复数及算法
复数与算法
2．若复数 z＝a＋3＋a2i＋2a－3i(i 为虚数单位)为纯虚 数，则实数 a 的值为( )
A．－3 B．－3 或 1 C．3 或－1 D．1
解析 ∵z＝a＋3＋a2i＋2a－3i＝(a2＋2a－3)－(a＋3)i
是纯虚数，∴a－2＋a2＋a－3≠3＝0，0，
高中数学
第3讲 复数、算法
[考情分析] 高考中对复数的考查多以选择题、填空题 的形式出现，单独命题，一般难度较小．对程序框图的考查 主要以循环结构的程序框图为载体，考查学生对算法的理 解．
热点题型分析
热点1 复数的基本概念 【方法结论】
1．复数的分类
实数b＝0， a＋bi(a，b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a0≠，0.
【题型分析】 1．(2016·全国卷Ⅰ)设 x(1＋i)＝1＋yi，其中 x，y 为实数， 则|x＋yi|＝( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2
解析 因为 x(1＋i)＝1＋yi，所以 x＋xi＝1＋yi，x＝1，y ＝x＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝ 2，故选 B.
2．设复数 z 满足11＋－zz＝i，则 z＝(
2．处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数的实 部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算 化为标准代数形式)，然后根据定义解题．
3．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重 要的方法．
【题型分析】 1．若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( ) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i
热点2 复数的几何意义 【方法结论】 1.
2．复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解， 利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．
2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件 第12章 复数、推理与证明、算法
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i； ＝i； ＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节 数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－ ＋i
2
3
D．－ －i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
7-2-2复数的乘、除运算(教学课件)-高中数学人教A版(2019) 必修第二册
2
因为( i) =(- i) =-2,
所以 x+2= i 或 x+2=- i,
即 x=-2+ i 或 x=-2- i,
2
所以方程 x +4x+6=0 的根为 x=-2± i.
即时训练6-1:(1)在复数范围内解一元二次方程 x2-2x+5=0;
2
解:(1)Δ=(-2) -4×1×5=-16<0,
，
2
2a
4a
2
b
x
2a
b2 4ac
2a
i．
所以原方程的根为 x b
2a
b2 4ac
2a
i．
总结
在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
1.求根公式法
－b± b2－4ac
①当 Δ≥0 时，x＝
.
2a
－b± －（b2－4ac）i
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
多项式乘以
多项式
思考2：复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，
d∈R，则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，
z1·z2等于什么？
1.复数的乘法法则：
z1·z2=
( + )( + ) = + + + 2
(4)
1 3i.
2
i
i
i
探究角度3
复数的积与商的模
即时训练 3-1:(1)已知 i 为虚数单位,则复数
的模等于(
-
复数、算法、推理与证明
复数、算法、推理与证明第一节 数系的扩充与复数的引入一、基础知识1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．二、常用结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．(4)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n.考点一 复数的四则运算[典例] (1)(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i[解析] (1)∵z i ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.(2)(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i1－2i ＝2，故选A.[答案] (1)A (2)A[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[题组训练]1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A 法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.3．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z ＝________.解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i.答案：i考点二 复数的有关概念[典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1 D. 2[解析] (1)z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝ －2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C. [答案] (1)D (2)C[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．[题组训练]1．(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A 由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.2．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i ，则|z |＝( )A ．2B ．2 2C.22 D.12解析：选B 法一：由z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ，得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.3．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________． 解析：由于z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数，因此a 2－a －2＝0且a ＋1≠0，解得a ＝2. 答案：2考点三 复数的几何意义[典例] (1)如图，在复平面内，复数z1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，若zz 2＝z 1，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i(2)复数z ＝4i 2 018－5i1＋2i (其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由题意知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，故z (－1＋i)＝1＋2i ， 即z ＝1＋2i －1＋i ＝(1＋2i )(1＋i )(－1＋i )(1＋i )＝1－3i 2＝12－32i ，z ＝12＋32i ，故选A.(2)z ＝4i 2 018－5i1＋2i ＝4×i 2 016·i 2－5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－4－5(2＋i )5＝－6－i ，故z 在复平面内对应的点在第三象限． [答案] (1)A (2)C[解题技法] 对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝i ＋i 22－i ＝－1＋i 2－i ＝(－1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－3＋i 5＝－35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－35，15，该点位于第二象限．故选B. 2．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋(y －1)2≤ 2， 所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.答案：2π3．已知复数z ＝2＋a i1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为________．解析：因为z ＝2＋a i 1＋2i ＝(2＋a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋2a ＋(a －4)i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45，所以⎩⎨⎧2＋2a5＞0，a －45＜0，解得－1＜a ＜4，又a 为整数，所以a 的最大值为3.答案：3[课时跟踪检测]1．(2019·广州五校联考)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，选C. 2．(2018·洛阳第一次统考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －12－a ＋12i 为纯虚数，∴a －12＝0且a ＋12≠0，解得a ＝1，故选C.3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：选A 由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.4．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 5．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.6．(2018·昆明高三摸底)设复数z 满足(1＋i)z ＝i ，则z 的共轭复数 z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选B 法一：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法二：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝2i2(1＋i )＝(1＋i )22(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法三：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵(1＋i)z ＝i ，∴(1＋i)(a ＋b i)＝i ，∴(a －b )＋(a ＋b )i ＝i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12，∴z ＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B. 7．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．8．已知复数z ＝m i1＋i，z ·z ＝1，则正数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C.22D.12解析：选A 法一：z ＝m i 1＋i ＝m i (1－i )(1＋i )(1－i )＝m 2＋m 2i ，z ＝m 2－m 2i ，z ·z ＝m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.法二：由题意知|z |＝|m i||1＋i|＝|m |2，由z ·z ＝|z |2，得m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：210．复数|1＋2i|＋⎝⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i. 答案：i11．(2019·重庆调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i 2＋i ，复数|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 212．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14. 答案：1413．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i ＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.。
【新课标】高三数学二轮精品专题卷 复数及算法框图
