§4.5 不定积分应用案例

合集下载

不定积分应用案例演示教学

不定积分应用案例演示教学
不定积分是微积分中一个重要的概念，它用于求解函数的原函数或者说反导数。

在实际应用中，不定积分可以用于解决很多实际问题，比如解决几何问题、物理问题和经济问题等。

以下是一些常见的不定积分应用案例的演示教学：
1. 几何问题：考虑一个函数f(x)，它表示一个曲线的高度。

我
们可以通过求解f(x)的不定积分来确定曲线下的面积。

具体来说，我们可以将f(x)积分后得到的原函数F(x)称为面积函数，
它表示从x=0到任意点x的曲线下的面积。

通过计算F(b)-F(a)，我们可以求出在点x=a和x=b之间的面积。

2. 物理问题：考虑一个运动的物体，在给定的时间t内，它的
速度v(t)表示物体在不同时间点的速度。

我们可以通过求解
v(t)的不定积分得到物体的位移函数s(t)，它表示物体在不同
时间点的位移。

通过计算s(b)-s(a)，我们可以求出物体在时间
t=b和t=a之间的位移。

3. 经济问题：假设一个公司的产量函数是y=f(x)，其中x表示
生产的投入，y表示产出。

我们可以通过求解f(x)的不定积分
来确定生产函数的积累函数F(x)，它表示从投入为0到任意点
x的累计产出。

通过计算F(b)-F(a)，我们可以求出在投入x=a
和x=b之间的产出增量。

通过以上这些案例的演示教学，学生可以更好地理解不定积分的概念和应用，并且具备解决实际问题的能力。

不定积分在经济中的应用举例

经济数学
1. 引例
已知某边际成本函数C(q) 2 7 , 固定成本为5000
如何求总成本函数 C C(x) . 3 q2
?
已学过的边际函数：边际成本 MC C(x) 边际收入 MR R(x) 边际利润 ML L(x)
4.4 不定积分在经济问题中的应用
经济数学 2. 求解方法与步骤
方法：通过求不定积分的方法步骤： 1.对边际函数求不定积分；
(单位:件) , p 为单价(单位:元/件).又已知此种商品的边际成本
为 C(x) 10 0.2x,且C(0)=10,试确定当销售单价为多少时,总利润为最大,并求出最大总利润.
分析: (1)边际成本－即成本函数的导数;
(2)假设商品的需求量 x =商品的销售量 x ;
(3)利润=收益-成本
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
课堂小结 1.理解不定积分应用于已知边际函数求相应经济函数的意义。 2.掌握已知边际函数应用不定积分直接或间接地求出相应的经济函数。 3.应用不定积分知识解决经济中的实际问题。
经济数学
3. 方法应用
例5
解：由需求函数 x 100 5 p 得收益函数R:
R(x) xp 20 x 0.2x2
故边际利润为
Lx R(x) C(x)
20 0.4x (10 0.2x)
10 0.2x
令 L(x) 0 ，得 x 50
又 L(x) 0.2 0 故 x 50,即p 10 时,利润最大
C(x) 10 10 x 0.1x2. 故总利润函数为 L( p) 10 10 x 0.1x2. 所以当 x 50 时， p 10 时，总利润最大,最大利润为:240元.

不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法不定积分是高等数学中一个重要的概念，它可以用来求解各种形式的积分问题。

在求解不定积分的过程中，有一种常见的方法被称为“分部积分法”。

本文将从以下几个方面介绍不定积分的分部积分法：基本概念和原理、具体步骤、应用案例和进一步拓展。

一、基本概念和原理分部积分法的思想来源于乘法公式：$$(uv)'=u'v+uv'$$将乘法公式中的导数符号替换成积分符号，可得到分部积分公式：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$其中，$u$和$v$都是函数，$du$和$dv$分别是$u$和$v$的导数。

二、具体步骤以下为分部积分法的具体求解步骤：1. 将被积函数拆分成两个函数的乘积形式：$f(x) = u(x)v(x)$。

2. 选择其中一个函数作为$u$，另一个函数的导数作为$dv$。

常见的选择方式有按照函数的复杂程度或者按照它们的导数是否容易求解。

3. 对$u$求导数，得到$du$。

4. 对$v$求导数，得到$dv$。

5. 将$u$和$v$的导数代入分部积分公式中，即得到：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$6. 将上式中的各项代入，得到原式的新的积分式子，即：$$\int f(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$$7. 对于分部积分法所得的新式子，如果它的形式更为简单，那么就可以再次运用分部积分法进行求解。

三、应用案例以下为使用分部积分法解决典型积分问题的案例：1. 求解$\int x\ln x dx$解法：设$u=\ln x,dv=xdx$，则$du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$，代入分部积分公式可得：$$\int x\ln x \,dx=x\frac{x^2}{2}\,-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} \,dx=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$2. 求解$\int e^x\cos x dx$解法：设$u=e^x,dv=\cos xdx$，则$du=e^x,dv=\sin x$，代入分部积分公式可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-\int e^x\sin x \,dx$$再次应用分部积分法，可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\cos x \,dx$$两边移项，得到：$$\int e^x\cos x \,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$$四、进一步拓展分部积分法是求解不定积分的常见方法之一，在实践中可以根据具体问题灵活运用。

