数学建模——蒙特卡洛简介
蒙特卡洛法的原理及应用
蒙特卡洛法的原理及应用1. 蒙特卡洛法的概述蒙特卡洛法是一种基于统计学原理的数值模拟方法，通过随机抽样和统计分析来解决问题。
它的应用范围非常广泛，可以用于求解各种复杂的数学问题，特别是那些难以通过解析方法求解的问题。
蒙特卡洛法的核心思想是通过随机模拟来近似求解问题，它能够给出问题的解以及解的不确定性的度量。
2. 蒙特卡洛法的原理蒙特卡洛法的原理可以简单地概括为三个步骤：（1）问题建模首先，需要将要求解的问题转化为一个数学模型，并确定问题的输入和输出。
例如，要计算圆周率的近似值，可以使用蒙特卡洛法来进行模拟。
（2）随机抽样接下来，需要根据模型和问题的特点进行随机抽样。
蒙特卡洛法通过生成大量的随机数，然后根据这些随机数计算出问题的解。
（3）统计分析最后，通过对抽样得到的结果进行统计分析，来得出问题的解和解的不确定性的度量。
蒙特卡洛法通过对多次随机抽样的结果进行求平均、方差等统计分析，从而得到问题的解以及其精度。
3. 蒙特卡洛法的应用领域蒙特卡洛法具有广泛的应用领域，包括但不限于以下几个方面：（1）金融领域在金融领域，蒙特卡洛法可以用于评估投资组合的风险、定价衍生品合约、估计期权价格等。
（2）物理学领域在物理学领域，蒙特卡洛法可以用于模拟粒子物理实验、求解各种定态问题、研究统计力学等。
（3）生物学领域在生物学领域，蒙特卡洛法可以用于模拟蛋白质的折叠过程、优化DNA序列设计、分析化学反应等。
（4）工程领域在工程领域，蒙特卡洛法可以用于评估工程结构的可靠性、仿真电子电路的性能、优化运输网络等。
（5）人工智能领域在人工智能领域，蒙特卡洛法可以用于模拟智能体的学习过程、优化神经网络的结构、求解强化学习问题等。
4. 蒙特卡洛法的优缺点蒙特卡洛法具有以下的优点和缺点：（1）优点•蒙特卡洛法可以处理各种类型的问题，无论是连续问题还是离散问题，都可以通过适当的模型和抽样方法来求解。
•蒙特卡洛法的结果具有统计学意义，可以给出问题解的不确定性的度量，对于决策问题非常有用。
蒙特卡洛模拟通俗理解
蒙特卡洛模拟通俗理解蒙特卡洛模拟通俗理解蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的数值计算方法，它可以用来估计某些复杂系统的性质。
这种方法的基本思想是通过随机抽样来模拟系统的行为，从而得到对系统性质的估计。
下面将对蒙特卡洛模拟进行详细介绍。
一、蒙特卡洛模拟的基本原理1.1 随机抽样蒙特卡洛模拟的核心是随机抽样。
在进行蒙特卡洛模拟时，我们需要从所研究问题的所有可能情况中，随机地选取一些情况进行研究。
这些情况被称为“样本”，而从中选取样本的过程被称为“随机抽样”。
1.2 统计规律在进行随机抽样后，我们可以根据所得到的数据来推断整个系统的性质。
这种推断是基于统计规律进行的，即我们可以根据所得到数据中出现频率较高的情况来推断整个系统中该情况出现的概率。
二、蒙特卡洛模拟在实际问题中的应用2.1 金融领域在金融领域中，蒙特卡洛模拟被广泛应用于风险管理和衍生品定价。
例如，在进行股票期权定价时，我们可以通过随机抽样来模拟股票价格的未来走势，并根据所得到的数据来计算期权的价格。
2.2 物理领域在物理领域中，蒙特卡洛模拟被用于研究复杂系统的性质。
例如，在研究分子运动时，我们可以通过随机抽样来模拟分子的运动轨迹，并根据所得到的数据来计算分子的平均速度和能量。
2.3 生物领域在生物领域中，蒙特卡洛模拟被用于研究生物分子的结构和功能。
例如，在研究蛋白质折叠过程中，我们可以通过随机抽样来模拟不同构象之间的转换，并根据所得到的数据来推断蛋白质最稳定的构象。
三、蒙特卡洛模拟的优缺点3.1 优点（1）适用范围广：蒙特卡洛模拟可以用于研究各种类型的系统，包括物理、化学、生物等领域。
（2）精度高：通过增加样本量，蒙特卡洛模拟可以得到非常精确的结果。
（3）易于实现：蒙特卡洛模拟只需要进行随机抽样和统计分析，因此实现起来比较简单。
3.2 缺点（1）计算量大：蒙特卡洛模拟需要进行大量的随机抽样和数据处理，因此计算量比较大。
（2）收敛速度慢：在一些情况下，蒙特卡洛模拟需要进行很多次随机抽样才能得到收敛的结果。
蒙特卡洛方法及应用
蒙特卡洛方法及应用蒙特卡洛方法是一种基于随机采样的数值计算方法，它在各种科学和工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍蒙特卡洛方法的基本原理、算法和在各个领域中的应用，以帮助读者更好地理解和应用这种方法。
