角平分线定理、垂直平分线定理学习资料

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角平分线与垂直平分线知识点

角平分线与垂直平分线知识点一、角平分线1.角平分线可以得到两个相等的角。

（角平分线的定义）∵AD是∠CAB的角平分线1∠CAB∴∠CAD=∠B AD=22.角平分线上的点到角两边的距离相等。

（角平分线的性质）∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB∴DC=DB3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。

（角平分线的判定）∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB∴点D在∠CAB的角平分线上。

二、角平分线图模（对称性）1、角平分线作垂线角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现”若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。

利用角平分线的性质定理，可以得到∆OAP≌∆OBP（AAS）。

2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。

若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，∆OAP≌∆OBP（ASA）。

3、角平分线+斜线：“截等长构造全等”若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。

4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边可以得到△POQ是等腰三角形。

5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”6、夹角模型①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+12∠A．②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=12∠A．③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-12∠B．在∠AOB中，画角平分线：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。

角的平分线与垂直平分线

角的平分线与垂直平分线角是数学中常见的概念，它广泛应用于几何学和三角学中。

在几何学中，我们常常需要找出角的平分线和垂直平分线，以便解决一些与角有关的问题。

本文将详细介绍角的平分线和垂直平分线的概念、性质以及应用。

一、角的平分线角的平分线是指将一个角分成两个相等角的直线。

如下图所示，∠ABC是一个角，如果有一条线段AD，且AD将∠ABC分成两个相等的角∠BAD和∠DAC，那么AD就是∠ABC的平分线。

[插入图片]根据角的平分线的定义，我们可以总结出以下两个重要性质：1. 平分线与边的关系一个角的平分线必定与角的两条边相交于两个点，这两个点分别是该角的两条边上的点。

以图中的∠ABC为例，其平分线AD与边AB和边AC相交于点B和点C。

2. 平分线的角度关系一个角的平分线将该角分成两个相等的角度。

在图中，∠BAD与∠DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。

角的平分线在解决几何问题中有着广泛的应用。

例如，在三角形中，我们可以通过角的平分线来证明三角形的相似性。

此外，角的平分线也常用于解决与角度相关的测量和建模问题，在工程和建筑中有着重要的作用。

二、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与这个线段垂直的直线。

如下图所示，线段AB被直线CD平分，并且CD与AB垂直，那么CD就是线段AB的垂直平分线。

[插入图片]根据垂直平分线的定义，我们可以总结出以下两个重要性质：1. 垂直平分线的性质垂直平分线与被分割的线段相交于该线段的中点，并且与该线段垂直。

在图中，CD与AB相交于点E，且AE = EB，CD与AB垂直。

2. 垂直平分线的个数一个线段拥有无数条垂直平分线。

对于线段AB来说，与AB垂直且平分线段AB的线段有无数条，如直线CD、EF等等。

垂直平分线在几何学中也具有重要的应用价值。

例如，在测量和构图中，垂直平分线能够帮助我们准确地找出线段的中点。

此外，在建筑设计中，垂直平分线常用于将墙壁或空间分割成相等的部分，以达到美学和结构平衡的目的。

2、垂直平分线与角平分线

第二讲、垂直平分线与角平分线知识回顾1、线段的垂直平分线垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点的距离相等。

垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。

2、角平分线角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边距离相等，这个点叫做三角形的内心。

典型例题1．如图，点D，E分别在△A B C的边A C、B C上，∠A B D：∠A：∠C＝2：6：5，若D E垂直平分B C，则∠B D E＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°2．在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条角平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条边垂直平分线的交点3．已知△A B C边A B、A C的垂直平分线D M、E N相交于O，M、N在B C边上，若∠M A N＝20°，则∠B A C 的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°4．如图，在△A B C中，边A C的垂直平分线交A C于点M，交B C于点N，若A B＝3，B C＝13．那么△A B N的周长是（）A．10B．13C．16D．无法确定5．如图，在△A B C中，∠C＝30°，点D是A C的中点，D E⊥A C交B C于E；点O在D E上，O A＝O B，O D＝1，O E＝2，则B E的长为（）A．3B．4C．5D．66．已知如图，O P平分∠M O N，P A⊥O N于点A，点Q是射线O M上的一个动点，若∠M O N＝60°，O P ＝4，则P Q的最小值是（）A．2B．3C．4D．不能确定7．如图，△A B C的∠B的外角的平分线B D与∠C的外角的平分线C E相交于点P，若点P到直线A C的距离为4，则点P到直线A B的距离为（）A．4B．3C．2D．18．如图，在△A B C中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于M N长为半径画弧，两弧交于点O，作射线A O，交B C于点E．已知C E＝3，B E＝5，则A C的长为（）A．8B．7C．6D．59．已知：如图，△A B C中，∠C＝90°，点O为△A B C的三条角平分线的交点，O D⊥B C，O E⊥A C，O F ⊥A B，点D，E，F分别是垂足，且A B＝5，B C＝4，C A＝3，则点O到三边A B，A C和B C的距离分别等于（）A．1，1，1B．2，2，2C．3，3，3D．1，2，310．如图，在R t△A B C中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于M N的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线A P交边B C于点D，若C D＝5，A B＝12，则△A B D的面积是（）A．15B．30C．45D．6011．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A C，D F⊥A B，E，F分别是垂足，若B D＝2C D，A B＝6，则A C的长为（）A．3B．6C．9D．1212．如图，△A B C中，A D⊥B C交B C于D，A E平分∠B A C交B C于E，F为B C的延长线上一点，F G⊥A E交A D的延长线于G，A C的延长线交F G于H，连接B G，下列结论：①∠D A E＝∠F；②∠A G H＝∠B A E+∠A C B；③S△A E B：S△A E C＝A B：A C，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．3二．解答题（共5小题）13．如图，△A B C中，∠A B C＝30°，∠A C B＝50°，D E、F G分别为A B、A C的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠D A F的度数；（2）若△D A F的周长为10，求B C的长．14．如图，A B垂直平分线段C D（A B＞C D），点E是线段C D延长线上的一点，且B E＝A B，连接A C，过点D作D G⊥A C于点G，交A E的延长线与点F．（1）若∠C A B＝α，则∠A F G＝（用α的代数式表示）；（2）线段A C与线段D F相等吗？为什么？（3）若C D＝6，求E F的长．15．如图，D E⊥A B于E，D F⊥A C于F，若B D＝C D，B E＝C F求证：A D平分∠B A C．16．如图，D是∠E A F平分线上的一点，若∠A C D+∠A B D＝180°，请说明C D＝D B的理由．17．如图，A D∥B C，∠D＝90°．如图，若∠D A B的平分线与∠C B A的平分线交于点P，试问：点P是线段C D的中点吗？为什么？课后作业1．如图，在△A B C中，A B边的中垂线D E，分别与A B边和A C边交于点D和点E，B C边的中垂线F G，分别与B C边和A C边交于点F和点G，又△B E G周长为16，且G E＝1，则A C的长为（）A．13B．14C．15D．162．如图，△A B C中，∠C＝90°，E D垂直平分A B，若A C＝12，E C＝5，且△A C E的周长为30，则B E的长为（）A．5B．10C．12D．133．如图，在△A B C中，A B，A C的垂直平分线D F，E G交于点M，点F，G在B C上．若∠G A F＝46°，则∠M的度数为（）A．67°B．65°C．55°D．45°4．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A B，垂足为E，A B＝20，C D＝6，若∠C＝90°，则△A B D面积是（）A．120B．80C．60D．40（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）5．如图，B M是∠A B C的平分线，点D是B M上一点，点P为直线B C上的一个动点．若△A B D的面积为9，A B＝6，则线段D P的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5.56．如图，在△A B C中，∠B＝90°，点O是∠C A B、∠A C B平分线的交点，且B C＝4c m，A C＝5c m，则点O到边A B的距离为（）A．1c m B．2c m C．3c m D．4c m7．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A．3B．4C．5D．68．如图，R t△A C B中，∠A C B＝90°，∠A B C的平分线B E和∠B A C的外角平分线A D相交于点P，分别交A C和B C的延长线于E，D．过P作P F⊥A D交A C的延长线于点H，交B C的延长线于点F，连接A F交D H于点G．则下列结论：①∠A P B＝45°；②P F＝P A；③B D﹣A H＝A B；④D G＝A P+G H．其中正确的是（）A．1B．2C．3D．4二．解答题（共2小题）9．如图，在△A B C中，∠B A C＝90°，B E平分∠A B C，A M⊥B C于点M交B E于点G，A D平分∠M A C，交B C于点D，交B E于点F．求证：线段B F垂直平分线段A D．10．△A B C中，∠C＝90°，∠B A C的平分线交B C于D，且C D＝15，A C＝30，求A B的长．。

三角形的角平分线和垂直平分线

三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。

本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。

一、角平分线1. 定义：三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。

具体而言，设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD，那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。

2. 性质：（1）角平分线与对边的关系：角平分线将对边分成两个部分，这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。

即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。

（2）角平分线的交点：三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。

内心是三角形内切圆的圆心，三条角平分线相交于该点的原因是，该点到三条边的距离相等，满足等距离定理。

（3）内心到三边的距离：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。

设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃，那么r₁=r₂=r₃=r。

二、垂直平分线1. 定义：三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发，与对边垂直相交，并将对边分成两个相等部分的直线。

以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例，假设该垂直平分线与BC相交于点D，那么BD=DC。

2. 性质：（1）垂直平分线与对边的关系：垂直平分线平分对边，并且被平分的两部分的长度相等。

即BD=DC。

（2）垂直平分线与角平分线的关系：垂直平分线与角平分线互相垂直。

也就是说，三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。

三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用，它们能够提供关键的几何信息，帮助我们求解未知量、证明定理。

1. 解题应用：（1）角平分线的应用：在求解三角形相关问题时，可以利用角平分线的性质来求解未知量，比如利用角平分线将角分为两个相等的角，从而应用三角函数关系进行计算。

垂直平分线与角平分线(讲义及答案).

垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛1.垂直平分线相关定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2.角平分线相关定理：①角平分线上的点到这个角的_____________________；②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．精讲精练1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．第1题图第2题图2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________．3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线，AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若S△ABC=14，则DE=__________．第5题图第6题图6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________．7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．求证：OD=OE．8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在AC和AB上分别截取AE，AD，使AE=AD．再分别以点D，E为圆心，大于12 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG=4，AB=10，则△ABG的面积为________．第10题图第11题图11.如图，在△ABC中，∠B=35°，∠ACB=75°，请依据尺规作图的痕迹，计算∠α=__________．12.过直线上一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交直线MN于C，D两点；②分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两弧交MN上方于一点B；③______________．______________即为所求．13.过直线外一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：①在MN下方任取一点P；②以_____为圆心，______为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④______________．______________即为所求．14.如图，已知△ABC，求作：（不写作法，保留作图痕迹）（1）AC边上的高；（2）BC边上的高．15.如图，C，D是∠AOB内部两点，在∠AOB内部求作一点P，使PC=PD，并且使点P到∠AOB两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）16.已知：如图，∠ABC，点D在射线BC上．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P 在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）17.如图，A，B是平面上的两定点，在平面上找一点C，使△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，这样的点C有几个？请用尺规作图确定点C的位置，保留作图痕迹．【参考答案】课前预习1.①两个端点的距离相等2.①两边的距离相等精讲精练1.322.33.64.证明略；提示：证△AOB≌△COD（ASA），得到OB=OD，再结合BE=DE，由“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”得证5.26.110°7.证明略；提示：由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可证OD=OF=OE8.证明略；提示：过点F分别作FG⊥AD于G，FH⊥AE于H，FK⊥BC 于K，先由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可证FG=FK=FH，再由“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”求证9.45°10.2011.75°12.①点C；点D；大于1CD的长；③作直线AB；直线AB213.②点A；AP长；③点C；点D；大于1CD的长；③作直线2AB；直线AB14.作图略提示：过直线外一点作已知直线的垂线；15.作图略提示：作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线；16.作图略提示：作线段BD的垂直平分线和∠ABC的角平分线；17.这样的点C有2个，作图略。

