[高一]第九届希望杯全国数学邀请赛试题
第9届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级 姓名一、选择题1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（ ）（A ）0,0,0><<c b a （B ）0,0,0<>>c b a （C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0>>>c b a2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（ ）（A ）411天 （B ）5天 （C ）16天 （D ）12天3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(21x f x f -的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）2 （B ）21（C ）1 （D ）2log a4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（ ）（A ）0︒<θ<180︒ （B ）0︒<θ<90︒ （C ）0︒<θ≤90︒ （D ）0︒≤θ≤90︒5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）（A ）R ⊃Q ⊃P ⊃S （B ）R ⊃Q ⊃S ⊃P （C ）S ⊂P=Q ⊂R （D ）S ⊂R,P ⊂Q,R ⊆Q,Q ⊆R6、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则------------------------（ ）（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）M 可能是∅（B ）M 中元素的个数是偶数 （C ）M 中元素的个数是奇数（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。
希望杯(高一)22--24届试题
备考册班级：姓名：……………………专题12 选择题的解题策略与方法………………………姓名： 一、知识整合（一）选择题的解题策略1、先易后难，容易的要速度快，细心不犯粗心错误；难题先随即选择一个答案，并做好标记，若后面还有时间再回头处理。
2、要充分利用题设和选项两方面提供的信息作出判断。
一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；对于明显可以否定的选择枝应及早排除，以缩小选择的范围…… （二）方法技巧 1、直接法：直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择枝“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. 例1．已知集合{}{},21|,0|≤≤-=>=x x B x x A 则B A = (A){}1|-≥x x (B) {}2|≤x x(C) {}20|≤<x x(D) {}21|≤≤-x x2、特殊值法（又称特例法）：用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.例2．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260 例3．若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（ ） （A ）R <P <Q （B ）P <Q <R（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q 3、排除法（又称筛选法）:从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.例4．已知y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）(0，1) （B ）(1，2) （C ）(0，2) （D ） [2，+∞) 4、代入检验法：将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案. 例5．函数y ＝sin （2x ＋25π）的图象的一条对称轴的方程是（ ） （A ）x ＝－2π （B ）x ＝－4π （C ）x ＝8π （D ）x ＝45π 例6．已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，则不等式2()f x x ≥的解集为（ ）A ．[]11-，B ．[]22-，C ．[]21-，D ．[]12-，5、数形结合法（图解法）：据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断. 数形结合更是一种解题策略.虽然它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择. 例7．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ）（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ（C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ 例8．在圆x 2＋y 2＝4上与直线4x ＋3y －12=0距离最小的点的坐标是（ ）（A ）（85，65） （B ）(85，－65)（C ）(－85，65) （D ）(－85，－65)例9．函数y =|x 2—1|+1的图象与函数y =2 x 的图象交点的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.例10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） （A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215 二、训练题1、已知集合}01211|{2<--=x x x A ，集合}),13(2|{Z n n x x B ∈+==，则B A ⋂等DEFCBA于 （ ）A 、{2}B 、{2，8}C 、{4，10}D 、{2，4，8，10} 2、函数|log |)(21x x f =的单调递增区间是 （ ）A 、]21,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞3、已知函数ax x y 42-=（1≤x ≤3）是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、]1,(-∞B 、]21,(-∞C 、]23,21[D 、),23[+∞4、对于定义在R 上的函数f(x)，若实数x 0满足f(x 0)=x 0，则称x 0是函数f(x)的一个不动点，函数f(x)=6x —6x 2的不动点是 （ ）A 、65或0 B 、65 C 、56或0 D 、56 5、设二次函数a x x x f +-=2)(，若0)(<-m f ，则f(m+1)的值是（ ）A 、正数B 、负数C 、非负数D 、与m 有关6、设集合)}( lg )(lg |{x g x f x M ==，})101()101(|{)()(x g x f x N ==，则（ ） A 、M=N B 、M ∩N=∅ C 、N ⊇M D 、M ⊇N7、若α是第四象限角，则2α是 （ ）A 、第二象限角B 、第三象限角C 、第一或第三象限角D 、第二或第四象限角 8、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 成轴对称图形的是（ ）A 、)32sin(π-=x y B 、)62sin(π+=x yC 、)62sin(π-=x y D 、)621sin(π+=x y 9、若a ，b 是任意实数，且a>b ，则 （ ）A 、a 2>b 2B 、ba)21()21(< C 、lg(a —b)>0 D 、1<ab 10、不等式组⎩⎨⎧<->-ax a x 2412有解，则实数a 的取值范围是（ ）A 、（—1，3）B 、（—∞，—1）∪（3，+∞）C 、（—3，1）D 、（—∞，—3）∪（1，+∞）11、若不等式a x x >--+|2||1|对于任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、（—∞，3）B 、]3,(-∞C 、（—∞，—3）D 、]3,(--∞ 12、若数列{a n }的前n 项和公式为)1(log 3+=n S n ，则a 5等于 （ ）A 、log 56B 、56log 3C 、log 36D 、log 35 13、首项为31，公差为—6的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，则数列{S n }中与零最近的项是 （ ）A 、第9项B 、第10项C 、第11项D 、第12项 14、不等式|log ||||log |22x x x x +<+的解集为 （ ）A 、（0，1）B 、（1，+∞）C 、（0，+∞）D 、（—∞，+∞） 15、长方体的全面积为72，则长方体的对角线的最小值是 （ ）A 、26B 、23C 、3D 、616、由下列各表达式确定的数列{a n }：（1）a n = —5，（2）a n =n 2，（3）a n = —n ， （4）S n =a 1+a 2+…+a n =n 2+1，其中表示等差数列的序号是（ ）A 、（1）（3）（4）B 、（1）（2）C 、（1）（3）D 、（2）（3）（4） 17、已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列，—1，b 1，b 2，b 3，—4成等比数列，则212b a a -的值为A 、21B 、21-C 、2121或- D 、41第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试2012年3月11日 上午8：30至10：00 得分一、 选择题（每小题4分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在下面的表格内。
历届希望杯全国中学生数学竞赛试题
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第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
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第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫHale Waihona Puke ﻫ第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试
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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试
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第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第２试
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第十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第２试
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第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
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第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
[高一]第十四届希望杯全国数学邀请赛试题
![[高一]第十四届希望杯全国数学邀请赛试题](https://img.taocdn.com/s3/m/60cad707b52acfc789ebc910.png)
第十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一、选择题（每小题5分，共50分） 1．设11log 111log 111log 111log 15432+++=P ，则 A ．10<<PB ．21<<PC ．32<<PD ．43<<P 2．方程2)72(log 2=-x x 的解的个数是 A ．4 B ．3 C ．1D ．03．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。
四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于A ．9B ．26C ．34D ．64．已知R y x ∈,，则“1≤xy ”是“122≤+y x ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．图2是函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象，由图象可以看出 A ．0>a ，0>d B ．0<a ，0<d C ．0<a ，0>d D ．0>a ，0<d6．设5log 21=a ，5log 31=b ，5log 2=c ，5log 3=d ，则a,b,c,d 的大小关系是A ．b a c d >>>B ．a b c d >>>C ．a b d c >>>D ．b a d c >>> 7． An equilateral triangle （等边三角形）and a circle have the same center. The area of the triangle not in the circle equals the area of the circle not in the triangle. If the radius of the circle is 2, then the length of a side of the triangle isA ．43πB ．432π C ．433π D ．434π 8．已知数列{}n a 中，31=a ，52=a ，且对大于2的正整数n ，总有21---=n n n a a a ，则2003a 等于A ．5-B ．2-C ．2D ．3 9．等比数列{}n a 中，15361=a ，公比21-=q ，用n P 表示数列的前n 项之积，则n P 中最大的是 A ．9P B ．10P C ．11P D ．12P10．2002年9月28日，“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程，途径哈巴罗夫斯克和莫斯科，两地航程约9000千米，往返飞行所用的时间并不相同，这是因为在北半球的高纬度地区，有股终年方向恒定的西风，人们称它为“高空西风带”，已知往返飞行的时间相差1.5小时，飞机在无风天气的平均时速为每小时1000千米，那么西风速度最接近A ．60千米/小时B ．70千米/小时C ．80千米/小时D ．90千米/小时 二、A 组填空题（每小题5分，共50分）11．函数)0(log )(>=a x x f a ，其中0>a 1≠a ，则方程3)(=x a f 的解集是_______。
希望杯全国数学邀请赛试题集锦
“希望杯”全国数学邀请赛试卷集锦第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试一、选择题、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么（ ）（）0,0,0><<c b a （）0,0,0<>>c b a（）0,0,0>><c b a （）0,0,0>>>c b a、某种菌类生长很快，长度每天增长倍，在天中长成M ，那么长成41M 要（ ） （）411天 （）天 （）天 （）天 、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(221x f x f -的值等于（ ）（） （）21 （） （）2log a、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是（ ）（）︒<θ<︒ （）︒<θ<︒ （）︒<θ≤︒ （）︒≤θ≤︒、、、、分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为（ ）（）⊃⊃⊃（）⊃⊃⊃（）⊂⊂（）⊂⊂⊆⊆、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则（ ） （）c b a << （）a c b << （）b c a << （）a b c <<、)(x f 是定义域为的奇函数，方程0)(=x f 的解集为，且中有有限个元素，则（ ） （）可能是∅（）中元素的个数是偶数（）中元素的个数是奇数（）中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。
、 （）（）与（） （）（）与（） （）（）与（） （）（）与（）、已知θ是第二象限的角，且2cos 2sin θθ<，则||2cos |log |22θ等于（ ） （）)2cos(πθ-- （）2cos θ（）)2sec(θ- （）)2sec(θπ-、若函数||22x x y -=的图象与直线)2(-=x k y 相交于点（-，-），则与该直线交点的个数是（ ）（） （） （） （）二、填空题（组）、若23log =x ，则x 的值是 。
第7届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级 姓名一、选择题1、集合}2,1,0{的子集个数为------------------------------------------------------------（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）82、函数b x a x f +=sin )(的最大值是-------------------------------------------------（ ）（A ）||b a + （B ）b a +|| （C ）b a + （D ）||b a +3、函数)1(2sin 2x y -=的最小正周期是---------------------------------------------（ ）（A ）π2 （B ）π （C ）π4 （D ）π34、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 与B 1D 间的距离是------------（ ）（A ）22 （B ）1 （C ）45 （D ）23 5、以下命题中，正确的是----------------------------------------------------------------（ ）（A ）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直。
（B ）过平面α的一条斜线的平面与α一定不垂直。
（C ）a ，b 是异面直线，过a 必能作一个平面与b 垂直。
（D ）同垂直于一个平面的两个平面平行。
6、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点，在这样的一个四面体中，直角三角形最多有----------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7、若关于x 的方程12)1(2+=+a x 和ax x 2)2(2=+中至少有一个方程具有两个不等实根，则实数a 的集合为--------------------------------------------------------------（ ）（A ）),21(+∞-（B ）),4()0,1(+∞- （C ）)4,0( （D ）R 8、若)4,2(∈x ，22x a =，2)2(x b =，x c 22=，则c b a ,,的大小关系是-----（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>9、方程1)1(22=--+x x x 的整数解的个数是---------------------------------------（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）510、有三个命题：①函数))((x g f y =，其中)(x g u =在区间D 上是增函数，)(u f y =在区间D 上是减函数，则函数))((x g f y =在区间D 上是减函数。
第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛获奖名单
