圆的切点弦方程的求法探究
圆的切点弦方程公式推导过程
圆的切点弦方程公式推导过程圆的切点弦方程是描述圆的几何性质的重要公式之一。
它可以帮助我们求解圆与直线的交点，并进一步研究圆与直线的关系。
我们来看一下圆的切点的特点。
圆的切点是位于圆上的一个点，通过这个点可以画一条切线，这条切线与圆相切，也就是说切线只与圆的一个点相交。
假设圆的方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
我们要求解的是切点的坐标(x₀,y₀)。
现在，我们来推导切点弦方程。
首先，设切线的方程为y=kx+d，其中k是斜率，d是截距。
切线与圆相切，意味着切线与圆只有一个交点，也就是切点。
所以，我们可以将切线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
由于切点只有一个，所以这个二次方程的判别式(D=b²-4ac)应该为0。
将切线方程代入圆的方程，得到：(x-a)²+(kx+d-b)²=r²展开并化简上式，得到：(x²-2ax+a²) + (k²x²+2kdx+d²-2bky-2bkx+b²)=r²合并同类项，得到：(1+k²)x² + (2kd-2bk)x + (a²+d²-2bky+b²-r²)=0这是一个关于x的二次方程，判别式为0。
所以，我们可以得到：(2kd-2bk)²-4(1+k²)(a²+d²-2bky+b²-r²)=0化简上式，得到：(4k²+4)(b²-r²)+(4d²-8bky+4a²-4r²)=0再进行整理，得到：4k²b²-4k²r²+4b²-4r²+4d²-8bky+4a²=0上式中的k、b、r、d都是已知的数值，所以这是一个关于y的一元二次方程。
圆的切点弦方程公式推导过程
圆的切点弦方程公式推导过程圆的切点弦方程是解决圆与直线的交点问题的一个重要工具。
在数学中，我们经常遇到这样的问题：给定一个圆和一条直线，求直线与圆的交点。
圆的切点弦方程就是用来求解这个问题的。
我们来看一下圆与直线的交点特点。
当直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点，这个交点就是圆的切点。
因此，我们只需求解直线与圆的交点个数即可确定直线与圆的位置关系。
设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
设直线的方程为y=kx+d，其中k为直线的斜率，d为直线的截距。
当直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点。
我们可以通过判断直线与圆的切点个数来确定直线与圆的位置关系。
根据数学知识，直线与圆的切点个数可以通过直线与圆的判别式来计算。
直线与圆的判别式为：D=(k·a-b+d)²-(k²+1)(a²+b²-r²)，当D=0时，直线与圆相切；当D>0时，直线与圆相交；当D<0时，直线与圆没有交点。
通过求解直线与圆的判别式，我们可以得到直线与圆的位置关系。
如果判别式D=0，那么直线与圆相切，此时直线的方程即为圆的切点弦方程。
求解圆的切点弦方程的步骤如下：1. 设定圆的方程和直线的方程；2. 计算直线与圆的判别式D；3. 判断判别式D的值，如果D=0，则直线与圆相切，此时直线的方程即为圆的切点弦方程。
通过使用圆的切点弦方程，我们可以方便地求解圆与直线的交点问题，进而解决一系列相关的几何问题。
这个方程的推导过程虽然有些复杂，但是通过理解和掌握它，我们可以更好地应用它来解决实际问题。
过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式
过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式在几何学中，我们经常需要求解过一点作圆的两条切线的切点所确定的弦的方程公式。
让我们来探讨一下这个问题。
设有一个圆，以O表示圆心，r表示半径。
选取圆上的一点P，且过P分别作圆的两条切线，与圆交于A和B两点。
我们的目标是求解弦AB的方程公式。
我们需要找到切点A和切点B的坐标。
由于A和B都是切点，所以AO和BO都是圆的半径，即长度为r。
设圆心O的坐标为(Ox, Oy)，点P的坐标为(Px, Py)。
根据切线的定义，切线与半径的夹角是直角。
因此，我们可以利用斜率来求解切线的方程。
通过在线段OP上选择另一点Q，我们可以计算出斜率K1。
然后，根据切线的性质，我们可以得知切线的斜率K2等于-K1的倒数。
已知点A的坐标为(Ax, Ay)，它位于切线的直线上，有斜率K2。
我们可以利用点斜式得到切线的方程：y - Ay = K2(x - Ax)同样地，点B的坐标为(Bx, By)，我们可以得到切线的另一个方程：y - By = K2(x - Bx)现在，我们可以尝试求解AB弦的方程了。
弦AB的中点坐标为(Mx, My)，它等于A和B坐标的平均值。
所以我们有：Mx = (Ax + Bx) / 2My = (Ay + By) / 2已知弦的中点坐标，我们可以得到弦的方程：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式为：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)希望以上内容能够满足任务名称描述的内容需求。
如有任何问题，请随时提问。
切线方程和切点弦所在直线方程
