个单位后得到00O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i【答案】D【解析】【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v，从而可求P 0对应的复数【详解】因为00O P OP=u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．3．已知i 是虚数单位，则31i i +-=（ ） A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，由于33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．4．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )AB C ．2 D ．3【答案】A【解析】 ()11z i i i =-=+，故z = A.5．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )A B C ．3 D ．5【答案】B【解析】(2)2z i i i i =-=-==B ．6．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.7．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.8．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3【解析】【分析】【详解】 因, 故由题设, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.9．若复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） A 13B ．13 C ．10 D 10【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可．【详解】由复数的运算法则有： 2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩， 即222,|3|313a ai a =--=+本题选择A 选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.10．已知复数z 满足11212i i z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.11．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简22z i =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-，则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．13．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】 化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】 复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2a x a y b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.17．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.18．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.20．若复数z满足22iz i=-（i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i iiz ii i i-⋅--===--⋅-Q22,z i∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 复数(精解精析)
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，对应坐标 ，是第三象限．
【点评】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．
【答案】B
【解析】由 可知： ，故 ，解得： ．
所以， ．故选B．
17．(2015高考数学新课标2理科)若 为实数且 ，则 ( )
A． B． C．D．
【答案】B
解析：由已知得 ，所以 ，解得 ，故选B．
考点：复数的运算．
18．(2015高考数学新课标1理科)设复数 满足 ，则 ( )
A．1B． C． D．2
B． C． D．
【答案】D
【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力．
【解析】解法一：常规解法
解法二：对十法
可以拆成两组分式数 ，运算的结果应为 形式， （分子十字相乘，
分母为底层数字平方和）， （分子对位之积差，分母为底层数字平方和）．
解法三：分离常数法
解法四：参数法
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ,则由 得 ,所以 , 正确;
当 时,因为 ,而 知, 不正确;
由 知 不正确;
对于 ,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 正确,故选B．
【考点】复数的运算与性质
【点评】分式形式的复数,分子分母乘分母的共轭复数,化简成 的形式进行判断,共轭复数只需实部不变,虚部变为原来的相反数即可．
高考数学压轴专题新备战高考《复数》图文解析
【高中数学】《复数》知识点(1)一、选择题1．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简z =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-，则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．3．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．7【答案】A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.5．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2 B 3C 2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=+=∴=±>∴=Q ，选B.6．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．7．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i +D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.8．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则222m ii+=-（ ） A ．i B ．1 C ．- iD ．1-【答案】A 【解析】因为2(4)0m m i +->，所以2(4)m m i +-是实数，且20{240m m m >⇒=-=，故22(1)222(1)m i i i i i ++==--，应选答案A ．9．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i + B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.10．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188i + B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到18iz --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.11．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-，所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.12．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1C ．3D ．-3【答案】D 【解析】 因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D.13．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .14．在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.17．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ）A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133i - 【答案】C 【解析】试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.18．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( ) A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值【答案】C 【解析】 【分析】设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值． 【详解】解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈， 由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++，2222(1)(3)x y x y ∴+-=++，解得1y =-；||1z ∴=，即||z 有最小值为1，没有最大值． 故选：C ． 【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限. 故选:B 【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.。
高考复数专题及答案百度文库
【分析】
由复数的除法法则和乘法法则计算出 ，再由复数的定义得结论．
【详解】
由题意，得 ，
其虚部为 ，
ห้องสมุดไป่ตู้故选：A.
8．B
【分析】
根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解.
【详解】
由题意可得，则.
故答案为：B
解析：B
【分析】
根据复数的除法运算法则求出复数 ，然后根据共轭复数的概念即可得解.
， 在复平面内对应点为 ，在第二象限.
故选：B.
5．A
【分析】
将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.
【详解】
由，得，
则，
故选：A.
解析：A
【分析】
将 代入 ，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.
【详解】
由 ，得 ，
则 ，
故选：A.
6．B
【分析】
利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可
【详解】
当 时， ，则该方程相应于点（2，29）的残差为 ，则A正确；
在两个变量 与 的回归模型中， 的值越大，模型的拟合效果越好，则B正确；
【详解】
，.
故选：.
解析：D
【分析】
由复数乘法运算求得 ，根据共轭复数定义可求得结果.
【详解】
， .
故选： .
4．B
【分析】
对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
，在复平面内对应点为，在第二象限.
故选：B.