第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛获奖名单黑龙江省哈尔滨市来成文化学校一等奖（7名）四年级：哈尔滨市荣智小学李超然五年级：哈尔滨市香安小学宁昆鹏哈尔滨市继红小学单希政哈尔滨市复华小学郭涛鸣：哈尔滨市锅炉小学郎天宇：哈尔滨市花园小学尹泽霖：哈尔滨市铁岭小学李佳泽：二等奖（13名）四年级：哈尔滨市新阳路小学闫正邦哈尔滨市师范附小刘照一、葛佳琳赵万博哈尔滨市工农兵小学宁作宇哈尔滨市经纬小学刘锦徽哈尔滨市继红小学刘泽辉哈尔滨市复华小学宋晓斌哈尔滨市保国一校唐昊翔五年级哈尔滨市复华小学白雨萌哈尔滨市马家沟小学石昊天哈尔滨市雷锋小学祝明玥哈尔滨市新疆二校李文博三等奖（共370名）四年级：中英小学李容舟中英小学于海波中英小学齐颢然中英小学崔启元中英小学宋宣毅中英小学张瀚予中英小学霍鸣霄中英小学沈卓然正阳南小学陈可心兆麟小学郭凡漪兆麟小学李东泓兆麟小学赵健百兆麟小学丁瑞姝兆麟小学于盛麟兆麟小学高珊兆麟小学沈超凡育英小学张悦育民小学张雨菲育民小学王彬羽育红小学吴崎菲育才小学王佳旭应诺文化学校王胤博应诺文化学校陈智蕾逸夫小学王子嘉兴华小学李响兴华小学王鸿飞兴华小学衣凌克兴华小学姜永翔兴华小学杨宇航兴华小学张镇乾兴华小学马皓轩兴华小学宁民福新阳路小学杨澜新民小学赵文博新民小学阿文卓龙新疆二校周姿谕新成小学朱峰香坊小学杨天睿香坊小学孙嘉彤香坊小学刘津楚凡香坊小学张瀚文香坊小学王嘉旭香滨小学任忠麒香滨小学刘昕羽香滨小学李政润香滨小学张昊香安小学田爽文昌小学张振文王兆新村欧睿泽王兆新村庞博文王兆新村秦澜嘉王兆新村刘天泽通达小学毕皇辰通达小学张金岩铁岭小学于浩铁岭小学谷彧潇天天文化学校周建识泰山小学杨思宇泰山小学李杰豪泰山小学陈泳佐泰山小学刘世祺绥化尚志小学周博文苏宁小学杨笑迎苏宁小学王子恩苏宁小学刘湘禹实验小学曲晟师范附小侯冠廷师范附小陈曦师范附小刘思睿师范附小宫逸师范附小宋佳璐师范附小王圣与师范附小刘鼎坤师范附小孙可盈师范附小黄睿师范附小董浩廷师范附小周泽昱师范附小张芸鹏师范附小刘熠龙师范附小田宇迪师范附小韩谨谦师范附小许思远师范附小齐天宇师范附小费小溪师范附小马天翔师范附小吕鑫栋师范附小周翀尚志小学张雯雯清滨小学杨岱鑫汽轮小学韩志诚南市小学刘梓淇南马小学刘宇轩马家沟小学林晟宇龙江小学丁浩楠柳树小学王曦卓柳树小学刘渤雷锋小学李泽琛雷锋小学张天慧经纬小学吴尚哲经纬小学尹祎阳经纬小学莫奥博经纬小学甘岳林解放小学赵鹏建国小学孟祥鑫建国小学杜健洋继红小学王本宇继红小学方辛月继红小学王涵宇继红小学史涵帅继红小学于灿继红小学潘醍继红小学邵世龙继红小学刘明帆继红小学刘迪航继红小学焦阳继红小学侯冰俏继红小学王玥晴继红小学胡继元淮河小学聂君心桦树小学么恩泽花园小学刘昱彤花园小学黄之冠花园小学王军尧花园小学赵睿毅花园小学项品湜花园小学王心艺花园小学李昊霖花园小学于海昕花园小学王冠骐虹桥小学石晓熠虹桥小学卜祥滨虹桥小学刘志淮虹桥小学王宇鹏虹桥小学程蒋慧一虹桥小学郝俊雄虹桥小学付俊淳虹桥小学刘文俊虹桥小学张超虹桥小学张靖崧虹桥小学陈淞潇锅炉小学孟子佳公园小学彭涧明公园小学夏宇航公滨小学王津浩公滨小学王梓睿公滨小学林泽瀚公滨小学韩博公滨小学林子淇公滨小学王然公滨小学金树林公滨小学董天泽公滨小学郭剑锋公滨小学刘家汐高潮小学吕善鹏复华小学田雨泰复华小学赵澍淇风华小学马瑞成风华小学王禹诺风华小学季可儿风华小学王铭玥风华小学张嘉臣范清军奥数王祺动力小学张子华动力小学马赫东风小学孙明宇东风小学姜馨雨东风小学徐斐然东方红小学杨博涵电工小学孟月冰大同小学沙雨桐大同小学张智博长虹小学林南伟保国一校张淙彧奥林文化孟炜棋奥林文化张瀚一安静小学张邵亦安静小学王晶博安静小学于康萌安广小学叶润泽爱国小学赵文煊五年级：电工小学李震东风小学李伊冉香安小学李咏航大同小学孟祥泓中英小学赵宇轩花园小学毛星茏继红小学冯奕博复华小学孙源泽育红小学李昱林香安小学彭梓越新疆一校孙浩然南市小学王源继红小学李禹辰电工小学司恒宇范清军奥数刘心亿范清军奥数王应泽新阳路小学张奥凯新阳路小学郑博文长虹小学张鹤龙公滨小学韩一楠兴华小学纪霖琦复华小学吕泽明公滨小学温克寒友协三校孙浩然公滨小学孙白羽虹桥小学关博麟中英小学李阔然继红小学刘泽宇马家沟小学崔博睿育红小学吴尚思南马路小学宋嘉龙新阳路小学徐培文师范附小王仲博继红小学王晓瞳文化小学常云鹏南马路小学李晓生锅炉小学刘宏旭继红小学王俊博靖宇小学李季玉靖宇小学刘天祎奥林文化刘焱继红小学郭晋东复华小学孙嘉良复华小学陈思潼奥林文化苏冠荣继红小学刘世豪范清军奥数陈峻洋风华小学李潇锅炉小学王延明香滨小学沙湧瀚香安小学张可欣范清军奥数王嘉莹继红小学姜焯文继红小学王梓懿继红小学刘睿轩师大附小李应东师范附小王婧怡清滨小学羿天阳和兴小学刘畅电工小学王馨平友协二校张一宸电工小学唐诗范清军奥数刘函范清军奥数孙文龙红岩小学钱星瑞奋斗小学张子扬桥南小学杨宁虹桥小学刘涵智香坊小学姜君继红小学鲍海航百利小学赵杨师范附小宋冠禹雷锋小学单航电工小学姜宝洋中英小学刘昊贤苏宁小学李政萱师范附小刘泓辰民生路小学郑博文尚志小学孙泽铭继红小学张雨桐安静小学王松颢香滨小学栗延坤师范附小刘适涵兆麟小学潘浩泽闽江小学温胜伦继红小学姜博师范附小闫艺桐南马路小学赵文昊安阳小学杨少朕新疆二校喜泽昕花园小学王彩璇苏宁小学刘子雍泰山小学高唯珂复华小学东添建文小学袁宇宸香坊小学韩易达香坊小学姜宇昊桥南小学孙鹏宇花园小学佟文宇铁岭小学余泓霄雷锋小学吴桐师范附小王禹东风小学张岩松神龙文化学校李佳芯大同小学宋玥达保国二校杨万宝复华小学侯雨晴经纬小学陈雨辰继红小学刘天一师范附小王志乾兆麟小学程实继红小学薛添元新华小学林海杰香滨小学郭雨杨复华小学张佳钰电工小学丛佳文南直小学徐璐范清军奥数姜鹏飞继红小学邹雨辰马家沟小学王昕昊师范附小关昊育英小学徐华鹏大同小学梁炜悦新疆二校于涵花园小学王宇昂铁岭小学王志鹏奋斗小学丁家华泰山小学胡千禧团结小学王子皓经纬小学郝泽宇师范附小赵元硕新苗小学张银朵闽江小学黄婧育英小学徐子昂师范附小张馨予马家沟小学王鸣谦铁岭小学任金香滨小学杜宜聪闽江小学李仕隆育红小学张恩霆育英小学温金城香红小学庞博新疆二校黄禹瑞公滨小学刘泽宇实验小学刘永晟萧红小学吴雨奇复华小学姚烁香二小学张彤中英小学滕杨师大附小赵睿馨复华小学谢天丁兆麟小学吕正钦雷锋小学黄健马家沟校张康然虹桥小学苏章德隆兴华小学岳文涛长虹小学白东鑫兴华小学金宗贤公滨小学邓子睿苏宁小学徐宁泽经纬小学孙宇彤文昌小学任天翔闽江小学王法鹏闽江小学周子正建国小学徐昕钰康富小学孙琳昊南马路小学王睿东风小学张修琪东方红小学张健铭公滨小学王昕宇建国小学郭鑫泽新民小学杨雅涵师大附小张馨月通乡小学白英博香滨小学刘思源剑桥小学于志成团结小学王宇轩东风小学毕然风华小学张雨森公园小学柏金龙汽轮小学段世杰泰山小学柳思齐优秀辅导员：许波吕明蒋石春杨曦敏左春梅马洪峰杜良胤范清军薛晨亮蔡荣欣王丽孙莹英张蕊夏晓炜刘琦李英华张晶芦丽王丽英肖碧松林琳郭阳白晓双夏秀明高静娴张华高天苏嘉韩文静韩玉柱李强张圣龙刘亚男李天奇杨新月李昕烨胡玉福刘冬强李姝车美丽成诚杨慧娟张蕊姚宁宇简晓冬刘宁张代臣牟丹张静吕力赵淑珍边淑蓉陆甜甜陈丽娜黄龙刘天一张利王文玲王磊毕蕾王宏阎伟黄大勇陈维冲李芒陈立威王立枢尹龙艳朱春瑜王瑶吴丹王维华赵淞萍吕庭波邰慧尚颖韩忠生历海波沈丽刘卓顾惠敏丁宝田左春梅董荣张代臣陈悦张玉华王倩何华赵洁莹李婉嫔李冰路琳尹龙艳韩忠生张旭王丽焕姚文蕾赵洁莹张云凯郝庆多白晓双牟宏宇季威张丹丹刘松玲孙彦广孙爽英马静芝于志敏马丽赵丽娜赵桂荣郑露汤丽彦郑少妍王元静贝景南金晶晶崔昆王学丽蔡运生周凤英王雁黎孟晋温与寒王秀玲于志敏孙彦津王立枢丘立华历海波丁宝田王燕平王金波。
小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。
6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。
7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。
8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。
9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书本。
10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。
11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。
12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。
13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说：“我会开。
”乙说：“我不会开。
”丙说：“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是。
14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。
回校后，小明补给小光28元。
小明、小光各带了元，每本书价元。
第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(四年级第2试)
2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）一、填空题（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：（70÷4+90÷4）÷4＝．2．（5分）计算：898+9898+99898+999898＝．3．（5分）对运算⊙和㊣，规定：a⊙b＝a×b+b，a㊣b＝a×b﹣a，那么（2⊙3）⊙（2㊣4）＝．4．（5分）若一个能被5整除的两位数既不能被3整除，又不能被4整除，它的97倍是偶数，十位数字不小于6，则这个两位数是．5．（5分）如图中每一横行右面的一个数减去它左面相邻的一个数所得的差都相等，每一数列下面的一个数除以它上面相邻的一个数所得的商都相等，则a+b×c＝．6．（5分）如果一个两位数的3倍与4的差是10的倍数，它的4倍与15的差大于60且小于100，则这个两位数是．7．（5分）若四位数的各个数位上的数字都是偶数，并且百位上的数字是2，则这样的四位数有个．8．（5分）将长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片剪去4个同样大小的等腰直角三角形，剩余部分的面积至少是平方厘米．9．（5分）一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是．10．（5分）苹果和梨各有若干个，若每袋5个苹果和3个梨，则当梨恰好装完时，还多4个苹果；若每袋装7个苹果和3个梨，则当苹果恰好装完时，梨还多12个，那么苹果和梨共有个．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，D、E、F分别是三边的中点，AD、BE、CF交于点O，则图中有个三角形；他们的面积有个不同的值．12．（5分）A、B、C、D四人带着一个手电筒，要通过一个黑暗的只容2人走的隧道，每次先让2人带着手电筒通过，再由一人送回手电筒，又由2人带着手电筒通过…，若A、B、C、D四人单独通过隧道分别需要3、4、5、6分钟，则他们4人都通过至少需要分钟．二、解答题（每小题15分，共60分）13．（15分）摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？14．（15分）将1，10，11，15，18，37，40这7个数分别填入图中的7个圆圈内（每个数都用到），能否使其中两条直线上的三个数的和相等，并且等于另一条直线上的三个数的和的3倍？若可以，请给出一种填法；若不能，请说明理由．15．（15分）100人参加速算测试，共10题．每题答对的人数如下表所示：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1093 90 86 91 80 83 72 75 78 59答对人数规定：答对6题或6题以上，为及格，根据上表计算至少有多少人及格．16．（15分）如图，甲乙两只小虫分别从每边长20厘米不透明的正五角星围墙的顶点A、B出发，沿外侧按逆时针方向爬行，甲每秒爬行5厘米，乙每秒爬行4厘米．问：在甲从出发到第一次爬到B的过程中，乙能看到甲的时间有多少秒？2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：（70÷4+90÷4）÷4＝10 ．【分析】可以先从括号里开始运算，而括号里两个除式，可以化成分数的形式，最后再算结果．【解答】解：根据分析，原式＝（70÷4+90÷4）÷4＝（70+90）÷4÷4＝160÷4÷4＝40÷4＝10．故答案是：10．【点评】本题考查了四则运算的巧算，突破点是，将括号里的运算进行巧算，再求最后的结果．2．（5分）计算：898+9898+99898+999898＝1110592 ．【分析】此题一看便知，这式子里的数都接近整数，用凑整法把它变成：（898+2﹣2）+（9898+2﹣2）+（99898+2﹣2）+（999898+2﹣2）＝（900﹣2）+（9900﹣2）+（99900﹣2）+（999900﹣2）＝900+9900+99900+999900﹣8．再根据特点易想到把这些凑整的数化成乘积的形式，便发现了乘法的分配律的运用，计算就简便了．【解答】898+9898+99898+999898＝（900﹣2）+（9900﹣2）+（99900﹣2）+（999900﹣2）＝900+9900+99900+999900﹣8＝9×100+99×100+999×100+9999×100﹣8＝（9+99+999+9999）×100﹣8＝（10+100+1000+10000﹣4）×100﹣8＝（11110﹣4）×100﹣8＝11110×100﹣4×100﹣8＝1111000﹣400﹣8＝1110600﹣8＝1110592【点评】此题是反复运用凑整法和乘法的分配律．并且是在解题过程中不断发现所用的运算定律．3．（5分）对运算⊙和㊣，规定：a⊙b＝a×b+b，a㊣b＝a×b﹣a，那么（2⊙3）⊙（2㊣4）＝60 ．【分析】按题意，则2⊙3＝2×3+3＝9；2㊣4＝2×4﹣2＝6，则（2⊙3）⊙（2㊣4）＝9⊙6＝9×6+6＝60．【解答】解：根据分析，则2⊙3＝2×3+3＝9，2㊣4＝2×4﹣2＝6，则（2⊙3）⊙（2㊣4）＝9⊙6＝9×6+6＝60，故答案是：60．【点评】本题考查了定义新运算，突破点是：分别算出2⊙3和2㊣4，再算出结果．4．（5分）若一个能被5整除的两位数既不能被3整除，又不能被4整除，它的97倍是偶数，十位数字不小于6，则这个两位数是70 ．【分析】显然，能被5整除，则个位只能是0或5，而它的97倍是偶数，说明此两位数是一个偶数，故可以断定此两位数个位数字为0，而十位不小于6，只能是6、7、8、9，因不能被4整除，则十位不能是6、8，故十位只能是7或9，又因为不能被3整除，故十位上只能是7．【解答】解：根据分析，能被5整除，则个位只能是0或5，而它的97倍是偶数，说明此两位数是一个偶数，故可以断定此两位数个位数字为0，而十位不小于6，只能是6、7、8、9，因不能被4整除，则十位不能是6、8，故十位只能是7或9，又因为不能被3整除，故十位上只能是7．综上，此两位数是70，故答案是：70．【点评】本题考查了数的整除特征，突破点是：从题中已知条件推测出个位数字和十位数字．5．（5分）如图中每一横行右面的一个数减去它左面相邻的一个数所得的差都相等，每一数列下面的一个数除以它上面相邻的一个数所得的商都相等，则a+b×c＝540 ．【分析】首先分析题意，横行为等差，竖列为等比数列，找到第一行公差和数列的公比即可．【解答】解：依题意可知：横行为等差，竖列为等比．根据横行为等差数列可知第一行的数字为2，4，6，8．竖行是等比数列，故18÷2＝9．所以c是2 的3倍即是6．a是4的27倍．4×27＝108．b是8的9倍72．a+b×c＝108+72×6＝540．故答案为：540【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到公差和公比问题解决．6．（5分）如果一个两位数的3倍与4的差是10的倍数，它的4倍与15的差大于60且小于100，则这个两位数是28 ．【分析】显然，两位数的3倍与4的差是10的倍数，可知此两位数的三倍得到的数的个位数是4，而乘以3得到个位为4的两位数个位数为8，由它的4倍与15的差大于60且小于100，可求得此两位数的范围，不难求得此两位数．【解答】解：根据分析，两位数的3倍与4的差是10的倍数，可知此两位数的三倍得到的数的个位数是4，而乘以3得到个位为4的两位数个位数为8；由它的4倍与15的差大于60且小于100，可求得此两位数的范围：大于：＝，小于：＝，综上，此两位数为：28．故答案是：28．【点评】本题考查了因数与倍数，突破点是：根据因数与倍数的性质，以及两位数的范围求得两位数．7．（5分）若四位数的各个数位上的数字都是偶数，并且百位上的数字是2，则这样的四位数有100 个．【分析】四位数的最高位是千位，最高位上不能为0，那么可以是2，4，6，8，而百位上只是2，固定好了，那么十位和个位上可以是0，2，4，6，8，根据排列的特点可知：共有4×5×5个不同的四位数．【解答】解：千位可取2，4，6，8，十位和各位都可以取0，2，4，6，8 所以4×5×5＝100（个）故答案为：100．【点评】本题考查每个数位数字的特点，注意千位上不能取0．8．（5分）将长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片剪去4个同样大小的等腰直角三角形，剩余部分的面积至少是24 平方厘米．【分析】长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片，显然最多只能剪下4个直角边为6的等腰直角三角形，故剩下的面积不难求得．【解答】解：根据分析，如图，长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片，最多只能剪下4个直角边为6的等腰直角三角形，故剩下的部分的面积至少＝12×（8﹣6）＝24．故答案是：24【点评】本题考查剪切和拼接，突破点是：利用长方形的长和宽的值，剪切时取最大值，则剩下的部分面积最小．9．（5分）一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是10 ．【分析】除数比10小，可以将10除以1～9，得出的余数中有2个是0即除以1、5时余数为0，不同的余数为1、2、3、4，再求和即可．【解答】解：根据分析，10÷6＝1…4；10÷7＝1…3；10÷8＝1…2；10÷9＝1…1；而10÷3和10÷9余数都是1，10÷4和10÷8余数都是2，故不同的余数只有：1、2、3、4，可能出现的所有不同的余数的和＝1+2+3+4＝10．故答案是：10【点评】本题考查带余除法，突破点是：将10除以1～9，得出的余数中有2个是0即除以1、5时余数为0，不同的余数为1、2、3、4，再求和．10．（5分）苹果和梨各有若干个，若每袋5个苹果和3个梨，则当梨恰好装完时，还多4个苹果；若每袋装7个苹果和3个梨，则当苹果恰好装完时，梨还多12个，那么苹果和梨共有132 个．【分析】首先分析根据梨的数量是多12个，证明袋子少了12÷3＝4袋．再根据少的4袋苹果数量为20加上剩余的4个就是24个平均每袋多2个共12袋子，即可求解．【解答】解：依题意可知：根据梨的数量是多12个，证明袋子少了12÷3＝4袋．苹果差是4×5+4＝24个．24÷（7﹣5）＝12袋，水果总数为10×12+12＝132．故答案为：132．【点评】本题考查对分配盈亏问题的理解和运用，关键问题是找到梨的数量差找到袋子的数量差．问题解决．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，D、E、F分别是三边的中点，AD、BE、CF交于点O，则图中有16 个三角形；他们的面积有 4 个不同的值．【分析】要求三角形的个数和不同的面积的取值，可以分情况讨论，从只含有一个小三角形的三角形开始算起，面积的不同取值也不难求得．【解答】解：根据分析，由题可知，AB＝BC＝CA，D、E、F分别是三边的中点，①只含有1个小三角形的三角形有：6个，且每个三角形的面积均相等，且均等于三角形ABC面积的；②含有2个小三角形的三角形有：3个，且每个三角形的面积均相等，且均等于三角形ABC面积的；③含有3个小三角形的三角形有：6个，且每个三角形的面积均相等，且均等于三角形ABC面积的；④含有6个小三角形的三角形有：1个，即三角形ABC，综上，则图中有16个三角形；他们的面积有4个不同的值．故答案是：16、4【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：根据图形的三角形的特点，分情况讨论，不难求得结果．12．（5分）A、B、C、D四人带着一个手电筒，要通过一个黑暗的只容2人走的隧道，每次先让2人带着手电筒通过，再由一人送回手电筒，又由2人带着手电筒通过…，若A、B、C、D四人单独通过隧道分别需要3、4、5、6分钟，则他们4人都通过至少需要21 分钟．【分析】四人要通过的时间要少，过隧道花费时间少的来回跑，即可得出结论．【解答】解：分两种情况讨论：第一种：A和B过，A回，4+3＝7（分钟）C和D过，B回，6+4＝10（分钟）A和B过，4（分钟）共用7+10+4＝21（分钟）；第二种：A和B过，A回，4+3＝7（分钟）A和C过，A回，5+3＝8（分钟）A和D过，6（分钟）共用7+8+6＝21分钟．所以，至少需要21分钟；故答案为21．【点评】此题是最大与最小问题，解本题的关键是安排过隧道花费时间少的送手电．二、解答题（每小题15分，共60分）13．（15分）摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？【分析】首先分析两车的路程比即是速度比，根据路程差除以速度差即可求解．【解答】解：依题意可知：摩托车速度：汽车的速度＝120：180＝2：3．每一份的路程为：80÷（3×6﹣2×7）＝20（千米）．摩托车7小时的路程为：20×7×2＝280（千米）．摩托车的速度为：280÷7＝40（千米/小时）．汽车6小时的路程为：20×6×3＝360（千米）．汽车的速度是：360÷6＝60（千米/小时）．40×2÷（60﹣40）＝4（小时）答：那么汽车出发后4小时内可以追上摩托车．【点评】本题考查对追及问题的理解和运用，关键问题是找到路程差与速度差问题解决．14．（15分）将1，10，11，15，18，37，40这7个数分别填入图中的7个圆圈内（每个数都用到），能否使其中两条直线上的三个数的和相等，并且等于另一条直线上的三个数的和的3倍？若可以，请给出一种填法；若不能，请说明理由．【分析】首先根据这7个数字求和为132．再根据这些数字除以7的余数和132除以7的余数组成7的倍数即可，【解答】解：依题意可知：设最小的和为1份，那么其他的为3份，最后加的数字和为7的倍数才行．1+10+11+15+18+37+40＝132．这7个数字除以7的余数分别为1，3，4，1，4，2，5．132÷7＝18…6．根据中间数字多加2次，那么数字和为7的倍数，那么余数是4的可以构成7的倍数．132+11+11＝154.154÷7＝21．故答案为：【点评】本题考查对凑数谜的理解和运用，关键是找到数字和是7的倍数，问题解决．15．（15分）100人参加速算测试，共10题．每题答对的人数如下表所示：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答对 93 90 86 91 80 83 72 75 78 59人数规定：答对6题或6题以上，为及格，根据上表计算至少有多少人及格．【分析】先确定出答错的总人次，不及格的至少答错5道，即可得出得出结果．【解答】解：各题答错的总人次数为7+10+14+9+20+17+28+25+22+41＝193，每有一个人不及格，则他至少答错5题，193÷5＝38…3，所以至多有38人不及格，至少有62人及格．为说明是可以的，注意41正好比38多3，所以这38个人全都在第10题上答错，剩余的答错次数恰好平均分配到其他9题上．答：至少有62人及格．【点评】此题是最大与最小问题，主要考查了数的除法，确定出各题答错的总人次是解本题的关键．16．（15分）如图，甲乙两只小虫分别从每边长20厘米不透明的正五角星围墙的顶点A、B出发，沿外侧按逆时针方向爬行，甲每秒爬行5厘米，乙每秒爬行4厘米．问：在甲从出发到第一次爬到B的过程中，乙能看到甲的时间有多少秒？【分析】设五角星的五个顶点按逆时针方向标为B、B1、B2、B3、B4，形成顶点B﹣﹣顶点B1的区间一，顶点B1﹣﹣顶点B2的区间二，以此类推到区间五．根据题意，乙能看到甲的情况是他们必须在同一时间都行走在同一区间．在区间一看到的时间：20÷5＝4（秒）；区间二看到的时间：20×2÷4＝10（秒），20×3﹣10×5＝60﹣50＝10（厘米），10÷5＝2（秒）；区间三的情况：甲到达B3的时间是（10+20+20）÷5＝10（秒），乙移动距离10×4＝40（厘米），此时乙到达B2，乙能看到甲的时间是0，据此可解答．【解答】解：区间一看到的时间：20÷5＝4（秒）；区间二看到的时间：20×2÷4＝10（秒），20×3﹣10×5＝60﹣50＝10（厘米），10÷5＝2（秒）；区间三能看到的时间：0总共乙能看到甲的时间有2+4＝6（秒）答：乙能看到甲的时间有6秒．【点评】此题一定要结合生活实际去想去思考（什么情况下乙能看到甲），然后确定解题思路，就能顺利解答，这真是生活中的数学．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/22 16:48:13；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
第13届“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试
