角平分线定理、垂直平分线定理学习资料
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(1)若BD·CE分别是△ABC的内角平分线(如图4-4-10(2) 所示).
(2)BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平 分线(如图4-4-10(3)所示)，则在此
两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关 系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.
图4-4-10(1) 图4-4-10(2)
∵AB的垂直平分线交AC于D，∴DA=DB。
∵AB=BC， ∠B＝120°，
∴ ∠A＝∠C＝30°,
∴ ∠A＝∠ABD＝30°,
∴ ∵
∠DBC＝90°, Rt△DBC中,有
DB
1DC
2
∴
AD 1DC 2
图4-4-3
2.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可供选择的地址有( D )
A．1处 B.2处 C.3处
D. 4处
➢ 课前热身
3.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于 R，PS⊥AC 于 S，AQ=PQ，PR=PS， 下 面 三 个 结 论 ： (1)AS=AR(2)QP∥AR(3)△BRP≌△CSP，正确的是
A.AB和BC，焊接点B B.A来自百度文库和AC，焊接点A
C.AD和BC，焊接点D
D.AB和AD，焊接点A
➢ 典型例题解析
【例4】 (2003·黑龙江省)已知：如图4-4-10(1)所示， BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD， AG⊥CE，垂足分别为F、G.连接FG，延长AF、AG、与 直线BC相交，易证FG=1/2(AB+BC+BC).
∴点P在∠AOB的平分线上.
➢ 要点、考点聚焦
(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集合. (4)互逆命题与互逆定理.
2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定理 .如图4-4-2所示.
➢ 课时训练
2.(2004·河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意
图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果
一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），
那么该球最后将落入的球袋是
( )B
A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋
➢ 课时训练
3.(2004·广州)如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角
图4-4-10(3)
1.全等运用的干扰 角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直 接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍.
2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段 的两个端点距离相等，就下结论——过这一点的直线是 这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一 条直线”，还要再找出一个这样的点.
➢ 课时训练
1.(2004·四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点， 点P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP' ，需 要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果 的序号 ①或②或④ 。
① ∠ OCP= ∠OCP' ;② ∠ OPC= ∠OP' C ; ③PC=PC ' ;④PP' ⊥OC
A.(1)和(2) C.(1)和(3)
B.(2)和(3) D.全对.
(A )
➢ 课前热身
4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB
的 垂 直 平 分 线 交 BC 于 D， 交 AB 于 E，DB=10cm， 则
AC=( C )
A.6
B.8 C.5
D.10
➢ 课前热身
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分 线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，则∠B= 36°.
➢ 要点、考点聚焦
性质定理：∵PC是线段AB的中垂线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上.
【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线.
(4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合.
➢ 课前热身
1.下列说法正确的是( C ) A.每个命题都有逆命题 B.直角都是邻补角 C.若1/a=1/b则a=b. D.真命题的逆命题是真命题.
➢ 典型例题解析
【例3】 (2003·浙江省舟山市)如图所示是人字型屋架的
设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中
A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC、D为BC的中点，
现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.
如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快
速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是 ( C )
△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论①AE=2AC；②
CE=2CD；③ ∠ACD=∠BCE； ④CB平分∠DCE。请写出正
确结论的序号 ①②④
。
➢ 课时训练
4.(2004·呼和浩特)如图，在△ABC中，BA=BC，∠B＝
120°，AB的垂直平分线交AC于D，求证：AD 1DC
2
证：连接BD。
➢ 要点、考点聚焦
1.角平分线的性质定理和逆定理
(1)点在角平分线上 性质定点理到这个角的两边的距离相
等.
判定定理
(2)用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理.如图
4-4-1所示.
性 质 定 理 ： ∵ P 在 ∠ AOB 的 平 分 线 上 ， PD⊥OA，
PE⊥OB
∴PD=PE
逆定理：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB
➢ 典型例题解析
【例1】 如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC， BD是∠ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等 于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证明你的猜想 需用题中所有的条件)
AB+AD=BC
➢ 典型例题解析
【例2】 (2003·河南省)已知：如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足为 E.BF∥AC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF.
