八年级几何证明题集锦及解答值得收藏

八年级几何全等证明题归纳

1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．

求证：CF=AB+AF．

证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，

∵BD⊥CD，BE⊥CE，

∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，

∵∠EFB=∠DFC，

∴∠EBF=∠DCF，

∵DB=CD，BA=CH，

∴△ABD≌△HCD，

∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=45°，

∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°，

∴∠ADB=∠HDB，

∵AD=HD，DF=DF，

∴△ADF≌△HDF，

∴AF=HF，

∴CF=CH+HF=AB+AF，

∴CF=AB+AF．

2.如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G．判断CF与ED的位置关系，并说明理由．

解：垂直．

理由：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，

∵BF=BF，

∴△ABF≌△CBF，

∴∠BAF=∠BCF，

∵在RT△ABE和△DCE中，AE=DE，AB=DC，

∴RT△ABE≌△DCE，

∴∠BAE=∠CDE，

∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°，

∴∠BCF+∠DEC=90°，

∴DE⊥CF．

3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90º，AB＝AD，DE⊥CD交AB于E，DF平分∠CDE交BC于F，连接EF．证明：

CF＝EF

解：

A

E

D

过D作DG⊥BC于G．

由已知可得四边形ABGD为正方形，

∵DE⊥DC

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．

又∵∠A=∠DGC且AD=GD，

∴△ADE≌△GDC，

∴DE=DC且AE=GC．

在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，∴△EDF ≌△CDF，

∴EF=CF

4.已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。

证明：

过点C作CG⊥CA交AF延长线

于G

∴∠G+∠GAC=90°…………①

又∵AE⊥BD

∴∠BDA+∠GAC=90°…………②

综合①②，∠G=∠BDA

在△BDA与△AGC中，

∵∠G=∠BDA

∠BAD=∠ACG=90°

BA=CA

∴△BDA≌△AGC

∴DA=GC

∵D是AC中点，∴DA=CD

∴GC=CD

由∠1=45°，∠ACG=90°，故∠2=45°=∠1

在△GCF与△DCF中，

∵GC=CD

∠2=45°=∠1

CF=CF

∴△GCF≌△DCF

∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA

∴∠ADB=∠FDC

5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中点，E是CD延长线上一点，作OF⊥OE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，FO的延长线交CD于K，求证：OE=OF

提示：

由条件知△BCD为等腰Rt△，连接OC，可证△OCK≌△ODH(AAS)，

得OK=OH，再证△FOH≌△EOK(AAS)，得OE=OF

A

B C

D

E

G

F

K

O

H

6.如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM 交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，

又∵CN⊥DM交AB于N，

∴∠NCM+∠CMD=90°，

而∠CMD+∠CDM=90°，

∴∠NCM=∠CDM，

∴△DCM≌△CBN，

∴CM=BN，

再根据四边形ABCD是正方形可以得到

OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，

∴△OCM≌△OBN．

∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，

∴∠BON+∠MOB=90°．

∴∠MON=90°．

∴OM与ON之间的关系是OM=ON；OM⊥ON．

7.如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

证明：根据题意，知AD∥BC．

∴∠EAD=∠AEN（内错角相等），

∵∠DMA=∠NME（对顶角相等），

又∵M是线段AE的中点，

∴AM=ME．

∴△ADM≌△ENM（ASA）．

∴AD=NE,DM=MN．（对应边相等）．

连接线段DF，线段FN，

线段CE是正方形的对角线，∠DCF=∠NEF=45°，

根据上题可知线段AD=NE，

又∵四边形CGEF是正方形，

∴线段FC等于FE．

∴△DCF≌△NEF（SAS）．

∴线段FD=FN．

∴△FDN是等腰三角形．

∴线段MD⊥线段MF．

8.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．

证明：BM+CN=NM

延长AC至E，使CE=BM，连接DE，

∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，

∴∠ABD=∠ACD=90°，