2014人教A版数学必修五 3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案(4)
教学：高二人教A版必修5系列教案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3
3.3.1二元一次不等式组与平面区域（一）教学重点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集，了解什么是边界 教学难点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集 教学过程一.复习准备：1.定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.定义：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.定义：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(,)x y ，所有这样的有序数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式组的解集.二.新课导入：1.一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040x x +>⎧⎨-<⎩的解集为数轴上的一个区间. 那么，在直角坐标系内，二元二次不等式组的解集表示什么图形呢？（教师分析，学生画）2.研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.分析：平面内所有的点被直线6x y -=分成三类：在直线上；在直线的右下方区域；在直线的左上方区域，重点讨论左上方和右下方区域各用哪个不等式来表示.适时定义边界. 3.结论：不等式中仅>或<不包括边界；但含“≤”“≥”包括边界.同侧同号，异侧异号 4.教学例题例1：画出不等式44x y +<表示的平面区域.分析：先画边界（用虚线表示），再取点判断区域，即可画出.（教师分析，学生作图） 例2：用平面区域表示不等式组3122y x x y<-+⎧⎨<⎩的解集.（同上）分析：此解集是由两个不等式的交集构成，即各个不等式表示的平面区域的公共部分. 5.练习：1）不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 .2）画出不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域.3.3.1二元一次不等式组与平面区域（二）教学重点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示. 教学难点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）. 教学过程一.复习准备：画出二元一次不等式组2312236x yx yx+≤⎧⎪+>-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域.（师生同练）二.讲授新课：1.出示例1 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求.教师读题——师生列式——完成数学模型的转化——学生画图2.练习：一个家具厂计划生产两种类型的桌子A和B. 每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序. 桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min 着色，9min上漆. 如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.3.出示例2一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.教师读题——师生列表——学生列式（老师讲评）——学生画图4.小结：根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.三.巩固练习：1.某厂使用两种零件A，B装配两种产品X，Y. 该厂月生产能力X最多2500个，Y最多1200个. A最多为14000个，B最多为12000个. 组装X需要4个A，2个B，组装Y需要6个A，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.2.某工厂用A，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.3.作业: P106习题A组第3题3.3.1简单的线形规划问题（一）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，并能加以解决.教学过程一.复习准备：当,x y满足不等式组111xyy x⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y=+的最大值是（答案：5）二.讲授新课：1.出示例题：某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值 给出定义：目标函数——把要求的最大值的函数线形目标函数——目标函数是关于变量,x y 的一次解析式线形规划——在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 可行解——满足线形约束条件的解(,)x y 叫做可行解可行域——由所有可行解组成的集合 结合以上例题给出解释探究：在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？2.练习：1) 求2z x y =+的最大值，使,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2)求35z x y =+的最大值和最小值，使,x y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩3.小结：作图求解：作出不等式组所表示的可行域，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解. 图解法的实质是数形结合思想的两次运用，第一次是由上步所得线性约束条件，作出可行域，将表示约束条件的不等式组转化成为平面区域这一图形；第二次是将目标函数转化为平行直线系进行探究.. 此步的过程可简述为“可行域——直线系——最优解” 三. 作业P106习题A 组第4题3.3.1简单的线形规划问题（二）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，列出线性目标函数并求最值并能加以解决. 教学过程一.复习准备：什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？ 二.讲授新课： 1.出示例题：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪. 1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时使用食物A 和食物B 多少？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值2.练习：某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应该如何配置盒饭，才能既科学有费用最少？（答案：面食1315百克，米食1415百克） 3.小结：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式，然后分析目标函数中所求量的几何意义，由数形结合思想求解问题. 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，关键在于找出约束条件与目标函数，准确地描可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解. 三. 巩固练习：1.（2004年全国卷）设,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是 （答案：5）2.甲，乙，丙三种食物维生素A ，B 含量以及成本如右表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B. 试用,x y 表示混合物的成本P （元）；并确定,,x y z 的值，使成本最低，并求最低成本. 3.作业：P106 习题A 组第4题以下为赠送文档：选修4_5 不等式选讲课题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2014年人教A版必修五课件 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
在 A 点的上方取 B(x0, y), 则 y>x06. 在 A 点的下方取 C(x0, y), 则 y<x06.