（一）圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法：设圆心为C ，切点为),(00y x P ，根据CP ⊥切线，便可得到切线的斜率，再根据“点斜式”，即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ，求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法：设出切线方程，由“圆心到切线的距离等于半径”，可解出斜率.注：先考虑切线的斜率是否存在！【例2】求过点)32-(，A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程（二）圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”？如图，过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为B A ,，则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程？以P 为圆心，PA （PB ）为半径作圆P ，则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦，于是我们只需求出圆P 的方程，再将它与圆C 的方程相减，即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x Q ，PB PA ,是圆Q 的切线，求直线AB 的方程.【例4】（山东高考）过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线，切点分别是B A ,，则直线AB 的方程是（ ）34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为，点)1,4(--P ，过点P 作圆的切线PB PA ,，求直线AB 的方程.。
切线方程和切点弦所在直线方程
（一）圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法：设圆心为C ，切点为),(00y x P ，根据CP ⊥切线，便可得到切线的斜率，再根据“点斜式”，即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ，求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法：设出切线方程，由“圆心到切线的距离等于半径”，可解出斜率.注：先考虑切线的斜率是否存在！【例2】求过点)32-(，A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程（二）圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”？如图，过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为B A ,，则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程？以P 为圆心，PA （PB ）为半径作圆P ，则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦，于是我们只需求出圆P 的方程，再将它与圆C 的方程相减，即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x Q ，PB PA ,是圆Q 的切线，求直线AB 的方程.【例4】（山东高考）过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线，切点分别是B A ,，则直线AB 的方程是（ ）34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为，点)1,4(--P ，过点P 作圆的切线PB PA ,，求直线AB 的方程.。
圆的切点弦方程
圆的切点弦方程
上篇圆的切线方程的小公式讲的是过圆上一点的切线
问题，现在说说过圆外一点的切线问题. 以下面这道题为例. 显然，点M在圆外部.我们利用d=r来建立方程求解. 如何设直线方程呢？已知点M，当然设点斜式啊.可是，斜率一定存在吗？所以我们应该首先考虑斜率不存在的情况.
然后再考虑斜率存在的情况.
这道题不难，但是容易漏掉第一种斜率不存在的情况. 检查的方法就是记住这一点：过圆外一点作圆的切线有2条.如果你计算正确且只解出一条切线来，一定是漏掉了斜率不存在的情况.
观察上图，从M出发的切线有两条，设切点分别为A和B，连接AB，我们称AB为圆的切点弦.顾名思义，切点弦就是连接两切点得到的弦. 切点弦所在的直线的方程是什么呢？我们作一个一般化的推导.
研究过程中用到了圆的切线方程的小公式中的结论.
大家发现，这个结论和圆的切线方程的小公式中的结论有些类似. 区别在于：
当然，如果圆心不在原点，类比圆的切线方程的小公式，有这样的结论.
如果圆的方程为一般式，同样类比圆的切线方程的小公
式，也有这样的结论.
我们现学现卖，练下面一道题，体会一下这个公式好不好用？
审完题，判断求解的是切点弦所在直线的方程，可以用上述公式.
最后来看一道浙江省高中数学竞赛题.
分析：PQ为切点弦，考虑使用切点弦所在的直线方程.垂直关系可翻译为向量的数量积为零.
