交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
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第三节 绝对收敛与条件收敛
0 vn un ,0 wn un ,
由正项级数的比较审敛法可知级数
v 与 w 均收敛.
n 1 n n 1 n
un vn wn ,
因此级数
u
n 1
n
收敛.
例4 判别下列级数的敛散性，如果收敛，则进一步判别是条件 敛，还是绝对收敛． sin n 1 2 n 1 n 1 n 1 (4) sin( n 1 ). (1) ; (3) ( 1) ; (2) ( 1) ; 3
a1 lim sn 1, 因此级数 n a
2
2 n 2 n (4) sin( n 1 ) (1) sin[( n 1 n) ] (1) sin
n 1 n
,
lim sin
n
n2 1 n
0,{sin
n2 1 n
}单减，级数 sin n 2 1 收敛，
n 1
又n 时， sin
2n 1 ln(1 n) n 1 n 1 sin n 1 1 sin n 绝对收敛； 解 (1)因为 , 3 3 3 收敛， 3 n n n 1 n n n 1
n 1
n
n 1
(2)根据莱布尼兹判别法可知该级数条件收敛；
(3)因为 lim
n 1 1 , 该级数发散； n 2n 1 2
ln 3 ln 4 ln n ln x 1 ln x , , , , (2)令f ( x) , f ( x) 0( x e), 因此数列 3 4 n x x
单减， 且lim n
ln n 0, 所以该级数收敛； n
一般级数的审敛法
1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
定理 如果任意项级数
n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1
sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.
高等数学 上下册10_3 绝对收敛和条件收敛
定理 3 设 un 为任意项级数，如果 n1
lim un1
u n n
则当
1时，级数 un n1
绝对收敛，当
1
或lim un1 u n
n
时，级数un 发散.
n1
例 3 判 定 级 数 n 1 ( 1 ) n 1 n 1 3 n 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 .
解 由例2知， 交错级数n 1(1)n1n13n 是收敛的. 现利用定理3判定它是否绝对收敛.
u1u2u3u4(1)n1un,其中un(n1,2,) 都是正数.现给出交错级数的一个重要的审敛法.
定 理 1 （ 莱 布 尼 茨 （ L e i b n i z） 准 则 ） 若 交 错 级 数
( 1 )n 1 un满 足 条 件 ：
n 1
（1）un un1(n 1, 2,)
（2）lim n
第三节 绝对收敛与条件收敛
这一节讨论 n1
通常称为任意项级数.若级数 un 的项是正负相间的，这种 n1
级数称为交错级数.首先研究交错级数的审敛法，然后再讨 论任意项级数的审敛法，并给出绝对收敛与条件收敛的概 念.
一、交错级数及其审敛法
各项是正负相间的级数称为交错级数， 可以写成以下 形式：
un
0;
则 级 数 收 敛 ， 且 其 和 su 1,其 余 项 rn 的 绝 对 值 不 超 过 u n 1，
即 rnu n 1
证 明 从 略 .
例 1 判 断 交 错 级 数 1 1 1 1 ( 1 ) n 1 1 的 收 敛 性
2 3 4
n
解 un 1n,满足un un1，且lni munlni m1n 0, 所以级数
2n1 所以级数是发散的.
第三节绝对收敛与条件收敛
第三节 绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
交错级数、绝对收敛与条件收敛
证明
Sn u1 u2 u3 u4
rn s Sn
(1)n1un
( un1 un2
)
rn un1 un2 rn un+1.
新的交错级数
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例1
n1
(1)n1
1 n
1
1 2
1 3
1 4
(1)n1 1 n
un
1 n
单调递减
lim
n
u
n
0
故由莱布尼茨定理，
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un发散
un
N
un 0
Y
| un |敛
N
用比值法
un 收敛
Y un绝对收敛
条
用L—准则或考察部分和
件
收
N
un收敛 Y
敛
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rn s Sn
s
u2 uu34
O S2 S4 S6 S6
S2n S2n1
u 2 n 1S
2
n
1
S5 S3
S1(u1) x
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| rn | un1 rn s Sn
u2 uu34
O S2 S4
Sn1 s | rn | S n u n 1
S3 S1(u1) x
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条件收敛.
