§3.2 周期信号的频谱和功率谱
第3章连续信号与系统的频域分析
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
连续周期信号的频域分析
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即 2π B
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
n=—4 4
1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T 包含在有效带宽(0 ~ 2 / )内的各谐波平均功率为
2 2 C0
2 | Cn | 2 0.1806
n=1
4
P 0.1806 1 90% P 0.200
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /t)内
频谱的特性频谱的特性信号的有效带宽信号的有效带宽这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度有效频带宽度即信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
三、周期信号的频谱及其特点
三、周期信号的频谱及其特点
4. 相位谱的作用
幅频不变，零相位
幅频为常数，相位不变
四、周期信号的功率谱
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
2 1 T P 2T f (t ) dt Cn T 2 n 2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所 包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
信号与系统第三章
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
第四章周期信号傅里叶级数
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
《周期信号的频谱》PPT课件
n
n0
• 例：
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平 均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。
fT (t)
A
T
T
t
2
2
• 解： 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为：
Fn
A
T
S
a(n1)＝A
2T
sinn(1)
2
n1
2
将A=1，T=1/4，=1/20，代入：
F n 0 . 2 S ( n 1 a / 4 ) 0 0 . 2 S ( n / a 5 )
信号的平均功率为：P1 T/2 f2(t)dt0.2
T T/2
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为：
有效带宽为： 0~2(rad/s) 0~40(ra/sd)
1 8
在带宽范围内有基波、二次、三次、四次谐波分量：
T(t) (tnT)
n
δT(t)
n=0, 1, 2, ….
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
系数：
F n
1 T
T 2
T 2
f (t )e jn1t d t
1
T 2
( t ) e d jn 1t t
T
T 2
1 T
则 ： f (t )
F e jn1t n
n
T (t )
An、n 均为 n1 的复函数，
分别组成 f(t) 的第 n 次谐波分量的振幅和相位。
振幅频谱
频谱图
相位频谱
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 以ω为横坐标
以相位为纵坐标所得到的谱线图
• 试画振幅谱和相位谱
矩形波
第3章 频谱分析
jn1t
n 1
F jn e
1
jn1t
式(3-9)又可写为
f t
F jn e
1
jn1t
F e
n
jn1t
(3-10)
第 3章
连续时间系统的频域分析
式(3-10)称为周期信号f(t)的指数形式傅立叶级数展开式, 其中F(jnω1)为傅立叶系数, 简写为Fn, 又称为频谱函数。 由于 Fn为复数, 所以式(3-10)又称为复系数形式傅立叶级数展开式。 傅立叶系数Fn为
(n=0, 1, 2, 3, …) 4 T /2 bn f t sin n1tdt T 0
an 0
第 3章
连续时间系统的频域分析
(3) 奇谐函数。 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周 期后与原波形相对于时间轴镜像对称, 即满足
T f t f t 2
