我用概率证明了费马大定理

我用概率证明了费马大定理

章丘一职专马国梁

1637年，法国业余数学家费马在一本著名的古书——丢番图的《算术》中的一页上写了如下一段文字：

“分解一个立方为两个立方之和，或分解一个四次方为两个四次方之和，或更一般地分解任一个高于二次方的幂为两个同次方的幂之和均不可能。对此我发现了一个奇妙的证明，但此页边太窄写不下。”

用数学语言表达就是说，当指数n > 2时，方程x^n + y^n = z^n 永远没有整数解。这就是著名的连小学生都能看懂的费马猜想。

可是在这个猜想提出后，那个重要的“奇妙证明”不论在费马生前还是死后始终没有被人见到，且后人也再没有找到，所以人们怀疑那个证明根本就不存在或者是在什么地方搞错了。费马生前只是证明了n = 4 的情况；直到1749年，才被欧拉证明了n = 3 的情况。

这个猜想看上去是如此的简单，让局外人根本无法想象证明它的艰难，所以曾经让不少人跃跃欲试。他们搜肠刮肚，绞尽脑汁，耗费了无数的精力。三百多年来，虽然取得了很大进展，显示了人类的智慧，但问题总是得不到彻底解决。直到1995年，才由英国数学家怀尔斯宣称完成了最后的证明。从此费马猜想变成了真正的“费马定理”。

对费马定理的证明之所以艰难，是因为在整数内部有着极其复杂微妙的制约机制，要想找到这些制约关系，必须深入到足够的程度进行细致的分析才行。所以三百多年来，虽然有不少数学大家还有广大业余爱好者不畏艰难，前赴后继，顽强奋斗，但怎奈山高路远，歧途太多，终归难免失败。

在这样的现实下，笔者明白自己也是局外之人，所以不可能去钻这个无底的黑洞。但是作为一种乐趣，我们不妨另外开辟一条渠道，进行旁证和展望。试用概率计算一下：看看费马猜想是否成立，又成立到什么程度。虽然这在数学界难以得到公认，但是我们歪打正着，乐在其中。因为对于决定性的现象，如果其决定因素和控制过程过于复杂，那么其结果是可以用概率理论进行推算的。

但是要证明费马猜想究竟应该从何处下手呢？对此笔者心中一直有一个强烈的直觉。

我们知道：当n = 1 时，x + y = z 可有无数组解。在正整数中，任何两个整数相加的结果必然也还是整数。

但是当n = 2 时，方程x^2 + y^2 = z^2 的解就没有那么随便了，它们必须是特定的一组组的整数。其组数大大减少。

而当n = 3 时，方程x^3 + y^3 = z^3 则根本就没有整数解了。那么其原因是什么呢？

对此笔者曾经思考了多年。但没想到只是在近几天才一下子开了窍，找到了问题的关键。原来是：指数越大，整数的乘幂z^n在数轴上的坐标点就越稀疏，从而使任意两整数的同次方幂之和x^n + y^n 落在坐标点上成为整数的可能性就越小。其概率是z^n 的导数的倒数。即每组x^n + y^n 能够成为整数的可能性只有

η= 1/[n z^(n-1)] = 1/ [n (x^n + y^n )^(1-1/n) ]

当x、y在平面直角坐标系的第一区间随意取值时，我们可以用积分的办法算出其中能够让z成为整数的组数。其公式为

N =∫∫ηdx dy =∫∫[(dx dy) / (n (x^n + y^n )^(1-1/n))]

因为在平面直角坐标系上，当z 一定时，由方程x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是个正圆；

而由方程x^n + y^n = z^n 所决定的曲线则是一个近似的圆；

只有当n 趋于无穷大时，它的曲线才能成为一个正方形。

所以当n较小时，我们是可以把方程的曲线当作一个圆来处理的。这样以来，N的积分公式就变成了

N =∫[(0.5πz dz ) / (n z^(n-1))]

①当n = 1 时，由方程x + y = z 所决定的曲线是一条斜的直线。它在第一象限的长度是sqrt(2) z ，此时能够成为整数的概率是100%，即η= 1/[n z^(n-1)] = 1

所以N =∫sqrt(2) z dz = [1/sqrt(2)] z^2

即与z的平方成正比，这意味着在坐标系的第一象限中，遍地都是解。仔细想想这也可以理解。因为不论x还是y，都是可以取任意整数的；而正整数的数量是无穷多，所以它们的组合数将是无穷多的平方，为高一级的无穷多。

②当n = 2 时，由方程x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是一个正圆。在第一象限是一段1/4 的圆周，其长度是0.5πz ；此时η= 1/[2 z ]

