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大学概率论随机事件与概率ppt课件
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随机现象的统计规律性
随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《概率统计》电子教案
第一章 随机事件与概率
概率论是一门研究客观世界随机现象统计
规律的 数学分支学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔
可夫过程》 来描述;
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《概率统计》电子教案
第一章 随机事件与概率
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
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《概率统计》电子教案
随机现象的统计规律性
随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.
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《概率统计》电子教案
第一章 随机事件与概率
概率论是一门研究客观世界随机现象统计
规律的 数学分支学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔
可夫过程》 来描述;
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《概率统计》电子教案
第一章 随机事件与概率
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
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《概率统计》电子教案
北邮概率论讲议 第9讲
2
tx
根据控制收敛定理，有：
G x lim Gx 2x Gx
x0
2x
1
lim
eit xx sintx
t dt
1
e itx t dt
2 x0
tx
2
同理：G x
2 x1 l l
it
2020/1/6
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13
定理 4 .1 .2 设F1x，F2x是两个分布函数，1t， 2 t 是 其 相 应 的 特 征 函 数 ，则 ：
F1x F2x 1t 2t
证明：“”设F1x F2 x，则有：
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15
推 论 若 t 是特征函数，则有唯一的分布函数F x 存在，使得 t 是F x的特征函数。
综上所述，我们知道分布函数Fx1 1t，因此对
分布函数的研究可以转化为对特征函数的研究。
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17
证明：令：Gx 1 F x F x 0
2
（1）首先证明G' x 存在，且G' x 1 e itx t dt
2
先证G x 存在，且G x 1 e itx t dt
1 t
e
itx
dF1
x
e
itx
dF2
x
2
t
“”设1t 2t ，则有：
F1x2 0 F1 x2 0 F1 x1 0 F1 x1 0
北邮概率统计课件3
公式
在统计学、决策理论、机器学习等领域中经常用到条件期望，特别是在回归分析和预测中。
应用场景
离散型条件方差
应用场景
在统计学、决策理论、机器学习等领域中经常用到条件方差，特别是在回归分析和预测中。
定义
在离散型随机变量中，给定某些信息后，随机变量的方差称为条件方差。
公式
$Var(X|Y=y) = sum (x-mu)^2 times P(X=x|Y=y)$，其中 $mu$ 是条件期望 $E(X|Y=y)$。
当事件A和事件B相互独立时，条件概率等于联合概率，即P(B|A)=P(B)。
条件分布与联合分布的关系
联合分布描述了多个事件同时发生的概率，而条件分布描述了在某个特定事件发生时，其他事件发生的概率。 联合分布和条件分布在描述事件之间的概率关系时是互补的，它们一起构成了完整的概率描述。 在实际应用中，条件分布在贝叶斯推断、统计决策等领域有广泛的应用。
在统计推断、贝叶斯推断、马尔科夫链蒙特卡洛方法等领域中，条件概率密度函数有着广泛的应用。
连续型条件期望
条件期望是在给定某个随机变量或随机向量取值的条件下，另一个随机变量的期望值。对于连续型随机变量，条件期望描述了在给定另一随机变量值的条件下，该随机变量的期望值。
定义
在统计推断、回归分析、时间序列分析等领域中，条件期望有着广泛的应用。
PART TWO
离散型条件分布
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
离散型条件概率
定义
在离散型随机变量中，给定某些信息后，随机事件发生的概率称为条件概率。
公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$，其中 $P(A cap B)$ 是事件 $A$ 和 $B$ 同时发生的概率，$P(B)$ 是事件 $B$ 发生的概率。
在统计学、决策理论、机器学习等领域中经常用到条件期望，特别是在回归分析和预测中。
应用场景
离散型条件方差
应用场景
在统计学、决策理论、机器学习等领域中经常用到条件方差，特别是在回归分析和预测中。
定义
在离散型随机变量中，给定某些信息后，随机变量的方差称为条件方差。
公式