bn 0
故
1 2 sinn π/ 4 f t a0 an cos n1t cos n1t 2 n π n 1 n 1
因此
1 a0 2
an
2 sinn π/ 4 nπ
第 3章
连续时间系统的频域分析
即 a0=0.5 a1=0.45 a2≈0.32 a3=0.15
1807年, 傅立叶以他惊人的洞察力大胆断言: 任何周期函数都
可以用收敛的正弦级数表示。 他的关于把信号分解为正弦分 量的思想对后来的自然科学等领域产生了巨大的影响。
周期信号是定义在(－∞, ∞)区间内, 每隔一定时间T按相
同规律重复变化的信号。 图3-1所示是实际的周期性非正弦信号, 它们一般表示为
第3章功率谱估计和信号频率估计方法
第3章功率谱估计和信号频率估计方法在信号处理和通信系统设计中，功率谱估计和信号频率估计是非常重要的技术。
功率谱估计可以用来研究信号的频域特性和频率分量的强度分布，信号频率估计可以用来确定信号的频率成分。
本章将介绍功率谱估计和信号频率估计的常用方法。
3.1功率谱估计功率谱是描述信号功率随频率变化的函数。
常用的功率谱估计方法有非参数法和参数法。
非参数法是一类基于信号的样本序列进行计算的方法，不依赖于对信号的概率模型的先验假设。
常见的非参数法有周期图法、半周期图法等。
周期图法是一种基于时域序列的离散傅里叶变换的方法。
它将信号分成多个时段，对每个时段进行傅里叶变换，然后求得功率谱密度。
周期图法具有快速计算和较好的频率分辨能力的特点，适用于信号周期性较强的情况。
半周期图法是周期图法的一种改进方法。
它首先将信号分成两个连续的时段，计算各自的功率谱密度，然后取两个时段的平均值作为最终的功率谱估计。
半周期图法减少了周期图法中窗函数的影响，提高了估计的准确性。
参数法是一种基于对信号进行参数建模的方法。
常见的参数法有自回归(AR)模型、线性预测(ARMA)模型等。
自回归模型是一种用于描述信号随机过程的自回归线性滤波模型。
它通过自回归系数描述信号当前样本值与过去样本值的线性关系。
自回归模型估计功率谱的方法主要有Burg方法、 Yule-Walker方法等。
自回归模型具有较好的频率分辨能力和较高的准确性，适用于信号具有较长时间相关性的情况。
线性预测模型是将信号分解成预测误差和线性组合的方式。
它通过选择适当的线性预测滤波器系数来最小化预测误差的均方差，从而得到功率谱的估计。
线性预测模型估计功率谱的方法主要有Levinson-Durbin算法和Burg算法等。
线性预测模型具有较好的频率分辨能力和较高的估计准确性，适用于信号具有较强的谱峰特性的情况。
3.2信号频率估计信号频率估计是通过对信号进行时域分析来确定信号的频率成分。
关于功率谱和频谱的区别
（1）信号通常分为两类：能量信号和功率信号；
（2）一般来讲，能量信号其傅氏变换收敛（即存在），而功率信号傅氏变换通常不收敛，当然，若信号存在周期性，可引入特殊数学函数（Delta）表征傅氏变换的这种非收敛性；（3）信号是信息的搭载工具，而信息与随机性紧密相关，所以实际信号多为随机信号，这类信号的特点是状态随机性随时间无限延伸，其样本能量无限。
换句话说，随机信号（样本）大多属于功率信号而非能量信号，它并不存在傅氏变换，亦即不存在频谱；
（4）若撇开搭载信息的有用与否，随机信号又称随机过程，很多噪声属于特殊的随机过程，它们的某些统计特性具有平稳性，其均值和自相关函数具有平稳性。
对于这样的随机过程，自相关函数蜕化为一维确定函数，前人证明该确定相关函数存在傅氏变换；
（5）能量信号频谱通常既含有幅度也含有相位信息；幅度谱的平方（二次量纲）又叫能量谱（密度），它描述了信号能量的频域分布；功率信号的功率谱（密度）描述了信号功率随频率的分布特点（密度：单位频率上的功率），业已证明，平稳信号功率谱密度恰好是其自相关函数的傅氏变换。
对于非平稳信号，其自相关函数的时间平均（对时间积分，随时变性消失而再次退变成一维函数）与功率谱密度仍是傅氏变换对；
（6）实际中我们获得的往往仅仅是信号的一段支撑，此时即使信号为功率信号，截断之后其傅氏变换收敛，但此变换结果严格来讲不属于任何“谱”（进一步分析可知它是样本真实频谱的平滑：卷积谱）；
（7）对于（6）中所述变换若取其幅度平方，可作为平稳信号功率谱（密度）的近似，是为经典的“周期图法”；
（8）FFT是DFT的快速实现，DFT是DTFT的频域采样，DTFT是FT的频域延拓。
人们不得已才利用DFT近似完成本属于FT的任务。
若仅提FFT，是非常不专业的。
功率谱和频率谱
功率谱和频率谱
功率谱和频率谱都是信号分析中常用的工具，用于研究信号的频域特性。
它们在不同的上下文中有不同的定义和用途：
功率谱：
1．定义：功率谱是一个信号在频域上的能量分布，表示信号在各个频率上的功率强度。
2．表示：通常用单位频率的功率密度函数来表示，即信号在单位频率范围内的功率。
3．应用：功率谱广泛应用于通信、信号处理、无线通信等领域，用于分析信号的频谱特性，识别信号中的频率成分。
频率谱：
