2014人教A版数学必修五 3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案(4)

二元一次不等式组与简单的线性规划问题

【知识网络】

1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；

2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；

3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。 【典型例题】

例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0

C ．82300<+y x

D ．82300>+y x

答案: D 。解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。 （2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是

（ ）

A ．5

B ．8

C ．12

D ．13

答案：D 。解析：作出图形找整点即可。 （3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）

答案：C 。解析：原不等式等价于⎩⎨

⎧≤-+≥+-⎩⎨

⎧≥-+≤+-0

30

1203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．

（4）设实数x , y 满足20

240230

x y x y y --≤⎧⎪

+-≥⎨⎪-≤⎩

，则y x 的最大值为 ．

答案:

32

。解析：过点3(1,)2时，y

x 有最大值32。

（5）已知12

24

a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．

答案： ]10,5[。解析：过点31

(,)22

时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。

例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：

①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≥≤2

10y x y x y x 上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．

它所围成的面积S ＝21×4×2－2

1

×2×1＝3．

例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2

＋2x ．

(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；

(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。

答案: (Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，

则000

0,,2

.0,2

x x

x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即

∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上

∴()2

2

2

22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故

（Ⅱ）()()()21211h x x x λλ=-++-+

①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，

1λ∴=- ②11.1x λ

λλ

-≠-=

+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ

λλλ-<-≤-<-+当时,解得

ⅱ）111,10.1当时,解得λ

λλλ

->-≥-<≤+

0.λ≤综上，

例4：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？

答案:：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0

027*******y x y x y x y x 且x ，y 都是整数． 求目标函数z ＝x ＋y 取得最小值时的x ，y 的值．

如图，当x ＝3，y ＝9或x ＝4，y ＝8时，z 取得最小值．

∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢

板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少． 【课内练习】

1．双曲线224x y -=的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ）

A 、003003x y x y x y x -≥⎧⎪+≥⎪⎨--≥⎪⎪≤≤⎩

B 、003003x y x y x y x -≥⎧⎪+≤⎪⎨--≥⎪⎪≤≤⎩

C 、003003x y x y x y x -≤⎧⎪+≤⎪⎨++≤⎪⎪≤≤⎩

D 、003003

x y x y x y x -≤⎧⎪+≥⎪⎨++≤⎪⎪≤≤⎩

答案：A 。解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，过（3，0）且平行于y x =±的直线是3y x =-和3y x =-+，∴围成的区域为A 。

2．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)

取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（ ）

A ．

32

B ．21

C ．2

D ．2

3 答案:B 。解析：11

,22

AC k a =-∴-=-，

即12

a =。

3．设集合{(,)|,,1•A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分)是 ( )

答案:A 。解析：12111,2112x y x y x y x y x y x y x x y y ⎧

+>⎪+>--⎧⎪

⎪⎪

-<--∴<⎨⎨⎪⎪

->--⎩⎪

<⎪⎩

，故选

A