航天器动力学09-轨道转移a_13500363分解
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2018年10月23日星期二 Page 11
例：要调整轨道偏心率，应选择在何处进行变轨 （效率最高）？ 根据拉普拉斯积分，有：
r v (r v ) e r r
利用 r rr
vh
r (rr ) r r r r r
2018年10月23日星期二 Page 12
2018年10月23日星期二 Page 21
霍曼转移轨道虽然节省能源，但完成轨道转移所需要 的时间最长，至少为转移轨道周期的一半，为：
r1 r2 T Tt 2
1 2
1.5
设原轨道高度为200公里， 要转移到地球同步轨道， 所需时间为： a1=6378+200=6578km a2=42164km =3.986*105km3/s2 T>5.26Hour
（过渡）
（过渡）
（1）
（2）
（2）
2018年10月23日星期二
（1）
Page 23
v2
v2
vAt
A
1
v1 v
P （过渡）
（过渡）（1）
（ 1）
（2）
vPt
1
（2）
设两圆轨道平面夹角为。
第一次脉冲得到的过渡轨道与原轨道（1）夹角为1， 第二次脉冲将过渡轨道平面改变（ － 1 ）。
e 2 e (e r ) e v v
2018年10月23日星期二
e 2 (e cos ) v v
Page 13
e 2 (e cos ) v v
e e 2 (1 e) 0 v max v 0 v e e 2 (1 e) 0 v min v v
(1 e ) 飞行角1为： cos 1 2r v 2 ( r v 2 ) 2 1 1 11
2 0 2
2018年10月23日星期二
0 .5
Page 10
由此可求出脉冲速度增量大小为：
v (v v 2v0v1 cos(0 1 ))
2018年10月23日星期二 Page 19
霍曼变轨的特点是：两次都是切向变轨，不含 径向分量。第一次变轨将圆变为椭圆；第二次变轨 将椭圆变为圆。 设内圆轨道半径和速度为r1、v1。外圆轨道半径 和速度为r2、v2。则霍曼椭圆转移轨道半长轴和偏心 率为：
1 a (r1 r2 ) 2
r1
r2
2 0 2 1
0.5
一个问题：如何使 v 尽可能小（节省能源）？
v E 2 r1 2a1
2 1
2 v a r
2
2v v
a
2
a
v
2va
2
a
根据动量矩守恒，近地点速度最大，在 a一定 的情况下，在近地点修正轨道所需的脉冲速度最小。
0 0 0 f1 arctan 2 0 ,180 r1v1
如 r1v12 如 r1v12 如 r1v12
2018年10月23日星期二
r1
v1
则 e=0, f1不确定
则 f1＝0，变轨点成为近地点。
则 f1＝1800，变轨点成为远地点。
Page 9
第二章 航天器轨道的控制
§2.1 单脉冲变轨 §2.2 双脉冲变轨－－霍曼变轨 §2.3 双脉冲变轨－－拱线变轨
本章基本假设：航天器的推进系 统是间歇的，其工作时间与轨道 周期相比是相当短暂的。因此航 天器的轨道变化可视为脉冲变轨 方式，即速度有突变增量，但不 引起航天器的径向变化。
2018年10月23日星期二 Page 1
例：要调整轨道半长轴（周期），且不改变轨道的 偏心率。应选择多大的变轨速度？方向？ 设变轨点 r1 、半长轴 a1 已知。根据能量积分，有：
v E 2 r1 2a1
2 1
2 1 1 2
2 v1 r a 1 1
0.5
rv 2 2 e1 e0 1 cos 1 sin 1
N
v1
v
v0
v
2 v0 v12 2v0 v1 cos i
若i
60°且 v0 v1
则要求：v v0
Page 16
2018年10月23日星期二
（2）改变轨道倾角i、升交点角。
cos i cosi0 cosi1 sin i0 sin i1 cos
sin sin i1 sin / sin i
vAt
A
v2
（过渡）（1）
v1 v
P
vPt
1
特征速度为： v v1 v2
( v) ( v1 ) ( v2 ) 1 1 1 1
2 1
（2） 1 （过渡）
2 2
4。单次脉冲变轨的另一特点是：变轨前后的轨道一 定有交点。
因此，如果希望新的轨道与原有轨道完全不同， 采用单脉冲变轨方式就不行了。
2018年10月23日星期二 Page 18
§2.2 双脉冲变轨－－霍曼变轨
双脉冲变轨可以使新的轨道完全脱离原有轨道。 在两个共面圆轨道之间的最佳变轨方式为霍曼变 轨；在两个圆轨道之间的最佳过渡轨道是霍曼椭圆， 此椭圆分别与两个圆轨道相切，切点就是过渡轨道的 近地点和远地点。 为什么霍曼变轨是最佳变 轨呢？详细内容可参考文 献：Marec J P. Optimal space trajectories. Elsevier scientific publishing company,1979.