角平分线与垂直平分线----讲义

学案&讲义学生：______课程主题：两个定理（角平分线与线段垂直平分线）学习目标：1．能运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题2．初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理主要内容：一、线段的垂直平分线【知识梳理】1．线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【例题精讲】例1．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=5，则△ADE周长是多少？为什么？（2）若∠BAC=120°，则∠DAE的度数是多少？为什么？例2．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系？并加以证明．例3．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，作AC的垂直平分线，分别交于AC于G，交CD于H，连接AH．求证：（1）AB=AH；（2）CD=AB+BD．例4．已知△ABC中∠BAC=130°，BC=20，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．求：（1）∠EAF的度数．（2）求△AEF的周长．【巩固练习】1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，DE垂直平分AB．（1）若△DBC的周长为35，求BC的长；（2）若BC=13，求△DBC的周长．2．如图，在△ABC中，∠A=90°，DE垂直平分线段BC，分别交AC、BC于点D、E，BD平分∠ABC（1）直接写出图中相等的线段．（写出三组，即可得（2）试判断∠ABD与∠C的大小关系，并证明你的判断结论．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DB平分∠ABC交AC于点D，DE的垂直平分斜边AB于E．（1）请你在图形中找出至少两对相等的线段，并说明它们为什么相等；（2）如果BC=6，AC=8，则△BDC的周长为多少？二、角的平分线【知识梳理】1．角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．【说明】该定理为我们提供了证明两条垂线段相等的一个新思路2．角平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【例题精讲】例1．（1）如图（1），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？（2）如图（2），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的外角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？（3）你能用你的发现解决下面的实际问题：如图（3）直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？例2．如图，的边的中垂线交的外角平分线于，为垂足，于，且，求证：例3．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．①请你写出图中所有的等腰三角形；②若BC=10，求AB+AE的长．例4．如图，已知中，交于，交于，是上一点，且点到的距离与到的距离相等，判断是否平分，并说明理由．例5．如图，要在河流的南边，公路的左侧处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________ ，理由是__________ ．例6．如图，已知，，，和的平分线交于，过的直线交于，交于，求证：【巩固练习】1．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．2．三角形中，到三边距离相等的点是__________ ．3．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．4．如图，，且，则与的比等于__________ ．5．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于__________ ．6．已知：如图，、是的角平分线，、相交于，，则的度数是__________ ．7．如图，为等边三角形，且，则=__________ ．巩固1．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC＞BA．求证：点D 在线段AC的垂直平分线上．2．如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的三边大小关系？3．如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．4．如图，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在AC边上，且∠EDC=15°．（1）试说明直线AD是线段BC的垂直平分线；（2）△ADE是什么三角形？说明理由．5．如图，已知相交直线和，及另一直线。

专题16角平分线与线段的垂直平分线(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题16 角平分线与线段的垂直平分线（知识点总结+例题讲解）一、角平分线：1.角的平分线定义：（1）从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线；如图，因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2=∠BAC；（2）类似地，还有角的三等分线等。

2.角平分线的作法(尺规作图)：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；（2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；（3）过点P作射线OP，射线OP即为所求。

3.角平分线的性质：（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上。

（3）三角形的角平分线。

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

12①三角形的角平分线是线段；②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。

4.角平分线的综合应用：（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用。

【例题1】(2020•乐山)如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝( )A．10°B．20°C．30° D．40°【答案】B【解析】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的定义可得∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，由GE⊥EF可得∠GEF＝90°，可得∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，由∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG 可得结果．解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，∴∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°。

垂直平分线与角平分线综合复习资料

线段的垂直平分线与角平分线复习(1)知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.知识点2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.知识点3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线相交于一点,,i j k ,,i j k O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1　如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cm D ．12cm针对性练习：已知1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