不定积分的应用

(8) sec2 xdx tan x C
换元积分法
f [(x)](x)dx f [(x)]d(x) f (u)du F (u) C F[(x)] C
例例1 1
2 cos 2 xdx cos 2 x (2 x)dx cos 2 xd (2 x)
一、不定积分在几何中的应用
案例1 【曲线方程】设曲线通过点（1,2）且曲线上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。 �� 解：设所求曲线方程为 y = f (x)�� 依题意f (x)是 2 x的一个原函数。
二、不定积分在物理中的应用

如果 t=0时开始结冰的厚度为0 即 y(0)=0代入上式得 C=0��
cos cos udu sin sin u C cos udu sin u C sin2 2 x C udu u C sin 2 x C sin x C
例 2 例
2
1 dx 1 1 (3 2x)dx 1 1 d (3 2x) 3 2x 2 3 2x 2 3 2x
三、不定积分在经济学中的应用
思考题不定积分在我们的生活中有哪些实际应用？��Fra bibliotek习题解答

第四节不定积分的应用
课程回顾：基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数)
(2) x dx
1 1 x C 1
(9) csc2 xdx cot x C
1 dx arctan x C 2 1 x 1 dx arcsin x C (11) 1 x 2 (10) (12) sec x tan xdx sec x C (13) csc x cot dx csc x C

不定积分的求解及相关应用

不定积分的求解及相关应用目录摘要一引言二不定积分的求解方法及所对应例题解析〔一〕基本公式法〔直接积分法〕〔二〕逐项积分法、因式分解法〔三〕“凑”微分法〔第一类换元法〕〔四〕第二类换元法〔参变量积分法〕〔五〕分部积分法〔六〕有理函数的积分〔七〕其他类型的积分举例三解不定积分的一般步骤四不定积分的应用举例（一）在几何中的应用（二）在物理中的应用（三）在经济学中的应用参考文献致谢【摘要】不定积分常见的计算方法在本科阶段可以归纳为七大类以及某些特殊不定积分的求解方法，如：基本公式法〔直接积分法〕、逐项积分法+因式分解法、换元积分法〔第一类换元法和第二类换元法〕、分部积分法、有理函数的积分以及一些特殊函数的积分技巧与方法〔三角函数有理式与简单无理函数的积分〕，并将结合实际例题加以讨论以便于解不定积分题目既能快捷又方便的寻找出最正确的解题方法。

〔英文摘要，暂略〕【关键词】不定积分基本公式法换元积分法分部积分法有理函数的积分三角函数有理式与简单无理函数的积分〔英文关键词，暂略〕一引言定积分的思想在古代就已荫芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成。

直到牛顿一莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进一步发展做出了巨大的奉献。

在初学定积分时，学生学习的困难较大，所以先引进求导的逆运算一一求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。

20世以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。

所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。

不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础。

不定积分的实际应用案例

不定积分的实际应用案例
案例名称：购物优惠券的价值估计
背景：
一家电商公司推出了一种购物优惠券，顾客可以在该电商平台使用优惠券抵扣购物金额。

公司希望通过数学模型来评估这种优惠券的实际价值，以便更好地制定促销策略。

问题：
该电商公司希望通过不定积分的方法来估计每张优惠券的平均价值，并与优惠券面额做对比。

公司认为，优惠券所带来的每张订单附加收入是该优惠券的价值。

他们决定使用不定积分来计算这个价值。

解决方案：
公司根据历史数据发现，顾客在使用优惠券后，平均下单金额是一个与购物金额成正比的函数。

假设这个函数为f(x)，其中x表示不打折时的购物金额。

为了计算优惠券的价值，公司决定将不定积分应用于该函数。

他们计算了不定积分
\int f(x)dx，其中积分变量x从0到无穷大。

这个不定积分表示的是，将所有可能的购物金额与下单金额的函数值乘积相加，从0到无穷大的总和。

通过计算此不定积分，公司确定了每张优惠券的平均价值。

然后，他们将这个平均价值与优惠券的面额进行比较，以评估优惠券的实际效果。

结论：
通过不定积分的实际应用，该电商公司成功估计了每张优惠券的平均价值，并基于这个价值制定了更好的促销策略。

这个案例表明，不定积分作为数学工具，可以在实际应用中发挥重要作用，帮助企业做出决策。

不定积分在经济问题中的应用教学课件ppt

增强竞争力
掌握不定积分可以增强个人在经济领域的竞争力，因为不定积分在经济问题求解中具有广泛的应用前景，掌握它可以更好地理解和解决各种经济问题。
THANKS
感谢观看
04
不定积分在经济学中的进一步应用
不定积分在供需理论中的应用
供需平衡
不定积分可用于求解供需平衡方程，通过分析需求和供应的变动，为政策制定者提供依据。
弹性分析
不定积分可以用于计算需求和供应对价格的弹性，帮助政策制定者理解价格的变动对市场的影响。
不定积分在货币政策中的应用
货币供应
不定积分可以用于计算货币供应函数，解释货币供应如何影响经济活动。
区域经济学
区域经济学研究区域经济发展和规划的规律，不定积分可以用来建立和分析区域经济发展的模型，解释区域经济现象，预测区域经济发展趋势。
不定积分在经济问题中的局限性
定积分更精确
定积分比不定积分更精确，可以用来求解具体的经济问题，而不定积分只能用来建立经济模型，不能直接求解经济问题的具体答案。
以找到边际利润，这是企业进行利润最大化决策的重要依据。
不定积分在经济学中的未来发展
未来发展方向
随着经济学理论的不断发展，未来不定积分在经济学中的应用将更加广泛。例如，随着大数据和人工智能技术的不断发展，未来不定积分在经济学中可以用来建立更加精确和复杂的模型，从而更好地解释现实经济现象。
未来应用前景
通过不定积分，我们可以求出成本函数的不定积分，即得到总成本函数。总成本函数是一个关于产量或规模的函数，通过求导数，我们可以得到边际成本函数。边际成本函数可以描述每增加一单位产量所增加的总成本，从而帮助企业找到最小成本点。
利用不定积分解决收益最大化问题