解析：B
【分析】
对复数 进行化简，再得到 在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
【详解】
备战2013高考理科数学6年高考母题精解精析 专题14 复数01 Word版含答案.pdf
1.【2012高考真题浙江理2】 已知i是虚数单位，则=A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i 【答案】D 【解析】=。
故选D。
2.【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为 3.【2012高考真题四川理2】复数（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 4.【2012高考真题陕西理3】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5.【2012高考真题上海理15】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A． B． C． D． 6.【2012高考真题山东理1】若复数满足（为虚数单位），则为 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】。
故选A。
7.【2012高考真题辽宁理2】复数 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】，故选A 8.【2012高考真题湖北理1】方程的一个根是 A． B． C． D． 9.【2012高考真题广东理1】 设i为虚数单位，则复数=A．6+5i B．6-5i C．-6+5i D．-6-5i 【答案】D 【解析】=．故选D． 10.【2012高考真题福建理1】若复数z满足zi=1-i，则z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i 【答案】A. 【解析】根据知，，故选A. 11.【2012高考真题北京理3】设a，b∈R。
“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 12.【2012高考真题安徽理1】复数满足：；则（ ） 【答案】D 【解析】 13．【2012高考真题天津理1】i是虚数单位，复数=（A） 2 + i （B）2 i （C）-2 + i （D）-2 i 【答案】B 【解析】复数，选B. 14.【2012高考真题全国卷理1】复数=A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【答案】C 【解析】，选C. 15.【2012高考真题重庆理11】若，其中为虚数单位，则 16.【2012高考真题上海理1】计算： （为虚数单位）。
备战2020高考数学 6年高考母题精解精析专题14 复数 文
备战2020高考数学（文）6年高考母题精解精析专题14 复数1.【2020高考安徽文1】复数满足，则 =（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】。
3.【2020高考山东文1】若复数z满足为虚数单位)，则为(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i【答案】A【解析】.故选A.5.【2020高考上海文15】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A、 B、C、 D、【答案】D【解析】因为是实系数方程的一个复数根，所以也是方程的根，则，，所以解得，，选D.6.【2020高考陕西文4】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.【2020高考辽宁文3】复数(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】，故选A8.【2020高考江西文1】若复数（为虚数单位)是z的共轭复数，则+²的虚部为A 0B -1C 1D -29.【2020高考湖南文2】复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【答案】【解析】由z=i（i+1）=，及共轭复数定义得.10.【2020高考湖北文12】.若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________. 【答案】3【解析】因为，所以.又因为都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以.11.【2020高考广东文1】设为虚数单位，则复数A. B. C. D.12.【2102高考福建文1】复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i【答案】A.【解析】，故选A.13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数对应的点的坐标为A． (1 ,3) B．(3,1) C．(-1,3) D．(3 ,-1)14.【2020高考天津文科1】i是虚数单位，复数=（A）1-i （B）-1+I（C）1+I （D）-1-i【答案】C【解析】复数，选C.15.【2020高考江苏3】（5分）设，（i为虚数单位），则的值为▲ ．16.【2020高考上海文1】计算：（为虚数单位）【答案】【解析】复数。
备战历届高考数学真题汇编专题14_复数_理(2007-2012).pptx
12.【2012 高考真题安徽理 1】复数 z 满足： (z i)(2 i) 5 ；则 z （ ） ( A) 2 2i (B) 2 2i (C) i (D) i
13．【2012 高考真题天津理 1】i 是虚数单位，复数 7 i = 3i
（A） 2 + i （B）2 – i （C）-2 + i （D）-2 – i 【答案】B
学海无 涯
3、(2011 年高考安徽卷江苏 3)设复数 i 满足i(z 1) 3 2i （i 是虚数单位），则 z 的实部
是 【答案】1
【解析】因为 z 1 3 2i (3 2i)(i) 2 3i ，所以 z 1 3i ,故 z 的实部是 1. i
三、解答题: 1．(2011 年高考上海卷理科 19)（12 分）已知复数 z1 满足(z1 2)(1 i) 1 i（i 为虚数单位），
学海无 涯
n=1 n=2 n=3 n=4 由此推断，当 n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个 黑 色正方 形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）
4 ．(2011 年高考陕西卷理科 13)观察下列等式
照此规律，第 n 个等式为 【答案】 n (n 1) (n 2) L (3n 2) (2n 1)2
当 n N 且 n 2 时， f (x) f ( f (x)) .