r2 r1 c 1 2 (r 1 r2 ) r 1 e 1 a r1 r2 2 (r 1 r2 )
2018年10月23日星期二 Page 20
两次脉冲速度增量分别为：
v2
v2
v1 r 1 v2 r 2
va速度小
e减小，更圆
速度增量
e增加，更扁 vp速度大
2018年10月23日星期二
Vp比Va更 大，更扁
Page 15
非共面情况
单脉冲变轨除了在同一平面内变轨，还可使新轨道 与原轨道不共面，或称为改变轨道倾角。 （1）仅仅改变轨道倾角i。 最佳变轨点在两轨 道相交的节点。脉 冲速度增量为： i0 i1 O
i1
O 表示了在何处 来自百度文库行变轨。
2018年10月23日星期二
v1
v
v0
i0
0
N0 N1
Page 17
小结
单脉冲变轨的特点是：
1。新轨道只与射入参数 r1、v1有关。
2。在近地点变轨可使椭圆轨道变扁 。在远地点变 轨可使椭圆轨道变圆。
3。单次脉冲可以修正轨道的半长轴（周期）、偏心 率、轨道倾角、升交点角。可以同时修改，也可 独立修改。
2018年10月23日星期二 Page 8
特殊情况
rv e1 1 cos 2 1 sin 2 1
2 1 1 2
r1v12 cos 1 sin 1 f1 arctan 2 r1v1 cos2 1
如脉冲增量使变轨速度 v1 的飞行角 1＝0，则有：
e减小，更圆
e增加，更扁
因此，椭圆轨道要变扁，在近地点变轨可使速度 增量为最小。椭圆轨道要变圆，在远地点变轨效 率最高。 原因是，在近地点或远地点，脉冲速度增量与原 速度方向一致，矢量相加，方向一致时结果最大
2018年10月23日星期二 Page 14
直观解释：
va速度小
速度增量 vp速度大
Vp与Va接 近，更圆
t1 t0
r1 r0
1 0
新的轨道要素完全 由轨道参数 r1，v1 确定。
2018年10月23日星期二
r0
v
Page 4
定义参数：
飞行角 1：卫星飞行速度 v1 与当地水平线的夹角。 轨道拱线转角 : 两轨道半长轴的夹角 共面情况 对于共面变轨， 轨道平面不变，所以 轨道倾角i、升交点赤 经 不变。
0.5
2r 0.5 2 r r 1 1 2 2r 0.5 1 1 r r 1 2
v1
0.5
v1
两次脉冲速度增量之和称为特征速度。由于速度 与推进剂使用量有关，所以特征速度反映了推进 剂的使用多少，是进行优化的一个指标。
2018年10月23日星期二
v0
1
v1
r0
v f0 f1
Page 5
v12 根据能量守恒 E 2 r1 2a1
根据动量矩定理
r1 a1 2 2 r1v1
v0
h r1v1 cos 1
2
p1
h
2 1
1
r v cos 1
2 2 1 1
1
r0
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§2.1 单脉冲变轨
已知航天器在 某一时刻 t0 的位置 r0 和速度 v0 。
在该时刻施加 脉冲式速度增量 v 之后，航天器进入 另一轨道。
v0
v1
r0
v
2018年10月23日星期二
Page 3
设下标 0 表示脉冲变轨前一瞬时航天器的运动 参数，下标 1 表示脉冲作用后的新的运动参数，两 组参数满足以下关系： v1 v0
r v (r v ) e r r
vh
r r r r r
求偏导
e 1 v v (r v ) v r v v v
e 2 v 2v h 2 (r v ) (e r ) v v v v
2018年10月23日星期二
v2
v2
v1
v1
Page 22
霍曼变轨原则可推广到非共面圆轨道间的变轨。霍曼椭圆 过渡轨道的主轴与两轨道平面的相交线一致，椭圆的近、 远地点分别与两圆轨道相接，椭圆过渡轨道平面介于两圆 平面之间，两次脉冲不仅改变轨道的半长轴，还改变轨道 平面的倾角。 （1） （2） （过渡）
设椭圆轨道的近地点为P，远地点为A，两次脉 冲速度增量为 v1 、 v2 。 通过选取不同的 1 ，可以得到不同的特征速度 v 。令特征速度为最小，可求出最佳的第一脉冲 的轨道变化角。
2018年10月23日星期二 Page 24
v2
2 v12 v12 vPt 2v1vPt cos1 2 2 2 v2 v2 v At 2v2 v At cos( 1 )
p1
2 1 1
h12
1
r v cos 1
2 2 1 1 2
rv p1 e1 1 1 cos 2 1 sin 2 1 a1
2
r v cos 1 sin 1 f1 arctan 2 r v cos 1
2 1 1 2 1 1
从上面公式看，轨道半长轴和偏心率与r1、v1、1三个 量有关。因此，可以通过这三个量的组合，使单次脉 冲可以独立修正轨道的半长轴（周期）和偏心率。