蒙特卡洛方法是一种基于概率的统计方法，它通过随机采样来模拟复杂系统的行为。
这种方法最早起源于20世纪中叶，当时科学家们在使用计算机进行数值计算时遇到了很多困难，而蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案。
蒙特卡洛方法的基本原理是，通过随机采样来模拟系统的行为，并通过对采样结果进行统计分析来得到系统的近似结果。
这种方法的关键在于，采样越充分，结果越接近真实值。
蒙特卡洛方法的算法主要包括以下步骤：1、定义系统的概率模型；2、使用随机数生成器进行随机采样；3、对采样结果进行统计分析，得到系统的近似结果。
蒙特卡洛方法在各个领域中都有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，蒙特卡洛方法被用来模拟股票价格的变化，从而帮助投资者进行风险评估和投资策略的制定。
在物理领域中，蒙特卡洛方法被用来模拟物质的性质和行为，例如固体的密度、液体的表面张力等。
在工程领域中，蒙特卡洛方法被用来进行结构分析和优化设计等。
总之，蒙特卡洛方法是一种非常有用的数值计算方法，它通过随机采样和统计分析来得到系统的近似结果。
这种方法在各个领域中都有着广泛的应用，并为很多实际问题的解决提供了一种有效的解决方案。
随着金融市场的不断发展，期权作为一种重要的金融衍生品，其定价问题越来越受到。
而蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法作为两种广泛应用的定价方法，具有各自的特点和优势。
本文将对这两种方法在期权定价中的应用进行比较研究，旨在为实际操作提供理论支持和指导。
一、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机模拟的数学方法，其基本原理是通过重复抽样模拟金融市场的各种可能情况，从而得到期权的预期收益。
该方法具有以下优点：1、可以处理复杂的金融市场情况，包括非线性、随机性和不确定性的问题。
蒙特卡罗简述
蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod）--也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
蒙特卡罗方法- 基本思想当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡罗方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡罗方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。
蒙特卡罗方法- 基本原理由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。
因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。
数学建模——蒙特卡洛简介
数学建模——蒙特卡洛方法（案例）蒙特卡罗方法是一种计算方法。
原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。
它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。
对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。
它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。
正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对(x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。
通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。
比如，计算函数y = x2 在[0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。
这个函数在(1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。