n
n1
学海无 涯
【答案】
x
(2n 1)x 2n
【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为 x 2,3x 4, 7x 8,15x 16 ,即
(2 1)x 2,(4 1)x 4,(8 1)x 8,(16 1)x 16 ,所以归纳出分母为 fn (x) f ( fn1(x)) 的
虚数”的（ ）
备战历届高考数学真题汇编专题14_复数_理(2000-2006).pdf
（D）
A． 4i B．－ 4i C．4 D．－4
【2003 高考试题】
※3.（2002 京皖春，4）如果 θ∈（ ，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）的辐角的 2
主值是（ ）
A.θ＋ 9 4
B.θ＋ 4
C.θ − 4
D.θ＋ 7 4
4．（2002 全国，2）复数（ 1 + 3 i）3 的值是（ ） 22
(A)1+2i
(B) 1-2i
(C)2+i
(D)2- i
【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
解析： m 1+ i
=1−
ni
m
=
(1 +
n)+
(1 −
n)i ，由 m
、
n
是实数，得
1 1
− +
n n
= =
0 m
∴
n = 1Hale Waihona Puke m = 2m+
ni
=
2
+
i
，故选择
C。
二、填空题（共 4 题）
12．（湖北卷）设 x, y 为实数，且 x + y = 5 ，则 x + y =
的值. ※40.（1995 全国文，22）设复数 z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）.求复数 z2+z 的模和
辐角. ※41.（1995 全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 Z1，
Z2，Z3，O（其中 O 是原点），已知 Z2 对应复数 z2=1+ 3 i，求 Z1 和 Z3 对应的复数.
一、选择题（共 11 题）
高考数学压轴专题新备战高考《复数》知识点总复习含解析
【高中数学】高考数学《复数》解析(1)一、选择题1．设3443i z i-=+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i + 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．【详解】 解：3443i z i-=+Q ()()()()344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q()()()21f z i i i ∴=---+=故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2CD ．3【答案】D【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.3．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.4．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi5．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题6．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．7．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．8．在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.9．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12-【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．已知i 是虚数单位，则复数242i z i -=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi11．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】，的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.13．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】 由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.14．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.【详解】由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.16．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i -【答案】C【解析】【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-， 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.17．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1 【答案】A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．18．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】 1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425- ， z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.20．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。
高考数学分项版解析 专题14 复数 理
【十年高考】（新课标1专版）高考数学分项版解析 专题14 复数 理一．基础题组 1. 【2014课标Ⅰ，理2】=-+23)1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1【答案】D【解析】由已知得=-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i +++==----．2. 【2011全国新课标，理1】复数2+i12i -的共轭复数是( )A ．－3i 5B ．3i 5 C ．－i D ．i【答案】C3. 【2009全国卷Ⅰ，理】已知i i z+=+21，则复数z=（ ）A.-1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i【答案】：B【解析】：∵i i z+=+21,∴z =(2+i)(1+i)=2+3i+i 2=1+3i. ∴ z=1-3i.4. 【2008全国1，理4】设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D.【解析】()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-.5. 【2006全国，理4】如果复数(m 2+i)(1+mi)是实数，则实数=m （ ）（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2【答案】B 【解析】6. 【2005全国1，理12】复数=--i i 2123（ ） A ．i B ．i - C ．i -22 D ．i +-22【答案】A7. 【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B 2 （C 3（D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i-+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅰ，理2】若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 【答案】：D【解析】：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+.故z 的虚部为45，选D.2. 【2011全国，理1】复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i【答案】：B【解析】：1z i =+，则12(1)1zz z i i --=-+-=-3. 【2010新课标，理2】已知复数z ＝23(13)i i +－，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2 【答案】：A【解析】：z·z ＝|z|2而|z|＝23(13)ii +－＝2213i －＝24＝12， ∴|z|2＝14，∴z·z ＝14. 三．拔高题组 1. 【2012全国，理3】下面是关于复数21i z =-+的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1，其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4【答案】C【解析】2(1i)1i (1i)(1i)z --==---+--，故||2z =，p 1错误；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2正确；z 的共轭复数为－1＋i ，p 3错误；p 4正确．2.【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【答案】B【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.。
