第三章随机向量课后习题参考答案

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第三章(多元线性回归模型)3-2答案

3.2 多元线性回归模型的估计一、判断题1.满足基本假设条件下，样本容量略大于解释变量个数时，可以得到各参数的唯一确定的估计值，但参数估计结果的可靠性得不到保证（ T ）二、单项选择题1、线性回归模型的参数估计量ˆβ是随机向量Y 的函数，即1ˆ()X X X Y β-''=。

ˆβ是（A ）A 、随机向量B 、非随机向量C 、确定性向量D 、常量2.已知含有截距项的四元线性回归模型估计的残差平方和为∑=800e 2i ，样本容量为25，则其随机误差项i u 的方差的普通最小二乘估计为（A ）。

A 、40B 、32C 、38.095D 、36.364 三、多项选择题1、对于二元样本回归模型12233ˆˆˆˆi i i iY X X e βββ=+++，下列各式成立的有（ABC ） A 、0e i =∑ B 、0X e i 2i =∑C 、0X e i 3i =∑D 、0Y e i i =∑E 、0X X i3i 2=∑四、计算题1、某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育年数的一个回归方程为10.360.0940.1310.210i i i i edu sibs medu fedu =-++ R 2=0.214式中，edu 为劳动力受教育年数，sibs 为劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与fedu 分别为母亲与父亲受到教育的年数。

问（1）sibs 是否具有预期的影响？为什么？若medu 与fedu 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs 增加多少？（2）请对medu 的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数均为12年，另一个的父母受教育的年数均为16年，则两人受教育的年数预期相差多少年？解：（1）预期sibs 对劳动者受教育的年数有影响。

因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。

第3章随机向量(含习题参考答案)

=0+0+0=0
∴ 选 A.
p⋅ j 1 4 1 2 1 4
·8·
则下列式子正确的是 ( （A） X=Y；（C）P(X=Y)=1/2；
·5·
解：A 显然不对.
P ( X = Y ) = P( X = −1, Y = −1) + P( X = 1, Y = 1) 1 1 1 1 1 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2
= P( X = −1) P(Y = −1) + P( X = 1) P(Y = 1) =
.
2. 已知(X,Y)的联合概率分布如下：
Y X
1 0 1/3
2 1/3 1/3
1 2
则 X 与 Y 的边缘概率分布为__________； X 与 Y 是否独立？__________. 解：X 的边缘概率分布为：
X
P Y 的边缘概率分布为：
1 1/3
2 2/3
1 2 1/3 2/3 1 1 1 由于 P ( X = 1) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ = ≠ P( X = 1, Y = 1) = 0 ，故 X 与 Y 不 3 3 9
解： S阴 =
∫
e2 1
1 e2 ( − 0)dx = ln x 1 = 2 x
·2·
⎧1 ( x, y ) ∈ D ⎪ ∴ f ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪ ⎩0 其他 f X ( x) = ∫
+∞ −∞
y
f ( x, y )dy
y=
1 x
D x
⎧ 1 1 1 1 ≤ x ≤ e2 , ⎪ ∫ 0x dy = =⎨ 2 2x ⎪ 0 其它. ⎩
2 2
解：相互独立的随机变量 Xi～N(μi,σi2)，i=1,…,n. 有

概率与数理统计第四版(简明版)课后习题答案

随机变量的函数及其分布
总结词
描述通过函数变换得到的随机变量的概率分布情况。
详细描述
对于一个或多个随机变量，通过函数变换可以得到新的随机变量。这些新随机变量的概率分布可以通过对原随机变量的概率分布进行函数变换得到。例如，如果X是一个随机变量，f(X)是关于X的函数，那么f(X)的概率分布可以通过对X的概率分布进行函数变换得到。常见的函数变换包括线性变换、幂函数变换等。在得到新随机变量的概率分布后，可以进一步分析其性质和特征。
多元线性回归分析的假设包括线性关系、误差项独立同分布以及误差项的无偏性。
详细描述
在进行多元线性回归分析之前，需要检验各因变量与自变量之间的线性关系，并确保误差项独立且服从相同的分布，同时误差项的均值为零，以保证估计的回归系数是无偏和有效的。
总结词
多元线性回归分析的应用范围广泛，包括经济、金融、生物、医学和社会科学等领域。
随机变量的定义与性质
随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数，其取值随试验结果的变化而变化。
随机变量具有可加性、独立性、有限可加性等性质，这些性质在随机变量的计算和推导中有着重要的应用。
离散型随机变量是取有限个或可数个值的随机变量，其分布律是一个离散的概率分布。常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。
边缘概率分布与条件概率分布
总结词
描述随机变量的边缘概率分布和条件概率分布，即考虑某些变量的取值对其他变量的概率分布的影响。
VS
详细描述
边缘概率分布是指考虑某些随机变量的取值后，其他随机变量的概率分布情况。对于两个随机变量X和Y，X的边缘概率分布表示为P(X)，表示在给定Y取某个值的条件下，X的概率分布。条件概率分布则表示在给定某个事件发生的条件下，其他随机变量的概率分布情况。条件概率分布表示为 P(X|Y)，表示在Y取某个值的条件下，X的概率分布。

随机信号与系统课第三章习题部分答案

第三章习题3-1 设某一随机过程的样本为{x 1，x 2，…，x k }，设k 时刻的样本均值和方差分别为21111(),(1)1kkk ik i k i i x x s x x k k k ====-≠-∑∑和假定新的观测值为x k+1，试推导样本均值x k+1和样本方差s k+1的更新公式。

解：111k k k kx x x k +++=+. ∵ 121111()k k i k i s x x k +++==-∑，而211()1k k i k i s x x k ==--∑，所以 112211111222111111122112211()()111211 ()()()()11111 0()()(1)(1) k k k k k k k i i k i i k k k k k k k k k i k i k k i i i k k k k kkx x x x s x x x k k k k x x x x kx x x x x x x k k k k k k k k k s x x x x k k k +++++==++++===+++-=-=--++--+=---++-+++-=-+-+-++∑∑∑∑∑2111 ().1k k k k s x x k k +-=+-+∴ 更新公式为11111k k k k x x x k k ++=+++, 21111()1k k k k k s s x x k k ++-=+-+.3-2 设某一随机过程样本由x k =a+bk+v k 描述，其中，v k ～N （0，σ2）；a 和b 是待定的未知参数。

试求估计量a ˆ，b ˆ的CR 下界。

解：未知参数向量为θ=[a ，b ]T 。

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==+∞∞-+∞∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰+∞∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞∞-+∞∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰+∞+∞--=002d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)3,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，4)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-+∞∞-+∞∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰+∞+∞--=002d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(⎰+∞+-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式，得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，0≤y 时，0)|(|=y x f Y X ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e 2)|(2|y x y x f x Y X ；同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y 0≤x 时，0)|(|=x y f X Y ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e )|(|y x x y f y X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ，其他，0)|(|=y x f Y X ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其他．,0,10,1,12)|(2|y x y y xy x f Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ，其他，0)|(|=x y f X Y ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其他．,0,10,0,1)|(|x x y x x y f X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x yx y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰+∞∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d )3()),((x xx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y x y x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a ay a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-+∞∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---+∞∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f yY X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=102d e12x x ⎰--=12e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰+∞∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰+∞∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰+∞∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e )(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．解：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y xf +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+-+∞∞-+∞∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x ⎰⎰+∞--=10d e d e y x b y x)e 1(|)e(|)e (10102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(yy x x -+--=-=⎰e d e e 1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e 1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e 1e1,0,01u u u uu ．。