于是得结论:
o
6 y<x06
B · x 6 A · C ·
0
xy=6
x
对于不等式 y>f(x) 表示的区域在直线 y=f(x) 的上方; y<f(x) 表示的区域在直线 y=f(x) 的下方.
二元一次方程 AxByC=0 (A、B不同时为0) 在坐 标平面上表示一条直线. 二元一次不等式 AxByC > 0 (或<0) (A、B不同 时为 0 ) 在坐标平面上表示的是一个区域. 是直线 AxByC=0 一旁的区域.
操作题: 在坐标平面上画出直线 xy=6. (1) 对于方程 xy=6, 任意取 3 组解, 在坐标平面 上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? (2) 对于不等式 xy>6, 任意取 3 组解, 在坐标平 面上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? (3) 对于不等式 xy<6, 任意取 3 组解, 在坐标平 面上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? y (1) (0, 6), (1, 5), (2, 4). 在直线 xy=6上. (2) (0, 7), (2, 6), (6, 4). 在直线 xy=6 的右下边. (3) (3, 2), (0, 1), (6, 1). 在直线 xy=6 的左上边.
练习: (课本86页) 第 1、 2 题 .
(补充). 分别画出下列不等式表示的平面区域: (1) xy1<0; (2) 2xy2≤0; (3) x3y; (4) y>0.
练习: (课本86页) 1. 不等式 x2y6>0 表示的区域在直线 x2y6=0 的( B ) (A) 右上方. (B) 右下方. (C) 左上方. (D) 左下方. 解: 取原点(0, 0)检验, 得 x2y6=0206 =6>0, 满足不等式. ∴不等式 x2y6>0 表示的
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》示范课教案_1
利用Excel 求解数学规划问题1、 线性规划 例1⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥≥≤+++≤+++≤++++++=4,3,2,10105000452110001001401101401100101461680..6001180310460max 214321432143214321j x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z j利用Excel 求解其步骤如下：1、选择“工具”菜单中的“加载宏”选项，装入“规划求解”宏，此时，“工具”菜单中便出现“规划求解”选项。
如果“工具”菜单中已有“规划求解”选项，则直接进行第2步。
2、 按下表格式输入线性规划模型表中3、 在目标函数所在行的G3单元格内输入公式： =$B$2*B3+$C$2*C3+$D$2*D3+$E$2*E3此公式即为目标函数表达式，将该公式复制到G4,G5,G6,G7,G8单元格，即得约束条件左端表达式。
4、选择“工具”菜单的“规划求解”选项，弹出“规划求解参数”对话框，依次选定符合模型要求的项目。
（1）单击“设置目标单元格”框，将光标定位于框内，然后单击目标函数值单元格G3。
（2）在“规划求解参数”对话框的“等于”栏内，选择“最大值”选项。
（3）在“可变单元格”栏输入处，从表中选择$B$2:$E$2区域，使之出现$B$2:$E$2。
（4）在“约束”栏，单击“添加”按钮，弹出“添加约束”对话框，依次输入约束条件。
在“单元格引用位置”处，点击G4单元格，从“约束值”位置处选择约束类型“>=,<=,=,int,bin ”中的“<=”，在后面的框内点击F4单元格，按“添加”按钮，产生第一个约束条件。
类似地，添加第二、第三、第四、第五个约束条件后，按“确定”按钮，返回“规划求解参数”对话框。
（５）点击“选项”按钮，根据需要选择“假定非负”等项目后，按“确定”按钮，返回“规划求解参数”对话框（６）按“求解”按钮，弹出“规划求解结果”对话框，可根据需要选择“运算结果报告、敏感性报告、极限值报告”。
高中数学人教A版必修5教案-3.3_二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标1．知识与技能目标：了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
2．过程与方法目标：经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。
3．情感态度与价值观目标：通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。
2. 教学重点/难点重点：求二元一次不等式表示的平面区域。
难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。
3. 教学用具4. 标签教学过程一．复习导入：（设计意图：为下面学习作铺垫）2．今天学习3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域（写出课题）二．新课讲授：1．放映多媒体，出示实例问题：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？分析：放映多媒体，出示下表学生填表（设计意图：帮助学生理清已知条件，为列不等式组做准备）（设计意图：消除学生错误认识）老师：引导学生回忆一元一次不等式的解法（放映多媒体）⑤老师用多媒体演示正确步骤（设计意图：通过学生探索，总结出画二元一次不等表示的平面区域的方法和步骤以及注意事项，有利于培养学生独立分析解决问题的能力）6．学生总结画二元一次不等表示的平面区域步骤：学生口答，老师板书1.画边界2.判断不等式表示的区域3.用阴影线表示所要区域三、课堂练习：教师利用多媒体出示题目：（设计意图：通过练习巩固所学内容）四．小结：①这节课学习了哪些知识和技能？②这节课学到了哪些研究问题的方法？学生思考，发表自己的意见，老师指导。
（设计意图：培养学生反思归纳能力）五．作业：①193页习题3.3第1题板书。
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题4
无“=”画虚线