【6年高考4年模拟】高考数学 第十四章___复数精品试题
【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》 第十四章 复数第一部分 六年高考荟萃2012年高考题1 ．（2012天津理）i 是虚数单位,复数7=3iz i-+ （ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i - 2 ．（2012新课标理）下面是关于复数21z i=-+的四个命题:其中的真命题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+-- 1:p z =22:2p z i =,3:p z 的共轭复数为1i -+,4:p z 的虚部为1- 3 ．（2012浙江理）已知i 是虚数单位,则3+i1i-= （ ）A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【解析】3+i 1i -=()()3+i 1+i 2=2+4i2=1+2i.【答案】D 4 ．（2012四川理）复数2(1)2i i-= （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -[答案]B. [解析]2(1)2i i-=12212-=-+i ii [点评]突出考查知识点12-=i ,不需采用分母实数化等常规方法,分子直接展开就可以. 5 ．（2012上海理）若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则（ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b .C ．1,2-=-=c b .D ．1,2-==c b .[解析] 实系数方程虚根成对,所以i 21-也是一根,所以-b =2,c =1+2=3,选B. 6 ．（2012陕西理）设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析:0ab =Û00a b ==或,复数ba i+为纯虚数Û0,0a b =?,故选B. 7 ．（2012山东理）若复数z 满足(2)117z i i -=+(i 为虚数单位),则z 为 （ ）A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 8 ．（2012辽宁理）复数22ii-=+ （ ）A ．3455i - B ．3455i +C ．415i -D ．315i+【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-,故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算,属于容易题.复数的运算要做到细心准确. 9 ．（2012湖北理）方程26130x x ++=的一个根是（ ）A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i +答案为A. 考点分析:本题考察复数的一元二次方程求根.解析:根据复数求根公式:x 32i ==-±,所以方程的一个根为32i -+10．（2012广东理）(复数)设i 为虚数单位,则复数56ii-= （ ）A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --解析:D.56i65i i-=--. 11．（2012福建理）若复数z 满足1zi i =-,则z 等于 （ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +【答案】A 【解析】11iz i i-==--,故选A 【考点定位】本题主要考查复数的代数运算,主要掌握复数四则运算法则. 12．（2012大纲理）复数131ii -+=+ （ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -答案C 【命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则.通过利用除法运算来求解. 【解析】因为13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i -+-+-+===+++- 13．（2012北京理）设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】当0a =时,如果0b =,此时0a bi +=是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果a bi +已经是纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到0a =,因此是必要条件,故选B.【考点定位】 本小题主要考查的是充分必要条件,但问题中汲到了复数问题,复数部分本题所考查的是纯虚数的定义.14．（2012安徽理）复数z 满足:()(2)5z i i --=;则z = （ ）A ．22i --B ．22i -+C ．i 2-2D ．i 2+2【解析】选D 55(2)()(2)5222(2)(2)i z i i z i z i i i i i +--=⇔-=⇔=+=+--+ 【考点定位】考查复数运算.15．（2012重庆理）若()()12i i ++=a+bi ,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则a b +=__________________;【答案】4【解析】(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+⇒==⇒+=.【考点定位】本题主要考查复数的乘法运算与复数相等的充要条件,此题属于基础题,只要认真计算即可得分.16．（2012上海理）计算:ii+-13=_______(i 为虚数单位).[解析] i i i i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-.17．（2012上海春）若复数z 满足||z i i -≤为虚数单位),则z 在复平面内所对应的图形的面积为____.2π18．（2012上海春）若复数z 满足1(iz i i =+为虚数单位),则z =_______.1i -19．（2012江苏）设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),则a b +的值为____. 【答案】8. 【考点】复数的运算和复数的概念. 【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以=5=3a b ，,=8a b + .20．（2012湖南理）已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位),则|z|=_____.【答案】10 【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+,10z ==.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式,利用z =.2011年高考题1．（重庆理1）复数2341i i i i ++=-A ．1122i --B ．1122i-+C ．1122i -D ．1122i + 【答案】C2．（浙江理）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则=A ．3-iB ．3+iC ．1+3iD ．3 【答案】A3．（天津理1）i 是虚数单位，复数131ii --= A ．2i + B ．2i -C ．12i -+D ．12i --【答案】B4.（四川理2）复数1i i -+= A ．2i - B ．12iC ．0D ．2i【答案】A【解析】12i i i ii -+=--=-5.（山东理2）复数z=22ii -+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D6.（全国新课标理1）（1）复数212ii +=-（A ）35i- （B ） 35i （C ）i - （D ）i【答案】C7.（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i【答案】B8.（辽宁理1）a 为正实数，i 为虚数单位，2=+i ia ，则=a（A ）2 （B（C（D ）1【答案】B9.（江西理1）若iz i 1+2=，则复数z =A ． i -2-B ． i -2+C ． i 2-D ． i 2+【答案】D10.（湖南理1）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则A ．1a =，1b =B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==-【答案】D11.（湖北理1）i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=A ．- iB ．-1C ．iD ．1【答案】A12.（福建理1）i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈ C ． 3i S ∈ D ．2S i ∈【答案】B13.（广东理1）设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -【答案】B14.（北京理2）复数212i i -=+A ．iB ．-iC ．4355i --D ．4355i-+【答案】A15.（安徽理1）设 i 是虚数单位，复数aii 1+2-为纯虚数，则实数a 为（A ）2 （B ） -2 （C ） 1-2（D ） 12【答案】A16.（江苏3）设复数ｚ满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 【答案】117.（上海理19）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。
