北京大学线性代数教程

《线性代数》©THZ-PKU主题•数学重要主题:方程+函数•微积分:非线性 线性(一次)•线性代数:一次方程组+一次函数组y i =y i (x 1,⋯,x n )=a i,1x 1+⋯+a i,n x nb i =a i,1x 1+⋯+a i,n x n , i=1,2,…,m线性变换: n 个n 元线性函数组线性方程组一次方程组n 元线性函数可由其中的系数排列成矩阵来表示线性代数的难与易•易:1.简【方程函数千千万，一次最简单】2.少【算法少：1+1】(1)矩阵初等变换，(2)矩阵乘法•难:概念抽象(应用广泛),运算繁琐(大量重复)•代数好算不好懂,几何好懂不好算•攻略：代数几何熔一炉,空间为体,矩阵为用基本任务•始以正合：熟练掌握两个算法(矩阵初等变换，矩阵乘法),包括借助计算机实现算法•终以奇胜：将遇到的问题变成可用算法来计算的形式(建模),用算法解决(a,b)的二元函数极小最小二乘问题未知量(a,b)的二元一次方程组b前面的系数相同第一章线性方程组的解法§1.1 线性方程组的初等变换引例中学数学: 用数学归纳法证明S n=12+22+…+n2 =n(n+1)(2n+1)/6质疑: 1. 怎样想出来?2. 能否如法炮制S n=1k+2k+…+n k?国际歌:•从来就没有救世主, 也不靠神仙皇帝,•要创造人类的幸福, 全靠我们自己.尝试自己创造例1:求S=12+22+…+n2n-S n-1=n2分析:Sn反过来, 若一个函数f(n)满足f(n)-f(n-1)=n2, 则S n =(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))=f(n)-f(0),∴当f(0)=0时, S n =f(n).★当f(n)是多项式时, f(n)-f(n-1)是次数降1的多项式.实施解:(待定系数法) 待定Sn =f(n)=an+bn2+cn3满足n2=f(n)-f(n-1)=a+b(2n-1)+c(3n2-3n+1)=(a+b+c)+(2b-3c)n+3c n2比较等式两边的系数，得线性方程组c=1/3b=1/2a =1/6S n=(1/3)n3+(1/2)n2+(1/6)n如法炮制求:S=14+24+…+n4n=f(n)=a1n+a2n2+a3n3+a4n4+a5n5解:待定Snn4= f(n)-f(n-1)⇔a 1,⋯,a n ,b 为已知给定的数,x 1,⋯,x n 为未知量•n 元一次或线性方程组:m 个n 元一次或线性方程组成•n 元一次方程或n 元线性方程a i,1x 1+⋯+a i,n x n =b i , i=1,2,…,ma 1,1x 1+⋯+a 1,n x n =b 1a 2,1x 1+⋯+a 2,n x n =b 2⋮a m,1x 1+⋯+a m,n x n =b m或a 1x 1+⋯+a n x n =b 如果方程组(1.1.3)中的未知量x 1,⋯,x n 分别替换为n 个已知数c 1,⋯,c n 得到m 个恒等式a i,1c 1+⋯+a i,n c n =b i , i=1,2,…,m, 则称有序数组(c 1,⋯,c n )为(1.1.3)的一个解. (1.1.3)如果(1.1.3)中所有的b i =0,则称其为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组.齐次线性方程组有零解(称为平凡解)方程组的全体解的集合称为方程组的解集.例A4:齐次方程组x 1+x 2+x 3=0x 1+x 2−x 3=0解: (0,0,0), (1,-1,0), (-1,1,0), (2,-2,0), ….例A1: 非齐次方程组x 1−x 2=−13x 1+x 2=9解: (2,3)例A2:非齐次方程组x 1−x 2=03x 1−3x 2=1无解!线性方程组何时无解?何时有解? 何时有惟一解? 如何求解?三个未知量的线性方程确定一空间平面. 三个平面的交点就是三个方程组成的线性方程组的解.例A3:非齐次方程组x 1−x 2=13x 1−3x 2=3解: (2,1), (1,0), (3,2),…..1.为什么要学习线性方程组2.三角形方程组的解法3. 不是三角方程组怎么办?方法: 保持同解,变成三角形. 线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组. 大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位.上三角形线性方程组:从上到下每个方程比上一个方程少含一个未知数,即等号左边左下角是空白.插值问题例2. 求曲线y = ax2+bx+c 过(1,1),(2,2),(3,0). 解:尝试用中学的加减消去法a =-3/2, b= 1/2,c=-3因此，曲线方程y =(-3/2)x2+(1/2)x-3§1.1.2(Page 3)方程(3)减方程(2);方程(2)减方程(1);方程(3)减方程(2);基本同解变形1. 两个方程互换位置:2. 某个方程乘非零常数:3. 某个方程的常数倍加到另一方程:•任意方程组U 中各方程分别乘常数再相加得到的新方程称为方程组U 的线性组合•变形前后方程组互为线性组合 它们同解§1.1.2(Page 4)上述三类变形称为线性方程组的初等变换一般的线性方程组的求解化成三角形求解(消元法)U, W 表示方程组作业•习题1.1(Page 7): 3, 4, 5§1.2(Page 7)分离系数法方程组同解变形只是对系数运算(加减乘除):将系数排成矩阵(纵横排列的二维数据表格)代表方程组,进行同样的变形•方程组U的线性组合/初等变换, 相应的是“系数矩阵”的行的线性组合/矩阵的初等行变换.Page 8在数学中，矩阵(Matrix)是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵. 这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.矩阵是线性代数中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中. 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵. 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题. 将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算. 对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法. 在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广.a 1,1a 1,2⋯a 1,n a 2,1a 2,2⋯a 2,n ⋮⋮⋱⋮a m,1a m,2⋯a m,nm ×n 矩阵: 由m n 个数排列成的m 行n 列的矩形数表m,n 为正整数a i,j 为第i 行第j 列的元素或第(I,j)元素数表中的每个数称为矩阵的一个元素或分量n 维行向量: 1×n 矩阵a 1,1a 1,2⋯a 1,n a 1,a 2,⋯,a n m 维列向量: m ×1矩阵a 1,1a 2,1⋮a m,1a 1a 2⋮a m m =n 时的矩阵称为m 阶方阵简记为简记为零矩阵:a i,j =0, 1≤i ≤m,1≤j ≤n零向量a i =0, ∀i•PageRank，网页排名，又称网页级别、Google左侧排名或佩奇排名，是一种由搜索引擎根据网页之间相互的超链接计算的技术，而作为网页排名的要素之一，以Google公司创办人拉里·佩奇(Larry Page)之姓来命名. Google用它来体现网页的相关性和重要性，在搜索引擎优化操作中是经常被用来评估网页优化的成效因素之一. Google的创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1998年在斯坦福大学发明了这项技术.•PageRank通过网络浩瀚的超链接关系来确定一个页面的等级.Google把从A页面到B页面的链接解释为A页面给B页面投票，Google根据投票来源(甚至来源的来源，即链接到A页面的页面)和投票目标的等级来决定新的等级。