1．定义：频率谱描述了信号在频域上的频率分布情况，表示信号中各个频率成分的相对强度。
2．表示：通常以振幅-频率图或相位-频率图的形式呈现，显示信号在不同频率上的振幅或相位信息。
3．应用：频率谱常用于音频处理、音乐分析、振动分析等领域，帮助了解信号的频率特性。
在某些情况下，功率谱和频率谱可以通过傅立叶变换来相互转换。
傅立叶变换可以将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），提供了信号在频域上的全面信息。
总的来说，功率谱和频率谱是频域分析的两个重要工具，用于深入了解信号的频率特性，从而在不同应用领域中发挥作用。
3.3周期信号的频谱
Fn > 0 Fn < 0
时:
n = 0 n = ±π
当
时:
cosn < 0 sinn = 0
双边频谱与信号的带宽
周期矩形脉冲的频谱
Fn
Fn
是
nω1 的偶函数
n = ±π n 是 nω1 的奇函数
0 ω
1
nω1
π
0 ω π
n
1
nω1
双边频谱与信号的带宽
周期信号频谱的特点: 周期信号频谱的特点:
离散性: 离散性: 由不连续的谱线组成,每一条谱线代表一个正弦分量, 由不连续的谱线组成 , 每一条谱线代表一个正弦分量 , 所以 此频谱称为不连续谱或离散谱; 此频谱称为不连续谱或离散谱;每条谱线间的距离为 ω1 = 2π
谐波性: 谐波性: 的整数倍频率上, 每一条谱线只能出现在基波频率 ω1 的整数倍频率上,即含 的各次谐波分量, 的谐波分量. 有 ω1 的各次谐波分量,而决不含有非 ω1 的谐波分量. 收敛性: 收敛性: 各次谐波分量的振幅虽然随 趋势是随着 当
P=
= F
n = ∞ 2 0
∑F
∞
2
∞ ∞
n
2
+ 2∑ Fn
n=0
A0 2 1 2 = ( ) + ∑ An 2 n =1 2
周期信号的功率
例:
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平 均功率占整个信号平均功率的百分比.其中A=1,T=1/4, τ=1/20.
f T (t ) A
T
τ
1 T /2 2 P= ∫ f (t )dt = 0.2 T T / 2
周期信号的功率
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为:
功率谱和频谱
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为横坐标的各种物理量的谱线和曲线，即各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。
功率谱是一个时间平均（time average）概念；功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2. 功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在，并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
功率谱密度是信号功率在信号持续频谱带宽上的密度，也就是说功率谱密度对频谱的积分就是功率，也就是相关函数在零点的取值。
随机信号是时域无限信号且不收敛，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换，因此一般采用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
●功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
●功率谱具有单位频率的平均功率量纲，所以标准叫法是功率谱密度。
●通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。
像白噪声就是平一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。
可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难：一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；三是用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。
信号与系统 第3章(xin ) 信号的频域分析
3 信号的频域分析
2.基本形式（三角形式）
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 连续周期信号的基本形式可以表示为：
a0 f ( t ) ( ak cos k0 t bk sin k0 t ) 2 k 1
2 T 其中：a0 2T f (t )dt T 2
a0 f ( t ) An cos( k0 t n ) 2 t
2 其中：a0 f ( t )dt 是 k 的 偶 T
