三元均值不等式
选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式求最值及绝对值不等式第一篇：三元均值不等式求最值及绝对值不等式三元均值不等式求最值三元均值不等式：例1、求函数y=2x 23+,(x>0)的最大值 x例2、求函数y=x21-x2(0<x<1)的最大值。
例3、已知0<x<1，求函数y=-x3-x2+x+1的最大值。
例4、已知0<x<2，求函数y=6x4-x2的最大值。
练习：1、求函数y=2x2、x>0时，求y=3、求函数y=4、若0<x<1, 求y=x5、若a>b>0，求证：a+42()4+,(x∈R+)的最小值。
x6+3x2的最小值。
xax(a-2x)2,(0<x<)的最大值。
2(1-x2)的最大值。
1的最小值。
b(a-b)绝对值不等式例1、证明（1）例2、证明例3、证明例4、已知例5、已知练习：1、已知2、已知（2）a+b≥a-b a+b≥a+b，a-b≤a-b≤a+b。
a-b≤a-c+b-c。
ccx-a<,y-b<，求证(x+y)-(a+b)<c.22aax<,y<.求证：2x-3y<a。
46ccA-a<,B-b<.求证：(A-B)-(a-b)<c。
22ccx-a<,y-b<.求证：2x-3y-2a+3b<c。
46解含绝对值不等式例1、解不等式3x-1<x+2。
例2、解不等式3x-1>2-x。
例3、解不等式例4、解不等式例5、不等式练习： 1、3-2x223、x-2x-4<14、x-1>x+2.2x+1+3x-2≥5。
x-2+x-1≥5。
x-1+x+3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。
≤x+4.2、x+1≥2-x.5、7、x+x-2≥46、x-1+x+3≥6.x+x+1<28、x-x-4>2.课后练习1．解下列不等式：1（2）1<3x+4<7 212（3）2x-4<x+1（4）x-2x<x2（1）2-3x≤2．解不等式：（1）3．解不等式：（1）4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式条件？5．已知（1）6．已知 7．已知 2x-1<x-1（2）x+2>1 x-1x+1+x+2>3（2）x+2-x-1+3>0.x-4+x-3333（2）A+B-C)-(a+b-c)<s.(A+B+C)-(a+b+c)<s；x<a,y<a.求证：xy<a.x<ch,y>c>0.求证：x<h.ya+bab≤+.8．求证1+a+b1+a1+b9．已知a<1,b<1.求证：a+b<1.1+ab210．若α,β为任意实数，c为正数，求证：α+β122≤(1+c)α+(1+)β.c2（α+β2≤α+β+2αβ，而αβ=cα⋅2212β≤ccα+2212βc）第二篇：均值不等式求最值的类型及技巧均值不等式求最值的类型及技巧贵州顶效经济开发区中学代敏均值不等式a+b≥ab(a>0,b>0，当且仅当a=b时取等号）是一个重要的不等式，是求函数最2值的一个重要工具，也是高考中常考的一个重要知识点。
三元的基本不等式定理
三元的基本不等式定理好吧，今天咱们聊聊三元的不等式定理，这个名字听起来有点高大上，但别担心，我们就像在茶馆里唠嗑一样，轻松点儿。
你想想，生活中总有些东西是不能随便比较的，就像你不能把苹果和橘子放一起说哪个更好。
这三元不等式就像是数学中的一位“调解员”，帮我们理清这三者之间的关系。
哎，说起来，这就像在朋友之间搞团购，你得考虑每个人的需求，最后才能买到最合适的东西。
说到这个定理，它主要是说，三个正数的算术平均数总是大于等于它们的几何平均数。
别急，我先把这意思捋顺。
想象一下，你有三种水果，苹果、香蕉和梨。
算术平均就像是把这三种水果的数量加起来，再平均分给每个人。
而几何平均就有点复杂了，就像你要把这些水果都混在一起，看看能做出多少果汁。
听起来是不是有点绕？其实说白了，就是想告诉你，合在一起的总比分开来的要更丰富。
如果你有三个朋友，他们的身高分别是170、180和190，算算这三个人的平均身高。
嘿，结果是180，这就是算术平均。
而如果你问我这三个人一起去打篮球，能不能变得更高？这个就要看他们能不能一起把身高发挥到极致。
这个时候，几何平均就派上用场了。
毕竟，单打独斗不如齐心协力，对吧？就像打麻将，四个人一起玩，才有意思。
再说说不等式的魅力吧。
它告诉我们，不同的东西有不同的价值。
你总不能让一颗葡萄和一颗西瓜比大小吧？这就像生活，有时候你会发现，最珍贵的东西不一定是最显眼的。
就像在学校，成绩最好的不一定就是最受欢迎的。
真是个复杂的世界。