第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一．选择题1． 已知}3|{},4|{2<=>=x x N x x M ，则下列等式中正确的是---------------------------（ ） (A))}2|{-≥=x x N M (B)R N M = (C)}3|{<=x x N M (D)R N M =2．设x x g -=1)(，且当1≠x 时，x x x g f -=1)]([，则)21(f 等于-------------------------（ ） (A)2 (B)1 (C)31 (D)0 3．设)()(),()(,3)()(),5()(4321x f x f x f x f x f x f x f x f --=-=-=+=，则下列表述中正确的是---------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A))(1x f 的图象是由)(x f 的图象往右平移5个单位得到(B))(2x f 的图象是由)(x f 的图象往上平移3个单位得到(C))(3x f 是偶函数(D))(4x f 的图象是将)(x f 的图象绕原点旋转180得到4．已知x x x f 2001)(2-=，若n m n f m f ≠=),()(，则)(n m f +等于-------------------（ ） (A)2001 (B)2001- (C)0 (D)1000.55．已知数列}{n a 满足11,211+-==+n n a a a ，则2001a 等于-------------------------------------（ ） (A)23- (B)31- (C)1 (D)2 6．命题:P 有些三角形是直角三角形，则命题P 为-------------------------------------------------（ ）(A)有些三角形不是直角三角形 (B)有些三角形是锐角或钝角三角形(C)所有三角形都不是直角三角形 (D)不是三角形就不是直角三角形7．Let f be a function such that )()()(y f x f y x f ⋅=+ for any real numbers x and y. If161)1(=f ,then the value of )1(-f is--------------------------------------------------------------------（ ） (A)16 (B)161 (C)161- (D)16- 8．设)sin(cos )(),cos(sin )(x xg x x f ==，则（ ）(A))(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 (B) )(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数(C) )(x f 为偶函数，)(x g 为偶函数 (D) )(x f 为奇函数，)(x g 为奇函数9．已知集合}032|{},0)152(log |{2223≤--=>--=a ax x x B x x x A ，若∅≠B A ，则实数a 的取值范围是（ ） (A))0,34(- (B)),34()4,(+∞--∞ (C)),2()34,(+∞--∞ (D)),2()0,34(+∞- 10．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）(A)若向量),(y x =，向量),(x y -=，则⊥(B)四边形ABCD 是菱形的充要条件是=且||||=(C)点G 是ABC ∆的重心，则0=++(D) ABC ∆中，和的夹角等于A - 180二、A 组填空题11．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+成立的条件是_________________________. 12．若2523παπ<<，且32sin =α，则α2在第_____________象限. 13．函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+=1,111,1x x x x y 的反函数是_______________________________. 14．已知数列}{n a 中，131+=+n n n a a a ，且719=a ，则=2002a _____________. 15．不等式x x x 13512≤+的解集为________________________________.16．已知函数5)3(42)(2+-+=x a ax x f 是在区间)3,(-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________________.17．在ABC ∆中，AB CH S AB ABC ⊥==∆,22,3于H ，HB AH 2=，则与B ∠的两边相切且圆心在CH 上的圆的半径等于___________________.18．使不等式22115+>-+x x x 成立的x 的正整数值是__________________. 19．Let a and b the two real roots of the quadratic equation 0)43()1(22=+++--k k x k x ,where k is some real number. The largest possible value of 22b a + is ________________________.20．用)(n S 表示自然数n 的数字和，例如18909)909(,101)10(=++==+=S S ，若对任何N n ∈，都有x n S n ≠+)(，满足这个条件的最大的两位数x 的值是_______________.三、B 组填空题21．若等比数列}{n a 是递增数列，则首项1a 及公比q 应满足的条件是_______________.22．函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在区间]2,1[上的最大值比最小值大3a ，则=a ________. 23．已知函数R x x x x f y ∈++-==,182)(2，对于R t ∈，在区间]2,[+t t 上，将函数)(x f 的最大值表示为t 的函数)(t g ，则=)(t g ________________________.24．设函数x y 6.03-=与函数x y 6.0=的图象交于点),(111y x P ，对任意N n ∈且1>n ，将过点)3,0(和点)0,(1-n x 的直线与直线x y 6.0=的交点的坐标记为),(n n n y x P ，则点321,,P P P 的坐标依次为__________________________________，点2002P 的坐标为_______.25．若抛物线c bx ax y ++=2过点)4,0(-，且与直线x y =的交点A 、B 关于直线x y -=对称，又24||=AB ，则=a _________，=b ___________，=c _________________.。
“希望杯”全国数学邀请赛简介
“希望杯”全国数学邀请赛简介 这⼀邀请赛⾃1990年以来，已经连续举⾏了⼆⼗⼆届。
22年来，主办单位始终坚持⽐赛⾯向多数学校、多数学⽣，从命题、评奖到组织⼯作的每个环节，都围绕着⼀个宗旨：激发⼴⼤中学⽣学习的兴趣，培养他们的⾃信，不断提⾼他们的能⼒和素质。
这⼀活动只涉及初⼀、初⼆、⾼⼀、⾼⼆四个年级，不涉及初三、⾼三，不与奥赛重复，不与中考、⾼考挂钩，不增加师⽣负担，因此受到⼴⼤师⽣的欢迎。
该竞赛⼀直受到原国家教委的肯定，并被列⼊原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关⼼和⽀持。
到第⼗届为⽌，参赛城市已超过500个，参赛学⽣累计598万。
“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学⽣中规模、影响最⼴的学科课外活动之⼀。
据介绍，该竞赛活动分两试进⾏。
第⼀试（每年三⽉进⾏）以各地（省、市、县、〔区〕、学校）为单位组织参赛学⽣，在全国各参赛学校同时进⾏，各测试点按命题委员会下发的评分标准进⾏阅卷、评分，从中按七分之⼀的⽐例按成绩择优选拔参加第⼆试的选⼿。
第⼆试（每年四⽉进⾏）由当地《数理天地》编委分会或地、市级教研室或教育学院、教科所、教师进修学校统⼀组织，测试结束后，各测试点将试卷密封，向组委会挂号寄出，由命题委员会阅卷，从中按⼋分之⼀的⽐例按成绩评定⼀、⼆、三等奖，分别授予⾦、银、铜奖牌及获奖证书。
对组织⼯作做得出⾊的地区或学校，组委会颁发“希望杯”数学邀请赛组织奖。
⽇本国算数奥林匹克委员会对此项赛事⾮常关注，该委员会事务局局长若杉荣⼆先⽣专程来华同邀请赛组委会洽谈参赛事宜，并从1996年开始，已连续三年组织⽇本部分中学⽣参加了竞赛活动，由此开创了我国社会团体举办同类竞赛⾛出国门的先例。
近年来，美国、德国的有关组织也与组委会联系合作事宜。
希望杯杯徽 ★圆形，表⽰⼴阔的天空。
★英⽂hope（希望）形如⼀只展翅飞翔的鸟。
喻义：“希望杯”全国数学邀请赛为⼴⼤的青少年在科学思维能⼒上的健康发展开辟了⼀个⼴阔的空间，任他们⾃由翱翔。
2009—2012年希望杯数学邀请赛英文试题选集
2009年希望杯数学邀请赛试题（高一）1.The number 2009 has the following properties ：①It is divisible by 7；②When divided by 8，it has a remainder of 1；③When divided by 9，it has a remainder of2.The 3-digit number with the above properties is__________.2.2009 apples are distributed among a number of children so that each child gets a different positive number of apples. How many children are there at the most ？Answer ：__________.2010年希望杯数学邀请赛试题（高一）3.f (x ) is a monotonically increasing function on R ∗.And f (xy )=f (x )+f (y ).If f (3)=1，and f (a )>f (a −1)+2，the value range of a is （ ）（A ）(0，98) （B ）(1，98) （C ）(1，98] （D ）[1，98] 4.a ，b ，c are different from each other ，but a 2，b 2，c 2 is in an arithmetic progression. So 1b+c ，1a+c ，1a+b is in （ ）（A ）not only an arithmetic progression but also a geometric progression（B ）neither an arithmetic progression nor a geometric progression（C ）an arithmetic progression nor a geometric progression（D ）a geometric progression but not an arithmetic progression注：arithmetic progression 等差数列；geometric progression 等比数列5.If x ，y and z are non-zero numbers such that x <y ≤1 and xy =z which of the following can be true ？__________①y >z ②y =z ③z =x ④x >z ⑤z >06.In the regular tetrahedron ABCD ，E is the midpoint of AD ，F is the midpoint ofBC ，α is the angle contained by AF ⃗⃗⃗⃗⃗ and CE ⃗⃗⃗⃗⃗ .So the value of cos α is （ ）（A ）12 （B ）−12 （C ）23 （D ）−23注：regular tetrahedron 正四面体7.If the solution of equation log 2(x −3)+2x =4 is x 0，then maximal integer solution of the inequality 7x −2x 0≤1 is （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）28.(233)−4 indicates that the number is expressed is base minus four. It is therefore equivalent in value to the decimal number 23.And the way of conversion is as bellow ：2×(−4)2+3×(−4)1+3×(−4)0=23，which means (23)10.Then ，the decimal number (2010)10 can be expressed as __________ in base minus eight.注：base minus four 负四进制；equivalent 相等的；decimal number 十进制数；conversion 转化2011年希望杯数学邀请赛试题（高一）9.Two known vectors a =(2cos α，sin 2α)，b =(2sin α，cos 2α)(x ∈R ) and f (x )=|a |−|b |，then the maximum value of f (x ) is （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3.6 （D ）410.Define vectors a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，and c =a +kb （real number k ∈[−1，2]）.If α=β+π3，then the value range of |c | is _________.11. Quadratic function f (x ) satisfies f (x −2)=f (−x −2)，x ∈R ，and the image of the segment on the x-axis has a length of 2√7，and it also passes through point (2，9).Knowing that A ={x||f (x )|=k ，k ∈R}，if card (A )=4，the values of k is （ ）（A ）k >7 （B ）0<k <7 （C ）0<k ≤7 （D ）k =7注：quadratic function 二次函数2012年希望杯数学邀请赛试题（高一）12.Suppose △ABC is a triangle with the length of 2，D and E are moving points on the sides BC and AC ，AD ⊥BE at point M ，the length of M ’s trajectory is （ ）（A ）π2 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π613. y =a sin (ax +b )+b ，if the minimum value of y is 12，the maximum value is 52，then ab =__________.14.Suppose m is integer ，if a =(4，m)，b =(−2m ，4)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，Then the area of the △OAB is __________. 15.Suppose x ，y ∈R ∗，and x +y =2，the value range for x 3+2x 2y 2+y 3 is__________.2009年希望杯数学邀请赛试题（高二）16.Folding the square ABCD along the diagonal AC into a right dihedral angle ，then the degree of the angle formed by the lines AB and CD that are in the different planes is （ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°17. If the graph of function f (x +1) is symmetric to the graph of function g (x )=e 2x +1 with respect to line y =x ，then the expression of function f (x ) is __________.18.Given that the top points of rectangle ABCDare A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)respectively. Point P(x ，y) is a moving pointon segment BD ，suppose f (x )=DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，then the expression of f (x ) is __________ and the range of value for f (x ) is __________.19.There is a point O in the △ABC ，and OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，then the ratiofor the area of the △AOC and the area of the △AOB is （ ）（A ）1∶2 （B ）1∶3 （C ）1∶4 （D ）2∶520.In the regular tetrahedron V-ABC ，points E ，F ，G ，H are the midpoints of edges AB ，AC ，VB and VC.The the degree of the dihedral angle included by the plane that passes points A ，G ，H and the plane that passes points V ，E ，F is __________. 注：regular tetrahedron 正四面体；dihedral angle 二面角2010年希望杯数学邀请赛试题（高二）21.In the isosceles tight triangle ABC ，D is the midpoint of hypotenuse BC.IfAB=2，then (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）（A ）2 （B ）2√ （C ）4 （D ）8注：isosceles 等腰的；hypotenuse 斜边22.In the rectangular coordinate system xOy ，P is an arbitrary point on hyperbola C ：x 2−y 2=2010.Construct the vertical line of the two asymptotic lines of C passing point P ，the roots are M ，N respectively.Then the area of quadrilateral PMON equals to __________.注：arbitrary 任意的；vertical 垂直的；asymptotic 渐近的23. Given the general term formula of sequence {a n } is a n =n 2+(λ−112)n +3.If λ∈Z and {a n } is an increasing sequence ，then the minimum of λ is （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）524.A ling passes through point P(1，−1) intersects with parabola y =x 2 at points A ，B ，then the equation of the locus of AB ’s midpoint is __________.2011年希望杯数学邀请赛试题（高二）25.If α∈(0，π)，lg (1−cos α)=m ，lg 11+cos α=n ，then lg (sin α)=（ ）（A ）m −n （B ）m +1n （C ）12(m −n ) （D ）12(m +1n )26.If the solution set of x for the inequality mx+12x 2+ax−1≥n （m ，a ，n are constants ） is [−2，−1)⋃(12，1]，then a =__________，m =__________.27. Given function f (x )=x 2+ax .A and B are two non-empty sets ，A ={x|f (x )=0，x ∈R}，and B ={x|f [f (x )]=0，x ∈R}.If A =B ，then the value range for real number a is __________.28. Let S n =n 3+33n (n ∈N ∗) be the sum of the first n terms in the sequence {a n }.Then the minimum possible value ofa n n is __________.2012年希望杯数学邀请赛试题（高二）29. The range of values for the function y =x +2is （ ）（A ）[−√2，√2] （B ）(−√2，√2) （C ）[−1，√2] （D ）(−1，√2)30.Suppose the equation x 2−2kx +k 2−1=0 has two unequal real roots x 1、x 2，which satisfy |x i −1|<3(i =1，2).Then the range of values for the real number k is __________.31.The minimum value of the function y =2+2is （ ）（A ）4 （B ）3√2 （C ）2√5 （D ）√1732. How many positive roots does the equation (x +12)2012−x 2012+2x +12=0 have ？__________. 参考答案1.4972.623.B4.C5.①③④⑤6.D7.C8.(3732)8 9.A 10.[√32，√7] 11.B 12.B 13.±32 14.40 15.[4，8) 16.C 17.f (x )=ln √x −2 18.f (x )=−54x 2+2x (0≤x ≤2) [−1，45] 19.C 20.arc cos 71121.C 22.1005 23.B 24.y =2x 2−2x −1(x <−√2+1或x >√+1) 25.C 26.1 −13 27.0≤a <4 28.52329.C 30.(−1，3) 31.D 32.0。
横看成岭侧成峰 远近高低各不同——从一道希望杯老题看一题多解思维的广阔性