An ak bk
2
2
函数
bk n arctan ak
是k的奇函 数
3 信号的频域分析
2.基本形式
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 离散周期信号的基本形式可以表示为：
1 n
f1 (t )
(t nT )
n
重复性、定义域、n、周期等四个要素
3 信号的频域分析
§3.1.1 周期信号的展开（ expansion ）
离散周期信号：
f (n) f (n iN ); n (, ); i 0, 1, 2, ; N C f (n iN )
jk0 t0 jk
有 fT ( t -t0 ) e
C( jk0 ) 2 C( jk ) N
f N ( n n0 ) e
2 n N 0
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
3. 比例特性
若
2 fT ( t ) / f N ( n ) C( jk0 ) / C( jk ) N jk t 0 1 T 2 a
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
周期信号的傅立叶级数展开
mn mn0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
2
指数函数集
{e
jn 0 t
}(n 0, 1, 2, }
T
0
在区间 (t , t T ) 内也是一完备正交函数集。 0 0 正交性:（m 和 n 都是整数）
t0 T
e
j n0t
e
jm0t
dt
t0 T
e
j ( n m )0t
n 1, 2,3, n 1, 2,3,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
例： 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数
f t
A
解： 直接代入公式有
T 2
T
2
2
T
t
n sin 0 1 1 2 - jn0t A 2 = A Sa n 0 Fn f (t )e - jn0t dt Ae dt n 0 T T T T T 2 2 2 2
2
c
信号的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
2 0~ 包含信号主要频谱分量的 这段频率范围称为矩形脉冲
Bf
1
或
B
2
信号与系统
二、周期信号的频谱与功率谱
周期信号频谱的特点： (1)离散性——谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱； (2) 谐波性——谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍； (3) 收敛性——谱线幅度随
直接代入公式有
an
2 T
T 2
f (t ) cos n0 tdt
0
周期信号的频谱
例题：O tf (t )T /31-TT如右图所示的周期性矩形脉冲信号（周期为T ）经过一个低通滤波器，求其响应及响应的平均功率。
已知该滤波器的传递函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<-≤=--时时时T T e T T e j H j j ωππωππωπωωωτωτ6,063,3/23,分析：周期信号可以分解成直流、基波、高次谐波等分量每个分量经过滤波器 复数解法解：求傅立叶系数：⎰-=3/001T tjn n dt eTC ωO tf (t )T /31-TT令ω0=2π/T3/0001T t jn eTjn ωω--=3/3sin 31ππjn e n c -⎪⎭⎫ ⎝⎛=3100==C A 2nj n n A eC ϕ=~基波和n 次谐波的复数表示低通滤波器只通过低于3ω0的信号，因此信号中只有直流、基波和二次谐波分量通过。
输出信号中的直流分量为：()3100==ωωj H A解：输出信号中的基波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω0013/13sin 32+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=j j e c j H eA 输出信号中的二次谐波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω00223/22232sin 94+-=⎪⎭⎫⎝⎛=j j e c j H e A 输出信号的时域表达式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+τωπωπτωπωπ00002322cos 32sin 943cos 3sin 3231t c t c 输出信号的平均功率为：280.02sin 41sin 211222≈⎥⎤⎢⎡⎪⎫⎛+⎥⎤⎢⎡⎪⎫ ⎛+⎪⎫ ⎛=ππc c P out第三章：信号的频谱§3-1 周期信号的频谱§3-2 非周期信号的频谱密度 傅立叶变换与频谱密度信号的频谱分布与带宽基本信号的频谱密度§3-3 频谱分析的基本定理§3-4 采样定理傅立叶变换的引出如何从频域描述一个非周期信号？