定积分与不定积分及其性质应用例题解析

§4 定积分的性质教学目的与要求：1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法.2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学重点，难点：1. 定积分的性质极其证明方法.2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学内容：一定积分的基本性质性质1 若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且()()b b kf x dx k f x dxa a =⎰⎰.（1）证当k=0时结纶显然成立. 当k 0≠时,由于()()11.,nniii i i i kf x kJk f x J ξξ==∆-=∆-∑∑其中J=(),χχd f a b⎰因此当f 在[a,b]上可积时,由定义,任给0,0,,T εδδ>><存在当时()1,ni i i f x J kεξ=∆-<∑从而 ()1.niii kf x kJξε=∆-<∑即kf 在［a,b ］上可积，且()().b bkf x dx kJ k f x dx a a ==⎰⎰性质２若f ﹑g 都在［a,b ］可积，则f g ±在［a,b ］上也可积，且()()()().b b bf xg x dx f x dx g x dx a a a β±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ （2）证明与性质１类同。

注1 性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为()()()(),bb ba f xg x d x a f x d x g x d xa a aββ+=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 其中a ﹑β为常数。

注2 在f ，g ，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积.在f ，g ，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]上不可积，则另外一个在[a,b]上必不可积.性质３若f ﹑g 都在［a,b ］上可积，则f ·g 在［a,b ］上也可积。

不定积分公式的妙用

例4. 计算重积分
| x|≤1, 0≤y≤2
|y − x2 |d xdy.
解. 由对称性可知
1 2
|y − x 2 |d x d y = 2
| x|≤1, 0≤y≤2 0
dx
0
|y − x2 |dy
2 3 4 1 |y − x2 | 2 sgn(y − x2 ) d x 0 3 0 1 3 4 (2 − x2 ) 2 + x3 d x = 3 0 π 1 16 4 = cos4 tdt + 3 0 3 π 5 = + . 2 3
1 0
x| x − a|d x .
| x − a|d x =
| x − a|2 sgn( x − a) + C, 2
得到
1
x| x − a|d x =
0
|1 − a|3 − |a|3 |1 − a|2 sgn(1 − a) + a2 sgn a +a . 3 2 |3 x − 4y|d xdy, 其中D = [0, 1] × [0, 1].
| x |α d x = | x|α+1 sgn x + C, α+1 | x|α+1 + C, α+1
| x|α sgn xd x =
其中α > 0为常数, C 为任意常数. 以下举几个例子, 以说明这两个公式, 尤其是第一个公式的运用. 例1. 求定积分解. 根据
( x − a)| x − a|d x = | x − a|2 sgn( x − a)d x = | x − a|3 + C, 3
例2. 计算重积分
D
1
解.
|3 x − 4y|d xdy =

不定积分的现实应用

不定积分的现实应用
不定积分在现实生活中的应用非常广泛，以下是一些例子：
计算曲线面积：不定积分可以用于计算曲线所包围的面积。

例如，如果需要计算曲线y = f(x)与x轴之间的面积，可以将曲线分成若干个小区间，然后对每个区间进行不定积分，最终将它们加起来就可以得到整个曲线所包围的面积。

求解定积分：通过不定积分可以得到函数的原函数，从而可以帮助我们更加轻松地求解定积分。

根据牛顿-莱布尼兹公式，只需要找出函数在积分区间两端点处的值，就可以求解定积分。

求函数的原函数：不定积分可以用于求函数的原函数，即反导数或不定积分。

通过在已知函数上进行逆运算，可以得到该函数的无穷多个原函数，这对于计算机科学、物理学等领域都具有重要意义。

解微分方程：微分方程是自然科学和工程学等领域中常见的一种数学模型。

通过求解微分方程，可以研究系统的性质和行为。

而通过不定积分，可以将微分方程转化为求解原函数的问题，从而为解决微分方程提供了一种有效的方法。

总的来说，不定积分在解决各种数学问题中都发挥着重要的作用，不仅在理论研究中有着广泛的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。

第四讲不定积分、定积分极其应用-打印版

a f ( x )dx 0 .

n
b
(a b)
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
则
b
c
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0, ( i 1,2,, n)
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
1 1 2 n 1 0, , , , , ,1 n n n n
1
B
t i t i t i 1
s v ( i )t i
i 1 n
si v( i )ti , i [ti 1 , ti ]
O
1 A
max{t1 , t 2 ,, t n }
b
b
f ( x )dx .
(a b)
a f ( x )dx
b
b
a g ( x )dx .
b
(a b)
f ( x) f ( x) f ( x) , a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx ,
即 f ( x )dx
第四讲不定积分、定积分极其应用积分中值公式的几何解释：
y
f ( )
使
a f ( x )dx
b
f ( )( b a ) .
b
(a b)
在区间[a , b]上至少存在一个点，使得以区间[a , b]为
底边，以曲线 y f ( x )
为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为
上的一点，
考察定积分
x
那末，对于 A与 B之间的任意一个数C，在开区间