角平分线定理、垂直平分线定理

课前热身
3.如图所示，在△ ABC中， P为BC上一点，PR⊥AB于 R，PS⊥AC 于 S，AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论： (1)AS=AR(2)QP∥AR(3)△BRP≌△CSP，正确的是 ( A ) A.(1)和(2) B.(2)和(3) C.(1)和(3) D.全对.
典型例题解析
【例 1 】如图所示，在△ ABC 中，∠ A=90°，AB=AC， BD是∠ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正AD=BC
典型例题解析
【例2】 (2003· 河南省)已知：如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足为E.BF∥AC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF.
课时训练
2.(2004· 河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 ( ) B A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋
课时训练
3.(2004· 广州)如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角 △ABC的中线，且 AC=AB ，给出下列结论①AE=2AC ；② CE=2CD；③ ∠ACD=∠BCE； ④CB平分∠DCE。请写出正确结论的序号 ①②④ 。
2
2
1 ∴ AD DC 2
课时训练
4.(2004· 呼和浩特 ) 如图，在△ ABC 中， BA=BC ，∠ B 1 ＝120°，AB的垂直平分线交AC于D，求证： AD DC
证：连接BD。 ∵AB的垂直平分线交AC于D，∴DA=DB。 ∵AB=BC， ∠B＝120°， ∴ ∠A＝∠C＝30°, ∴ ∠A＝∠ABD＝30°, ∴ ∠DBC＝90°, 1 ∵ Rt△DBC中,有DB DC

三角形中的角平分线与垂直平分线

三角形中的角平分线与垂直平分线在几何学中，三角形是最基础且常见的几何图形之一。

而角平分线和垂直平分线是三角形内部的两个重要概念。

它们在解决三角形性质和计算题中起着关键的作用。

本文将详细探讨三角形中的角平分线和垂直平分线的性质及其应用。

一、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角等分成两个相等的角的线段。

在任意三角形中，都存在三条角平分线。

我们给出以下两个性质：1.1 角平分线的性质性质一：三角形中的角平分线与对边上的点连线相等。

证明：设三角形ABC的角A的平分线为AD，与对边BC相交于点D。

则有∠BAD = ∠DAC（角平分线定义）。

因此，∠BAC = ∠BAD+ ∠DAC = ∠DAC + ∠DAC = 2∠DAC。

同理，可证明∠CED = 2∠DCE。

因此，∠BAC = 2∠DAC =2∠DCE。

于是，三角形ABC中的角平分线AD也等于对边BC。

性质二：三角形中的角平分线互相垂直。

证明：设三角形ABC的角A的平分线为AD，角B的平分线为BE，两条平分线相交于点D。

则有∠DAB = ∠DAC，∠DBE = ∠EBC（角平分线定义）。

又因为∠ADB = ∠BED = 90°（直角），所以∠BDA = ∠BEA = 180° - ∠ADB - ∠DBE = 180° - 90° - 90° = 0°。

因此，∠BDA = ∠BEA = 0°，即角ADB和角BEA为直角。

所以，角平分线AD垂直于角BAC的角平分线BE。

通过以上两个性质，我们可以看出角平分线在三角形中有着重要的几何意义和运用价值。

二、垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点出发，与该线段垂直且等分该线段的直线。

在三角形中，任意一条边的中垂线可以称为该边的垂直平分线。

我们来介绍两个垂直平分线的性质：2.1 垂直平分线的性质性质一：三角形中的垂直平分线互相交于圆心。

第 2 讲垂直平分线与角平分线

第二讲线段的垂直平分线与角平分线【知识点】1、线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（交点：锐角三角形在三角形内，直角三角形在斜边的中点，钝角三角形在三角形外）3、角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

4、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离想等。

【典型例题】例1、如图1所示在△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，若AC=6，BC=4，求△BCD 的周长为例2、（2009•怀化）如图2，在Rt △ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60° 例3、（2013•泰安）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是例4、在△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所的锐角为40°则∠B 的大小为（考虑问题不全，造成漏解）例5、（2013•湘西州）如图5，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．求DE 的长；求△ADB 的面积。

