机械能和动量综合题

能量与动量综合练习
1．如图所示，在光滑的水平轨道上，质量为2m 的球A 以v A 的速度与质量为m 的静止球B 发生碰撞。

设在两球相碰过程中没有能量损失，并且B 球能通过与水平轨道相连接的、在同一竖直平面内半径为R 的半圆轨道的最高点P ，半圆轨道也是光滑的。

试求：
（1）碰撞前A 球的速度v A 至少要多大？
（2）在最小的v A 条件下，碰撞后B 球从开始运动到运动到P 点时动量的变化量是多少？并说明这一变化量是由哪些力作用的结果。

解：（1）设碰后A 球的速度为'A v ，B 球的速度为
B v
碰撞过程，对A 、B 系统用动量守恒定律
B A A mv mv mv +'=22 （2分） 由能量守恒得 22221221221B A A mv mv mv +'⋅=⋅… （2分）
B 上升的过程由动能定理
2221212B mv mv R mg -=
⋅-….③ （2分） 为使B 球运动到P 点，需要gR v ≥……….④ （2分）
联立上述方程得 453Rg
v A ≥
……… （2分） （2）在最小的v A 条件下，由③④式得gR v B 5= （2分） )51(+-=-=∆gR m mv mv P B B （选择向右为正方向）， （2分） 是重力和轨道弹力作用的结果。

2．如图所示，用长为L 的细绳悬挂着质量为M 的小球，今有一质量为m 的子弹以水平速度v 击中小球并留在其中，为保证小球能在竖直平面内运动而悬线不会松驰，v 必须满足什么条件？
A B
v≤
gL 2m m M +，v≥gL 5m m M +
3．A 物体自空中某处自由下落，同时B 物体从地面以s m /200=υ的初速度正对着A 竖直上抛，经过1秒钟，A 、B 相碰并粘在一起，已知质量3B A m m =.空气阻力不计，取210/g m s =.求：（1）AB 刚粘在一起时的速度。

（2）AB 落到地面时的速度是多少？
经1秒种，A 的速度为./10110s m gt A =⨯==υ方向向下
B 的速度为,/10110200s m gt t B =⨯-=-=υ方向向上
碰撞时由动量守恒，取向上为正：1)(υυυB A B B A A m m m m +=+
得：s m /51=υ 碰撞时的高度为：.1510
210202222
120m g h =⨯-=-=υυ 碰撞后满足机械能守恒：2221)(2
1)()(21υυB A B A B A m m gh m m m m +=+++ 得：./1353252s m ==υ
4．水平桌上放一质量为1.0kg 条形金属盒，盒宽为1m,与水平桌面的动摩擦因数是0.25，在盒的A 端有一个与盒质量相等的小球B ，与盒间无摩擦。

现在盒的A 端迅速打击一下金属盒，给盒以2N ·S 的向右冲量，设球与盒的碰撞没有能量损失且碰撞时间极短。

求
（1）小球B 在金属盒内运动的时间？
（2）球与盒组成的系统从开始运动到完全停止的时间？（小球大小不计）
23．16 （1）0.5s (2) 0.9s
5．A 、B 两个矩形木块用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k ，木块A
的质量为m ，木块B 的质量为2m 。

将它们竖直叠放在水平地面上，如
图所示。

(1)用力将木块A 缓慢地竖直向上提起，木块A 向上提起多大高度时，
木块B 将离开水平地面？
(2)如果使另一块质量为m 的物块C 从距木块A 高H 处自由落下，C 与
A 相碰后，立即与A 粘在一起，不再分开，再将弹簧压缩，此后，A 、
C 向上弹起，最终能使木块B 刚好离开地面。

如果木块C 的质量减为m/2，要使木块B 不离开水平地面，那么木块C 自由落
下的高度H 距A 不能超过多少？
解：(1)压缩平衡时，1kx mg =得k
mg x =
1 提离地面时，对B 为22kx mg = 得k
mg x 22= 故A 提升高度为k mg x x 321=+ (2)C 与A 碰前速度gH V 2=，C 与A 碰后一起向下运动的初速度
设为1V 由动量守恒：1)(V m m mv +=
P E x x mg mgH ++=)(22
121 同理：若C 的质量变为m 2
1，设下落高度为h ， P E x x mg mgh ++=)(2
36121 解得)33(K mg H h -=故)33(K mg H h -≤
6．如图所示，紧挨着放在光滑水平桌面上的A ，B 两个木块质量分别为m 1=2kg 和m 2=3kg;一颗质量m=0.1kg 的子弹，以水平速度v 0射如A ，经Δt=0.01s
射穿A ，最后停在B 中。