高考数学 6年高考母题精解精析 专题14 复数02 理
"【备战2013】高考数学 6年高考母题精解精析 专题14 复数02 理 "三、解答题:1．(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。
（19）(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分） （Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明111x y xy xy x y++≤++， （Ⅱ）1a b c ≤≤≤，证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++.2. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分） 已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑． （Ⅱ）证明:对任意*n ∈N ,2122120n n n a a a -+++=,① 2212220n n n a a a ++++=,② 21222320n n n a a a +++++=,③所以，对任意*,2n N n ∈≥，44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑3. (2011年高考湖南卷理科16)对于*∈N n ，将n 表示为0112211022222⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=---k k k k k a a a a a n ，当0=i 时，1=i a ，当k i ≤≤1时，i a 为0或1.记()n I 为上述表示中i a 为0的个数（例如：0211⨯=，0122020214⨯+⨯+⨯=，故()01=I ，()24=I ），则（1）()=12I；（2）()=∑=12712n n I .答案：()=12I2; ()=∑=12712n n I 10934. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数(),3x x f =().x x x g +=()I 求函数()()()x g x f x h -=的零点个数，并说明理由；()II 设数列{}()*N n a n ∈满足()()(),,011n n a g a f a a a =>=+证明：存在常数,M使得对于任意的,*Nn ∈都有.M a n ≤解法1 (),2113212---='x x x h 记(),2113212---=x x x ϕ则(),41623-+='x x x ϕ 当()+∞∈,0x 时，(),0>'x ϕ因此()x ϕ在()+∞,0上单调递增，则()x ϕ在()+∞,0上至多有一个零点，()II 记()x h 的正零点为0x ，即0030x x x +=（1）当0x a<时，由a a =1得01x a <，而30001122x x x a a a =+<+=，因此02x a <.由此猜测：0x a n <.下面用数学归纳法证明. ①当1=n 时，01x a <显然成立，②假设当()1≥=k k n时，0x a k <成立，则当1+=k n 时，由300031x x x a a a k k k =+<+=+知01x a k <+因此，当1+=k n 时，01x a k <+成立故对任意的,*Nn ∈0x a n <成立5. (2011年高考广东卷理科20)设0,b >数列{}n a 满足111=,(2)22n n n nba a b a n an --=≥+-,(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数n,1112n n n b a ++≤+【解析】（1）由11111210,0,.22n n n n n nba n n a b a a n a b b a ----=>=>=++-知令11,n n n A A a b==，当1122,n n n A A b b-≥=+时2112111222n n n n A b b b b ----=++++L21211222.n n n n b b b b---=++++L6．(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）1）先证：12(,)||||.M a b x p p ∈⇔>（⇒）设(,).M a b X ∈当1211121120,002||||.2p p p p p p p p p +><<⇒<+<⇒>时（3）求得2151(1)44y x y x =-=+-和的交点12(0,1),(2,1)Q Q - 而1y x =-是Ｌ的切点为2(2,1)Q 的切线，且与y 轴交于1(0,1)Q -， 由（１）(,)Q p q ∀∈线段Q 1Q 2，有(,) 1.p q ϕ=当2211515(,):(1)(02),(1)4444Q p q L y x x q p ∈=+-≤≤=+-时2442()(,)(02),p p q p ph p p q p ϕ+-+-∴===≤≤- 11 - 在（0，2）上，令4213()0,2242p h p p p --'===-得。
【备战】高考数学 6年高考母题精解精析 专题14 复数03 理
(2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）(Ⅰ)已知函数()ln 1,(0,)f x x x x =-+∈+∞，求函数()f x 的最大值； (Ⅱ)设,(1,2,3)k k a b k =…n 均为正数，证明：（1）若112212n n n a b a b a b b b b ++≤+++……，则12121nk k kn a a a ≤…；（2）若121n b b b +++=…，则1222212121nk k k n nb b b b b b n≤≤ (Ⅱ)（1）由（Ⅰ）知，当()0,x ∈+∞时，有()(1)0≤=f x f ，即ln 1x x ≤-，0k k a b ⋅>，从而有ln 1k k a a ≤-，得ln (1,2,)k k k k k b a a b b k n ≤-=⋅⋅⋅，求和得111ln knn nb kk k k k k k aa b b ===≤-∑∑∑,11n nk kkk k a b b==≤∑∑,1ln 0nkkk a=∴≤∑,即1212ln()0k k n a a a ⋅⋅⋅≤12121n k k k n a a a ∴⋅⋅⋅≤.8.(2011年高考全国卷理科20)设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1, 1.nn n k nk b b S ===∑记S 证明：【解析】：（Ⅰ）由1111.11n n a a +-=--得11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，前项为1111,1,1(1)111nd n n a a ===+-⨯=--于是，111,1n n a a n n ∴-==-由（Ⅰ），当0,()(0)0x f x f <<=即有2ln(1)2x x x +<+故12()911019ln 19ln(1)192110102210-=-<=--⨯+于是919ln210ee -<即19291()10e <。
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一、复数选择题1．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．z 的实部是1B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限2．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（ ）A ．1B ．0C ．－1D ．1＋i 3．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ）A B ．1 C ．2 D ．3 4．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i + 5．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 6．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．3i +D ．3i - 7．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．49．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-111．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --12．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --13．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．814．已知i 是虚数单位，设复数22i a bi i -+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．