v1
根据几何性质
p a(1 e )
2
v f0 f1
p1 e1 1 a1
2018年10月23日星期二
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p r 1 e cos f
1 p cos f 1 e r
p sin f f 2 r er v1 sin 1 r1
v1 cos 1 r1 f1
p1r1 1 sin f1 2 e1r1 f1 e1
p1
v1 sin 1
r1v12 cos 1 sin 1 f1 arctan 2 r1v1 cos2 1
2018年10月23日星期二 Page 7
r1 a1 2 r1v12
轨道控制可分为两类：
1.轨道改变、轨道转移
原轨道与新轨道相交（相切）时，在交 点施加一次冲量，即可使航天器由原轨道转 入新轨道。这种情况称为轨道改变。 原轨道与新轨道不相交（不相切）时， 则至少要施加两次冲量才能使航天器由原轨 道转入新轨道。这种情况称为轨道转移。 连接原轨道与新轨道的中间轨道，称为 过渡轨道或转移轨道。 2.轨道保持 克服空间环境对轨道的摄动，对轨道进行修正。
例：要调整轨道偏心率，应选择在何处进行变轨 （效率最高）？ 根据拉普拉斯积分，有：
r v (r v ) e r r
利用 r rr
vh
r (rr ) r r r r r
2018年10月23日星期二 Page 12
2018年10月23日星期二 Page 21
霍曼转移轨道虽然节省能源，但完成轨道转移所需要 的时间最长，至少为转移轨道周期的一半，为：
r1 r2 T Tt 2
1 2
1.5
设原轨道高度为200公里， 要转移到地球同步轨道， 所需时间为： a1=6378+200=6578km a2=42164km =3.986*105km3/s2 T>5.26Hour
（过渡）
（过渡）
（1）
（2）
（2）
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（1）
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v2
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vAt
A
1
v1 v
P （过渡）
（过渡）（1）
（ 1）
（2）
vPt
1
（2）
设两圆轨道平面夹角为。
第一次脉冲得到的过渡轨道与原轨道（1）夹角为1， 第二次脉冲将过渡轨道平面改变（ － 1 ）。
e 2 e (e r ) e v v
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e 2 (e cos ) v v
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e 2 (e cos ) v v
e e 2 (1 e) 0 v max v 0 v e e 2 (1 e) 0 v min v v
(1 e ) 飞行角1为： cos 1 2r v 2 ( r v 2 ) 2 1 1 11
2 0 2
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0 .5
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由此可求出脉冲速度增量大小为：
v (v v 2v0v1 cos(0 1 ))
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霍曼变轨的特点是：两次都是切向变轨，不含 径向分量。第一次变轨将圆变为椭圆；第二次变轨 将椭圆变为圆。 设内圆轨道半径和速度为r1、v1。外圆轨道半径 和速度为r2、v2。则霍曼椭圆转移轨道半长轴和偏心 率为：
1 a (r1 r2 ) 2
r1
r2
2 0 2 1
0.5
一个问题：如何使 v 尽可能小（节省能源）？
v E 2 r1 2a1
2 1
2 v a r
2
2v v
a
2
a
v
2va
2
a
根据动量矩守恒，近地点速度最大，在 a一定 的情况下，在近地点修正轨道所需的脉冲速度最小。
0 0 0 f1 arctan 2 0 ,180 r1v1
如 r1v12 如 r1v12 如 r1v12
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r1
v1
则 e=0, f1不确定
则 f1＝0，变轨点成为近地点。
