圆的平面几何性质与定理练习题(奥数辅导).doc

的平面几何性质与定理练习题（高一数学417）

1、如图，。。是△43C的边8C外的旁切圆,O、E、F分别为。0与BC、

CA. A3的切点.若。町与EF相交于K,求证：AK平分BC.

2、AABC的内切圆分别切BC、CA. AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线DA. DE 于点H、G.求证：FH=HG.

3、AD为。。的直径,P。为。。的切线,PC8为。。的割线,P0分别交AH、AC于点M、N求证：OM=ON.

4、如图，在△ ABC中,AB=AC f D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且

ZBED=2ZCED=ZA.求证：BD=2CD.

5、凸四边形ABCD ZABC=60° , ZBAD= ZBCD=90° , AB=2, CD =1,对角线

AC、BD交于点。，如图.则sinZAOB=・（托勒密定理）

6、已知抛物线J=-X2+2X+8与X轴交于8、C两点，点。平分HC.若在*轴上侧的4点为抛物线上的动点,且NHAC为锐角，则AD的取值范围是—・

7、AD是RtAABC斜边BC上的高，ZB的平行线交AD于M,交AC于N.求证：AB2~AN2= BM ・ BN.

8、如图,ABCD是。O的内接四边形，延长AB和DC相交于E,延长AD和

相交于和F0分别切。。于P、0求证：EP1+FQ2=EF\

9、如图8, △ABC 与Z\A' B f C的三边分别为0、b、c 与/、b，、" ,HZB=ZB Z , ZA + ZA = 180°.试证：aa f =bb' +cc，.（托勒密定理）

10.作一个辅助圆证明：AABC中，若AD平分NA,则—=—

AC DC

11.已知凸五边形ABCDE中，ZBAE=3"C=CD=DE, ZBCD= ZCDE= 180°-2a.求证:

ZBAC=ZCAD= ZDAE.

12.在左ABC中AB=BC, NA3C=20。，在AB边上取一点使BM=AC.求匕

AA/C的度数.

13.如图10, AC是OA BCD较长的对角线，过C作CFLAF, CELAE.求证: AB

• AE+AD • AF=AC2.

14.如图11.已知。Oi和。。2相交于A、色直线CD过A交。Oi和。。2 于

C、Q,且AC=AD, EC、ED分别切两圆于C、D.求证：AC2=AB • AE.

15.己知8是△ABC的外接圆之劣弧3C的中点•求证：AB - AC=AE2-BE2.

16.若正五边形ABCDE的边长为q对角线长为试证：---=1. a b

答案：

1、证明：如图10,过点K作的行平线分别交直线A3、AC于。、P 两点,

连OP、OQ、OE、OF.由OD1BC,可知OKA.PQ.

由OF_LAB,可知。、K、F、Q 四点共圆，有ZFOQ=ZFKQ.

由OEA-AC,可知0、K、P、E 四点共圆.有ZEOP= ZEKP.

图

11

又 Sabcd =swi=半 2 ^sinZAOB= 15 + 6陌

~26- 6、解：如图5,所给抛物线的顶点为A°(l,9),对称轴为x=l,与x 轴 交于两点8(—2, 0)、

C (4, 0).分别以BC 、DA 为直径作。。、G )E,则两圆与抛物线均交于

两点户(1一2扼，1)、0(1 + 272,1).

可知，点A 在不含端点的抛物线击诺内时，NB4CV90° .且有3

=DP=DQ

7、证明：如图6, VZ2 + Z3=Z4+Z5=90°，又Z3 = Z4, Z1 = Z5,

/. Z1 = Z2.从而,AM=AN.

以AM 长为半径作04,交AB 于交曲的延长线于E.则AE

显然，ZFKQ= ZEKP f 可知 ZFOQ= A EOP.

由 OF=OE,可知 Rt/\OFQ^RtAOEP. 则 OQ=OP.

于是,OK 为PQ 的中垂线，故 QK=KP. 所以,AK 平分BC.

2、(提示：过点A 作8C 的平行线分别交直线OE 、DF 于点M 、N.)

3、(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB. AD 于点E 、F.过。作的垂线,G 为垂足.AB

〃GF.)

4、证明：如图1,延长AO 与的外接圆相交于点F,连结CF 与则 ZBFA =

ZBCA= ZABC= A AFC,即 /BFD= ZCFD .故 BF:CF=BD:DC.

又ZBEF= /BAG ZBFE= ZBCA,从而ZFBE= ZABC= ZACB= Z BFE.

故 EB=EF.

作ZBEF 的平分线交BF 于G,则BG=GF.

因/GEF= - ZBEF= ZCEF, ZGFE= ZCFE,故左FEG^AFEC.从 2

而 GF=FC. 于是，BF=2CF.故 BD=2CD.

5、|托勒密定理

解：因ZBAD=ZBCD=90°，故 A 、B 、C 、D 四点共圆.延长 R4、CD 交于

P,则 ZADP=ZABC=60° .设 AD=x,有 AP=的 x, DP=2x.由割

线定理得(2 + V3x) V3 x=2x(l+2x).

解得 AD=x=2 V3 —2, BC= — BP=4— V3 ・ 2

由托勒密定理有 BD ・ CA=(4-V3) (2^3-2)+2X1 = 10A /3-12.

=AF=AN. 由割线定理有 BM ・BN=BF •BE =（AB+AE ）｛AB-AF ）=（AB+AN ）（4B-4N ）=AB 2~AN 2f 即 AB 2-AN 2 = BM • BN.

8、 证明：如图7,作△3CE 的外接圆交EF 于G,连结CG

因ZFDC= ZABC=ZCGE f 故 F 、。、C 、G 四点共圆.

由切割线定理，有

E"= （EG+GF ） ,EF=EG •EF+GF ・EF=EC *ED+FC •FB

=EC ・ ED+FC ・ FB=EP 1+F （f i

即 EP 1+F （f=EF 2.

9、 |托勒密定现

证明:作左ABC 的外接圆，过C 作CD//AB 交圆于D,连结AD 和BD,

如图 9 所示. V ZA+ZA 7 =180° =ZA + ZD,

ZBCD=BB=ZB‘ ,

A Z A 7 =ZD, Z

B 1 =ZBCD. A'B' B'C' A'C

「•△A' B* C s4DCB. 有 DC CB DB

an c' d b' . - cic ab' 即——=—=——. 故DC=——,DB=——・ DC a DB a' a'

又 AB//DC,可知 BD=AC=b t BC=AD=a.

从而，由托勒密定理，得 AD ・BC=AB - DC+AC - BD,

b‘ 故口/ =bb , +cc ，・

A D RD

10、 （提示:不妨设AB^AC,作ZkAOC 的外接圆交AB 于E,证左ABC^ADBE f 从而 ——=—— AC DE BD 、

= ------ .） DC

11、 （提示：由已知证明ZBCE=ZBDE=180° 一3。,从而A 、夕、C 、D 、E 共圆，得

ZBAC=Z

CAD= ZDAE.）

12、 （提示：以BC 为边在△ ABC 外作正连结KAf,证8、M. C 共圆，从而ZBCM= - Z 2

BKM=10°，得ZAMC= 30° .）

13、 （提示:分别以和CZ ）为直径作圆交AC 于点G 、H.则CG=AH f 由割线定理可证得结论.）

14、 （提示：作△3CD 的外接圆。。3,延长 曲 交OQ,于F,证E 在上,得左ACE 竺△ADF, 从而AE=AF f 由相交弦定理即得结论.） 图9