东北大学考研金属塑性成型力学课后参考答案

1-6已知物体内某点的应力分量为x σ=y σ=20MPa ，xy τ=10MPa ，其余应力分量为零，试求主应力大小和方向。

解：z y x I σσσ++=1=40MPa2222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==-300MPa 22232xyz zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 1σ=30MPa2σ=10MPa 3σ=01-7已知变形时一点应力状态如图1-34所示，单位为MPa ，是回答下列问题？ （1）注明主应力； （2）分解该张量； （3）给出主变形图；（4）求出最大剪应力，给出其作用面。

解：（1）注明主应力如下图所示： （2）分解该张量； （3）给出主变形图 （4）最大剪应力127523113±=+-±=-±=σστMPa 其作用面为1-8已知物体内两点的应力张量为a 点1σ=40MPa ，2σ=20MPa ，3σ=0；b 点：y x σσ==30MPa ，xy τ=10MPa ，其余为零，试判断它们的应力状态是否相同。

解：a 点MPa I 603211=++=σσσ)(1332212σσσσσσ++-=I =-800MPa 3213σσσ=I =0z y x I σσσ++=1=60MPa2222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==-800MPa 22232xyz zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 其特征方程一样，则它们的应力状态相同。

1-10某材料进行单向拉伸试验，当进入塑性状态时的断面积F=100mm 2，载荷为P=6000N ；（1）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与球分量； （2）画出应力状态分解图，写出应力张量； （3）画出变形状态图。

解：（1）660006010010MPa σ-==⋅ 则160a MP σ=，02=σ；30σ=；应力分量为 偏差应力分量为40000-20000-20⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭球应力分量为200002000020⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（2）应力状态分解图为（3）画出变形状态图1-15已知应力状态的6个分量y yz zx z 7,4，=0，=4a ，=-8a ，=-15a x xy MPa MPa MP MP MP στσττσ=-=-。

画出应力状态图，写出应力张量。

解：应力张量为7-4-8-404-8415⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭600020004000000＝0200＋0-20000-60002000-20⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1-16已知某点应力状态为纯剪应力状态，且纯剪应力为-10MPa ，求： （1）特征方程； （2）主应力；（3）写出主状态下应力张量； （4）写出主状态下不变量；（5）求最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，并在主应力状态中绘出其作用面。

解：（1）z y x I σσσ++=1=0+0+0=02222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==100 22232xyz zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 特征方程为31000σσ-=（2）其主应力为1=σ10MPa ；2=σ0MPa ；3=σ-10MPa（3）主状态下应力张量为100000000-10⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（4）主状态下不变量1123I σσσ=++=0)(1332212σσσσσσ++-=I =-（-100）=100 3213σσσ=I =0（5）最大剪应力为1313-10-（-10）===1022σστ±±±MPa ； 八面体正应力812311=()(10010)033σσσσ++=+-=八面体剪应力81110=333τ最大剪应力在主应力状态中绘出其作用面为：1-17已知应力状态如图1-35所示：（1）计算最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，绘出其作用面； （2）绘出主偏差应力状态图，并说明若变形，会发生何种形式的变形。

解：（1）最大剪应力1313--6-（-10）===222σστ±±±MPa八面体正应力 八面体剪应力（2）主偏差应力状态图如下所示：变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。

(1)最大剪应力1313-0-（-10）===522σστ±±± 八面体正应力 八面体剪应力变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。

(1)最大剪应力1313-8-3=== 2.522σστ±±± 八面体正应力 八面体剪应力变形时是体积变形，一个方向拉伸，另外两个个方向缩短。

1-14，轧板时某道轧制前后的轧件厚度分别为H=10mm ，h=8mm ，轧辊圆周速度v=2000mm/s ，轧辊半径R=200.试求该轧制时的平均应变速率。

解：轧制时的平均应变速率为：1-13轧制宽板时，厚向总的对数变形为InH/h=0.357，总的压下率为30%，共轧两道次，第一道次的对数变形为0.223；第二道次的压下率为0.2，试求第二道次的对数变形和第一道次的压下率。

解：第二道次的对数变形为 第一道次的压下率为1-12已知压缩前后工件厚度分别为H=10mm 和h=8mm ，压下速度为900mm/s ，试求压缩时的平均应变速率。

解：压缩的平均应变速率1-11试证明对数变形为可比变形，工程相对变形为不可比变形。

证明：设某物体由l 0延长一倍后尺寸变为2l 0.其工程变形为 如果该物体受压缩而缩短一半，尺寸变为0.5l 0，则工程变形为 物体拉长一倍与缩短一半时，物体的变形程度应该一样。