2.同侧同号，异侧异号
y 如：画出不等式 2x+y-6<0 表示的平面区域。
6
解：先画直线2x+y-6=0
取原点（0,0),代入
2x+y-6<0
2x+y-6=0，
因为
o
3
x
2×0+0-6=-6 ＜0，
2x+y-6=0
所以，原点在2x+y-6＜0表示的 平面区域内，不等式 2x+y-6＜0 表示的区域如图所示。
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料 是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙 种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝 酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐 66吨.如果在此基础上进行生产，设x，y 分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车 皮数，请列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域.
在平面直角坐标系中表示直线： Ax + By + C =0
某一侧所有点组成的平面区域.
判断方法：“直线定界、特殊点定域”
（2）画不等式 Ax + By + C > 0表示的平面区域时,把直 线Ax + By + C = 0画成虚线以表示区域不包括边界直线. 画不等式 Ax + By + C ≥ 0表示的平面区域时，此区域包 括边界直线，则把边界直线Ax + By + C = 0画成实线．
y 6
有
3 O
注意：把直线画
如图所示 .
3
x
成虚线以表示区域 不包括边界
例2 画出不等式组
y
x y 0
人教a版必修5学案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。
人教A版高中数学必修五人教二元一次不等式组与简单的线性规划问题(3)
二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。
【典型例题】例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x答案: D 。
解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。
（2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．13答案：D 。
解析：作出图形找整点即可。
（3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）答案：C 。
解析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤-+≥+-⎩⎨⎧≥-+≤+-0301203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x , y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值为 ．答案:32。
解析：过点3(1,)2时，yx 有最大值32。
（5）已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．答案： ]10,5[。
解析：过点31(,)22时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。
例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≥≤210y x y x y x上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S ＝21×4×2－21×2×1＝3．例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1 3
）
x ≤ 2， 第 4 题. 若 y ≤ 2， 则目标函数 z x 2 y 的取值范围是（ x y ≥ 2，
Ａ． [2， 6] Ｂ． [2， 5] Ｃ． [3， 6] Ｄ． [3， 5]
第 7 题 . 点 P(a， 3) 到直线 4 x 3y 1 0 的距离等于 4 ，且在不等式 2 x y 3 表示的平面区域内，则 P 点坐标 是 ．
5 x 3 y ≤ 15， 第 8 题. 求 z 3x 5 y 的最大值和最小值，使 x ， y 满足约束条件 y ≤ x 1， . x 5 y ≤ 3．
第 17 题. 给出平面区域如图所示， 若使目标函数 z ax y (a 0) 取得最大值的最优解有无穷多个， 则 a 的值为 （ ）
Ａ．
1 4
Ｂ．
3 5
Ｃ． 4
Байду номын сангаас
Ｄ．
5 3
2 2
x 2 ≤ 0 第 13 题. 画出不等式组 x y ≥ 0 表示的平面区域，并求出此不等式组的整数解． 1 y ≥ x 1 2
第 14 题. 满足 | x | | y |≤ 2 的整点（横、纵坐标为整数）的个数是（ Ａ． 11 Ｂ． 12 Ｃ． 13 Ｄ． 14 ） ）
）
第 5 题. 设 a 是正数，则同时满足下列条件： 等式组表示的平面区域是一个凸
a a ≤ x ≤ 2a ； ≤ y ≤ 2a ； x y ≥ a ； x a ≥ y ； y a ≥ x 的不 2 2
边形．
第 6 题. 原点 O(0， 0) 与点集 A {( x，y) | x 2 y 1≥ 0，y ≤ x 2， 2 x y 5 ≤ 0}所表示的平面区域的位置关系 是 ，点 M (11) ， 与集合 A 的位置关系是 ．
第六章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
答案：A
x＋2y≤4， 2．(2010· 陕西高考)设 x，y 满足约束条件x－y≤1， x＋2≥0， 目标函数 z＝3x－y 的最大值为________．
则
x＋2y≤4， 解析：如图，首先画出线性约束条件x－y≤1， x＋2≥0
的可行
域，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数 z ＝3x－y， 当经过 x＋2y＝4 与 x－y＝1 的交点(2,1)时， 目标 函数取得最大值 z＝3×2－1＝5.