不定积分典型例题

不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式.例1、求∫(1−1)x x dx x 234−54714解原式＝∫(x −x )dx =x 4+4x 4+C 7e 3x +1例2、求∫x dx e +1解原式＝∫(e 2x −e x +1)dx =例3、求∫12x e −e x +x +C 21dx 22sin x cos xsin 2x +cos 2x 11解原式=∫dx =dx +dx =tan x −cot x +C 2222∫∫sin x cos x cos x sin x例4、∫cos 2解原式＝∫x dx 2x +sin x 1+cos x dx =+C 22x 2例5、∫dx 21+x x 2+1−11dx =(1−解原式=∫∫1+x 2)dx =x −arctan x +C 1+x 2注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)∫f (x )dx =∫g [ϕ(x )]ϕ'(x )dx 凑成令ϕ(x )=u =∫g (u )du 求出=G (u )+C 还原=G [ϕ(x )]+C 在上述过程中，关键的一步是从被积函数f (x )中选取适当的部分作为ϕ'(x )，与dx 一起凑成ϕ(x )的微分d ϕ(x )=du 且∫g (u )du 易求.tan x dx cos x例1、求∫3−2sin x −d cos x =−∫(cos x )2d cos x =+C dx =∫解原式＝∫cos x cos x cos x cos x cos x例2、求∫arcsin xx −x 2dx解原式=∫arcsin x1−x ⋅1x dx =∫2arcsin x1−(x )2d (x )=2∫arcsin xd (arcsin x )=(arcsin x )2+C注1dx =2d (x )x1−x9−4x 2 例3、求∫dx1−1d (2x )12 解原式=∫+∫(9−4x )2d (9−4x 2)232−(2x )28=12∫2d (x )11213+9−4x 2=arcsin x +9−4x 2+C 423421−(x )23例4、求∫tan 1+x 2⋅x1+x 2dx解原式＝∫tan1+x 2d 1+x 2=−ln |cos 1+x 2|+C 例5、求∫x x −x −12dxx (x +x 2−1)22dx =x dx +x x −1dx 解原式＝∫2∫∫x −(x 2−1)3x 31x 31222=+∫x −1d (x −1)=+(x −1)2+C 3233例6、求∫1dx 1+tan xcos x 1cos x −sin x )dx dx =∫(1+sin x +cos x 2cos x +sin x解原式＝∫=1⎡1⎤1++(cos sin )x d x x =(x +ln |cos x +sin x |)+C ∫⎢⎥2⎣cos x +sin x ⎦211+x ln dx 1−x 21−x11+x 1+x 121+x ln (ln +C )d ln =∫21−x 1−x 41−x例7、求∫ 解原式＝例8、求∫1dx x e +1e x 1+e x −e x dx =∫dx −∫dx 解原式＝∫e x +11+e x=∫dx −∫1x x d (1+e )=x −ln(1+e )+C x1+e例9、求∫1dx e x +e −xe x 1 解原式＝∫2x dx =∫d (e x )=arctan e x +C x 2e +11+(e ) 例10、求∫sin x dx 1+sin x11−sin x )dx =∫dx −∫dx 21+sin x cos x解原式＝∫(1−=x −∫1sin x dx +dx =x −tan x +sec x +C 22∫cos x cos x例11、求∫dx x 2−3ln x−12 解原式=∫(2−3ln x )d (ln x )1111(2−3ln x )2+C =∫(2−3ln x )(−)d (2−3ln x )=−⋅33−1+12−12=−22−3ln x +C 31dx a 2sin 2x +b 2cos 2x1b 2+a 2tan 2x d (tan x )=11a (tan x )d ab ∫1+(a tan x )2b b例 12、求∫ 解原式＝∫=1a arctan(tan x )+C ab bx 4+1dx 例13、求∫6x +1(x 2)2−x 2+1x 2x 4−x 2+1+x 2dx +∫32dx dx =∫解原式＝∫(x 2)3+1(x )x 6+1=∫111133dx +dx =arctan x +arctan x +C 232∫1+x 31+(x )3例14、求∫1dx x (1+x 8)1+x 8−x 811x 78=−dx dx dx 解原式＝∫=ln |x |−ln(1+x )+C 88∫x ∫1+x x (1+x )8例15、求∫3x −2dx x 2−4x +53d (x 2−4x +5)1+4∫2 解原式＝∫2dx 2x −4x +5x −4x +5d (x −2)3ln |x 2−4x +5|+4∫22(x −2)+13ln |x 2−4x +5|+4arctan(x −2)+C 2== 注由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形1dx 的积分(将分母配方，再凑微分).如∫2ax +bx +cx 2 例16、已知f (x −1)=ln 2，且f [ϕ(x )]=ln x ，求∫ϕ(x )dx .x −22x 2−1+1x +1 解因为f (x −1)=ln 2，故f (x )=ln ，又因为x −1−1x −12f [ϕ(x )]=ln ϕ(x )+1ϕ(x )+1x +1=ln x ，得=x ，解出ϕ(x )=，从而ϕ(x )−1ϕ(x )−1x −1∫ϕ(x )dx =∫ 例17、求∫x +12dx =∫(1+)dx =x +2ln |x −1|+C x −1x −11dx cos 4x1 解原式=∫sec 2xd tan x =∫(1+tan 2x )d tan x =tan x +tan 3x +C 3例18、求∫1+ln x dx 22+(x ln x ) 解原式＝∫1d (x ln x )x ln x arctan(=)+C 2+(x ln x )222三、第二类换元法设x =ϕ(t )单调可导，且ϕ'(t )≠0，已知∫f [ϕ(t )]ϕ'(t )dt =F (t )+C ，则∫f (x )dx 令x =ϕ(t )=∫f [ϕ(t )]ϕ'(t )dt =F (t )+C t =ϕ−1(x )还原=F [ϕ−1(x )]+C选取代换x =ϕ(t )的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号)，同时使∫f [ϕ(t )]ϕ'(t )dt 易于计算.