四川大学随机信号第三章习题解答

自相关函数：
RZ (t1 , t 2 ) E[ Z (t1 ) Z (t2 )] E{[ X (t1 ) Y (t1 )][ X (t2 ) Y (t2 )]} E[ A(t1 ) A(t2 ) cos t1 cos t2 A(t1 ) B(t2 ) cos t1 sin t 2 A(t2 ) B(t1 ) sin t1 cos t2 B(t1 ) B(t2 ) sin t1 sin t2 ] E[ A(t1 ) A(t2 ) cos t1 cos t2 B(t1 ) B(t2 ) sin t1 sin t 2 ] R( ) cos t1 cos t2 R( ) sin t1 sin t2 R( ) cos
E[ X (t )] = RX (0) = 4 < ¥
2
因此，该随机过程是宽平稳的。
判断各态经历性：
1 T X (t ) = lim X (t ) dt ò T ® ¥ 2T - T 1 T = lim A cos(w t + j ) dt ò T ®¥ 2T - T A T = lim cos(w t + j ) d (w t + j ) ò T ®¥ 2w T - T A T = lim d sin(w t + j ) ò T ®¥ 2w T - T A cos j sin w T = lim = 0 = E[ X (t )] T ®¥ wT
1 T X (t ) lim s(t )dt T 2T T 1 T s(t )dt T 0 1 T s( )d T E[ X (t )]
考查自相关函数是否有各态经历性：
X (t ) X (t + t ) 1 T = lim x (t ) x(t + t ) dt ò T ®¥ 2T - T 1 T = lim s(t + j )s(t + t + j ) dt T ®¥ 2T ò- T 1 T = ò s(q )s(q + t ) dq T 0 = RX (t )

《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

线性代数课本第三章习题详细答案

aks
1, 2 ,, s 是分别在1,2 ,, s 的 k 个分量后任意添加 m 个分量 b1 j , b2 j ,, bmj
( j 1,2,, s) 所组成的 k m 维向量，证明：
(1) 若1,2 ,, s 线性无关，则 1, 2 ,, s 线性无关； (2) 若 1, 2 ,, s 线性相关，则1,2 ,, s 线性相关.
（1） 1 (6,4,1,9,2), 2 (1,0,2,3,4), 3 (1,4,9,6,22), 4 (7,1,0,1,3);
（2）1 (1,1,2,4), 2 (0,3,1,2), 3 (3,0,7,14), 4 (2,1,5,6) ,5 (1,1,2,0) ;
（3）1 (1,1,1), 2 (1,1,0), 3 (1,0,0), 4 (1,2,3).
必要性方法1设线性无关证明线性无假设线性相关则中至少有一向量可由其余两个向量线性表示不妨设可由线性表示则向量组可由线性表示且所以线性相关与线性无关矛方法2令设存在k1k2k3使得因为线性无关所以所以线性无关
第三章课后习题及解答
将 1，2 题中的向量表示成1,2 ,3,4 的线性组合：
1． 1,2,1,1T ,1 1,1,1,1T ,2 1,1,1,1T ,3 1,1,1,1T ,4 1,1,1,1T. 2． 0,0,0,1,1 1,1,0,1,2 2,1,3,1,3 1,1,0,0,4 0,1,1,1.
0 1 1 101 因为 1,2,3 线性无关，且 1 1 0 2 0 ，可得 1 2,2 3,3 1的秩为 3 011 所以1 2 ,2 3,3 1 线性无关.线性无关；反之也成立.
方法 2，充分性，设1,2 ,3 线性无关，证明1 2 ,2 3,3 1 线性无关.

_随机数学_习题解答第三章答案

第三章习题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,}i Y i =是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================因此，{,1,2,}n Y n =是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++为1n U -的函数，记为1112(),n n n nf U X U U U --=+++为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑因此{,1,2,}n X n =是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++ij ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k kk ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij ij a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j ij iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。

第3章二维随机向量辅导及习题选解

第3章二维随机向量一、二维随机向量及其分布函数1. 两个随机变量X 与Y 构成的整体),(Y X 称为二维随机向量或二维随机变量.2. 二元函数2),(},,{),(R y x y Y x X P y x F ∈≤≤=称为),(Y X 的分布函数，或称为X 与Y 的联合分布函数.3. ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数；1),(0≤≤y x F 且1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ；),(y x F 关于y x ,均右连续.二、边缘分布与条件分布1. 如果),(Y X 只取有限个或可列个值，那么称),(Y X 为二维离散型随机向量.若),(Y X 的所有可能取值为),2,1,(),( =j i y x j i ，则称),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i为),(Y X 的概率分布，或X 与Y 的联合分布律，其中1,0=≥∑∑ijijij pp .,2,1,}{====∑⋅i p x X P p jij i i,2,1,}{====∑⋅j p y Y P p iij j j分别称为关于X 、Y 的边缘分布律.2. 设),(Y X 为二维随机向量，),(y x F 为其分布函数，若存在非负可积函数),(y x p 使得2),(),(),(R y x dudv v u p y x F xy∈=⎰⎰∞-∞-则称),(Y X 为二维连续型随机向量，称),(y x p 为),(Y X 的密度函数，或X 与Y 的联合密度函数，且有（1）2),(,0),(R y x y x p ∈≥；（2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x p .分别称⎰+∞∞-=dy y x p x p X ),()(、⎰+∞∞-=dx y x p y p Y ),()(为关于X 、Y 的边缘密度函数.【注】由联合分布求边缘分布属于考研的基本要求.3. 组成二维随机变量),(Y X 的随机变量Y X ,各自的分布函数)(),(y F x F Y X 称为),(Y X 的边缘分布函数.若),(y x F 是),(Y X 的分布函数，则),(lim ),(}{)(y x F x F x X P x F y X +∞→=+∞=≤=，),()(y F y F Y +∞=4. 设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为ij p ，若0>⋅j p ，则称),2,1(}|{ ====⋅i p p y Y x X P jij j i为在}{j y Y =条件下X 的条件分布律；若0>⋅i p ，则称内容提要),2,1(}|{ ====⋅j p p x X y Y P i ij i j为在}{i x X =条件下Y 的条件分布律.5. 设二维连续型随机变量),(Y X 的密度函数为),(y x p ，若0)(>y p Y ，则称)(),()|(|y p y x p y x p Y Y X =为在条件y Y =下X 的条件密度函数；若0)(>x p X ，则称)(),()|(|x p y x p x y p X X Y =为在条件x X =下Y 的条件密度函数. 【注】条件分布在考研中有所涉及.三、随机变量的独立性1. 随机变量X 与Y 相互独立⇔)),((),()(),(2R y x y F x F y x F Y X ∈∀=2. 离散型随机变量X 与Y 相互独立⇔),(,j i p p p j i ij ∀=⋅⋅⇔联合概率矩阵)(ij p 的任意两行（或列）成比例. 【注】第二个条件（以后简称比例方法）在解题时非常方便，后面有例题3.8等说明.3. 连续型随机变量X 与Y 相互独立⇔)()(),(y p x p y x p Y X =几乎处处成立.【注】几乎处处成立是指在平面上除去“面积”为零的集合以外，处处成立.4. 设),(Y X ～),,,,(222121ρσσμμN ，则X 与Y 相互独立⇔0=ρ.四、两个随机变量函数的分布1. 设离散型随机变量),(Y X 的分布律ij j i p y Y x X P ===},{，则),(Y X f Z =的分布律为∑===kj i z y x f ijk pz Z P ),(}{2. 设连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x p ，则),(Y X f Z =的分布函数为⎰⎰≤=≤=zy x f Z dxdy y x p z Z P z F ),(),(}{)(Z 的概率密度为)()(z F z p Z Z '=（在)(z p Z 连续点处）.3. 常见函数的概率密度（1）Y X Z +=，⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dy y y z p dx x z x p z p Z ),(),()(.一般地，bY aX Z +=，⎰∞+∞--=dx b axz x p b z p Z ),(||1)( 或 ⎰∞+∞--=dy y abyz p a z p Z ),(||1)(. （2）XYZ =，⎰+∞∞-=dx zx x p x z p Z ),(||)(.（3）XY Z =，⎰∞+∞-=dx xzx p x z p Z ),(||1)(. （4）},max{Y X Z =，若X 与Y 相互独立，则Z 的分布函数为)()()(z F z F z F Y X Z =，从而Z 的密度函数为)()()()()(z p z F z F z p z p Y X Y X Z +=.（5）},min{Y X Z =，若X 与Y 相互独立，则Z 的分布函数为))(1))((1(1)(z F z F z F Y X Z ---=，从而Z 的密度函数为)())(1())(1)(()(z p z F z F z p z p Y X Y X Z -+-=.【注】本节是考研的重点内容之一，尤其是二维连续型随机变量函数的概率分布经常考到，掌握好相应的方法及公式非常重要.题型一二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律例3.1 设随机变量i X ～⎪⎪⎭⎫⎝⎛-412141101)2,1(=i ，且满足1}0{21==X X P ，则}{21X X P =等于【】.（1999年，数学三）A. 0B. 41C. 21D. 1解选A . 由1}0{21==X X P 知0}0{21=≠X X P ，即0}1,1{}1,1{}1,1{}1,1{21212121====-====-==-=-=X X P X X P X X P X X P利用边缘分布律与联合分布律的关系，很容易求出X 与Y 的联合分布律如下表所示最后确定的是0}0,0{21===X X P ，从而0}1,1{}0,0{}1,1{}{21212121===+==+-=-===X X P X X P X X P X X P . 【注】1}0{21==X X P 隐含0}0{21=≠X X P 是解决问题的关键。