小结：1.点在圆上，小公式对应的是切线方程；2.点在圆外，小公式对应的是切点弦所在的直线方程；3.小公式如何记忆：对称原则，即把圆方程中的x和y保留一半，替换一半.。
怎样求圆的切点弦方程
一道课本习题告诉你——怎样求圆的切点弦方程舒云水下题是人教A 版必修2第133面的B 组第5题：已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(22=-+-y x ﹒⑴画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆，再求出它的方程；⑵作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ﹒直线PA ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？⑶求直线AB 的方程﹒本题实质上告诉了我们求下面问题的一种简便方法：问题：过⊙Q 外一点P ，作⊙Q 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点﹒求过两切点A ，B 的直线方程﹒（本文将两切点的连线段称为切点弦，求切点弦方程即为求切点弦所在直线的方程）思路方法：1. 第一步，求出以线段PQ 为直径的圆的方程；2. 第二步，将两圆方程相减便可得到所求直线的方程﹒让学生解决上面第5问题时，不少学生都这样做：先求出两切线方程，再求出两切点坐标，最后求出直线方程﹒这样做，运算很复杂，不可取，上面课本上求出的方法很简便，我们应该掌握好，会用它解决相关问题﹒下面高考题是这类问题：（2013年山东高考题）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）032=-+y x（B ）032=--y x （C ）034=--y x（D ）034=-+y x解法1：用上面方法﹒ 以点)1,3(和)0,1(为直径两端点的圆的方程为：45)21()2(22=-+-y x ﹒ 将两圆标准方程化为一般方程得：0222=-+x y x ，03422=+--+y x y x ﹒ 将两圆一般方程相减得直线AB 的方程为：032=-+y x ﹒选A ﹒ 解法2：易知点)1,1(为其中一切点，不妨设该点为点A ﹒过点)1,3(和圆心)0,1(的直线的斜率为21，所求直线AB 的斜率为-2，直线AB 的方程为：)1(21--=-x y ，即032=-+y x ﹒选A ﹒下面给出一个结论，用它做更简单﹒结论 过圆外一点),(00y x P ,作圆222)()(r b y a x =-+-的两条切线，则经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒证：以点P 和圆心),(b a 为直径两端点的圆的方程为：()()[]202020204122y b x a y b y x a x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-﹒ 展开得：0)()(002002=++-+++-by y y b y ax x x a x ①将222)()(r b y a x =-+-展开得：2222222r b by y a ax x =+-++- ②②-①得：2200200r b by by y y a ax ax x x =+--++--，200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒所以经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒解法3：根据上面结论可直接得所求直线方程为：y x ⨯+--1)1)(13(=1，即即032=-+y x ﹒选A ﹒点评：上面结论不需记忆，作一个知识了解即可﹒解法2比解法1简单﹒解法2的关键是要根据点)1,3(的特殊位置，观察出其中一个切点坐标为)1,1(﹒若它的位置不特殊，用这种解法行不通，可以说是一种特殊方法﹒我们在平时学习解题时，一方面要重点扎实掌握通性通法，对一些问题作深入探究，得出一般性结论；另一方面，要具体问题具体分析，根据题目特点灵活运用不同的方法求解，方法越简单越好，可为考试赢得宝贵的时间！Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
关于圆的切点弦所在直线的方程问题
高中数学 网上答疑 王新敞
关于圆的切点弦所在直线的方程问题
问题：过点(2,3)M 的直线与圆221x y +=相切于A,B 两点，求直线AB 的方程 解法一：设A,B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则经过1122(,),(,)x y x y 的圆的切线分别为：111x x y y +=与 221xx yy +=，并且相交于点(2,3)M 所以，11231x y +=且22231x y +=
从而得直线AB 的方程：23x y +=
解法二：由题意O,A,M,B 四点共圆，且是以OM 为直径的圆C ， 由O(0,0),M(2,3)得这个圆C 的方程为：(2)(3)0x x y y -+-= 即 22230x y x y +--=
则直线AB 就是圆22230x y x y +--=与圆221x y +=的公共弦所在直线， 其方程为：
2222(1)(23)0x y x y x y +--+--=
即 231x y +-=
解法三：用已知公式(结论)：
点00(,)A x y ，由圆C 的方程220x y Dx Ey F ++++= 得， 直线方程：0000022
x x y y x x y y D E F ++++++= ① 当点00(,)A x y 是圆C 上的点时，①表示圆C 在点00(,)A x y 处的切线； 当点00(,)A x y 是圆C 外的点时，①表示从点00(,)A x y 向圆C 所引切线的两个切点所在的直线(切点弦所在直线)
根据以上结论，过点(2,3)M 的直线与圆22
1x y +=相切于A,B 两点，直线AB 的方程为：231x y +=
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圆的切点弦方程推导三种方法
切点弦方程的推导方法主要有三种，分别是：方法一：利用切线性质和切线方程推导1. 设切点为 $P(x_0, y_0)$，切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。
2. 将切线方程代入圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，得到 $(1 + k^2)x^2 + 2k(y_0 - kx_0)x + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = 0$。
3. 由于 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，因此 $x_0$ 是上述方程的根，即 $(1 + k^2)x_0^2 + 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = 0$。
4. 整理得到切点弦方程为$(1 + k^2)x_0^2 + 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = r^2$。
方法二：利用切线性质和切点坐标推导1. 设切点为 $P(x_0, y_0)$，切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。
2. 将切线方程代入圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，得到 $(1 + k^2)x^2 - 2k(y_0 - kx_0)x + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。
3. 由于 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，因此 $x_0$ 是上述方程的根，即 $(1 + k^2)x_0^2 - 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。
4. 整理得到切点弦方程为$(1 + k^2)x_0^2 - 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。
方法三：利用切线性质和圆心坐标推导1. 设切点为 $P(x_1, y_1)$，切线方程为 $y - y_1 = k(x - x_1)$。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。
222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。
223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。
224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。
+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。
切点弦公式
切点弦公式切点弦公式：xx0+yy0=r²。
切弦亦称切点弦，是一条特殊弦。
从圆外一点向圆引两条切线，连结此两切点的弦称为切弦。
圆心与已知点点连线垂直平分切弦。
切点弦方程公式解析过圆x +y =r 外一点P(x0，y0)作切线PA，PB，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切点，则过AB的直线xx0+yy0=r ，称切点弦方程。
证明：x +y =r 在点A，B的切线方程是xx1+yy1=r ，xx2+yy2=r∵点P在两切线上∴x0x1+y0y1=r ，x0x2+y0y2=r此二式表明点A，B的坐标适合直线方程xx0+yy0=r ，而过点A,B的直线是唯一的∴切点弦方程是xx0+yy0=r说明：切点弦方程与圆x +y =r 上一点T(x0，y0)的切线方程相同。
过圆(x-a) +(y-b) =r 外一点P(x0，y0)作切线PA，PB，切点弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r 。
切点弦方程的概念切弦亦称切点弦，是一条特殊弦。
从圆外一点向圆引两条切线，连结此两切点的弦称为切弦。
切点弦方程的性质圆心与已知点点连线垂直平分切弦，如图，P 是圆外一点，PA，PB 与⊙O 相切，切点是A，B，AB 是切弦，此时，OP 垂直平分AB。
切点弦方程证明设圆上一点A为（x0，y0）,则该点与圆心O的向量OA(x0-a,y0-b）因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0。
设直线上任意点B为(x,y)则对于直线方向上的向量AB(x-x0,y-y0)有向量AB与OA的点积。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。
例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解同样适用。
在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M ...)(,.11200220202020000000000r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--=--=∴=-=⋅ 解法二：利用向量求解()...)(0PM OM ),(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-⨯+-⨯∴=•∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）解法三：利用几何特征求解用。