在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件y < x2）。
这个比重就是所要求的积分值。
用Matlab模拟100万个随机点，结果为0.3328。
四、交通堵塞蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。
下面的例子模拟单车道的交通堵塞。
根据Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。
▪当前速度是 v 。
▪如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。
▪如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。
▪此外，司机还会以概率 p 随机减速，将下一秒的速度降低到 v - 1 。
在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率p 为0.3 。
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理编程及应用
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理编程及应用蒙特卡罗方法是一种基于随机数的数学建模算法，它在估计和模拟复杂的数学问题时非常有用。
蒙特卡罗方法的原理是通过随机抽样来进行近似计算，然后使用统计学方法来分析和推断结果。
蒙特卡罗方法的核心思想是通过进行大量的随机样本实验，来估计问题的解或者概率。
它的基本过程如下：1.问题建模：将要解决的问题转化为数学模型，并明确需要估计的量。
2.随机抽样：根据问题的性质和要求，设计合适的随机抽样方法，生成大量的随机样本。
3.计算估计量：对每个样本，将其代入数学模型，计算得到估计量的值。
4.统计分析：对所有样本的估计量进行统计分析，包括计算均值、方差等。
5.结果解释：根据统计分析的结果，得出对问题的估计值和置信区间。
蒙特卡罗方法的一个重要特点是可以处理复杂的问题，因为需要进行大量的随机实验。
它广泛应用于科学研究、金融决策、工程设计等领域。
下面以两个实际应用为例介绍蒙特卡罗方法的具体编程和应用。
实例一：估计π的值蒙特卡罗方法可以用来估计π的值。
其基本思路是以原点为中心，边长为2的正方形内切一个以原点为圆心的半径为1的圆，通过生成大量的随机点，并统计落在圆内的点的个数来估计圆的面积，然后根据面积比例来估计π。
编程步骤如下：1.生成随机点：生成大量的随机点，均匀分布在正方形内。
2.判断点位置：判断每个点是否落在圆内，即判断点的横坐标和纵坐标的平方和是否小于13.统计结果：统计圆内的点的个数。
4.计算面积和π的估计值：根据圆内点的个数，计算圆的面积和π的估计值。
实例二：金融风险分析蒙特卡罗方法可以用于金融风险分析，例如估计一些投资组合的回报率和风险。
编程步骤如下：1.生成随机数：生成符合历史回报率的随机数序列，代表不同的投资回报率。
2.计算投资回报率：根据生成的随机数序列，计算投资组合的回报率。
3.重复实验：重复上述步骤多次，生成多个投资回报率的样本。
4.统计分析：对多个投资回报率样本进行统计分析，计算均值、方差等指标。
数学建模蒙特卡罗方法
• 求积分
b
f(x)dx 〔2.1〕 a
蒙特卡罗方法步骤如下：
• 1、在区间【a,b】上利用计算机均匀产生n个随 机数x1，x2·····xn，这个可以在MATLAB软件中 用unifrnd命令实现。
• 2、计算每一个随机数相应的被积函数值f〔x1〕，
z=16*data(:,3);
II=find(x>=y.^2&x<=y+2&z<=x.*(y.^2));
M=length(II);
V=192*M/10000
例5.15 用蒙特卡罗方法计算 (x2y2z2)dxdydz
其中,积分区域是由 z x2 y和2 z = 1 所围成。
被积函数在求积区域上的最大 值为2。所以有四维超立方体
蒙特卡洛计算方法具有随机性、不确定性.
N=10000; 递推公式和初始值确定后，整个随机数序列便被唯一确定。
V=8*M/10000
实验参考程序 蒙特卡罗方法计算体积
for k=1:L y=-1+3*data(:,2);
实验参考程序 蒙特卡罗方法计算体积
P=rand(N,3); 第二条语句实现了在积分区间上均匀产生N个随机数.