例1、求∫xdx(x +1)1−x 22 解令x =sin t ,dx =cos tdt原式＝∫111sin t cos tdt d cos t (=−)d cos t =−+22∫∫(sin t +1)cos t 2−cos t 222−cos t 2+cos t2+cos t 12+1−x 2ln +C =−+C ln =−2222−cos t 222−1−x 1例2、求∫dxx41+x2解令x=tan t,dx=sec2tdtsec2tdt cos3tdt1−sin2t原式＝∫=∫=∫d sin t=∫(sin−4t−sin−2t)d sin t 444tan t⋅sec t sin t sin t(1+x2)3(1+x2)111++C=−++C=−333sin t sin t3x xx2−9dxx2例3、求∫解令x=3sec t，则dx=3sec t⋅tan tdt3tan t tan2t原式＝∫⋅3sec t⋅tan tdt=∫dt=∫(sec t−cos t)dt29sec t sec t=ln|sec t+tan t|−sin t+C1x x2−a2x2−a2=ln+−+C1a a xx2−a2+C=ln x+x−a−x22例4、求∫1dxx(x7+2)11 解令x=，则dx=−2dt，t t1t 6117 原式=∫(−2)dt =−∫dt =−d (1+2t )77∫11+2t 141+2t +2t 7t t 111ln |1+2t 7|+C =−ln |2+x 7|+ln |x |+C 14142=− 注设m ,n 分别为被积函数的分子，分母关于x 的最高次数，当n −m >1时，可用倒代换求积分.例5、求∫x +1x 2x −12dx11 解令x =，dx =−2dt t t 1+111+t 1d (1−t 2)t (−2)dt =−∫dt =−∫dt +∫ 原式=∫222t 111−t 1−t 21−t −1t 2t 2=−arcsin t +1−t +C =2x 2−11−arcsin +C x x例6、求∫x 3x −x 24dxt 10⋅t 4t 6t 1411解原式=11∫83⋅12t dt =12∫5dt =12∫5dt dx =12t dt t −t t −1t −1令12x =t t 10−1+14121121212⋅t dt =∫(t 5+1+5)dt 5=t 10+t 5+ln |t 5−1|+C =12∫5t −15t −1105561212=x 6+x 12+ln x 12−1+C 555555例7、求∫dx1+e x解令1+e x =t ，e x =t 2−1，dx =2t dt 2t −112t 1t −11+e x −1原式＝∫⋅2dt =2∫2dt =ln +C =ln +C x t t −1t −1t +11+e +1ln x dx x 1+ln x例8、求∫解令t =1+ln x原式=∫ln x t −1d ln x =∫dt 1+ln x t112322=∫(t −)dt =t −2t 2+C =(ln x −2)1+ln x +C 33t例9、求∫x +1−1dx x +1+1解令x +1=t ,x =t 2−1,dx =2tdt因为原式=∫x +2−2x +1x +1dx =x +2ln |x |−2∫dx x x而∫x +12t 2dt 1dx =∫2=2∫(1+2)dt x t −1t −1t −1x +1−1+C =2x +1+ln +C t +1x +1+1=2t +ln原式＝x +2ln |x |−4x +1−2ln x +1−1+C ＝x −4x +1+4ln x +1+1+C x +1+1四、分部积分法分部积分公式为∫uv 'dx =uv −∫u 'vdx 使用该公式的关键在于u ,v '的选取，可参见本节答疑解惑4.例1、求∫x 3e x dx解原式＝∫x 3de x =x 3e x −3∫x 2de x =x 3e x −3x 2e x +6∫xde x =x 3e x −3x 2e x +6xe x −6e x +C例2、求∫x 2cos 2解原式=x dx 2121312x (1+cos x )dx =x +∫x cos xdx ∫262=131211x +∫x d sin x =x 3+x 2sin x −∫x sin xdx 6262131211x +x sin x +∫xd cos x =x 3+x 2sin x +x cos x −∫cos xdx 62621312x +x sin x +x cos x −sin x +C 623==例3、求∫e x dx令3x =t 解原式dx =3t 2dt=3∫t e dt =3∫t de 2t 2t =3t 2e t −6te t +6e t +C=33x 2e 3x −63xe 3x +6e 3x +C例4、求∫cos(ln x )dx解原式=x cos(ln x )+∫sin(ln x )dx=x cos(ln x )+x sin(ln x )−∫cos(ln x )dxx移项，整理得原式=[cos(ln x )+sin(ln x )]+C2注应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：αxe ∫cos βxdx 或αxe ∫sin βxdx例5、求∫ln(x +1+x 2)dx解原式=x ln(x +1+x 2)−∫x 1+x 2dx =x ln(x +1+x 2)−1+x 2+Cln 3x例6、求∫2dx x 1ln 3x 1 解原式＝=∫−ln xd ()=−−3∫ln 2xd ()x x x3ln 3x ⎡ln 2x 1⎤ln 3x 3ln 2x 6ln x 6−3⎢+2∫ln xd ()⎥=−−−−+C=−x x ⎦x x x x ⎣x例7、推导∫1dx 的递推公式22n(x +a ) 解令I n =∫1dx (x 2+a 2)nx x 2+a 2−a 21x 2I n =2n +dx 222=+−nI na dx n 2n 22n +122n 22n +1∫∫(x +a )(x +a )(x +a )(x +a )=x 2+2nI −2na In +1n 22n(x +a )I n +1=12na 2⎡⎤x(2n 1)I +−n ⎥⎢(x 2+a 2)n ⎣⎦⎡⎤x(2n 3)I +−n −1⎥⎢(x 2+a 2)n −1⎣⎦I n =12(n −1)a 2例8、推导I n=∫tan n xdx 的递推公式.