重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PMOM y x P y x M ...)()(),(),(220022020202000222020202022200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥图1图2解法四：用待定系数法求解1、 利用点到直线的距离求解程同样适用。
当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得 代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为 ⑵化简整理得： 到切线的距离等于半径原点 ⑴即：则直线方程为：为设所求直线方程的斜率...202)(1)0,0(O 0),(,20022020202000002000220220202020022022000000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r k kx y kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=+-=-+--=-2、 利用直线与圆的位置关系求解：程同样适用。
圆的切点弦方程推导
圆的切点弦方程推导稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊圆的切点弦方程推导，准备好跟我一起探索这个有趣的数学世界了吗？想象一下，有一个圆乖乖地待在那。
咱们先随便在圆外找一个点，然后过这个点向圆引两条切线。
这两条切线和圆相切的那两个点，把它们连起来，这条线就是切点弦啦！那怎么推导它的方程呢？咱们先设圆的方程是$(x a)^2 + (y b)^2 = r^2$，圆外的那个点是$(x_0, y_0)$。
然后呢，因为那两条切线都过点$(x_0, y_0)$，所以把这个点代入切线方程，就能得到两个式子。
把这两个式子相减，经过一番巧妙的化简，就能得出圆的切点弦方程啦！是不是感觉很神奇？数学的世界就是这样充满惊喜！好啦，今天关于圆的切点弦方程推导就讲到这，希望大家都能有所收获哦！稿子二嘿，朋友们！咱们又见面啦，今天来一起琢磨琢磨圆的切点弦方程推导。
先来讲讲什么是切点弦，其实就像是圆的两个小护卫，从圆外一点引两条切线，它们和圆接触的那两点连起来的线就是切点弦。
那怎么找出它的方程呢？假设圆的方程是$(x m)^2 + (y n)^2 = R^2$，圆外那个点设为$(x_2, y_2)$。
咱们先从简单的开始，想想圆上一点的切线方程怎么求。
这可得好好动脑筋，别怕，跟着我一步一步来。
经过一番捣鼓，求出切线方程后，因为这两条切线都过点$(x_2, y_2)$，所以把这个点代进去，就有了两个关系。
再接着，咱们对这两个关系动动手脚，就像变魔术一样，通过一些化简和运算，圆的切点弦方程就呼之欲出啦！怎么样，是不是觉得数学也没那么可怕，反而有点有趣呢？希望大家都能喜欢上这种推导的过程，感受数学的魅力！好啦，今天就聊到这，下次再见哟！。
圆的切线和切点弦方程的公式求法
圆的切线和切点弦方程的公式求法1圆的切线的求法圆的切线方程的求法，除一般解法外，本文探索一种公式法求切线，使求切线的方法更加完美。
定理：已知点p (m n),圆C:( x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2。
当p( m，n )，在圆 C 上时，过p 的切线方程为：( m-a)( x-a ) +( n-b ) ( y-b )= r2当p (m n)在圆C外时，若丨m -a |^r时，过点p的两条切线的斜率为：若|m-a | = r时，过点p的一条切线的斜率不存在，切线方程为x=m，另一条切线的斜率为：证明：1)当p (m n)在圆C上时，易得过p的圆的切线方程为：( m-a)( x-a ) +( n-b )( y-b ) = r2 。
2)当p( m，n) 在圆C外时，(m-a) 2+ (n-b ) 2>r2。
设过P与C相切的直线的斜率为K,则有：y-n=k (x-m)即：kx-y-mk+n=0由于圆心到直线kx-y-mk+n=0 的距离等于圆的半径，得即：两边平方，整理得[ ( a-m) 2-r2]k2+2 ( n-b )( a-m) k+ (n-b ) 2-r2=0 (*) 若|m-a|zr 时，△ =4r2[ ( m-a) 2+ (n-b )2-r2] ，所以特别地，当a=b=O时若|m-a | =r时，一条切线的斜率不存，切线方程为x=m,另一条切线的斜率由方程(*)式得。
特别地，当a=b=0时，例1从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2，3)向该圆引切线，求切线方程。
解T a=b=1, r=1 , m=2 n=3,且|m-a | =r 二圆的一条切线为x=2，另一条切线的斜率由公式得K==所以，另一条切线为y-3= (x-2 )即3x-4y+6=0例2 ：已知圆C： (x-a)2+(y+3) 2=9及圆外一点P(2，2),求过点P的圆的切线方程。
解.a=2, b=-3 , r=3 , m=2 n=2 且m - a 工r二由公式得k=±二圆的切线方程为y- 2=±( x-2 ) 即4x-3y-2=0 或4x+3y-2=02切点弦方程的求法问题：从圆外一点作圆C：(x-a) 2+(y-b) 2=r2 的切线PA PB A B为切点，求直线AB的方程。
点关于圆的切点弦方程的探求
点关于圆的切点弦方程的探求
圆的切点弦方程是对圆的深入理解的一种方式，在我们的日常生活中，我们接
触到的圆的切点弦方程体现在很多方面，以下整理了有关圆的切点弦方程的几种探求方法。
所谓圆的切点弦方程，即指由圆心到圆上任一切点的距离，就是固定的一个值，可用弦长表示，此时，对于任何一个圆，都有具体的切点弦方程，其公式为
{x^2+y^2=r^2}，其中，x为圆心到切点的横坐标，y为圆心到切点的纵坐标。
首先，可以先根据圆心位置和半径确定圆的切点弦方程，即以圆心的位置作为
原点，圆的半径即为弦的长度，确定后带入切点弦方程即可。