简单的说，一个高等级的页面可以使其他低等级页面的等级提升.假设一个由4个页面组成的小团体：A, B, C和D. 如果所有页面都链向A，那么A的PR(PageRank)值将是B，C及D的Pagerank 总和PageRank值是一个特殊矩阵中的特征向量互联网中的网页可以看出是一个有向图，其中网页是结点，如果网页A有链接到网页B，则存在一条有向边A B如果当前在A网页，那么悠闲的上网者将会各以1/3的概率跳转到B、C、D，这里的3表示A有3条出链，如果一个网页有k条出链，那么跳转任意一个出链上的概率是1/k，同理D到B、C的概率各为1/2，而B到C的概率为0. 一般用转移矩阵表示上网者的跳转概率，如果用n表示网页的数目，则转移矩阵M是一个n×n的方阵；如果网页j有k个出链，那么对每一个出链指向的网页i，有M[i][j]=1/k，而其他网页的M[i][j]=0；上面示例图对应的转移矩阵如下迭代计算的转移矩阵的特征向量•n元一次或线性方程组:a1,1x1+⋯+a1,n x n=b1a2,1x1+⋯+a2,n x n=b2⋮a m,1x1+⋯+a m,n x n=b m(1.1.3)A=a1,1a1,2⋯a1,n a2,1a2,2⋯a2,n ⋮⋮⋱⋮a m,1a m,2⋯a m,n•线性方程组的系数矩阵A=a1,1a1,2⋯a1,n b1 a2,1a2,2⋯a2,n b2⋮⋮⋱⋮⋮a m,1a m,2⋯a m,n b m•线性方程组的增广矩阵有了矩阵后, 不只是为了简单地表示方程组,更重要的是简便地表示解方程组的过程.Linear Algebra is used quite heavily in Structural Engineering. This is for a very simple reason. The analysis of a structure in equilibrium involves writing down many equations in many unknowns. Often these equations are linear, even when material deformation (i.e. bending) is considered. This is exactly the sort of situation for which linear algebra is the best technique. Consider, for example, the following two dimensional truss (构架):12 unknownshttp://commons.bcit.ca/math/examples/civil/linear_algebra/MATLAB是matrix& laboratory两个词的组合, 意为矩阵工厂(矩阵实验室), 是由美国Mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境. 它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平/ /MatrixMarket/矩阵的初等行变换1. 两行互换位置:2. 某行乘非零常数:3. 某行的非零常数倍加到另一行:•矩阵A的各行与B 的各行互为线性组合§1.2.1(Page 7)增广矩阵A (i,j)BA λ(i)BA λi+(j)B方程组矩阵消元法例2(插值问题).方程(3)-方程(2);方程(2)-方程(1);方程组解为(-3, 11/2, -3/2)A=a 1,1a 1,2⋯a 1,n a 2,1a 2,2⋯a 2,n ⋮⋮⋱⋮a n,1a n,2⋯a n,nn 阶方阵:n 为正整数对角元:a i,i , 1≤i ≤n矩阵的主对角线: 左上角到右下角的连线上三角形矩阵:a i,j =0,i >j 下三角形矩阵:a i,j =0,i <j 对角矩阵:a i,j =0,i ≠jA=diag(a 1,1,...,a n,n )单位矩阵:a i,j =0,i ≠j;a i,i =1,1≤i ≤nI =diag(1, (1)x 1+2x 2+3x 3+4x 4=−3x 1+2x 2−5x 4=13x 1−x 2−x 3=1x 1+x 3+2x 4=−1例B1:解线性方程组1234−3120−513−1−1011012−1增广矩阵方程(2), (4)-(1)方程(3)-3×(1)1234−300−3−940−7−10−12100−2−2−22方程(4) ×(-1/2)1234−300−3−940−7−10−12100111−1x 1+2x 2+3x 3+4x 4=−3x 1+2x 2−5x 4=13x 1−x 2−x 3=1x 1+x 3+2x 4=−1方程组若干个初等行变换T=1234−30111−100−3−53000−41若干个初等行变换B=10001/120100−1/60010−7/1201−1/4x 1=1/12x 2=−1/6x 3=−7/12x4=−1/4方程组有唯一解2x 1+x 2+x 3=22x 1+x 2+5x 3=0例B2: 线性方程组1x 1+x 2+x 3=2空间的平面∏=x 1,x 2,x 3x 1=2−t −s ,x 2=t ,x 3=s ,∀t,s ∈R }2−t −s ts =200+t −110+s −101平面∏上的定点P 0v 1=−110,v 2=−101平面∏上的动点P 平面∏:法向量n =(1,1,1); 过定点P 0且与向量v 1和v 2平行.