解I n=∫tan n −2x ⋅tan 2xdx =∫tan n −2x ⋅(sec 2x −1)dx=∫tan n −2x ⋅sec 2xdx −∫tan n −2xdx =∫tann −2xd (tan x )−In −2=1tan n −1x −I n −2n −1注应用分部积分法可以建立与正整数n 有关的一些不定积分的递推公式.例9、已知f (x )的一个原函数是e −x ，求∫xf '(x )dx解原式=∫xdf (x )=xf (x )−∫f (x )dx =xf (x )−e −x +C例10、求∫x arctan x ln(1+x2)dx解因为∫x ln(1+x 2)dx ==221ln(1+x 2)d (1+x 2)∫211(1+x 2)ln(1+x 2)−x 2+C 221⎤⎡1所以原式＝∫arctan xd ⎢(1+x 2)ln(1+x 2)−x 2⎥2⎦⎣211⎡x 2⎤2222=(1+x )ln(1+x )−x arctan x −∫⎢ln(1+x )−2⎥22⎣1+x ⎦[]=13x arctan x (1+x 2)ln(1+x 2)−x 2−3−ln(1+x 2)+x +C 222[]注本题是三类函数相乘的形式，这类问题大多采用本题的方法.xe arctan xdx 例11、求∫2(1+x )解令x =tan t ,dx =sec 2tdttan t ⋅e t sec 2tdt =∫sin t cos te t dt 原式=∫4sec te arctan x (x 2+x −1)11t t +C =∫sin 2te dt =e (sin 2t −cos 2t )+C =25(1+x )210x 2arctan xdx 例12、求∫21+x 解原式＝∫(1−11=−)arctan xdx arctan xdx ∫∫1+x 2arctan xdx 1+x 211=x arctan x −ln(1+x 2)−(arctan x )2+C22arcsin x 1+x 2⋅dx 例13、求∫22x 1−x 解令x =sin t ,arcsin x =t ,dx =cos tdt ，t (1+sin 2t )t cos ⋅tdt = 原式=∫∫sin 2tdt +∫tdt sin 2t cos t=td (−cot t )+∫121t=−t cot t +∫cot tdt +t2221=−t cos t +ln |sin t |+t 2+C21−x 21=−arcsin x +ln |x |+(arcsin x )2+Cx 2注直接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分最重要的方法，主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧，同时应注意这些方法的综合运用.五、有理函数的积分有理函数的积分总可化为整式和如下四种类型的积分：(1)∫Adx =A ln |x −a |+C x −a−AA 1dx =+C (n ≠1)n n −1(x −a )n −1(x −a )(2)∫(3)∫dx dx dx =∫⎡p 4q −p 2⎤n(x 2+px +q )n 2⎢(x +)+⎥24⎣⎦p令x +＝u24q −p 2令＝a 4=du 22n∫(u +a )2(4)∫(x +a )dx 11p dx()dx a =−+−,其2n 2n −12n∫(x +px +q )2(n −1)(x +px +q )2(x +px +q )中p 2−4q <0.这就是说有理函数积分，从理论上讲，可先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后逐项积分，但这样做有时非常复杂，因此我们最好先分析被积函数的特点，寻求更合适，更简捷的方法也是很必要的.例1、求∫dx2x −2x +31dx d (x −1)x −1arctan ==+C(x −1)2+2∫2+(x −1)222解原式＝∫x 2+5x +4例2、求∫4dx 2x +5x +4x 2+4x解原式＝∫2dx +5dx222∫(x +1)(x +4)(x +1)(x +4)dx 5dx 25112=∫2arctan x ()dx +∫2=+−222∫x +12(x +1)(x +4)6x +1x +45x 2+1+C=arctan x +ln 26x +4本题若用待定系数法，较麻烦一些，也可获得同样的结果.事实上，x 2+5x +4Ax +B Cx +D 设4=2+2，通分后应有2x +5x +4x +1x +4x 2+5x +4=(Ax +B )(x 2+4)+(Cx +D )(x 2+1)得A +C =0，B +D =0，4A +C =5，4B +D =4比较等式两端x 的同次幂的系数，55由此，A =,B =1,C =−,D =−1335⎡5⎤−−+11x x ⎢3⎥5x 2+13+2+arctan x +C 故原式＝∫⎢2⎥dx =ln 2x +4⎥6x +4⎢x +1⎣⎦例3、求∫解设xdx3x −1x A Bx +C2=+，通分后应有x =A (x +x +1)+(Bx +C )(x −1)32x −1x −1x +x +1比较等式两端x 的同次幂的系数，得A +B =0,A −B +C =1,A −C =0，由此，111A =,B =−,C =333⎡1⎤x −1故原式＝∫⎢dx −⎥2⎣3(x −1)3(x +x +1)⎦1d (x +)1dx 12x +112dx +∫=∫−∫23x −16x +x +12(x +1)2+324(x −1)212x +11=ln 2+arctan +C 6x +x +133例4、求∫dx24x (1−x )(x 2+1)−x 211解原式＝∫2dx dx =−∫x 2(1−x 2)∫(1−x 2)(1+x 2)dx x (1−x 4)=∫(11111+−+)dx ()dx x 21−x 22∫1−x 21+x 211111=−+∫−dx dx 22∫21+x x 21−x 111+x 1−arctan x +C=−+ln x 41−x 2注：本题若用待定系数法，应当将被积函数分解为A B C D Ex +F11==++++x 2(1−x 4)x 2(1−x )(1+x )(1+x 2)x