则 f1＝1800，变轨点成为远地点。
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第二章 航天器轨道的控制
§2.1 单脉冲变轨 §2.2 双脉冲变轨－－霍曼变轨 §2.3 双脉冲变轨－－拱线变轨
本章基本假设：航天器的推进系 统是间歇的，其工作时间与轨道 周期相比是相当短暂的。因此航 天器的轨道变化可视为脉冲变轨 方式，即速度有突变增量，但不 引起航天器的径向变化。
2018年10月23日星期二 Page 1
例：要调整轨道半长轴（周期），且不改变轨道的 偏心率。应选择多大的变轨速度？方向？ 设变轨点 r1 、半长轴 a1 已知。根据能量积分，有：
v E 2 r1 2a1
2 1
2 1 1 2
2 v1 r a 1 1
0.5
rv 2 2 e1 e0 1 cos 1 sin 1
N
v1
v
v0
v
2 v0 v12 2v0 v1 cos i
若i
60°且 v0 v1
则要求：v v0
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（2）改变轨道倾角i、升交点角。
cos i cosi0 cosi1 sin i0 sin i1 cos
sin sin i1 sin / sin i
vAt
A
v2
（过渡）（1）
v1 v
P
vPt
1
特征速度为： v v1 v2
( v) ( v1 ) ( v2 ) 1 1 1 1
2 1
（2） 1 （过渡）
2 2
4。单次脉冲变轨的另一特点是：变轨前后的轨道一 定有交点。
因此，如果希望新的轨道与原有轨道完全不同， 采用单脉冲变轨方式就不行了。
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§2.2 双脉冲变轨－－霍曼变轨
双脉冲变轨可以使新的轨道完全脱离原有轨道。 在两个共面圆轨道之间的最佳变轨方式为霍曼变 轨；在两个圆轨道之间的最佳过渡轨道是霍曼椭圆， 此椭圆分别与两个圆轨道相切，切点就是过渡轨道的 近地点和远地点。 为什么霍曼变轨是最佳变 轨呢？详细内容可参考文 献：Marec J P. Optimal space trajectories. Elsevier scientific publishing company,1979.
r2 r1 c 1 2 (r 1 r2 ) r 1 e 1 a r1 r2 2 (r 1 r2 )
2018年10月23日星期二 Page 20
两次脉冲速度增量分别为：
v2
v2
v1 r 1 v2 r 2
va速度小
e减小，更圆
速度增量
e增加，更扁 vp速度大
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Vp比Va更 大，更扁
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非共面情况
单脉冲变轨除了在同一平面内变轨，还可使新轨道 与原轨道不共面，或称为改变轨道倾角。 （1）仅仅改变轨道倾角i。 最佳变轨点在两轨 道相交的节点。脉 冲速度增量为： i0 i1 O
i1
O 表示了在何处 来自百度文库行变轨。
2018年10月23日星期二
v1
v
v0
i0
0
N0 N1
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小结
单脉冲变轨的特点是：
1。新轨道只与射入参数 r1、v1有关。
2。在近地点变轨可使椭圆轨道变扁 。在远地点变 轨可使椭圆轨道变圆。
3。单次脉冲可以修正轨道的半长轴（周期）、偏心 率、轨道倾角、升交点角。可以同时修改，也可 独立修改。
2018年10月23日星期二 Page 8
特殊情况
rv e1 1 cos 2 1 sin 2 1
2 1 1 2
r1v12 cos 1 sin 1 f1 arctan 2 r1v1 cos2 1
如脉冲增量使变轨速度 v1 的飞行角 1＝0，则有：
e减小，更圆
e增加，更扁
因此，椭圆轨道要变扁，在近地点变轨可使速度 增量为最小。椭圆轨道要变圆，在远地点变轨效 率最高。 原因是，在近地点或远地点，脉冲速度增量与原 速度方向一致，矢量相加，方向一致时结果最大
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直观解释：
va速度小
速度增量 vp速度大
Vp与Va接 近，更圆
t1 t0
r1 r0
1 0
新的轨道要素完全 由轨道参数 r1，v1 确定。
2018年10月23日星期二
r0
v