$Var(X|Y=y) = sum (x-mu)^2 times P(X=x|Y=y)$，其中 $mu$ 是条件期望 $E(X|Y=y)$。
当事件A和事件B相互独立时，条件概率等于联合概率，即P(B|A)=P(B)。
条件分布与联合分布的关系
联合分布描述了多个事件同时发生的概率，而条件分布描述了在某个特定事件发生时，其他事件发生的概率。 联合分布和条件分布在描述事件之间的概率关系时是互补的，它们一起构成了完整的概率描述。 在实际应用中，条件分布在贝叶斯推断、统计决策等领域有广泛的应用。
在统计推断、贝叶斯推断、马尔科夫链蒙特卡洛方法等领域中，条件概率密度函数有着广泛的应用。
连续型条件期望
条件期望是在给定某个随机变量或随机向量取值的条件下，另一个随机变量的期望值。对于连续型随机变量，条件期望描述了在给定另一随机变量值的条件下，该随机变量的期望值。
定义
在统计推断、回归分析、时间序列分析等领域中，条件期望有着广泛的应用。
PART TWO
离散型条件分布
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
离散型条件概率
定义
在离散型随机变量中，给定某些信息后，随机事件发生的概率称为条件概率。
公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$，其中 $P(A cap B)$ 是事件 $A$ 和 $B$ 同时发生的概率，$P(B)$ 是事件 $B$ 发生的概率。
北邮概率统计课件2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)
4 5 4 5 5 5 0
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
2013-8-9 北邮概率统计课件
n k
概率统计
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
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概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
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概率统计
北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
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n k
概率统计
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有
北邮概率论讲议-第6讲
F| y | x
y f x, v dv
f
x,v dv
y f x,v f x dv
为
x条件下的条件分布函数。并称f| y | x
f x, y f x
为 x条件下的条件分布密度。
2024/9/22
11
例：设二维随机变量旳联合密度为：
f (x,
y)
e y 0
x x
x x x x
x x
y
f
f
u, v dvdu u, v dvdu
2024/9/22
10
利用中值定理，有：
y f x,v dv
F| y | x
f x, v dv
定 义 2. 4. 6 若f
x,
y是 , 的分布密度，且
f
x,
y dy
0，
f x, y在 x, y处连续，定义：
y
dx1 f x1 , z x1 dz
y
f
x1 ,
z
x1
dx1
dz
所以的分布密度是：
f y f x1 , y x1 dx1
2024/9/22
17
若1, 2相互独立，则=1+2旳分布密度为：
f y
f
x1 , y x1 dx1
j 1
2024/9/22
21
定理2.5.3 设n维随机变量 =(1, ,n )的分布密度为f ( x1,
n元函数g j ( x1, , xn )( j 1, , n)满足条件： （1）存在惟一的反函数，即方程组
, xn ),
y j g j ( x1, , xn )( j 1, , n) (2.5.5) 如果有解就存在惟一的实数解x j x j ( y1, , yn )( j 1, , n); (2)g j ( x1, , xn )和x j ( y1, , yn )都是连续函数；
北邮概率论讲议 第9讲
北京邮电大学电子工程学院
5
例7
设1，
的联合概率密度为：
2
f
x,
y
1 4
1
xy
x2 y2
0
x 1, y 1 其它
以 i(t)表i的特征函数，i=1，2，且 = 1 +
2的特征函数为 (t) ，证明： (t) = 1(t)
2 (t) ，但1， 2不独立。
该例子说明特征函数的性质（4）的逆不成立。
北京邮电大学电子工程学院
12
证明：因涉及到Fubini定理等知识，因此略
由逆转公式，在F x的连续点上（令x2 x）， 当x1沿F x的连续点 ，有：
F x 1 lim lim l eitx1 eitx t dt
，
k
则的特征
k 1
n
函数为 t k t k 1
证明：当n 2时证明结论成立
t E eit E eit12 E e e it1 it2
E eit1 E eit2 1 t 2 t
一般情况可用数学归纳法证明，略
2020/6/24
北京邮电大学电子工程学院
2020/6/24
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6
证明：1，
的边沿分布密度为：
2
f1
x
1
1
1
4
1
xy
x2 0
y2
dy
1 2
x 1 其它
1
f2
y
1 4
1
xy
x2
y2
1
0
dy
1 2
y 1 其它
即1，2均在 1,1均匀分布，但：
f1 x f2 y
1 4
第一讲概率论与随机过程概率论与随机过程精品课件完美版
知识到哪里去?
