第一章 量子力学基础习题1

ν=
c
λ
1 1 1 c c 2 E = mv = hν hν o = h h = hc λ λ 2 λ λo o
1 2
1 1 v= 2 h(v v0 ) / m = 2 × 6.626 × 10 34 × 3.0 × 10 8 400 × 10 9 600 × 10 9 = 6.03 × 10 5 ms 1
第一章 量子力学基础 习题课
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基本知识
一.光与实物粒子的波粒二象性
重要的实验现象: 1.黑体辐射:说明能量是量子化的, h = 6.626×1034 Js 2.光电效应:说明光具有粒子性, 光的干涉,衍射现象说明光具有波动性.
n nz2 h 2 E=( + 2 + 2) a b c 8m
2 x 2
2 ny
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立方箱:简并态:能量相同的不同状态; 立方箱:简并态:能量相同的不同状态; 简并度:能量相同的不同状态数. 简并度:能量相同的不同状态数. 3.刚性转子(平面) 刚性转子(平面)
习题
1.3计算波长 =400nm的光照射到金属铯上,金属铯所放 计算波长λ= 的光照射到金属铯上, 计算波长 的光照射到金属铯上 出来的光电子的初速度.已知铯的临阈波长为600nm. 出来的光电子的初速度.已知铯的临阈波长为 . Cs:λλ=400nm λCs=600nm求v.
ν =
c
λ
ν =
E=
u
λ
E = mc 2 p = mc
E = hν h p=
1 mv2+V( r ) 2 p = mv
λ
E = hν h p=
当粒子V(r)=0时 时 当粒子
hν = 1 u 1 m v2; h = m v2 2 λ 2 1 m vu = m v2;v= 2 u 2
λ
基本知识
二.量子力学的五个基本假定
则 Aψ 是算符 F 的本征函数;
(2)求证
F ( Bψ ) = (λ + 1) Bψ
[A, B] = 1 AB BA = 1 AB( Bψ ) BA( Bψ ) = Bψ ABBψ = Bψ + Bλψ = (λ + 1) Bψ F ( Bψ ) = (λ + 1) Bψ
2 d 2 变为: 变为: H = 2ma 2 dφ 2
体系的波函数变为: θφ)=cY(θφ θφ)=C Φ (φ ) 体系的波函数变为: ψ(rθφ θφ θφ
z
2 d 2 Φ (φ ) = EΦ (φ ) 薛定谔方程: 薛定谔方程 2 2 2ma dφ
θ
r
M ( x , y, z )
z
基本知识
2.算符: 微观体系的每一个可观测力学量(如能量 ,动量, 角动量,坐标,时间等)都与一个线性厄米算符 相对应.
线性算符 F [c1u1 ( x ) + c2u2 ( x ) + + cn un ( x )] = c Fu ( x ) + c Fu (x ) + + c Fu ( x )
1.9证明若 F = A B , [A , B ] = 1 .ψ 是算符 F 属于本征值 λ 的本征 证明若 ψ 是算符 F 属于本征值 函数,则 的本征函数, 函数 则 A λ 1 的本征函数 Bψ 是算 的本征函数. 符 F 属于本征值λ + 1 的本征函数 (1) 即求证 F ( Aψ ) = ( λ 1 ) Aψ
习题
1.4 求波长为 求波长为0.1nm的电子和中子的动能和动量. 的电子和中子的动能和动量. 的电子和中子的动能和动量
me = 9.11 × 10 31 kg
p = mv= h
m n = 1.675 × 10 27 kg
λ
v=
h mλ
(1)电子:
h 6.626 × 10 34 Js = v= me λ 9.11 × 10 31 kg × 0.1 × 10 9 m
A ψ i ≠ a iψ i a
∑ = ∑C
C i ai
2 i
2
=
∑c
i =1
n
2 i
ai
基本知识
三.简单应用
1.一维箱中粒子
ψ (x ) =
2 nπ sin x x a a
h2 2 E = nx 8ma 2
2.三维箱中粒子 三个方向一维箱的叠加. 三个方向一维箱的叠加.