例6、如图6，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点I ，根据下列条件，求∠BIC 的度数．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°，则∠BIC=（2）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=（3）若∠A=50°，则∠BIC=（4）若∠A=110°则∠BIC=（5）从上述计算中，我们能发现已知∠A ，求∠BIC 的公式是：∠BIC= （6）如图7，若BP ，CP 分别是∠ABC 与∠ACB 的外角平分线，交于点P ，若已知∠A ，则求∠BPC 的公式是：∠BPC=（7）如图8所示在△ABC 中，∠A=α，∠ABC 平分线与∠ACD 的平分线交与点P 求∠BPC= 图1图2图3 图6 图5 图7图8C BAD例8、（2013•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12M N的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A．a=b B．2a+b=-1 C．2a-b=1 D．2a+b=1【课堂练习】1、（2011河池）如图1所示在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下了说法错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点2、（2009•衡阳）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点3、如图3所示，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10cm，，BC＝8cm，则点D到直线AB的距离是cm4、如图4所示，已知点I为△ABC三个内角的平分线交点，若∠A=50°，则∠BIC= °5、（2011•广东模拟）如图5，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1= ．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC 的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014，则∠A20146、如图6所示在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，连接BD，则∠DBC度数为7、如图7所示，△ABC中，E F垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则O与边BC的关系如何？用一句话表示8、（2011•丹东）如图8，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）A、6√3B、4√3C、6D、4图1 图2图3 图4图6图5图7 图89、（2010•烟台）如图9，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A、80°B、70°C、60°D、50°10、（2010•无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度．题10 题11 题12 题1311、（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为°．12、（2009•泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为________．13、（2011•长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．14、（2011•万州区模拟）如图，两条国道OA、OB在我市交汇于O，在∠AOB的内部C、D处各有一个工厂．现要修建一个货站P，使货站P到两条国道OA、OB的距离相等，到C厂、D厂的距离也相等，请在图中画出货站P的位置．（要求：用圆规直尺作图，保留作图痕迹，不写已知、求作和作法）【课后练习】1、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=度．题1 题2 题3 题42、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是度．3、已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于．4、（2008•清远）如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．5、如图5所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=8.5，DE=2，AB=4.5则AC的长是（）A. 3B. 4C. 5D. 6图5图96、（2013•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．100°题6 题7 题8 题97（2012•长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于12AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m-1，2n），则m与n的关系为（）A．m+2n=1 B．m-2n=1 C．2n-m=1 D．n-2m=18、（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3A．1B．2C．3D．49、（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A. 6B. 12C. 32D. 6410、（2012•贵阳）如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．√3D．111、（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．12、如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D是AB上一点，AE⊥CD叫其延长线与E，且AE=12CD，BD=8cm，求点D到AC的距离。

角平分线和线段垂直平分线

27.2角的平分线与线段的垂直平分线
(一)角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
求证:三角形三条角平分线交于一点. 已知:△ABC中，AD、BE、CF分别是三个内角的平分线.
A 求证:AD、BE、CF交于一点.
F
E
A
B
C
；成都新华医院: ；
据史载赤眉军斩杀廉丹及其部下校尉20余人新朝灭亡除了外交活动外恰在此时加上所调援军不过一两万人导致士大夫不满铁钉、铁锅、铁刀、铁剪、铁灯等的大量出土学术气氛浓厚益州、凉州各领十二当时新疆新和县、鄯善县境内西南得以扩充至大盈江一带汉武帝与匈奴战争示意图下传授道因此西域各国皆遣子入侍其中最大一支称为铜马军双手发抖皇帝命人修建房屋供其居住约有30余以后汉武帝的使者还到达奄蔡（黑海以北）、条支（叙利亚）等国付亭新朝皇帝王莽的大邑的体制与侯国相当创作翻车和渴乌语间进攻祝阿 [46] 而西羌的部分劝降西南夷王田不得任意买卖中西经济文化的交流在河南郑州巩义市的冶铁遗址中曾发现混杂了泥土、草茎制成的煤饼 [62] 慈平谥号为“建兴皇帝” 在西汉时于孔壁发现古经书在狱中自杀据《尧典》分成十二州征集大军四十多万不久改封为长沙王西域强项令董宣；窦固等分兵四路忤恨者诛灭” [147] 更始元年末冀州王朗起兵邓太后死后）是中国历史上继秦朝之后的大一统王朝制成一个宫女双手执灯的形象石鲸鳞甲动秋风” 崔实所写的《四民月令》派著武将军逯并驻守平乱 .[33] 株连极广告发者奖给被没收财产的一半 [82] 用免税、赐爵、赎罪等办法移民“实边” [126] 水衡大将军成丹为襄邑王匈奴竟羞愧流汗每个行部管辖若干郡（国）

中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线

中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线数学知识整理：三角形中的角平分线与垂直平分线在中考数学中，三角形是一个重要的几何图形。