这里的三元不等式定理，正是提醒我们，得把每个人的特点都考虑进去，才会有一个更全面的认识。
不等式也跟我们的生活息息相关。
就像咱们每天都要面临选择，有时候你可能会觉得做这个和那个都不错，但最后只能选一个。
这就像在买东西时，你得平衡价格和质量，买个便宜的，结果质量差得不得了，买个贵的，又未必值这个价。
这种权衡，跟三元不等式说的道理不谋而合。
生活中的每个选择，都是在做不等式的比较。
再来点幽默的，想象一下，如果三元不等式是一位老顽童，它一定会在你面前讲各种故事。
二元三元均值不等式(竞赛不等式word)
二元、三元均值不等式的应用一、元素的巧选1、江西宋庆先生《中等数学》2008年第3期奥林匹克问题栏目里，提出的高221问题是：已知a b c 、、是满足1=abc 的正数，求证：2222221111.2323232a b b c c a ++≤++++++ （1）证明：注意到2222223122(1)a b a b b ab b ++=++++≥++ 则2211232(1)a b ab b ≤++++同理，2211232(1)b c bc c ≤++++，2211232(1)c a ca a ≤++++ 以上三式相加得2211232(1)a b ab b ≤++++∑∑111()21112ab b ab b b ab ab b =++=++++++ 笔者通过思考与探究，建立了不等式（1）的一个有趣的类似： 问题：已知b c a 、、是满足abc 1=的正数，求证：2222221.2323232a b c a b b c c a ++≤++++++ （2）证明：因为22221,21,21,a a b b c c ≤+≤+≤+所以要证不等式（2），只要证明如下不不等式22222222211112(1)(1)2(1)(1)2(1)(1)a b c a b b c c a +++++≤+++++++++ （*） 令222222111,,,111b c a x y z a b c +++===+++则正数1xyz =，于是不等式（*）等价于 1111222x y z++≤+++， 也就是(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)y z z x x y x y z ++++++++≤+++， 即 4x y y z z x x y z+++≥，注意到1=xyz ，并应用3元均值不等式，得4+++≥=xy yz zx xyz xyz ．故2222221.2323232a b c a b b c c a ++≤++++++得证．2、（50届IMO 预选）设正数,,a b c 满足111a b c a b c++=++. 证明：213(2)16a b c ≤++∑22111(2)()4()()2()()()a b c a b c a b a c a b a c a b a c b c ++=≤=++++++++++∑∑∑由于22()()()()2a b a c b c a b ab abc a ab abc +++=++=⋅-∑∑∑而8()()()abc a b a c b c ≤+++ 所以9()()()8a ab a b a c b c ≤+++∑∑所以2919(2)2()()()1616a a b c a b c a b a c b c a ab ab ++≤≤=+++++∑∑∑∑∑又由已知21111()()3a b c ab abc a b c ab a b c ++=++⇒=++≤∑∑ 可得3ab ≥∑因此21993(2)1616316a b c ab ≤≤=++⨯∑∑.3、设,,a b c为正实数，求证：(1)(1)(1)2(1a b c b c a +++≥证明：(1)(1)(1)2a b c a b c a b cb c a b c a c a b+++=++++++()()()1a a a b b b c c cb c a b c a b c a=++++++++-1≥1312(1=≥-=，构造均值定理是本题的关键。
三元均值不等式的加强及其应用
三元均值不等式的加强及其应用引言在数学中，不等式是研究各种数学问题的重要工具之一。
三元均值不等式是数学中一类常见的不等式，它在很多问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三元均值不等式的加强及其应用。
一、三元均值不等式及其证明三元均值不等式是指对于任意的非负实数$a$、$b$和$c$，成立以下不等式关系：$$\f ra c{a+b}{2}\ge q\sq rt{a b}\q ua d\t e xt{(1)}$$$$\f ra c{a+b+c}{3}\g e q\sq rt[3]{ab c}\q ua d\te xt{(2)}$$这两个不等式是数学中常用的基本不等式。
