教师用导数及其应用4

第4课 定积分与微积分基本定理（理科用）

【考点导读】

1． 了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。

2． 了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理

问题。 【基础练习】

1．下列等于1的积分是 （3） 。 （1）dx x ⎰1

（2）dx x ⎰+1

)1( （3）dx ⎰101 （4）dx ⎰

1

2

1

2.曲线3cos (0)2

y x x π=≤≤

与坐标轴围成的面积是

52

。

3．已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为

2

2

0gt 。

4．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 0.18J 。

5．2

20

(3)10,x k dx k +==⎰则

1 , 8-=⎰

__45

4 。

【范例导析】

例1．计算下列定积分的值：

（1）⎰--3

1

2

)4(dx x x ；（2）⎰-2

1

5

)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20

)sin (π

；（4）dx x ⎰-22

2

cos

π

π；

分析：求函数()f x 在某一区间上的定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键在于找到()F x ，使()()F x f x '=。 解：（1）3

2

2

33

111

20(4)(2)|3

3

x x dx x x ---=-=

⎰

（2）因为5

6)1(])1(6

1

[-='-x x ，所以6

1|)1(6

1)1(2

1621

5

=

-=

-⎰x dx x ；

（3）22

2200

(sin )(

cos )|12

8

x

x x dx x π

π

π

+=-=

+⎰

（4）2

2222

2

2

1cos 2sin 2cos |2

2

4

2

x

x x xdx dx ππ

π

ππ

ππ

--

-+=

=+

=

⎰⎰

dx x ⎰

-

2

2

2

cos

π

π

点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较()F x ，这时候用定义或者其几何意义就显得方便了。 例2．利用定积分表示下列图形的面积：

分析：定积分的几何意义就是它的数值可以用曲边梯形的面积的代数和来表示。所以，我们可以用定积分来表示曲边梯形的面积。

解：（1）中阴影部分的面积为：2

a

S x dx =⎰

；

（2）中阴影部分的面积为：2

1a S x dx -=⎰； （3）中阴影部分的面积为：02

2

2

1

[(1)1][(1)1]S x dx x dx -=

---

--⎰

⎰

。

点评：注意“代数和”的理解：若在曲间[,]a b 上()0,f x ≥则()b a

S f x dx =⎰

，若在曲间[,]a b 上()0,

f x ≤则()b

a S f x dx =-⎰。如上面的（3）。

例3.求由曲线22y x =+与3,0,2y x x x ===

)。 解：如图所示，由22y x =+，3,0,2y x x x ===可得

曲线的交点的坐标为(1,3),(2,6) 所以所求面积为 1

2

2

2

1

(23)(32)1S x x dx x x dx =

+-+

--=⎰

⎰

点评：求图形面积的总体思路是：先求出图形， 根据图形求出交点坐标，将图形进行适当分割， 用定积分进行表示，从而求出所要的面积。 【反馈演练】

1．求由1,2,===y x e y x

围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间［0，2］。

2．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为

()[]dy

y y ⎰--21

1。

3．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 0.18 。

（1）

（2）

（3）

2

y 2

y 2

1-

4．dx x |4|1

2⎰-=

3

11 。

5．dx e e x x ⎰-+1

)(=

e

e 1-

。

6．由抛物线2y ax =、x 轴和直线2,3x x ==所围成的图形绕x 轴旋转一周，得到的旋转体的体积是

52

，

那么a =

1

π

。

7．曲线1,0,2

===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为

dx x ⎰

-1

2

)1( 。

8．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分表达为

dx x ⎰

π

20

|cos |

9．按万有引力定律，两质点间的吸引力2

21r

m m k

F =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，ｒ为两点间

距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a ）

)11(

21b a m km - 。

10．曲线2,1,2x y x x ==-=及x 轴所围成的图形的面积是

7ln 4

。

11．物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ）。 解：.设A 追上B 时,所用的时间为0t ，由题意有：B 5A S S =+ 即0

2

00

(31)105t t t dx tdx +=

+⎰⎰

， 所以32

00055t t t +=+

所以22

000(1)5(1)t t t +=+， 所以05()t s =

所以 2

055130()A S t m =+=。

12．抛物线2

y ax bx =+在第一象限内与直线4x y +=相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为

S ．求使S 达到最大值的,a b 值，并求S 的最大值。

解：由题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为120,b x x a

==-

，

所以3

2

2

61)(b a

dx bx ax S a

b =

+=

⎰

-(1)