(2)BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平 分线(如图4-4-10(3)所示)，则在此
两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关 系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.
图4-4-10(1) 图4-4-10(2)
∵AB的垂直平分线交AC于D，∴DA=DB。
∵AB=BC， ∠B＝120°，
∴ ∠A＝∠C＝30°,
∴ ∠A＝∠ABD＝30°,
∴ ∵
∠DBC＝90°, Rt△DBC中,有
DB
1DC
2
∴
AD 1DC 2
图4-4-3
2.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可供选择的地址有( D )
A．1处 B.2处 C.3处
D. 4处
➢ 课前热身
3.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于 R，PS⊥AC 于 S，AQ=PQ，PR=PS， 下 面 三 个 结 论 ： (1)AS=AR(2)QP∥AR(3)△BRP≌△CSP，正确的是
A.AB和BC，焊接点B B.A来自百度文库和AC，焊接点A
C.AD和BC，焊接点D
D.AB和AD，焊接点A
➢ 典型例题解析
【例4】 (2003·黑龙江省)已知：如图4-4-10(1)所示， BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD， AG⊥CE，垂足分别为F、G.连接FG，延长AF、AG、与 直线BC相交，易证FG=1/2(AB+BC+BC).
∴点P在∠AOB的平分线上.
➢ 要点、考点聚焦
(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集合. (4)互逆命题与互逆定理.
2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定理 .如图4-4-2所示.
➢ 课时训练
2.(2004·河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意
图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果
一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），
那么该球最后将落入的球袋是
( )B
A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋
➢ 课时训练
3.(2004·广州)如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角
图4-4-10(3)
1.全等运用的干扰 角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直 接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍.
2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段 的两个端点距离相等，就下结论——过这一点的直线是 这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一 条直线”，还要再找出一个这样的点.
➢ 课时训练
1.(2004·四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点， 点P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP' ，需 要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果 的序号 ①或②或④ 。
① ∠ OCP= ∠OCP' ;② ∠ OPC= ∠OP' C ; ③PC=PC ' ;④PP' ⊥OC
A.(1)和(2) C.(1)和(3)
B.(2)和(3) D.全对.
(A )
➢ 课前热身
4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB
的 垂 直 平 分 线 交 BC 于 D， 交 AB 于 E，DB=10cm， 则
AC=( C )
A.6
B.8 C.5
D.10
➢ 课前热身
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分 线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，则∠B= 36°.
➢ 要点、考点聚焦
性质定理：∵PC是线段AB的中垂线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上.
【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线.
(4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合.
➢ 课前热身
1.下列说法正确的是( C ) A.每个命题都有逆命题 B.直角都是邻补角 C.若1/a=1/b则a=b. D.真命题的逆命题是真命题.
➢ 典型例题解析
【例3】 (2003·浙江省舟山市)如图所示是人字型屋架的
设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中
A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC、D为BC的中点，
现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.
如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快
速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是 ( C )
△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论①AE=2AC；②
CE=2CD；③ ∠ACD=∠BCE； ④CB平分∠DCE。请写出正
确结论的序号 ①②④
。
➢ 课时训练
4.(2004·呼和浩特)如图，在△ABC中，BA=BC，∠B＝
120°，AB的垂直平分线交AC于D，求证：AD 1DC
2
证：连接BD。
➢ 要点、考点聚焦
1.角平分线的性质定理和逆定理
(1)点在角平分线上 性质定点理到这个角的两边的距离相
等.
判定定理
(2)用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理.如图
4-4-1所示.
性 质 定 理 ： ∵ P 在 ∠ AOB 的 平 分 线 上 ， PD⊥OA，
PE⊥OB
∴PD=PE
逆定理：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB
➢ 典型例题解析
【例1】 如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC， BD是∠ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等 于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证明你的猜想 需用题中所有的条件)
AB+AD=BC
➢ 典型例题解析
【例2】 (2003·河南省)已知：如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足为 E.BF∥AC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF.