气体动理论

7-4 一个能量为12

10ev 的宇宙射线粒子,射入一氖气管中,氖管中含有氦气0.10mol,如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变为热运动能量,问氖气的温度升高了多少? 分析 对确定的理想气体，其分子能量是温度的单值函数，因此能量的变化对应着温度的变化。由能量守恒求解氖气的温度变化。 解: 依题意可得:

23

12193

0.1 6.0210 k T 10 1.6102

-⨯⨯⨯

∆=⨯⨯ 7

71.610 1.28100.1 6.02 1.5 1.38

T K -=⨯∆=

=⨯⨯⨯⨯ 7-5 容器内贮有1摩尔某种气体。今自外界输入2

2.0910⨯焦耳热量,测得气体温度升高10K.求该气体分子的自由度。

分析 理想气体分子能量只与自由度和温度有关。

解： ,2A i E N k T ∆=∆222 2.091056.02 1.3810

A E i N k T ∆⨯⨯∴===∆⨯⨯

7-7 温度为27C ︒时,1mol 氢气分子具有多少平动动能?多少转动动能? 分析 气体的能量为单个分子能量的总合。

解：2323333

6.0210 1.3810300 3.741022t A

E N kT J -==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ 23233

226.0210 1.3810300 2.491022

r A E N kT J -==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯

7-8有33210 m ⨯刚性双原子分子理想气体，其内能为26.7510 J ⨯。(1) 试求气体的压强；

(2) 设分子总数为 225.410 ⨯个，求分子的平均平动动能及气体的温度． 分析 将能量公式2i E N

kT =结合物态方程N

P kT V

=求解气体的压强。由能量公式2

i

E N

kT =求解气体的温度。再由气体的能量为单个分子能量的总合求解单个分子的平均平动动能。

解：(1) 设分子数为N 。 2i N

E N kT P kT V

==据

及 52 1.3510E

P pa iV

=

=⨯得

(2) 3252

kt

kT E N kT ε=由

得 ()213/57.510kt E N J ε-==⨯ 又 kT N E 2

5= 得 23625E

T K Nk

=＝

7-10 2L 容器中有某种双原子刚性气体,在常温下,其压强为51.510pa ⨯,求该气体的内能. 分析 内能公式与物态方程结合可将内能公式表述为压强与体积的函数。

解：据RT M m

PV =

， 5355

1.510210750222

m i E RT pV J M -=

==⨯⨯⨯⨯= 7-12温度为273K ，求(1)氧分子的平均平动动能和平均转动动能(2)3410kg -⨯氧气的内能. 分析 分子的能量只与自由度与温度有关，分析分子的平动自由度和转动自由度即可求解平均平动动能和平均转动动能。而内能只需根据内能公式求解。

解：氧分子为双原子分子。其平均自由度t=3,转动自由度r=2.当视为刚性分子时,振动自由度s=0.所以:

(1) 氧分子的平均平动动能和转动动能分别为:

232133 1.3810273 5.651022kt kT J ε--==⨯⨯⨯=⨯

232122

1.3810273 3.771022

kr kT J ε--==⨯⨯⨯=⨯

(2) 当3410m kg -=⨯时,其内能为:

()32

3

41058.312737.0910232102

t r m E RT J M --+⨯=⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯ 7-13 在相同温度下,2摩尔氢气和1摩尔氦气分别放在两个容积相同的容器中。试求两气体(1)分子平均平动动能之比;(2)分子平均总动能之比;(3)内能之比;(4)方均根速率之比;(5)压强之比(6)密度之比.

分析 此题是平均平动动能公式、分子平均总动能公式、内能公式、方均根速率公式、理想气体物态方程等的应用。

解： 因为氢气的自由度i=5;氦气的自由度i=3 (1) 3

1:12

kt kt kt kT εεε==氢氦： (2) 5:32

k k k i E kT

E E ==氢氦：

(3)RT i

M m E 2⋅=

，3:10＝：氦氢E E (4) M

RT V 32= ，2:22

2=氦氢：V V (5)N P nkT kT V ==

， :2:1P P =氢氦 (6) PM RT

ρ=，1:1＝：氦氢ρρ

7-14 已知()f v 是气体速率分布函数。N 为总分子数，,n 为单位体积内的分子数,。试说明以下各式的物理意义。

21(1)()(2)()(3)()v Nf v dv

f v dv

Nf v dv v ⎰ 2

1(6)()v f v dv v ⎰ 分析 根据速率分布函数()dN

f v Ndv =中的各个物理量的概念（有的问题需结合积分上下

限）比较容易理解各种公式的含义。 解：

（1）dv v Nf )(表示分布在（dv v v +~）]范围内的分子数

（2）dv v f )(表示（dv v v +~）范围内的分子数占总分之数的百分比

（3）

dv v v v Nf ⎰2

1

)(表示速率在（1

2v

v ）之间的分子数

(6)

2

1

()v f v dv v ⎰

表示速率在（1

2v v ）区间内的分子数占总分之数的百分比.

7-15 N 个粒子的系统,其速度分布函数 C Ndv

dN

v f ==

)( 0(0,v v c <<为常数）

(1)根据归一化条件用定出常数C; (2) 求粒子的平均速率和方均根速率.

分析 将分布函数定义，用归一化条件用定出常数C 。根据定义计算平均速率和方均根速率。 解：(1) 根据归一化条件

00

1

()11v f v dv Cdv Cv C v ∞

===∴=

⎰

⎰

，

， (2) 000

01()2

v

v vf v dv vCdv v ∞

=

==⎰

⎰

00==

=

=