75 B ．75- C ．15 D ．15- 15．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 18．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =19．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点 20．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 21．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称22．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限23．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 24．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根25．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z - 26．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 27．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数28．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 29．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z ==D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项.【详解】，，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误；，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误.故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项.【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正； 2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.2．C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知＝，故选C解析：C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知i e π＝cos sin 101i ππ+=-+=-，故选C3．A【分析】利用复数的模长公式结合可求得的值.【详解】，由已知条件可得，解得.故选：A.解析：A【分析】利用复数的模长公式结合0a >可求得a 的值.【详解】0a >，由已知条件可得12ai +==，解得a =故选：A.4．D【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.解析：D【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .5．C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z 的虚部是．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部．【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．6．C【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出.【详解】，故.故选：C.解析：C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.7．B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限故选：B解析：B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】()()12i 1i 12i 33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-， 所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限 故选：B8．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 9．C【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】由题意，，∴，对应点，在第三象限．故选：C ．解析：C【分析】 由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】 由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+，∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限． 故选：C ． 10．B【分析】可得，即得.【详解】由，得a ＝1.故选：B ．解析：B【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =.【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1.故选：B ． 11．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -． 故选：A ．12．A【分析】采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果.【详解】设，则，，，解得：，.故选：A.解析：A【分析】采用待定系数法，设(),z a bi a b R =+∈，由复数运算和复数相等可求得,a b ，从而得到结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，()()22313z z a bi a bi a bi i ∴-=+--=+=+，133a b =⎧∴⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩， 1z i ∴=+.故选：A.13．D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】，故 则故选：D解析：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D14．D【分析】先化简，求出的值即得解.【详解】，所以.故选：D解析：D【分析】先化简345i a bi -+=，求出,a b 的值即得解. 【详解】 22(2)342(2)(2)5i i i a bi i i i ---+===++-， 所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D 15．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误.18．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 19．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.20．BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A错误；，B正确；z的共轭复数为，C错误；z的虚部为，D正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】把21iz=-+分子分母同时乘以1i--，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：22(1)11(1)(1)iz ii i i--===---+-+--，||z∴=A错误；22iz=，B正确；z的共轭复数为1i-+，C错误；z的虚部为1-，D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题. 21．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．22．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.23．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．24．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 25．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．26．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.27．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 28．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.29．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
