多边形的面积(二)
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知识回顾
平行四边形面积 = 底×高
S= a×h 三角形面积 = 底×高÷2
S = a × h÷2 梯形面积 =（上底＋下底）×高÷2 S = （a＋b）×h÷2
例1 下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积．(单位： 厘米)
分析
图中的阴影部分是一 个三角形，三角形的高和底都 不知道．所以，无法用公式计 算出它的面积．
CF×10
－
8×10÷2 =10(平方厘米)
解：设CF长x厘米。
10 x－8×10÷2 =10 10 x－40=10 x=5 答：CF长5厘米
4．如图所示，三角形 ABC 是直角三角形，BDEF 是正方形，且 E、F、D 分别在 AC、 AB、BC 上，已知 AB、BC 分别长 20 分米，30 分米，求：正方形 BDEF 的面积． A
=72－48 =24（平方厘米） 12 CF= S△DEF ×2÷DE =24×2÷8 =6（厘米）
6．如下图，阴影面积是 30 平方厘米，求三角形 BCD 的面积．
S△ABD = S△ABE ＋ S△ADE S△ADE = S△ABD － S△ABE S△ADE = 12×15÷2 － 30
=90－30 =60(平方厘米) AE=60×2÷15 =8（厘米）
B
6
D
8
S△BEF=（6＋8）×8÷2=56（平方厘米） S△DFG=（8 － 6）×8÷2=8（平方厘米）
6
C
8
E
阴影部分面积=（64＋36）－18－56－8＝18（平方厘米）
例2
如下图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， 如果△AED的面积是30平方厘米，求△ABC的面积
分析 通常求三角形的面积， 首先找三角形的底和高，而 此题是无法知道底和高的．
2
8
大三角形面积= 8×8÷2= 32（平方厘米） 小三角形面积= 2×2÷2= 2（平方厘米） 四边形ADCE的面积= 32－2 －2= 28（平方厘米）
7
3
大三角形面积= 7×7÷2 =24.5（平方厘米）
小三角形面积= 3×3÷2 =4.5（平方厘米）
四边形面积= 24.5－4.5 =20（平方厘米）
7．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝45°， AD＝8厘米，BC＝2厘米,求四边形ADCE面积．
2
45° 45°
2
45° 45°
D、E分别是AB、AC的中点 所以AD=BD,AE=CE.
2 1
S△ABE和S△BCE是等底等高
S△ADE= S△BDE=30(平方厘米)
A ) S△ABE=S△ADE ＋ S△BDE=60(平方厘米 D △1和△2是等底等高 B
S△ABE= S△BCE=60(平方厘米) S△ABC=S△ABE ＋ S△BCE=120(平方厘米)
阴影部分面积=60－18－20－4＝18（平方厘米）
1．右图中ABCD和DEFG都是正方形，正方形ABCD的边长是12厘米， 正方形DEFG的边长是6厘米，求阴影部分的面积．
B
12
A
G
长方形面积=（12＋6）×12=216（平方厘米） 12
G
F
S△BCD=12×12÷2=72（平方厘米） S△DEF=6×6÷2=18（平方厘米）
S△ABC=20×30÷2=300（平方分米）
பைடு நூலகம்F E
S△ABC = S△ABE ＋ S△BCE
300 = EF×20÷2 ＋DE ×30÷2 相等
20
B
D
30
C
解：设EF长x分米， DE长x分米。
20 x÷2＋30 x ÷2= 300 25x=300 x =12 正方形面积：12×12=144（平方分米）
3．平行四边形ABCD的边长BC=10厘米，直角三角形BCE的直角边EC=8厘 米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米．求CF的长．
阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米
S△ABG＋S△CDF－S△EFG = 10(平方厘米)
（S△ABG＋S△CDF＋S甲）－（S△EFG＋S甲）=10(平方厘米) 甲 平行四边形面积 － 大三角形面具 =10(平方厘米) 10
B
A E
15 1
D 112 2 C
5
E F
S△ABE =AE×BF÷2
BF=30×2÷8 =7.5（厘米） S△BCD=12×（7.5＋15）÷2 =135（平方厘米）
例3
求下图四边形的面积．（单位：厘米）
3
45° 45°
分析 这个四边形是一个不规则的四边 形，它的面积不能直接求出． 根据这个四边形的特点，可以 把它添补成一个大等腰直角三 角形 （三角形内角和是180°）
5．正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍， 求：（1）三角形的DEF的面积．（2）CF的长．
12 DE是EC长度的2倍，DC=12厘米。 12÷3=4（厘米） EC=4（厘米） DE=4×2=8（厘米） 12 8
S△DEF = S△ADF － S△ADE
S△DEF = 12×12÷2 － 8×12÷2
C D
6
D
E
12
6
S△BFG=（12＋6）×（12－6）÷2=54（平方厘米）
阴影部分面积=216－72－18－54＝72（平方厘米）
2．下图是两个正方形拼成的，两个正方形的边长分别是8厘米和6厘 米，求阴影部分的面积 G
8
A
F
大正方形面积=8×8=64（平方厘米） 小正方形面积=6×6=36（平方厘米） 6 S△ABD=6×6÷2=18（平方厘米）
6 我们添加两条辅助线把原来的图形 变成了一个大长方形 6 阴影部分面积=长方形－△1－△2－△3 1 2 4 3 6-4=2
长方形面积 = (6＋4)×6＝60（平方厘米）
△ 1的面积 = 6×6÷2＝18（平方厘米）