横看成岭侧成峰㊀远近高低各不同从一道希望杯老题看一题多解思维的广阔性余铁青(广东省中山市桂山中学㊀５２８４６３)摘㊀要:一题多解ꎬ就是从不同角度㊁不同思路人手ꎬ运用不同的方法或不同的解题过程ꎬ解答同一问题的思维活动.本文从一道希望杯老题入手ꎬ在解答中渗透一题多解思想的策略ꎬ以期培养同学们审慎的解题习惯与开阔的思维品质.关键词:希望杯ꎻ一题多解ꎻ思维ꎻ广阔性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００２４－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:余铁青ꎬ男ꎬ研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁问题提出２０２０届的高考已经尘埃落定ꎬ已经毕业的这一届高三学生让笔者在教学上又多了一份新的体会ꎬ正所谓 愈教愈新 .暑期刚开始没有几天ꎬ有幸作为学科骨干教师参与学校的新教材学习与分享.新教材第一章依旧是集合相关内容ꎬ第二章由基本初等函数(１)变成了一元二次函数㊁方程和不等式ꎬ第三章才开始函数的概念与性质.笔者研读之后结合多届已经毕业学生的高三一年的学习情况与实际高考成绩ꎬ发现新进高一的学生不仅要重点培养对概念深刻的理解ꎬ更多的要培养学生思维的广度ꎬ没有广度的思维是呆板的㊁木讷的㊁没有灵性的!基于此ꎬ笔者思考了以何为载体进行这种思想的培养呢?通过对比ꎬ笔者认为一题多解是个很好的载体.所谓一题多解就是没有唯一和固定的模式ꎬ教师可以通过纵横对比发散㊁知识串联㊁综合沟通等手段ꎬ由一题引发多种解答方法ꎬ为学生构建完善的知识体系.引导学生从不同角度人手ꎬ用不同的解答方法完成解题过程.并以此来帮助学生更加深刻的理解数学的本质概念ꎬ掌握试题解答的思路与方法.帮助学生体会数学的多样美感ꎬ激发数学学习兴趣ꎬ拓宽学生思维的广阔度.㊀㊀二㊁实例分析例㊀(第九届希望杯全国数学邀请赛高一试题)若二次函数ｆｘ()＝ａｘ２＋ｂｘꎬ恒有ｆｘ１()＝ｆｘ２()ｘ１ʂｘ２()ꎬ求ｆｘ１＋ｘ２()的值.策略一:利用已知条件ꎬ直接带入化简ꎬ常规操作解法１㊀一方面:由已知条件ｆｘ１()＝ｆｘ２()ꎬ代入得到:ａｘ２１＋ｂｘ１＝ａｘ２２＋ｂｘ２ꎬ整理得到:ｘ１－ｘ２()ａｘ１＋ｘ２()＋ｂ[]＝０ꎬ又因为ｘ１ʂｘ２ꎬ所以ａｘ１＋ｘ２()＋ｂ＝０ꎬ另一方面:ｆｘ１＋ｘ２()＝ａｘ１＋ｘ２()２＋ｂｘ１＋ｘ２()＝ｘ１＋ｘ２()ａｘ１＋ｘ２()＋ｂ[]ꎬ所以ｆｘ１＋ｘ２()＝０.评注㊀解数学题是有有一定模式的ꎬ各种不同类型的题目有相应的基本解题策略ꎬ这就是常说的 套路 ꎬ实际上就是我们讲的 通性通法 .学生在测试中面对一道试题的时候ꎬ如果不能很快的思考出最优的策略ꎬ那么切不可忽略本原ꎬ即常见常用的解题思路ꎬ在时间不充足的情况下快速的找到解决问题的策略是关键.毕竟时间有限ꎬ先得分ꎬ考完之后再进行反思优化是提高的必由之路ꎬ只会机械的记住套路ꎬ甚至背套路是万万不提倡的ꎬ因为这会完全丧失解题的灵性.策略二:在进行代数运算时ꎬ适当进行变形配方ꎬ效果往往让人喜出望外解法２㊀当ｘ１＋ｘ２＝０时ꎬ显然ｆｘ１＋ｘ２()＝０ꎻ当ｘ１＋ｘ２ʂ０时ꎬ由ｆｘ１()＝ｆｘ２()即得:０＝ｆｘ１()－ｆｘ２()＝ｘ１－ｘ２()ａｘ１＋ｘ２()＋ｂ[]＝ｘ１－ｘ２ｘ１＋ｘ２ａｘ１＋ｘ２()２＋ｂｘ１＋ｘ２()[]＝ｘ１－ｘ２ｘ１＋ｘ２ｆｘ１＋ｘ２()ꎬ又因为ｘ１ʂｘ２ꎬ所以ｆｘ１＋ｘ２()＝０.评注㊀该解法使用配方法改变了代数式的原有结构ꎬ从一个要求的结论出发ꎬ整理配凑出我们希望出现的结构ꎬ再利用整体代换的思想直接得出结果ꎬ而这种思维４２是在日常教学中要着重巩固的ꎬ不仅在该题有着很好的应用在其它不等式等相关试题中的应用也是十分广泛的ꎬ所以工具越多ꎬ解题越从容.策略三:联想函数对称轴ꎬ利用二次函数性质ꎬ对称美学凸显解法３㊀由二次函数满足ｆｘ１()＝ｆｘ２()则该函数图像关于直线ｘ＝ｘ１＋ｘ２２对称ꎬ而ｘ１＋ｘ２与０也是关于直线ｘ＝ｘ１＋ｘ２２对称的ꎬ那么ｆｘ１＋ｘ２()＝ｆ０()＝０.评注㊀函数诸多性质中ꎬ笔者最为推崇对称性ꎬ这是数学美学的最浅显的外在表征ꎬ当然在此处不过多去讨论奇偶性ꎬ单调性ꎬ周期性等.此解法有诸多巧合重叠ꎬ从函数对称轴出发ꎬ结合离函数对称轴距离相等的自变量所对应函数值相等这一结论使得对称之美展现的淋漓尽致!其中在２０１７新课标３卷理１１中的应用亦是美妙至极.㊀策略四:构造方程的根结合韦达定理ꎬ从具体到抽象ꎬ二者自由切换解法４㊀由已知条件ｆｘ１()＝ｆｘ２()ꎬ不妨令ｆｘ１()＝ｆｘ２()＝－ｃꎬ于是有以下不等式组:ａｘ２１＋ｂｘ１＋ｃ＝０ａｘ２２＋ｂｘ２＋ｃ＝０{这样就可以把ｘ１ꎬｘ２视作方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两根了ꎬ利用韦达定理知ｘ１＋ｘ２＝－ｂａꎬ那么ｆｘ１＋ｘ２()＝ｆ－ｂａæèçöø÷＝０.评注㊀实际上此解法说好ꎬ其实似乎又有些 臃肿 .如果不设ｆｘ１()＝ｆｘ２()＝－ｃꎬ直接将ｘ１ꎬｘ２带入ｆｘ()的解析式得到方程组ꎬ亦可求得所要结果.这样写仅仅是为了和学生平时所认知的一元二次方程形式进行统一ꎬ做这样的假设形式其实就是最近发展区理论ꎬ这能够很好的和学生所固有的认知契合ꎬ学生很容易接受ꎬ能够有效提高教学效率.策略五:利用抽象函数的广义对称性质ꎬ若函数ｙ＝ｆｘ()关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬ则有ｆ２ｍ－ｘ()＝ｆｘ()解法５㊀由于二次函数满足ｆｘ１()＝ｆｘ２()那么该函数图像关于直线ｘ＝ｘ１＋ｘ２２对称ꎬ所以ｆ２ ｘ１＋ｘ２２－ｘæèçöø÷＝ｆｘ()ꎬ将ｘ＝０带入ꎬ立得:ｆｘ１＋ｘ２()＝０.评注㊀这种解法在于对抽象形式的理解和掌握ꎬ是前面解法３的升华.因为该类函数性质实际上可以推广到任意具备对称性函数求值问题ꎬ这就比直接考虑二次函数对称性的思维更加深刻ꎬ将这种解法安排在解法３之后十分合适ꎬ这本身就有利于学生思维的自然过渡ꎬ从而进一步加深对原始二次函数更加深刻的认识.策略六:构造直线共线向量ꎬ利用共线性质ꎬ思维迁移提升解法６㊀由已知条件得:ｆｘ()ｘ＝ａｘ＋ｂꎬ不妨令ｆｘ１()＝ｆｘ２()＝ｔꎬｆｘ１＋ｘ２()＝ｃ于是得:Ａｘ１ꎬｔｘ１æèçöø÷ꎬＢｘ２ꎬｔｘ２æèçöø÷ꎬＣｘ１＋ｘ２ꎬｃｘ１＋ｘ２æèçöø÷ꎬ所以ＡＣң＝ｘ２ꎬｃｘ１＋ｘ２－ｔｘ１æèçöø÷ꎬＢＣң＝ｘ１ꎬｃｘ１＋ｘ２－ｔｘ２æèçöø÷ꎬ再由三点共线知:ＡＣңʊＢＣңꎬ那么就有以下数量关系:ｘ２ｃｘ１＋ｘ２－ｔｘ２æèçöø÷＝ｘ１ｃｘ１＋ｘ２－ｔｘ１æèçöø÷ꎬ整理得ｃｘ２ｘ１＋ｘ２＝ｃｘ１ｘ１＋ｘ２ꎬ又ｘ１ʂｘ２ꎬ所以ｃ＝０ꎬ进而ｆｘ１＋ｘ２()＝０.评注㊀该解法笔者是基于微分思想的角度联想到的ꎬ 点线面 ꎬ 一维二维三维 是典型的思维迁移的模范!笔者试图将二次函数降次理解构造共线向量来进行理解ꎬ试过之后ꎬ发现着实可以这么理解ꎬ在讲解中注重灵感思路的来源分析ꎬ对学生的理解很有帮助ꎬ也能很好的启迪学生ꎬ开阔思路ꎬ勇于尝试ꎬ锻炼学生坚毅的品格.策略七:利用行列式三角形面积公式ꎬ高等数学思想与初等数学结合解法７㊀由解法６ꎬＡｘ１ꎬｔｘ１æèçöø÷ꎬＢｘ２ꎬｔｘ２æèçöø÷ꎬＣｘ１＋ｘ２ꎬｃｘ１＋ｘ２æèçöø÷ꎬ再由三点共线知:ｘ１ｔｘ１１ｘ２ｔｘ２１ｘ１＋ｘ２ｃｘ１＋ｘ２１＝０行列式展开得:ｃｘ２ｘ１＋ｘ２＝ｃｘ１ｘ１＋ｘ２ꎬ下同解法６.评注㊀行列式在笔者所在学校是没有强调必须要讲解的ꎬ但是基于教学实际ꎬ笔者认为有必要进行讲解.第一ꎬ从高考命题角度与考试大纲要求来看ꎬ初等数学之中融入高等数学思想是命题的重点方向ꎬ类似的还有洛必达法则ꎬ端点效应ꎬ泰勒展开等等ꎬ这就是其中很好的一例!第二ꎬ从考试直接应用来看ꎬ行列式求解三角形面积还广泛存在于平面解析几何之中ꎬ能够有效减少计算量ꎬ达到思路明晰ꎬ解题高效之效果.策略八:由外形结构ｆｘ()＝ａｘ２＋ｂｘꎬ类比到等差数列性质ꎬ秒得答案ꎬ注重由直观想象到逻辑推理的过渡.解法８㊀在等差数列ａｎ{}中ꎬＳｎ是其前ｎ项和ꎬ若Ｓｍ５２＝Ｓｎｍʂｎ()ꎬ那么Ｓｍ＋ｎ＝０.结合ｆｘ１()＝ｆｘ２()ｘ１ʂｘ２()ꎬ立马可得:ｆｘ１＋ｘ２()＝０.评注㊀类比思想可以在此处得到了最大的恩宠ꎬ一时间复杂的问题在此刻得到了瞬间的释放ꎬ这才是真正的秒解!是运气?是福气?都不是ꎬ是能力的完美体现!是日积月累的思考与探究!发现新的事物往往是由所熟悉的事物进行迁移类比产生猜想ꎬ然后依赖于严谨的推理论证进行验证.猜想是做学问和锻炼创新思维的出发点ꎬ证明则是推理验证的落脚点与最终归宿.此题只要能通过类比想到ꎬ可以做到比前面任何一种解法都要快ꎬ效率都要高ꎬ真可谓妙不可言!㊀㊀三㊁解题反思纵观以上８种不同解法ꎬ可以说一种更比一种妙!实际上一题多解更够很好的帮助学生构建更加完善的知识体系ꎬ通过让学生比较分析ꎬ会进一步认清哪些只是较为一般的解法ꎬ哪些是比较有创新的思路ꎬ哪种解法更简单等ꎬ这样能够使得大家的思维更开阔㊁更清晰ꎬ从而灵活地把握知识间的横向关系与纵向联系ꎬ提高在解决问题中的能力ꎬ培养学生审慎的解题习惯ꎬ发挥学生的创造性.㊀㊀参考文献:[１]全刚. 一题多解 让知识更系统[Ｊ].理科考试研究ꎬ２０１４ꎬ２１(２１):９１.[２]广东省教育考试院.广东高考年报(２０１９)[Ｍ].广州:广东高等教育出版社ꎬ２０２０ꎬ３(１５７).[３]余铁青.解题要有道方法更重要 例谈利用函数对称性解高考题[Ｊ].中学数学ꎬ２０２０(１３):５１－５２.[责任编辑:李㊀璟]发散思维㊀一题多解㊀提升能力以２０２０年全国高考理科数学Ⅱ卷第２１题为例李昌成(新疆乌鲁木齐市第八中学㊀８３０００２)摘㊀要:三角函数的最值问题入口多ꎬ能考查不同水平学生的能力ꎬ采用何种策略解答ꎬ关键在于对问题的认识.２０２０年全国高考数学Ⅱ卷理科２１题第二问是一个典型例子.可以从不同角度ꎬ拓展思路ꎬ分析解答ꎬ变式探究ꎬ再现命题的能力立意ꎬ以期提高认识.关键词:高考题ꎻ解法ꎻ研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００２６－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:李昌成(１９７７－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀２０２０年全国高考理科数学Ⅱ卷的第２１题是一个三角函数题ꎬ考查了函数单调性㊁最值以及不等式证明.该题打破了若干年来超越函数ｅｘ㊁ｌｎｘ与带参一㊁二次函数的综合题霸占压轴题位置的惯例ꎬ给我们一线教师带来很多思考ꎬ尤其是第二问ꎬ值得研究.㊀㊀一㊁试题呈现(２０２０年全国高考理科数学Ⅱ卷第２１题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２ｘ.(１)略ꎻ(２)求证:ｆ(ｘ)ɤ３８３ꎻ(３)略.㊀㊀二㊁解法探究视角１㊀从极值的角度切入ꎬ用极值导出最值证法１㊀对原函数求导得ｆᶄ(ｘ)＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘꎬ化简整理得６２。
第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(四年级第1试)
2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第1试）一、解答题（共20小题，满分114分）1．（6分）计算：（7777+8888）÷5﹣（888﹣777）×3＝．2．（6分）计算：1+11+21+…+1991+2001+2011＝．3．（6分）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是．4．（6分）小于100的最大的自然数与大于300的最小的自然数的和，是不大于200的最大的自然数的倍．5．既是6的倍数又是8的倍数的所有两位数的和是．6．（6分）四年级一班第2小组共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有人．7．（6分）按照左侧四个图中数的规律，在第五个图中填上适当的数：8．（6分）已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是．9．（6分）如图，△ABC的面积为36，点D在AB上，BD＝2AD，点E在DC 上，DE＝2EC，则△BEC的面积是．10．（6分）今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大岁．11．（6分）某次考试，A、B、C、D、E五人的平均分是90分．若A、B、C 的平均分是86分，B、D、E的平均分是95分，则B的得分是分．12．（6分）如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC＝20°，∠EOD＝60°，则∠AOE＝，∠BOC＝．13．（6分）如图，四边形ABCD与CEFG是边长相等的正方形，且B、C、G 在一条直线上，则图中共有个正方形，个等腰直角三角形．14．（6分）一个水桶里有水，若将水加到原来的4倍，桶和水共重16千克；若将水加到原来的6倍，桶和水共重22千克．则桶内原有水千克，桶重千克．15．（6分）某个两位数的个位数字和十位数字的和是12，个位数和十位数字交换后所得两位数比原数小36，则原数是．16．（6分）王强步行去公园，回来时坐车，往返用了一个半小时，如果他来回都步行，则需要2个半小时，那么，他来回都坐车，则需分钟．17．（6分）图中“C”形图形的周长是厘米．18．（6分）如图，从1，2，3，4，5，6中选出5个数填在图中空格内，使填好的格内的数右边的比左边的大，下边的比上边的大，则共有种不同的填法．19．（6分）三个连续自然数中最小的数是9的倍数，中间的数是8的倍数，最大的数是7的倍数，则这三个数的和最小是．20．（6分）甲、乙、丙、丁、戊五人猜测全班个人学科总成绩的前五名：甲：“第一名是D，第五名是E．”乙：“第二名是A，第四名是C．”丙：“第三名是D，第四名是A”，丁：“第一名是C，第三名是B．”戊：“第二名是C，第四名是B．”若每个人都是只猜对一个人的名次，且每个名次只有一个人猜对，则第一、二、三、四、五名分别是．2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第1试）参考答案与试题解析一、解答题（共20小题，满分114分）1．（6分）计算：（7777+8888）÷5﹣（888﹣777）×3＝3000 ．【分析】把7777+8888与888﹣777，拆成两个数的乘积，再根据乘法分配律进行计算即可．【解答】解：（1111×7+1111×8）÷5﹣（111×8﹣111×7）×3，＝1111×（7+8）÷5﹣111×（8﹣7）×3，＝1111×（15÷5）﹣111×1×3，＝1111×3﹣111×3，＝（1111﹣111）×3，＝1000×3，＝3000．故答案为：3000．【点评】本题主要考查乘法分配律的灵活运用，根据数字特点找出巧算的方法进行计算即可．2．（6分）计算：1+11+21+…+1991+2001+2011＝203212 ．【分析】通过观察，相邻两个数的差是10，这是一个等差数列，可以用高斯求和公式进行简算．这一数列共有（2011﹣1）÷10+1＝202个数，然后运用公式计算即可．【解答】解：1+11+21+…+1991+2001+2011，＝（1+2011）×[（2011﹣1）÷10+1]÷2，＝2012×202÷2，＝203212．故答案为：203212．【点评】此题的关键是先探索出这是一个等差数列，运用“项数＝（末项﹣首项）÷公差+1”算出项数．3．（6分）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是5，13，17，29 ．【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．30以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29；4的倍数特征是个位上的数是偶数；由此解答．【解答】解：5+3＝8；13+3＝16；17+3＝20；29+3＝32；8，16，20，32都是4的倍数；故答案为：5，13，17，29．【点评】此题的解答主要明确质数的意义，掌握30以内的10个质数，和4的倍数的特征．4．（6分）小于100的最大的自然数与大于300的最小的自然数的和，是不大于200的最大的自然数的 2 倍．【分析】此题要找出小于100的最大自然数是99，大于300的最小自然数是301，不大于200（即小于或等于200）的最大自然数是200，由此本题可以看做是：“99和301的和是200的多少倍？”．【解答】解：（99+301）÷200，＝400÷200，＝2；答：是不大于200的最大的自然数的2倍．故答案为：2．【点评】解决此题的关键是，根据题干先得出“小于100的最大的自然数”是99、“大于300的最小的自然数”是301，“不大于200的最大的自然数”是200．5．既是6的倍数又是8的倍数的所有两位数的和是240 ．【分析】既是6的倍数，又是8的倍数，先分解质因数，6分为2×3，8分为2×2×2，再找出最小公倍数，两位数的公倍数只有四个数：24，48，72，96，相加即得答案240．【解答】解：根据分析，先分解质因数6＝2×3，8＝2×2×2，则两者的最小公倍数即为24，符合条件的所有两位数公倍数为：24，48，72，96；所有这些两位数之和：24+48+72+96＝240，故答案为：240．【点评】本题考查了公倍数和数的整除运算知识，本题突破点是：找出两者之间的最小公倍数．6．（6分）四年级一班第2小组共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有 2 人．【分析】只要从总人数12人中，把会打乒乓球和会下象棋的人数减掉，剩下的就是这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的人数；此题可以画图分析：5+8＝13人，这里重复加了一次既会打乒乓球有会下象棋的3人，所以会打乒乓球和会下象棋的人数为13﹣3＝10人，则剩下的12＝2人就是这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的人数．【解答】解：12﹣（5+8﹣3）＝2（人），答：这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有 2人．故答案为：2．【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用．7．（6分）按照左侧四个图中数的规律，在第五个图中填上适当的数：【分析】（1）根据题干，图中1的位置变化规律是：按顺时针方向依次移动一个格；（2）数字排列规律是：分别按1、3、5、2、4、6的顺序排列的，而且第奇数幅是按顺时针排列，第偶数幅是按逆时针排列；第五幅图是第奇数幅，所以按顺时针排列．【解答】解：根据题干分析可得：（1）图中1的位置变化规律是：按顺时针方向依次移动一个格；所以先确定1的位置如下图所示；（2）第五幅图是第奇数幅，所以按顺时针排列，所以可以在图中添上正确的数字如下图所示：【点评】根据题干得出1的位置变化规律和图中数字1、3、5、2、4、6的排列特点是解决此题的关键．8．（6分）已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是10 ．【分析】只要求出被改动的两个数是多少，即能求出这两个被改动的数以外的7个数的乘积是多少．已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，积缩小了800÷200＝4（倍），则这个被改动的数也被缩小了4倍，则被改动的这个数为：4×4＝16；同理，1200÷200＝6，积扩大了6倍，第二个被改动的数也被扩大了6倍，其原来应为：30÷6＝5，所以则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是：800÷（16×5）＝10．【解答】解：第一个数原来为：（800÷200）×4＝16；第二个数原来为：30÷（1200÷200）＝5；则两个被改动的数以外的7个数的乘积是：800÷（16×5）＝10．故答案为：10．【点评】在乘法算式，其中一个因数扩大（或缩小）多少倍，积也相应的扩大（或缩小）多少倍．9．（6分）如图，△ABC的面积为36，点D在AB上，BD＝2AD，点E在DC 上，DE＝2EC，则△BEC的面积是8 ．【分析】（1）△ABC的面积是36，BD＝2AD，根据高一定时，三角形的面积与底成正比的性质即可得出：△ABC的面积：△BDC的面积＝3：2，所以：△BDC的面积是：36×2÷3＝24；（2）△BDC的面积是36×2÷3＝24，DE＝2EC，根据高一定时，三角形的面积与底成正比的性质即可得出：△BEC的面积：△BDC的面积＝1：3，所以△BEC的面积是24÷3＝8．【解答】解：因为BD＝2AD，根据高一定时，三角形的面积与底成正比的性质即可得出：△ABC的面积：△BDC的面积＝3：2，故△BDC的面积是36×2÷3＝24；因为DE＝2EC，同理可得：△BEC的面积：△BDC的面积＝1：3，故△BEC的面积是24÷3＝8．答：△BEC的面积是8．故答案为：8．【点评】此题反复考查了高一定时，三角形的面积与底成正比的性质的灵活应用．10．（6分）今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大28 岁．【分析】4年后，李林和他爸爸的年龄之和是50+4×2＝58岁，设李林4年后的年龄为x岁，则爸爸的年龄是3x﹣2岁，根据他们的年龄之和是58岁列出方程即可解决问题．【解答】解：设李林4年后的年龄为x岁，则爸爸的年龄是3x﹣2岁，根据题意可得方程：x+3x﹣2＝50+4×2，4x＝60，x＝15，3×15﹣2＝43（岁），43﹣15＝28（岁），答：李林的爸爸比他大28岁．故答案为：28．【点评】此题也可以这样分析，4年后，李林和爸爸的年龄之和就是58岁，把李林的年龄看做1份，那么爸爸的年龄就是3份少2岁，由此可以求出1份即李林的年龄为：（58+2）÷4＝15（岁），由此可得爸爸58﹣15＝43岁，则爸爸比李林大28岁．11．（6分）某次考试，A、B、C、D、E五人的平均分是90分．若A、B、C 的平均分是86分，B、D、E的平均分是95分，则B的得分是93 分．【分析】根据“平均数×数量＝总数”分别计算出A、B、C三个数的和与B、D、E三个数的和与这五个数的和，进而用“A、B、C三个数的和+B、D、E三个数的和﹣五个数的和”进行解答即可．【解答】解：（86×3+95×3）﹣（90×5），＝543﹣450，＝93（分）；故答案为：93．【点评】解答此题的关键：根据平均数和数量、总量之间的关系进行分析解答．12．（6分）如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC＝20°，∠EOD＝60°，则∠AOE＝100°，∠BOC＝160°．【分析】由图可知，∠AOC＝20°、∠EOD＝60°与∠AOE相加等于180°，由此即可求得∠AOE的度数；∠BOC与∠AOC＝20°互为补角，根据补角的定义即可解答．【解答】解：∠AOE＝180°﹣∠AOC﹣∠EOD＝180°﹣20°﹣60°＝100°．∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣20°＝160°．故答案为：100°；160°．【点评】本题主要考查角的度量与补角的定义，根据几个角的和差关系进行计算是解题关键．13．（6分）如图，四边形ABCD与CEFG是边长相等的正方形，且B、C、G 在一条直线上，则图中共有 3 个正方形，22 个等腰直角三角形．【分析】根据图形可知，正方形有：ABCD、CEFG、BEGD三个；在正方形ABCD、CEFG和BEGD中，单一三角形是10个，有两个小三角形组成的是8个；由3个三角形组成的等腰直角三角形是4个；由此解答．【解答】解：图中共有正方形3个；等腰直角三角形有：10+8+4＝22（个）；故答案为：3；22【点评】此题主要考查通过分类、观察、思考探寻事物规律的能力．14．（6分）一个水桶里有水，若将水加到原来的4倍，桶和水共重16千克；若将水加到原来的6倍，桶和水共重22千克．则桶内原有水 3 千克，桶重 4 千克．【分析】根据题意知道，桶的重量不变，（22﹣16）千克的水就是水原来的（6﹣4）倍，由此即可求出原来的水的千克数，那桶的重量即可求出．【解答】解：桶内原有水：（22﹣16）÷（6﹣4），＝6÷2，＝3（千克），桶重：16﹣4×3，＝16﹣12，＝4（千克）；答：桶内原有水3千克，桶重4千克．故答案为：3，4．【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出对应的数和对应的倍数，由此列式解答即可．15．（6分）某个两位数的个位数字和十位数字的和是12，个位数和十位数字交换后所得两位数比原数小36，则原数是84 ．【分析】设个位数字是x，则十位数字是12﹣x，所以可得：原来两位数是10（12﹣x）+x，交换位置后的新两位数是10x+12﹣x；根据新数比原数小36，列出方程即可解决问题．【解答】解：设个位数字是x，则十位数字是12﹣x，那么原来两位数是10（12﹣x）+x，交换位置后的新两位数是10x+12﹣x；根据题意可得方程：10（12﹣x）+x﹣（10x+12﹣x）＝36，18x＝72，x＝4；12﹣4＝8，答：原数是84．故答案为：84．【点评】此题设出个位数字和十位数字，从而得出原两位数和新两位数是解决本题的关键．16．（6分）王强步行去公园，回来时坐车，往返用了一个半小时，如果他来回都步行，则需要2个半小时，那么，他来回都坐车，则需30 分钟．【分析】来回都步行，需要2个半小时说明王强步行单程用：2.5÷2＝1.25（小时），又因为步行去公园，回来时坐车，往返用了一个半小时，则坐车单程用：1.5﹣1.25＝0.25（小时），则来回都坐车用时：0.25×2＝0.5（小时）．【解答】解：（1.5﹣2.5÷2）×2，＝0.25×2，＝0.5（小时）；0.5小时＝30分钟．故答案为：30．【点评】完成本题的关健是：在求出步行单程所用时间的基础上，求出坐车单程所用时间．17．（6分）图中“C”形图形的周长是32 厘米．【分析】如图，将内部的2厘米边平移到外面红色线段处，这样这个图形的周长就是这个边长为6厘米的正方形的边长与内部横着的两条长为6﹣2＝4厘米的线段的长度之和，由此利用正方形周长公式代入数据即可解决问题．【解答】解：根据题干分析可得：6×4+（6﹣2）×2，＝24+8，＝32（厘米），答：这个图形的周长是32厘米．故答案为：32．【点评】借助平移的性质将图形中的某些线段移动到规则图形的边上，使求这个不规则图形的周长转化成求规则图形的周长是解决此类题目的主要解题思路．18．（6分）如图，从1，2，3，4，5，6中选出5个数填在图中空格内，使填好的格内的数右边的比左边的大，下边的比上边的大，则共有30 种不同的填法．【分析】此题根据乘法原理进行解答，从6个数中选出5个进行填空，共有6×5种．【解答】解：从6个数中选出5个进行填空，共有：6×5＝30（种）；故答案为：30．【点评】此题运用了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×m n种不同的方法．19．（6分）三个连续自然数中最小的数是9的倍数，中间的数是8的倍数，最大的数是7的倍数，则这三个数的和最小是1488 ．【分析】据题意可知，这是三个相连的自然数，又7、8、9也是相连的自然数，因此先找到7、8、9的最小公倍数：7×8×9＝504，则减9是9的倍数，减8是8的倍数，减7是7的倍数，得到495、496、497是符合要求的．【解答】解：7、8、9的最小公倍数为：7×8×9＝504；504﹣7＝497，504﹣8＝496，504﹣9＝495；495+496+497＝1488．故填：1488．【点评】任何三个连续自然数（零除外）的最小公倍分别减（或加）这三个数得到的三个连续的自然数分别是这三数的倍数．20．（6分）甲、乙、丙、丁、戊五人猜测全班个人学科总成绩的前五名：甲：“第一名是D，第五名是E．”乙：“第二名是A，第四名是C．”丙：“第三名是D，第四名是A”，丁：“第一名是C，第三名是B．”戊：“第二名是C，第四名是B．”若每个人都是只猜对一个人的名次，且每个名次只有一个人猜对，则第一、二、三、四、五名分别是CADBE ．【分析】本题可用假设法分两步进行推理：第一步：假设甲说的前半句是真的，那么D是第1名，那么此时丙说的前半句错，后半句对．则A是第4名．同理乙的后半句对，C是第4名．矛盾．由此可知甲的后半句对．第二步：已知E是第5名，D不是第1名．和第一名有关的话只剩下丁说的，设C是第1名．则戊：“第2名是c，第4名是B”．可知前错后对，B 是第4名．且有乙：“第二名是A，第四名是c”．可知，A是第2名．D是第3名．【解答】解：第一步：假设甲说的前半句是真的，那么D是第1名，那么此时丙说的前半句错，后半句对．则A是第4名．同理乙的后半句对，C是第4名．矛盾．由此可知甲的后半句对．即第五名是E；第二步：已知E是第5名，D不是第1名．和第一名有关的话只剩下丁说的，设C是第1名．则戊：“第2名是c，第4名是B”．可知前错后对，B是第4名．且有乙：“第二名是A，第四名是c”．可知，A是第2名．D是第3名．综上可知，第一、二、三、四、五名分别是CADBE．【点评】完成此类题目思路要清晰，根据所给条件中的逻辑关系细心推理，从而得出结论．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/22 16:49:14；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
