交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛

级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例4】
判别级数
思考
莱布尼茨定理中的两个条件是级数收敛的充分必要条件吗？
二、绝对收敛与条件收敛
设有级数 且其中un（n=1,2,3,…）为任意实数，这个级数称为任意项级数.
二、绝对收敛与条件收敛
定义
对任意项级数 为绝对收敛；若
，若 发散,而
收敛, 则称级数 收敛，则称级数
例如，级数
绝对收敛，而级数
是条件收敛级数.
是否收敛.如果
是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 解 由于
二、绝对收敛与条件收敛
故由比较审敛法知级数
发散.又 显然
二、绝对收敛与条件收敛
递减. 由莱布尼茨定理知
收敛，故级数
条件收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
思考
绝对收敛、条件收敛和收敛三者之间有什么联系？
谢谢聆听