经测量，最终A ，B 在水平桌面上滑
行的速度分别为v 1 =8m/s 和v 2=20m/s.求
（1）、子弹射入A 之前速度 v 0多大？
（2）、子弹在A 中受到的平均作用力多大？
（3）、子弹穿透A 的过程中，A ，B 之间相互作用力的平均值多大？
解：（1）以子弹、A 、B 为一系统，相互作用动量守恒
由mv 0=m 1v 1+(m+m 2)v 2 （4分）
得v 0=780m/s （2分）
（2）设子弹在A 中所受的平均作用力为f
以A 、B 为研究对象
由动量定理有：fΔt=(m 1+m 2)v 1 （4分）
得：f=4000N （2分）
（3）设子弹在射穿A 的过程中，A 、B 之间的平均作用力为F
以B 为研究对象
由动量定理有：FΔt=m 2v 1 （4分）
得：F=2400N
7．如图所示，A 、B 质量分别为m 1 = 1 kg ，m 2 = 2 kg ， 置于小车C 上。

小车质量m 3 = 1kg ，AB 间粘有少量炸药，AB 与小车间的动摩擦因数均为0.5，小车静止在光滑水平面上，若炸药爆炸释放的能量有12 J 转化为A 、B 的机械能，其余的转化为内能。

A 、B 始终在小车上表面水平运动，求：
(1). A 、B 开始运动的初速度各是多少?
(2). A 、B 在小车上滑行时间各是多少?
(1). 爆炸过程，动量守恒， (3分)
能量守恒 (3分)
∴vA = 4 m/s vB = 2 m/s (2分)
(2). 爆炸后，AB 在车上左、右滑行，小车向右滑动，经tB 时间B 与车相对静止，A 继续在车上滑行，最终三者速度都为零，此时A 停在车上，设时间为tA (2分)
C 车加速度大小为 m/s2 (3分)
A 、
B 加速度大小： 5m/s2 (2分)
B 与车相对静止时 s (2分)
A 停止滑行 s
8．如图所示，一个质量为m=5kg 的物体，用一根不可伸长的长为L=50cm 的细线悬挂于O 点，在O 点的正下方某处有一根钉子，当细线摆到竖直位置时，细线将被钉子挡住．现将细线拉直至水平位置后由静止开始释放，求：
(1)要使小球上的细线最终全部绕在钉子上，钉子应在O 点下方至少多
远处？
(2)在上述（1）的临界状态下，细线第一次碰撞钉子前后的
拉力之比为多少？
解：(1)小球碰上钉子O /后以钉子O /为圆心做圆周运动刚好能通过最
高点，则在最高点Q 有： r
v m mg 22 …………（2分） 研究小球由静止运动到Q 点的过程中，由机械能守恒得： mg(L-2r)=222
1mv …………（2分） 满足条件的钉子在O 点下方的最小值为X=L-r=L 5
3 …………（2分） (2)小球在由静止开始摆至最低点P 的过程中，由机械能守恒得： mgL=212
1mv …………（2分） 在最低点碰钉子前，小球做半径为L 的圆周运动，细线的拉力为F 1有：
F 1-mg=L
v m 21 得F 1=3mg …………（2分） 在最低点碰钉子前，小球做半径为r 的圆周运动，细线的拉力为F 2有：
F 2-mg=r
v m 21 得F 2=6mg …………（2分） 则细线碰钉子前后的拉力之比为：F 1∶F 2=1∶2 …………（2分）
9．如图所示，质量为3m 、长度为L 的木块置于光滑的水平面上，质量为m 的子弹以初速度v 0水平向右射入木块，穿出木块时速度为2 v 0/5，设木块对子
弹的阻力始终保持不变.求：
⑴子弹穿透木块后,木块的速度的大小；
⑵子弹穿透木块的过程中，木块滑行的距离s
解:（1）mv 0=m×2v 0/5＋3mv,则v= v 0/5
（2）f(s ＋L) = m[v 02－(v 0)2], fL = ×3mv 2,解得s = L
10．如图，在光滑的水平桌面上，静放着一质量为980g 的长方形匀质木块，现有一颗质量为20g 的子弹以300m/s 的水平速度沿其轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。