下面我们来证明这两个不等式。
1.不等式(1)的证明设$x=\s qr t{a}$，$y=\sq rt{b}$，则$x$和$y$为非负实数。
根据算术-几何平均不等式，有：$$\f ra c{x+y}{2}\ge q\sq rt{x y}\q ua d\t e xt{(3)}$$由于$\sq rt{a+b}=\s qr t{x^2+y^2}\ge q\s qr t{x^2}=x$，同理$\sq rt{a+b}\ge qy$，故有：$$\f ra c{a+b}{2}=\fr a c{x^2+y^2}{2}\g e q\fr ac{x+y}{2}\g eq\s qr t{x y}=\sq rt{a b}$$因此，不等式(1)得证。
2.不等式(2)的证明设$x=\s qr t[3]{a}$，$y=\sq rt[3]{b}$，$z=\s qr t[3]{c}$，则$x$、$y$和$z$为非负实数。
根据算术-几何平均不等式，有：$$\f ra c{x+y+z}{3}\g e q\sq rt[3]{xy z}$$由于$\sq rt[3]{a+b+c}=\sq rt[3]{x^3+y^3+z^3}\g eq\s qr t[3]{x^3}=x $，同理$\sq rt[3]{a+b+c}\ge qy$，$\s qr t[3]{a+b+c}\g e qz$，故有：$$\f ra c{a+b+c}{3}=\f ra c{x^3+y^3+z^3}{3}\ge q\fr ac{x+y+z}{3}\ge q\sq rt[3]{xyz}=\sq rt[3]{ab c}$$因此，不等式(2)得证。
三元齐次不等式问题的数学竞赛讲义——均值不等式与柯西不等式应用拓广 学生版
三元齐次不等式问题的解答讲义-均值不等式与柯西不等式应用拓广众所周知，三元齐次不等式是一类基本型不等式问题，证明所需技巧性简单，本文通过几个例题梳理证明的一般步骤：通常只要展开分析，考察展开式，能否首先使用均值不等式，均值不等式的元可以任意，其次考虑应用柯西不等式，能否配方，能否使用同一类型的3-u -v 法证明。
一、基本三元齐次不等式问题1原始问题：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a2≥a b +b c +c a .2问题的加强1：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a2≥a b +b c +c a +3a -b 2+b -c 2+c -a 2ab +bc +ca .3问题的加强2：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c +2a -b 2+b -c 2+c -a 2a +b +c.根据上述两个题，增加字母次数，变形改编一题，1加强变形题1：已知a，b，c>0，求证：a(a2−b2)b +b(b2−c2)c+c(c2−a2)a≥3(a−b)4+(b−c)4+c−a4a2+b2+c2.舍掉一部分元素，使得题目条件难度加大，改编题目，2加强变形题2：问题[2023-06-2500:00]：已知a，b，c>0，，求证：a(a2−b2)b +b(b2−c2)c+c(c2−a2)a≥4c−a4a2+b2+c2.二、复杂一点的三元齐次不等式问题：这类问题看能否使用均值不等式，凑一组不等式问题，使用均值不等式，若使用过程出现困难，则展开证明.1问题1：已知a，b，c>0，求证：b+c4a+b+c+c+a4b+c+a+a+b4c+a+b≥3.2问题2：已知a，b，c>0，求证：a2(b+c)4a+b+c +b2(c+a)4b+c+a+c2(a+b)4c+a+b≥29bc+ca+ab.3问题3：已知a，b，c>0，求证：b(b+c)c(4a+b+c)+c(c+a)a(4b+c+a)+a(a+b)b(4c+a+b)≥13.4问题4：已知a，b，c>0，求证：a(b+c)b(4a+b+c)+b(c+a)c(4b+c+a)+c(a+b)a(4c+a+b)≥13.5问题5是多元均值不等式的应用问题.再看一个题8次不等式的展开证明：已知a，b，c≥0，β∈0，31，求证：cyc [(b4+c4)(3b+c)(b+3c)(b2+c2-2a2)]≥42cyc a2⋅cyca2-c2+βcycc-a 2⋅cycc-a 2.三、思考问题：6①已知a ，b ，c >0，求证：2cyc a 4 cyc a 3(a +b ) 5a −c (4a +3b −7c )−20cyc a 2b 3(a −c )≥cyc bc (a −b )8 +cyc (c −a )2⋅ cyc(b −c )2(c −a )2 .7②已知a ，b ，c >0，求证：a 2+b 2+c 2≥a b 2−bc +c 2+b c 2−ca +a 2+c a 2−ab +b 2≥ab +bc +ca .。