tf (t )傅立叶级数？——显然不行怎么办？退而求其次，先考虑描述函数在有限区间[a,b)上的一段吧tf a,b (t )a btf T (t )a b考虑有限区间周期扩展再扩展成周期T =b -a 的函数f T (t )f T (t ):周期函数~可以用傅立叶级数表示在区间[a,b)上与f (t ) 相同傅立叶变换的引出tf T (t )a b()(),1100dt et f Tdte tf T C tjn bat jn ba T n ωω--⎰⎰==()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++∈-++=∑∞-∞=b a t b f a f b a t t f t f eC n tjn n或,2)0(0,,2)0(00ω傅立叶级数只在区间(a,b ) 上收敛于f (t )，因此C n 并不是f (t ) 的复频谱如果f T (t ) 满足狄利克雷条件，则可以展开成傅立叶级数：定义：则：ω0=2π/T傅立叶变换的引出进一步，选取对称区间[-T /2,T /2)。
周期信号的频谱的特点
1周期信号的频谱的特点周期信号的频谱一个周期信号f(t),只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之 和。
其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。
不同的周 期信号，其展开式组成情况也不尽相同。
在实际工作中，为了表征不同信号的谐 波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱， 它是信号频域表示的一种方式。
描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。
根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单 边频谱和双边频谱。
1 单边频谱若周期信号f (t)的傅里叶级数展开式为式(3-15),即f(t) = A )-二 A nCoS(n 」t ：n )(3-24)n T则对应的振幅频谱A n 和相位频谱J 称为单边频谱。
例3-3求图3-4所示周期矩形信号f (t)的单边频谱图。
由f (t)波形可知，f (t)为偶函数，其傅里叶系数4 T/2冇〒0 f （t ）C0S n Jdt =b n =02sin （n 二 /4）a匚1 0∖ a n CoSn 「t = _ ∙ a^4nn若周期信号f (t )的傅里叶级数展开式为式(3-17),即则F n 与n 0所描述的振幅频谱以及F n 的相位ar CtanF n =S 与氏所描述的相位 频谱称为双边频谱。
例3-4画出图3-4所示矩形周期信号f (t)的双边频谱图形2sin(2 代cosrW因此AOA n2sin(n 二 /4)A =0.45 A 2 : 0.32 A 3 ： 0.15 A =0A 5 ■- 0.09A 6 ■ 0.106单边振幅频谱如图 3-5 所示。
0.450.32木 f(t)0.25'0.150.09第°6-4- /20 /24 a t图3 - 400筮尖尬眈 6⅛∕图3 - 5f(t)f(t∏ V F n e jntn =-oC ∣(3 - 25)解 由式(3-18)和图3-4可知A arcta nF n—I —■ ■ ∙~~~~• •~~•~■-5」--「0 门3」51图3-6从上例频谱图上可以看出，单边振幅频谱是指 代=2^与正n 值的关系，双 边振幅频谱是指F n 与正负n 值的关系。
功率谱 频谱计算
功率谱频谱计算摘要：一、引言二、功率谱和频谱的概念1.功率谱2.频谱三、功率谱和频谱的计算方法1.离散傅里叶变换（DFT）2.快速傅里叶变换（FFT）四、功率谱和频谱在实际应用中的意义1.在信号处理中的应用2.在通信系统中的应用五、总结正文：一、引言在信号处理和通信系统中，功率谱和频谱的计算是非常重要的。
它们可以帮助我们更好地分析和理解信号的特性。
本文将详细介绍功率谱和频谱的概念，以及它们的计算方法。
二、功率谱和频谱的概念1.功率谱功率谱是一种描述信号能量分布的函数，它反映了信号在不同频率下的能量大小。
功率谱通常用一个矩形图表示，横轴是频率，纵轴是信号的功率。
2.频谱频谱是信号在频域中的表示形式，它显示了信号在不同频率下的振幅和相位信息。
频谱通常用一个波形图表示，横轴是频率，纵轴是信号的振幅或相位。
三、功率谱和频谱的计算方法1.离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的算法。
