2020年高中物理竞赛辅导课件★★磁场的能量(PPT)
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L 0n2V体
设螺线管通有电流I，则其存储的磁能为：
Wm
1 2
LI 2
1 2
0n2V体
I2
而 B 0nI
即
Wm
B2
20
V体
43
通有电流 I 的长直螺线管储存的磁能为
Wm
B2
20
V体
又长直螺线管管内为均匀磁场!
单位体积储存的磁场能量为
wm
Wm V
B2
20
1 2
B
H
——磁能密度
其中
H
B
0
——磁场强度
两回路电流分别达到I1, I2时,整个系统的磁能为
Wm
1 2
L1I12
1 2
L2 I22
M21I1I2
若先接通回路2的电源, 则有
Wm
1 2
L1I12
1 2
L2 I 22
M12 I1 I 2
而系统的总能量与建立电流的过程无关:
M21 M12 M 命题得证
47
例13. 两根平行输电线相距为d, 半径为a, 若维持
ln d d
A磁力 W 能量守恒
49
本章小结：
1.
法拉第电磁感应定律： i
d
dt
2. 动生电动势 i L Ek dl L(v B) dl
3. 感生电动势
i
Ei
dl
对闭合回路：i
L
Ei
dl
B t
dS
4. 自感、互感的意义， 自感系数L、互感系数M的计算。
5. 磁场能量和磁场能量密度的概念及计算
L R
i
dA= –Ldq = –Lidt
L
L
di dt
dA Lidi
A
dA
I
0Lidi
1 2
LI 2
储存
Wm
1 2
LI 2
41
A
Wm
1 2
LI 2
自感为L的线圈通有电流I 时所储存的磁能， 就等于这电流消失时自感电动势所做的功:
AL
L i dt
0
I
Li
di
1 2
LI 2
Wm
自感电动势所做的功，电阻R
在回路2的磁场储存的能量为
21
M21
di2 dt
W2
ห้องสมุดไป่ตู้1 2
L2 I22
但此过程在回路1中产生了互感电动势
46
W1
1 2
L1I12
W2
1 2
L2 I22
21
M21
di2 dt
为保持I1不变,回路1的电源 要克服这个电动势作功:
12
A
21dq
I2
M21 0
di2 dt
I1dt
I1
I2
M21I1I2
50
以上结论对任意形式的磁场都成立！
一般地，对非均匀磁场：
Wm
wmdV
V
1 2
B
HdV
44
三、磁能的计算
例11.一圆柱形同轴电缆,由半径为a、b的薄圆筒构
成, 其间充满磁导率为µ介质,并通有电流 I。
求：长度为h 的电缆内磁场的能量Wm和L？
解：两圆柱面间的磁场为
B
I 2 r
b ra
Wm
1
2
B2dV
II
h
b
a
1 2
I2 (2 r)2
h2 rdr
I 2h 4
ln
b a
由Wm → L
2Wm I2
h 2
ln
b a
45
例12. 证明两个导体回路的互感系数相等。 解: 设两个回路开始处在开路状态 1 2
先接通回路1的电源,
其电流从0I1,
I1
I2
电源W力1 12作L1I12功,储存在磁场的能量为
再接通回路2的电源, 其电流从0I2,
解：
W
Wd
Wd
1 2
LI 2
1 2
LI 2
0 I 2
2
ln
d d
>0
L
0
ln
d a
I
I
I
能量从何而来?
Li
导线移动时自感电动势
r F
L
d
dt
L
di dt
0I
dL dt
维持I 不变,电源力克服L做功:
A外
Ldq
L
L
I
2dL
I 2 ( L
L)
d d'
I
2
(
0
ln
d a
0
ln
d a
)
0I 2
第4节 磁场的能量
Energy of Magnetic fields
一、自感储存磁能 当线圈通有电流时，
电容器充电后就
储存了电场能量：We
1 2
CU
2
在其周围建立了磁场，所储存的
磁能等于建立磁场过程中，电源
反抗自感电动势所做的功。
若回路电流以di/dt >0变化时，
电流增加di，电源克服L作功为dA
以热能形式散发：
Q
Ri 2dt
R( I
2e
2
R L
t
)dt
RI 2
e
2
R L
t
dt
0
1 LI 2 2
L R
i
i
R
e
Rt
L
42
二、磁能与磁能密度
由上可知，通有电流 I 的自感线圈中储能： W 1 LI 2 2
那么,Wm→磁场（ B、 H）,如何联系？
以长直螺线管为例
我们已知长直螺线管的自感为
I
不变。（单位长度上的自感
L
0
ln
d a
）
求：（1）当d→d’时，磁力做的功。 I
（2）磁能改变多少？增加？ 减少？说明能量来源？
I I
解：（1）根据
F
L
0
Idl
B
单位长度受力
F
IlB
I
0 I 2 r
A
d
d
F
dr
d
d
0I 2 2 r
dr
0I 2 2
ln
d d
>
0
r F
d d'
48
（2）磁能改变多少？
设螺线管通有电流I，则其存储的磁能为：
Wm
1 2
LI 2
1 2
0n2V体
I2
而 B 0nI
即
Wm
B2
20
V体
43
通有电流 I 的长直螺线管储存的磁能为
Wm
B2
20
V体
又长直螺线管管内为均匀磁场!