三元算术几何平均值不等式的加细_安振平
是同一个点，即四面体N1N2N3N4与Q1Q2Q3Q4有共同的欧拉球心．命题得证．定理2就是本文得到的主要结论，其内涵是颇为丰富的．考察它的种种特例，将会得到许多花样翻新的有趣命题．例如，在定理2中令k=1，2，3，可得命题1设四面体A1A2A3A4的外心为O，其侧面△j的1号心为H j（1，2，3，4），则四面体A1A2A3A4与H1H2H3H4有共同的欧拉球面．命题2设四面体A1A2A3A4的外心为O，其侧面△j的2号心为E j，线段OA j的中点为B j（j=1，2，3，4），则四面体B1B2B3B4与E1E2E3E4有共同的欧拉球面．命题3设四面体A1A2A3A4的外心为O，其侧面△j的3号心为G j，线段OA j的第一个3等分点为Cj （j=1，2，3，4），则四面体C1C2C3C4与G1G2G3G4有共同的欧拉球面．这些耐人寻味的四面体命题，在以往的几何著作中似未见过．容易看出，命题2与定理1惟妙惟肖地类同或相似．由此可知，定理2是定理1在四面体中的一种多方位的类比推广．定理2的发现过程使我们深深体会到：类比是发现真理的重要手段．正如数学家波利亚所说：“没有类比，在初等或高等数学中也许就不会有发现，在其他学科中也不会出成果的．”参考文献：［1］梁绍鸿．初等数学复习及研究（平面几何）［M］．赵慈庚校．北京：人民教育出版社，1958：223．［2］Ｒ．A．约翰逊．近代欧氏几何学［M］．单译．上海：上海教育出版社，1999：170－171．［3］熊曾润．四面体的欧拉球面及其性质［J］．中国初等数学研究，2009（1）：40－43．（收稿日期：2014－01－22）三元算术几何平均值不等式的加细安振平（陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心，712000）对于任意实数a，b，c，都有不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca①这是一道常见的不等式，上海熊斌先生在他的《不等式的解题方法与技巧》（P43，华东师大出版社，2005年第一版）中，将不等式①加强为：设a，b，c＞0，求证：a2+b2+c2≥a（b2+c2）b+c+b（c2+a2）c+a+c（a2+b2）a+b②不同于原书的证明，只要进行恒等变形，构造恒等式，便可给出不等式②的一种轻巧、简单的证法．事实上，通过作差比较，得（a2+b2+c2）－［a（b 2+c2）b+c +b（c2+a2）c+a+c（a2+b2）a+b］=［a2－a（b2+c2）b+c］+［b2－b（c2+a2）c+a］+［c2－c（a2+b2）a+b］=ab（a－b）b+c－ca（c－a）b+c+bc（b－c）c+a－ab（a－b）c+a+ca（c－a）a+b－bc（b－c）a+b=［ab（a－b）b+c－ab（a－b）c+a］+［bc（b－c）c+a－bc（b－c）a+b］+［ca（c－a）a+b－ca（c－a）b+c］=ab（a－b）2（b+c）（c+a）+bc（b－c）2（c+a）（a+b）+ca（c－a）2（a+b）（b+c）≥0，所以，不等式②成立．通过学习不等式②，联系到三元算术几何平均值不等式：设a，b，c＞0，求证：a3+b3+c3≥3abc③类似于不等式②的形式，笔者获得了三元算术44数学通讯—2014年第6期（下半月）·专论荟萃·几何平均值不等式③的一种加细．定理设a ，b ，c ＞0，求证：a 3+b 3+c 3≥a 2（b 2+c 2）b +c +b 2（c 2+a 2）c +a +c 2（a 2+b 2）a +b ≥2abc （a b +c +b c +a +ca +b ）≥3abc ④证明先证：a 3+b 3+c 3≥a 2（b 2+c 2）b +c+b 2（c 2+a 2）c +a +c 2（a 2+b 2）a +b⑤采用作差比较法，得（a 3+b 3+c 3）－［a 2（b 2+c 2）b +c +b 2（c 2+a 2）c +a +c 2（a 2+b 2）a +b］=［a 3－a 2（b 2+c 2）b +c ］+［b 3－b 2（c 2+a 2）c +a ］+［c 3－c 2（a 2+b 2）a +b］=a 2b （a －b ）－ca 2（c －a ）b +c +b 2c （b －c ）－ab 2（a －b ）c +a +c 2a （c －a ）－bc 2（b －c ）a +b=［a 2b （a －b ）b +c －ab 2（a －b ）c +a ］+［b 2c （b －c ）c +a －bc 2（b －c ）a +b ］+［c 2a （c －a ）a +b －ca 2（c －a ）b +c］=ab （a －b ）2（a +b +c ）（b +c ）（c +a ）+bc （b －c ）2（a +b +c ）（c +a ）（a +b ）+ca （c －a ）2（a +b +c ）（a +b ）（b +c ）≥0，所以不等式⑤成立．