而用工程变形表示拉压程度则数值相差悬殊。

因此工程变形失去可以比较的性质。

用对数变形表示拉压两种不同性质的变形程度，不失去可以比较的性质。

拉长一倍的对数变形为 缩短一半的对数变形为所以对数变形满足变形的可比性。

2-4．某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为σx =75，σy =15，σz =0，τxy =15（应力单位为MPa ），若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？解：由由密席斯屈服准则： 得该材料的屈服应力为：2-5．试判断下列应力状态弹性还是塑性状态？-4000-5000-5s s s σσσσ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；0.20000.80000.8s ss σσσσ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；c)0.5000000 1.5s ijs s σσσσ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭解：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-4σs -（-5σs ）=σs 。

应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则()()()s 23122322121σσσσσσσσ=-+-+-=。

应力处于塑性状态。

b )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-0.2σs +0.8σs =0.6σs ，应力处于弹性状态。

由密席斯屈服准则s0.6σσ==c )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-0.5σs -（-1.5σs ）=σs ，应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则 应力处于弹性状态2-15已知应力状态σ1=-50MPa ，σ2=-80MPa，σ3=-120MPa ，σs MPa ，判断产生何变形，绘出变形状态图，并写出密赛斯屈服准则简化形式。

解：：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-50-（-120）。

应力处于弹性状态。

由密席斯屈服准则σ==。

应力处于弹性状态。

偏差应力分量为1000031000311000-3⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭变形状态图如下：密赛斯屈服准则简化形式如下：2-14绘出密赛斯屈服准则简化形式，指出参数的变化范围和k 与屈服应力的关系。

答：密赛斯屈服准则简化形式“ 参数d μ变化范围为d -11μ≤≤，21β≤≤k 与屈服应力关系为k=2-13已知三向压应力状态下产生了轴对称的变形状态，且第一主应力为-50MPa ，如果材料的屈服极限为200MPa ，试求第二和第三主应力。

解：轴对称的变形状态， 或2-12已知两向压应力的平面应力状态下产生了平面变形，如果材料的屈服极限为200MPa ，试求第二和第三主应力。

解：平面应力，则平面变形，则 按屈雷斯卡塑性条件：1σ=s =200aMP σ12==-50aMP σσ则 则按密赛斯塑性条件：2-11写出主应力表示的塑性条件表达式。

答：主应力表示的塑性条件表达式为： 屈雷斯卡屈服准则： 密赛斯屈服准则：2-10写出平面应变状态下应变与位移关系的几何方程。

答：平面应变状态下应变与位移关系的几何方程： 2-9推导薄壁管扭转时等效应力和等效应变的表达式。

解：薄壁扭转时的应力为：0xy τ≠，其余为 主应力状态为： 屈服时： 等效应力为： 等效应变为：2-8试写出屈雷斯卡塑性条件和密赛斯条件的内容，并说明各自的适用范围。

答：屈雷斯卡塑性条件内容：假定对同一金属在同样的变形条件下，无论是简单应力状态还是复杂应力状态，只要最大剪应力达到极限值就发生屈服，即13max -=2C σστ=适用范围：当主应力不知时，屈雷斯卡准则不便适用。

密赛斯条件的内容：在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第2不变量达到一定值时，该点就进入塑性状态。

屈服函数为适用范围:密赛斯认为他的准则是近似的，不必求出主应力，显得非常简便。

()2222Cx y y z z x xy yz zx I σσσσσστττ'''''''=-+++++=13s -=200aMP σσσ=2-7已知下列三种应力状态的三个主应力为：（1)σ1=2σ，σ2=σ,σ3=0；（2）σ1=0，σ2=-σ,σ3=-σ；（3）σ1=σ，σ2=σ,σ3=0，分别求其塑性应变增量p 1d ε、p 2d ε、p 3d ε与等效应变增量pd ε的关系表达式。

解：（1）11m =d （-）=d （2-）=d p d ελσσλσσλσ （2）（3）11m 21=d （-）=d （-）=d 33p d ελσσλσσλσ3-1镦粗圆柱体，并假定接触面全黏着，试用工程法推导接触面单位压力分布方程。

答：接触面全黏着，f k τ=-及屈服公式r z d d σσ=代入微分平衡方程式20r f d dr h στ+=，得2-0r d kdr hσ=边界条件,za s r R σσ==-则接触面表面压力曲线分布方程为2)z s R r σσσ=---则接触面单位压力分布方程为σπσπ==+⎰221.2(1)9dz s dp rdr hR 3-2平面变形无外端压缩矩形件，并假定接触面全滑动（即f pf τ=），试用近似力平衡方程式和近似塑性条件推导确定平均单位压力p 的公式。