什么叫蒙特卡罗方法？
• 蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样 技术，是一种随机模拟方法，以概率和统 计理论方法为根底的一种计算方法，是使 用随机数〔或伪随机数〕来解决很多计算 问题的方法。将所求解的问题同一定的概 率模型相联系，用电子计算机实现统计模 拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征 性地说明这一方法的概率统计特征，故借 用赌城蒙特卡罗命名。
大小有关
• 所以在使用蒙特卡罗方法时，要 “扬长避短〞，只对问题中难以用解 析〔或数值〕方法处理的局部，使用
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理、编程及应用
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理、编程及应用一、前言1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam和Nick Metropolis共同发明了蒙特卡罗方法。
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
二、蒙特卡罗方法的基本原理以及思想1、蒲丰投针实验其基本思想源于法国数学家蒲丰提出著名的蒲丰投针实验，并以该方法求圆周率。
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：求出π值。
其中Ｎ为投针次数，n为针与平行线相交次数。
这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
2、射击问题设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。
则该运动员的射击成绩为用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期望，即当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
蒙特卡洛拟合曲线-概述说明以及解释
蒙特卡洛拟合曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述蒙特卡洛拟合曲线是一种常用的数学建模方法，通过使用统计模拟的方法，将一组已知的数据点与最优拟合曲线进行匹配，以便预测未知数据点的值或拟合观测数据。
在科学研究和工程实践中，准确地描述和预测实际数据是一项重要的任务。
然而，由于数据的复杂性和不完美性，常规的拟合方法可能无法达到所需的精度和准确性。
而蒙特卡洛拟合曲线的独特之处在于其能够灵活地适应不完美的数据，并提供可靠的预测结果。
蒙特卡洛拟合曲线的核心思想是基于随机抽样和模拟实验，在拟合曲线的过程中，通过随机生成一组参数，然后用这些参数计算出拟合的曲线，并与实际数据进行比较。
通过大量的重复实验，找到使得拟合曲线与实际数据最接近的参数组合，从而获得最佳的拟合曲线。
与传统的拟合方法相比，蒙特卡洛拟合曲线具有以下优势。
首先，它可以利用随机性和概率的特点，克服数据不确定性和误差带来的影响，提高拟合的准确性和鲁棒性。
其次，通过模拟实验的方式，蒙特卡洛拟合曲线可以生成多个曲线拟合结果。
这样，我们可以得到拟合曲线的置信区间和不确定度，进一步评估拟合结果的可靠性。
蒙特卡洛拟合曲线在许多领域中有广泛的应用前景。
在物理学、化学、生物学等自然科学领域中，蒙特卡洛拟合曲线可以用于分析实验数据、建立数学模型，并对实际系统的性质进行预测。
在工程技术领域，蒙特卡洛拟合曲线可以用于优化设计和预测性能，提高产品和系统的可靠性。
综上所述，蒙特卡洛拟合曲线是一种强大的数学建模工具，它通过统计模拟的方法能够更好地拟合和预测实际数据。
在科学研究和工程实践中，蒙特卡洛拟合曲线具有广泛的应用前景，将为我们提供更准确和可靠的数据分析和预测能力。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：首先，介绍文章的主要结构和组成部分。
说明文章的整体安排，包括引言、正文和结论三个部分，每个部分的内容和主旨。
其次，解释每个部分的具体内容和重点。
引言部分用于提出问题和研究的背景，引起读者的兴趣；正文部分是论文的主体，包括蒙特卡洛方法介绍和拟合曲线的概念两个小节；结论部分总结了蒙特卡洛拟合曲线的优势，并展望了应用前景。
蒙特卡洛介绍
蒙特卡洛简介
蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一种统计技术，主要用于估算复杂系统的各种数值解。
其基本思想是通过随机抽样来模拟或估算一个过程，从而得到期望的统计结果。
以下是对蒙特卡洛方法的简要介绍：
历史背景：
蒙特卡洛方法得名于摩纳哥的蒙特卡洛赌场。