4 线 y＝kx＋ 分为面积相等的两部分，则 k 的值是( 3 7 A. 3 4 C. 3 3 B. 7 3 D. 4
)
(2)如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出
△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
解析：(1)由图可知，线性规划区域为△ 4 4 ABC 边界及内部，y＝kx＋ 恰过 A(0， )， 3 3 4 y＝kx＋ 将区域平均分成面积相等 3 1 5 5 1 4 7 两部分，故过 BC 的中点 D( ， )， ＝k× ＋ ，k＝ . 2 2 2 2 3 3 (2)由两点式得直线 AB、BC、CA 的方程并化简为： 直线 AB：x＋2y－2＝0，
答案：5
x＋y－3≥0， 3．已知实数 x，y 满足x－y＋1≥0， x≤2， (1)若 z＝2x＋y，求 z 的最大值和最小值； y (2)若 z＝x，求 z 的最大值和最小值．
x＋y－3≥0， 解：不等式组x－y＋1≥0， x≤2
所示． 中阴影部分即为可行域．
x＋y－3＝0， 由 x－y＋1＝0， x＝1， 得 y＝2，
1 1 y (2)∵kOA＝2，kOB＝ ，∴ ≤x≤2， 2 2 1 所以 z 的最大值为 2，z 的最小值为 . 2
人教A版高中数学必修五人教二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【整体设计】 教学分析前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何意义。
作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用，然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型。
本节将通过实际例子抽象出二元一次不等式(组)数学模型，引出二元一次不等式(组)的相关概念。
本节的主要内容有：二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应的画法。
其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定。
在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程。
能正确地画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题图解法的重要基础。
②注重探究方法，结合等式(函数)所表示的图形的认知，用类比的方法提出“二元一次不等式组的解集表示什么图形”的问题③注重探究手段，结合信息计术 教学目标 1、通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域2、通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数列结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力3、通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想。
尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力 重难点教学重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），灵活运用二元一次不等式（来）表示平面区域教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式0>++C By Ax （或)0<表示0=++c By Ax 的哪一侧区域课时安排 1课时第1课时导入新课出示课本给出的实例，“一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢”？让学生用不等式来刻画资金分配的问题，可得到不等关系，由此引出二元一次不等式（组）的解集的概念展开新课 一、提出问题①让学生阅读课本，什么是二元一次不等式（组）的解集？②在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？③怎样判断二元一次不等式0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域？④直线0=++C By Ax 将平面内的点分成了哪几类？二．学生活动通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方． 三．建构数学1．进一步验证结论的正确性：如图，在直线20x y +-=上方任取一点(,)P x y ，过P 作平行于y 轴的直线交直线20x y +-=于点(,2)A x x -+， ∵点P 在直线上方，∴点P 在点A 上方， ∴2y x >-+，即20x y +->，∵点P 为直线20x y +-=上方的任意一点，所以，直线20x y +-=上方任意点(,)x y ，都有2y x >-+，即20x y +->； 同理，对于直线20x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有2y x <-+，即20x y +-<． 又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式20x y +->的点在直线的上方，我们称不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=上方的平面区域；同样，不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=下方的平面区域．练习：判断不等式230x y -+>表示的是直线230x y -+=上方还是下方的平面区域？（下方）2．得出结论： 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域； y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．四．数学运用1．例题：例1．判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式32x y >-+表示直线32xy =-+ 的平面区域； （2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域； （3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域； （4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．说明：二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域． 例2．画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+； （2）20x y -+>．xyO下半平面 y kx b <+上半平面 y kx b >+y kx b =+ 20x y +-=2 2xyO(,)P x y ∙解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：例3．将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）： 解：（1）0x >；（2）6522x y +≤；（3）y x >．新问题情境情境：通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义．那么，二元一次不等式组410 (1)4320 (2)x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的几何意义又如何呢？根据前面的讨论，不等式（1）表示直线104y x =-及其下方的平面区域；不等式（2）表示直线43200x y +-=及其下方的平面区域．因此，同时满足这两个不等式的点(,)x y 的集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图①所示）．如果再加上约束条件0,0x y ≥≥，那么，它们的公共区域为图②中的阴影部分．例4．