它通过将信号分解成一组正弦和余弦函数的叠加，从而得到信号的频谱。
2.快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的快速算法。
它利用信号的对称性和周期性，将DFT 的计算复杂度从O(N^2) 降低到O(NlogN)。
四、功率谱和频谱在实际应用中的意义1.在信号处理中的应用功率谱和频谱在信号处理中被广泛应用，如滤波、信号识别、噪声抑制等。
通过分析信号的频谱，我们可以了解信号的频率成分，从而对信号进行适当的处理。
2.在通信系统中的应用在通信系统中，功率谱和频谱的计算对于信号调制和解调、信道估计、误码纠正等环节至关重要。
准确的功率谱和频谱分析可以提高通信系统的性能和可靠性。
五、总结本文介绍了功率谱和频谱的概念，以及它们的计算方法。
通过这些方法，我们可以更好地分析和理解信号的特性。
信号的频域分析
4 周期信号的频域分析 p 7
2. 三角形式的傅里叶级数
若 f (t)为实函数，则指数形式的系数必为(课本中已证明)：
f (t)
Cn
e jn0t
Cn
C
n
n=
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示为：
f (t) C0
1
Cn e jn0t
4 周期信号的频域分析 p 3
4 周期信号的频域分析 p 4
Fourier， 法国数学家、 物理学家。1768年3月21日生 于欧塞尔， 1830年5月16日 卒于巴黎。9岁父母双亡，被 当地教堂收养 。1798年随拿 破仑远征埃及时任军中文书 和埃及研究院秘书，1801年 回国后任伊泽尔 省地方长官。 1817年当选为科学院院士， 1822年任该院终身秘书，后 又任法兰西学院终身秘书和 理工科大学校务委 员会主席。
类似于此，在满足一定条件下，一般的信号也可以用一 个正交函数集中的函数来表示。傅里叶级数展开的思想类似 于此。
c2V2
c3V3
V
V3
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
o V1
V2
c2V2
c1V1
4 周期信号的频域分析 p 2
•理论已证明：
•三角函数集，{1, cos(n0t), sin(n0t)} n=0,1,2,…是一个完备
2 bn T0
t0 T0
t0
f (t) sin
n0t
dt
4 周期信号的频域分析 p 9
一、周期信号的傅里叶级数展开
3.*纯余弦形式的傅里叶级数：
其中
§3.3 周期信号的频谱
(3).系统的通频带>信号的带宽, (3).系统的通频带>信号的带宽,才能不失真 系统的通频带
300~3400Hz， 语音信号 频率大约为 ， 50~15,000Hz， 音乐信号 ， 扩大器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。 。
3.3.2 fT(t)的功率 的功率
为实信号在1欧姆电阻上消耗的平均功率为 设fT(t)为实信号在 欧姆电阻上消耗的平均功率为 为实信号在 欧姆电阻上消耗的平均功率为:
Eτ 当 1 →∞， ， 1 →0 T 时 Ω ， 为 限 ， 无 小 T 1 f (t ) 周 信 由 期 号→非 期 号 周 信 。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：
离散性，谐波性，收敛性 离散性，谐波性，
3．频带宽度
(1).问题提出
Eτ
Fn
T1
|F n| 2 1.5 1 0.4 0.2 0.2
π
2π 3π 4π 5π 6π
1.5 1 1 0.4
－ 6π－ 5π － 4π － 3π－ 2π － π o
(a)
ω
ϕ
45° 30°
n
45° 30° 20°
15°
10°
π
－ 6π－ 5π － 4π－ 3π － 2π － π
o
2π
3π
4π
5π
6π
ω
－10° －20° －30° －45°
Eτ
τ Eτ SanΩ1 F = n 2 T 1
F ( nΩ1 )
T1
Ω1 =
2π T1
2π
O
Ω1 2Ω1
τ
ω
Eτ 包络线形状： (1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在n = 0处，为 。 2π T1 4 第一个零点坐标： 离散谱(谐波性,收敛性) (3)离散谱(谐波性,收敛性) （ )第一个零点坐标：
频谱、幅度谱、功率谱和能量谱含义
频谱、幅度谱、功率谱和能量谱在信号处理的学习中，有一些与谱有关的概念，如频谱、幅度谱、功率谱和能量谱等，常常让人很糊涂，搞不清其中的关系。
这里主要从概念上厘清其间的区别。
对一个时域信号进行傅里叶变换，就可以得到的信号的频谱，信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。
这个关系倒还是简单。