希望杯第九届至十届试题
希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题一、选择题:（每小题6分，共60分）1．数（－1）1998是 ( )A ．最大的负数B ．最小的非负数.C ．最小的正整数D ．绝对值最小的整数 2.a=111654⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则a 的相反数是( ) A.1760-; B.760-; C.1760; D.760. 3．“a 与b 的和的立方”的代数式表示是 ( )A ．a 3＋b 3B ．a ＋b 3.C ．a 3＋bD ．(a ＋b)34．有下面4个命题：①两个数的差一定是正数.②两个整式的和一定是整式.③两个同类项的数字系数相同.④若两个角的和等于180°，则这两个角互为邻补角.其中真命题的个数是 ( )A ．1B ．2.C ．3D ．45．若19a ＋98b ＝0，则ab 是 ( )A ．正数B ．非正数.C ．负数D ．非负数 6.有理数a,b,c 在数轴上的表示如图1,则在211,,ac bb 中,( ) A.21b 最小; B.ac 最大; C. 1b 最大; D. 21b最大. 7．一杯盐水重21千克，浓度为7%.当再加入0.7千克纯盐后，这杯盐水的浓度是( )A ．7.7%B ．10%.C ．10.7%D ．11%8．a 、b 都是有理数，现有4个判断：①如果a ＋b ＜a ，则b ＜0.②如果ab ＜a ，那么b ＜0③如果a －b ＜a ，则b ＞0,其中正确的判断是 ( ) A ．①② B ．②③. C ．①④ D ．①③9.若13,663,2a b ≤≤≤≤,则b a的最大值是( ) A ．21 B ．2. C ．12 D ．12610．数a 、b 、c 如图2所示，有以下4个判断:①1a>a+b+c; ②ab 2>c; ③a-b>-c; ④5a>2b. 其中正确的是 ( ) A ．①和② B ．①和③. C ．②和④ D ．②和③二、A 组填空题（每小题6分，共60分） 11.111111112345⎧⎫⎡⎤⎛⎫----⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭=_______. 12．若m ＝－1998，则│m 2＋11m －999│－│m 2＋22m ＋999│＋20＝______.13．两个三位自然数之和减去1999所得之差的最大值是______.14.一个有理数的倒数的相反数的3倍是13,那么这个有理数是_________. 15．17个连续整数的和是306，那么紧接在这17个数后面的那17个连续整数的和等于________.16．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是______岁.17．图3中，B 、C 、D 依次是线段AE 上的三点，已知AE ＝8.9厘米，BD ＝3厘米，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度之和等于_______厘米.18.五位数abcde 是9的倍数,其中abcd 是4的倍数,那么abcde 的最小值为_______.19．梯形ABCD 如图4所示，AB 、CD 分别为梯形上下底，已知阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米.则梯形ABCD 的面积是________平方厘米.20.三个有理数a,b,c 两两不等,那么,,a b b c c a b c c a a b------中有______个是负数. 三、B 组填空题（每小题6分，共30分）21．三个质数之和是86.那么这三个质数是________.22．线段AB 上有P 、Q 两点，AB ＝26，AP ＝14，PQ ＝11，那么BQ ＝________.23．篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么其中排球的个数是________.24．一个有理数的二次幂大于这个有理数，那么这样的有理数的取值范围是________.25.将111111,,,,,23456---按一定规律排成下表:从表中可以看到,第4行中自左向右第3个数是19, 第5行中自左向右第2个数是-112, 那么第199行中自左向右第8个数是______, 第1998行中自左向右第11个数是_____.答案·提示一、选择题1 C.2 D.3 D.4 A.5 B.6 D.7 B.8 D.9 D.10B 提示：1．（－1）1998＝＋1．排除A.由于最小的非负数是0，排除B.绝对值最小的整数也是0，排除D.显然应选C.事实上＋1是最小的正整数.3．a 3＋b 3的意义是a 立方与b 立方之和；a ＋b 3的意义是a 与b 立方之和；a 3＋b 的意义是a 立方与b 之和；（a ＋b ）3的意义是a 与b 的和的立方.选D.4．由3－4＝－1，知命题①不真；3ab 2与5ab 2是同类项，但数字系数不同，③不真；由于两条平行线被第三条直线所截，同旁内角之和为180°，但它们并不互为邻补角.命题④不真.易知，两个整式的和仍是整式是真命题.所以只有1个真命题，选A.7．加入0.7千克纯盐后，这杯盐水的浓度是综上分析可知，选D.二、A组填空题11、 12、20000 13、－1 14、－9 15、595 16、18 17、41.6 18 10008 19、15.625 20、2提示：13．两个三位数之和的最大值为999＋999＝1998，所以两个三位自然数之和减去1999所得之差的最大值是1998－1999＝－1.15．设17个连续整数为m，m＋1，m＋2，…，m＋16 ①有m＋(m＋1)＋…＋(m＋16)＝306.它后面紧接的17个连续自然数应为m＋17，m＋18，m＋19，…，m＋33②②的每一项比①中对应项多17，所以②中17个数总和比①中17个数总和多17×17，所以②中17个数总和为306＋17×17＝595.∴只取x＝8，y＝0.某人的年龄是18岁.17．以A，B，C，D，E这5个点为端点的线段共有十条，它们是AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.其长度总和AB＋AC＋AD＋AE＋BC＋BD＋BE＋CD＋CE＋DE＝4AB＋6BC＋6CD＋4DE＝4（AB＋DE）＋6（BC＋CD）＝4（AE－BD）＋6BD＝4AE＋2BD＝4×8.9＋2×3＝41.6（厘米）.19．易知△ADB与△ACB面积相等，所以△AOD与△BOC面积相等.但△AOD与△BOC面积之和为5平方厘米，所以△AOD的面积＝△BOC的面积＝2.5平方厘米.又S△AOB∶S△BOC＝AO∶OC＝S△AOD∶S△DOC.即0.625∶2.5＝2.5∶S△DOC所以梯形ABCD面积＝S△AOB＋(S△AOD＋S△BOC)＋S△DOC＝0.625＋5＋10＝15.625（平方厘米）.二、B组填空题21、(2,5,79)、(2,11,73)、(2,13,71)、(2,17,67)、(2,23,61)、(2,31,53)、(2,37,47)、(2,41,43)22、1或2323、1或9或1724、大于1的有理数和负有理数提示：21．86是个偶数，那么3个质数加数中至少有一个偶数，这个偶数又是质数，故只能是2.其余两个加数是奇质数，其和为84.易知，只能是（5，79），（11，73），（13，71），（17，67），（23，61），（31，53），（37，47），（41，43）这八组，所以，84表示为3个质数和可以有八组，它们是(2，5，79)，(2，11，73)，(2，13，71)，(2，17，67)，(2，23，61)，(2，31，53)，(2，37，47)，(2，41，43).22．P、Q在线段AB上可以有两种情形.对于图5∶BQ＝AB－AP－PQ＝26－14－11＝1.对于图6∶BQ＝AB－AP＋PQ＝26－14＋11＝23.23．篮球、排球、足球总数是25个.并且篮球数是足球数的7倍.所以足球数只能取1，2，3个.这时篮球数对应取7，14，21个.从而排球数可能取的值是17，或9，或1个.24．画出数轴如图7.大于1的有理数的二次幂大于它自身；1的二次幂等于1；大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身；0的二次幂是0；负有理数的二次幂是正数，大于它自身.综上可知，二次幂大于其自身的有理数的范围，是大于1的有理数和负有理数.25．这个数串中奇号项为正，偶号项为负.第n所以第198行第198个数是数串中的第19701项.因此，第199行的第8个数是数串中的第19701＋8＝19709项.同理，这个表中第1997行结束时，共排了所以第1997行第1997个数是数串中的第项，第1998行第11个数应是数串中的第＋11＝项.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题一、选择题:（每题6分，共60分）1．已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么 ( )A．ab＜b B．ab＞b. C．a＋b＞0 D．a－b＞02．有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则a1998＋b1998＝ ( )A．0 B．1. C．－1 D．23．下面的四个判断中，不正确的是 ( )A．34x3y6与34a3b6不是同类项.B．3x和－3x＋1不能互为相反数.C．4（x－7）＝6（5－27x）和6（5－27y）＝4（y－7）不是同解方程.D.3和113a不能互为倒数.4．已知关于x 的一次方程（3a ＋8b ）x ＋7＝0无解，则ab 是 ( )A ．正数B ．非正数.C ．负数D ．非负数5．如果a －b ＞a ＋b ，那么 ( )A ．｜a －b ｜＞｜a ＋b ｜.B ．ab ＜0.C ．－2b ＞2b.D ．－2a ＞2b6.方程组375831x y x y +=⎧⎨-=⎩的解(x,y)是( ) A ．（3，－2）. B ．（2，1）.C ．（4，－5）. D ．（0，7）7．一条直线上距离相等地立有10根标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.6秒，则当他走到第10杆时所用时间是 ( )A ．11秒.B ．13.2秒.C ．11.88秒.D ．9.9秒8．有以下两个数串：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，199.同时出现在这两个数串中的数的个数共有 ( )A ．333B ．334.C ．335D ．3369．如图8所示，S △ABC ＝1，若S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，则S △ADE ＝ ( ) A.15; B.16; C.17; D.18. 10．若关于x 的方程｜2x －3｜＋m ＝0无解，｜3x －4｜＋n ＝0只有一个解，｜4x －5｜＋k ＝0有两个解，则m ，n ，k 的大小关系是 ( )A ．m ＞n ＞kB ．n ＞k ＞m.C ．k ＞m ＞nD ．m ＞k ＞n二、填空题（每题6分，共60分）11.计算:3322782278782222+-⨯+=________. 12．若a ＋19＝b ＋9＝c ＋8，则（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2＝________.13．图9中三角形的个数是_______.14．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是_________秒.15．某人以4千米／时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米／时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是______千米／时.16．对于不小于3的自然数n，规定如下一种操作：＜n＞表示不是n的约数的最小自然数，如＜7＞＝2，＜12＞＝5等等，则＜＜19＞×＜98＞＞＝_______.（式中的×表示乘法）17．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_________.18.图10,中,两个半径为1的14圆扇形'''AO B与AOB叠放在一起,POQO,是正方形,则整个阴影图形的面积是__________.19．（3a＋2b）x2＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x＝__________.20．某校运动会在400米球形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分时甲加快速度，在第18分时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙匀速跑完全程所用的时间是________分.二、解答题（每题15分，共30分，解答本题时，请写出推算过程）21．23个不同的正整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少？写出你的结论，并说明理由.22．（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法.（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交？如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.答案·提示一、选择题1、D2、 B3、 C4、 B5、 C6、 A7、 C8、 B9、 B 10、A提示：1．a在数轴上原点右方，a＞0；b在原点左方，b＜0.当a＝1，ab＝b，显然应排除A、B.当a＝1，b＝－2时，a＋b＝－1＜0，排除C.所以应选D，事实上，当a＞0，b＜0时，a－b＞0总成立.3．①34x3y6与34a3b6，因字母不同，不是同类项，所以A是正确的，排除A.②若3x与－3x＋1互为相反数，则－（3x）＝－3x＋1得出0＝1的矛盾.所以“3x和－3x ＋1不能互为相反数”这句话正确，排除B.因为这两个方程的解集相同，因此，它们是同解方程.即C“4（x－7）＝6（5－27x）和6（5－27y）＝4（y－7）不是同解方程”这句话是不正确的.4．关于x的一次方程（3a＋8b）x＋7＝0无解.当且仅当5．由a－b＞a＋b可知－b＞b，即b＜0.6．以（3，－2），（2，1），（4，－5），（0，7）代入方程组检验，只有（3，－2）满足方程组，选A.7．从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔.因而，每个间隔行进6.6÷5＝1.32（秒）.而从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔.所以行进9个间隔共用1.32×9＝11.88（秒），选择C.8．第一个数串是1～1999的整数中被2除余1的数，共有1000个.第二个数串是1～1999的整数中被3除余1的数，共有667个.同时出现在这两个数串中的数是1～1999的整数中被6除余1的数.它们是：1，7，13，19，25，…，1993，1999.共计334个，选择B.10．｜2x－3｜＋m＝0无解，则m＞0.｜3x－4｜＋n＝0有一个解，则n＝0.｜4x－5｜＋k＝0有两个解，则k＜0.所以，m＞n＞k成立，选择A.二、填空题题号答案11、100 12、222 13、48 14、7.5 15、4.8 16、417、4 18、19、1.5 20、25提示：12．由a＋19＝b＋9＝c＋8 得a－b＝－10，b－c＝－1，c－a＝11.∴（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝（－10）2＋（－1）2＋112＝100＋1＋121＝222.13．如图11所示，标上字母A、B、C、D.当不考虑AD时，△ABC被从顶点B引出的五条线分成的三角形个数是6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个.当考虑AD时，在AD上方也可以数出21个三角形，而在AD下方只可以数出6个三角形.总计，共有21＋21＋6＝48个三角形.14．甲、乙两车相向在平行轨道上行驶，当从甲车某个窗口看乙车时，从看到车头到车尾通过，要经过200米的距离，而这200米的距离是以两车速度之和来通过的，是个相遇问题.设甲、乙两车速度和为u米/秒.甲车上某乘客从15．设甲、乙两地距离为S千米.某人由甲地所以某人从甲→乙→甲往返一次的平均速度16．根据定义，＜n＞表示不是n的约数的最小自然数.我们可以求得：＜19＞＝2，＜98＞＝3∴＜19＞×＜98＞＝2×3＝6＜＜19＞×＜98＞＞＝＜6＞＝4.17．设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，z个蓝球.依题意列得方程组：①×3－②得2x＋y＝9,即y＝9－2x.由于y是非负整数，x也是非负整数.易知 x的最大值是4.即小明摸出的10个球中至多有4个红球.所以阴影的总面积为19．方程（3a＋2b）x2＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程，且有唯一解，则20．设出发时甲速度为a米／分，乙速度为b米／分.第15分甲提高的速度为x米／分，所以第15分后甲的速度是（a＋x）米／分.依题意，到第15分时，乙比甲多跑15（b－a）米，甲提速后3分钟（即第18分）追上乙，所以（a＋x－b）×3＝15（b－a）①接着甲又跑了5分（即第23分钟），已经超过乙一圈（400米）再次追上乙，所以（a＋x－b）×5＝400 ②到了第23分50秒时甲跑完10000米，这10000米解①，②得b－a＝16米/分，x＝96米／分.代入③a＝384米／分，所以b＝400米／分.乙是一直以400米／分的速度跑完10000米的，所以乙跑完全程所用的时间是25分.三、解答题21．设这23个彼此不同的正整数为a1，a2，…，a23.不妨设a1＜a2＜a3＜…a23.它们的最大公约数是d.则a1＝d·b1，a2＝d·b2，…，a23＝d·b23依题意，有4845＝a1＋a2＋…＋a23＝d（b1＋b2＋…＋b23）则应当有b1，b2，…b23也为彼此不等的正整数.且b1＋b2＋…＋b23≥1＋2…＋23＝276.因此4845＝d（b1＋b2＋…＋b23）≥276·d.又因为4845＝19×17×15因此，这23个不同的正整数的最大公约数的最大值可能是17.我们证明，存在两两不等的23个正整数，它们的最大公约数恰为17.例如a1＝17，a2＝17×2，a3＝17×3，…，a21＝17×21，a22＝17×22，a23＝17×32.a1＋a2＋…＋a23＝17（1＋2＋…＋22）＋17×32＝17×253＋17×32＝17×285＝4845.而（a1，a2，…，a22，a23）＝17.所以符合题设条件的23个正整数的最大公约数的最大值是17.22．（a）在平面上任取一点A.过A作二直线m1与n1.在n1上取两点B，C，在m1上取两点D，G.过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时，m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图14所示.由于彼此平行的直线不相交，所以图14中每条直线都恰与另3条直线相交.（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其他3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.我们按直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题一、选择题:(每小题6分,共60分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.1.11999的相反数是( ).(A)1999 (B)-1999 (C)-11999; (D)119992.已知a、b、c都是负数,并且│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,则xyz是( ).(A)负数 (B)非负数 (C)正数 (D)非正数3.下面四个命题中正确的是( ).(A)相等的两个角是对顶角(B)和等于180°的两个角是互为邻补角(C)连接两点的最短线是过这两点的直线(D)两条直线相交所成的四个角都相等,则这两条直线互相垂直4.a 、b 、c 三个有理数在数轴上的位置如图所示,则( ). (A)111c a c b a b >>---; (B)111b c c a b a >>--- (C)111c a b a b c >>---; (D)111a b a c b c>>--- 5.7-a 的倒数的相反数是-2,那么a=( ).(A)9 (B)7.5 (C)5 (D)6.56.一个角的补角的117是6°,则这个角是( ). (A)68° (B)78° (C)88° (D)98° 7.如果ac<0,那么下面的不等式:a c <0;ac 2<0;a 2c<0;c 3a<0;ca 3<0中,必定成立的有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个8.