这个方法是在二战期间，由于需要解决核反应的随机扩散问题，由科学家们（如尤里·乌兰贝克、尼古拉·梅特罗波洛斯和约翰·冯·诺伊曼）在洛斯阿拉莫斯实验室中首次提出并使用的。
工作原理：
1. 随机抽样：根据某个分布（通常是均匀分布）生成大量随机样本。
2. 评估函数：对每个随机样本评估一个函数或模型。
3. 分析结果：基于评估的结果，计算所需的统计量（如均值、方差等）。
应用领域：
1. 金融：用于估算金融衍生品的价格和风险。
2. 物理：模拟复杂的物理过程，如核反应。
3. 工程：进行可靠性分析和风险评估。
4. 计算生物学：模拟生物分子的动力学。
5. 优化：搜索复杂的解空间以找到最优解。
优点：
1. 灵活性：可以应用于各种复杂的数学问题和模型。
2. 并行性：由于每个样本的评估是独立的，所以蒙特卡洛模拟非常适合并行计算。
缺点：
1. 收敛速度：需要大量的样本才能得到精确的估计。
2. 计算成本：可能需要大量的计算资源。
结论：
蒙特卡洛方法是一种强大而灵活的工具，它为解决许多复杂的数学和工程问题提供了手段。
尽管它有一些局限性，但在很多情况下，它都是最好的或唯一可行的解决方案。
蒙特卡洛模拟法简介
蒙特卡洛模拟法简介蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
蒙特卡洛模拟法的应用领域蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有：1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。
2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。
3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。
蒙特卡洛模拟法的概念（也叫随机模拟法）当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。
随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于需要大量反复的计算，一般均用计算机来完成。
蒙特卡洛模拟法求解步骤应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。
解题步骤如下：1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。
蒙特卡洛方法及其在数学建模中的应用
蒙特卡洛方法及其在数学建模中的应用随着科技的不断进步，计算机在日常生活中扮演着越来越重要的角色。
而蒙特卡洛方法作为一种基于概率的数值计算方法，已经成为了计算机科学中不可或缺的一部分，并且在数学建模中也被广泛的应用。
蒙特卡洛方法最早由科学家冯•诺伊曼提出，用来解决核物理学中的随机抽样问题。
之后，在计算机的发展中，蒙特卡洛方法逐渐成为了一种强大的数值计算工具。
蒙特卡洛方法首先采用随机抽样的方法来获得样本，然后通过对样本的统计分析，来推断出总体的统计特性。
蒙特卡洛方法的实现可以通过计算机中的伪随机数生成器实现。
这些伪随机数具有在某种程度上的随机性，可以确保计算结果的可靠性。
蒙特卡洛方法除了在科学研究中被广泛应用外，还在数学建模中发挥了重要的作用。
蒙特卡洛方法最为普遍的应用是用来近似计算复杂的积分和求解概率分布。
在计算概率值时，通过生成样本并对其进行统计，可以获得一个很好的估计值。
而在计算积分时，采用蒙特卡洛方法的思想，可以将积分的求解转化为求解样本的平均值。
在金融学的模拟中，蒙特卡洛方法也得到了广泛的应用。
例如，在风险管理中，可以用蒙特卡洛方法模拟市场的情况，以估计股票和债券的价值，并且计算出投资组合的回报率和风险系数，为投资决策提供重要的参考。
另外，在保险业中，利用蒙特卡洛方法来计算风险因素和保险费率，也被广泛采用。
此外，蒙特卡洛方法还可用于粒子追踪、神经网络、机器学习等方面的计算。
总之，蒙特卡洛方法是一种强大的数值计算方法，广泛应用于科学研究和数学建模中。
采用蒙特卡洛方法可以降低复杂模型的计算难度，同时提高计算结果的精度和可靠性。
MonteCarlo(蒙特卡洛法)简介
随机数的取得
如果你对随机数有更高的要求，需要自己 编辑“随机数生成器” 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布） 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生一 个(0,1)中均匀分布的随机数 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
Matlab 的随机数函数
计算定积分--用Monte Carlo 计算定积分
例如 α=1.9
I1.9 = ∫ x e dx.