高三数学二轮精品专题卷：复数及算法框图考试范围：复数及算法框图一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．32111ii i +-的值等于（ ） A ． 1 B ．1-C ．iD ．i -2．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5B ．3C ．2D ．13．（理）已知复数z 满足i iz -=+121，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．i 21-B ．i 21+C ．i +2D ．i -2（文）若i 是虚数单位，则复数12-i i的共轭复数是 （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --14．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5 B ．8C ．13D ．215．若复数z 满足i z i 41=-）（，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．下图给出的是计算39151311+⋯+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i第2题图 第4题图 第6题图 7．若复数iia z -+=1，且03＞zi ，则实数a 的值等于 （ ）A ．1B ．1-C ．21D ．21-8．下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为7时，输出y 的结果恰好是1-，则处理框中的关系式是 （ ） A ．3x y =B ．x y -=2C ．x y 2=D ．1+=x y9．（理）已知∈b a ,R ，且复数∈++=biia z 1R ，则ab 等于 （ ） A ．0B ．1-C ．2D ．1（文）集合{}*-∈-==N n i i x x P n n ,|的子集的个数为 （ ） A ．4B ．8C ．16D ．无数个10．如下图，若输入的x 的值分别为3π和32π时，相应输出的y 的值分别为21,y y ，则 （ ）A ．21y y =B ．21y y ＞C ．21y y ＜ D ．无法确定11．若复数ia z 21-=是纯虚数，其中a 是实数，则=||z （ ） A ．1B ．2C ．21 D ．41 12．下图是统计高三年级2000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是560，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是 （ ） A ．0.28B ．0.38C ．0.72D ．0.62第8题图 第10题图 第12题图13．在复平面上的平行四边形ABCD 中，向量AC 、BD对应的复数分别为i 104+、i 86+-，则向量DA 对应的复数为 （ ） A ．i 182+ B ．i 91+C ．i 182-D ．i 91-14．运行列流程图，输出结果为（ ） A ．5B ．3C ．3-D ．2-14题图15．（理）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m 的取值范围是 （ ） A ．(56，72] B ．(72，90] C ．(90，110] D ．(56，90)（文）按如图所示的程序框图运算，若输出2=k ，则输入x 的取值范围是（ ） A ．］，（2200942007 B ．），［2200942007 C ．），（2200942007 D ．］，［220094200715（文）图 15（理）图 二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.把答案填写在题中横线上） 16．已知复数 300sin 600cos i z -=，则在复平面内，复数z1所对应的点在第 象限． 17．如下图，根据程序框图可知，输出的函数）（x f 的解析式为 ．18．已知纯虚数z 满足i m z i +=+21）（，其中i 是虚数单位，则实数m 的值等于 ． 19．如下图是计算3331021+⋯++的程序框图，图中的①、②分别是 和 ．第17题图 第19题图 第20题图20．在流程图中（右上），若输出的函数）（x f 的函数值在区间］，［3391内，则输入的实数x 的取值范围是 ． 21．（理）已知∈b R 复数211+++i i b 的实部和虚部相等，则b 等于 ． （文）已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则225z i = ．22．如下图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为π433时，输出的y 的结果为 ． 23．已知复数i n m z ）（lg lg -=，其中i 是虚数单位，若复数z 在复平面内对应的点在直线x y =上，则mn 的值等于 ．．24．阅读下面的程序框图，该程序输出的结果是 ．22题图 24题图25．若复数）（）（ai i z ++=212对应的点在复平面的第一象限，则实数a 的取值范围是 ．26．如图所示的程序框图，若输入7=n ，则输出的n 值为 ．第26题图27．若数列{}n a 满足n n a i a i i a )1()1(11+=-=+，,则=2011a ． 28．如图是一个算法的程序框图，当输出结果为41时，请你写出输入的x 的的值 ．第28题图29．设复数i a a z )2()4(2++-=，若02＜z ，则实数a 的值为 ． 30．（理）如图所示的流程图，输出的结果为 ． （文）一个算法的程序框图如下，则其输出结果是 ．30（理）图 30（文）图2012届专题卷数学专题五答案与解析1．【命题立意】本题考查虚数单位i 的性质及其运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i的性质：1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）复数的除法运算法则． 【答案】A 【解析】2311111111i i i i i i i -+=--+=-++=--． 2．【命题立意】本题考查对基本算法语句以及顺序结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法中的赋值语句；（2）算法中的输出语句．【答案】C 【解析】2352m n m n =→=→=→=．3．（理）【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数乘法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】由112z i i+=-得2(1)122112z i i i i =--=+-=+，所以12z i =-． （文）【命题立意】本题考查复数的除法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数除法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===---+-，故复数21ii -的共轭复数是1i +． 4．【命题立意】本题考查算法中的循环结构以及程序框图．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）赋值语句的含义；（2）循环结构的特点． 【答案】B 【解析】执行过程为：1,1,2x y z ===→1,2,3x y z ===→2,3,5x y z ===→3,5,8x y z ===→5,8,1310x y z ===>，输出8y =．5．【命题立意】本题考查复数除法运算以及复数的几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的除法运算法则；（2）复数的几何意义．【答案】B 【解析】由于(1)4i z i -=，所以4221iz i i==-+-，因此复数z 对应的点在复平面的第二象限．6．【命题立意】本题考查对算法循环结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的基本要求；（2）算法循环结构中的计数变量的赋值规则．【答案】C 【解析】式子11113539+++⋅⋅⋅+一共有20项，所以循环体应执行20次，当计数变量i 的值大于20时跳出循环，因此应填20>i ．7．【命题立意】本题考查复数的运算以及复数的有关概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的运用；（2）若两个复数能够比较大小，它们都是实数．【答案】A 【解析】由于331(1)(1)1111222a i ai ai i a azi i i i i +--++-=⋅===+--，依题意得1010a a -=⎧⎨+>⎩，解得1a =．8．【命题立意】本题考查算法中的循环结构及其应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行过程特点；（2）常见函数的性质．【答案】A 【解析】依题意，输入的x 值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出y 的结果恰好是1-，则函数关系式为3y x =．9．（理）【命题立意】本题考查复数的相关概念除法运算、分母实数化方法、【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数时实数的充要条件；（2）分母实数化方法．【答案】D 【解析】2()(1)()(1)1(1)(1)1a i a i bi a b ab i z bi bi bi b ++-++-===++-+，由于R ∈z ，所以10ab -=，即1ab =．（文）【命题立意】本题考查虚数单位i 幂值的周期性以及集合子集的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i 幂值的周期性： 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）若集合有m 个元素，则有2m 个子集． 【答案】B 【解析】当1,2,3,4n =时，2,0,2,0x i i =-，因此集合P 只有3个元素：2,2,0x i i =-，故有8个子集．10．【命题立意】本题考查算法条件分支结构与三角函数的求值．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分支结构的运行流程；（2）正弦函数与余弦函数的求值．【答案】B 【解析】输入x 的值为3π时，输出112y =，输入x 的值为23π时，输出212y =-，因此有12y y >，选B ．11．【命题立意】本题考查纯虚数的概念以及复数模的求解．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的应用；（2）纯虚数的概念；（3）复数模的计算公式． 【答案】C 【解析】由于221222(2)(2)44a i a z i a i a i a i a a +===+--+++，所以204a a =+，得0a =，这时12z i =，故1||2z =． 12．【命题立意】本题考查算法循环结构以及统计中频率的计算．[来源:金太阳新课标资源网 ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的特点；（2）频率的计算公式． 【答案】C 【解析】根据流程图可知，输出结果为数学分数低于90分的同学的人数，因此这次考试数学分数不低于90分的同学的是20005601440-=，其频率为14400.722000=． 13．【命题立意】本题考查复数的几何意义以及复数与向量的关系．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键知识点：（1）复数的几何意义；（2）复数与向量的一一对应关系．【答案】D 【解析】设平行四边形对角线交于O 点，则11,22AO AC OD BD ==，即25,34A O i O D i =+=-+，又因为DA OA OD AO OD =-=-- ，所以向量DA 对应的复数为(25)(34)19DA i i i =----+=-，选D ． 14．【命题立意】本题考查算法程序框图的理解与运用以及余弦定理的应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）理解流程图的执行过程；（2）利用余弦定理判断三角形是钝角三角形的方法．【答案】D 【解析】程序的运行过程为：2,4,5m a b ===，以2,4,5为三边的三角形是钝角三角形，1,4n m =-=，以4,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，6m =，以6,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，8m =，以8,4,5为三边的三角形是钝角三角形，2n =-，109m =>，输出2n =-． 15．（理）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】B 【解析】由于程序的运行结果是10，所以可得24681012141624681012141618mm +++++++<⎧⎨++++++++≥⎩，解得7290m <≤．（文）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】A 【解析】由于程序的运行结果是2k =，所以可得2120102(21)12010x x +≤⎧⎨++>⎩，解得2007200942x <≤． 16．【命题立意】本题考查复数的除法运算以及几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的运算方法——分母实数化．（2）复数za bi =+在复平面内对应的点为(,)ab ．【答案】三【解析】 300sin 600cos i z -=001cos600sin 3002zi =-=-，于是112z ==-，所以1z对应的点在第三象限．17．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构以及分段函数问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法条件分支结构的特点；（2）分段函数的解析式应分段求解．【答案】22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或【解析】依题意，当()x h x >，即22x x x +<，10x -<<时，2()2f x x x =+；当()x h x ≤，即22x x x +≥，0x ≥或1x ≤-时，()f x x =．因此22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或．18．