§3.2 周期信号的频谱和功率谱

而把各个分量的相位 n 或 n 随频率或角频率 n0 的变化
称为信号的相位谱。
幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。 三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱， 指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。
信号与系统
一、周期信号的单边频谱
f (t)
例：有一奇函数，其波形如图所示，求其傅
bn 4 T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
(1
2
T
)
4 T
[
T 4 0
4t T
sin
n1tdt
T
2 T
4
(2
4t T
)
s
in
n1tdt
T
]
16 T2
[(
t
n1
c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
4 0
T
T
(
t
n1
c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
2 T
]
4
Tn1
二、周期信号的双边谱
例 f (t) A0 A1 cos(0t 1) A2 cos(0t 2 )
=
F0
F e-j0t 1
F1e j0t
F e- j20t 2
F2e j20t
An A1 A0
幅度谱
A2
F1 F2
Fn 幅度谱
F0 F1 F2
0 0 20 n0
a
n 1
相位谱
2
0 0 20 n0
b
单边谱
Fn T 2
0 2
Fn
T 4
0 Fn
2
T
6
0
2
当τ增大到τ=T时，则
Fn ASa(n)
n0
n0
n0
信号与系统
三、周期信号的功率谱
2.
周期信号的平均功率和功率谱 T
周期信号的平均功率为
P 1 2 f (t) 2 dt
T T
T2
T
根据傅立叶级数展开有 P 1 2 T T
f 2 (t)dt
Sa( ) 0 2
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
计算第一个振幅为零的谐波次数n
令
n1
2
将 1
2
T
代入得
即 n T 5 （取 1 ）
T5
n2
2T
A
2 A
n
T
2
1 2131 41 51
幅度频谱图
1
4
4
3
2
Sa(t) sin t t
抽样函数
2 3 4
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
号的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
Bf
1
或
B
2
信号与系统
总结：周期信号的频谱特点
周期信号频谱的特点：
(1) 离散性——谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱； (2) 谐波性——谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍；
(3) 收敛性——谱线幅度随 n 而衰减到零。各频谱的高度
2 T
2
f (t)dt
T
2 A
2
Adt
2
T
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
a 2 nT
T
2 T
2
f (t) cos n1tdt
2A sin n n T
2 A
T
sin n
T
n
2A Sa(n )
T
T
T
f (t)
A
T
2 A
T
n 1
Sa( n
T
)
cos(n1t )
A 2A
TT
S a(
不变，T增大，谱线间隔
1
2 T
减小，谱线逐渐密集，幅度
A T
减
小
当 T
1 0
A 0 T
非周期信号连续频谱
非周期信号 n1 连续频率
2.当T不变， 减小时
T不变
1
2 间隔不变
T
A 振幅为0的谐波频率
T
2
,
4
,......
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
不改变 不改变 不改变
Fn
n
0
51 61
相位频谱图
101
tg b
1
n
a n
n
0
an > 0
an 0
A A e F n
n
j N 2
2A Sa( n1 )
nT
2
n
0
Sa( n1 ) 0 即
2
Fn>0
Sa( n1 ) 0 即
2
Fn<0
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
第四步：讨论频谱结构与 、T 的关系
1.当
t
n1
c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
2 0
2 (1)n1
n
3
21 41
0 11
31
1
1
2
f (t ) 2 (1)n1 1 sin 2n t
n1
nT
信号与系统
一、周期信号的单边频谱
例：有一奇谐函数，其波形如图所示，求其
傅立叶展开式并画出其频谱图。
f (t)
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
A T
T 2
0
2
4
A Fn
T
T 4
0 A Fn T
2
T 8
0
2
随着T的增大，各条谱线 高度减小、谱线变密。 当T→∞时，则各条谱线 n0 高度→0 ，各谱线间隔也 →0 ，这时周期信号已转 化为非周期信号，离散 谱线变为连续谱线期信 n0 号的频谱
n0
信号与系统
T不改变 T不改变 T不改变
f (t) E
出其频谱图。
0 TT T
42
t
解
an 2 ( T
T
4 0
E
c
osn1tdt
3T
4 T
E cosn1tdt)
2
:
2E T
(
1
n1
sin
n1
T 4
1
n1
sin
n1
3T 4
1
n1
sin
n1
T 2
)
E (sin n sin 3n ) 0
n 2
2
信号与系统
bn 2 ( T
T
4 0
E
sin
n1tdt
3T
4 T
E sin n1tdt)
2
E (cosn 1 cos3n cosn )
n 2
2
E (1 cosn ) n
0 2E
n为奇数 n为偶数
n
f (t) 2E 1 sin 2n t
n2 j n
T
j 1、2、
An &n
E E
2 E 3
0
21 41 61
信号与系统
2
将A＝1，T＝0.25s， τ=0.05s，ω0 =2 π /T=8 π代入得
信号总平均功率为