画出下列不等式组所表示的平面区域：（1）2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩ （2）004380x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩解：（1）不等式21y x ≤+表示直线21y x =+及其下方的平面区域；图①图②不等式24x y +>表示直线24x y +=上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域． （2）原不等式组所表示的平面区域即为不等式4380x y +-< 所表示的平面区域位于第一象限内的部分．思考：如何寻找满足（2）中不等式组的整数解？（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式 组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解）例5．ABC ∆三个顶点坐标为(0,4),(2,0),(2,0)A B C -，求ABC ∆内任一点(,)x y 所满足的条件．解：ABC ∆三边所在的直线方程：AB ：240x y -+=；AC ：240x y +-=；BC ：0y =．ABC ∆内任意一点都在直线,AB AC 下方，且在直线BC 的上方，故(,)x y 满足的条件为2402400x y x y y -+>⎧⎪+-<⎨⎪>⎩．例6．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是 ．提示：将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x y a +-的符号相反，即(2)0a a -⋅-<，∴02a <<．例7．（1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ． （2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？解：（1）∵直线2360x y -+=下方的点的坐标满足223y x <+，∴22(2)233t <⨯-+=．（2）∵直线320x y a -+=的上方区域的点的坐标满足322ay x >+，∵点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，∴02a<，∴0a <．又∵3313022a a -⨯+-=<，∴点(1,3)在此直线的上方区域．五．回顾小结：1．二元一次不等式的几何意义；2．二元一次不等式表示的平面区域的确定．六．课外作业：课本第86页练习第1－4题．课本第93页A组第1，2题，B组第1，2题3.3.2简单的线性规划问题【整体设计】教学分析本节内容在教材中有着重要的地位与作用。
人教A版高中数学必修5《3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 阅读与思考 错在哪儿》_67
3.2简单的线性规划问题预习课本P87～91，思考并完成以下问题(1)约束条件，目标函数，可行解，线性规划问题是如何定义的？(2)如何求解线性目标函数的最值问题？[新知初探]线性规划的有关概念(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域()(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的()(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解()(4)线性规划问题一定存在最优解()解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z 2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z 2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3．若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z ＝0，作直线l ：y －x ＝0.当直线l 向下平移时，所对应的z ＝x －y 的函数值随之增大，当直线l 经过可行域的顶点M 时，z ＝x －y 取得最大值．顶点M 是直线x ＋y ＝1与直线y ＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝0，得顶点M 的坐标为(1,0)，代入z ＝x －y ，得z max ＝1.4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么PO 的最小值等于________，最大值等于________．解析：如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO 指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为12＋12＝2，最长为12＋32＝10.答案：2 10求线性目标函数的最大(小)值[典例] 设z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.解线性规划问题的基本步骤(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(3)求：通过解方程组求出最优解．(4)答：根据所求得的最优解得出答案．[活学活用]1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t ＝x －2y ，得直线y ＝12x －12t 在点⎝⎛⎭⎫2，a －22处取得最大值，即t max ＝2－2×a －22＝4－a ＝2，得a ＝2，故选C.2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z 2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5.答案：－5题点一：距离型最值1．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域如图所示，x2＋y2＝u(除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大．取(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以u max＝73，u min＝0.题点二：斜率型最值2．在题点一的条件下，求v ＝yx－5的最大值与最小值．解：v＝yx－5表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5,0)连线的斜率，由图可知，k BD最大，k CD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以v max＝－33－5＝32，v min＝83－5＝－4.非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．线性规划的实际应用[典例](2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ 70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点． (2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y . 考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．(1)解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点： ①在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要． ②线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．③结合实际问题，判断未知数x ，y 等是否有限制，如x ，y 为正整数、非负数等． (2)寻找整点最优解的两个方法①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l ，最先经过或最后经过整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②调整优值法：先求出整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．