概率论课后习题第3章答案

第三章多维随机向量及其概率分布(一)基本题答案1、设X 和Y 的可能取值分别为.2,1,0;3,2,1,0,==j i j i 则与因盒子里有3种球，在这3种球中任取4个，其中黑球和红球的个数之和必不超过4.另一方面，因白球只有2个，任取的4个球中，黑球和红球个数之和最小为2个，故有j i 与ٛ且,42≤+≤j i ./),(474223C C C C j Y i X p j i j i −−===因而或0),(===j Y i X P 2).2,1,0;3,2,1,0,4(<+j i ==>+j i j i于是 ,0)0,0(1111======y Y x X P P ,0)0,0(2112======y Y x X P p.35/1/)0,0(472212033113=======C C C C y Y x X P p即 2、X 和. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡04.032.064.0210~X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.05.025.0210~Y 由独立性知，X 和Y 的联合分布为3、Y 的分布函数为显知有四个可能值：).0(0)(),0(1)(≤=>−=−y y F y e y F y ),(21X X }{{}{}11−=e ,2,10,0).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(121−≤=≤≤===Y P Y Y P X X P 易知{}{}{}{}{},221−−−=e e 12<=P ,10,1,02,11,02121≤≤>====>≤===Y Y Y P X X P Y Y P X X P{}{}{},212,10,12121−=≤<=≤>===e e Y P Y Y P X X P {}−− {}{}.22,11,1221−=>=>>===e Y P Y Y P X X P于是，可将X 1和X 24、∑=====nm m n P n X P 0),()(ηζ∑=−−−−=nm mn m n e m n m p p 0)!(!)1(λλ()[]).,2,1,0(!1!)1()!(!!!==−+=−−=−−−=−∑n n e p p n e p p m n m n n e n n n mn m nm n λλλλλλ即X 是服从参数为λ的泊松分布.∑∑∞=−−∞=−−−−−=−−==mn mn m n mn m m mn m n m n p m e p em n m p p m Y P )!()1(!)!(!)1()(λλλλλ).,2,1,0(,!)(!)()1( ==⋅=−−−−m m ep e e m ep pmp mλλλλλλ即Y 是服从参数为λp 的泊松分布.5、由定义F （y x ,）=P {}∫∫∞−∞−=≤≤x y dxdy y x y Y x X .),(,ϕ因为ϕ（y x ,）是分段函数，要正确计算出F （y x ,;1>y ），必须对积分区域进行适当分块：等5个部分.10,10,1;1,1;10,100≤≤≤≤>>>≤≤<x y x y x y y x 或;0<≤≤x （1）对于有 F （,00<<y x 或y x ,）=P{X ≤,x Y ≤y}=0; （2）对于有 ;,10,10≤≤≤≤y x 2204),(y x vdudv u y x F x y ==∫∫（3）对于, 有 10,1≤≤>y x {};,1),(2y y Y X P y x F =≤≤= （4）对于, 有 10,1≤≤>x y {}21,),(x Y x X P y x F =≤≤=; （5）对于有 ,1,1>>y x 1),(=y x F .故X 和Y 的联合分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤<<≤≤≤≤≤≤<<=.1,1,.1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或6、（1） ,0,0;0),(,00>>=≤≤y x y x F y x 或),(y x F =∫∫+−x y t s dsdt ze)2())(())((200202yt x s y t x se e dt e ds e−−−−−−==∫∫=)1)(1(2y x e e −−−−即⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),1)(1(),(2其它y x e e y x F y x （2）P ()()220(),22x x y x yxy xY X f x y dxdy dx e dy e e d +∞+∞−−−−<≤===−∫∫∫∫∫x∫∫∞+−−−∞+−−=−−=03220)(2)1(2dx e e dx e e x x x x .312131(2)2131(2023=−−=−=∞+−−x x e e7、（1）时，0>x ,0)(,0;)(=≤==∫∞+−−x f x e dy e x f X Xx y X 时即 ⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,)(x x e x f x X （2）{}2/111210121),(1−−≤+−−−+===≤+∫∫∫∫e e dy e dxdxdy y x f Y X P y x x xy8、（1）（i ）时,，;),()(计算根据公式∫∞+∞−=dy y x f x f X 0≤x 当10;0)(<<=x x f X 当时()();24.224.2)2(8.4)(202x x x y dy x y x f xx X −=−=−=∫0)(,1=≥x f x X 时当即⎩⎨⎧<<−=.,0;10),2(4.2)(2其它x x x x f X （ii ）利用公式计算. 当∫∞+∞−=dx y x f y f Y ),()(;0)(,0=≤y f y Y 时,10时当<<y112)22(8.4)2(8.4)(y y Y x x y dx x y y f ∫−=−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=222128.42y y y );43(4.2)2223(8.422y y y y y y +−=+−=当时，1≥y .0)(=y f Y 即⎩⎨⎧<<+−=.0;10),43(4.2)(2其它y y y y y f Y 121111222211111(2)((1(,1(,)1.22222P X Y P X Y f x y dxdy dx dxdy +∞+∞⎧⎫<<=−≥≥=−=−=⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∪58、47809、本题先求出关于x 的边缘概率密度，再求出其在2=x 之值. 由于平面区域D 的面积为)2(X f ,2121=dx =∫x S e D 故（X,Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0;),(,21),其它D y x y x (f易知，X 的概率密度为∫∞+∞−⎪⎩⎪⎨⎧<<==,,0,1,21),()(2其它e x xdy y x f x f X 故.41221)2(=×=X f 10、（1）有放回抽取：当第一次抽取到第个数字时，第二次可抽取到该数字仍有十种可能机会，即为 k {}).9, ,1,0(101====i k Y i X P （2）不放回抽取：（i ）当第一次抽取第)90(≤≤k k 个数时，则第二次抽到此（第个）数是不可能的，故 k {}.)9,,1,0,; =k i k (0====i k Y i X P（ii ）当第一次抽取第个数时，而第二次抽到其他数字（非k ）的机会为，知)90(≤≤k k 9/1{}.)9,,1,0,; =k i k (9/1≠===i k Y i X P 11、（1）因∫−=−=12,)1(12)1(24)(yy y ydx x y f η.,0)(;10其它=≤≤y f y n 故在0≤y ≤1时，⎩⎨⎧≤≤−−=;1)1/()1(2)(2其它x y y x y x f ηξ因()∫−=−=x y x ydy x x f 022,)1(12124)(ξ.,0)(;10其它=≤≤x f x ξ故在0≤x ≤1时，⎩⎨⎧≤≤=.0,0/2)(2其它x y x y x y f ξη（2）因;1,121)(2/12∞≤≤==∫x x nxdy y x X f x x ξ;,0)(其它=x f ξ故在1≤x<时，∞⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,1121)(其它x y xnxy x y f ξη因 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<<=≤<==∫∫∞∞,002121102121)(22/12其它y y dx y x y dx y x y f y y η 故在10≤<y 时,⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=;011)(2其它x y y x x y f ξη 而在,1时∞<<y ⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=.0)(2其它x y x yx y f ξη（3）在x >0,.0,0)(;0,)(≤=>==∫∞−−x x f x e dy e x f x xy ξξ⎪⎩⎪⎨⎧>=−.0,)(其它x y e x y f y x ξη ;0,)(0>==∫−−y ye dx e y f y yy η .