那么，什么是功率谱呢？什么又是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？要区分功率谱和能量谱，首先要清楚两种不同类型的信号：功率信号和能量信号。
我们从一个具体的物理系统来引出能量信号和功率信号的概念。
已知阻值为R的电阻上的电压和电流分别为v(t) 和i(t)，则此电信号的瞬时功率为：p(t) = v2(t)/R = i2(t)R。
在作定性分析时，为了方便起见，通常假设电阻R为1欧姆而得到归一化(Normolized) 的功率值。
作定量计算时可以通过去归一化，即将实际的电阻值代入即可得到实际的功率值。
将上面的概念做一个抽象，对信号x(t) 定义其瞬时功率为|f (t)|2，在时间间隔(-T/2 T/2) 内的能量为:(1)该间隔内的平均功率为：p = E/T (2)当且仅当f(t)在所有时间上的能量不为0且有限时，该信号为能量信号，即(1)式中的T 趋于无穷大的时候E为有限。
典型的能量信号如方波信号、三角波信号等。
但是有些信号不满足能量信号的条件，如周期信号和能量无限的随机信号，此时就需要用功率来描述这类信号。
当且仅当x(t)在所有时间上的功率不为0且有限时，该信号为功率信号，即(2) 式中的T 趋于无穷大的时候p 为有限。
系统中的波形要么具有能量值，要么具有功率值，因为能量有限的信号功率为0，而功率有限的信号能量为无穷大。
一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。
将信号区分为能量信号和功率信号可以简化对各种信号和噪声的数学分析。
还有一类信号其功率和能量都是无限的，如f(t) = t，这类信号很少会用到。
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不变，T增大，谱线间隔
1
2 T
减小，谱线逐渐密集，幅度
A T
பைடு நூலகம்
减
小
当 T
1 0
A 0 T
非周期信号连续频谱
非周期信号 n1 连续频率
2.当T不变， 减小时
T不变
1
2 间隔不变
T
A 振幅为0的谐波频率
T
2
,
4
,......
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
不改变 不改变 不改变
Fn
2 T
2
f (t)dt
T
2 A
2
Adt
2
T
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
a 2 nT
T
2 T
2
f (t) cos n1tdt
2A sin n n T
2 A
T
sin n
T
n
2A Sa(n )
T
T
T
f (t)
A
T
2 A
T
n 1
Sa( n
T
)
cos(n1t )
A 2A
TT
S a(
立叶展开式并画出其频谱图。
1
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
Tt
f (t) 2 t T t T
T
22
f(t) 是奇函数，故 an 0
信号与系统
4
bn T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
4 T
T 2 0
2t T
sin
n1tdt
(1
2
T
)
An &n 2
2
T
8 T2
(
2
将A＝1，T＝0.25s， τ=0.05s，ω0 =2 π /T=8 π代入得
信号总平均功率为
Fn
1 Sa n0
5 40
T
1
P 1
2
f 2 (t)dt 1
2
40
f 2 (t)dt 4 12 dt 0.2000
T T
T
1
2
2
40
信号与系统
三、周期信号的功率谱
在有限带宽 0 ~ 2 内有直流分量、基本分量和四个谐波分量。
n
0
51 61
相位频谱图
101
tg b
1
n
a n
n
0
an > 0
an 0
A A e F n
n
j N 2
2A Sa( n1 )
nT
2
n
0
Sa( n1 ) 0 即
2
Fn>0
Sa( n1 ) 0 即
2
Fn<0
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
第四步：讨论频谱结构与 、T 的关系
1.当
1 T
2 T
f (t) Fne jn0t dt
n
2
2
T
n
Fn
1 T
2 T
f (t)e-jn0t dt
Fn Fn
n
n
Fn 2
T
2
即
P 1 2 T T
f (t) 2 dt
Fn 2
n
2
称为周期信号的帕什瓦尔(Parseval)定理。表明周期信号的
平均功率等于各个复指数信号分量的平均功率之和，即总平均
有限带宽内信号各个分量的平均功率之和为
4
P' F02 2 Fn 2 n1
(1)2 5
2 52
[Sa 2
(
5
)
Sa
2
(
2
5
)
Sa
2
( 3
5
)
Sa
2
(
4
5
)]
0.1806
P' 0.1806 0.904 90.4% P 0.2000
信号与系统
课程小结
主要知识点：