[活学活用]一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件解析：选D 设甲商品x 件，乙商品y 件，所赚钱数为z ，则目标函数为z ＝x ＋1.8y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图所示，由z ＝x ＋1.8y ，得y ＝－59x ＋5z 9，斜率为－59>－47，所以，由图可知直线过点A ⎝⎛⎭⎫0，507时，z 取得最大值．又x ，y ∈N ，所以点A 不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x ＝2，y ＝6时，z 取得最大值，故选D.层级一 学业水平达标1．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9. 2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N z ＝20x ＋40yB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N z ＝20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6z ＝20x ＋40yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y解析：选A 由题意知A 正确．3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤95，6 B.⎝⎛⎦⎤－∞，95∪[6，＋∞) C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6]解析：选A 作出可行域，如图中阴影部分所示，yx 可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B ⎝⎛⎭⎫52，92，A (1,6)，故yx 的取值范围是⎣⎡⎦⎤95，6.4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为()A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定解析：选B 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *.求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)． 5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，所以a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.6．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A (1,3)，B (2,5)，C (3,4)，设目标函数为z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2,5)时，n －m 的最大值为3.答案：37．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0， 得A (1,2)，所以|AO |2＝5. 答案：58．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A ，B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y .由⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)， 画出可行域，如图所示．当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1，2)时，z 取到最小值，且最小值为zmin ＝3×1＋6×2＝15.答案：159．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1，0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2. 故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ， 作出可行域如图．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线． 过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)， ∴最优解为x ＝2，y ＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．层级二 应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 2．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12C ．－12D ．－1解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤53，5 B ．[0,5] C ．[0,5)D.⎣⎡⎭⎫53，5解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u ＝2x －2y －1，当直线2x －2y －1－u ＝0经过点A (2，－1)时，u ＝5，经过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，u ＝－53， 则－53≤u <5，所以z ＝|u |∈[0,5)，故选C.4．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，2y －x ＋2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．1或－12C ．2或1D ．2或－1解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝y －2ax ，得y ＝2ax ＋z .当2a ＝2或2a ＝－1，即a ＝1或a ＝－12时，z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，故选B.5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 设t ＝x ＋2y ， 则y ＝－12x ＋t 2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x＋2y的最小值为1.答案：16．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目________万元，投资B 项目________万元．解析：设投资者对A ，B 两个项目的投资分别为x ，y 万元，则由题意得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，0.4x ＋0.1y ≤8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋y ≤80，x ≥0，y ≥0.投资者获得的利润设为z ，则有z ＝0.8x ＋0.4y .作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B 时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋y ＝80，得B (10,40)． 所以，当x ＝10，y ＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元． 答案：10 407．某运输公司每天至少要运送180 t 货物，公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，且有10名驾驶员．A 型卡车每天可往返4次，B 型卡车每天可往返3次，每辆A 型卡车每天花费320元，每辆B 型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？解：设每天调用A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，每天花费z 元．则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ∈N0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ∈N0≤y ≤4，y ∈Nx ＋y ≤10，4x ＋5y ≥30，目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线320x ＋504y ＝z 经过直线4x ＋5y ＝30与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x ＋504y ＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．所以要使公司每天花费最少，每天应调用A 型卡车8辆，B 型卡车0辆．8.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值时的最优解有无数个，求yx －a的最大值．解：由题意，知当直线y ＝－1a x ＋z a 与直线AC 重合时，z 取得最小值时的最优解有无数个，∴－1a ＝2－14－1，∴a ＝－3， ∴y x －a ＝y x ＋3＝k PD ≤k DC ＝24－(－3)＝27(其中D (－3，0)，P (x ，y )为可行域中任意一点)， ∴y x －a的最大值为27.。