【命题立意】本题考查纯虚数的概念与复数的运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）一个复数为纯虚数，可设其为)0,(≠∈=b b bi z R ；（2）复数的运算．【答案】12-【解析】2(2)(1)(21)(12)(1)2122m i m i i m m ii z m i z i ++-++-+=+⇒===+，因为z 为纯虚数，所以12m =-．19．【命题立意】本题考查循环结构以及循环体的补充．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中计数变量的赋值方法；（2）循环结构中累加变量的赋值方法． 【答案】3ss i =+ 1i i =+【解析】要补充的循环体应该由计数变量i 和累加变量s 构成，根据该算法的功能，应在①处填3ss i =+，②处填1i i =+．[来源:金太阳新课标资源网]20．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的条件分支结构的特点；（2）已知分段函数的函数值求自变量值时应分段求解．【答案】1[2,]2--【解析】若[3,3]x ∉-，则1()1[9f x =∉不合题意，当[3,3]x ∈-时，1()3[9x f x =∈，解得1[2,]2x ∈--，此即为x 的取值范围．21．（理）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法；（2）若复数),(R ∈+=b a bi a z ，则其实部与虚部分别为,a b ．【答案】12-【解析】1()(1)1(1)(1)12(1)12(1)(1)22222b i b i i b b i b b i i i i ++-++-+-+=+=+=+++-，依题意有2122b b +-=，解得12b =-．（文）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数实部与虚部的概念；（2）复数的乘法与除法运算法则．【答案】43i -+【解析】依题意2z i =-+，则2225252525(34)43(2)34(34)(34)i i i i i i z i i i i +====-+-+--+. 22．【命题立意】本题考查算法流图以及三角函数的周期与求值问题．[来源: ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）正弦函数的最小正周期为2π．33sin(8)sin 44y πππ=-=． 23．【命题立意】本题考查复数的几何意义、对数运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的几何意义；（2）对数的运算法则． 【答案】1【解析】依题意，复数z 在复平面内对应的点是(lg ,lg )m n -，它在直线y x =上，所以0lg lg =+n m ，即0)lg(=mn ，所以1=mn ．24．【命题立意】本题考查算法的循环结构及其应用【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中循环体的执行次数；（2）赋值语句的含义．【答案】729【解析】按照程序框图，可知最后输出结果为1999729s =⨯⨯⨯=． 25．【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及复数几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的乘法运算法则；（2）复数的几何意义．[来源: ]【答案】0a <【解析】2(1)(2)2(2)24z i ai i ai a i =++=+=-+，其对应的点在第一象限，则有20a ->，所以0a <．26．【命题立意】本题考查算法流程图以及幂函数的单调性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行流程；（2）幂函数的单调性． 【答案】1-【解析】执行过程53175,()3,()1,()1,()n n f x x n f x x n f x x n f x x=→==→==→==→=-=在(0,)+∞单调递减，故输出1n =-．27．【命题立意】本题考查虚数单位i 的幂值的周期性与等比数列的定义及通项公式．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）等比数列的定义及通项公式；（2）虚数单位i 的幂值的周期性．【答案】i -【解析】由1(1)(1)n n i a i a +-=+得111n n a ii a i++==-，所以数列{}n a 是公比为i 的等比数列，于是20102010201120111()()a a i i i i i =⋅=⋅==-．28．【命题立意】本题考查算法条件分支结构以及分段函数的求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）条件分支结构的特点；（2）分类讨论解决分段函数求值问题． 【答案】2-，42【解析】令124x =，得2x =-，所以当输入的2x =-时，输出结果为14；令21log 4x =，得142x =，所以当输入的42=x 时，输出结果也为14；29．【命题立意】本题考查复数的运算以及纯虚数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）若一个复数的平方是负数，则它一定是纯虚数；（2）纯虚数的概念． 【答案】2【解析】由2z＜0知z 一定为纯虚数，所以得：24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =．30．（理）【命题立意】本题考查算法流程图以及三角函数的周期性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的循环结构；（2）sin 3n π的值具有周期性．2320112012sin sin sin sin sin33333sπππππ=+++++的值，由于23456sin0,sin0 333333ππππππ======，所以23456sin sin sin sin sin sin0333333ππππππ+++++=，因此2320112012sin sin sin sin sin033533333sπππππ=+++++=⨯=（文）【命题立意】本题考查算法流程图与三角函数周期性与求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）cos2nπ的值具有周期性．【答案】0【解析】该算法的功能是计算式子232012cos cos cos cos2222pππππ=++++的值，由于234cos0,cos1,cos0,cos1,2222ππππ==-== ，所以(0101)5030p=-++⨯=．。
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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
2012二轮6.5算法初步、复数
2012二轮专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数第五讲算法初步、复数【考纲透析】1．算法的含义、程序框图（1）了解算法的含义，了解算法的思想；（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
2．基本算法语句理解几种基本算法语句的含义3．复数的概念（1）理解复数的基本概念；（2）理解复数相等的充要条件；（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
4．复数的四则运算（1）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义；（2）会进行复数代数形式的四则运算。
【要点突破】要点考向1：程序（算法）框图考情聚焦：1．程序（算法）框图是新课标新增内容，也是近几年高考的热点之一；2．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。
考向链接：1．解答有关程序（算法）框图问题，首先要读懂程序（算法）框图，要熟练掌握程序（算法）框图的三个基本结构；2．循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求和，累乘求积，多次输入等。
利用循环结构表示算法：第一要选择准确的表示累计的变量，第二要注意在哪一步结束循环。
解答循环结构的程序（算法）框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误。
例1：（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图是求222…+100的值的程序框图，则正整数123+++2n=．【命题立意】从自然语言过渡到框图语言，能训练学生开阔的视野和更为严谨的逻辑思维能力.【思路点拨】框图→循环结构→当循环【规范解答】i=1, s=s+i2=12；i=2,s=12+22；…；i=100,s=222…+100,∴n=100+++2123【答案】100【方法技巧】框图→结构→注意关节点：条件结构的条件，循环结构的分类，是当循环还是直到型循环. 简单随机抽样方法更好.要点考向2：复数的相关概念及复数的几何意义考情聚焦：1．复数的相关概念及复数的几何意义是高考重点考查的内容； 2．以选择题或填空题的形式呈现，属容易题。
二轮复习算法与复数学案
算法与复数【学习目标】1．了解复数中的有关概念，掌握复数的四则运算．从以往的考查来看，近几年的高考都考查了复数，考题主要是以填空题的形式出现，难度都不大．2. 了解算法的概念、流程图、基本算法语句．近几年高考都考了算法，主要考查的内容是流程图，考题主要是以填空题的形式出现，难度不是很大．【学习重难点】学习重点：复数的运算，算法中的循环结构以及简单应用 学习难点：复数的运算，算法中的循环结构以及简单应用复数：1已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i2复数ii i z )1)(1(-+=在复平面上所对应的点Z 位于A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限352i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限5复数1+i1i=- （A ）i - （B ）i （C ）1i + （D ）1i -6i 是虚数单位，计算41ii+=+_________. 7设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．8复数2ii+在复平面内对应的点的坐标是____________.9. 若复数a 2－3a ＋2＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为________．10.设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝____________.11已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m ＝ .12若复数z 满足zi ＝2＋i(i 是虚数单位)，则|z|＝__________.算法：1. 执行右边的程序框图，则输出的S 值等于A.91817161+++ B. 9181716151++++C. 10191817161++++D. 1019181716151+++++（A ）16 （B ）12 （C ）8 （D ）74．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．5 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）85 （B ）2912（C ）53 （D ）138。
复数的性质与运算
开方运算的几何意义： 表示复数在复平面上 的点的移动和旋转。
04
复数在数学中的应 用
在解析几何中的应用
复数可用于表示 平面上的点
复数可以方便地 表示旋转和缩放
复数可以用于解 决解析几何中的
某些问题
复数可以用于计 算平面几何中的
面积和体积
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在三角函数中的应用
复数在求解三角函数方程中的应用 复数在分析三角函数的性质和图像中的应用 复数在计算三角函数的积分中的应用 复数在解决与三角函数有关的物理问题中的应用
根号运算：对于任意非 负实数a，复数根号下a 表示满足x^2=a的复数 x。根号运算具有非负性、 唯一性和保序性等性质。
复数的乘方与开方运算
乘方运算：复数乘方 的规则是先乘后取模，
再取角。
乘方运算的几何意义： 表示复数在复平面上 的点的距离和旋转。
开方运算：复数开方 的定义是求一个数， 它的平方等于给定的
复数的加法运算 律：交换律、结 合律
复数的减法运算 律：交换律、结 合律
乘法与除法
复数乘法：按照代数规则进行，结果仍为复数 复数除法：通过乘以共轭复数的方法进行，结果仍为复数 乘法与除法在复数域中有重要的几何意义 乘法和除法在解决实际问题中的应用
幂运算与根号运算
幂运算：复数的幂运算 定义为a^n=a*a*...*a(n 个a相乘)，其中a是复数， n是正整数。幂运算具 有结合律、交换律和指 数律等性质。
性质：模总是非负的，即对于任何复数z，都有|z| ≥ 0。
运算规则：在复数的四则运算中，模的运算法则是必须遵守的，例如|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|，|z1 * z2| = |z1| * |z2|等。
1-6-17算法初步、复数
数学（理） 第21页
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8．复数的几何意义方面应该主要掌握复数 z＝a＋bi(a， b∈R)与复平面上的点(a，b)之间的一一对应关系及|z|、|z1 －z2|的几何意义． 9．应当熟记的一些公式和结论： (1)若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，|z|＝ a2＋b2， |z|2＝| z |2＝z· ； z
数学（理） 第22页
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1＋i 1－i (2)(1± ＝± i) 2i， ＝i， ＝－i； 1－i 1＋i
2
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z)； 1 3 (4)若 ω＝－ ＋ i， ω3＝1， 则 |ω|＝1,1＋ω＋ω2＝0， 2 ω 2 2 ＝ω.