0
∞
0.9 − x
取
X i = ln Ri , Ri ∼ U (0,1) : R1 = 0.0587, R2 = 0.0961, R3 = 0.9019, R4 = 0.3095, ˆ I = 1.497
应用
科技计算中的问题比这要复杂得多。但 Monte Carlo 方法广泛地应用于许多应用 领域，如计算物理学 、粒子输运计算、 量子热力学计算、量子化学、分子动力 学与 。特别在金融计算中，各方法有不 可取代的优势。
金融中的应用
金融衍生产品（期权、期货、掉期等） 的定价及交易风险估算，问题的维数 （即变量的个数）可能高达数百甚至数 千。对这类问题，难度随维数的增加呈 指数增长，这就是所谓的“维数的灾 难”(Course Dimensionality)，传统的数 值方法难以对付（即使使用速度最快的 计算机）。
一个例子 -
这个问题并不复杂，但不容易找到一个解析表达式。 这个问题并不复杂，但不容易找到一个解析表达式。 而用模拟的方法求解却可以有满意的结果。 而用模拟的方法求解却可以有满意的结果。
一个例子 -建模 下面我们给出这个问题的模拟程序。 我们关心的是一次碰撞后，中子在x轴方 向行进了多少，所以行进方向是正负θ的 结果是一样的，我们就只考虑θ是正的情 形。由于中子运行的方向θ是随机的，我 们用计算机抽取在0到π间均衡分布的随 机数，模拟1000000个中子在铅墙里行 进的情形，看看这些中子与铅原子碰撞7 次后，有多少超过了铅墙的右端。
蒙特卡洛介绍
用蒙特卡洛方法解决食堂排队问题
(3)COUNTIF函数: =COUNTIF(rang,criteria)该公式用于统计在一定判断 标准下满足条件的个数，其中公式中第一项为数据所 在范围；第二项为判断标准；既满足第二项条件的第 一项数据的个数。
用蒙特卡洛方法解决食堂排队问题
学生食堂的排队问题是一个学生们十分关心的问题， 学生希望增加窗口数，减少排队等待时间。然而就食堂的 角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提 高学生对该食堂的满意度，从而让更多的学生到该食堂就 餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两 者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双 方来说都是很重要的。蒙特卡罗方法，或称计算机随机模 拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法，通过建立动 态模型，模拟食堂窗口的排队问题，当只有一个窗口服务 的情况下，前一个学生未被服务完毕的时候，后一个学生 必须等待，直到前一个学生离开服务台，后一个学生才能 被服务。而如果有两个窗口服务的时候，则可以节省等待 时间。
伪随机数的产生
进行计算机模 拟需要大样本 的均匀分布随 机数数列，如 何获得？
蒙特卡洛的方法基础
真随机数：由随机物理过程来产生，例如：放射性衰变、电子设备的热噪 音、宇宙射线的触发时间等等
伪随机数：由计算机按递推公式大量产生
伪随机数的产生
蒙特卡洛的方法基础
设 为2s个数码，自乘后，去头截尾，然后相应的 除以 或 ，作为[0,1]上的伪随机数，如此重复这 一过程，直至或者为0，或者与已出现的数字重复（周期 性）时为止。公式表示如下：
数学建模专题三 Monte Carlo模拟
2019/5/18
Lxy, China Jiliang Universty
16
结果比较
理论计算和模拟结果的比较
分类 项目
无效射击
有效射击
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
平均值
模拟 理论
０．６５ ０．７５
０．３５ ０．２５
０．５ ０．３３
虽然模拟结果与理论计算不完全一致，但它却能更加真实地表 达实际战斗动态过程．
x=randperm(6); y=x(1); switch y
Lxy, China Jiliang Universty
10
问题分析
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
需要模拟出以下两件事：
[1] 观察所对目标的指示正确与否 模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2． 因此，可用投掷一枚硬币的方式予以确定，当硬币出现正面时为
指示正确，反之为不正确．
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举例
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
Buffon投针实验
1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的值
2019/5/18
L
d
p
2L d
Lxy, China Jiliang Universty
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Solution
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
... ...