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1.【2012高考真题浙江理2】 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i 【答案】D 【解析】31i i +-=i ii i i i 21242)1)(1()1)(3(+=+=+-++。
故选D 。
2.【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 343.【2012高考真题四川理2】复数2(1)2i i-=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 【答案】B【解析】22(1)1221222i i i ii i i--+-===- 4.【2012高考真题陕西理3】设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.【2012高考真题上海理15】若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b6.【2012高考真题山东理1】若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为 （A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i -- 【答案】A 【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=。
故选A 。
7.【2012高考真题辽宁理2】复数22ii-=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，故选A 8.【2012高考真题湖北理1】方程26130x x ++=的一个根是A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i +9.【2012高考真题广东理1】 设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 【答案】D 【解析】56i i-=i ii i i 56156)65(2--=-+=-．故选D ． 10.【2012高考真题福建理1】若复数z 满足zi=1-i ，则z 等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i 【答案】A.【解析】根据i zi -=1知，i iiz --=-=11，故选A. 11.【2012高考真题北京理3】设a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.【2012高考真题安徽理1】复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ） ()A 22i -- ()B 22i -+ ()C i 2-2 ()D i 2+2 【答案】D【解析】55(2)()(2)5222(2)(2)i z i i z i z i i i i i +--=⇔-=⇔=+=+--+ 13．【2012高考真题天津理1】i 是虚数单位，复数ii+-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i 【答案】B 【解析】复数i ii i i i i i -=-=+---=+-2101020)3)(3()3)(7(37，选B. 14.【2012高考真题全国卷理1】复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【答案】C 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 15.【2012高考真题重庆理11】若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b +=16.【2012高考真题上海理1】计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。
【答案】i 21- 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-。
17.【2012高考江苏3】（5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ．18.【2012高考真题湖南理12】已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，228610z =+=.【2011年高考试题】 一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科2)复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数z 的共轭复数记作z ，若1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i +（D ）3 【答案】 A【解析】(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=- 故选A5．(2011年高考广东卷理科1)设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z=（ ） A ．1+i B ．1-i C ．2+2i D ．2-2i 【解析】B.由题得i i i z -=-=+=1)1(2212所以选B. 6.(2011年高考辽宁卷理科1)a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） （A ）2 （B ）3 (C)2 (D)17. (2011年高考全国新课标卷理科1)复数ii212-+的共轭复数是（ ） A i 53- B i 53 C i - D i ;解析：C ，因为i i 212-+=i ii i =--21)21(，所以，共轭复数为i -，选C点评：本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。
8.(2011年高考江西卷理科1)若iz i1+2=，则复数z = A. i -2- B. i -2+ C. i 2- D. i 2+【答案】D 【解析】因为iz i1+2==()()i i i 1+2-=2-，所以复数z =i 2+,选D. 9. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：55=3125，65=15625，75=78125，…，则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．812510．(2011年高考江西卷理科10)如右图，一个直径为l 的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是12．(2011年高考湖北卷理科1)i 为虚数单位，则20111()1i i+-= A.－i B.－1C.iD.1答案：A解析：因为11i i i +=-,故2011201125051()(),1i i i i i i +==⋅=--所以选A.13．(2011年高考陕西卷理科7)设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，1{|||2,N x x i=-<}i x R ∈为虚数单位，则MN 为（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）[0,1) （D ）[0,1] 【答案】C【解析】：由22|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈即M =[0,1] 由1||2x i-<2||1211x i x x +=+<-<<即N =(1,1)-[0,1)M N =故选C14.(2011年高考重庆卷理科1)复数2341i i i i++=- （A ）1122i -- (B) 1122i -+ (C) 1122i - (D) 1122i +解析：选B. ()()()234111111112i i i i i i i i i i i -+++--+-===---+。
二、填空题:1. (2011年高考山东卷理科15)设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+ 21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+ 43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .2.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【解题指导】：这类不定项多选题类型，难度非常大，必须每一个选项都有足够的把握确定其正误，解题时须耐心细致。
3. (2011年高考湖北卷理科15)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）4．(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式照此规律，第n 个等式为 【答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-【解析】：第n 个等式是首项为n ，公差1，项数为21n -的等差数列，即(1)(2)(32)n n n n ++++++-=2(21)(211)(21)1(21)2n n n n n ----+⨯=-3、(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________【答案】1【解析】因为321(32)()23iz i i ii-++==-+-=+，所以13z i=+,故z的实部是1.。