数学（理） 第20页
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6． 复数的有关概念是高考的重点， 对于复数 z＝a＋bi(a， b∈R)，当 b≠0 时 z 是虚数，当 b＝0 时 z 是实数，当 a＝0， b≠0 时 z 是纯虚数， 特别是纯虚数， 是高考的一个热点内容， 应牢固掌握． 7．复数的运算是另一个重点，此类问题一般不难，但 运算要仔细，特别要注意复数的除法运算，其中“分母实数 化”是经常使用的方法．
数学（理） 第19页
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(3)递推算法：递推算法是序列计算中的一种常用方法，
它是按照一定的规律，计算序列中的每一项，通常是通过计
算前面的一些项来得到序列中某些特定的项．递推算法是一 种非常重要的算法，我们学习过的辗转相除法和更相减损术 求两个数的最大公约数、秦九韶算法计算多项式的值等都是 采用了递推算法的思想．
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数据结构复数的四则运算
数据结构复数的四则运算复数是由实数和虚数构成的数，实数部分可以为任意实数，虚数部分可以表示为实数乘以一个虚数单位i（i^2=-1）。
复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这四种运算的定义和算法。
1.加法：复数的加法定义为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相加，得到新复数的实部。
-将两个复数的虚部相加，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
2.减法：复数的减法定义为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相减，得到新复数的实部。
-将两个复数的虚部相减，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
3.乘法：复数的乘法定义为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相乘，得到新复数的实部1-将两个复数的虚部相乘，得到新复数的虚部1-将一个复数的实部乘以另一个复数的虚部，得到新复数的实部2-将一个复数的虚部乘以另一个复数的实部，得到新复数的虚部2-将新复数的实部1减去虚部1，得到新复数的实部。
-将新复数的实部2与虚部2相加，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
4.除法：复数的除法定义为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部分别相乘，得到实部分子式1-将两个复数的虚部分别相乘，得到虚部分子式1-将一个复数的实部乘以另一个复数的虚部，得到实部分子式2-将一个复数的虚部乘以另一个复数的实部，得到虚部分子式2-将实部分子式1与虚部分子式1相加，得到分子的实部。
复数的模运算法则
复数的模运算法则目录1. 引言1.1 背景和意义1.2 结构概述1.3 目的2. 模运算的基础知识2.1 复数的定义2.2 复数的表示方式2.3 复数的加法和减法规则3. 复数模运算的定义与性质3.1 复数模运算的定义3.2 模运算性质-乘法规则3.3 模运算性质-除法规则4. 实例分析与应用场景4.1 实例分析一：复数模运算在电路中的应用4.2 实例分析二：复数模运算在信号处理中的应用4.3 实例分析三：复数模运算在图像处理中的应用5. 结论与未来展望5.1 结论总结5.2 存在问题与改进方向1. 引言1.1 背景和意义复数是数学中一个重要的概念，它包括了实部和虚部两个部分。
复数的模运算作为一种对复数进行量化的方法，在许多领域中广泛应用。
在过去的几十年里，计算机科学与工程领域取得了巨大的发展，需要处理各种复杂的问题。
而复数模运算作为一种重要的数学工具，已经成为了这些问题求解过程中不可或缺的一环。
它能够帮助我们理解和处理一些具有实际意义的问题，并且具有很强的简洁性和通用性。
1.2 结构概述本文将首先介绍模运算的基础知识，包括复数的定义、表示方式以及加法和减法规则。
接着我们将详细探讨复数模运算的定义与性质，包括乘法规则和除法规则。
然后，通过实例分析，我们将展示复数模运算在电路、信号处理和图像处理等领域中的应用场景。
最后，文章总结结论并提出未来展望。
1.3 目的本文旨在全面介绍复数模运算法则，并探讨其在各个领域中的实际应用。
通过本文的阅读，读者将能够了解复数模运算的基础概念与性质，理解其在实际问题求解中的作用，并有助于拓展复数模运算在其他领域中的应用。
2. 模运算的基础知识2.1 复数的定义复数是由实部和虚部组成的数字，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，而i则是一个虚数单位，满足i^2 = -1。
在复平面上，复数可以用坐标表示，实部决定了复数在x轴上的位置，虚部则确定了复数在y轴上的位置。
算法证明推理复数知识点汇总
算法、证明、推理、复数知识点汇总知识点一算法初步（一）、算法的定义算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确的和有限的步骤．（二）、程序框图1．程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．程序框图通常由程序框和流程线组成．3．基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．知识点二推理与证明（一）、归纳推理1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．（二）、类比推理1．由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性：a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)（三）、归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．（四）、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（五）、直接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．1．反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．2．用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．知识点三 复数（一）、复数的有关概念（二）、复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 1．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).2．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ →.（三）、复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0).。
实数与复数域的性质与运算法则
复数域的应用
工程学：控制系统、信号处 理、电路设计等领域中复数 域的应用
物理学：量子力学、电磁学 等领域中复数域的应用
数学：代数几何、函数分析 等领域中复数域的应用
计算机科学：算法设计、数 据压缩等领域中复数域的应
用
THANK YOU
汇报人：XX
物理科学：实数域在物理科学中有着广泛的应用，例如在描述物体 的运动、波动、热传导等现象时，都需要用到实数域的数学知识。
工程领域：实数域在工程领域中也有着广泛的应用，例如在电路分 析、信号处理、控制系统等领域，都需要用到实数域的数学知识。
计算机科学：实数域在计算机科学中也有着重要的应用，例如在计 算机图形学、数值计算等领域，都需要用到实数域的数学知识。
减法法则：实数的减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。 乘法法则：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)， (a+b)*c=a*c+b*c。 除法法则：实数的除法可以转化为乘法，即a/b=a*(1/b)，其中1/b是b的倒数。
实数域的应用
数学分析：实数域是数学分析的基础，为研究函数的性质提供了重 要的工具。
复数域的性质与运 算法则
复数域的定义
复数域是由所有形如a+bi（a，b 为实数）的数构成的集合，其中i是 虚数单位，满足i^2=-1。
复数域是唯一的代数封闭域，即任 何代数封闭域都可以通过添加一个 元素得到复数域。
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复数域是实数域的代数闭包，即任 何复数域中的多项式都有根。
复数域是可分的，即对于任意非零的复数z，存在一个非零的复数c，使得cz不等于0。
25 算法、复数、推理与证明---高频考点
8考点1 复数题组一复数的相关概念调研1 若复数(1)(1)i z m m m =-+-是纯虚数,其中m 是实数,则1z= A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A【解析】因为复数是纯虚数，所以，则m =0，所以，则.题组二 复数的计算调研2 已知复数z 满足i 21i z z +=-，则z = A ．12i + B ．12i - C ．1i +D ．1i -【答案】C【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，故i 2(i)i 2(i)(2)(2)i 1i z z a b a b b a a b +=++-=-++-=-，故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.所以1i z =+.故选C. 题组三 复数的几何意义 调研3 “复数ii3a z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0≥a ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】3i (3i)i3i i i ia a z a --⋅===--⋅，对应的点为(,3)a --在第三象限，所以0a -<，所以0a >，所以复数ii3a z -=在复平面内对应的点在第三象限是0≥a 的充分不必要条件.故选A ．☆技巧点拨☆ 常用结论：（1）()21i 2i ±=±；1＋i 1－i =i ；1－i 1＋i=i -.（2）i i(i)b a a b -+=+．（3）4414243*i 1i i i 1i (i )n n n n n ===-=-∈N ＋＋＋,,,，4414243*i i i i 0()n n n n n ++++++=∈N ． （4）模的运算性质：①22||||z z z z ==⋅；②1212z z z z ⋅=；③1122||||||z z z z =. （5）设ω＝－12＋32i ，则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③ω＝ω2.注意点：1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解． 3．两个虚数不能比较大小．4．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．5．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．考点2 算法调研1 元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =时，问一开始输入的x =A ．34 B ．78 C ．1516D ．3132【答案】B【解析】第一次运行，输入x ，1i =，21x x =-，23i =<； 第二次运行，()221143x x x =--=-，3i =；第三次运行，()243187x x x =--=-，43i =>，输出87x -，令870x -=，解得78x =.故选B ． 【名师点睛】本题考查算法框图，解答本题的关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．解决本题时，根据流程图，求出对应的函数关系式，根据题设条件输出的0x =，由此关系建立方程求出自变量的值即可． 调研2 若执行如图所示的程序框图后，输出的27S =，则判断框内的条件应为A ．3?i >B ．4?i >C ．4?i <D ．5?i <【答案】A【解析】当S =0，i =1时，应不满足退出循环的条件，故S =1，i =2； 当S =1，i =2时，应不满足退出循环的条件，故S =6，i =3； 当S =6，i =3时，应不满足退出循环的条件，故S =27，i =4；当S =27，i =4时，应满足退出循环的条件，故判断框内的条件应为i ＞3？， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.☆技巧点拨☆高考中对程序框图的考查，主要是顺序结构、条件结构、循环结构，其中循环结构为重点，考查程序运行后的结果，或考查控制循环的条件，主要以选择题或填空题的形式出现.(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．(3)循环结构①已知程序框图，求输出的结果．可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．②完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．③对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断.考点3 推理与证明调研1 在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参加；（3）若乙参与此案，则丁一定参与； （4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与. 