△ 2的面积 = (4＋6)×4÷2＝20（平方厘米） △ 3的面积 = (6－4)×4÷2＝4（平方厘米）
平行四边形面积 = 底×高
S= a×h 三角形面积 = 底×高÷2
S = a × h÷2 梯形面积 =（上底＋下底）×高÷2 S = （a＋b）×h÷2
例1 下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积．(单位： 厘米)
分析
图中的阴影部分是一 个三角形，三角形的高和底都 不知道．所以，无法用公式计 算出它的面积．
CF×10
－
8×10÷2 =10(平方厘米)
解：设CF长x厘米。
10 x－8×10÷2 =10 10 x－40=10 x=5 答：CF长5厘米
4．如图所示，三角形 ABC 是直角三角形，BDEF 是正方形，且 E、F、D 分别在 AC、 AB、BC 上，已知 AB、BC 分别长 20 分米，30 分米，求：正方形 BDEF 的面积． A
=72－48 =24（平方厘米） 12 CF= S△DEF ×2÷DE =24×2÷8 =6（厘米）
6．如下图，阴影面积是 30 平方厘米，求三角形 BCD 的面积．
S△ABD = S△ABE ＋ S△ADE S△ADE = S△ABD － S△ABE S△ADE = 12×15÷2 － 30
=90－30 =60(平方厘米) AE=60×2÷15 =8（厘米）
B
6
D
8
S△BEF=（6＋8）×8÷2=56（平方厘米） S△DFG=（8 － 6）×8÷2=8（平方厘米）
6
C
8
E
阴影部分面积=（64＋36）－18－56－8＝18（平方厘米）
例2
如下图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， 如果△AED的面积是30平方厘米，求△ABC的面积
分析 通常求三角形的面积， 首先找三角形的底和高，而 此题是无法知道底和高的．
2
8
大三角形面积= 8×8÷2= 32（平方厘米） 小三角形面积= 2×2÷2= 2（平方厘米） 四边形ADCE的面积= 32－2 －2= 28（平方厘米）
7
3
大三角形面积= 7×7÷2 =24.5（平方厘米）
小三角形面积= 3×3÷2 =4.5（平方厘米）
四边形面积= 24.5－4.5 =20（平方厘米）
7．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝45°， AD＝8厘米，BC＝2厘米,求四边形ADCE面积．
2
45° 45°
2
45° 45°
D、E分别是AB、AC的中点 所以AD=BD,AE=CE.
2 1
S△ABE和S△BCE是等底等高
S△ADE= S△BDE=30(平方厘米)
A ) S△ABE=S△ADE ＋ S△BDE=60(平方厘米 D △1和△2是等底等高 B
S△ABE= S△BCE=60(平方厘米) S△ABC=S△ABE ＋ S△BCE=120(平方厘米)
阴影部分面积=60－18－20－4＝18（平方厘米）
1．右图中ABCD和DEFG都是正方形，正方形ABCD的边长是12厘米， 正方形DEFG的边长是6厘米，求阴影部分的面积．
B
12
A
G
长方形面积=（12＋6）×12=216（平方厘米） 12
G
F
S△BCD=12×12÷2=72（平方厘米） S△DEF=6×6÷2=18（平方厘米）
S△ABC=20×30÷2=300（平方分米）
பைடு நூலகம்F E
S△ABC = S△ABE ＋ S△BCE
300 = EF×20÷2 ＋DE ×30÷2 相等
20
B
D
30
C
解：设EF长x分米， DE长x分米。
20 x÷2＋30 x ÷2= 300 25x=300 x =12 正方形面积：12×12=144（平方分米）
3．平行四边形ABCD的边长BC=10厘米，直角三角形BCE的直角边EC=8厘 米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米．求CF的长．
阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米
S△ABG＋S△CDF－S△EFG = 10(平方厘米)
（S△ABG＋S△CDF＋S甲）－（S△EFG＋S甲）=10(平方厘米) 甲 平行四边形面积 － 大三角形面具 =10(平方厘米) 10
B
A E
15 1
D 112 2 C
5
E F
S△ABE =AE×BF÷2
BF=30×2÷8 =7.5（厘米） S△BCD=12×（7.5＋15）÷2 =135（平方厘米）
例3
求下图四边形的面积．（单位：厘米）
3
45° 45°
分析 这个四边形是一个不规则的四边 形，它的面积不能直接求出． 根据这个四边形的特点，可以 把它添补成一个大等腰直角三 角形 （三角形内角和是180°）
5．正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍， 求：（1）三角形的DEF的面积．（2）CF的长．
12 DE是EC长度的2倍，DC=12厘米。 12÷3=4（厘米） EC=4（厘米） DE=4×2=8（厘米） 12 8
S△DEF = S△ADF － S△ADE
S△DEF = 12×12÷2 － 8×12÷2
C D
6
D
E
12
6
S△BFG=（12＋6）×（12－6）÷2=54（平方厘米）
阴影部分面积=216－72－18－54＝72（平方厘米）
2．下图是两个正方形拼成的，两个正方形的边长分别是8厘米和6厘 米，求阴影部分的面积 G
8
A
F
大正方形面积=8×8=64（平方厘米） 小正方形面积=6×6=36（平方厘米） 6 S△ABD=6×6÷2=18（平方厘米）
6 我们添加两条辅助线把原来的图形 变成了一个大长方形 6 阴影部分面积=长方形－△1－△2－△3 1 2 4 3 6-4=2
长方形面积 = (6＋4)×6＝60（平方厘米）
△ 1的面积 = 6×6÷2＝18（平方厘米）
△ 2的面积 = (4＋6)×4÷2＝20（平方厘米） △ 3的面积 = (6－4)×4÷2＝4（平方厘米）