结合均值不等式，立即可得：a 2（b 2+c 2）b +c +b 2（c 2+a 2）c +a +c 2（a 2+b 2）a +b ≥2abc （a b +c +b c +a +c a +b）．又因为2（a +b +c ）（1b +c +1c +a +1a +b ）=［（b +c ）+（c +a ）+（a +b ）］·（1b +c +1c +a +1a +b）≥33（b +c ）（c +a ）（a +b 槡）·331b +c ·1c +a ·1a +槡b =9，整理可得a b +c +b c +a +c a +b ≥32．这是常见的Nesbitt 不等式．于是可得2abc （a b +c +b c +a +c a +b ）≥3abc．综合可知：不等式④成立．参考文献：［1］安振平．三元均值不等式的加强及其应用［J ］．中学数学教学参考，1998（10）．［2］安振平．一个代数不等式的加强［J ］，数学通讯（教师刊），2010（9）．（收稿日期：2014－01－01）一个关于椭圆切线的猜想的另证及推广高文启（安徽省阜阳市第五中学，236000）文［1］给出一个猜想，摘抄如下：猜想若A ，B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）一直径两端点，P 为椭圆上任意一点（不与A ，B 重合），直线PA ，PB 与AB 的共轭直径所在的直线分别交于C ，D ，则椭圆在点P 处的切线平分线段CD．文［2］给出了上述猜想的证明，并把这一性质进行了再推广．本文中，笔者利用椭圆的参数方程来证明该猜54·专论荟萃·数学通讯—2014年第6期（下半月）。
三元均值不等式的一个推广
三元均值不等式的一
个推广
------------------------------------------作者xxxx
------------------------------------------日期xxxx
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三元均值不等式的一个推广
张祖华苏树广
平阴县职业教育中
心山东济南 250400
摘要：本文给出三元均值不等式的一个推广，该推广涵盖了三元均值不等式。
关键词：不等式二元均值不等式三元均值不等式
推广(P)：a3+ b3+ c3>(=)4a m b m c m-a4m-3b4m-3c4m-3 .其中，
a>0,b>0,c>0,m为正整数.
显然，m=1时，即为三元均值不等式。
参考文献：
[1]张祖华.一簇超越方程的精确解. 《高等数学通报》总第72期.
[2]张祖华.带有矩阵元形式的柯西不等式.《高等数学研究》总第126期.
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2019_2020学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1_3_2三元平均值不等式课件北师大版选修4_5
3 ＝300π·
12·（32）2.
∴w≥900π.
当且仅当 3x2＝2xy 即 3x＝2y 时取等号，可得 x＝1，y＝1.5.
答：当水池半径为 1 m，池高为 1.5 m 时，修建水池成本最
低为 900π元．
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课后巩固
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1．设 a，b，c∈R，且 a，b，c 不全相等，则不等式 a3＋b3
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证明 因为 a，b，c 均为正数，由平均值不等式知
2
a2＋b2＋c2≥3(abc)3.
①
1a＋b1＋1c≥3(abc)－31，即(1a＋1b＋1c)2≥9(abc)－23. ②
故 a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)23＋9(abc)－23.
