复合函数的单调性与不等式恒成立问题

复合函数的单调性与不等式恒成立问题

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1、对于（0，3）上的一切实数x ,不等式()122-<-x m x 恒成立，则实数m 的取值范围是 。

2、不等式a 220x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为 ．

3、不等式022

≥-+ax ax 的解集为φ，则a 的取值范围为 ．

4、当[]1,3x ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则a 的范围为 ．

5、当[]1,3a ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则x 的范围为 ．

6、已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-⎧==⎨--<-⎩

若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 .

6．若二次函数()()22

42221f x x p x p p =----+在区间[－1，1]内至少存在一实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围 （ ）

A ．121<<-p

B ．233<<-p

C ．3-≤p

D ．2

13-<<-p 8．若满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和同时成立的x 的值，使关于x 的不等式0

922<+-a x x 也成立，则

（ ）

A ．9>a

B ．9=a

C ．90≤

D ．9≤a 9．若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( )

A.(－∞，2]

B.[－2，2]

C.(－2，2]

D.(－∞，－2) 15．对于满足0≤p ≤4的实数p ，使342-+>+p x px x 恒成立的x 的取值范围是 ．

7、已知a ax x x f -++=3)(2

，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.

例1.若函数bx x a x f 1)1()(2++=，且3)1(=f ，2

9)2(=f ⑴求b a ,的值，写出)(x f 的表达式 ； ⑵判断)(x f 在),1[+∞上的增减性，并加以证明。

例4.已知f(x)=x

a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。

3.已知(],1x ∈-∞时，不等式()

21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

例3.不等式3

642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 8、对任意的1

[,1],2

x ∈函数()0322>-+=a a x a ax y 的图象均不在直线x y -=的上方，求a 的取值范围．

7．已知()x f 是R 上奇函数, ()[][)+∞=-,33,0,04与且在f 上分别递减和递增，则不等式()()042<-x f x 的解集为

18．已知关于x 的不等式（0)1(2)12()32<-+-++m x m x m 对任意R x ∈成立，求m 的取值范围。

19．定义在实数集上的单调函数)(x f 满足f(3)=log 23，且对于任意x,y ∈R ，都有f(x+y)=f(x)+f(y) 。若)239()3(+-<⋅x x x f k f 对任意 x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围。

9、已知定义在R 上函数f (x )为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意]1,1[-∈x 求实数m 范围，使()()224420f x f m mx -+-> 恒成立。

例2.设b

x f x x ++-=+1212)(（b a ,为实常数）是R 上的奇函数． (1)求b 的值并判断函数的增减性；

(2)对任何实数x 都有2

c )(2-

13.函数f (x )的定义域为D {}0x x =>, 满足: 对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且f (2)=1.

(1)求f (4)的值；

(2)如果(26)3,()(0,)f x f x -≤+∞且在上是单调增函数，求x 的取值范围.

11、定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意 D x ∈，存在常数 0>M ，都有M x f ≤)( 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界.已知函数2

1)(ax x x f ++=. (1) 当1-=a 时，求函数)(x f 在()0-，

∞上的值域，判断函数)(x f 在()0-，∞上是否为有界函数，并说明理由；

(2) 若函数)(x f 在[]4,1∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

1.（1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；

（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．

解：（1）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0m in >⇔x f ,

即(),04

42

min >+-=a a x f 解得04<<-a

（2）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3m in -≤⇔x f ,

即(),34

42

m in -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥

2. 若函数y =R 上恒成立，求m 的取值范围。 分析：该题就转化为被开方数2680mx mx m +++≥在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。

略解：要使y =R 上恒成立，即2680mx mx m +++≥在R 上 恒成立。

1 0m =时，80≥ 0m ∴=成立

2

0m ≠时，()()2036483210m m m m m >⎧⎪⎨∆=-+=-≤⎪⎩，01m ∴<≤ 由1 ，2 可知，01m ≤≤

5. 已知函数2()10f x x ax =++≥对于一切1(0,]2x ∈成立，求a 的取值范围。

解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t

+-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=

在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭

()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322

a ∴-<<

变题:已知函数y=()f x =

的定义域为R,求a 的范围.

例5.已知x ∈(-

时,不等式1+2x +(a-a 2)4x ＞0恒成立，求实数a 的取值范围。