单位体积储存的磁场能量为
wm
Wm V
B2
20
1 2
B
H
——磁能密度
其中
H
B
0
——磁场强度
两回路电流分别达到I1, I2时,整个系统的磁能为
Wm
1 2
L1I12
1 2
L2 I22
M21I1I2
若先接通回路2的电源, 则有
Wm
1 2
L1I12
1 2
L2 I 22
M12 I1 I 2
而系统的总能量与建立电流的过程无关:
M21 M12 M 命题得证
47
例13. 两根平行输电线相距为d, 半径为a, 若维持
ln d d
A磁力 W 能量守恒
49
本章小结：
1.
法拉第电磁感应定律： i
d
dt
2. 动生电动势 i L Ek dl L(v B) dl
3. 感生电动势
i
Ei
dl
对闭合回路：i
L
Ei
dl
B t
dS
4. 自感、互感的意义， 自感系数L、互感系数M的计算。
5. 磁场能量和磁场能量密度的概念及计算
L R
i
dA= –Ldq = –Lidt
L
L
di dt
dA Lidi
A
dA
I
0Lidi
1 2
LI 2
储存
Wm
1 2
LI 2
41
A
Wm
1 2
LI 2
自感为L的线圈通有电流I 时所储存的磁能， 就等于这电流消失时自感电动势所做的功:
AL
L i dt
0
I
Li
di
1 2
LI 2
Wm
自感电动势所做的功，电阻R
在回路2的磁场储存的能量为
21
M21
di2 dt
W2
ห้องสมุดไป่ตู้1 2
L2 I22
但此过程在回路1中产生了互感电动势
46
W1
1 2
L1I12
W2
1 2
L2 I22
21
M21
di2 dt
为保持I1不变,回路1的电源 要克服这个电动势作功:
12
A
21dq
I2
M21 0
di2 dt
I1dt
I1
I2
M21I1I2
50
以上结论对任意形式的磁场都成立！
一般地，对非均匀磁场：
Wm
wmdV
V
1 2
B
HdV
44
三、磁能的计算
例11.一圆柱形同轴电缆,由半径为a、b的薄圆筒构
成, 其间充满磁导率为µ介质,并通有电流 I。
求：长度为h 的电缆内磁场的能量Wm和L？
解：两圆柱面间的磁场为
B
I 2 r
b ra
Wm
1
2
B2dV
II
h
b
a
1 2
I2 (2 r)2
h2 rdr
I 2h 4
ln
b a
由Wm → L
2Wm I2
h 2
ln
b a
45
例12. 证明两个导体回路的互感系数相等。 解: 设两个回路开始处在开路状态 1 2
先接通回路1的电源,
其电流从0I1,
I1
I2
电源W力1 12作L1I12功,储存在磁场的能量为
再接通回路2的电源, 其电流从0I2,
解：
W
Wd
Wd
1 2
LI 2
1 2
LI 2
0 I 2
2
ln
d d
>0
L
0
ln
d a
I
I
I
能量从何而来?
Li
导线移动时自感电动势
r F
L
d
dt
L
di dt
0I
dL dt
维持I 不变,电源力克服L做功:
A外
Ldq
L
L
I
2dL
I 2 ( L
L)
d d'
I
2
(
0
ln
d a
0
ln
d a
)
0I 2
第4节 磁场的能量
Energy of Magnetic fields
一、自感储存磁能 当线圈通有电流时，
电容器充电后就
储存了电场能量：We
1 2
CU
2
在其周围建立了磁场，所储存的
磁能等于建立磁场过程中，电源
反抗自感电动势所做的功。
若回路电流以di/dt >0变化时，
电流增加di，电源克服L作功为dA
以热能形式散发：
Q
Ri 2dt
R( I
2e
2
R L
t
)dt
RI 2
e
2
R L
t
dt
0
1 LI 2 2
L R
i
i
R
e
Rt
L
42
二、磁能与磁能密度
由上可知，通有电流 I 的自感线圈中储能： W 1 LI 2 2
那么,Wm→磁场（ B、 H）,如何联系？
以长直螺线管为例
我们已知长直螺线管的自感为
I
不变。（单位长度上的自感
L
0
ln
d a
）
求：（1）当d→d’时，磁力做的功。 I
（2）磁能改变多少？增加？ 减少？说明能量来源？
I I
解：（1）根据
F
L
0
Idl
B
单位长度受力
F
IlB
I
0 I 2 r
A
d
d
F
dr
d
d
0I 2 2 r
dr
0I 2 2
ln
d d
>
0
r F
d d'
48
（2）磁能改变多少？