不超过100的所有质数的乘减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( ).(A)3 (B)1 (C)7 (D)99.已知0≤a ≤4,那么│a-2│+│3-a │的最大值等于( ). (A)1 (B)5 (C)8 (D)310.若n 是奇自然数,a 1,a 2, …,a n 是n 个互不相同的负整数,则( ).(A)(a 1+1)(a 2+2)…(a n +n) 是正整数; (B) (a 1-1)(a 2-2)…(a n -n) 是正整数.(C)1211112n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是正数; (D)1211112n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是正数.二、填空题(每小题6分,共60分)11.如图,线段AB= BC= CD= DE= 1 厘米, 那么图中所有线段的长度之和等于______厘米.12.1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=__13.P 是长方形ABCD 的对角线BD 上的一点,M 为线段PC 的中点.如果三角形APB 的面积是2平方厘米,则三角形BCM 的面积等于___________平方厘米. 14.五位数538xy 能被3,7和11整除,则x 2-y 2 =_________.15.如图,OM 平分∠AOB,ON 平分∠COD.若∠MON=50°,∠BOC=10°,则∠AOD= _______.16.三个不同的质数,a,b,c 满足ab b c+a=200,则a+b+c=_______.17.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出五个组成五位数,使得这个五位数都被3,5,7,13整除.这样的五位数中最大的是___________. D C B A O M N D C B A18.A 、B 两个港口相距300公里.若甲船顺水自A 驶向B,乙船同时自B 逆水驶向A,两船在C处相遇.若乙船顺水自A 驶向B,甲船同时自B 逆水驶向A,则两船于D 处相遇,C 、D 相距30公里.已知甲船速度为27公里/小时,则乙船速度是______公里/ 小时.19.已知x=1999,则∣4x 2-5x+9∣-4∣x 2+2x+2∣+3x+7=__________.20.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛,通过抽签决定出赛顺序. 在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测.甲猜:乙第三,丙第五;乙猜: 戊第四,丁第五;丙猜:甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四. 老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中,则出赛顺序中,第一是______, 第三是______,第五是_______.三、解答题:(每小题15分,共30分)要求:写出推算过程.21.一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1 平方厘米.求这个长方形的面积.22.已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42, 最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?1999年度(第十届)初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、选择题1.根据相反数的定义,11999的相反数是-11999,选(C). 2.由绝对值定义│x-a │≥0,│y-b │≥0,│z-c │≥0.而已知│x-a │+│y-b │+│z-c│=0,当且仅当│x-a │=│y-b │=│z-c │=0,即x=a 且y=b 且z=c.已知a, b,c 均为负数,则x,y,z 均为负数,因此xyz 是负数.选(A).3.如图8,∠AOC=∠BOC=90°,但∠AOC 与∠BOC 不是对顶角,排除(A).如图9,a ∥b,同旁内角∠1+∠2=180°,但∠1与∠2并非互为邻补角,排除(B).两点之间最短距离是连接这两点的线段,不能表述为过这两点的直线,排除( C).因此应选(D).事实上,(D)正是两条直线互相垂直的定义.(8)O CB A (9)ab 214.由图10可见c<b<a,所以0<a-b<a-c,0<b-c<a-c,由此 110 ①a c a b<<-- 110 ②a c b c<<-- 由①有 110 ③c a b a ><--由②有110 ④c a c b><-- 由②知,应排除(D),由10a b >- 及④可知应排除(A).由10b c >-及③可知应排除(C), 肯定(B),所以应选(B).5.7-a 的倒数是17a -,17a -的相反数是-1177a a =--.依题意列方程:127a =--. 解得:a=6.5,选(D)6.设这个角为a,a 的补角等于180°-a,其117为018017α-,依题意它是6°, 所以018017α-=6°. 解得α=78°.选(B). 7.由ac<0,可知a ≠0,c ≠0,a,c 符号相反.所以a c <0,而a 2>0,c 2>0,因此a 2·ac<0,ca 3<0,且c 2ac<0,c 3a<0.若a=-1,c=1,ac=-1<0,但a 2·c=1>0;若a=1,c=-1,ac=-1<0,但a ·c 2=1>0;可见,ac 2<0,a 2c<0 不一定成立.所以ac<0时,只有a c<0,c 3a<0,ca 3<0 三个不等式必然成立.选(C). 8.不超过1000的所有质数中包含质数2与5,所以不超过100的所有质数的乘积个位数字是0.不超过60的个位数字是7的质数只有7,17,37,47四个,其乘积的末位数字是1,所以,不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的个位数字为7 的所有质数的乘积所得差的个位数字为9.选(D).9.①当0≤a ≤2时,│a-2│+│3-a │=2-a+3-a=5-2a ≤5,当a=0时达到最大值5.②当2<a ≤3时,│a-2│+│3-a │=a-2+3-a=1③当3<a ≤4时,│a-2│+│3-a │=a-2+a-3=2a-5≤2×4-5=3.当a=4时,达到最大值3.综合①、②、③的讨论可知,在0≤a ≤4上,│a-2│+│3-a │的最大值是5,选(B).10.a 1,a 2,…,a n 是n 个互不相同的负整数,其中n 是奇自然数.若a 1=-1,a 2=-2,a 3=-3,…,a n =-n,时,(a 1-1)(a 2-2)…(a n -n)=(-2)(-4)((-6)…(-2n)=(-1)n 2×4×6×…×(2n)<0(因为n 是奇数),故排除(B).若a 1=-1时,111a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0,故12111120n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,排除(C).故选(D).实事上,若a 1<0, a 2<0,…, a n <0,则121110,0,,0n a a a ->->->,所以1211110,20,,0nn a a a ->->->, 所以1211112n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>0,故选(D). 二、填空题11.图中,长为1厘米的线段共4条,长为2厘米的线段共3条,长为3 厘米的线段共2条,长为4厘米的线段仅1条. 图中所有线段长度之和为 1×4+2×3+3×2+4×1=20(厘米). 12.设s=1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又s=1213214321494812334445555505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 相加得 2s=1+2+3+4+ (49)又 2s=49+48+47+…+2+1,相加得 4s=50×49=2450,故 s=612.513.根据题意画图,如图12所示.连接AC 交BD 于O,则△ABO 的面积等于△CBO 的面积,△APO 的面积等于△CPO 的面积.因此,△ABP 的面积等于△CBP 的面积,所以由△APB 面积是2平方厘米,可知△CBP 面积是2平方厘米.而BM 是△CBP 的一条中线,三角形中线平分三角形的面积,所以△BCM 的面积等于1平方厘米.14.由于五位数538xy 能被3,7和11整除,可知3×7×11=231整除538xy .试除知 231×230=53130231×231=53361231×232=53592231×233=53823231×234=54054可见x=2,y=3.x 2-y 2=4-9=5.15.如图13:∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=2∠MOB+∠BOC+2∠CON=2(∠MOB+∠BOC+∠CON)-∠BOC=2∠MON-∠BOC=2×50°-10°=90°16.易知a(b b c+1)=2000=24×53.若a=5,则b b c+1=400,∴b b c=399=3×133=3×7×19无论c=3,7或19都不能求得质数b,故a ≠5. (11)DB (12)2P M D B A 10︒(13)O M N D C B A只能取a=2,此时b bc+1=1000,∴ b b c=999=33×37,则b=3,c=37,因此,a+b+c=2+3+37=42.17.所求五位数能被3、5、7、13整除,当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数.通过除法,可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645.但99645的五个数码中有两个9,不合题意要求,可依次算出72×1364=98280(两个8重复,不合要求).71×1365=96915(两个9重复,不合要求).70×1365=95550(三个5重复,不合要求).69×1365=94185(五个数码不同).因此,所求的五位数最大的是94185.18.已知A 、B 两港相距300公里,甲船速为27公里/小时.设乙船速为v 公里/ 小时,小流速为x 公里/小时,则甲船顺水速为(27+x)公里/小时,逆水速为(27-x)公里/小时.乙船顺水速为(v+x)公里/小时,逆水速为(v-x)公里/小时.甲船自A 顺水,乙船自B 逆水同时相向而行,相遇在C 处时间为: 300300(27)()27x v x v=++-+ 同理,乙船自A 顺水,甲船自B 逆水同时相向而行,相遇在D 处所需时间为:300300(27)()27x v x v=-+++ 可见,两个时间相等.由图易见,30027v+小时中,乙船比甲船多走30公里,即:300300()(27)302727v x x v v+-+=++, []300()(27)3027v x x v+-+=+, 2712710v v -=+,v=33. 如果C 在D 的右边,由图15易见,30027v +小时中,甲船比乙船多走30公里,即:300300(27)()302727x v x v v +∙-+∙=++,v=22111. 答:若C 在D 的左边,乙船速度是33公里/小时;若C 在D 的右边,乙船速度是22111公里/小时.19.由观察可知,当x ≥1时,4x 2-5x+9>0,x 2-2x+2>0, 所以,当x=1999时,原式=4x 2-5x+9-4(x 2-2x+2)+3x+7=-13x+9-8+3x+7=-10x+8 将x=1999代入,原式的值=-19990+8=-19982. 20.将每人猜测的出赛顺序列如下表:由于每人的出赛顺序至少被一人猜中,戊被猜测的两个顺序号都是第四、 故可确定戊是第四位出赛.这时丁不能第四位出赛,而丁的顺序至少被一人猜中, 所以丁应第五位出赛.顺序推得丙只能第一位出赛,甲第三位出赛,乙第二位出赛.答:出赛顺序第一个是丙,第三个是甲,第五个是丁. 三、解答题21.图中的正方形分别标以A,B,C,D,E,F,显然最小的正方形A 的面积是1 平方厘米,它的边为长1厘米.设最大正方形B 的边长为x 厘米,则C 的边长为(x-1)厘米,D 的边长为(x-2)厘米,E 的边长为(x-3)厘米,F 的边长也为(x-3)厘米.根据矩形对边相等,得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1) 即 3x-8=2x-1 所以 x=7(厘米)于是,C 的边长为6厘米,D 的边长为5厘米,E 和F 的边长均为4厘米. 长方形的面积为 (7+6)×(7+4)=13×11=143(平方厘米). 22.①设这组四位数共n 个,分别为a 1=42x 1, a 2=42x 2, a 3=42x 3,…, a n =42x n ,其中的每个 a i =42x i 是四位数, 所以1000≤42x i <10000,100010000232394242i x <≤<<. ②由题设知90090=[a1,a2,…,a n]=[42x1, 42x2,…, 42x n]=42[x1, x2,…, x n]所以 [x1, x2,…, x n]=9009042=2145=3×5×11×13,其中23<x i<239. (*)可知x i是由3,5,11,13每个至多用一次组合成的在23和239之间的自然数,并且两两不同.其中两个质因数组合且满足(*)式者,只有33,39,55,65,143, 三个质因数组合且满足(*)式者,有165和195,一个质因数以及多于三个质因数的积,都不能满足(*)式.因此最多产生7个两两不同的四位数.a1=42×33=1386, a2=42×39=1638,a3=42×55=2310, a4=42×65=2730,a5=42×143=6006, a6=42×165=6930,a7=42×195=8190.它们的和等于42×(33+39+55+65+143+165+195)=42×695=29190.答:这组两两不同的四位数最多是7个,它们的和是29190.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题一、选择题（每小题6分，共60分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在表格内和每题后面的圆括号内。
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高中希望杯数学竞赛试题详解(1-10题)
题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A（a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）. 由图象，显然有AB BCk k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t a t t =+-，tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x . 如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>AB k ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.ABCxyO b-a b b+a图1ABOxyb a a b +解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ，即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x ，322+>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ）A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确.总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题2 设c b a >>N n ∈,，且11n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（第十一届高二第一试第7题）ABD Cb图3a ab +b a -b解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3 由c b a >>，知0,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ． 解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,baa b R a b++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． 此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >>， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立， ∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y +∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ．证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈=,则22111n i ni i ni iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212nnx x x y y y ===时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++--． 也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴--->．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦---()()211111n -≥+++个()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ． 由此可得本赛题的如下解法：c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ．由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设1232000200a a a a a >>>>>，并且122320002001111m a a a a a a =+++---，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( ) A 、n m < B 、n m > C 、n m ≥ D 、n m ≤ 解12320002001a a a a a >>>>>，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为 ( )A 、21()b a +B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2 b n a b m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx a b )( ≤ny ab 22222222()()()()222b b b m x n y m n x y a a a ++++++==.2b b a a b=+⋅nymx +∴,ab ab b =≤当且仅当b m x a =且,b n y a=即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab = 解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=,mx ny ab ∴+≤当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=.解法4 设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n+≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是22k b m n≤+，即()max ,k mx ny ab mx ny ab =+≤∴+=.解法6 设12,z m ni z x yi =+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴()()()2221212,z z mx ny nx my mx ny mx ny mx ny mx ny z z ⋅=++-≥+=+≥+∴+≤12z z =⋅2222,m n x y ab =+⋅+=当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=．解法7 构造函数()()()222222f X m n X mx ny X x y =+++++， 则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max .mx ny ab mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90A C BA DB ︒∠=∠=,b A C m a=,bB Cna= BCA,,BD x AD y AB b ===为圆的直径，由托勒密定理,AD BC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,b b m x n y b a a⋅+⋅≤，从而得m x n y a b +≤，当且仅当my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ab ∴+=．评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++=则()1122max n n a b a b a b +++pq =（当且仅当()1,2,,i i qa b i n p==时取得最大值）.证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.q =1122a b a b ∴+++1122n n n n p qqqa b a b a b a b q p pp ⎛⎫=⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭p q ≤2222221122222n n q q q a b a b a b p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq qp p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1m a x2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论．推广有十分广泛的应用，现举一例：例 已知123,,,,,,234,8.a b c x y z R a b c x y z +∈++=++=且求23a b cx y z++最大值． 解 ()()()222123234234,8a b c a b cx y z ++=⇒++=++=2212x y ⎛⎫⎛⎫⇒+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23z ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝8．由推广知23a b c x y z ++123234842,a b c x y z =⋅+⋅+⋅≤⨯=当且仅当81,4a x=82832,3,44b c y z==即12ax by cz ===时取等号．