其次，可根据圆上的给定点，求解出其他点的坐标，即求出圆心到切点的距离，然后带入切点弦方程，进行积分求出。
最后，可从圆的切点弦方程出发，进行反推，求出圆心的位置和半径。
圆的切点弦方程不仅涉及数学的角度，也应用于我们的日常生活中，如工业生产、建筑设计等，中，都有各自的圆的切点弦方程的运用，积极的研究与探索，可以帮助我们更好的学习与运用。
总之，圆的切点弦方程是一种深入理解圆的概念，用于探求圆形相关事物的有
效方式，无论是从数学角度，或从实际应用角度，都有着重要且重要的作用。
切点弦公式的推导
切点弦公式的推导
我们要推导切点弦公式。
首先，我们需要了解切点弦是什么。
切点弦是指过圆上某一点的直径的两个端点与圆上其他任意一点所连的弦。
假设圆心为 O(a,b)，圆上一点为 P(x0,y0)，那么切点弦的方程为：
(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = 0
为了推导这个公式，我们首先需要知道一个点和一条直线的距离公式。
点到直线距离公式：d = Ax0 + By0 + C / sqrt(A^2 + B^2)
其中，Ax + By + C = 0 是直线的方程。
对于圆心 O(a,b) 到切点弦的垂直距离就是圆的半径 r，所以：
r = (x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) / sqrt((x0 - a)^2 + (y0 - b)^2)
由于 r 是圆的半径，所以 r^2 = (x0 - a)^2 + (y0 - b)^2。
将 r^2 的表达式代入上面的方程，我们可以得到切点弦的方程。
经过推导，我们得到切点弦的方程为：
(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = x^2 + y^2
或者写作：
(-a + x)(-a + x0) + (-b + y)(-b + y0) = x2 + y2。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程x2 + + 氐 + Ey + F = 0 兀2 +〉,2 +Ox + Ey + F = 0下过圆上一点P(x0,y0)的切线方程为:(x0 -a)(x-«) + (y0-b)(y-b) = r2；在一般方程x2 + y2 + Dx + Ey + F=O ( £>2 + E2-4F > 0)下过圆上一点P (“，儿)的切线方程为：g + 畑 + Q 丁 + E，+ F = O。
2、两相交圆x2 + y2 +D l x + E[y + F i =0 (D,2 +E,2 -4^ >0)与x2+y2+D2x+E2y + F'2 =0 ( D/+ £：/-4F2 > 0 )的公共弦所在的直线方程为:(卩—D2)X + (E, 一色"+ (耳_坊)=0 o3、过圆x2+y2+DA+£\^ + F = 0 ( D2+E2-4F>0 )外一点P(册，戸)作圆的切线，其切线长公式为：I PAI= J# +y； +D勺+础+F。
4、过圆x2 +y2 +Dx + Ey + F = 0( D2 + E2-4F > 0 )外一点P(“，yJ作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：(x, - a)(x- a) + (y, -b)(y -b) = r2(在圆的标准方程下的形式)：m+o宁+ £甘+ 一。
(在圆的-般方程下的形式)。
二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4 = 0外一点P (-4, -1),过点P作圆的切线PA、PB.求过切点A. B的直线方程。
圆的切点弦方程公式推导
圆的切点弦方程公式推导
设圆的方程为：$\textbf{C}: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
我们可以假设直线的斜率为$k$，并设直线与圆的切点坐标为
$(x_0,y_0)$。
由直线的斜截式方程可得：$y-y_0=k(x-x_0)$
将上式代入圆的方程，得到：
$(x-a)^2+[k(x-x_0)+y_0-b]^2=r^2$
化简上式，可得：
$(1+k^2)(x^2+(1-k^2)x_0+(y_0-b)^2-r^2)+2(k(y_0-b)-
ka)x+(x_0^2+(y_0-b)^2-r^2) = 0$
由于直线与圆相切，所以该方程的根只有一个，即只有一个解。
这意味着判别式$D=B^2-4AC=0$。
将方程的系数代入判别式的公式中，可得：
$(2k(y_0-b)-2ka)^2 - 4(1+k^2)(x_0^2+(y_0-b)^2-r^2) = 0$
化简上式，可得：
$k^2a^2-a^2+r^2-b(y_0-r)=0$
整理上式，可得：
$k^2 = \frac{a^2-r^2+b(y_0-r)}{a^2}$
由于直线的斜率$k$可以取任意值，所以我们可以将上式写为：
$a^2(a^2-r^2+b(y_0-r))=0$
这就是切点弦方程的推导过程。
需要注意的是，这个切点弦方程只适用于与圆相切的直线。
如果直线与圆相交或者平行，都不能使用该方程进行求解。
总结起来，圆的切点弦方程公式的推导过程主要是基于直线的斜截式方程和圆的方程，在求解切点的坐标后，利用判别式为0的条件得到方程的系数，最终得出切点弦方程。
圆的切点弦方程公式推导过程
圆的切点弦方程公式推导过程
圆的切点弦方程是解决圆与直线的交点问题的重要工具。
它可以帮助我们确定圆上的一个点，使得这个点与直线的连线是该圆的切线，并且与该圆的切点处的切线垂直。
假设有一个圆，它的圆心坐标为（a，b），半径为r。
现在要求这个圆上的一个点（x，y），它与直线y=kx+b相切。
我们可以利用切点弦方程来解决这个问题。
我们需要确定切点坐标（x0，y0）。
根据圆的性质，切线与半径垂直，所以切线的斜率等于直径的斜率的负倒数。
直径的斜率为k1=（y0-b）/（x0-a）。
接下来，我们利用切线与直线相切的条件，即切线与直线的斜率相等。
直线y=kx+b的斜率为k。