高中数学必修5《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案
高中数学必修5《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案一、教学内容分析本小节是普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)第三章第3小节,主要内容是利用平面区域体现二元一次不等式(组)的解集;借助图解法解决在线性约束条件下的二元线性目标函数的最值与最优解问题;运用线性规划知识解决一些简单的实际问题(如资源利用,人力调配,生产安排等)。
突出体现了优化思想，与数形结合的思想。
本小节是利用数学知识解决实际问题的典例,它体现了数学源于生活而用于生活的特性。
二、学生学习情况分析本小节内容建立在学生学习了一元不等式(组)及其应用、直线与方程的基础之上，学生对于将实际问题转化为数学问题,数形结合思想有所了解. 但从数学知识上看学生对于涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系的知识接触尚少，从数学方法上看，学生对于图解法还缺少认识，对数形结合的思想方法的掌握还需时日，而这些都将成为学生学习中的难点。
三、设计思想以问题为载体，以学生为主体，以探究归纳为主要手段，以问题解决为目的，以多媒体为重要工具，激发学生的动手、观察、思考、猜想探究的兴趣。
注重引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的数学建模过程，体会“从具体到一般”的抽象思维过程，从“特殊到一般”的探究新知的过程;提高学生应用“数形结合”的思想方法解题的能力;培养学生的分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标1、知识与技能:了解二元一次不等式(组)的概念,掌握用平面区域刻画二元一次不等式(组)的方法;了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念;理解线性规划问题的图解法;会利用图解法求线性目标函数的最值与相应最优解;2、过程与方法:从实际问题中抽象出简单的线性规划问题,提高学生的数学建模能力;在探究的过程中让学生体验到数学活动中充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、化归能力、探索能力、合情推理能力;3、情态与价值:在应用图解法解题的过程中,培养学生的化归能力与运用数形结合思想的能力;体会线性规划的基本思想，培养学生的数学应用意识;体验数学来源于生活而服务于生活的特性.五、教学重点和难点重点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),用平面区域刻画二元一次不等式组的解集及用图解法解简单的二元线性规划问题;难点:二元一次不等式所表示的平面区域的探究,从实际情境中抽象出数学问题的过程探究,简单的二元线性规划问题的图解法的探究.六、教学基本流程第一课时,利用生动的情景激起学生求知的欲望,从中抽象出数学问题,引出二元一次不等式(组)的基本概念,并为线性规划问题的引出埋下伏笔.通过学生的自主探究,分类讨论,大胆猜想,细心求证,得出二元一次不等式所表示的平面区域,从而突破本小节的第一个难点;通过例1、例2的讨论与求解引导学生归纳出画二元一次不等式(组)所表示的平面区域的具体解答步骤(直线定界,特殊点定域);最后通过练习加以巩固。
高中数学人教A版必修5第三章3.3.2简单的线性规划问题(二)课件
学段 初中 高中
硬件建设 班级学生数 配备教师数 万元
45
2
26／班
40
3
54／班
教师年薪 万元
2／人 2／人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600 元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中 班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18
x 27
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
B(3,9)和C(4,8)在直线上,且在可行域内, 整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数t = x+y
y 15
B(3,9)
9
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
x+y =0
2 1 0 12 78
x
18
27
作出直线 x+y=0，
2x+y=15
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
x
1 7
得M点的坐标为：
人教版A版高中数学必修5：二元一次不等式(组)与简单线性规划问题_课件16
车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和
60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总
数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为
A．31 200元
() B．36 000元
C．36 800元
D．38 400元
不等关系1：运载人数≥900.
不等关系2：租车总数≤21.
2．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件 由变量x，y组成的 不等式(组)
线性约束条件 由x，y的 一次 不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数 关于x，y的函数 解析式 ，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次 解析式
可行解 满足线性约束条件的解 (x，y) 可行域 所有可行解组成的 集合
求这类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的 斜截式：y＝－abx＋bz，通过求直线的截距bz的最值间接求出 z 的 最值．
(2)距离型：形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2. (3)斜率型：形如 z＝xy－－ba. 注意：转化的等价性及几何意义．
[典例] (2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客
最优解 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或 _最__小__值__问题
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元 一次不等式化为 ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域 内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多 个，也可能没有．
不等关系3：B型车不多于A型车7辆.