(1)n1 1
n 1
n
条件 收敛;
(1)n1 1
n1
n2
绝对 收敛;
(1)n1 1 1
n1
n n1 n
发散
n1
(1)n1
1 n2
n1
1 n2
收敛
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5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛
(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.
高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛
1. 交错级数及其敛散性
定理1(莱布尼茨准则) 若交错级数 (1)n1un n1
满足以下两个条件：
(1) unun+1
(n=1, 2, …)
(2)
lim
n
un
0
则交错级数收敛，且其和S不超过u1.
1. 交错级数及其敛散性
说明: 1、定理中两个条件是交错级数收敛的充分条件 , 其中条件(1)可放宽为n从某个自然数起.
1、若是交错级数，先判断是否绝对收敛；如果 不是，再用莱布尼茨准则判断是否条件收敛；
2、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛；如 果不是，再用级数收敛的定义和级数的性质等判 断是否条件收敛。
谢谢
主讲： 黄飞
条件收敛 ，
(1)n n2
n1
绝对收敛 。
2、绝对收敛与条件收敛
例2. 讨论级数
sin n
5
n2
n1
的敛散性.
sin n
解
令un
5 n2
,
sin n
由于 | un |
5 n2
1 n2
而
n1
1 n2
收敛，
由比较审敛法知，
| un |收敛，
n1
即原级数绝对收敛.
3. 小 结
．
判别交错级数与任意项级数敛散性的方法与步骤
2、 应用莱布尼茨准则判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可 .
1. 交错级数及其敛散性
例1. 讨论级数 (1)n 的敛散性. n1 n
解
级数可写成
(1)nun，un
n1
1， n
因为
un
1 n
1 n 1
u
，
n1
7.3交错级数与绝对收敛
n 1
10
注 此定理的逆命题不一定成立：
经 典 反 例
1 1 如 1 2 3
( 1)
n 1
1 n
收敛
1 1 取绝对值 1 2 3
1 n
发散
u u 收敛 ×
n 1 n
n 1
n
收敛
11
上述定理的作用： 任意项级数
正项级数
则称 un 绝对收敛； 定义： 若 un 收敛，
(3)p-级数
q 1 q 1
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
25
2、级数收敛的判定 如果级数 un 收敛，则 lim un 0. 必要条件：
n 1
如果 lim un 0, 则 un 发散.
n
n
充分条件： (1)比较审敛法
n 1
由正项级数 un 收敛，能推出 un 2 收敛.
n 1 n 1
un 2 u lim un 0, 由比较审敛法知 n 收敛. lim n n u n 1 n
反之不成立.
2
1 例如： 2 收敛, n 1 n
1 n 发散. n 1
27
一、填空题.
必要条件 lim un 0
n
不满足
发
散
满足
un1 比值审敛法 lim n u n
根值审敛法 lim n un
n
不定 充要条件 改用它法 定义
1
比较审敛法
1
收 敛 发
1
散
24
1、工具
1 (1)调和级数 发散. n 1 n
10
注 此定理的逆命题不一定成立：
经 典 反 例
1 1 如 1 2 3
( 1)
n 1
1 n
收敛
1 1 取绝对值 1 2 3
1 n
发散
u u 收敛 ×
n 1 n
n 1
n
收敛
11
上述定理的作用： 任意项级数
正项级数
则称 un 绝对收敛； 定义： 若 un 收敛，
(3)p-级数
q 1 q 1
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
25
2、级数收敛的判定 如果级数 un 收敛，则 lim un 0. 必要条件：
n 1
如果 lim un 0, 则 un 发散.
n
n
充分条件： (1)比较审敛法
n 1
由正项级数 un 收敛，能推出 un 2 收敛.
n 1 n 1
un 2 u lim un 0, 由比较审敛法知 n 收敛. lim n n u n 1 n
反之不成立.