又 3(abc)23＋9(abc)－23≥2 27＝6 3，
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【思路】 先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用 平均不等式证明．
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【证明】 (1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥33 abc>0. 从而(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2>0. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0， ∴(a12＋b12＋c12)(a＋b＋c)2≥3 3 a2b12c2·93 a2b2c2＝27. 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
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又2Hx＋(1－Hx )＋(1－Hx )＝2 为定值， ∴当2Hx＝1－Hx 即 x＝H3 时，v 最大． 故当 x＝H3 时，Vmax＝841πR2H(1＋λ＋λ2)．
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思考题 4 今欲造一个无盖的容积为32π m3 的圆柱形水 池，池底所用材料每平方米 300 元，池壁所用材料每平方米 200 元，那么设计这个水池的最低成本是多少元？
三元不等式好题-学生版
均值不等式的推广：①0,1,2,,i a i n >=，2221212212111nn nnna a a a a a n a nna a a +++++≤≤≤+++一、 三元基本不等式1233a a a ++≤（123,,0a a a ≥）1若0x y >>，求()27x y x y +−的最小值2 求函数2sin cos y x x =⋅的最大值3已知01x <<，求函数32484y x x x =−+的最大值 4若,0x y >，求212xy x y ++的最小值 5已知,,a b c R +∈，且3332221a b c ++=，证明：（1）19abc ≤； （2）a b c b c a c a b ++≤+++ 二、 三个变元最值处理-消元 6对任意正实数,,a b c ，满足1b c +=，则23121ab a bc a +++的最小值为（ ） 7已知实数20,0x y z ≥>>，求43223x y z x x y y z+++++的最小值8已知正数,a b 满足1,a b c R +=∈，求222313a c bc b abc ab++++的最小值 9设,,x y z R +∈，满足2221x y z ++=，求212S xyz=的最小值 三、 平方和与积的互换10 已知实数,,a b c 满足22221a b c ++=，则2ab c +的最小值为（ ）11 已知正数,,,a b c d 满足21,21a b c d +=+=，求11a bcd+的最小值12 ,,a b c 为不同时为0的正实数，求2222ab bca b c +++的最大值13 ,,x y z R +∈，求222xy yzx y z+++的最大值 14 已知22,,91x y R x xy y ∈−+=，求3x y +的最大值15 不等式22221122xy yz a a x y z +≤+−++对任意正数,,x y z 恒成立，求a 的最大值16 已知实数,a b ，且0ab >，求22224aba b a b +++的最大值1718 已知正实数,a b 满足6a b +=，求2211a ba b +++的最大值19 已知实数,,a b c 满足22211144a b c ++=，求22ab bc ac ++的取值范围 20 已知,,0a b c >，且22210a b c ++=，则ab ac bc ++的最大值为（ ）；2ab ac bc ++的最大值为（ ）21 已知,,x y z 为正实数，且2222x y z ++=yz +的最大值 22 设,,,x y z w 是不全为零的实数，求22222xy yz zwx y z w +++++的最大值四、 换元处理23 实数,m n 满足2241m n +=，求421mnm n +−的最小值24 若实数,a b 满足2244a b −=，求252a ab +的最小值 2526 已知0,0x y >>，求2223x y xy y ++的最小值2728 已知正数,x y ，满足11262x y x y+++=，若xy 的最大值和最小值为,M m ，M m +=29 已知不等式()3x a x y +≤+对一切正数,x y 恒成立，实数a 的最小值为（ ）30 若实数,,a b c R +∈，且26ab ac bc a +++=−，求2a b c ++的最小值31 已知正实数,x y 满足222x x xy y ++=，求232x y y++的最小值五、 两边同时加（减，乘，除）一个式子 32 已知0,0a b >>，且2610a b a b +++=，求52b a−的最大值33 已知0,0a b >>，且2233a b ab a b +=+，求3a b +的最小值34 已知,a b R +∈，且196a b a b+=++，求a b +的最小值作业：。
三个正数的均值不等式的证明
三个正数的均值不等式的证明（实用版）目录1.引言2.三个正数的均值不等式的定义和表述3.证明过程a.使用柯西不等式进行证明b.使用权和均值不等式进行证明4.结论5.总结正文1.引言在数学中，均值不等式是一种常见的不等式，它应用于各种实际问题中，如求解最值问题、概率论等。