max23a b c x y z ⎛⎫∴++= ⎪ ⎪⎝⎭.24 题4 对于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1 题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1120122x x m x 或⎪⎩⎪⎨⎧--><-1120122x x m x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-11210122x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-11210122x x x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ,所以21<<x 或113<<-x 或1=x ，即)2,13(-∈x . 解法2 已知不等式即()()01212<---x m x ，令()()121)(2---=x m x m f ，则当012≠-x ，即1±≠x 时，)(m f 是m 的一次函数，因为1≤m ，即11≤≤-m 时不等式恒成立，所以)(m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-0121)1(0121)1(22x x f x x f ，即⎩⎨⎧<->-+0202222x x x x ，解得213<<-x )1(≠x .又当1=x 时，1)(-=m f ，适合题意，当1-=x 时，()3f m =不合题意. 故x 的取值范围是213<<-x .评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于x 的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x 分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x 的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m 的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=x m x m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②, ②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a,得02a <≤,2max =∴a . 解法2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x --+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4(1a 2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当xa xx x a -=- 且x a x -=11, 即 2ax = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a .解法3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2m a x =a .解法422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又 2122≥+x x 恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=ax a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a + α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a . )22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2s i n 2s i n 242-1≥)12s i n(2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a ≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则2为222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22a XY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤ 2max =∴a .2 xO解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211（常数）时取等号.” 0x a <<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得x a x -+11a4≥②.故,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a .解法8 运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a ，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min 22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x.故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广 1 若1210n x x x a -<<<<<，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<<，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n ≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<<，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k a b b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==ni ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即kik i c b 1+k n i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ i b ⋅，则11111(1)()k nn nk i i i ki i i i b kM c k b c ++===+≥+∴∑∑∑1111()k nn k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki k i ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k ni ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ， ()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ） A 、b c a ≤≤ B 、a c b ≤≤ C 、a b c ≤≤ D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴，pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21s i n =θ，3cos 2θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 .（第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2l o g 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log121->-x ，即22121121loglog -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->x .又 对数函数12log x 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log -x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a af xg x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aaf xg x <⇔<； ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a af xg x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aaf xg x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log ac a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04 .应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x x x f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是 （ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函直线应数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,距在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θc o s =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是yx122- -11 ot +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1,2]θθ∴-∈-.由题意得2>t .故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥. (3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出． 根据这一结论，请回答下列问题：1.不等式213x x t -≥+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ．2.不等式213x x t -≤+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ．3.不等式213x x t -≥+有解，则实数t 的取值范围是 ．4.不等式213x x t -≤+有解，则实数t 的取值范围是 ．5.不等式213x x t ->+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．6.不等式213x x t -<+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．答案 1. ()2,+∞ 2.(),3-∞- 3.)3,⎡-+∞⎣4.(],2-∞5.(),3-∞- 6.()2,+∞题9 不等式03422≥+---x x x 的解集是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253, D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法 1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x 或3535322x x ++≥∴≤<，. 综上，所求解集为3555,33,,22⎡⎫⎡⎤++⎪⎢⎢⎥⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A.解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、1 3A BC 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决. 选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3].1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3]. 评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则 当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ； 当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ; 当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ; 当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ. 根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、 2sinx+3cosx>4;2、 322163-->-x x ;3、 x x x -<-+-433)1(log 4;4、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ 2、[2，+∞) 3、φ 4、R。
第九届高一试题(A卷)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题(高中版)
第九届高一试题（A 卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、单选题1．集合{}2013,3,24,9的非空真子集有（ ）.A ．13个B ．14个C ．15个D ．16个2．已知2cos 3sin 64cos 5sin θθθθ+=-，则tan θ的值为（ ）．A ．23 B ．78 C ．2722 D ．323．函数()()223f x x a x =+-+在区间(),4-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．6a ≥- B ．4a ≥ C ．6a ≤- D ．4a ≤4．下列命题正确的是（ ）．A ．若,a b r r 都是单位向量，则a b =r rB ．向量AB u u u r 与BA u u u r 是两平行向量C ．若AB CD =u u u r u u u r ，则,,,A B C D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同5．设奇函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，则不等式()()0f x f x x -->的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()()1,00,1-U6．如图，Rt V AEF 是正方形ABCD 的内接三角形，若2tan 3EAF ∠=，则点C 分线段BE 所成的比为（）.A ．32B ．23- C ．53- D ．32-7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3921a a a ++的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ）．A ．21SB ．22SC ．23SD ．24S8．对于函数()sin ,sin cos ,cos ,sin cos .x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 的值域是[]1,1-B ．当且仅当()()21πx k k =+∈Z 时，()f x 取得最小值1-C ．()f x 的最小正周期是πD ．当且仅当()π2π2π2k x k k <<+∈Z 时，()0f x >二、填空题9．集合{}{}22,1,2,2,21,1A x x B x x x =--=--+，若{}2A B =-I ，则实数x =． 10．向量()()2,1,1,1a b ==--r r ，若m a b λ=+u r r r ，其中R λ∈，则m u r 的最小值为．11．已知()()44cos ,cos 55αβαβ+=-=-，且3ππ,2π,,π22αβαβ⎛⎫⎛⎫+∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=． 12．数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若,,1n n S a 成等差数列，则n a =． 13．一个机器零件的三视图如图所示（单位：cm ），该零件的表面积为2cm ．14．函数()y f n =满足：()()()11,2211,f n n f n f n n ⎧-⎪=⎨⎪--⎩为偶数为奇数，且()()()12314f f f ++=，则()4f =．15．设m n 、分别是方程2013log 90x x +-=和201390x x +-=的根，则m n +=．16．已知集合,,A B C （不必相异）的并集{}1,2,3,4,5A B C =U U ，且()()()1,2,3A B B C C A ∈∈∈U U U ，则满足条件的有序三元组(),,A B C 的个数是个．三、解答题17．已知集合(){}{}222140,320A x x a x a B x x x =+++-==-+=， (1)若{}1A B ⋂=，求实数a 的值；(2)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．18．已知函数()()2*,f x ax x c a c =++∈N 满足：①()15f =；②()212f <． (1)求()f x 的解析式；(2)若对任意的实数()1,2,12x f x mx ⎛⎫∈-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围． 19．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，点E 是BC 上一点，且满足：AB+AC =2AE u u u r u u u r u u u r ，以点A 为圆心，AC 的长为半径作圆交AB 于点D ，交AE 于点F ．若4BD =u u u r ，2BC AC =u u u r u u u r ，求EF u u u r 的值．20．数列{}n a 满足()*1221,2n n n a a n n -=+-∈≥N ，且325a =． (1)求12,a a ；(2)是否存在实数t ，使得()()*12n n nb a t n =+∈N ，且{}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．(3)求{}n a 的通项公式．。
41.周期函数
高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:139********)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题[母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102) 299周期函数 [母题]Ⅰ(5-41):(2003年北京春招试题)若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px-2p )(x ∈R).则f(x)的一个正周期为 . [解析]:由f(px)=f(px-2p )⇒f(t)=f(t-2p )⇒f(x)是以T=-2p 为周期的周期函数⇒kT=k(-2p )(k ∈Z)都是f(x)的周期⇒f(x)的一个正周期为p(取k=-2).[点评]:周期函数是一类非常重要的特殊函数,周期性作为函数的一个重要性质是高考的热点,对周期函数的系统认识、把握,从定义开始.定义:设f(x)定义在数集D 上的函数,若存在T ≠0,使得对一切x ∈D 有f(x+T)=f(x),则f(x)称为D 上的周期函数,T 称为f(x)的一个周期.如果在所有正周期中存在一个最小正数T 0,那么T 0叫做f(x)的最小正周期.性质:①如果T 是函数f(x)的周期,即f(x+T)=f(x),则对任意的k ∈Z,kT 也是函数f(x)的周期,即f(kT+x)=f(x);②若f(x)有最小正周期T,则除±nT(n=1,2,…)外,函数f(x)无其他周期;[子题](1):(2010年安徽高考试题)若f(x)是R 上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2[解析]:由f(x)是R 上周期为5的奇函数⇒f(3)=f(5+(-2))=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(5+(-1))=f(-1)=-f(1)=-1⇒ f(3)-f(4)=-1.故选(A).注:充分利用周期函数的定义式:f(x+T)=f(x),就是对x 进行灵活赋值,从而建立已知与未知的关系,由此解决问题. [子题](2):(2004年福建高考试题)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x ∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( ) (A)f(22)>f(33) (B)f(22)<f(33) (C)f(-22)<f(33) (D)f(-33)>f(-22) [解析]:由f(x)=f(x+2)⇒f(x)=f(x+4),所以当x ∈[-1,1]时,f(x)=f(x+4)=2-|(x+4)-4|=2-|x|⇒函数f(x)在区间[-1, 1]内是偶函数,且在[0,1]上单调递减,由22>33⇒f(22)<f(33).故选(B). 注:利用周期函数的性质把未知区间内的问题转化为已知区间内的问题是解决周期函数问题的基本方法. [子题](3):(2012年湖南高考试题)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数,f(x)的导函数,当x ∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x ∈(0,π),且x ≠2π时,(x-2π)f '(x)>0,则函数y=f(x)-sinx 在[-2π,2π]上的零点个数为( ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)8[解析]:由(x-2π)f '(x)>0⇒f(x)在(0,2π)上单调递减,在(2π,π) y 上单调递增,又当x ∈[0,π]时,0<f(x)<1⇒f(x)在区间[0,π]内的图像如图;由f(x)是偶函数⇒f(x)在区间[-π,0]内的图像如图;由 O x f(x)是以2π为周期的函数⇒f(x)在区间[-2π,2π]内的图像如图;在同一坐标系内,作y=sinx 的图像知,有4个交点.故选(B).注:认识并利用周期函数图像的“周期性”是解决周期函数问题的另一基本方法.[子题系列]:1.(2013年全国大纲试题)设f(x)是以2为周期的函数,且当x ∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)= .300 [母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102)2.(2010年全国高中数学联赛湖南预赛试题)若f(x)是R 上周期为5的奇函数,且满足f(1)=8,则f(2010)-f(2009)=( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)93.(2003年同济大学保送生考试数学试题)f(x)是周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=|x|,则f(2m+23)= (m 为整数).4.