故在y>0时，0,0)(≤=y y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0,01)(其它y x y y x f ηξ12、1(1)(2)2(),0(1)(1)X n n n n n f x dy x x y x ∞−−−−==+++∫>，故12(1)(2)0,(/1)0.n nY X n y y f y −⎧−+>=⎨⎩其它 13、X 和Y 是否独立，可用分布函数或概率密度函数验证.方法一：X 的分布函数的分布函数分别为 Y x F X 和)()(y F Y ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−,0001),()(5.0x x e x F x F x X ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−.0001),()(5.0y y e y F y F yY 由于独立.Y X y F x F y x F Y X 和知),()(),(={}{}{}[][]1.005.005.0)1.0(1)1.0(11.01.01.0,1.0−−−=⋅=−⋅−=>⋅>=>>=e e e F F Y P X P Y X P Y X αY X Y X x f x f y x f Y X 和分别表示和),,()()(),,(方法二：以的概率密度，可知 ⎩⎨⎧≥≥=∂∂∂=+−.00,025.0),(),()(5.02其它y x e y x y x F y x f y x ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==,0005.0),()(5.0x x e dy y x f x f x X ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==.00,05.0),()(5.0y y e dx y x f y f yY ∫∫∞+∞+−+−==>>==1.01.01.0)(5.0.25.0}1.0,1.0{.),()(),(e dxdy e Y X P a Y X y f x f y x f y x Y X 独立和知由于)()(),(j i j i y Y P x x P y Y x X P =⋅====14、因知X 与Y 相互独立，即有 . )3,2,1,2,1(==j i 首先，根据边缘分布的定义知 .2418161),(11=−===y Y x X P 又根据独立性有),(61)()(},{2411111i x X p y Y p x X p y Y x X p ===⋅===== 解得41)(==i x X P ,从而有 1218124141),(31=−−===y Y x X P 又由 )()(),(2121y Y P x X P y Y x X P =⋅====, 可得 ),(41812y Y P == 即有21)(2==y Y P , 从而 838121),(22=−===y Y x X P .类似地，由),()(),(3131y Y P x X P y Y x X P ===== 有),(411213y Y P ==得31)(3==y Y P ,从而,.111),(31=−===y Y x X P 最后=)(2x X P =1+3+1=3. 将上述数值填入表中有1x1/24 1/8 1/12 1/4 2x1/8 3/8 1/4 3/4 {}j P y X P j ⋅==1/6 1/2 1/3115、本题的关键是由题设P{X 1X 2=0}=1，可推出P{X 1X 2≠0}=0；再利用边缘分布的定义即可列出概率分布表.(1)由P{X 1X 2=0}=1,可见易见,0}1,1{}1,1{2121=====−=X X P X X P 25.0}1{}0,1{121=−===−=X P X X P 5.0}1{}1,0{221=====X P X X P 25.0}1{}0,1{121=====X P X X P 0}0,0{21===X X P121212.16、(1) ⎩⎨⎧<<=,,0,10,1)(其他x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,021)(2y y ey f yY 因为X ，Y 独立，对任何y x ,都有 ).,()()y x f y f x Y =⋅(f X ⎪⎩⎪⎨⎧><<=−.,0,0,10,21),(2其他所以有y x e y x f y（2）二次方程有实根，△ t Y Xt t 中022=++,04)2(2≥−=Y X ,02≥−Y X 即,2X Y ≤ 故=)(有实根t P dydx e dydx y x f X Y P yx y x 2122221),(}{−≤∫∫∫∫==≤∫−−=1022)(dx ex y=dx edx edx x x x 2101010222221211)21(−−∫∫−=−=−πππ21−=［∫∫∞−∞−−−−1022222121dx edx exx ππ］.1445.08555.01]5.08413.0[21)]0()1([21=−≈−−≈Φ−Φ−=ππ17、（1）因为X ，Y 独立，所以 .⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,)()(),()(其他y x e y f x f y x f uy x Y X λλμ（2）根据Z 的定义，有 P{z=1}=P{Y ≥X}∫∫∫∫∞+∞−+−≥==)(),(xy x xy dydx e dydx y x f μλλμ∫∫∞+∞+−−=)(dx dy e e xy x μλμλ ),0u dx ee x x +=⋅=∫∞+−−λλλμλ{}{110=−==Z P Z P Z 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.1,1,10,,0,0)(z z z z F Z μλμ18、∵X 、Y 分别仅取0，1两个数值，∴Z 亦只取0，1两个数值. 又∵X 与Y 相互独立，∴{}{}{}{}==========00)0,0(0),max(0Y P X P Y X P Y X P Z P 1/2×1/2=1/4，故{}{}.4/34/110111=−==−===Z P Z P 19、 X 由2×2阶行列式表示，仍是一随机变量，且X=X 1X 4--X 2X 3，根据X 1，X 2，X 3，X 4的地位是等价且相互独立的，X 1X 4与X 2X 3也是独立同分布的，因此可先求出X 1X 4和X 2X 3的分布律，再求X 的分布律. ,则X=Y 1--Y 2.随机变量Y 1和Y 2独立同分布：322411,X X Y X X Y ==记}{}{}{{}.84.016.01}0{0112121=−========Y P Y Y P Y P 16.01,132===P X X P 显见, 随机变量X=Y 1--Y 2有三个可能值--1,0,1.易见 P{X=--1}=P{Y 1=0,Y 2=1}=0.84×0.16= 0.1344， P{X=1}=P{Y 1=1,Y 2=0}=0.16×0.84=0.1344, P{X=0}=1--2×0.1344=0.7312. 于是，行列式的概率分布为 4321X X X X X =~ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1344.07312.01344.010120、因为{Z=i }={X+Y=i }={X=0,Y=i }}.0,{}1,1{==−==Y i X i Y X ∪ ∪∪ 由于上述各事件互不相容，且注意到X 与Y 相与独立，则有 ∑∑==−===−====i k ik k i Y P k X P k i Y k X P i Z P 00}{}{},{}{∑=+−−−−−=−−=iik ki n ki k i nkn kk n P p pC P p c 022111()1()1∑=−−+ik k i n k n in n C Cp 02121)(,,1,0,)1(212121n n i p p C i n n i i n n+=−=−++).,(~21p n n B Y X Z ++=故注：在上述计算过程中，已约定：当r>n 时，用到了公式并,0=rnC .12121∑=+−=ik i n n k i n k n C C C21、X 和Y 的概率分布密度为},2)(exp{21)(22σσπy x x f X −−=);(+∞<<−∞x ⎩⎨⎧≤≤−=.,0,),2/(1)(其它πππy y f Y 因X 和Y 独立，考虑到 )仅在[)(y f Y ππ,−]上才有非零值，故由卷积公式知Z 的概率密度为.221)()()(222)(dy edy y f y z f z f a y z Y X Z ∫∫−−−−∞+∞−=−=ππμσππ令σμ−−=y z t ,则上式右端等于.