2019/5/18
Lxy, China Jiliang Universty
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Matlab中的取整函数
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
fix(x) : 截尾取整，直接将小数部分舍去 floor(x) : 不超过 x 的最大整数 ceil(x) : 不小于 x 的最小整数 round(x) : 四舍五入取整
数学建模-蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法的特点 • 优点：
• 1、能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的 特点及物理实验过程 • 2、受几何条件限制小 • 3、收敛速度与问题的维数无关 • 4、具有同时计算多个方案与多个未知量的能力 • 5、误差容易确定 • 6、程序结构简单，易于实现
• 缺点：
• 1收敛速度慢 • 2误差具有概率性 • 3在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关
什么是随机数？
• 在连续型随机变量的分布中，最简单而且最基本的 分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样称 为随机数序列，其中每一个体称为随机数 • 符号： 1 2
，
• 两个特点：独立性，均匀性
产生随机数 • 随机数表方法 • 物理方法
随机数表
• 随机数表是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字 组成，每个数字以0.1的等概率出现，数字 之间相互独立，这些数字序列叫作随机数 字序列。 • （如果要得到n位有效数字的随机数，只需 将表中每n个相邻的随机数字合并在一起， 且在最高位的前边加上小数点即可。例如， 某随机数表的第一行数字为7 6 3 4 2 5 8 9 1...，要想得到三位有效数字的随机数一次 为0.763，0.425，0.891...）
基本思想
• 当所求问题的解是某个事件的概率，或者 是某个随机变量的数学期望，或者是与概 率，数学期望有关的量时，通过某种试验 的方法，得出该事件发生的概率，或者该 随机变量若干个具体观察值的算术平均值， 通过它得到问题的解。 • 当随机变量的取值仅为 1 或 0 时，它的数学 期望就是某个事件的概率。或者说，某种 事件的概率也是随机变量（仅取值为 1 或 0 ） 的数学期望。
蒙特卡罗方法实验
面积、体积计算问题
数学建模_第3讲蒙特卡洛方法初探(2007)
几何概率模拟
1.定义 向任一可度量区域 G 内投一点，如果所投的点 落在 G 中任意可度量区域 g 内的可能性与 g 的度 量成正比，而与 g 的位置和形状无关，则称这 个随机试验为几何型随机试验。或简称为几何 概型。
2. 概率计算
P(A)=[A的度量]/[S的度量]
例5 两人约定于12点到1点到某地会面，先到者 等20分钟后离去，试求两人能会面的概率？ 解：设x, y分别为甲、乙到达时刻(分钟) 令A={两人能会面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60} P(A)=A的面积/S的面积 =（602-402）/602=5/9=0.5556
2. 符号假设
i：要模拟的打击次数； k1：没击中敌人火炮的射击总数； k2：击中敌人一门火炮的射击总数； k3：击中敌人两门火炮的射击总数． E：有效射击(毁伤一门炮或两门炮)的概率
3. 模拟框图
初始化:i=iti2(0.4,10000)
古典概率模拟
例3: 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码 1,2,…,10。每次任取一个球，记录其号码后放 回袋中，再任取下一个。这种取法叫做“有放 回抽取”。今有放回抽取3个球，求这3个球的 号码均为偶数的概率。（用频率估计概率）
function proguji=liti5(mm) %mm 是随机实验次数 frq=0; randnum1=unifrnd(0,60,mm,1); randnum2=unifrnd(0,60,mm,1); randnum=randnum1-randnum2; proguji=0; for ii=1:mm if abs(randnum(ii,1))<=20 frq=frq+1; end end proguji=frq/mm
（完整版）蒙特卡洛算法详讲
（完整版）蒙特卡洛算法详讲Monte Carlo 法§8.1 概述Monte Carlo 法不同于前⾯⼏章所介绍的确定性数值⽅法，它是⽤来解决数学和物理问题的⾮确定性的（概率统计的或随机的）数值⽅法。
Monte Carlo ⽅法（MCM ），也称为统计试验⽅法，是理论物理学两⼤主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（⽤于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态[1]。
它是⽤⼀系列随机数来近似解决问题的⼀种⽅法，是通过寻找⼀个概率统计的相似体并⽤实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的⼀种⼿段。
运⽤该近似⽅法所获得的问题的解in spirit 更接近于物理实验结果，⽽不是经典数值计算结果。
