第三章 随机向量课后习题参考答案

第三章 随机向量

1．解：

222247112121

322322447722211323224

4

7722324

7{0,0}0;

{0,1}0;

1

{0,2};

{1,0}0;

356

6

{1,1};

{1,2};

35353

12{2,0};{2,1};35353

{2,2};35P X Y P X Y C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P C =================================31324

731324

72

{3,0};35

2

{3,1};{3,2}0

35

C C X Y C C C P X Y P X Y C ===========

2．解：

24

2

1

3

02 1.54 1.5020(1)(,)(,)[(6)]1

1

81

8

13

(2){1,3}[(6)]88

1127

(3){ 1.5}(1.5,)[(6)](2)8232

1(4){4}[(6)]8F f x y dxdy k x y dy dx k k P X Y x y dy dx P X F x y dy dx x dx P X Y x y dy dx +∞

+∞

-∞

-∞

+∞+∞==--=∴=∴=

<<=--=

<=+∞=--=-=

+≤=--⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰2422020112

(46)823x x x dx -=-+=

⎰⎰⎰ 3．解：

201

2

4.8(2) 2.4(2)01()(,)04.8(2) 2.4(34)01()(,)0x

X y

Y y x dy x x

x f x f x y dy y x dx y y y y f y f x y dx +∞

-∞

+∞

-∞

⎧-=-≤≤⎪ ==⎨

⎪⎩

⎧-=-+≤≤⎪

==⎨⎪⎩

⎰⎰⎰⎰

其它

其它

4．解：

00()(,)00()(,)0

y x x X y

y y Y e dy e

x f x f x y dy e dx ye

y f y f x y dx +∞

--+∞

-∞

--+∞

-∞

⎧=>⎪ ==⎨

⎪⎩⎧=>⎪==⎨

⎪⎩⎰⎰⎰⎰

其它其它

5． 解：

2

2

2

222

1

1122220

001

01(1)()0

101,0

,(,)()()2

0401{}[](1)121(1)(0)]0.1445

X y

X Y y x x

x x f x e

x y X Y f x y f x f y X Y Y X P Y X e dy dx e dx dx

----<<⎧ =⎨

⎩⎧<<>⎪==⎨⎪⎩

∆-≥≤≤==-=-=Φ-Φ≈⎰⎰

⎰其它

因为相互独立,所以其它

(2)方程有实根则=4即

6． 解：

（1）21

1

1

4(,)121x

F dx cxydy c

-+∞+∞=

==⎰

⎰ 故 21

4

c = （2）2

2

24121(1)214,11()8

0,

X x x ydy x x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩⎰其它

25

27,01()2

0,Y y x y f y ydx ⎧≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩

其它 7．解：（1）由于X 在(0,1)上服从均匀分布

故1,01

()0,x f x <<⎧=⎨

⎩

其它 则1y e <<

又x

y e =单调递增且可导，其反函数为：ln x y = 设x e Y =的概率密度为：()g y

于是'

1,11(ln )()00,y e

y y

g y ⎧⎧<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩

g 其它 （2）由于0y <，故 X Y ln 2-=的反函数为1

2

()y h y e

-=

故 '

21[()](()),0

()2

00,0y

f h y h y e y

g y y -⎧⎧>⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩≤⎩

g 8．解法1： 由于X 和Y 是两个相互独立的随机变量， 由卷积公式()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞

-∞

=

-⎰

可得

当0z ≤时， ()Z f z =0

当01z <<时， 0

()1z

y z Z f z e dy e --=

=-⎰

当1z ≤时，由01x ≤≤，知01z y ≤-≤，即：1z y z -≤≤

11

()z

y z z Z z f z e dy e e ----==-⎰

解法2：可有求密度函数的定义法计算得到。 9．解：

（1）

()0

11

(),0(1)0()(,)2

20,00x y x X x y e dy x x e x f x f x y dx x +∞-+-+∞

-∞

⎧⎧+>+>⎪⎪===⎨⎨⎪⎪≤≤⎩⎩

⎰⎰

x 0 同理 1(1)0()20

0y

Y y e

y f y y -⎧+>⎪==⎨⎪≤⎩

由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 和Y 不相互独立的。 （2）解法1，公式法：

20110()(,)22000

z z z

z ze dx z e

z f z f x z x dx z --+∞

-∞

⎧⎧>⎪⎪=-==⎨⎨⎪⎪≤⎩⎩⎰⎰

解法2，定义法：

当0z ≤，()()()0Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤= ； 当0z >，()0

()()()()z x

x y Z F z P Z z P X Y z x y e dydx +∞--+=≤=+≤=

+⎰⎰

21,0,

()'()20,0.

z

z Z z e z f z F z z -⎧>⎪==⎨⎪ ≤⎩