已知木块长度为10cm ，子弹打进木块
的深度为6cm 。

设木块对子弹的阻力保持不变。

（1）求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所增加的内能。

（2）若子弹是以400m/s 的水平速度从同一方向向水平射向该木块的，则它能否射穿该木块？
解:(1)动量守恒:mv 0=(M+m)v 1 v 1= =6m/s.
ΔE=
(2)假设恰能射穿
mv 0’=(M+m)v’ v’=20×10–3×4×102=8m/s
f.S’= f.S=
S’= 则能射穿木块.
11．空间探测器从行星旁绕过时，由于行星的引力作用，可以使探测器的运动速率增大，这种现象被称之为“弹弓效应？。

在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法。

如图所示是“弹弓效应”示意图：质量为m 的空间探测器以速度v 0飞向质量为M 的行星，此时行星的速率是u 0，绕过行星后探测器的速度为v ，此时行星的速度为u ，题中v 0、u 0、v 、u 都是相对于太阳的速度。

（1）空间探测器及行星的速度v 0、u 0、v 、u 的方向均可视为平行，试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”及“始末状态总动能守恒”的方程；（2）在m<<M 的条件下，求出空间探测器绕过行星后相对
太阳的速度v （用v 0、u 0来表示）；（3）若上述行星为M=5.67×1026kg 的土星，其轨道速率为u 0=9,6km/s,空间探测器的质量m=150kg,迎向土星
地速率v 0 =10.4km/s ，则由于“弹弓效应”，该探测器绕
过土星后的速率将增为多少？
（1）根据动量守恒定律 mv Mu mv Mu +=-00①（2分）由于始末状态总动能相等。