x 21−x 1+x 1+x 2然后再确定系数，显然这样做比较麻烦，也可获同样结果，此处从略.x 11dxdx 例5、求∫8x +3x 4+3解令x 4=u ，则du =4x 3dx ，于是，u 21411−原式=∫2du =∫(1+)du u +1u +24u +3u +241x 41=(u +ln |u +1|−4ln |u +2|+C )=+ln(1+x 4)−ln(x 4+2)+C 444x 5例6、求∫dx23(2x +3)解令2x 2+3=t ,x 2=t −3,4xdx =dt ，从而，2(t −3)21169原式＝∫dt =(−2+3)dt 3∫4⋅4t 16t t t 169169(ln |t |+−2)+C =[ln |2x 2+3|+2−]+C 221616t 2t 2x +32(2x +3)=x 4dx 例7、求∫4x +5x 2+4x 4−(5x 2+4)解4=1+4x +5x 2+4x +5x 2+4−(5x 2+4)A 1x +B 1A 2x +B2设4=2+2，通分后应有x +5x 2+4x +1x +4−(5x 2+4)=(A 1x +B 1)(x 2+4)+(A 2x +B 2)(x 2+1)116由此，A 1=0,B 1=,A 2=0,B 2=−，故33⎡18116⎤xdx −原式＝∫⎢1+arctan arctan =x +x −+C ⎥223(1)3(4)++x x 332⎣⎦例8、求∫dx 102x (x +1)x 10+1−x 10x 911==−10解由于102102102x (x +1)x (x +1)x (x +1)(x +1)1x 9x 9=−10−102x (x +1)(x +1)⎤⎡1x 9x 91d (x 10+1)1d (x 10+1)dx =ln |x |−∫10原式＝∫⎢−10−∫10−102⎥2x x x (1)(1)10x +110(x +1)++⎦⎣111x 10110=ln |x |−ln(x +1)++C =ln ++C10x 10+110(x 10+1)1010(x 10+1)注对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化，常见的初等变形有：分子分母同乘一个因子；有理化；加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.六、三角函数有理式的积分一般从理论上讲，三角函数有理式的积分∫R (sin x ,cos x )dx 可通过万能代换x化为代数有理式的积分，但有时较繁，因此我们常采用三角恒等变形，2然后再求解.t =tan 例1、求∫dx4sin x cos xsin 2x +cos 2x sin x dx dx dx =+解原式＝∫442∫∫sin x cos x cos x sin x cos x=−∫=sin x dx1d (cos x )dx ++∫cos 2x ∫sin xcos 4x x 111d (cos x )x −+ln |tan |=++ln |tan |+C 3cos 3x ∫cos 2x 23cos 3x cos x 2例2、求∫1+sin xdxx x x x +cos 2+2sin cos dx2222解原式＝∫sin 2=∫(sin x x x x x x+cos )2dx =∫(sin +cos )dx =−2cos +2sin +C222222例3、求∫dx2sin x −cos x +5x 2t 1−t 22dt,cos x ,dx ==，于是解令t =tan ，则sin x =22221+t 1+t 1+t x ⎞⎛3tan +1⎟⎜11dt ⎛3t +1⎞2⎟+C 原式＝∫2arctan ⎜arctan ⎜=⎟+C =3t +2t +2555⎜⎟⎝5⎠⎜⎟⎝⎠例4、求∫sin xdx 1+sin xsin x (1−sin x )sin x 1−cos 2xdx =∫dx −∫dx 解原式＝∫cos 2x cos 2x cos 2x=1−tan x +x +C cos xsin xdx sin x +cos x1sin x +cos x +sin x −cos x 1⎛sin x −cos x ⎞dx =⎜1+⎟dx ∫∫2sin x +cos x 2⎝sin x +cos x ⎠例5、求∫解原式＝=11−d (sin x +cos x )1x +∫=(x −ln |sin x +cos x |)+C 22sin x +cos x 2例6、求∫sin 5x cos xdx解原式＝111[sin 4x +sin 6x ]dx =−cos 4x −cos6x +C 2∫812注积化和差公式1sin αx ⋅cos βx =[sin(α+β)x +sin(α−β)x ]21sin αx ⋅sin βx =[cos(α−β)x −cos(α+β)x ]21cos αx ⋅cos βx =[cos(α+β)x +cos(α−β)x ]2例7、求∫dx2(2+sin x )cos x解令sin x =t ,cos xdx =dt1(2+t 2)+(1−t 2)dt =于是原式＝∫dt(2+t 2)(1−t 2)3∫(2+t 2)(1−t 2)=1dt 111+t 1dt tln +=+arctan()+C 22∫∫31−t 32+t 61−t 32211+sin x 1sin xarctan(=ln +)+C 61−sin x 322注形如∫R (sin x ,cos x )dx 的有理函数的积分，一般可利用代换tan 为有理函数的积分.(i) 若R (−sin x ,cos x )=−R (sin x ,cos x )或R (sin x ,−cos x )=−R (sin x ,cos x )成立，最好利用代换cos x =t 或对应的sin x =t .(ii) 若等式R (−sin x ,−cos x )=R (sin x ,cos x )成立，最好利用代换tan x =t .x=t 化2例8、求∫sin xdx sin 3x +cos 3x解令tan x =t ，则sec 2xdx =dt ，于是t 1(1+t )2−(1−t +t 2)1t +11dt dt =dt =dt −原式＝∫1+t 33∫(1+t )(1−t +t 2)3∫1−t +t 23∫1+t 112t −11arctan()−ln |1+t |+C ＝ln(t 2−t +1)+63332tan x −11tan 2x −tan x +11+arctan()+C ＝ln 26(1+tan x )33 21。