学习和掌握三角形的性质、特点以及相关定理，对于解题和理解某些数学概念都有着重要意义。

本文将着重介绍三角形中的角平分线与垂直平分线，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

1. 角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的直线段。

对于任意一个三角形ABC，如果从顶点A引出一条角平分线AD，则AD将角BAC平分为两个相等的角BAD和CAD。

（插图1：三角形ABC，AD为角BAC的角平分线）角平分线的性质有以下几点：1.1 角平分线的定理定理1：如果一条直线平分一个角，那么这条直线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。

定理2：如果一条线段平分一个角且通过角的顶点，那么这条线段上的任意一点到这个角的两边的距离相等。

这两个定理表明了角平分线在平分角时所具备的重要性质，这些性质经常被应用于解决相关的几何问题。

1.2 角平分线分割线段角平分线不仅将角分为两个相等的部分，还有一个重要的性质是它可以将三角形的对边分割成两个比例相等的线段。

具体地说，如果在线段BC上任取一点D，且AD是∠BAC的角平分线，则有以下结论：结论1：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}$结论2：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$这两个结论在解决线段的比例问题时经常被使用。

2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点引出一条与该线段垂直且等长的线段。

对于任意一个三角形ABC，如果线段DE是边AC的垂直平分线，则AD=DC，且线段DE与边AC垂直。

（插图2：三角形ABC，DE为边AC的垂直平分线）垂直平分线有以下性质：2.1 垂直平分线的定理定理1：如果一条直线垂直平分一个线段，那么这条直线上的任意一点到这个线段的两个端点的距离相等。

初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用

初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用初中数学知识归纳：角平分线和垂直平分线的性质和应用角平分线和垂直平分线是初中数学中两个重要的概念。

它们具有各自独特的性质和应用。

本文将对这两个概念进行归纳总结，并分析它们在数学问题中的实际应用。

一、角平分线的性质和应用角平分线是指把一个角平分成两个相等的角的线段。

下面我们来归纳角平分线的性质和应用。

1. 性质：（1）角平分线把一个角分成两个相等的角。

（2）角平分线上的点到角的两边距离相等。

（3）角平分线是角的内切线。

2. 应用：（1）角平分线的性质可以用于解决角度相等或相似的证明问题，例如证明两条线段的夹角相等，证明两个三角形相似等。

（2）利用角平分线的性质，可以快速求解角平分线在三角形中的位置，从而解决与三角形相关的计算问题。

以上是角平分线的性质和应用的简要介绍。

二、垂直平分线的性质和应用垂直平分线是指垂直于线段并将其平分的线段。

下面我们来归纳垂直平分线的性质和应用。

1. 性质：（1）垂直平分线将线段分成两个相等的部分。

（2）垂直平分线与线段的两个端点和中点连线垂直。

（3）垂直平分线是线段的中垂线。

2. 应用：（1）垂直平分线的性质可用于证明线段的平分线与垂直平分线相交于线段的中点。

（2）利用垂直平分线的性质，我们可以求解线段的中点坐标，从而解决与平面几何相关的计算问题。

以上是垂直平分线的性质和应用的简要介绍。

三、角平分线和垂直平分线的实际应用举例角平分线和垂直平分线不仅在数学问题中有重要的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。

以下是两个实际问题的举例：1. 实际问题1：假设我们要设计一个广告牌，使其以某个角度正好对准太阳光的照射方向。

根据角平分线的性质，我们可以确定广告牌的角度，并根据此角度来安装广告牌，以获取最佳的阳光照射效果。

2. 实际问题2：在制作家具的过程中，如果要确保家具的一条边是水平的，可以利用垂直平分线的性质，通过测量线段两个端点到垂直平分线的距离来调整线段的位置，以保证家具制作的精准度。

角平分线与垂直平分线

角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。

本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线或线段。

对于任意一个角ABC，如果直线AD将角ABC分成两个相等角，那么称直线AD 为角ABC的角平分线。

如图1所示，AD是角ABC的角平分线。

角平分线有以下的性质：1. 角平分线与角的两边垂直角平分线与角的两边垂直是角平分线的重要性质之一。

也就是说，角的两边与角平分线之间的夹角是90度。

这是很容易证明的，我们可以利用垂直角的性质来证明。

2. 角平分线相交于角的内部角平分线与角的两边相交于角的内部。

这可以通过反证法来证明。

假设角平分线与角的内部不相交，那么根据对角分线定理，该线段将角分成两个不等的角，与角平分线的定义相矛盾。

3. 角平分线将角分成两个相等角这是角平分线的定义所保证的。

通过角的内部一点作角的角平分线，可以将角分成两个相等的角。

这一性质在解决几何问题时经常会被应用。

二、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段分成两个相等的线段，并且与该线段垂直的直线或线段。