故
22202021212121mv Mu mv mu +=+②（2分） （2）由①式得M(u 0－u)=m(v 0+v)③（1分） 由②式得M(u 02－u 2)= m(v 2+v 02)④（1分）∵u 0≠u，v 0≠v ∴联立③④式，解得：M m
v M m v u m M mv v u M v +-+=+-+=12)2(000000 ⑤（3分）∵m<<M 即0→M
m ∴v=2u 0+v 0 ⑥（2分） （3）由于m=150kg ，M=5.67×1026kg, 0→M
m 故将v 0、u 0的已知数据代入⑥式，得v=29.6 km/s ⑦（3分）
12．如图所示，光滑水平面上有两辆相同的小车，质量都是M.B 车静止，其顶板上用细线悬挂一个质量为m 的小球（M ＝4m ），小球也处于静止.A 车以速度v 0向右匀速运动，和B 车发生正碰，碰撞时间极短，碰后两车不再分开，
这时可以观察到B 车中悬挂的小球开始摆动.若
小球第一次向左摆动的最大摆角为60°，求悬
挂小球的细线的长度L.
解:两车相碰的极短时间内小球保持静止，两车
组成的系统动量守恒Mv 0＝（M ＋M ）v 1
小球上摆到最大摆角的过程中，水平方向动量守恒（M ＋M ）v 1＝（M ＋M ＋02）v 2 两车相碰后到小球第一次摆动到最高点过程系统机械能守恒
mgL （1－cos60°）＝
21（M ＋m ）v21－2
1（M ＋M ＋m ）v 22 已知M ＝4m
由以上各式解得L ＝g v 9220 13．一个质量m ＝0.20kg 的小球系于轻质弹簧的一端，且套在半径R ＝0.5 m 的光滑圆环上，圆环固定在竖直平面内，弹簧的另一端固定在环的最高点A 处，环的半径R ＝0.5m ，弹簧的原长l 0＝0.50 m ，劲度系数k ＝4.8N ／m ，如图所示.已知弹簧处于原长时的弹性势能为零.
伸长长度为x 时弹簧的弹性势能为22
1kx E P =.若小球从图中B 点（∠AOB＝60°）由静止开始释放，它将沿圆环滑动并通过最低
点C.求：
（1）小球经过C 点时的速度vc 的大小；
（2）小球经过C 点时对环的作用力.
（1）设小球经过C 点时的速度大小为v c ，这时弹簧伸长的长度x
＝R ＝0.5 m ，根据机械能守恒定律，mg （R ＋Rcos60°）＝
222
121c mv kx +， 则s m m
kx mgR v c /3)60cos 1(22
=-︒+=. （2）小球经过C 点时共受到三个力的作用，即向下的重力mg 、向上的弹簧弹力F 及环的作用力N ，这三个力的合力提供它做圆周运动所需的向心力.设环对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律可列出：N ＋F —mg ＝mv 2c ／R ，
解出 N ＝mg ＋mv 2c ／R —kx ＝8.8N ，方向向上.
根据牛顿第三定律，小球对环的作用力大小为8.8N ，方向竖直向下.
14．如图所示,质量为1kg 物块m 1以5m/s 速度在水平桌面上向右运动,桌面AB 部分粗糙,其长2.25m,与物块间动摩擦因数为0.2,其他部分均光滑,在桌右端有一静止的质量为2.5kg 的物块m 2,m 1与m 2正碰后,m 2离开桌面,当它下落竖直距离0.6m 时,速度大小为4m/s,试求：物块m 1停在桌面上的位置.(g 取10m/s 2)
56．m 1与m 2碰撞前的速度为v 1，由动能定理 2211110111224/AB m gS m v m v v m s μ-=
-=得 ①
②
m 2碰后速度为v 2，下落0.6m 速度为v 2′
由22222221122
m gh m v m v '=- ③ 得22/v m s = ④
m 1与m 2碰撞过程动量守恒,m 1碰后速度为v 1′
1111
22m v m v m v '=+ ⑤ 得1
1/v m s '=- ⑥ 设m 1停在距Bl 远处由动能定理 2111102
m gl m v μ-=- ⑦ 0.25l m = ⑧
15．在倾角θ=30°的粗糙斜面上放一长L=0.2m 的盒子（如图12），盒子与斜面间的动摩擦因数μ=0.8，在盒子的上方放一质量等于盒子质量的小物块且与盒内表面无摩擦，放开物块后即从盒内滑下，当盒从开始位置移动多大距离时，物块才不再与盒子发生碰撞？（设碰撞时间极短，且碰撞中没有机械能损失，物体与盒在碰撞时交换速度）。

解：因物体与盒的碰撞没有机械能损失，所以当盒下滑时损失 的机械能全部用来克服斜面的摩擦力做功，且最终都处于静止状态。

（4分）
设盒下移的位移为x ，物体的质量为m ，如图所示。

根据能量守恒定律有：
︒++︒=︒30sin )(30sin .30cos ..2.x L mg mgx x mg μ（6分） 解此方程得：26.046
534=+=x m （5分） 16．如图所示为三块质量均为m ，长度均为L 的木块。

木块1和木块2重叠放在光滑的水平桌面上，木块3沿光滑水平桌面运动并与叠放在下面的木块2发生碰撞后粘合在一起，如果要求碰后原来叠放在上面的木块1完全移到木块3上，并且不会从木块3上掉下，木块3碰撞前的动能应满足什么条件？设木块之间的动摩擦因数为m 。

解：设第3块木块的初速度为v 0，对于3、2两木块的系
统，设碰撞后的速度为v 1，据动量守恒定律得：mv 0=2mv 1
① （3分）
对于3、2整体与1组成的系统，设共同速度为v 2，则据
动量守恒定律得：
2mv 1=3mv 2 ②（2分）
（1）第1块木块恰好运动到第3块上，首尾相齐，则据能量守恒有：
3221.3.2
1.2.21v m v m mgL -=μ ③（2分） 由联立方程得：E k3=6μmgL ④（2分）
（2）第1块运动到第3块木块上，恰好不掉下，据能量守恒定律得：
3221.3.2
1.2.21
)5.1(v m v m L mg -=μ ⑤（3分） 由联立方程得：E k3=9μmgL （2分）
故：mgL E mgL k μμ963≤≤ （2分）
17．如下图所示，质量为M ，长L=1.0m ，右端带有竖直挡板的木块B ，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的小木块（可视为质点）A ，以水平速度v 0=4.0m/s 滑上B 的左端，而后与右端挡板碰撞，最后恰好滑到木板B 的左端。