不定积分的基本公式与运算法

易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
小结：小结：
1．不定积分的基本公式：10个公式，要熟记； 2．不定积分的基本运算法则：（1）
∫ [ f ( x) ± g ( x)] d x = ∫ f ( x) d x ± ∫ g ( x) d x
（2） ∫ kf ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x ( k ≠ 0) 3．直接积分法。
2 x2 dx. 例4 求 ∫ 2 1+ x 2 x2 1 + x2 1 d x = 2∫ dx 解 ∫ 2 2 1+ x 1+ x
1 = 2 ∫ 1 dx 2 1+ x
= 2 x 2arctan x + C
湖
南
对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
得
1 2 s=t t . 6 将 t = 3 代入上式，得 1 2 s = 3 × 3 = 1.5. 6
即列车在离站台1.5公里处开始制动.
湖
南
对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
例6 已知某种商品的最大需求量为A（即价格为0时的需求量），有关部门给出这种商品的需求量Q的变化

不定积分内容提要与典例

03
不定积分的常见问题与解法
被积函数中含有根号的问题
总结词
处理被积函数中含有根号的问题，需要利用换元法或分部积分法进行求解。
详细描述
对于被积函数中含有根号的情况，通常采用的方法是换元法。通过引入新的变量，将根号内的表达式表示为新变量的函数，从而将原不定积分转化为容易求解的形式。另一种方法是分部积分法，通过将根号内的函数与适当的幂函数进行分部积分，从而消除根号，简化积分过程。
THANKS感谢观看分部积分法总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别对这两个函数进行不定积分，最后将结果相加得到原函数的不定积分。
详细描述
分部积分法是将不定积分转化为乘积形式，然后对乘积中的每个函数分别进行不定积分，最后将结果相加得到原函数的不定积分。这种方法适用于被积函数为乘积形式的情况，通过分部积分法可以简化计算过程。
04
不定积分的应用典例
利用不定积分求导数
总结词
不定积分是求导数的逆运算，通过不定积分可以找到函数的原函数，进而求得函数的导数。
详细描述
不定积分在数学分析中有着重要的地位，它是求导数的逆运算。给定一个函数，不定积分可以找到该函数的原函数，即不定积分的结果是一个函数族，这些函数在某一点处的导数等于被积函数。因此，通过不定积分可以求得函数的导数。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表示为有理函数的形式，然后利用有理函数的性质和公式进行不定积分。
VS
详细描述
有理函数的积分法是将被积函数表示为有理函数的形式，然后利用有理函数的性质和公式进行不定积分。这种方法适用于被积函数为有理函数的情况，通过有理函数的性质和公式可以简化计算过程。

不定积分换元法的教学案例

高等数学课程是高职院校理科学生的必修课程。

通过该课程的学习，使学生在专业课的学习中储备了必须的基础知识，同时提高了运用数学概念、思想和方法研究事物的数学关系的能力，提高了思想和观点的逻辑性、准确性，增强了自身的科学素养，培养了学生的自我学习能力。

是学生创新能力形成，最终养成良好的思维品质的一种重要途径。

而微积分是数学的核心内容，学生只有“消化吸收”，才能在以后的数学学习中做到得心应手。

分层教学法[1]是“因材施教”理念的良好体现。

它是指在学生知识基础和非智力因素存在明显差异的情况下，教师有针对性地实施分层教学，从而达到不同教学层次、教学目标的一种教学方法。

分层教学有利于每个学生自主性、探索性和创造性的潜能发挥，真正为每位学生未来的发展夯实基础。

本文采用“分层教学法”对“换元积分习题课”一节进行教学设计，课堂反应良好，教学效果较为满意。

一、教学设计理念一般教材都是基于“直接利用基本积分公式或适当改变被积函数后再利用基本积分公式能够计算的积分是有限的，故需进一步探讨求积分的其他计算方法”引入积分换元方法的学习内容的。

本次积分习题课程是依据“分层教学法”的理念讲授不定积分换元法的教学案例杨镛（延安职业技术学院，陕西延安716000）摘要：数学教学是师生互动的数学思维的行为活动。

教师在教学中要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于学生在数学课程的学习中，提高自身分析解决问题的能力。

针对积分换元方法这一教学目标，采用“分层教学法”来进行教学设计，课堂反应良好，得到满意的教学效果。

关键词：分层教学法；积分换元法；高职院校中图分类号：G642.4文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）18-0244-03师：像这样，在研究一种条件对研究对象的影响时，所进行的除了这种条件不同以外，其他条件都相同的实验为对照实验（概念）。

本实验是一个对照实验，实验变量是光，实验组是有光环境，对照组无光环境。

师解释：实验组就是施加实验变量处理的被试组，反之为对照组。