(2009年湖北高考试题)己知f(x)在R 上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x ∈(0,2)时,f(x)=2x 2,则f(7)=( )(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)985.(2009年江西高考试题)己知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x ∈[0,2)时,f(x) =log 2(x+1),则f(-2008)+f(2009)的值为( )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)26.(2009年辽宁高考试题)己知函数f(x)满足:当x ≥4时,f(x)=(21)x ;当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log 23)=( ) (A)241 (B)121 (C)81 (D)83 7.(2012年浙江高考试题)设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f(23)= . 8.(2011年全国大纲试题)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f(x)=2x(1-x)则f(-25)=( ) (A)-21 (B)-41 (C)41 (D)21 9.(2012年山东高考试题)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=( )(A)335 (B)338 (C)1678 (D)201210.(2008年全国高中数学联赛福建预赛试题)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意x ∈R 均有f(x+2)=f(x),且x ∈(0,1)时,f(x)=x 2,则f(-23)+f(1)= . 11.(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2π)时,f(x)=sinx,则f(38π)的值为( ) (A)23 (B)-23 (C)21 (D)-21 12.(2003年北京市中学生数学竞赛高一试题)已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x+5)=-f(x),当x ∈(5,10)时,f(x)=x 1,则f(2003)的值等于( ) (A)-81 (B)51 (C)31 (D)-31 13.(2012年江苏高考试题)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++<≤-+10,1201,1x x bx x ax ,其中a,b ∈R. 若f(21)=f(23),则a+3b 的值为 . 14.(2006年陕西初赛试题)设f(x)是以2为周期的奇函数,且f(-52)=3,若sin α=55,则f(4cos2α)的值 .[母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102) 301 15.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设函数y=f(x)是周期为是周期为2的偶函数,且在区间[0,1]内单调递减,则f(-1),f(0),f(2.5)的大小关系是( )(A)f(-1)<f(2.5)<f(0) (B)f(-1)<f(0)<f(2.5) (C)f(0)<f(2.5)<f(-1) (D)f(2.5)<f(0)<f(-1) 16.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设函数f(x)是周期为4的周期函数,且在(-2,2)内,f(x)又是单调递减的奇函数,则f(5)、f(-2.43)、f(2π)、f(-4)从小到大的顺序为 . 17.(2009年山东高考试题)己知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.则( )(A)f(-25)<f(11)<f(80) (B)f(80)<f(11)<f(-25) (C)f(11)<f(80)<f(-25) (D)f(-25)<f(80)<f(11)18.(1998年全国高中数学联赛试题)若f(x)(x ∈R)是以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=19981x,则f(1998), f(17101),f(15104)由小到大的排列是 . 19.(2012年重庆高考试题)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )(A)既不充分也不必要的条件 (B)充分而不必要的条件 (C)必要而不充分的条件 (D)充要条件20.(2004年福建省高一数学夏令营选拔试题)若函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且x ∈(-1,1]时,f(x)=|x|.则函数y=f(x)的图象与函数y=log 4|x|的图象的交点个数为( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)821.(2011年全国高中数学联赛吉林预赛试题)设函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且当x ∈(-1,1]时,函数f(x)=1-x 2,函数g(x)=⎩⎨⎧=≠0,10|,|lg x x x ,则函数t(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为( )(A)l2 (B)14 (C)l3 (D)822.(1990年全国高中数学联赛试题)设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数,且是偶函数,已知当x ∈[2,3]时,f(x)=x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的解析式是( )(A)f(x)=x+4 (B)f(x)=2-x (C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=2+|x+1|22.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数.x ∈[2,3时,f(x)=x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的解析式写成分段函数的形式是 ,写成统一的形式是 .24.(2006年复旦大学保送生考试试题)设函数f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,f(x)=x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的表达式为( )(A)x+4 (B)2-x (C)3-|x+1| (D)2+|x+1|25.(2007年复旦大学保送生考试试题)设函数f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,f(x)=-x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的表达式为( )(A)-3+|x+1| (B)2-|x+1| (C)3-|x+1| (D)2+|x+1|26.(2007年全国高中数学联赛浙江预赛试题)设f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x);又当0≤x ≤1时,f(x)=21x,则{x|f(x)=-21}= . 27.(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)已知f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当0≤x ≤1时,f(x)=x 2,若直线y=21x+a 与y=f(x)的图像恰好有两个公共点,则a= . [子题详解]:1.解:由f(-1)=f(2-1)=f(1)=-1.2.解:由f(2010)-f(2009)=f(402×5+0)-f(402×5-1)=f(0)-f(-1)=f(1)=8.故选(C).3.解:f(2m+23)=f(2m+2+(-21))=f(-21)=21. 4.解:由f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1)=-2.故选(A). 5.解:由f(-2008)+f(2009)=f(0)+f(1)=1.故选(C). 6.解:由f(2+log 23)=f(3+log 23)=1/24.故选(A).302 [母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102)7.解:由函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数⇒f(23)=f(2-21)=f(-21)=f(21)=23. 8.解:由f(-25)=f(-2-21)=f(-21)=-f(21)=-21.故选(A). 9.解:由f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1⇒f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=335[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+[f(1)+f(2)]=335×1+3=338.故选(B).10.解:由f(x+2)=f(x)⇒f(1)=f(-1)⇒f(1)=0;f(-23)=f(21)=41. 11.解:由f(38π)=f(3π-3π)=f(-3π)=-f(3π)=-sin 3π=-23.故选(B). 12.解:由f(x+5)=-f(x)⇒f(x+10)=-f(x+5)=f(x)⇒f(2003)=f(3)=-f(8)=-81.故选(A).13.解:由f(23)=f(2-21)=f(-21)⇒f(21)=f(-21)⇒34+b =-21a+1⇒3a+2b+2=0;又由f(1)=f(2-1)=f(-1)⇒b=-2a ⇒a=2,b=-4⇒a+3b=-10.14.解:由4cos2α=4(1-2sin 2α)=2+52⇒f(4cos2α)=f(2+52)=f(52)=-f(-52)=-3. 15.解:由f(-1)=f(1),f(2.5)=f(0.5);又由f(1)<f(0.5)<f(0)⇒f(-1)<f(2.5)<f(0).故选(A).16.解:由f(5)=f(1),f(-2.43)=f(1.57),f(-4)=f(0);又由f(0)>f(1)>f(1.57)>f(2π)⇒f(2π)<f(-2.43)<f(5)<f(-4). 17.解:由f(x-4)=-f(x)⇒T=2(-4)⇒T=8⇒f(-25)=f(-1);f(11)=f(1);f(80)=f(0).又由奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数⇒f(x)在区间[-2,0]上是增函数⇒f(-1)<f(0)<f(1)⇒f(-25)<f(80)<f(11).18.解:由f(x)在[0,1]上单调递增,且f(1998)=f(1916),f(17101)=f(171),f(15104)=f(151)⇒f(17101)<f(15104)<f(1998). 19.解:作y=f(x)的图像知,故选(D).20.解:由f(x)与函数y=log 4|x|都是偶函数;当x>0时,作图知,交点个数为3.故选(C).21.解:由f(x)与函数y=log 4|x|都是偶函数;作图知,当x ∈[0,10]时,零点的个数=10;当x ∈[-5,0)时,零点的个数=4.故选(B).22.解:当x ∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3]⇒f(x)=f(x+4)=x+4;当x ∈[-1,0]时,-x ∈[0,1]⇒2-x ∈[2,3]⇒f(x)=f(-x)=f(2- x)=2-x.综上,f(x)=3-|x+1|.故选(C).23.解:当x ∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3]⇒f(x)=f(x+4)=x+4;当x ∈[-1,0]时,-x ∈[0,1]⇒2-x ∈[2,3]⇒f(x)=f(-x)=f(2 -x)=2-x.综上,f(x)=3-|x+1|.24.解:由已知作图知:当x ∈[-2,0]时,f(x)过A(-2,2),B(-1,3),C(0,2)⇒f(x)=-3+|x+1|.故选(C).25.解:由已知作图知:当x ∈[-2,0]时,f(x)过A(-2,2),B(-1,-3),C(0,-2)⇒f(x)=-3+|x+1|.故选(A).26.解:由f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x)⇒f(x)是以4为周期的周期函数;因为当0≤x ≤1时,f(x)=21x,且f(x)为奇函数⇒当-1≤x ≤1时,f(x)=21x ⇒f(-1)=-21⇒f(3)=f(-1)=-21⇒f(4k-1)=-21⇒{x|f(x)=-21}={4k-1|k ∈Z}. 27.解:因当0≤x ≤1时,f(x)=x 2,且f(x)为偶函数⇒当-1≤x ≤1时,f(x)=x 2⇒当2k-1≤x ≤2k+1时,f(x)=(x-2k)2;直线y=21x+a 与y=f(x)的图像恰好有两个公共点⇔y=21x+a 过点(k+1,1),或直线y=21x+a 与f(x)=(x-2k)2相切⇔k+1=21+a,或x 2-(4k+21)x+4k 2-a=0有等根⇔a=k+21,或(4k+21)2-4(4k 2-a)=0⇔a=k+21,或k-161,k ∈Z.。
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第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级 姓名一、选择题1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（ ）（A ）0,0,0><<c b a （B ）0,0,0<>>c b a（C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0>>>c b a2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（ ） （A ）411天 （B ）5天 （C ）16天 （D ）12天 3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(21x f x f -的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）2log a4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（ ）（A ）0︒<θ<180︒ （B ）0︒<θ<90︒ （C ）0︒<θ≤90︒ （D ）0︒≤θ≤90︒5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）（A ）R ⊃Q ⊃P ⊃S （B ）R ⊃Q ⊃S ⊃P （C ）S ⊂P=Q ⊂R （D ）S ⊂R,P ⊂Q,R ⊆Q,Q ⊆R6、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则------------------------（ ） （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）M 可能是∅（B ）M 中元素的个数是偶数（C ）M 中元素的个数是奇数（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。
8、 ）（A ）（1）与（2） （B ）（1）与（3） （C ）（2）与（4） （D ）（3）与（4）9、已知θ是第二象限的角，且2cos 2sin θθ<，则||2cos |log |22θ等于-------------（ ） （A ）)2cos(πθ-- （B ）2cos θ（C ）)2se c(θ- （D ）)2sec(θπ-10、若函数||22x x y -=的图象C 与直线)2(-=x k y 相交于点（-1，-1），则C 与该直线交点的个数是-------------------------------------------------------------------（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（A 组）11、若23log =x ，则x 的值是 。
12、若不共面的四条直线两两相交，则它们共有 个交点。
13、直线l 与平面α所成角为50︒，交点为P ，a 是α内不过P 点的任意一条直线，那么l 与a 所成角的取值范围是 。
14、函数)1lg(2x y -=的单调递增区间为 。
15、方程21254log 24=+-x x x 的解为 。
16、函数)(x f 与x x g -=3)(的图象关于直线x y =对称，则函数)2(2x x f -的定义域为 。
17、一个长方体的长、宽、高的比为4∶3∶2，它的对角线与一个正方体的体对角线等长，则这个长方体与正方体表面积之比为 。
18、平面α⊥平面β，直线a ∥α，a 与β成45︒角，直线b ∥β，b 与α成45︒角，则直线a 与b 所成的角的大小为 。
19、若x y x 22322=+，则22yx +的最大值为 。
20、二面角βα--l 的大小为60︒，l C B A ∈∈∈,,βα，且β⊥=AB AC ,4，B 点到α的距离为1，则直线AC 与平面β所成的角的大小等于 。
三、填空题（B 组）21、若},4,2,1{},2,1{}1,{2a a a ⊂⊂，则a 的值是 。
22、关于x 的方程)1,0(log log ≠>=a a a x x a 的解为 。
23、如果51cos sin -=+αα，那么α所在的象限是 。
24、函数)2sin(2)(β+=x a x f 的值域为[-2，1]，在区间]12,125[ππ-上是单调递减函数，则常数a 与β的值分别为 。
25、函数123)(2+-+=a ax x x f 在区间[0，1]上的最小值为0，则a 的值为 。
1998年“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试班级 姓名一、选择题1、正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线。
在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与BD 1垂直的面对角线的条数是-------------------------------------（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）6 （D ）92、若函数a x x f +=2)(的反函数为5)(1-=-bx x f ，则-------------------------（ ） （A ）7=+b a （B ）72=+b a （C ）3=-b a （D ）12=-b a3、若02log 2log <<y x ，则------------------------------------------------------------（ ）（A ）10<<<x y （B ）10<<<y x （C ）1>>x y （D ）1>>y x4、如图所示是一个5⨯4⨯4的长方体，上面有2⨯1⨯4，2⨯1⨯5，3⨯1⨯4的穿透的洞，剩下部分的体积为----------------------------------（ ）（A ）50 （B ）54（C ）56 （D ）585、设函数)(x f y =是周期为2的偶函数，且在区间[0，1]内单调递减，则)5.2(),0(),1(f f f -的大小关系是------（ ）（A ）)0()5.2()1(f f f <<- （B ）)5.2()0()1(f f f <<-（C ）)1()5.2()0(-<<f f f （D ）)1()0()5.2(-<<f f f6、P 是∆ABC 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC ，则在以下结论中正确的是-（ ）（A ）∠BPC<∠BAC （B ）∠BPC>∠BAC（C ）∠BPC=∠BAC （D ）∠BPC 与∠BAC 的大小关系不确定7、在锐角三角形ABC 中，一定有-----------------------------------------------------（ ）（A ）cosA<sinB （B ）cosA>sinB（C ）tgA>sinB （D ）cosA 与sinB 的大小关系不确定8、在正五棱柱ABCDE-A 1B 1C 1D 1E 1的侧棱CC 1上有一点P ，若截面PAE 1与侧面AEE 1A 1互相垂直，则这样的P 点------------------------------------------------------（ ）（A ）一般有两个，特殊情况下仅有一个。
（B ）有且仅有一个（C ）有两个 （D ）有时不存在9、在区间[2，3]上，方程x x 2332log log log log =的实根个数是-----------------（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无数个10、四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体。
用一个平面去切正四面体，使它成为形状大小都相同的两个几何体，这样的平面的个数为--------------------（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）无数个二、填空题11、关于x 的方程)121(log )121(log 2+-=-+x x a ，)1,0(≠>a a 的解集为 。
12、空间四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD=3，则BD 与AC 所成的角的正弦值为 。
13、函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=)2( 2)20( )(2x x x x f x 的反函数为 。
14、函数1sin sin +=x x y 的值域为 。
15、若2log 3)(3++=x x f x ，则=-)30(1f 。
16、若)1(log )(-=ax x f a 在区间[2，3）上是减函数，则实数a 的取值范围是 。
17、函数)(x f y =对于任意实数y x ,都满足22)]([2)()(y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则=)1998(f 。
18、关于x 的方程012=+++k x kx 有两个实根，一个比2大，另一个比1小，则k 的取值范围是 。
19、在长方体ABCE-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=AA 1=1，P 是对角线AC 1上的一个动点，Q 是底面ABCD 上的一个动点，则B 1P+PQ 的最小值为 。
20、三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90︒，D 为底面ABC 内的一点，∠APD=45︒，∠BPD=60︒，则∠CPD 的余弦值为 。
三、解答题21、已知0,,>c b a 且1,,≠c b a ，ab c a c b ==,，试比较c b a ,,的大小，并说明理由。
22、∆ABC 是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=46，A 点关于平面PBC 的对称点为A ’，求直线A ’C 与AB 所成角的余弦值。
答案：第一试：ACADACCDDD3，1，[50︒，90︒]，2，),2()0,(+∞-∞ ，26：29，60︒，94，30︒，2或0，a 或a1，二、四，。