在本文中，我们将讨论如何证明三个正数的均值不等式。
在开始证明之前，我们需要先了解均值不等式的定义和表述。
2.三个正数的均值不等式的定义和表述三个正数的均值不等式是指：对于任意三个正数 a、b、c，有(a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)。
换句话说，三个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。
3.证明过程为了证明这个不等式，我们可以使用两种方法：柯西不等式和权和均值不等式。
a.使用柯西不等式进行证明根据柯西不等式，对于任意实数 a1、a2、a3 和 b1、b2、b3，有 (a1b1 + a2b2 + a3b3)^2 <= (a1^2 + a2^2 + a3^2)(b1^2 + b2^2 + b3^2)。
取a1 = a2 = a3 = 1，b1 = b2 = b3 = 1，我们可以得到 (1+1+1)(1+1+1) <= (1^2 + 1^2 + 1^2)(1^2 + 1^2 + 1^2)，即 9 <= 9，这个不等式显然成立。
然后我们考虑将不等式中的 a、b、c 替换为 1/a、1/b、1/c，得到 (1/a + 1/b + 1/c)^2 <= (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)(1 + 1 + 1)，即 (a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)。
因此，我们证明了三个正数的均值不等式。
b.使用权和均值不等式进行证明根据权和均值不等式，对于任意正数 a、b、c 和正实数 x、y、z，有 (ax+by+cz)/(x+y+z) >= (a^x + b^y + c^z)^(1/(x+y+z))。
三元均值不等式公式四个
三元均值不等式公式四个
三元均值不等式是指对于三个非负实数a、b、c，有以下四种均值不等式：
1.算术平均数大于等于几何平均数：
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
解释：算术平均数是三个数的和除以3，几何平均数是三个数的乘积的1/3次方根。
这个不等式表明，算术平均数大于等于几何平均数。
2.几何平均数大于等于调和平均数：
(abc)^(1/3)≥3/(1/a+1/b+1/c)
解释：调和平均数是三个数的倒数的平均数，这个不等式表明，几何平均数大于等于调和平均数。
3.平方平均数大于等于算数平均数：
[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)≥(a+b+c)/3
解释：平方平均数是三个数的平方和的平均数的1/2次方根，这个不等式表明，平方平均数大于等于算数平均数。
4.立方平均数大于等于平方平均数：
[(a^3+b^3+c^3)/3]^(1/3)≥[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)
解释：立方平均数是三个数的立方和的平均数的1/3次方根，这个不等式表明，立方平均数大于等于平方平均数。
这些不等式在数学证明和应用中都有广泛的应用，比如在概率论、统计学和自然科学中都有应用。
3元均值不等式证明
3元均值不等式证明在数学中，均值不等式是一个重要的数学不等式定理，它在分析和代数中有着广泛的应用。
其中，3元均值不等式是这一类不等式中的一种特殊形式，它是由阿波罗尼奥斯（Apollonius）提出的。
本文将从基本定义、证明及应用几个方面对3元均值不等式展开论述。
1. 基本定义均值不等式指的是，对于一组非负实数$a, b, c$，记其算术平均为$M(a, b, c)$，几何平均为$G(a, b, c)$，谐波平均为$H(a, b, c)$。
均值不等式则可以表述为：$$M(a, b, c) \geq G(a, b, c) \geq H(a, b, c)$$2. 3元均值不等式的证明要证明3元均值不等式，可以利用数学归纳法进行证明。
首先考虑边界情况，当$a = b = c$时，均值不等式显然成立。
接下来，假设当$n=k$时均值不等式成立，即$M(a_1, a_2, ..., a_k) \geq G(a_1, a_2, ..., a_k) \geq H(a_1, a_2, ..., a_k)$。
然后考虑$n=k+1$的情况，即证明$M(a_1, a_2, ..., a_k, a_{k+1}) \geq G(a_1, a_2, ..., a_k, a_{k+1}) \geqH(a_1, a_2, ..., a_k, a_{k+1})$。
对于算术平均，有$$M(a_1, a_2, ..., a_k, a_{k+1}) = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_k +a_{k+1}}{k+1}$$对于几何平均，有$$G(a_1, a_2, ..., a_k, a_{k+1}) = \sqrt[k+1]{a_1 \cdot a_2 \cdot ...\cdot a_k \cdot a_{k+1}}$$对于谐波平均，有$$H(a_1, a_2, ..., a_k, a_{k+1}) = \frac{k+1}{\frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{k+1}}}$$根据归纳假设，可得：$$M(a_1, a_2, ..., a_k) \geq G(a_1, a_2, ..., a_k) \geq H(a_1, a_2, ...,a_k)$$由于算术平均、几何平均、谐波平均都是单调函数，所以对于均值不等式，不等式关系依然成立。
三元均值不等式
均值不等式 姓名一、均值不等式。