所以N =∫(0.5πz dz / (2 z) ) = (π/4) z

即与z成正比，与正整数的个数为同一数量级。这就证明了勾股数的组数为无穷多。当然这包括了在大小上“勾股对调”情况，占总数的一半；还包括了整倍放大的相似形，它也占有很大的比例。

例如当z ≤101 时，采用上式的计算值是79组，但实际统计的结果是106组。其中勾股对调的占一半，故实际还剩53组。这其中整倍放大的有36组，故实际还剩17组。即彼此不相似、真正独立的直角三角形只有17个。

三角形的边长越小，其整倍放大的组数就越多。在106个三角形中，仅勾3、股4、弦5的相似形就占了40个。所以它在总数中具有相当高的地位。

③当n = 3 时，由方程x^3 + y^3 = z^3 所决定的曲线只是一个近似的圆。在此为了简化计算，我们仍然按正圆对待，它在第一象限的弧长仍为0.5πz ，整数概率η= 1/[3 z z ]

故N =∫[(0.5πz dz ) / (3 z z )] = (π/6) lnz

即N与z的对数成正比。这是一个增长十分缓慢的函数，是数量有限与无限增长的分界线。这与实际情况也是相符的。严格的数论虽然已经证明：该方程一组整数解也没有，但是与整数十分接近的解则应该有很多组。例如下面的两组解其偏差就只有1 .

6^3 + 8^3 = 9^3 -1

9^3 + 10^3 = 12^3 + 1

④一般的，当n ＞3 时，方程x^n + y^n = z^n 在第一象限的整数解组数是

N =∫[(0.5πz dz ) / (n z^(n-1))]

= [π/(2n (n-3))][1 – 1/(z^(n-3))] ≈π/(2n (n-3)) ＜1

例如当n = 4 时，N =π/8 ＜ 1

因此可以断定：当指数n ＞ 3 时，方程x^n + y^n = z^n 永远没有整数解，费马猜想成立。

当然假如整数内部没有制约关系，完全是随机的，那么该方程也许还有极少量的整数解；但实际情况并不是这样。

同理，我们还可以推出方程x^n + y^n + z^n = ρ^n 的整数解组数为

①当n = 1 时，N =∫0.5 sqrt(3)ρρdρ= [sqrt(3)/6 ]ρ^3

②当n = 2 时，N = (π/8)ρ^2

③当n = 3 时，N = (π/6)ρ

N与ρ成正比，就是说方程x^3 + y^3 + z^3 =ρ^3 可有无数组整数解。但当令z等于最小的整数1不变时，方程的解就很有限了。这就是当n = 3 时的费马大定理的近似解。

④当n = 4 时，N = (π/6) lnρ

⑤一般的，当n ＞4 时，方程x^n + y^n + z^n =ρ^n 在第一象限的整数解组数是

N =∫[(0.5πρρdρ) / (nρ^(n-1))]

= [π/(2 n (n-4))][1 – 1/(ρ^(n-4))] ≈π/(2 n (n-4) ) ＜1

例如当n = 4 时，N =π/8 ＜ 1

因此可以断定：当指数n ＞ 4 时，方程x^n + y^n + z^n =ρ^n 也永远没有整数解。

通过以上的分析计算，可以说我们对费马大定理的前景应该是很清楚了：

①费马方程如果在n 比较小的时候没有整数解，那么在它增大以后就更没有整数解；

②对于左边是m元的方程来说，当n ＞m +1 时，方程将永远没有整数解。

例如四元方程x^n + y^n + z^n + t^n =ρ^n

当n ＞5 时，方程就永远没有整数解；

当n = 5 时，方程的整数解介于没有、有限和无限多之间，难说。

所以只有当n ＜ 5 时，方程才会有无数组整数解。

我不知道：如果在早期人们就这么计算过，之后还会不会有三百多年的角逐；也不知道在这期间是否有人这么计算过，为什么这样的证明都不算数？

当然任何事物的存在都有它的合理性。数学上的逻辑推理会让人产生极大的乐趣，它是一种发自内心的动力；大家趋之若鹜，争先恐后，也有一种智力竞赛的性质。正因如此，才催生了一大批著名的数学家，开辟了数学的新领域，找到了许多新的方法。从这个角度看，费马猜想的确是一只“会下金蛋的鸡”。只是人们为此付出的代价也太大了。两者相比究竟孰轻孰重，大家众说纷纭，可又如何说清呢！

当然数学作为一门科学它肯定还会继续发展，但究竟能发展到何种地步，这是谁也估不透的。可以肯定的是：它将永远与人类的智慧共存下去，竞相生辉。

（2015-11-30）