已知M/m=3，并设A 与挡板碰撞时无机械能损失，碰撞时间可以忽略，求：
⑴A、B 的最后速度。

⑵木块A 与木板B 间的动摩擦因数。

⑶画出此过程中B 相对地的速度-时间图线。

．（1） 1m/s （3分）
（2） =0.3 (3分)
（3）(6分) 设A 与B 碰前后，A 的速度分别为v A 和v A ’ B 的速度分别为V B 和v B ’,根据相碰的过程满足动量和能量守恒得到mv 0=mv A +MV B
)2121(212220B A Mv mv mv mgL +-=μ
解得v A =
s m /2232+ V B =s m /222- v A ’ =s m /2232- v B ’= s m /2
22+ 18．A 、B 两人各乘一辆小车在光滑水平直导轨上匀速相向而行，速率均为v 0=6m ／s ，A 车上有质量m=2kg 的沙袋若干个，A 和所乘的车及所带沙袋的总质量为M 1= 100kg ，B 和所乘的车总质量为M 2=60kg ，现在A 设法不断地将沙袋一个一个地以相对于地面大小为v=16.5m/s 的水平速度抛向B ，并且被B 接住．求：要保证两车不会相碰，A 至少要向B 抛出多少个沙袋?
取M 1、M 2及沙袋为系统，由动量守恒定律得：
v M M v M v M )(210201+=- ①
取M 1及扔出的n 个沙袋为一系统，由动量守恒定律得：
v nm v nm M v M '+-=)(101 ②
解得： n=15个③
19．如图所示，质量m1=1.0kg的物块随足够长的水平传送带一起匀速运动，传送带速度v
带=3.0m/s，质量m2=4.0kg的物块在m1的右侧L=2.5m处无初速放上传送带，两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.10，两物块碰后瞬间m1相对传送带的速度大小为2.0m/s，求：
（1）质量为m2的物块释放后经过多少时间两物块相碰。

（2）碰撞后两物块间的最大距离。

（1）由牛顿第二定律可得碰撞前m2向右的加速度
a=f2/m2=μm2g/m2=μg=1.0m/s2(1分)
碰撞前运动时间内m1与m2位移关系s1=s2+L 即v带t=at2/2+L(2分)
代入数据解得：t=1.0s
t′=5.0s（不合题意舍去） (2分)
（2）碰前m1随传送带匀速运动速度为v1=v带=3.0m/s，碰前瞬间m2的速度v2=at=1m/s，
碰后瞬间m1的速度v'
1
=v1-2.0m/s=1.0m/s (1分)
碰撞瞬间由动量守恒定律有：m1v1+m2v2=m1v'
1+m2v'
2
(2分)
代入数据解得v'
2
=1.5m/s(1分)
碰后m1和m2均作匀加速运动至与传送带相对静止；，由于v'
2>v'
1
，其加速度均为a，此过
程中总有m2均大于m1的速度，故二者都相对传送带静止时距离最大,设为S m (1分)
m1相对滑动的时间为：t1=（v1—v'
1
）/a=2.0s(2分)
m2相对滑动的时间为：t2=（v1—v'
2
）/a=1.5s(2分)
m1相对滑动的时间内m2先加速后匀速，则
S m=S2m—S1m=v'
2t2+at2
2
/2+v1（t1—t2）—（v'
1
t1+at2
1
/2）=0.875m(2分)
20．如图所示，在光滑的曲面AB上有一质量m的小物体，由高为h处从静止滑下它与静止在光滑水平面BC上的质量为M的物体相碰撞，碰后小物体m又返回曲面，然后又从曲面下滑与物体M作第二次碰撞，若两物体是弹性碰撞。

问：
（1）第一次碰撞后，物体m的速度是多大？
（2）要使物体m、M发生第二次碰撞，m与M间应满足何种关系？。