2
1 例如： 2 收敛, n 1 n
1 n 发散. n 1
27
一、填空题.
必要条件 lim un 0
n
不满足
发
散
满足
un1 比值审敛法 lim n u n
根值审敛法 lim n un
n
不定 充要条件 改用它法 定义
1
比较审敛法
1
收 敛 发
1
散
24
1、工具
1 (1)调和级数 发散. n 1 n
绝对收敛与条件收敛
∞ n2 n2 故 ∑ ( 1 ) n n 收敛, 因此 ∑ ( 1 ) n n 绝对收敛. e e n=1 n =1
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解 因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解 因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S
9.3绝对收敛与条件收敛
例 6 判别级数 sin n 2 1 的敛散性.
n 1
例7
xn n ( x 0) 的敛散性. 判别级数 ( 1) n n 1
1 练习：1.判别级数 n ( x 0) 的收敛性. n 1 lg x
( 1)n an 发散， 练习： 2.设正数列{an}单调下降， 且
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 1 1 2) ; 1) ; n 1 n ! n 1 n
发散 收敛
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 一般项为任意实数的级数称为任意项级数.
2、定理 若 | an |收敛,则 an 收敛.
n1 n1
1 证明 令 vn (an | an |) ( n N ), 则 vn 0, 且 vn | an |, 2
lim n 2 un 存在,证明:级数 un 收敛 . 二、若
n
n 1
b 3n 0. 三、证明:lim n n! a n
n
例2 讨论下列级数的敛散性 : 1 (4) ( 1) p n n 1
n
sin na (5) 2 n n 1 1 n (6) sin 2 n 1 n
如何判别任意项级数 an 的敛散性？
若收敛, 要指出是条件收敛还是绝对收敛. 一般步骤如下：1. lim an 0, 则级数发散. n 否则： 判别
n 1
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
例2 讨论下列级数的敛散性 : n 1 (1) (1) ln n n 1
n
(n 1)! (2) ( 1) n 1 n n 1
《微积分》绝对收敛与条件收敛
u n
),
u 收敛. n
n1
n1
n1
绝对 收敛
收敛
上定理的作用：
任意项级数
正项级数
事实上：判定任意的常数项级数 a n 是否收敛，
n 1
可以用正项级数审敛法判定
a n
的收敛性,
n 1
若收敛，则原级数收敛,且绝对收敛.
用比较审敛法1/2/2’
若发散，则方法失效.
用比值/根值审敛法
(a 0).
六 、 判 别 下 列 级 数 是 否 收 敛 ?如 果 是 收 敛 的 ,是 绝 对 收
敛还是条件收敛?
1、 (1)n1
n
；
n1
3 n1
1
1
1
1
2、
；
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
(1)n
3、
.
n 2 n ln n
七 、 若 lim n 2 u n 存 在 , 证 明 : 级 数 u n 收 敛 . n n1
b 3n
八 、 证 明 : lim
0.
n n!a n
练习题答案
一 、 1、 p 1, p 1；
2 、 1 , 1 ( 或 lim u n 1 ), 1 . n un
二 、1、 发 散 ；
2、 发 散 .
三 、1、 发 散 ；
2、 收 敛 .
判定任意的常数项级数是否收敛可以用正项级数审敛法判定的收敛性用比较审敛法122若收敛则原级数收敛且绝对收敛
9-2 绝对收敛与条件收敛
1、交错级数及其审敛法 2、级数的绝对收敛与条件收敛
《高等数学》第三节 绝对收敛与条件收敛
例 1 讨论交错级数 ( 1)
n 1
n 1
1 的敛散性. n
解：由题可知 1 1 1 1 1 2 3 n n 1
1 又： lim u n lim 0 n n n
(1)
n 1 n 1 1
即：u )
n 1 n n 1
u n的部分和sn
有： lim sn s 且s u1 ,
余项rn 可以写成： rn (u n 1 u n 2 ), | rn | u n 1 u n 2
上式也是交错级数，满足收敛的两个条件 | rn | u n 1
n 1 n 1
而不能判断它必为发散.