(2122122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−Φ−−+Φ=∫−+−−−σμπσμππππσμπσμπz z dt e z z t 22、（1）由题设知 {}y X X P y M P y F n M ≤=≤=),,max()()(1),,(1y X y X P n ≤≤= )()()()()(121y F y F y X P y X P y X P Xn X n =≤≤≤=.∵),1(],0[~:,,1n i U X X X i n ≤≤θ独立且同分布 ∴⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=,0,1,0,,0,0)(x x x x x F i X θθ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=.,1,0,,0,0)(θθθy y y y y F n n M 故⎪⎩⎪⎨⎧<<=−.,0,0,)(1其它θθy ny y f n n M（2）{}y X X P y N P y N P y F n N >−=>−=≤=),,min(1)(1)()(1()y X P y X P y X P y X y X y X P n n >>>−=>>>−= )()(1,,,12121()[])(11)(11y F y X P i X i ni −−=>Π−==故 ⎪⎩⎪⎨⎧<<−=⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−其它其它,0,00,)(,001(1()(11y y n y y n y f n n n N θθθθθ 23、由题设容易得出随机变量（X ，Y ）的概率密度，本题相当于求随机变量X 、Y 的函数S=XY 的概率密度，可用分布函数微分法求之.依题设，知二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()()()⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f ,,0,2/1,若若设为S 的分布函数,则当{s S P s F ≤=)(}0≤s 时,()0=s F ；当时, .2≥s ()1=s F 现设0<s<2. 曲线s xy =与矩形G 的上边交于点(s,1);位于曲线s xy =上方的点满足s xy >,位于下方的点满足s xy <. 故(){}{}{}).ln 2ln 1(2211211121s sdy dx dxdy S XY P s XY P s S P s F s x s sxy −+=−=−=>−=≤=≤=∫∫∫∫>于是,⎩⎨⎧≥≤<<−=.20,0,20,2/)ln 2(ln )(s s s s s f 或若若（二）、补充题答案1.由于即{},0)(),,min(,,max =<==Y X P Y X 故知ηξηξ{}{}{}03,23,12,1=========Y X P Y X P Y X P ；又易知{}{}{}{},9/1111,11,1==⋅=======ηξηξP P P Y X P{}{},9/12,22,2======ηξP Y X P {}{},9/13,33,3======ηξP Y X P {}{}{},9/29/19/11,22,11,2=+===+=====ηξηξP P Y X P{}{}{},9/22,33,22,3===+=====ηξηξP P Y X P {}.9/29/711,3=−===Y X P 所以2.（1）x{}.,2,1,0,0,)1( =≤≤−===n n m P P C n X m Y P m n {}（2）{}{}n X P n X m Y P m Y n X P ======,.,2,1,0,0,!)1( =≤≤⋅⋅−=−−n n m e P P C n m n mm n λλ3.22)1()1()1()0()0()1(p p Y P X P Y P X P z P +−===+====)1(2)0()1()1()0()0(p p Y P X P Y P X P z P −===+====而，由2)1,1()1,1(p Y X P Z X P ======),1()1()1,1(=====Z P X P Z X P 得. 2/1=p 5.:设随机变量ξ和η相互独立，都服从分 )1,0(N 布.则⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−⋅=)(21exp 21),(22y x y x p π.显然， ,),(),(∫∫∫∫<SGdxdy y x p dxdy y x p,其中 G 和S 分别是如图所示的矩形ABCD 和圆.22/)21(),(2∫∫∫−−=a ax Gdx e dxdy y x p π，令,sin ,cos ϕγϕγ==y x 则 ∫∫∫∫=ππ20221),(a aSdxdy y x p 所以221212/a aaxe dx e −−−−<∫π.6.设这类电子管的寿命为ξ，则（1）三个管子均不要替换的概率为；（2）三个管子均要替换的概率为 .∫∞+==>1502.3/2)/(100)150(dx x P ξ21(−27/8)3/2(3=27/1)3/3=7.假设总体X 的密度函数为，分布函数为，第次的观察值为，独立同分布，其联合密度函数)(x f ,(1x f )(x F )()2x f i (n x )1(n i X i ≤≤i X )(),1n f x f x =.依题意，所求的概率为{}∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞−∞−∞−−−−=−==>>><n n n nx i x x x x n n nn nn n i n n n n dx x f dx x f dx x f dx x f dx dx xx f X X X X X X P 112211111,...,2,1121)(...)()()(),,(.,...,,∫∫∞+∞−∞+∞−−−==)()()()(11n n n n n n n x dF x F dx x f x F.1)(1n x F nn n=∞−∞+=8.)(),()(21211211n P n k P n k P =+=+===+=ξξξξξξξξ)()()(2121n P k n P k P =+−===ξξξξ.由普哇松分布的可加性，知服从参数为的普哇松分布，所以 21ξξ+21λλ+)(21212112121!)()!(!)(λλλλλλλλξξξ+−−−−+−⋅==+=e n e k n ek n k P n k n k.1211211kn kk n −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=λλλλλλ9.当，0≤z (),0)(=≤=z Z P z F z ,0>z 当()z Z P z F z ≤=)(∫∫−+−=20)2(02xz y x z dy e dx∫∫−−−−−−−==202012x z z z y z x ze e dy e dxe ，所以 Y X z 2+=的分布函数为 ⎩⎨⎧>+−≤=−.0,)1(1,0,0),(z e z z y x F z10.由条件知X 和Y 的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他若,0,31,31,41),(y x y x p以表示随机{})()(∞<<−∞≤=u u U P u F 变量U 的分布函数.显然，当0≤u 时， 0)(=u F ；当时，； 2≥u 1)(=u F 当，则20<<u []∫∫∫∫≤−uy x y x p ||,(≤−−−=−−===uy x u u dxdy dxdy u F ||2)2(411)2(44141))(2u−于是，随机变量的密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他,0;20),2(21)(u u u p .11.记为这3个元件无故障工作的时间，则的分布函数321,,X X X ),,min(321X X X T ={}[][].)(1),,min(1(31321t X P t X X X P t F T −=>−(11)13X P t ≤−−=>)()t T P =≤=⎩⎨⎧≤>−=∴⎩⎨⎧=≤>−=−−,0,0,0,1)()3,2,1(,0,0,0,1)(~3t t e t F i t t e t F X t T t i λλ∵ 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==−.0,0,0,3)(')(3t t e t F t f t T T λλ。