空间直线L =x 1,x 2,x 3x 1=-2-4t ,x 2=4+3t ,x 3=t ,∀t ∈R}−2−4t 4+3t t =−240+t −431直线L 上的定点P 0直线L 上的定点Pv 1直线L :过定点P 0且与向量v 1平行.通解,特解通解, 特解小智力测验例3. 数列前两项为1,2,第3项可否为0?=an2+bn+c使前三项1,2,0, 即u1=解. 求通项公式un1,u2=2,u3=0. 因而有线性方程组例2已解出(c,b,a)=(-3, 11/2,-3/2)=(-3/2)n2+(1/2)n-3满足问题的数列通项un§1.2.3(Page 18)系数范围•前面的内容显示：线性方程组的解由系数经过加减乘除算出.•数域:数组成的非空子集F⊆C(复数集),至少包含0和1，对加减乘除(除数不为0)封闭.•线性方程组系数全在数域F中,解也在F中.•例:复数域C,实数域R,有理数域Q，整数集合Z只对加减乘封闭(属于数环).作业•习题1.2(Page 20): 1(1,2,4), 4a1,1x1+⋯+a1,n x n=b1 a2,1x1+⋯+a2,n x n=b2⋮a m,1x1+⋯+a m,n x n=b mA=a1,1a1,2⋯a1,n b1a2,1a2,2⋯a2,n b2⋮⋮⋱⋮⋮a m,1a m,2⋯a m,nb m=(A,b)1.3.1线性方程组求解过程总结A=a1,1a1,2⋯a1,n a2,1a2,2⋯a2,n ⋮⋮⋱⋮a m,1a m,2⋯a m,n系数矩阵增广矩阵矩阵的行初等变换(T,b)其中T是(行)阶梯形矩阵：如果不为零，每个非零行的上方没有零行, 且非零行从左到右第一个非零元所在的列的编号满足由小到大顺序. 可以画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元为非零元，也就是非零行的第一个非零元.T是(行)阶梯形矩阵：如果不为零，每个非零行的上方没有零行, 且非零行从左到右第一个非零元所在的列的编号满足由小到大顺序. 可以画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元为非零元，也就是非零行的第一个非零元.第2列对角线下的元素非零第2行为零第1行第1个非零在第2行的后面阶梯元: a pq≠0,且a pq的左、下、左下方所有元素a i,j全为0, ∀i≥p,j≤q, 且(i,j) ≠(p,q). 阶梯元a pq所在位置(p,q)称为矩阵的一个阶梯.最简阶梯形矩阵: 阶梯形矩阵的各阶梯元都等于1，各阶梯元所在列的其余元都为0. 约定: 元素全为0的矩阵也是最简阶梯形矩阵.←第r行每个方程各独占一个未知数x1,x j1,…, x jr.这些未知数只在所属的唯一的方程中出现且系数为1，在其余方程中都不出现称为具有最简形式.当r=n时, 最简形式中x1,x j1,…, x jr就是全部的x1,x2,…, x n, 此时j2,…,j n分别为2,3,…,n当r<n时, 除了x1,x j1,…, x jr这r个被独占的未知数之外还剩余另外n-r>0个未知数. 称这n-r个未知数为独立未知数，依次记为x jr+1,…, x jn最简形式的线性方程组的解可以理解写出来了：.3)情况2.1情况2.2未知量个数n 方程个数m独立未知数n-r齐次线性方程组•齐次线性方程组：常数项全为0.•一定有解(0,…,0) (零解,平凡解)•当n > m时一定有非零解.证明：此时n>m≥r, 因而有n-r>0个独立未知数可以任意取值，因而齐次方程组有无穷多解.证明：将增广矩阵化为阶梯形矩阵. 系数矩阵有r=n个非零行, 因此全部n 行都是非零行.方程个数一开始就是n, 化简后也不超过n, 可见方程组一定有解，且由n=r知有唯一解.未知量个数n 方程个数m独立未知数n-r 阶梯个数r▋▋作业•习题1.3(Page 25): 2, 3。