nπ 8 nπ Ψ ( xyz ) = sin x x sin y sin z z abc a b c n yπ
第3条衍射线 n=3 3 r2=3.39cm
θ = 17.510
2θ = 34 .99 0
r( n = 2 ) = 2.5tg 2θ = 1.750 cm
习题
Fψ = λψ ABψ = λψ [A, B ] = 1 AB BA = 1 ABψ BAψ = ψ λψ BAψ = ψ BAψ = (λ 1)ψ ∴ F ( Aψ ) = ABAψ = A(λ 1)ψ = (λ 1) Aψ
基本知识
5.态叠加原理
为某一微观体系的可能状态, 若Ψ1, Ψ2, Ψi, Ψn为某一微观体系的可能状态,由 它们线性组合也是该体系的可能状态. 它们线性组合也是该体系的可能状态.
Ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2 + … cnψ n = ∑ ciψ i
i =1
n
式中Ci是任意常数,数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小.
1.波函数: ψ是体系中所有粒子坐标的函数, 也是时间的函数. Ψ(xyzt)= Ψ(x1y1z1,x2y2z2,t) 在化学中所有涉及的波函数均为定态波函数. 定态:几率密度不随时间t改变而变化. 物理意义:∣Ψ(r,t)∣2= Ψ* Ψ 在原子,分子等体系中,Ψ代表原子轨道或分子轨道,将Ψ* Ψ称为几率密度,即通常所说的电子云.
的本征值,ψ是算符 A
的本征函数(或 A
本征态),
ψ=aψ称为本征方程. A
Aψ ≠ aψ
则体系处于这个状态 时没有确定值, 时没有确定值,可计 算平均值. 算平均值.
a =< a >=
ψ (r ) Αψ (r )dτ ∫
ψ (r )ψ (r )dτ ∫
a =< a >= ∫ψ * (r ) Αψ (r )dτ (ψ是归一化的)
则 Bψ 是算符F 的本征函数.
习题
1.22 写出平面刚性转子的 写出平面刚性转子的Schrodinger方程,并求解. 方程, 方程 并求解. 考虑一围绕相距为 r的固定点的自由粒 的固定点的自由粒 子的运动,也就是被束缚在半径为 的球面 子的运动,也就是被束缚在半径为r的球面 上的自由粒子的运动. 上的自由粒子的运动.由于自由粒子在运动 不变, 过程中 r不变,故称为刚性转子. 不变 故称为刚性转子.
基本知识
4.Schrodinger方程
在量子力学中,决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger 方程:
Hψ (r ) = Eψ (r )
2 2 [ + V (r )]ψ (r ) = Eψ (r ) 2m 2m
实质是能量算符的本征方程. 解法:一维箱 精确求解 三维箱 分离变量法 平面刚性转子
1 1 2 2 n n
厄米算符 算符对易
* u1 Fu 2 dx = ∫ u 2 ( Fu1 )* dx ∫
[ A, B] = 0
ABu ( x) BAu ( x) = 0
若两算符对易,则二力学量同时有确定值.
