联立方程组法(圆锥曲线)

解析几何综合题

联立方程组（设而不求六步走）

①设点1122()()A x y B x y ，，，；

②设直线方程m kx y +=（注意k 是否存在）

③联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=122

22b y a

x m kx y 012)1(2222222=-+++b m b kmx x b k a ④判别式0∆≥或0∆>（22

2

2222144()k m b ac a b a b ∆=-=+-） ⑤韦达定理a

c x x a b x x =

-=+2121， ⑥逆向思维求解 例1、已知椭圆方程122

22=+b

y a x )0(>>b a 与直线方程m kx y +=相交于1122()()A x y B x y ，，，，试求弦长AB 长度。

变式训练：设椭圆方程：C )0(12222>>=+b a b y a x ，已知右焦点坐标为)05(，，且离心率为3

5.且过点)05(，斜率为1的直线方程与椭圆交于B A 、两点，求弦长AB 的长度。

3、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有两个不同的交点P 和

Q 。

（1）求k 的取值范围；

（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为B A 、，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB

共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由。

23、设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)、B (0,1)是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与直线AB 相交于点

D ，与椭圆相较于F

E 、两点.

(1)若 DF ED 6=,求k 的值；

(2)求四边形AEBF 面积的最大值.

例2、已知椭圆方程122

22=+b

y a x )0(>>b a 与动直线l 只有一个交点P ，且点P 在第一象限 （1）已知直线方程斜率为k ，用k b a ，，表示点P 的坐标；

（2）若过原点O 的直线1l 与动直线l 垂直，证明点P 到直线1l 的距离为a b -

1、设椭圆C ()22

2210x y a b a b

+=>>：，已知右顶点与右焦点的距离为31-，短轴长为22 （1）求椭圆方程；

（2）过左焦点1F 的直线与椭圆分别交于A B 、两点，若AOB ∆的面积为

324

，求直线方程

已知，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22

b

y =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°.

（1）求椭圆C 的离心率；

（2）已知△A B F 1的面积为403，求b a 、的值.

24、已知椭圆C ：22x a +22y b =1)0(>>b a 的一个顶点为)02(，A ，离心率为22

， 直线)1(-=x k y 与椭圆C 交与不同的两点N M 、.

（1）求椭圆C 的方程

（2）当AMN ∆的面积为103

时，求k 的值 例14、已知椭圆C ：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0），,3b a =短轴一个端点到右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

3，求△AOB 面积的最大值。 例：设椭圆方程：C )0(12222>>=+b a b y a x ，已知右焦点坐标为)05(，，且离心率为3

5. （1）求椭圆方程；

（2）若动点)(00y x P ，为椭圆外一点，且点P 到椭圆的两条切线互相垂直，求点P 的轨迹方程.