如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信 中的实际问题？
举例说明
..\2005\应用举例.ppt
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 3
第一章 概率空间
首先，回顾初等概率论的一些基本概念：
随机试验 E ，满足如下条件： 在相同条件下可重复进行； 一次试验结果的随机性——不可预知性； 全体可能结果的可知性。 样本空间Ω——随机试验所有可能的结果组成的集合。 样本点 ——Ω中的元素。 随机事件——样本空间Ω的子集合，称为事件。 基本事件——Ω中每个样本点所构成的单点集。 必然事件——Ω本身。 不可能事件——不包含任何元素的空集合Φ。
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 10
第一节 集合代数和σ -代数
二、包含某一集合类的最小σ -代数
C是由Ω的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个σ -代数包含C。为什么？
。 由于 F 是一个σ -代数，且C F
是否存在最小的σ -代数？若存在，是否唯一？
2017/11/2
F的结构？在F上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主 要问题，为此我们必须引入测度论的概念。
2017/11/2 6
北京邮电大学电子工程学院
第一节 集合代数和σ -代数
一、集合代数和σ -代数
定义1.1.1 设Ω是任一非空集合， A是由Ω的一些子集组成 的非空集合类，若A满足：
1. Ω A ；
2. 若AA ，有 A A （余运算封闭）； 3. 若 A, B ∈ A ，有 A B A （有限并运算封闭）； 则称A是Ω上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：
北邮概率统计课件 1.1随机试验
11/13
12/13
第一章
概率论的基本概念
§1
随机试验
13/13
科学实验 或者对某一事物的某一特征进行观察
E1: 抛一枚硬币，观察正面 H、反面 T 出现的情况 E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察正面 H出现的次数 E3: 掷一颗骰子，观察出现的点数 E4 : 从一批产品中抽取 n 件，观察次品出现的数量 E5 : E6 :
第一章 概率论的基本概念
4/13
概率论最早是从赌博(博弈)游戏开始的. 博弈游戏产生于人类已有数千年历史了.考古工作者 在公元前3500年的一座埃及古墓中发现古埃及人在一种 “猎犬与豺狼”的板盘游戏中,用投掷距骨的结果决定猎 犬与豺狼移动的步数. 骰子是在距骨之后发现的,伊拉克北部曾发现一颗陶 制的骰子,据推断距今已有3000年历史.它对面的点数是2 和3,4和5,1和6.现在人们使用的对面点数之和为7的骰子 大约出现在公元前1400年左右.纸牌的出现更晚一些.这些 器具不仅用于赌博,还用于占卜和算命. 公元960年意大利主教韦伯尔德(Wibold)把人的品德 归纳为56种,算命者掷3颗骰子,主教就告诉他的品德是什 么.这说明当时人们已经会计算排列组合问题了.
第一章
概率论的基本概念
对某厂生产的电子产品进行寿命测试 观察某地区的日平均气温和日平均降水量
这些试验有什么特点 试验前无法预知结果
第一章 概率论的基本概念
§1
随机试验
14/13
试验可以在相同的条件下重复进行 试验的结果可能不止一个，但试验前知道所 有可能的全部结果 在每次试验前无法确定会出现那个结果 具有上述特征的试验称为随机试验 ,简称试验 EN
(r / 2) 2 p 1 r2 4
北邮概率统计课件34相互独立的随机变量
F ( x, y )
x a
x
y
f ( x, y ) dxdy
y d c
b
y
c
1 dxdy (b a )(d c )
o
a
x
( x a )( y c ) (b a )(d c )
2019/2/8
概率统计Biblioteka 课件当 x b , c y d时:
所求为 ：P( |X - Y | 5 ) 及 P( X < Y )
2019/2/8
概率统计
课件
解: P(| X-Y| 5)
y
60
40
= P( -5 X -Y 5 )
[
15 45 x5 x 5
x y 5 x y5
1 dy] dx 1800
10
=1/6
2 1 2 3 4 12
2019/2/8
概率统计
课件
P11 P( X 1,Y 1) P ( X 1) P (Y 1)
1 1 1 3 4 12
X
Y
1
2
3
依次可得 (X,Y) 的联合分布律为:
0 1
2 12 1 12
4 12 2 12
2 12 1 12
2019/2/8
概率统计
课件
★ 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可 能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔 小于0.5 秒，则信号将产生互相干扰. 求：发生两信号互相干扰的概率.
★ 把长度为a 的线段在任意两点折断成为三线段 求：它们可以构成三角形的概率. 长度为a
x a
x
y
f ( x, y ) dxdy
y d c
b
y
c
1 dxdy (b a )(d c )
o
a
x
( x a )( y c ) (b a )(d c )
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概率统计Biblioteka 课件当 x b , c y d时:
所求为 ：P( |X - Y | 5 ) 及 P( X < Y )
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概率统计
课件
解: P(| X-Y| 5)
y
60
40
= P( -5 X -Y 5 )
[
15 45 x5 x 5
x y 5 x y5
1 dy] dx 1800
10
=1/6
2 1 2 3 4 12
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概率统计
课件
P11 P( X 1,Y 1) P ( X 1) P (Y 1)
1 1 1 3 4 12
X
Y
1
2
3
依次可得 (X,Y) 的联合分布律为:
0 1
2 12 1 12
4 12 2 12
2 12 1 12
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概率统计
课件
★ 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可 能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔 小于0.5 秒，则信号将产生互相干扰. 求：发生两信号互相干扰的概率.
★ 把长度为a 的线段在任意两点折断成为三线段 求：它们可以构成三角形的概率. 长度为a
北邮概率论1-4(new)
24
由此可以形象地把全概率公式看成为
“由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关. 全概 率公式表达了它们之间的关系 .
A3 A1
B
A4 A2
A7
A5 A6
A8
诸Ai是原因 B是结果
25
贝叶斯公式：
设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω 的一个划 分，且P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件且 P(B)>0, 则
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1,2,, n
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它 是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
26
例 盒中12个新乒乓球，每次比赛从盒中任取3 个球，用后放回。第三次比赛时3个球，取到3个 新球的概率。
它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
23
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因
(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式.
12
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
由此可以形象地把全概率公式看成为
“由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关. 全概 率公式表达了它们之间的关系 .
A3 A1
B
A4 A2
A7
A5 A6
A8
诸Ai是原因 B是结果
25
贝叶斯公式：
设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω 的一个划 分，且P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件且 P(B)>0, 则
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1,2,, n
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它 是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
26
例 盒中12个新乒乓球，每次比赛从盒中任取3 个球，用后放回。第三次比赛时3个球，取到3个 新球的概率。
它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
23
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因
(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式.
12
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
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b bc
9
三、概率乘法公式
由条件概率的定义：
P(A |
B)
P( AB) P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若 它们(P2(可)A和)计>(30算),则式两P都个(B称事A为)件=乘P同(法A时)公P发(式B生|A,的) 利概用率 而 P(AB)=P(BA)
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
17
用乘法公式容易求出
P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
14
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？ 解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P(B | A) P( AB) P(B) 0.4 0.5 P( A) P( A) 0.8
已知事件B发生，此时试验 掷骰子
所有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是 等可能的，其中只有1个在集A中， 于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
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2．条件概率的定义:
设(,ℱ,P)为一概率空间，A，B是两事件，且P(B)>0，
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条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行
的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在 该试验条件下事件A发生的可能性大小.
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小， 即P(A|B)仍是概率.
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
P（A|B）=1−P（A|B） P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)−P(A1A2|B)等等
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2．计算
一般有两种方法： (1)由条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A) （在原样本空间中求P(AB)、P(A)） (2)按古典概型公式： P(B|A)=NAB/NA （在缩小的样本空间中考虑）
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条件概率P(A|B)与P(A)数值关系
条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A发生的可能性大小. 那么, 是否一定有:
P(A|B) P(A)?
或 P(A|B) P(A)?
在事件B发生的条件下事件A的条件概率 一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不 会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？这个问题留 待下一节讨论.
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乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
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随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出
故 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
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推广到多个事件的乘法公式: 当P(A1A2…An-1)>0时，有 P (A1A2…An） =P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
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注意P(AB)与P(A | B)的区别： “B发生” 在P(AB)中是结果，
在P(A | B)中是条件！ 请看下面的例子
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例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}
A={是标准件}
300个
乙厂生产
所求为P(AB).
B
PAi
B
i1
i1
P
i 1
Ai
B
P
(
i 1
Ai
)
B
P(B)
(条 件 概 率 定 义)
P
（Ai
B）
i1
P(B)
PAi B
(运 算 法 则) i1 P(B)
P Ai B
i1 P(B)
P Ai | B
i 1
( Ai B, Aj B互 不 相 容)
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概率的一切性质都适用于条件概率，例如： P（Φ|B）=0
第四节 条件概率
一、条件概率的定义及性质 1、概念及引例
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 在事件B发生的条件下，事件A发生的概 率称为A对B的条件概率，记作P(A|B).
一般 P(A|B) ≠ P(A)
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例如，掷一颗均匀股骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
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设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件}
乙厂生产
所求为P(AB) .
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
称
P(
A
|
B)
PAB PB
为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.
注 （1）若P(A)>0，同样可定义
P(B
|
A)
Байду номын сангаас
PAB PA
（2）条件概率P（•|B）满足概率定义的三条公理，
即 1. 对于每一事件A，有P（A/B）≥0;
3
2. P（|B）=1 3. 设A1，A2……两两不相容，则有
P Ai
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例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解: 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A |
B)
P( AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
在B发生后的 缩减样本空间
中计算