据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是 A ．甲、乙 B ．乙、丙 C ．丙、丁D ．甲、丁【答案】C【解析】①若甲、乙参与此案，则与信息（3）矛盾，故A 不正确． ②若乙、丙参与此案，则与信息（3）矛盾，故B 不正确． ③若丙、丁参与此案，则信息全部符合，故C 正确． ④若甲、丁参与此案，则与信息（4）矛盾，故D 不正确． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查推理的应用，此类问题的解法主要是根据反证法的思想，对给出的每一选项都要逐一分析，看是否与题意符合，然后通过排除得到答案． 调研2 对大于1的自然数的三次幂可以分解成几个奇数的和，比如333235,37911,413151719,=+=++=+++以此规律，则345的分解和式中一定不含有 A ．2069 B ．2039 C ．2009D ．1979【答案】D【解析】由规律得3n 中有n 项，而333234，，中第一项分别为()2212412221⨯-⨯-=⨯+-，， ()27122231⨯-=⨯++-，所以345的分解和式中第一项为()222344411981⨯+++++-=，所以一定不含有1979，选D ．1．（2018年相阳教育“黉门云”高考等值试卷模拟卷）设复数z 满足2ii z+=，则复平面内表示z 的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D2．（山东K12联盟2018届高三开年迎春考试）若复数23201834i 1i i i i34iz -=++++++-，则z 的共轭复数z 的虚部为 A ．15-B ．95-C ．95D ．9i 5-【答案】B【解析】因为23201834i 5391i i i i i i 34i34i 55z -=++++++=+=+--，所以z 的共轭复数为39i 55z =-，虚部为95-，选B ． 3．（北京市海淀区2018届高三第二学期期末第二次模拟考试）已知复数z 在复平面上对应的点为()11-，，则A ．1z +是实数B ．1z +是纯虚数C ．i z +是实数D ．i z +是纯虚数【答案】C4．（陕西省咸阳市2018届高三模拟考试（三模））执行如图所示的程序框图，如果输入的6a =，4b =，5c =，那么输出a 的值为A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】∵6,4,5a b c ===，首先a b >，则4a =，再比较45a c =<=，因此输出4a =，故选C ． 【名师点睛】本题考查程序框图，解题方法是模拟程序运行，观察其中的变量值，最终得出程序运行结果.5．（安徽省合肥市2018届高三三模）运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A ．3?k <B ．4?k <C ．5?k <D ．6?k <【答案】C(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．（北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如m=，则输出的S=图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入8A．44 B．68C．100 D．140【答案】C第7次运行，217,24,2444682nn a S-====+=，不符合n m≥，继续运行；第8次运行，28,32,68321002nn a S====+=，符合n m≥，退出运行，输出100S=.故选C.7．（河南省南阳市第一中学2018届高三第十四次考试）某校有A，B，C，D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：甲说：“A、B同时获奖”；乙说：“B、D不可能同时获奖”；丙说：“C获奖”；丁说：“A、C至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是A．作品A与作品B B．作品B与作品CC．作品C与作品D D．作品A与作品D【答案】D8．（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二））为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙答错了”．评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．根据以上信息，面试问题答案正确、对话说对了的考生依次为A．乙、乙B．乙、甲C．甲、乙D．甲、丙【答案】D9．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟考试）分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当=6n时，该黑色三角形内共去掉( )个小三角形A．81 B．121C．364 D．1093【答案】C【解析】由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，1n=时，11a=；2n=时，2314a=+=；3n=时，334113a=⨯+=；4n=时，4313140a=⨯+=；5n=时，53401121a=⨯+=；6n=时，631211364a=⨯+=，故选C．【名师点睛】常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.1．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i)2B．i2(1−i)C．(1+i)2D．i(1+i)【答案】C2．（2017新课标全国卷II 文科）(1i)(2i)++= A ．1i - B ．13i + C ．3i +D ．33i +【答案】B【解析】由题意得2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．3．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限，所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)()()i(,,,)a b c d ac bd ad bc a b c d ++=-++∈R .其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a b a b +∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i.a b -4．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】A5．（2016新课标全国卷II 文科）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i - C ．32i +D ．32i -【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【名师点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此先化简再计算即可. 6．（2016新课标全国卷Ⅲ文科）若43i z =+，则||zz = A ．1B ．1-C ．43i 55+D ．43i 55-【答案】D 【解析】43i ||55z z ==-，故选D ． 【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．7．（2015新课标全国卷I 文科）已知复数z 满足i i,z （-1）=1+ 则z = A ．2i -- B ．2+ i - C ．2i -D ．2+ i【答案】C【解析】212i (12i)(i)1i 1i,2i, i iz z ++--=+∴===--（） 故选C. 【名师点睛】本题考查复数的运算，先由i 1i z -（）=1+ 解出z ，再利用复数的除法运算法则求出复数z ，本题也可以设出复数z ，利用两个复数相等的充要条件，解出复数z ，解复数题目的关键是熟悉复数的相关概念，掌握复数的运算法则.8．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1 D．A≤1 000和n=n+2【答案】Da=-，则输出的S=9．（2017新课标全国卷II文科）执行下面的程序框图，如果输入的1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B10．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D11．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）执行下面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =【答案】C12．（2016新课标全国卷II文科）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s =A．7 B．12C．17 D．34【答案】C13．（2016新课标全国卷Ⅲ文科）执行下面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=A．3 B．4C．5 D．6【答案】B14．（2015新课标全国卷I文科）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= A．5 B．6C．7 D．8【答案】C【解析】执行第1次，t =0.01,S =1,n =0,m =12=0.5,S =S -m =0.5,2m m ==0.25,n =1,S =0.5＞t =0.01,是，循环； 执行第2次，S =S −m =0.25,2m m ==0.125,n =2,S =0.25＞t =0.01,是，循环； 执行第3次，S =S −m =0.125,2m m ==0.0625,n =3,S =0.125＞t =0.01,是，循环； 执行第4次，S=S −m =0.0625,2m m ==0.03125,n =4,S =0.0625＞t =0.01,是，循环； 执行第5次，S=S −m =0.03125,2m m ==0.015 625,n =5,S =0.03125＞t =0.01,是，循环； 执行第6次，S=S −m =0.015625,2m m ==0.0078125,n =6,S =0.015625＞t =0.01,是，循环； 执行第7次，S=S −m =0.007812 5,2m m ==0.003 906 25,n =7,S =0.0078125＞t =0.01,否，输出n =7， 故选C.【名师点睛】本题是已知程序框图计算输出结果的问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，直到输出时，即可计算出输出结果，是常规题，程序框图还可考查已知输入、输出，补全框图或考查程序框图的意义，处理方法与此题相同.15．（2015新课标全国卷II 文科）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的,a b分别为14,18，则输出的aA．0 B．2C．4 D．14【答案】B16．（2017新课标全国卷II文科）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D17．（2016新课标全国卷II文科）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.。
高考数学一轮第11章 算法初步、复数、推理与证明 11-2
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列 12——解决复数问题的实数化思想 [2018·金华模拟]已知 z∈C，解方程 z·－z －3i－z ＝1＋3i. 解题视点 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，根据已知中恒等的 条件，列出一组含 a，b 的方程，解方程组使问题获得解决．
解 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi) ＝1＋3i，即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.
∴－2λ－λ＋μμ＝＝－3，4， 解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1.
考向 复数的代数运算 命题角度 1 复数的乘法运算 例 3 [2017·山东高考]已知 a∈R，i 是虚数单位．若 z＝a＋ 3i，z·z ＝4，则 a＝( ) A．1 或－1 B. 7或－ 7 C．－ 3 D. 3
A. 5 B．2 5 C．5 2 D. 10
解析 ∵z＝－2＋i，∴－z ＝－2－i， ∴|(1＋z)·－z |＝|(1－2＋i)·(－2－i)|＝|3－i|＝ 1＋9＝ 10，故选 D.
5．[2017·江苏高考]已知复数 z＝(1＋i)(1＋2i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是____1_0___．
解析 ∵a∈R，a2－＋ii＝a2－＋ii22－－ii＝2a－1－5a＋2i＝ 2a5－1－a＋5 2i 为实数，∴－a＋5 2＝0，∴a＝－2.
触类旁通 求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念 都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关 的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋bi(a，b∈R) 的形式，再根据题意列方程(组)求解．
∴a＝43， b＝1，
解析 依题意得(a＋ 3i)(a－ 3i)＝4，即 a2＋3＝4，∴ a＝±1.故选 A.
平面向量,算法,复数..