n
n
所以 故
n 1
sin n 也收敛， 2 n
sin n 绝对收敛． 2 n n 1
注意： (1)由于任意项级数各项的 绝对值组成的级 数是正项级数，一切判别正项级数敛散性 的判别法，都可以用来判定任意项级数是 否绝对收敛.
un , 如果 | un |收敛，则 un 绝对收敛. (2)任意项级数 n 1 n 1 n 1 但当 | un |发散时，我们只能判断 un非绝对收敛，
由定理的第一个条件：un un 1 , 由(1)式可知{s2n}是单调增加的；
由(2)式可知s2n<u1.
由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无 限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于
u1，即 lim s2n s u1
n
再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s， 有
n 1
定理1(莱布尼兹定理) 如果交错级数 (1)级数前项大于后项，即 u n u n 1 (n 1,2,3,); (2)级数的通项趋于零，即 lim un 0
第三节绝对收敛与条件收敛
.
(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 敛散性与 k 有关 .
说明 若级数 an 与 bn 一个绝对收敛一个条件收敛,
n1
n1
则级数 (an bn )必条件收敛.
例6
n1
判别级数
n1
cos n
2 n
的敛散性.
(条件收敛)
思考题：1、判别级数 sin
n2 1 的敛散性. (条件收敛)
1
收敛,
n 2n
n1
2n
故原级数条件收敛.
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
敛 4.充要条件
4.绝对收敛
法 5.比较法
6.比值法 7.根值法
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
如何判别任意项级数 an 的敛散性?
n1
2 (1)n n
收敛 收敛 收敛 发散
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 一般项为任意实数的级数称为任意项级数.
2、定理 若| an |收敛,则 an 收敛.
n1
n1
证明
令 vn
1 2
(an
|
an
|)
(n N ), 则 vn
0, 且 vn
| an |,
vn收敛,
又 an
(2vn
| an
|),
an
收敛.
n1
n1
n1
n1
定理的作用：任意项级数
正项级数
3、定义:若 | an |收敛, 则称 an 为绝对收敛;
n0
n1
东华大学 绝对收敛与相对收敛
n→∞
2 由比较判敛法可知 ∑un 收敛 . n=1
∞
注意: 注意 反之不成立. 例如,
1 ∑n2 收敛 , n=1
∞
1 ∑n 发散 . n=1
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∞
作业
P250 1 (1), (3), (5)，(7) ;
第三节 目录
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补充题
1. 判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
1 ∑n 发散 , 故原级数发散 . n=1
(2)
∞
∞
1 ∑n 发散 , 故原级数发散 . n=1
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2. C (A) 发散 ; (C) 条件收敛 ; 分析: 分析 又 (B) 绝对收敛;
则级数
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
机动
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2)
∞
n→∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
rn ≤ un+1 .
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证: QS2n = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) +L+ (u2n−1 − u2n )
S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −L− (u2n−2
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
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∞
例2. 证明下列级数绝对收敛 : ∞ ∞ sin nα n2 n (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . 4 n e n=1 n n=1
2 由比较判敛法可知 ∑un 收敛 . n=1
∞
注意: 注意 反之不成立. 例如,
1 ∑n2 收敛 , n=1
∞
1 ∑n 发散 . n=1
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∞
作业
P250 1 (1), (3), (5)，(7) ;
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补充题
1. 判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
1 ∑n 发散 , 故原级数发散 . n=1
(2)
∞
∞
1 ∑n 发散 , 故原级数发散 . n=1
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2. C (A) 发散 ; (C) 条件收敛 ; 分析: 分析 又 (B) 绝对收敛;
则级数
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
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2)
∞
n→∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
rn ≤ un+1 .
