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导数与极限

（一）极限 1. 概念

（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义） A

x f a

x =→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。

（2）单侧极限

左极限： =-)0(a f A

x f a x =-→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-

右极限： =+)0(a f A

x f a x =+

→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-

（3）自变量趋向于无穷大的函数极限

定义1：0,0>∃>∀X ε，当

X x >，成立()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 在x 趋于无穷时的

极限，记为()A

x f x =∞

→lim 。

A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。

定义2：00>∃>∀X ，ε，当X x >时，成立()ε<-A x f ，则有()A

x f x =+∞→lim 。定义3：00>∃>∀X ，ε，当X x -<时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =-∞→lim 。

运算法则：

1) 1) 若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim 。

2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=•x g x f lim 。 3) 3) 若()∞=x f lim ，则

()01

lim

=x f 。

注：上述记号lim 是指同一变化过程。（4）无穷小的定义

0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 在a x →时的无穷小（量），即 0

)(lim =→x f a x 。

（5）无穷大的定义

0>∀M ，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有M x f >|)(|，则称函数)(x f 在a x →时的无穷大（量），记为

∞

=→)(lim x f a

x 。

直线a x =为曲线()x f y =的垂直渐近线。

2．无穷小的性质

定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。

无穷小与无穷大的关系

若∞=→)(lim x f a x ，且)(x f 不取零值，则)(1

x =→)(lim ⇔A a f a f =+=-)0()0(。 A x f x =∞→)(lim ⇔A

x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 。

（2）A

x f a

x =→)(lim ⇔α+=A x f )(，其中α是a x →时的无穷小。

（3）夹逼准则：设在点a 的某个去心邻域),(ˆ

δa N 内有 )()()(x h x f x g ≤≤，且已知A x g a x =→)(lim 和

x f a x =→)(lim ，则0>∃M ，在点a 的某个去心邻域),(ˆ

（II ）若在点a 的某个去心邻域),(ˆδa N 内有0)(≥x f （或0)(≤x f ），且A x f a x =→)(lim ，则0≥A （或

0≤A ）。

5．极限的四则运算与复合运算设c 是常数，，

x ±=±→)]()([lim （2）；B A x g x f a

，有，且，若00)()0(),()(lim )(lim 0

u x g a U x A u f u x g u u a

x ≠>∈∀==Λ

→→δδ

则A

u f x g f u u a x ==→→)(lim )]([lim 0

.

6．两个重要极限

（1）1sin lim 0=→x x x ；（2）e

x x x =+→1

0)1(lim 或 e x x x =+∞→)11(lim 。

7．无穷小的阶的比较

若α和β都是在同一自变量变化中的无穷小量，且≠β0，则

（1）若0lim

=βα，则称α关于β是高阶无穷小量，记作)(βαo =；（2）若1

lim =βα，则称α和β是等价无穷小量，记作βα~；（3）若)

0(lim ≠=c c βα

，则称α和β是同阶无穷小量，记作)(βαO =；

一般情况下，若存在常数0>A ，0>B ，使成立 B

A <<||βα，就称α和β是同阶无穷小量。（4）若以x 作为0→x 时的基本无穷小量，则当)(k

x O =α（k 为某一正数）时，称α是k 阶无穷