线性代数与概率统计及答案

线性代数部分第一章行列式一、单项选择题1．=0001001001001000 .A 0B 1-C 1D 22.=0001100000100100 .A 0B 1-C 1D 2 3．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a .A kaB ka -C a k 2D a k 2-4．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x .A 0B 3-C 3D 25. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.A 1-B 2-C 3-D 06．设行列式na a a a =22211211,m a a a a =21231113,则行列式232221131211--a a a a a a 等于A. m n -B.)(-n m +C. n m +D.n m -二、填空题1. 行列式=0100111010100111.2．行列式010...0002...0.........000 (10)0 0n n =-.3．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .4．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.6．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.7．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题2．yxyx x y x y y x y x+++；3．解方程0011011101110=x x xx ；6. 111...1311...1112 (1).........111...(1)b b n b----7. 11111222123111...1..................nb a a a b b a a b b b a ； 8．121212123.....................n nn x a a a a x a a a a x a a a a x;四、证明题1．设1=abcd ,证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是 ;a 22A A =b ))((22B A B A B A +-=- c AB A A B A -=-2)( d T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足时,B=C;a AB =BAb 0≠Ac 方程组AX=0有非零解d B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵,k 为非零常数,则=kA ;a A kb A kc A k nd A k n4.设A 为n 阶方阵,且0=A ,则 ;a A 中两行列对应元素成比例b A 中任意一行为其它行的线性组合c A 中至少有一行元素全为零d A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则 ; (a) a 1*-=A A b A A =* c 1*+=n AA d 1*-=n AA6. 设A ,B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是 ; a B A = b B A -= c B A = d 22B A = 7.设A 为n 阶可逆矩阵,则下面各式恒正确的是 ; a T A A 22= b 112)2(--=A Ac 111])[(])[(---=T T T A Ad T T T T A A ])[(])[(11--=8.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113022131A ,则 ;a A A T =b *1A A =-c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001Ad ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001A9.设I C B A ,,,为同阶方阵,I 为单位矩阵,若I ABC =,则 ;a I ACB =b I CAB =c I CBA =d I BAC = 10.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 ; a A 的每个行向量都是非零向量 b A 中任意两个行向量都不成比例c A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示d 对任何n 维非零向量X ,均有0≠AX 11. 设矩阵A=1,2,B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=654321则下列矩阵运算中有意义的是A ．ACB B ．ABC C ．BACD ．CBA 12.设矩阵A,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是DA ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆,且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11B AB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 不可逆 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆,且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11A BD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆,且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11B A13.已知向量TT )0,3,4,1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α,则β+α=AA ．T)1,1,2,0(-- B.T)1,1,0,2(-- C ．T)0,2,1,1(-- D ．T)1,5,6,2(---14.设A 和B 为n 阶方阵,下列说法正确的是CA. 若AB AC =,则B C =B. 若0AB =,则0A =或0B =C. 若0AB =,则0A =或0B =D. 若0A E -=,则A E =6、设两事件A二、填空题1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______2.行列式=---000c b c a ba_______3.设A 为5阶方阵,*A 是其伴随矩阵,且3=A ,则=*A _______4.设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为_______ 三、计算题1.解下列矩阵方程X 为未知矩阵.1 223221103212102X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ；2 0101320100211100110X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； 3 2AX A X =+,其中423110123A ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭；2.设A 为n 阶对称阵,且20A =,求A .3.设11201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,23423A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,30000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,41201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求1234A A A A ⎛⎫⎪⎝⎭.4.设211011101,121110110A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求非奇异矩阵C ,使T A C BC =.四、证明题1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.2. 设0k A =k 为整数, 求证I A -可逆.4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.第三章向量一、单项选择题1. 321,,ααα, 21,ββ都是四维列向量,且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵,且0=A ,则 ;成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵,n r A r <=)(,则在A 的n 个行向量中 ;个行向量线性无关必有r a )(个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是n r A r a <=)()( n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分条件是)(a 12,,...,s ααα都不是零向量)(b 12,,...,s ααα中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c 12,,...,s ααα中任意两个向量都不成比例 )(d 12,,...,s ααα中有一个部分组线性无关二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α,T )3,2,1(2=α,T t ),3,1(3=α线性相关,则t=▁▁▁▁;2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关;3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁;4. 若321,,ααα线性相关,则12,,...,s ααα)3(>s 线性▁▁▁▁关;5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁;三、计算题 1. 设T )1,1,1(1λα+=,T )1,1,1(2λα+=,T )1,1,1(3λα+=,T),,0(2λλβ=,问1λ为何值时,β能由321,,ααα唯一地线性表示2λ为何值时,β能由321,,ααα线性表示,但表达式不唯一 3λ为何值时,β不能由321,,ααα线性表示 2. 设T )3,2,0,1(1=α,T )5,3,1,1(2=α,T a )1,2,1,1(3+=α,T a )8,4,2,1(4+=α,T b )5,3,1,1(+=β问： 1b a ,为何值时,β不能表示为4321,,,αααα的线性组合 2b a ,为何值时,β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合 3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α,T )6,5,1,2(2=α,T )2,5,2,1(3=α,T )0,2,1,1(4--=α,T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示; 四、证明题1. 设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=,试证321,,βββ线性相关;2. 设12,,...,n ααα线性无关,证明12231,,...,n αααααα+++在n 为奇数时线性无关；在n 为偶数时线性相关;第四章线性方程组一、单项选择题1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ,则0AX =有非零解的充分必要条件是A r n =B r n <C r n ≥D r n >2．设A 是m n ⨯矩阵,则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是A ()r A m <B ()r A n <C ()()r Ab r A m =<D ()()r Ab r A n =<3．设A 是m n ⨯矩阵,非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =,若m n <,则A AX b =必有无穷多解B AX b =必有唯一解C 0AX =必有非零解D 0AX =必有唯一解4．方程组1232332422(2)(3)(4)(1)x x x x x x λλλλ+-=⎧⎪+=⎨⎪-=----⎩无解的充分条件是λ=A 1B 2C 3D 45．方程组12323331224(1)(3))(1))x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧⎪-=-⎪⎨=-⎪⎪-=---⎩有唯一解的充分条件是λ=A 1B 2C 3D 4 二、填空题1. 设A 为100阶矩阵,且对任意100维的非零列向量X ,均有0AX ≠,则A 的秩为 .2. 线性方程组1231212320200kx x x x kx x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩仅有零解的充分必要条件是 .3. 设12,,s X X X 和1122s s c X c X c X +++均为非齐次线性方程组AX b =的解12,,s c c c 为常数,则12s c c c +++= .4. 若线性方程组AX b =的导出组与0(())BX r B r ==有相同的基础解系,则()r A = .5. 若线性方程组m n A X b ⨯=的系数矩阵的秩为m ,则其增广矩阵的秩为 .三、计算题1. 已知123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,问122331,,αααααα+++是否是该方程组的一个基础解系为什么2. 设54331012263211311111A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,12010560011210012320B --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦,已知B 的行向量都是线性方程组0AX =的解,试问B 的四个行向量能否构成该方程组的基础解系为什么3. 设四元齐次线性方程组为 Ι：122400x x x x +=⎧⎨-=⎩1求Ι的一个基础解系2如果12(0,1,1,0)(1,2,2,1)T T k k +-是某齐次线性方程组II 的通解,问方程组Ι和II 是否有非零的公共解若有,求出其全部非零公共解；若无,说明理由;第五章特征值与特征向量一、单项选择题1. 