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证: QS2n = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) +L+ (u2n−1 − u2n )
S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −L− (u2n−2
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
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∞
例2. 证明下列级数绝对收敛 : ∞ ∞ sin nα n2 n (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . 4 n e n=1 n n=1
交错级数及其审敛法
n1
（1）un un1 (n 1, 2, 3, )；递减
（2）lim n
un
0，
则级数收敛,且其和 s u1,
其余项 rn 的绝对值 rn un1.
证明 un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
0
0
0
数列 s2n是单调增加的 ,
第二节 常数项级数的审敛法（2）
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
二、交错级数及其审敛法
定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun
n1
n1
(其中un 0)
如
1
n1
1 ,
n1
n
n1
1
n
1 2n
定理6 （莱布尼茨定理）
如果交错级数 (1)n1un满足条件:
4.绝对收敛
法 5.比较法
5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼茨定理)
二、绝对收敛与条件收敛
an 收敛 an 收敛(绝对收敛)
n1
n1
an 发散, an收敛 an条件收敛.
n1
n1
n1
an 发散,则用其它方法判断 an的敛散性.
n1
n1
若交错级数可用莱布尼兹定理判断收敛;
若用比值(根值)法判定 an 发散,则 an发散.
rn un1 un2 , 交错级数
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例7 判断 1 n1 1 的收敛性.
n1
n
解 1 n1 1 为交错级数,
n1
n
且满足莱布尼兹定理的条件:
（1）un un1 (n 1, 2, 3, )；递减
（2）lim n
un
0，
则级数收敛,且其和 s u1,
其余项 rn 的绝对值 rn un1.
证明 un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
0
0
0
数列 s2n是单调增加的 ,
第二节 常数项级数的审敛法（2）
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
二、交错级数及其审敛法
定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun
n1
n1
(其中un 0)
如
1
n1
1 ,
n1
n
n1
1
n
1 2n
定理6 （莱布尼茨定理）
如果交错级数 (1)n1un满足条件:
4.绝对收敛
法 5.比较法
5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼茨定理)
二、绝对收敛与条件收敛
an 收敛 an 收敛(绝对收敛)
n1
n1
an 发散, an收敛 an条件收敛.
n1
n1
n1
an 发散,则用其它方法判断 an的敛散性.
n1
n1
若交错级数可用莱布尼兹定理判断收敛;
若用比值(根值)法判定 an 发散,则 an发散.
rn un1 un2 , 交错级数
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例7 判断 1 n1 1 的收敛性.
n1
n
解 1 n1 1 为交错级数,
n1
n
且满足莱布尼兹定理的条件:
交错级数及其审敛法
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
1
例如, p – 级数
lim un1 lim (n1) p 1
n un
n 1 np
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
lim un1 n un
(1)n
n2 en
绝对收敛.