➢ 周期信号的频谱 ①单边谱：幅度谱，相位谱 ②双边谱：幅度谱，相位谱 ③单边谱vs.双边谱的关联
n1
2
) co s(n1t)
n1
第二步：展成指数形式傅立叶级数
f(t)
F e 1 nT
2
A
2
jn1tdt A Sa( n1 )
T
2
1
f
(t
)
S
(t)
sin t
t
e f (t) A Sa( n1 ) jn1t
T n
2
4 3 2 0
2 3 4 t
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
第三步：频谱分析
c os n1t
2 T
4
4
8 sin n
n2 2
2
8 2n2
n1
(1) 2
n为奇数
0
n为偶数
信号与系统
f
(t)
8
2
(1)n1
n2 j1
1 n2
sin
2n
T
t
j 1,2,
An &n
8
2
31 0 11
－8 9 2
8
25 2
51
信号与系统
一、周期信号的单边频谱
例：有一偶谐函数，其波形如
图所示，求其傅立叶展开式并画
号的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
Bf
1
或
B
2
信号与系统
总结：周期信号的频谱特点
周期信号频谱的特点：
(1) 离散性——谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱； (2) 谐波性——谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍；
(3) 收敛性——谱线幅度随 n 而衰减到零。各频谱的高度
信号与系统
§ 3.2 周期信号的频谱 和功率谱
信号与系统
基本概念：周期信号的频谱
1.周期信号的频谱 为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各 分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。
在傅立叶分析中，把各个分量的幅度 Fn 或 An 随频率或角频率 n0
的变化称为信号的幅度谱。
bn 4 T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
(1
2
T
)
4 T
[
T 4 0
4t T
sin
n1tdt
T
2 T
4
(2
4t T
)
s
in
n1tdt
T
]
16 T2
[(
t
n1
c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
4 0
T
T
(
t
n1
c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
2 T
]
4
Tn1
Sa( ) 0 2
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
计算第一个振幅为零的谐波次数n
令
n1
2
将 1
2
T
代入得
即 n T 5 （取 1 ）
T5
n2
2T
A
2 A
n
T
2
1 2131 41 51
幅度频谱图
1
4
4
3
2
Sa(t) sin t t
抽样函数
2 3 4
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
An
an 2 bn 2 an
2A Sa( n1 ) 2A Sa( n )
T
2
T
T
Fn
A
T
Sa( n1
2
)
A
T
Sa( n
T
)
An
与 T 之比值有关，取
1
T5
An
当
与 Fn 包络线均为 Sa( n1 )
, 2 ,...... n
2 时
2
n1 为离散频率
Sa( ) 0 2
即 2 , 4 ,...... 2n
而把各个分量的相位 n 或 n 随频率或角频率 n0 的变化
称为信号的相位谱。
幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。 三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱， 指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。
信号与系统
一、周期信号的单边频谱
f (t)
例：有一奇函数，其波形如图所示，求其傅
2 4t T t T
1
f (t)
T
4
2
4t T tT
T
4
4
T 2
TT
T
42
t
2 4t T
T t T
2
4
an 2 T
T
2 T
2
f
(t) cosn1tdt
2 T
[
T
4 T
(2
2
4t T
)
c
os
n1tdt
T 4 T 4
4t T
cosn1tdt
T
2 T
4
(2
4 T
t
)
c
osn1tdt]
0
信号与系统
f (t) E
出其频谱图。
0 TT T
42
t
解
an 2 ( T
T
4 0
E
c
osn1tdt
3T
4 T