设001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是 ;a -1,1,1b 0,1,1c -1,1,2d 1,1,22. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是 ;a 0,1,1b 1,1,2c -1,1,2d -1,1,1 3. 设A 为n 阶方阵, 2A I =,则 ;a ||1A =b A 的特征根都是1c ()r A n =d A 一定是对称阵4. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是 ;a 1200k k ==且b 1200k k ≠≠且c 120k k =d 1200k k ≠=且 5. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则 ;a A B =b ||||A B =c A 与B 相似d A 与B 合同二、填空题1. n 阶零矩阵的全部特征值为_______;2. 设A 为n 阶方阵,且I A =2,则A 的全部特征值为_______;3. 设A 为n 阶方阵,且0=m A m 是自然数,则A 的特征值为_______;4. 若A A =2,则A 的全部特征值为_______;5. 若方阵A 与I 4相似,则=A _______;三、计算题1. 若n 阶方阵A 的每一行元素之和都等于a ,试求A 的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.2. 求非奇异矩阵P ,使1P AP -为对角阵.1 2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2 112131201A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭四、证明题1. 设A 是非奇异阵, λ是A 的任一特征根,求证1λ是1A -的一个特征根,并且A 关于λ的特征向量也是1A -关于1λ的特征向量. 2. 设2A E =,求证A 的特征根只能是1±.3. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.5. 设n 阶矩阵A E ≠,如果()()r A E r A E n ++-=,证明：-1是A 的特征值;6. 设A B ,证明kk A B ;7. 设12,αα是n 阶矩阵A 分别属于12,λλ的特征向量,且12λλ≠,证明12αα+不是A 的特征向量;概率论部分一、填空：每题3分,共15分1．假设,A B 是两独立的事件,()0.7,()0.3P A B P A ⋃==,则()P B =_________; 2．设A,B 是两事件,(|)1/4,()1/3P A B P B ==,则()P AB =__________; 3．若二维随机变量(X,Y)满足()()()E XY E X E Y =,则X Y 与________; 4．随机变量~(0,1),23,~X N Y X Y =+则_________; 5．设总体)1,0(~N X ,1210,,,X X X 是来自总体X 的样本,则X 服从_________分布;二、选择：每题3分,共15分1．如果成立,则事件,A B 互为对立事件....()()1A AB B AB C AB A B D P A P B =Φ=Ω=Φ⋃=Ω+=且2．若X 的概率密度为02()4240x x f x xx ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它,则{3}P X ≤= .3/2A .5/2B .7/2C .4D3．设随机变量),(~p n B X ,则方差var()X =.A np .(1)B n p - 2.C np .(1)D np p -4．下列结论正确的是A .X 与Y 相互独立,则X 与Y 不相关B .X 与Y 不独立,则X 与Y 相关C .X 与Y 不相关,则X 与Y 相互独立D .X 与Y 相关,则X 与Y 相互独立5．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本,其中μ已知,2σ未知,则下面不是统计量的是 ()A 1X ()B 221()ni i X μσ=-∑()C 211()n i i X n μ=-∑ ()D 211()1n i i X X n =--∑ 三、计算：共70分1．15分甲乙两袋,甲袋中有两白球一个黑球,乙袋中有一个白球两个黑球;先从甲袋中取一球放到乙袋中,再从乙袋中取一球,1求从乙袋中取出的是白球的概率；2已发现从乙袋中取出的是白球,问从甲袋中取出放入乙袋中的球为白球的概率;2．10分设随机变量X 的密度函数为2,02()0,cx x f x ⎧<<=⎨⎩其它,试求：(1)常数c ；(2){11}P X -<<;3.10分设随机变量X 的密度函数为2,01;()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，,求 2X Y =的概率密度；4．10分一袋中装有5只球,编码为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最小号码,求随机变量X 的分布律与数学期望.5.15分设随机变量X,Y 的概率密度为 6,01(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它1试求关于X 及Y 的边缘概率密度；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由.6．10分总体X 的概率密度函数为220(),00x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其它是未知参数,求未知参数θ的矩估计量,并验证未知参数θ的矩估计量是θ的有偏还是无偏估计量;线性代数部分参考答案第一章行列式一、单项选择题1． C .2. C .3．B.4 C .5. A 6.C二．填空题1.0;2.!)1(1n n --;3.M 3-;4.4x ;5.2-;6.3,2-≠k ;7.7=k 三．计算题 1. )(233y x +-； 2. 1,0,2-=x ;3 (2)(1)...((2))b b n b -+---;4 ∏=--nk k kna b1)()1(;5 ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;第二章参考答案一：1. a ；2. b ；3.c ；4.d ； 5.d ； 6.d ； 7.d ； 8.c ；9.b ； 10.d.11.B 12.D13.A14.C二．1. 1或-1；2. 0； 5. 81；6. 0；三、1.1、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---016213010；2、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02132121； 3、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------9122692683. 2. 0； 3.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000210012100121； 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010；第三章向量参考答案一、单项选择1.b2.d3.a4.b5.b 二、填空题1. 52.相关3. 0≠α4.相关三、解答题1. 解：设332211αααβx x x ++=则对应方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2321321321)1()1(0)1(λλλλλx x x x x x x x x其系数行列式)3(1111111112+=+++=λλλλλA1当3,0-≠≠λλ时,0≠A ,方程组有唯一解,所以β可由3,21,ααα唯一地线性表示;2当0=λ时,方程组的增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110111A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000000111,31)()(<==A r A r ,方程组有无穷多解,所以β可由3,21,ααα线性表示,但表示式不唯一;3当3-=λ时,方程组的增广阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=921131210112A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→18000123303121,)()(A r A r ≠,方程组无解,所以β不能由3,21,ααα线性表示; 2.解:以βαααα,,,,4321为列构造矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++58153342321211011111a b a →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-b a a 41000041100121101111121时，且当01≠±=b a β不能表示为4321,,,αααα的线性组合； 2任意时，当b a ,1±≠β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合;3.解：=),,,,(54321ααααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140264725500121131121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→000110001011020101 421,,ααα为一个极大无关组,且31240αααα=-++, 42152αααα-+=四、证明题1.证：∵0)2(4)(33121=--+ββββ∴0435321=++-βββ ∴321,,βββ线性相关2.证：设0)()()(1322211=++++++ααααααn n k k k则0)()()(122111=+++++-n n n n k k k k k k ααα ∵n ααα,,,21 线性无关∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+-0001211n n n k k k k k k 其系数行列式1100001000001100001110001 =⎩⎨⎧=-++为偶数为奇数n n n ,0,2)1(11∴当n 为奇数时,n k k k ,,,21 只能为零,n ααα,,,21 线性无关；当n 为偶数时,n k k k ,,,21 可以不全为零,n ααα,,,21 线性相关;参考答案一、单项选择题 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A二、填空题1.1002.23k k ≠-≠且3.14.r5.m三、计算题 1. 是 2. 不能3. 112(0,0,1,0),(1,1,0,1)T T v v ==- 2(1,1,1,1)()T k k -其中为任意非零常数第五章参考答案一、单项选择题 1.a 2.c 3.c 4.d 5.b二、填空题1.02.1,-13.04.0,15.4I三、计算题 1.,(1,1,,1)T a2.11111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2113211122-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭四. 证明题略概率论部分一、填空每题3分共15分1. 4/7；2. 1/12 ；3. 不相关；4. ~(3,4)Y N ；5. (0,1/10)N 二、选择每题3分共15分1．C ； 2. C ； 3. D ； 4. A ； 5. B 三、计算 1． 15分解：设12{}{}A A ==第一次从甲袋中摸的是黑球第一次从甲袋中摸的是白球{}B =从乙袋中摸的是白球（1）由全概率公式11221212()(|)()(|)()31212(),(),(|)(|)3344P B P B A P A P B A P A P A P A P B A P B A =+====分所以PB=1/12+4/12=5/12 (3)分2要求2(|)P A B ,由贝叶斯公式分分25451232425)()()|()|(222 =⨯⨯==B P A P A B P B A P2. (10)分解：(1)由()1f x dx +∞-∞=⎰,得220813cx dx c ==⎰,所以38c =, ……4分 (2)11231010311{11}()888P X f x dx x dx x --<<====⎰⎰,……6分 3．10分解：1 2Y X =分别在(,0)-∞∞和（0,+）单调,所以''(|(|||,01()0,,X X Y f f y f y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他． ……4分,01,01y ⎧+=<<⎪=⎨⎪⎩其他０， ……6分,或利用分布函数法：2(){}{}{{0Y F y P Y y P X y P X P X =≤=≤=≤≤=<≤……4分20,01xdx x y y ===<<,……4分1,01()()0,Y Y y f y F y <<⎧'∴==⎨⎩其他……2分 4. 10分解：X ＝1,2,3 ………2分22343335556311{1},{2},{3}101010C C P X P X P X C C C ========= ,5分………6分631()123101010E X =⨯+⨯+⨯ =1.5… 12分5．15分解： 1()(,)X f x f x y dy ∞-∞=⎰06,010,x xdy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它26,010,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………6分()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰16,010,y xdx y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23(1),010,y y ⎧-<<=⎨⎩其它 ………6分2X 与Y 不相互独立,因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………3分 6．10分解：1222()3xEX xf x dx xdx θθθ+∞-∞===⎰⎰,···3分,X =θ32···2分,__^3,2X θ=所以···2分由于__^3322E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计量为无偏估计;···············3分。