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第一部分 专题一
第二讲
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2．复数 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ①z 是实数⇔b＝0； ②z 是虚数⇔b≠0； ③z 是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0. (2)共轭复数 复数 a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是 a－bi(a，b∈R)．
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3．算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示．
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(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
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高频热点全透视 02
考点突破 解码命题
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热点考向一 平面向量的运算及应用 【例 1】 (1)(2015· 新课标全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在 → → 平面内一点，BC＝3CD，则( )
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(3)注意直到型循环和当型循环的本质区别． 直到型循环 是先执行再判断，直到条件满足才结束循环；当型循环是先 判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环．
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IT名词复数公式练习题
IT名词复数公式练习题在计算机领域，有许多常见的名词都是以复数形式出现的。
这些名词复数形式对于初学者来说有时会造成困惑。
在本文中，我们将通过一些练习题来帮助大家熟悉和掌握这些名词的复数形式。
1. 单词：algorithm复数形式：algorithms解释：算法是指用来解决问题或执行特定任务的一系列有序步骤。
在计算机科学中，算法的复数形式是algorithms。
2. 单词：database复数形式：databases解释：数据库是指用于存储和组织数据的系统。
在计算机中，我们经常会使用多个数据库来管理不同的数据集合，因此数据库的复数形式是databases。
3. 单词：interface复数形式：interfaces解释：接口是指两个或多个系统、设备或程序之间通信和交互的界面。
在计算机领域中，我们会使用多个接口来实现各种功能，因此接口的复数形式是interfaces。
4. 单词：protocol复数形式：protocols解释：协议是指在计算机通信中用于数据传输和交换的规则和约定。
在网络通信中，我们常使用多种协议来确保数据的安全和有效传输，因此协议的复数形式是protocols。
5. 单词：server复数形式：servers解释：服务器是指在网络中提供服务的计算机或设备。
在企业或互联网应用中，我们通常会使用多个服务器来存储和处理数据，因此服务器的复数形式是servers。
6. 单词：algorithm复数形式：algorithms解释：算法是指用来解决问题或执行特定任务的一系列有序步骤。
在计算机科学中，算法的复数形式是algorithms。
7. 单词：network复数形式：networks解释：网络是指将多台计算机或设备连接在一起，以便它们可以互相通信和共享资源。
在现代社会中，我们有许多不同类型的网络，例如局域网和互联网，因此网络的复数形式是networks。
8. 单词：software复数形式：softwares（常用software）解释：软件是指计算机系统中的可执行程序和相关数据的集合。
高中数学《复数》
复数的引入<教师备案>（一）复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作《伟大的艺术》，在书中提出了三次方根的求根公式．同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为10时，积的最大值为25，故这样两个数一定不存在．从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程210400x x -+=的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解．卡丹给出答案：515+-与515--，但并不清楚这有什么意义． 于是引发了一个重要问题，1-是什么？ （二）复数与虚数．笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”，于是大家称1-为“虚数i”．莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间”．欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻”． （三）复数的意义引入1-后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的n 次方程都有根，且必有n 个根．（重根重复计算）一、复数的概念1．虚数单位i ：2i 1i 1=-=-，；2．复数：所有形如i()a b a b +∈R ，的数就称为复数（complex number ），复数通常用小写字母z 表示，即i()z a b a b =+∈R ，，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部． <教师备案>注意虚部是一个实数．如34i +的实部为3，虚部为4；34i -的虚部为4-．3．复数的分类：i z a b =+（a b ∈R ，） 若0b =，则z 为实数（real number ）；若0b ≠，则z 为虚数（imaginary number ）；0a =，0b ≠时，z 称为纯虚数．<教师备案>如34i +是一个虚数，但不是一个纯虚数；i -是一个纯虚数．可以举例：若(1)(1)i z m m =++-，问z 是实数、虚数、纯虚数时，m 分别为多少？6.1 数系扩充知识点睛第6讲 让世界充满iz 是实数1m ⇔=；z 是虚数1m ⇔≠；z 是纯虚数1m ⇔=-．4．复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用C 表示，即{}|i z z a b a b ==+∈∈C R R ，，． <教师备案>常见数集的关系为：*N N Z Q R C ．数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合C R ，等．手写时有时习惯多加一道竖线加上区别． 5．复数相等与比较大小：⑴相等的复数：i i a b c d +=+⇔a c =且b d =；⑵比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小．<教师备案> 注意：如果题目中出现12z z >，则一定有12z z ∈R ，；如果出现0z >，则一定有z ∈R ．复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的． 两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数．例：21(3)i z n m =+-，2(2)(3)i z m n m =-+-，若12z z >，求m n ，的取值范围．只有实数比较大小，故3m =，2232n m n n >-=-，解得1n >或3n <-．讲完这些知识点可以先讲例1．6．对所有的实系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠，若240b ac ∆=-<，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根24i 22b ac b x a a-=-±互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．（讲完这个知识点再讲例2）考点1：复数的概念【例1】 复数的概念⑴ x ∈R ，当x 取何值时，22(2)(32)i x x x x +-+-+是实数？虚数？纯虚数？⑵ 已知两个复数1()(4)i z x y xy =+-+()x y ∈R ，和2520i z =-+，当实数x y ，取何值时，1z 和2z 相等？【解析】 ⑴ 2320x x -+=时为实数1x ⇒=或者2x =；2320x x -+≠时为虚数1x ⇒≠且2x ≠；220x x +-=且2320x x -+≠时为纯虚数2x ⇒=-．⑵ 两个复数相等意味着实部和虚部都对应相等，所以： 5x y +=-，(4)20xy -+=解这个方程可得83x y =-⎧⎨=⎩或38x y =⎧⎨=-⎩．<教师备案>例2⑴是解实系数的一元二次方程；第⑵小题涉及到复系数的一元二次方程．易知实系数的一元二次方程与复系数的一元二次方程都有韦达定理成立，但实系数一元二次方程的判别式的相关结论对复系数的一元二次方程不正确．见易错门诊．解复系数的一元二次方程目前可以用的方法是设出解的形式，代入方程，利用复数相等得到两个等式，解得结果．这里先看一些最简单的情形，如例2⑵有实根存在的情形与易错门诊已知一根的情形．【例2】 解一元二次方程⑴ 在复数集内解方程：①2450x x ++=；②210x x ++=；③42230x x --=． ⑵ 若方程22i 1i x mx x m ++=--有实根，求出实数m 的值，并求出此实根．经典精讲【解析】 ⑴ ①2(2)1x +=-，故2i x +=±，2i x =-±；②因为1430∆=-=-<，所以原方程没有实根，只有两复根：1211313i 2222x -±∆-±-===-±，． ③22(3)(1)0x x -+=，故23x =或21x =-，故此方程的根有3x =±与i x =±；⑵方程有实根，x ∈R ，利用复数相等的定义有 22212112x mx x x x x m⎧+=-⇒-=-⇒=±⎨=-⎩；而22m x m =-⇒=， 即2m =-时，有实根1；2m =时，有实根1-．尖子班学案1【拓2】已知2i 0x kx +-=有一个根是i ，求另一个根及k 的值． 【解析】 因i 是其根，代入原方程为2i i i 0k +-=，由此得1i k =-，设0x 是另一根，则由根与系数的关系得0i i x =-，从而得01x =-．目标班学案1【拓3】解方程410x +=． 【解析】 将方程变形得：4222120x x x ++-=，即222(1)(2)0x x +-=，因式分解得22(21)(21)0x x x x ++-+=，2210x x ++=无实根，两个虚根为22i2x -±=； 2210x x -+=无实根，两个虚根为22i2x ±=；故原方程的解有四个，为2(1i)2(1i)2(1i)2(1i)2222+--+--，，，．<教师备案>我们习惯用处理实系数一元二次方程的方法来处理复系数的一元二次方程，但复系数的一元二次方程有些结论是不成立的，比如判别式非负时有实根存在（见题2）；并且我们在解方程时，会默认未知数为实数，从而导致一些比较明显的错误（见引入），这些都是在解决复数问题中经常遇到的．引入：解方程23i 0x x +=，求x ．【解析】(3i)00x x x +=⇒=或3i x =-．关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 【解析】 误解：∵方程有实根，∴22(2i)4(1i)450a a a ∆=---=-≥．解得5a 或5a ≤ 分析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正解：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得2000210x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±．二、复数的几何意义<教师备案> 如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考：实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应．如1表示数轴上一个点，1-表示数轴上另一个点，它们关于0对称，也可以理解成1绕着原点O 逆时针旋转180︒，得到1-，如图．这相当于两次逆时针旋转90︒：1i i 1⨯⨯=-，故虚数i 就是1绕原点逆时针旋转90︒，故i 在如图所求的位置，它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上．由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面．用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系． 这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义．1．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0．