我们将这两个斜率相等的条件代入切线的斜率，得到k=k1，即k=（y0-b）/（x0-a）。
然后，我们将直线的方程代入到切线方程中，得到y=kx+b，将k代入后得到y=（（y0-b）/（x0-a））x+b。
我们将这个方程与圆的方程代入，得到（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
将y代入后得到（x-a）^2+（（（y0-b）/（x0-a））x+b-b）^2=r^2。
通过化简这个方程，我们可以得到一个关于x和y0的方程。
这个方程可以用来求解切点的坐标。
总结一下，圆的切点弦方程可以通过确定切点的坐标，然后利用切线与直线相切的条件和圆的方程，得到一个关于切点坐标和直线参数的方程。
通过解这个方程，我们可以确定切点的坐标，从而得到圆与直线的切点。
圆的切点弦方程
圆的切点弦方程222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。
22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。
【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。
【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：222ry x =+究竟是什么关系呢？下面我们进行探究：一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。
二、当点M 在圆O 外时，1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为222y x r d +=,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2020∴r d <，故直线L 与圆O 相交.2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢? 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。
220r x =2,OA ON OM ∴=⋅(N 为L 与OM 的交点)从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线，故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。
事实上（另证），如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:211r y y x x =+，直线MB:222r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2010220101ry y x x r y y x x , 由此可见A 、B 的坐标均满足方程200r y y x x =+，由于两点确定一条直线∴直线AB 的方程为200r y y x x =+。
所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。
【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。
特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。
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圆的切点弦方程的解法探究
在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：
1、在标准方程
2
22)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：
200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程02
2
=++++F Ey Dx y x （042
2>-+F E D ） 下过圆上
一点),00y x P （的切线方程为：
02
20
000=++++++F y y E x x D
yy xx 。
2、两相交圆01112
2=++++F y E x D y x （0412
12
1>-+F E D ）与
022222=++++F y E x D y x （0422
222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线
方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。
3、过圆02
2
=++++F Ey Dx y x （042
2>-+F E D ）外一点
),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。
4、过圆02
2
=++++F Ey Dx y x （042
2>-+F E D ）外一点
),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：
211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）；
02
21
111=++++++F y y E x x D
yy xx （在圆的一般方程下的形式）。
二、题目 已知圆04422
2=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作
圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。
三、解法
解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为：)]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx
由 ⎩