普遍认为我们当前所应⽤的MC 技术，其发展约可追溯⾄1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。
MCM 的发展归功于核武器早期⼯作期间Los Alamos （美国国家实验室中⼦散射研究中⼼）的⼀批科学家。
Los Alamos ⼩组的基础⼯作刺激了⼀次巨⼤的学科⽂化的迸发，并⿎励了MCM 在各种问题中的应⽤[2]-[4]。
“Monte Carlo ”的名称取⾃于Monaco （摩纳哥）内以赌博娱乐⽽闻名的⼀座城市。
Monte Carlo ⽅法的应⽤有两种途径：仿真和取样。
仿真是指提供实际随机现象的数学上的模仿的⽅法。
⼀个典型的例⼦就是对中⼦进⼊反应堆屏障的运动进⾏仿真，⽤随机游动来模仿中⼦的锯齿形路径。
取样是指通过研究少量的随机的⼦集来演绎⼤量元素的特性的⽅法。
例如，)(x f 在b x a <<上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进⾏估计。
这就是数值积分的Monte Carlo ⽅法。
MCM 已被成功地⽤于求解微分⽅程和积分⽅程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其⽤于计算多重积分。
任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要⼀种产⽣或获得随机数的⽅法。
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数学建模
——蒙特卡洛方法（案例）
一、概述
蒙特卡罗方法是一种计算方法。
原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。
它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。
对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。
它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
二、π的计算
第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。
正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对(x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。
通过R语言脚本随机模拟30000
个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
三、积分的计算
上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。
比如，计算函数y = x2 在[0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。
这个函数在(1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。
在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件y < x2）。
这个比重就是所要求的
积分值。
用Matlab模拟100万个随机点，结果为0.3328。
四、交通堵塞
蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。
下面的例子模拟单车道的交通堵塞。
根据Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。
▪当前速度是 v 。
▪如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。
▪如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。
▪此外，司机还会以概率 p 随机减速，将下一秒的速度降低到 v - 1 。
在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率p 为0.3 。
左图中，横轴
代表距离（从左到
右），纵轴代表时间
（从上到下），因此
每一行就表示下一
秒的道路情况。
可以看到，该模型
会随机产生交通拥
堵（图形上黑色聚
集的部分）。
这就证明了，单车道即使没有任何原因，也会产生交通堵塞。
五、产品厚度
某产品由八个零件堆叠组成。
也就是说，这八个零件的厚度总和，等于该产品的厚度。
已知该产品的厚度，必须控制在27mm以内，但是每个零件有一定的概率，厚度会超出误差。
请问有多大的概率，产品的厚度会超出27mm？
取100000个随机样本，每个样本有8个值，对应8个零件各自的厚度。
计算发现，产品的合格率为99.9979%，即百万分之21的概率，厚度会超出27mm。
六、证券市场
证券市场有时交易活跃，有时交易冷清。
下面是你对市场的预测。
▪如果交易冷清，你会以平均价11元，卖出5万股。
▪如果交易活跃，你会以平均价8元，卖出10万股。
▪如果交易温和，你会以平均价10元，卖出7.5万股。
已知你的成本在每股5.5元到7.5元之间，平均是6.5元。
请问接下来的交易，你的净利润会是多少？
取1000个随机样本，每个样本有两个数值：一个是证券的成本（5.5元到7.5元之间的均匀分布），另一个是当前市场状态（冷清、活跃、温和，各有三分之一可能）。
模拟计算得到，平均净利润为92, 427美元。