复数i z a b =+ ←−−→有序实数对()a b ， ←−−→点()Z a b ，←−−→向量OZ ． 2．复数的模：设i()OZ a b a b =+∈R ，，则向量OZ 的长度叫做复数i a b +的模（或绝对值），记作|i |a b +，22|i |a b a b +=+．【挑战五分钟】求下列复数的模①34i -=_____；②1i +=______；③13i 22--=_______；④26i +=_____．答案：①5；②2；③1；④22．知识点睛考点2：复数的几何意义【例3】复数的几何意义⑴ 设(3)(21)i z m m =++-，若z 对应的点在第四象限，求m 的范围．⑵ 设i z a b =+∈C ，在复平面内，满足条件0a >，0b >，24z <<的复数z 对应的点的集合是什么图形？⑶ 在复平面内，点A ，点B 所对应的复数分别为2i -+，15i +，那么AB 的中点C 对应的复数为____________．【解析】 ⑴由题意知30210m m +>⎧⎨-<⎩，解得132m -<<．⑵ 0a >，0b >表示第一象限的点，24z <<表示以原点O 半径为2和4的两圆所夹的圆环，综合起来是如右图所示的阴影部分（不包括边界）． ⑶ 13i 2-+；点A 的平面直角坐标是(21)-，，点B 的平面直角坐标是(15)，，中点C 的坐标是132⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以C 所对应的复数为13i 2-+．【点评】 学习复数加减法的几何意义之后，111()(2i 15i)3i 222C A B z z z =+=-+++=-+．提高班学案1【拓1】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【解析】 D ；2222(1)10t t t -+=-+≠．数系扩充的历史<教师备案> 考虑到复数的引入时间较长，所以数系的扩充可以讲完上面这些例题再讲．数系的扩充中有很多生动的例子与故事，下面的文字中会陈述其中的一部分供老师上课时参考．（一）正整数人类最早认识的是正整数．中国的《周易》中就有结绳记事的说法，而结绳计事不仅在中国，也在希腊、波斯等各地出现，从结绳计数（事）慢慢发展出各种不同的计数方法，其中最重要和最美妙的记数法是十进制位置制计数法．（除了十进制外还有很多其它进制，如计算机中的二进制，角度中的60进制（巴比伦人曾经就用60进制位置定位数系）；除了位置制计数法也还其它计数方法，如古埃及的象形文字中有10进制非位置计数，罗马数字中的含加减运算的计数方法，也许这在法语中还在延续，在法语中79就是60109++，80就是420⨯，99用得上三则运算了，是420109⨯++，心算不好的千万别学法语！） （二）0的诞生0一开始是用空位表示的，后来用点⋅，再后来用句点，最后才成为0，是从印度诞生的，通过阿拉伯在13世纪引入欧洲（这是斐波那契的功劳，由于数字是从阿拉伯引入欧洲的，故被称为阿拉伯数字，虽然是由印度人发明的）．0的书写方法正好对应中文的经典精讲42y O x“零”．（汉字中很早就有零，在《孙子算经》中有除百零伍便得之．但汉字中的零原义是加法，并不是真正的零）． （三）负数负数来源自减法运算，解出负数根．欧洲在16-17世纪普遍不承认负数的存在，包括帕斯卡、莱布尼兹、卡丹（认为仅仅是记号）、韦达、笛卡尔（负根叫做假根）．最开始的负数被认为没有意义，仅可以作为一个符号出现，但不能在结果中出现．负数比分数出现的更晚． （四）分数欧洲15世纪形成分数的真正算法，中国在春秋时期（公元前770年-前476年）就有了分数运算的法则．《九章算术》章一：方田，分数加法“田以乘子，并以为实，田相乘为法，实如法而一”，“其田同有，直相从之”．其中田指分母，子指分子． 分数系对加、乘、除封闭，有了负数与分数，有理数系就形成了． （五）无理数无理数的发现与毕达哥拉斯学派以及第一次数学危机有关．毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这个数最开始是最完美的整数，后来扩展成整数及整数之间的比，即分数．但毕达哥拉斯学派推出了著名的毕达哥拉斯定理，即中国的勾股定理，于是无理数的出现不可阻挡．比如边长为1的等腰直角三角形的斜边长无法表示成两个整数的比． 我们会在证明题三大方法中用反证法证明这个结论． 无理数的被承认也经过了很长的时间，毕达哥拉斯学派弟子希伯斯也因为发现或是传播无理数藏身大海，这也是“无理数”这个名字的由来．达芬奇（15世纪，意大利）称为“没有道理的数”、开普勒（17世纪，德国）说“不可名状的数”．在中国称无理数为算而不求其本质．有了无理数实数系就形成了． （六）复数系——完备的数系的形成复数系对加、减、乘、除是封闭的，对加法与乘法都满足交换律与结合律，加法与乘法之间满足分配律，满足这些性质的称为数系．到复数系，数系就完备了．想再将数系进行扩充，就会牺牲一些数系中的好的性质．三、复数的运算<教师备案>复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可．讲完运算可以接着做后面的练习．1．复数的加法定义：设1i z a b =+()a b ∈R ，，2i z c d =+()c d ∈R ，，定义12()()i z z a c b d +=+++． 复数的加法运算满足交换律、结合律．几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．复数的减法：定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-．几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 3．复数的乘法定义：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++ 复数的乘法符合多项式的运算，且满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 4．共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z 的共轭复数用z 表示，即当i z a b =+时，i z a b =-．z z =．共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等． 一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即2z z z ⋅=．<教师备案>“轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．知识点睛共轭即为按一定的规律相配的一对．通俗点说就是孪生．有共轭双曲线的概念，22221x y a b -=与22221y x b a-=称为共轭双曲线，它们共渐近线．引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用2z z z ⋅=．复数的除法就是上下同乘分母的共轭复数．<教师备案>讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解．例：在下列命题中，正确命题的有______．①对任意复数z ，有z z -为纯虚数．②对任意复数z ，有z z +∈R ．③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④z ∈R 的一个充要条件是z z =．答案：②④；①错误，z z -可以为0；③错误，z 为实数时，也有z z +∈R ．5．复数的除法22i (i)(i)(i)(i)i a b a b c d a b c d c d c d ++-+÷+==++， 22211i i i (i)(i)||a b a b z z a b a b a b a b z --====++-+，1z称为复数z （0z ≠）的倒数． <教师备案> 复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，i n 与k ω的性质及与此相关的较复杂的复数的计算．复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来， 如1i +表示模长为2，角度为45︒（称为幅角）的向量，一个复数乘以1i +即表示这个复数逆时针旋转45︒，模长再伸长到原来的2倍，如 (34i)(1i)17i ++=-+，如下图．这样(1i)(1i)2i ++=就非常好理解了． 这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在假期有同学发问时适当引导，但不建议假期时展开．【挑战十分钟】计算下列各小题：⑴(32i)2(1i)(5i 1)--+++；⑵2(1i)-；⑶(2i)(3i)+-；⑷(34i)(43i)+-；⑸1i i +；⑹1i 1i -+；⑺43i 43i43i 43i -+++-；⑻2(1i)3(1i)2i ++-+；⑼213i 1i ⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭． 【解析】 ⑴2i +；⑵2i -；⑶7i +；⑷247i +；⑸1i -；⑹i -； ⑺1425；⑻2i 33i 3i (3i)(2i)55i 1i 2i 2i 55+-----====-++；⑼213i 223i 13i3i 1i 2i i ⎛⎫-----===-+ ⎪ ⎪+⎝⎭．经典精讲考点3：复数的运算【铺垫】⑴已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．⑵已知复数z 满足1i 1zz-=+，则1z +等于______．【解析】 ⑴1-；注意a 是实数，复数为纯虚数，则实部为0，22(i)12i 2i a a a -=--=，则21a =且221a a =-⇒=-；⑵2；1i1i(1)i i i 1iz z z z --=+=+⇒==-+，故11i 2z +=-=．【例4】 复数的运算⑴ 设复数11i z =+，22i z x =+()x ∈R ，若12z z 为实数，则x 等于 ．⑵ 若复数3i()12ia a +∈+R 为纯虚数，则实数a =_____．⑶如果复数2i12ib z -=+的实部与虚部互为相反数，则3zz z z ++=_______．【解析】⑴ 2-； 复数为实数，虚部为0，而()()()()121i 2i 22i z z x x x =++=-++，所以20x +=，2x =-．⑵6-；3i (3i)(12i)(6)(32)i12i 55a a a a ++-++-==+为纯虚数，故606a a +=⇒=-； ⑶4；2i 12i b -+(2i)(12i)(12i)(12i)b --=+-224i 55b b -+=-，又实部与虚部互为相反数，即22455b b -+=， 解得23b =-，故2(1i)3z =-，2(1i)3z =+，222233(1i)(1i)(1i)(1i)3333zz z z ++=⋅⋅-++-++84433=+=．提高班学案2【拓1】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数） 【解析】 由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：(1i)2(1i)a b ++-[]22(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()22a =+44(2)i a -++则()222424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎪⎨-=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．尖子班学案2【拓2】已知2211z x x =++22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【解析】 ∵12z z >，∴42221()x x x a ++>+，∴22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．证明：分成直接证明与间接证明，直接证明的主要方法有综合法与分析法，间接证明主要是反证法． ⑴ 直接证明：①综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理出发，经过逐步推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法；②分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法．<教师备案>分析法是在一步步寻求结论成立的“充分条件”．分析法在思考过程中用得比较多，综合法在书写过程中用得比较多．比较复杂的问题往往需要同时从条件与结论入手，同时使用综合法与分析法得到结果．讲完直接证明可以先讲例题5及其拓展．⑵ 间接证明：常用的有反证法．反证法：先否定结论（假设原命题不成立），在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，说明假设错误，从而肯定结论的真实性．常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实、原命题中的已知条件矛盾等．<教师备案>反证法是由p q ⇒转向证明：q r t ⌝⇒⇒⇒，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q ⌝为假，推出为真的方法．它的本质是：结论不成立是不行的！基础的二元论——非真即假． 考虑使用反证法的情况有： ①条件太少；②一些典型的问题，包括否定性命题，唯一性命题，必然性命题，至少至多类命题，涉及无限结论的命题等．