概率论与数理统计第三__课后习题答案

习题一：写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ；(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

应用随机过程课后习题解答毛用才胡奇英

第一章习题解答1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===L 。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑Q()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑Q222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）W2、（1）求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2）其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解（1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰Q （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4）若(,)i i X p b Γ: 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+:同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑- W3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

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第三章随机向量
1．解：
222247112121
322322447722211323224
4
7722324
7{0,0}0;
{0,1}0;
1
{0,2};
{1,0}0;
356
6
{1,1};
{1,2};
35353
12{2,0};{2,1};35353
{2,2};35P X Y P X Y C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P C =================================31324
731324
72
{3,0};35
2
{3,1};{3,2}0
35
C C X Y C C C P X Y P X Y C ===========
2．解：
24
2
1
3
02 1.54 1.5020(1)(,)(,)[(6)]1
1
81
8
13
(2){1,3}[(6)]88
1127
(3){ 1.5}(1.5,)[(6)](2)8232
1(4){4}[(6)]8F f x y dxdy k x y dy dx k k P X Y x y dy dx P X F x y dy dx x dx P X Y x y dy dx +∞
+∞
-∞
-∞
+∞+∞==--=∴=∴=
<<=--=
<=+∞=--=-=
+≤=--⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰2422020112
(46)823x x x dx -=-+=
⎰⎰⎰ 3．解：
201
2
4.8(2) 2.4(2)01()(,)04.8(2) 2.4(34)01()(,)0x
X y
Y y x dy x x
x f x f x y dy y x dx y y y y f y f x y dx +∞
-∞
+∞
-∞
⎧-=-≤≤⎪ ==⎨
⎪⎩
⎧-=-+≤≤⎪
==⎨⎪⎩
⎰⎰⎰⎰
其它
其它
4．解：
00()(,)00()(,)0
y x x X y
y y Y e dy e
x f x f x y dy e dx ye
y f y f x y dx +∞
--+∞
-∞
--+∞
-∞
⎧=>⎪ ==⎨
⎪⎩⎧=>⎪==⎨
⎪⎩⎰⎰⎰⎰
其它其它
5．解：
2
2
2
222
1
1122220
001
01(1)()0
101,0
,(,)()()2
0401{}[](1)121(1)(0)]0.1445
X y
X Y y x x
x x f x e
x y X Y f x y f x f y X Y Y X P Y X e dy dx e dx dx
----<<⎧ =⎨
⎩⎧<<>⎪==⎨⎪⎩
∆-≥≤≤==-=-=Φ-Φ≈⎰⎰
⎰其它
因为相互独立,所以其它
(2)方程有实根则=4即
6．解：
（1）21
1
1
4(,)121x
F dx cxydy c
-+∞+∞=
==⎰
⎰ 故 21
4
c = （2）2
2
24121(1)214,11()8
0,
X x x ydy x x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩⎰其它
25
27,01()2
0,Y y x y f y ydx ⎧≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩
其它 7．解：（1）由于X 在(0,1)上服从均匀分布
故1,01
()0,x f x <<⎧=⎨
⎩
其它则1y e <<
又x
y e =单调递增且可导，其反函数为：ln x y = 设x e Y =的概率密度为：()g y
于是'
1,11(ln )()00,y e
y y
g y ⎧⎧<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩
g 其它（2）由于0y <，故 X Y ln 2-=的反函数为1
2
()y h y e
-=
故 '
21[()](()),0
()2
00,0y
f h y h y e y
g y y -⎧⎧>⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩≤⎩
g 8．解法1：由于X 和Y 是两个相互独立的随机变量，由卷积公式()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞
-∞
=
-⎰
可得
当0z ≤时， ()Z f z =0
当01z <<时， 0
()1z
y z Z f z e dy e --=
=-⎰
当1z ≤时，由01x ≤≤，知01z y ≤-≤，即：1z y z -≤≤
11
()z
y z z Z z f z e dy e e ----==-⎰
解法2：可有求密度函数的定义法计算得到。

9．解：
（1）
()0
11
(),0(1)0()(,)2
20,00x y x X x y e dy x x e x f x f x y dx x +∞-+-+∞
-∞
⎧⎧+>+>⎪⎪===⎨⎨⎪⎪≤≤⎩⎩
⎰⎰
x 0 同理 1(1)0()20
0y
Y y e
y f y y -⎧+>⎪==⎨⎪≤⎩
由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 和Y 不相互独立的。

（2）解法1，公式法：
20110()(,)22000
z z z
z ze dx z e
z f z f x z x dx z --+∞
-∞
⎧⎧>⎪⎪=-==⎨⎨⎪⎪≤⎩⎩⎰⎰
解法2，定义法：
当0z ≤，()()()0Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤= ；当0z >，()0
()()()()z x
x y Z F z P Z z P X Y z x y e dydx +∞--+=≤=+≤=
+⎰⎰
21,0,
()'()20,0.
z
z Z z e z f z F z z -⎧>⎪==⎨⎪ ≤⎩。