[解析] 设租用 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，目标函数为 z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
人教版必修5第三章第三节5.3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
所表示的平面区域如
图(阴影部分)：
又直线 y＝3x－z 的斜率为 3. 由图象知当直线 y＝3x－z 经过点 A(2,0)时， z 取最大值 6， 当直线 y＝3x－z 经过点 ∴z＝3x－y
1 B 2，3时，z
3 取最小值－2， A.
3 的取值范围为－ ，6，故选 2
(3)掌握一种方法——数形结合法， 这是解决线性规划问题 的最基本的方法，其实质就是利用数形结合思想解决最值问 题． (4) 注意一个综合 ——线性规划问题与其他知识模块的综 合，熟练利用相关知识进行运算，将问题转化为简单的线性规 划问题，这也是 2012 年高考命题的趋势．
x－y＋5≥0， (1)画出不等式组x＋y≥0， x≤3 答下列问题： ①指出 x，y 的取值范围． ②平面区域内有多少个整点？
－x≤y≤x＋5， ②由图形及不等式组知 －2≤x≤3，且x∈Z.
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点； 当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝4约束条件
意义 由变量x，y组成的
.
不等式(或方程)组成的不等 线性约束 由x，y的 式(组) 条件 ，如z＝2x＋3y等 目标函数 关于x，y的函数
线性目标 函数 可行解
关于x，y的
解析式 .
满足线性约束条件的解
意义 所有可行解组成的 . 使目标函数取得 或 的 最优解 可行解 线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题 问题
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二元一次不等式组与简单的线性规划问题
【知识网络】
1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；
2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；
3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。
【典型例题】
例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0
C ．82300<+y x
D ．82300>+y x
答案: D 。
解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。
（2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是
（ ）
A ．5
B ．8
C ．12
D ．13
答案：D 。
解析：作出图形找整点即可。
（3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）
答案：C 。
解析：原不等式等价于⎩⎨
⎧≤-+≥+-⎩⎨
⎧≥-+≤+-0
30
1203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．
（4）设实数x , y 满足20
240230
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则y x 的最大值为 ．
答案:
32。
解析：过点3(1,)2时，y
x 有最大值32。
（5）已知12
24
a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．
答案： ]10,5[。
解析：过点31
(,)22
时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。
例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：
①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≥≤2
10y x y x y x 上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
它所围成的面积S ＝21×4×2－2
1
×2×1＝3．
例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2
＋2x ．
(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；
(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。
答案: (Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，
则000
0,,2
.0,2
x x
x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即
∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴()2
2
2
22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故
（Ⅱ）()()()21211h x x x λλ=-++-+
①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，
1λ∴=- ②11.1x λ
λλ
-≠-=
+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ
λλλ-<-≤-<-+当时,解得
ⅱ）111,10.1当时,解得λ
λλλ
->-≥-<≤+
0.λ≤综上，
例4：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？
答案:：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0
027*******y x y x y x y x 且x ，y 都是整数． 求目标函数z ＝x ＋y 取得最小值时的x ，y 的值．
如图，当x ＝3，y ＝9或x ＝4，y ＝8时，z 取得最小值．
∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢
板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少． 【课内练习】
1．双曲线224x y -=的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ）
A 、003003x y x y x y x -≥⎧⎪+≥⎪⎨--≥⎪⎪≤≤⎩
B 、003003x y x y x y x -≥⎧⎪+≤⎪⎨--≥⎪⎪≤≤⎩
C 、003003x y x y x y x -≤⎧⎪+≤⎪⎨++≤⎪⎪≤≤⎩
D 、003003
x y x y x y x -≤⎧⎪+≥⎪⎨++≤⎪⎪≤≤⎩
答案：A 。
解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，过（3，0）且平行于y x =±的直线是3y x =-和3y x =-+，∴围成的区域为A 。
2．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)
取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（ ）
A ．
32
B ．21
C ．2
D ．2
3 答案:B 。
解析：11
,22
AC k a =-∴-=-，
即12
a =。
3．设集合{(,)|,,1•A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分)是 ( )
答案:A 。
解析：12111,2112x y x y x y x y x y x y x x y y ⎧
+>⎪+>--⎧⎪
⎪⎪
-<--∴<⎨⎨⎪⎪
->--⎩⎪
<⎪⎩
，故选
A。