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定义参数：
飞行角 1：卫星飞行速度 v1 与当地水平线的夹角。 轨道拱线转角 : 两轨道半长轴的夹角 共面情况 对于共面变轨， 轨道平面不变，所以 轨道倾角i、升交点赤 经 不变。
0.5
2r 0.5 2 r r 1 1 2 2r 0.5 1 1 r r 1 2
v1
0.5
v1
两次脉冲速度增量之和称为特征速度。由于速度 与推进剂使用量有关，所以特征速度反映了推进 剂的使用多少，是进行优化的一个指标。
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v0
1
v1
r0
v f0 f1
Page 5
v12 根据能量守恒 E 2 r1 2a1
根据动量矩定理
r1 a1 2 2 r1v1
v0
h r1v1 cos 1
2
p1
h
2 1
1
r v cos 1
2 2 1 1
1
r0
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§2.1 单脉冲变轨
已知航天器在 某一时刻 t0 的位置 r0 和速度 v0 。
在该时刻施加 脉冲式速度增量 v 之后，航天器进入 另一轨道。
v0
v1
r0
v
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Page 3
设下标 0 表示脉冲变轨前一瞬时航天器的运动 参数，下标 1 表示脉冲作用后的新的运动参数，两 组参数满足以下关系： v1 v0
r v (r v ) e r r
vh
r r r r r
求偏导
e 1 v v (r v ) v r v v v
e 2 v 2v h 2 (r v ) (e r ) v v v v
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v2
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v1
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霍曼变轨原则可推广到非共面圆轨道间的变轨。霍曼椭圆 过渡轨道的主轴与两轨道平面的相交线一致，椭圆的近、 远地点分别与两圆轨道相接，椭圆过渡轨道平面介于两圆 平面之间，两次脉冲不仅改变轨道的半长轴，还改变轨道 平面的倾角。 （1） （2） （过渡）
设椭圆轨道的近地点为P，远地点为A，两次脉 冲速度增量为 v1 、 v2 。 通过选取不同的 1 ，可以得到不同的特征速度 v 。令特征速度为最小，可求出最佳的第一脉冲 的轨道变化角。
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v2
2 v12 v12 vPt 2v1vPt cos1 2 2 2 v2 v2 v At 2v2 v At cos( 1 )
p1
2 1 1
h12
1
r v cos 1
2 2 1 1 2
rv p1 e1 1 1 cos 2 1 sin 2 1 a1
2
r v cos 1 sin 1 f1 arctan 2 r v cos 1
2 1 1 2 1 1
从上面公式看，轨道半长轴和偏心率与r1、v1、1三个 量有关。因此，可以通过这三个量的组合，使单次脉 冲可以独立修正轨道的半长轴（周期）和偏心率。
v1
根据几何性质
p a(1 e )
2
v f0 f1
p1 e1 1 a1
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p r 1 e cos f
1 p cos f 1 e r
p sin f f 2 r er v1 sin 1 r1
v1 cos 1 r1 f1
p1r1 1 sin f1 2 e1r1 f1 e1
p1
v1 sin 1
r1v12 cos 1 sin 1 f1 arctan 2 r1v1 cos2 1
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r1 a1 2 r1v12
轨道控制可分为两类：
1.轨道改变、轨道转移
原轨道与新轨道相交（相切）时，在交 点施加一次冲量，即可使航天器由原轨道转 入新轨道。这种情况称为轨道改变。 原轨道与新轨道不相交（不相切）时， 则至少要施加两次冲量才能使航天器由原轨 道转入新轨道。这种情况称为轨道转移。 连接原轨道与新轨道的中间轨道，称为 过渡轨道或转移轨道。 2.轨道保持 克服空间环境对轨道的摄动，对轨道进行修正。