内容小结
1. un 收敛 部分和数列{Sn}有极限
2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1 不定 部分和极限
用它法判别 积分判别法
3. 任意项级数审敛法
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
证: 据极限定义,
(l ) vn un (l ) vn ( n N )
(1) 当0 < l <∞时,
由定理 2 可知
同时收敛或同时发散 ;
vn
n1
(2) 当l = 0时,
若 vn 收敛 ,
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N N , 对一切 n N ,
例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
1 1 n (n 1) (n 1)2
D10-3绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法第三节第三节 任意项级数的绝对与条件收敛任意项级数的绝对与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛第十章一、交错级数及其审敛法定义: 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.. n n n n n n u u ∑∑∞=∞=−−−111)1()1(或定理1 1 莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件:: (ⅰ),3,2,1(1⋯=≥+n u u n n ;(;(ⅱⅱ)lim =∞→n n u , 则级数收敛则级数收敛,,且其和u s ≤,其余项其余项 r的绝对值的绝对值 1+≤n n u r . )0(>n u 其中证明nn n n u u u u u u s 212223212)()(−−−−−−=−−⋯又)()()(21243212n n n u u u u u u s −++−+−=−⋯∵1u ≤,01≥−−n n u u ∵.lim 12u s s n n ≤=∴∞→,0lim 12=+∞→n n u ∵,2是单调增加的数列n s ,2是有界的数列n s)(lim lim 12212+∞→+∞→+=∴n n n n n u s s ,s =.,1u s s ≤∴且级数收敛于和),(21⋯+−±=++n n n u u r 余项,21⋯+−=++n n n u u r 满足收敛的两个条件,.1+≤∴n n u r 定理证毕.解），，⋯∵21(1111==+>=+n u n n u n n 0lim =∞→n n u 又故级数收敛..41312111的敛散性判别交错级数例⋯+−+−例2 判别级数∑∞=−2(n 的收敛性.解2)1(2)1()1(−+−=′−x x x x x ∵)2(0≥<x ,1单调递减故函数−x x ,1+>∴n n u u 1lim lim −=∞→∞→n n u n n n 又.0=原级数收敛.注意1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？2.判定 的方法n n u u <+1；0)11<−+n n u u ；）121<+n n u u .3）相应函数的单调性二、绝对收敛与条件收敛任意项级数正项级数任意项级数的各项取绝对值定义定义: : : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数..问题问题: : : 如何研究任意项级数的敛散性问题？如何研究任意项级数的敛散性问题？绝对收敛：∑∞=1.1n n u 收敛；∑∞=1n n u 条件收敛：∑∞=1.2n n u 收敛；发散，∑∑∞=∞=11n n n n u u ..31发散∑∞=n n u 任意项级数的敛散性定理2 若∑∞=1n nu 收敛收敛,,则∞=1n n u 收敛收敛.. 证明),,2,1()(21⋯=+=n u u v n n n 令,0≥n v 显然,n n u v ≤且,1收敛∑∞=∴n n v ),2(11∑∑∞=∞=−=n n n n n u v u ∵又∑∞=∴1n n u 收敛.例3 判别级数的收敛性.解,1sin 22n nn ≤∵,112收敛而∑∞=n n ,sin 12∑∞=∴n n n收敛故由定理知原级数收敛.定理3 如果任意项级数如果任意项级数⋯⋯∑∞=++++=121n n n u u u u 满足条件 ρ=+∞→nn n u u 1lim （其中ρ可以为∞+）则当<ρ时，级数∑∞=1n n u 收敛，且绝对收敛； 当>ρ时，级数∑∞=1n n u 发散例4 判别下列级数的收敛性:(1)∑∞=0n n x; (2)(2);(3)(3)解01||lim ||!)!1(||lim lim )1(11=+=⋅+=∞→+∞→+∞→n x x n n x u u n n n n n n n 则此级数对一切(−x 绝对收敛212(2)!lim (2)lim ||(22)!1lim ||0(22)(21)n n n nn u n x u n x n n +→∞→∞→∞=+==++||1lim lim )3(1x x n n u u n n n n =+−=∞→+∞→α则此级数对一切(−∞x 绝对收敛则当||x时，级数收敛；当时，级数发散，而时，级数是否收敛取决于 为何值.。
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级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例4】
判别级数
思考
莱布尼茨定理中的两个条件是级数收敛的充分必要条件吗？
二、绝对收敛与条件收敛
设有级数 且其中un（n=1,2,3,…）为任意实数，这个级数称为任意项级数.
二、绝对收敛与条件收敛
定义
对任意项级数 为绝对收敛；若
，若 发散,而
收敛, 则称级数 收敛，则称级数
例如，级数
绝对收敛，而级数
是条件收敛级数.
是否收敛.如果
是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 解 由于
二、绝对收敛与条件收敛
故由比较审敛法知级数
发散.又 显然
二、绝对收敛与条件收敛
递减. 由莱布尼茨定理知
收敛，故级数
条件收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
思考
绝对收敛、条件收敛和收敛三者之间有什么联系？
谢谢聆听