<教师备案>反证法首先需要正确的进行反设．例：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）A ．假设三个内角都大于60︒B ．假设三个内角都不大于60︒C ．假设三个内角至多有一个大于60︒D ．假设三个内角至多有两个大于60︒ 答案：A ．<教师备案>反证法的小例子：①伽利略在比萨斜塔上扔铁球，推翻亚里士多德的理论（即物体下落速度和重量成比例的学说，据传说是在1589年，实际上是假的） ②线面平行的判定定理和性质定理的证明．（判定定理：a b a b a ααα⊄⊂⇒∥，，∥． 简单证明：如果a 与α不平行，则a A α=；a b ，确定平面β，则b α⊂，b β⊂，A A αβ⊂⊂，，于是A b ∈，从而a b A =，这与条件中a b ∥矛盾．性质定理的证明即假设线线不平行，则线线相交，从而线面相交，与已知矛盾，具体略去） ③证明质数有无限多个．（古希腊经典证明，欧几里得《几何原本》的命题20，原文“预先给定几个质数，那么有比它们更多的质数．”）简单证明：如果结论不成立，即质数只有有限多个，记为12n p p p ，，，，则121n N p p p =⋅⋅+不是质数，故它一定有质因子，即存在某个i p ，i N p M =⋅，即12i i 12i 1i 11()1n n p p p p M p M p p p p p -+⋅⋅+=⇒-⋅=，这不可能．故假设错误，即质数有无穷多个．6.2 证明题三大方法知识点睛④证明2是无理数．简单证明：如果结论不成立，即2是有理数，则∃m n ∈Z ，，m n ，互素，使得2mn=， 故2m n =，两边平方得222m n =．从而2是m 的因子，从而4是2m 的因子，故2是2n 的因子，故m n ，有公因子2，它与m n ，互素矛盾．上面这些例子可以选讲，讲完这些例子后，可以接着讲后面的例6及拓展．考点4：分析法与综合法【例5】分析法与综合法已知a b c ∈R ，，，0a b c ++=， ⑴求证：0ab bc ac ++≤．⑵若0abc >，求证：1110a b c++<．⑶若a b c >>，求证：0a >，且2ca>-；⑷若a b c >>，求证：23b aca-<． 【解析】 ⑴由0a b c ++=得a b c =--；∴()()()ab bc ac a b c bc b c b c bc ++=++=--++22223024c b bc c b c ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭≤．⑵111bc ac ab a b c abc++++=， 由⑴知0ab bc ac ++≤，当且仅当002cc b =+=，，即0a b c ===时取等号，∵0abc >，故等号取不到，即0ab bc ac ++<，又∵0abc >，∴1110bc ac aba b c abc++++=<．⑶ ∵a b c >>，所以30a a b c >++=，即0a >； 又∵b a c =--，a b >，所以a a c >--，所以2a c >-，又0a >，所以2c a >-，所以2ca>-．⑷法一：分析法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立． 法二：综合法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，22221324b ac a ac c c a a a -++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 而1012c b c b a a a a ++=⇒=-->-，又0ca<， 故(20)c a ∈-，，故213324c a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，从而23b ac a -<． 经典精讲11提高班学案3【拓1】已知：00a b >>，，求证：a b a b b a++≥．【解析】 法一：综合法 ∵00a b >>，， ∴22a a b b a bb+⋅=≥，2b a b a+≥，两式相加化简得a b a b ba ++≥． 法二：分析法∵00a b >>，，要证a b a b ba++≥，即证：a a b b a b b a ++≥，移项整理得即证明()()0a b a b --≥，即证明2()()0a b a b +-≥，这显然成立，故原不等式得证．目标班学案2【拓3】求证：2233()a b ab a b ++++≥． 【解析】 法一：∵2222a b ab ab +≥≥，232323a a a +≥≥，232323b b b +≥≥， 将此三式相加得222(3)22323a b ab a b ++++≥ ∴2233()a b ab a b ++++≥．法二：要证2233()a b ab a b ++++≥，即证222[33()]0a b ab a b ++--+≥， 左边可以写成：222()(3)(3)0a b a b -+-+-≥，此不等式显然成立，且在3a b ==时取到等号，故原不等式得证． 法三：把原式视作关于变量a 的不等式，即证：()()223330a b a b b -++-+≥；① 那么该不等式恒成立等价于其判别式()()2234330b b b ∆=+--+≤恒成立；整理∆得()223639330b b b ∆=-+-=--≤恒成立，所以不等式①即原不等式成立．考点5：反证法【铺垫】已知a b c d ∈R ，，，，且1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证：a b c d ，，，中至少有一个是负数．【解析】 假设a b c d ，，，都是非负数， ∵1a b c d +=+=，∴()()1a b c d ++=．又∵()()1a b c d ac bd ad bc ac bd ++=++++>≥，即11>，矛盾；∴a b c d ，，，中至少有一个是负数．【例6】 反证法已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：111a b c，，不可能是等差数列．12【解析】 假设111a b c ，，是等差数列，则211b a c=+，又2b a c =+，两式联立消去b 得411a c a c =++，化简得：2()0a c -=，故a c =，这与0d ≠矛盾，故111a b c，，不可能是等差数列．【点评】 本题结论还可以推广：a b c ，，与111a b c，，均不可能构成等比数列．尖子班学案3【拓2】证明：238，，不可能是同一等差数列中的三项．【解析】 假设结论不成立，即存在一个等差数列{}n a ，公差为d ，使得238，，是其中三项，不妨记12(1)k a a k d ==+-，13(1)m a a m d ==+-，18(1)n a a n d ==+-． 于是32()m k a a m k d -=-=-，83()n m a a n m d -=-=-， 将这两个式子相除得83(223)(32)1632m k n m --==-+=+--， 由*m n k ∈N ，，知m kn m-∈-Q ，故16+∈Q ，这不可能，故假设错误，238，，不可能是同一等差数列中的三项．目标班学案3【拓3】实数a b c ，，满足000a b c ab bc ac abc ++>++>>，，，求证：a b c ，，均大于零． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，中存在不大于零的数，不妨设0a ≤，由0abc >知， 0a <，且0bc <，不妨设00b c <>，， 由0a b c ++>知0c a b >-->，0a b +<．于是22()()()ab bc ac ab a b c ab a b a b a ab b ++=++<++--=---223024b a b ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，这与已知中0ab bc ac ++>矛盾，故假设不正确，即a b c ，，均大于零．【演练1】已知(32)(5)i 1910i a b a b ++-=+()a b ∈R ，，则a = ，b = ． 【解析】35，；32193510a b a a b +=⎧⇒=⎨-=⎩，5b =．【演练2】若3i z =-，则2z 的共轭复数是 ． 【解析】223i +； 22(3i)223i z =-=-，2223i z =+．【演练3】实数m 分别取什么数值时？复数22(56)(215)i z m m m m =+++--⑴ 与复数212i -相等；⑵ 与复数1216i +互为共轭；⑶ 对应的点在x 轴上方．实战演练13【解析】 ⑴ 根据复数相等的充要条件得2256221512m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =-．⑵ 根据共轭复数的定义得22561221516m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =．⑶ 根据复数z 对应点在x 轴上方可得22150m m -->，解之得3m <-或5m >． ∴(3)(5)m ∈-∞-+∞，，．【演练4】若复数3i1ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．3- D ．6【解析】 C由3i (3i)(1i)3(3)i 33i 1i (1i)(1i)222a a a a a a++-++-+-===+++-． 因为复数3i 1i a ++是纯虚数，所以302a +=且302a-≠．解得3a =-．【演练5】若1x <，1y <，证明：11x yxy-<-． 【解析】 用分析法证明：要证明11x yxy-<-，即证明1x y xy -<-，即证明2222212x y xy xy x y +-<-+， 不等式移项得即证明2222221(1)(1)0x y x y x y +--=-->． 由11x y <<，知，2211x y <<，，故此不等式成立，原命题得证．【演练6】已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：a b c ，，不可能是等比数列． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，构成等比数列，则2b ac =． 又2b a c =+，故222a c b ac +⎛⎫== ⎪⎝⎭，整理得：2()0a c -=，故a c b ==，这与已知中的公差0d ≠矛盾，故假设不成立，所以a b c ，，不可能是等比数列．。
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高15级复习专题——复数及算法
1.（2013北京）在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A.第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D. 第四象限
2.(2013安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )
（A ） 16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112
y x
D B A
O C
(2题）) (3题）) （4题）
3.（2013北京）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.
23 C.1321
D.610987 4．（2013四川）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） 5.（2013全国新课标）若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( )
A.4-
B.45-
C.4
D.45
6.（2013浙江）已知复数512i z i
=
+（i 是虚数单位），则_________z = 7．（2014山东）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是5
9，则 ( ) A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 开始
是
否 0,1i S == 2121S S S +=+
1i i =+ 2
i ≥输出S
结束
否是1
,0,1===T S k 开始
N 输入k
T T =1+=k k T
S S +=?N k >S
输出结束
8．（2014浙江）执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（）
A ． 6k ≤
B ．7k ≤
C ．8k ≤
D ．9k ≤
9.（2014新课标1）运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于
A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]-
10．（2014新课标2）执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =
（A ）1111+2310+
++…… （B ）1111+2310+++……！！！
（C ）111+2311+++…… （D ）11+2311+++……！！！
(10题)
开始
S =1，k =1
k >a ?
S =S +1k (k +1)
k =k+1
输出S
结束
是 否
（第7题图）
复数及算法答案
1、D
2、D
3、C
4、B
5、D
6、√5
7、A
8、B
9、A 10、B。