⎨⎧=---+=-+-04420142
2y x y x k y kx 消去y 并整理得
0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ①
令 0)12416)(1(4)268(2
2
2
2
=+-+---=∆k k k k k ② 解②得 0=k 或8
15=k 将0=k 或815=
k 分别代入①解得 1=x 、1728-=x 从而可得 A(1728-,17
58
)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为： )]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx
由圆心C(1,2)到切线014=-+-k y kx 的距离等于圆的半径3，得
3)
1(|
1421|2
2
=-+-+-∙k k k ③
解③得 0=k 或8
15
=k
所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y
从而可得切点 A(1728-
,17
58)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法三：用夹角公式求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k ，根据已知条件可得 |PC|=34)]1(2[)]4(1[2
2
=
--+-- ，3=r ，5
3
)4(1)1(2=----=
PC k
在PAC Rt ∆中，|PA|=5，5
3=
∠CPA tg 由夹角公式，得
5353153
=+-
k k ④ 解④得 0=k 或8
15
=k
所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y
从而可得切点 A(1728-,17
58
)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点 如图示1，根据已知条件可得
|PC|=34)]1(2[)]4(1[22=
--+-- ，3=r ，53
)4(1)1(2=----=
PC k
在PAC Rt ∆中，|PA|=5，AH ⊥PC ，从而可得 9
25
=
=HC PH λ 由定比分点公式，得 H(3411-,3441
)
又因为 3
51-=-=PC AB k k 再根据点斜式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一
如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB 就是经过以P 为圆心|PA|为半径的圆C`与圆04422
2=---+y x y x 的交点的直线，由切线长公式得
|PA|=54)1(4)4(2)1()422=--∙--∙--+-（
所以圆C`的方程为 08282
2=-+++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235=-+y x 即 直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二 如图示3，因为PA ⊥CA ，PB ⊥CB ，所以P 、A 、C 、B 四点共圆，根据圆的直径式方程，以P （-4，-1）、C （1，2）为直径端点的圆的方程为
0)2()]1([)1()]4([=-∙--+-∙--y y x x
即 0632
2
=--++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235=-+y x 即 直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义
设切点A 、B 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA 、PB 的方程分别为
0424221111=-+-+∙-+y y x x yy xx 和
042
4222
222=-+-+∙-+y y x x yy xx
因为P （-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P 的坐标代入并整理，得
⎩⎨
⎧=-+=-+02350
23522
11y x y x ⑤ 由式⑤知，直线 0235=-+y x 经过两点A ),(11y x 、B ),(22y x ， 所以，直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法八：直接运用圆的切点弦方程
因为P （-4，-1）是圆04422
2
=---+y x y x 外一点，根据切点弦所在直线的
方程02
21111=++++++F y y E x x D yy xx 得
042
1424214=--+∙--+∙-∙-+∙-）
（）（）（y x y x
整理得，直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法九：运用参数方程的有关知识
如图4，将圆的普通方程04422
2
=---+y x y x 化为参数方程：
⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 32cos 31y x （其中θ为参数） 设切点A 的坐标为（θcos 31+，θsin 32+），由PA ⊥CA 得 11)cos 31(2
)sin 32()4()cos 31()1()sin 32(-=-+-+∙--+--+θθθθ化简，整理得
03sin 3cos 5=++θθ ⑥
又因为5
3
)4(1)1(2=----=
PC k 3
51-=-=PC AB k k 可设直线AB 的方程为035=++c y x ，将点A （θcos 31+，θsin 32+）代入并整理，得
03
11sin 3cos 5=+++c
θθ ⑦
由式⑥和⑦知，33
11=+c
，从而得 2-=c 所以，直线AB 的方程为：0235=-+y x。