Fn
1 Sa n0
5 40
T
1
P 1
2
f 2 (t)dt 1
2
40
f 2 (t)dt 4 12 dt 0.2000
T T
T
1
2
2
40
信号与系统
三、周期信号的功率谱
在有限带宽 0 ~ 2 内有直流分量、基本分量和四个谐波分量。
随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱 线的高度也无限减小
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
典型周期信号的频谱
T：脉冲周期
T
f t
A
22
T
t
A：脉冲幅度
：脉冲宽度
T 2 ：三角函数公共周期 1
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数
bn=0
a 2
0T
T
2
立叶展开式并画出其频谱图。
1
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
Tt
f (t) 2 t T t T
T
22
f(t) 是奇函数，故 an 0
信号与系统
4
bn T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
4 T
T 2 0
2t T
sin
n1tdt
(1
2
T
)
An &n 2
2
T
8 T2
(
➢ 周期信号的功率谱 Parseval定理(功率等式)
信号与系统
§ 3.2 周期信号的频谱 和功率谱
信号与系统
基本概念：周期信号的频谱
1.周期信号的频谱 为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各 分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。
在傅立叶分析中，把各个分量的幅度 Fn 或 An 随频率或角频率 n0
的变化称为信号的幅度谱。
0 20 0 0 20 n0
c
20 0
n
相位谱
1 2
0 0 20 n0
2 1 d
双边谱
信号与系统
二、周期信号的双边谱
周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为
频谱图：
Fn
幅度谱
若把相位为零的分量的幅度看作正值， 把相位为±π的分量的幅度看作负值，那 么幅度谱和相位谱可合二为一。
a
2 0
2 4
有限带宽内信号各个分量的平均功率之和为
4
P' F02 2 Fn 2 n1
(1)2 5
2 52
[Sa 2
(
5
)
Sa
2
(
2
5
)
Sa
2
( 3
5
)
Sa
2
(
4
5
wk.baidu.com
)]
0.1806
P' 0.1806 0.904 90.4% P 0.2000
信号与系统
课程小结
主要知识点：
➢ 周期信号的频谱 ①单边谱：幅度谱，相位谱 ②双边谱：幅度谱，相位谱 ③单边谱vs.双边谱的关联
1 T
2 T
f (t) Fne jn0t dt
n
2
2
T
n
Fn
1 T
2 T
f (t)e-jn0t dt
Fn Fn
n
n
Fn 2
T
2
即
P 1 2 T T
f (t) 2 dt
Fn 2
n
2
称为周期信号的帕什瓦尔(Parseval)定理。表明周期信号的
平均功率等于各个复指数信号分量的平均功率之和，即总平均
An
an 2 bn 2 an
2A Sa( n1 ) 2A Sa( n )
T
2
T
T
Fn
A
T
Sa( n1
2
)
A
T
Sa( n
T
)
An
与 T 之比值有关，取
1
T5
An
当
与 Fn 包络线均为 Sa( n1 )
, 2 ,...... n
2 时
2
n1 为离散频率
Sa( ) 0 2
即 2 , 4 ,...... 2n
n1
2
) co s(n1t)
n1
第二步：展成指数形式傅立叶级数
f(t)
F e 1 nT
2
A
2
jn1tdt A Sa( n1 )
T
2
1
f
(t
)
S
(t)
sin t
t
e f (t) A Sa( n1 ) jn1t
T n
2
4 3 2 0
2 3 4 t
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
第三步：频谱分析
2 4t T t T
1
f (t)
T
4
2
4t T tT
T
4
4
T 2
TT
T
42
t
2 4t T
T t T
2
4
an 2 T
T
2 T
2
f
(t) cosn1tdt
2 T
[
T
4 T
(2
2
4t T
)
c
os
n1tdt
T 4 T 4
4t T
cosn1tdt
T
2 T
4
(2
4 T
t
)
c
osn1tdt]
0
信号与系统
三、周期信号的功率谱
例：试求图示周期矩形脉冲在有效频带宽度 0 ~ 2 内谐波分量所具
有的平均功率占整个信号平均功率的百分比，其中已知 A=1, T=0.25s,
τ=0.05s。
f t
A
T
T
t
22
信号与系统
三、周期信号的功率谱
解：根据前面傅立叶级数展开，图示周期矩形脉冲的傅立叶系数为
Fn
A
T
Sa n0
c os n1t
2 T
4
4
8 sin n
n2 2
2
8 2n2
n1
(1) 2
n为奇数
0
n为偶数
信号与系统
f
(t)
8
2
(1)n1
n2 j1
1 n2
sin
2n
T
t
j 1,2,
An &n
8
2
31 0 11
－8 9 2
8
25 2
51
信号与系统
一、周期信号的单边频谱
例：有一偶谐函数，其波形如
图所示，求其傅立叶展开式并画
功率是各个分量平均功率之和
信号与系统
三、周期信号的功率谱
帕什瓦尔公式还可以写成
P
Fn
n
2
A02
1 2
n1
An2
周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波
分量的平均功率之和。
各平均功率分量 Fn 2 与频率的关系，称为周期信号的功率频谱，
简称功率谱。
周期信号的功率谱也是离散谱。
信号与系统
n0
相位谱
n
0
n0
b
Fn
0 2
n0
c
信号与系统
二、周期信号的双边谱
Fn
各条谱线顶点的联线称为谱线包络线。如
果把按抽样函数规律变化的频谱包络线看
成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰
称为主峰。
主峰高度
F0
A
T
包络主峰两侧第一个零点为
2
0 2
n0
c
0 ~ 2
包含信号主要频谱分量的
这段频率范围称为矩形脉冲信