1、二元均值不等式设+∈R b a 、,则： 2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+,当且仅当b a =时取等。
即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数2、三元均值不等式设+∈R c b a 、、,则： 3311132223c b a c b a abc cb a ++≤++≤≤++,当且仅当c b a ==时取等。
利用最原始的方法先证明：abc c b a 3333≥++，（+∈R c b a 、、）。
证明：()abc ab b a c b a abc c b a 33332233333---++=-++()()()[]()c b a ab c c b a b a c b a ++-+⋅+-+++=322()()()[]ab c c b a b a c b a 322-+⋅+-+++=()()ca bc ab c b a c b a ---++++=222()()()()021*******≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-++=a c c b b a c b a所以:abc c b a 3333≥++把“3a → a , 3b → b , 3c → c”得33abc c b a ≥++即33abc c b a ≥++,当且仅当a = b = c 时上式取”=”号.*3、n 元均值不等式设+∈R a a a a n 、、、、 321, 调和平均数：nn a a a a nH 1111321 +++=几何平均数：n n n a a a a G ⋅⋅= 321 算术平均数：na a a a A nn ++++=321平方平均数：na a a a Q nn 2232221++++=则n n n n Q A G H ≤≤≤，当且仅当n a a a a ==== 321时取等。
二、利用三元均值不等式求最值 设+∈R c b a 、、,则：3a b c ++≥当且仅当c b a ==时取等。
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均值不等式 姓名
一、均值不等式。
1、二元均值不等式
设+
∈R b a 、,则： 22112
2
2b a b a ab b
a +≤
+≤≤+,当且仅当b a =时取等。
即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
2、三元均值不等式
设+
∈R c b a 、、,则： 3311132223
c b a c b a abc c
b a ++≤
++≤≤++,当且仅当c b a ==时取等。
利用最原始的方法先证明：abc c b a 33
3
3
≥++，（+
∈R c b a 、、）。
证明：()abc ab b a c b a abc c b a 33332
233
333---++=-++
()()()[]
()c b a ab c c b a b a c b a ++-+⋅+-+++=32
2
()(
)()[]
ab c c b a b a c b a 322
-+⋅+-+++=
()(
)
ca bc ab c b a c b a ---++++=222
()()()()021*******≥⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+-+-++=a c c b b a c b a
所以:abc c b a 33
3
3
≥++
把“3a → a , 3b → b , 3
c → c”得33abc c b a ≥++即
3
3
abc c b a ≥++,当且仅当a = b = c 时上式取”=”号.
*3、n 元均值不等式
设+∈R a a a a n 、、
、、 321, 调和平均数：n
n a a a a n
H 1111321 +++=
几何平均数：n n n a a a a G ⋅⋅= 321 算术平均数：n
a a a a A n
n ++++=
321
平方平均数：n
a a a a Q n
n 2
232221++++=
则n n n n Q A G H ≤≤≤，当且仅当n a a a a ==== 321时取等。
二、利用三元均值不等式求最值 设+
∈R c b a 、、,则：
3
a b c ++≥当且仅当c b a ==时取等。
变形1：
(1)a b c ++≥（a ，,b c R +
∈）等号成立a b c ⇔==。
积为定值时，和有最小值（积定和最小）
变形2：3
3a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
（a ，,b c R +
∈）等号成立a b c ⇔==。
和为定值时，积有最大值（和定积最大）
注意：一正，二定，三相等
例1、 求函数()2
4
20y x x x
=+
>的最小值。
:变式1：求函数()
()2
4
11y x x x =+>-的最小值。
例2、 求函数()2
11202y x x x ⎛
⎫=-<< ⎪⎝
⎭的最大值。
变式2：求函数()()2
313212y x x x ⎛⎫
=--<<
⎪⎝⎭
的最大值。
变式3
：求函数)01y x x =<<的最大值。
变式4：求函数2
sin cos 02y πθθθ⎛⎫=⋅<< ⎪⎝
⎭的最大值。
例3、 已知0,0a b >>，且3a b +=，求2
y ab =的最大值。
:变式5：已知0,0a b >>，且2
4ab =，求y a b =+的最小值。
例4、 已知0a b >>求()
1
y a b a b =+-的最小值。
:变式6：已知a b c >>求2
1
y a c ab ac bc b
=-+-+-的最小值。