基本知识
3.本征函数
Aψ = aψ
若某一力学量A的算符 A 作用于某一状态ψ后, 等于一常数a乘以ψ,则力学量A有确定值,a是 算符
θ:反射光(衍射线)与晶面之间的夹角,衍射角; α:2θ,反射光与入射光方向的夹角; d:晶体的面间距 h h n:衍射级数 λ= = p mv λ:电子的De-Broglie波长
基本知识
光与实物粒子的波粒二象性 光 波性 粒子性 二象性 实物粒子 u:实物粒子 : 波的传播速度 v:实物粒子 : 的运动速度
(2)中子:
En = 1.31 × 10
20
J
Pn = 6.63 × 10 24 Js / m
习题
1.6 用速度 =1×109 cm/s的电子进行衍射试验 若所用晶体 用速度ν= × 的电子进行衍射试验,若所用晶体 的电子进行衍射试验 粉末MgO的面间距离为 的面间距离为242pm,晶体粉末离底板距离为 粉末 的面间距离为 晶体粉末离底板距离为 2.5cm,求第 条和第 条衍射环纹的半径 求第2条和第 条衍射环纹的半径. 求第 条和第3条衍射环纹的半径
Ee =
1 m v2 = 6 .626 × 10 34 Js 2 = 2 .41 × 10 17 J
(
)
2
/ 2 × 9.11 × 10 31 kg × 0.1 × 10 9 m
(
)
2
Pe = h / λ = 6.626 × 10 34 Js / 0.1 × 10 9 m = 6.63 × 10 24 Js / m
A
x
z
θ
r
o
z
y
y
体系的能量 算符
x
P
2 1 2 1 = H [ 2 (r )+ 2 (sin θ ) 2m r r r r sin θ θ θ 1 2 + 2 2 ] + V (r ) 2 r sin θ φ
习题
因为是自由粒子, 因为是自由粒子,V(r)=0.又因为 .又因为r=a 因此体系的能量算符变为
Φ (φ ) = Φ (φ + 2π )
± i β (φ + 2π )
e
±i βφ
=e
三角函数形式: 三角函数形式
cos β φ ± i sin β φ = cos β (φ + 2π ) ± i sin β (φ + 2π )
习题
实部与虚部分别相等: 实部与虚部分别相等
cos β φ = cos β (φ + 2π )
Ek= hν -hν0 = h(ν - ν0 )=(1/2)mv2 W0=hν0 (脱出功,金属固有, ν0 临阈频率)
1 2 h h = mv λ λ0 2
c
c
基本知识
3.电子衍射:电子照射到晶体表面上时发生衍射,能够在 屏幕上获得明暗相间的环纹. 说明电子不仅具有粒子性,还具有波性.
Bragg公式: 2 d sin θ =nλ
nλ = 2d sin θ
其中θ为入射线与晶面的夹角
n h sin θ = nλ / 2 d = . 2 d mv
第2条衍射线, n=2时
sin θ = (2 × 6.626 × 10 34 Js) /(2 × 242 ×10 12 × 9.11× 10 31 kg × 1×107 ms 1 ) = 0.301
sin β φ = sin (φ + 2π )
若上式成立, 若上式成立,则:
β =n
β 2π = n 2π
n = 0,±1,±2,
n 2 2 E = 2 ma 2
β = n2
inφ
Φ (φ ) = ce
=
1 inφ e 2π
习题
1.26正方体箱中的粒子处于状态和时,其几率密度最大处的 正方体箱中的粒子处于状态和时, 正方体箱中的粒子处于状态和时 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面? 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面?表示这些节面 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分? 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分?你 能不能不用计算而直接得出这些答案? 能不能不用计算而直接得出这些答案?
2ma E 令:β = 2
2
E =
β
2
x
o
A
2
y
y
2 ma
x
P
习题
薛定谔方程: 薛定谔方程
d 2 Φ (φ ) + β Φ (φ ) = 0 2 dφ
2
特征根方程: 特征根方程 r + β = 0 特解: 特解
r = ±i β
Φ (φ ) = e
±i βφ
根据波函数的单值性: 根据波函数的单值性 即
1 1 2 2ma 2 E [ Y (θφ ) (sin θ )+ ]Y (θφ ) = 2 2 2 sin θ θ θ sin θ φ
习题
若刚性转子被束缚在平面上运动, 若刚性转子被束缚在平面上运动,即 r=a, θ=π/2 , sinθ=1 φ=02π, 体系的算符 θ π π
1 1 2 1 2 2 [ 2 (r )+ 2 H = (sin θ )+ 2 2 ] 2 2m r r r r sin θ θ r sin θ φ θ
2 1 1 2 H = [ (sin θ )+ ] 2 2 2 2ma sin θ θ θ sin θ φ
又因为r=a,体系的波函数 , 又因为 θφ)=R(r)Y(θφ θφ)=CY(θφ 薛定谔方程 θφ) ψ(rθφ θφ θφ θφ
2 1 1 2 [ (sin θ )+ 2 ]Y (θφ ) = EY (θφ ) 2 2 2ma sin θ θ θ sin θ φ