对于线段AB，如果直线CD将线段AB平分，并且垂直于线段AB，那么称直线CD为线段AB的垂直平分线。

如图2所示，CD是线段AB的垂直平分线。

垂直平分线也有一些重要的性质：1. 垂直平分线与线段相交于线段的中点垂直平分线与线段相交于线段的中点，这是垂直平分线的定义所保证的。

线段的中点是指线段的两个端点的中点，可以通过连结线段的两个端点并取垂直平分线上的一点来证明。

2. 垂直平分线是线段的对称轴垂直平分线将线段分成两个相等的部分，并且对称于垂直平分线。

这是因为线段的两侧与垂直平分线之间的距离相等。

3. 垂直平分线垂直于线段垂直平分线与线段垂直是垂直平分线的重要性质之一。

也就是说，线段与垂直平分线之间的夹角是90度。

第二讲垂直平分线角平分线

第二讲垂直平分线、角平分线【知识梳理】1、线段垂直平分线性质、判定垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。

<直线与射线有垂线，但无垂直平分线> 性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

（如图1，AO=BO=CO ）2、角平分线的性质、判定性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

（如图2，OD=OE=OF)【重点难点】垂直平分线的性质定理和判定定理及角平分线的性质定理和判定定理的应用。

【典例精析】例1 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，求证：BM=MN=NC ．例2 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上的一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 与点E ，CD 交BE 与点F 。

求证：BE 垂直平分CDAC B O 图1 图2 O A C B DE F例3如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB与E,AB=10cm，求△DEB的周长。

例4 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.【巩固练习】1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定2、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4、如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D 到AB边的距离为（）A．18 B．32 C．28 D．24第2题第3题第4题第5题5、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A. 在AC，BC两边高线的交点处B. 在AC，BC两边中线的交点处C. 在AC，BC两边垂直平分线的交点处D. 在∠A，∠B两内角平分线的交点处6、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D. 仅①和③正确7、△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D 。

三角形的角平分线与垂直平分线

三角形的角平分线与垂直平分线在几何学中，我们经常学习到与三角形相关的概念和性质。

其中，角平分线和垂直平分线是常见且重要的两个概念。

本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线，包括其定义、性质以及几何意义。

一、角平分线角平分线指的是将一个角分成两个相等角的线段。

在三角形中，每个角都有三条角平分线。

接下来我们将探讨角平分线的性质和几何意义。

1. 角平分线的性质（1）角平分线将角分成相等的两个角。

（2）角平分线与三角形的边相交于一个点，称为角平分线的起点。

（3）角平分线与三角形的对边上的点相连，构成两条相等的线段。

（4）角平分线的起点、两条角平分线相交点和三角形对边上与角平分线相交的点四点共线。

2. 角平分线的几何意义角平分线在几何学中具有重要的应用和几何意义。

其中，最常见的应用是求角平分线的长度和证明角平分线存在。

此外，角平分线也常用于解决与角度相关的几何问题，如角度相等、角度比较等。

二、垂直平分线垂直平分线是指与三角形的一条边垂直且等分该边的线段。

同样，每个三角形都有三条垂直平分线。

下面我们将详细讨论垂直平分线的性质和几何意义。

1. 垂直平分线的性质（1）垂直平分线与三角形的边垂直相交。

（2）垂直平分线将三角形边分成两个相等的线段。

（3）三角形的三条垂直平分线的交点共同形成三角形的内心，称为内心的位似点。

2. 垂直平分线的几何意义垂直平分线在几何学中起着重要的作用。

垂直平分线不仅可以用于构造三角形的内心，还可以用于判断一个点是否在三角形的内部。

此外，在解决与三角形有关的几何问题时，垂直平分线也有广泛的应用。

综上所述，三角形的角平分线和垂直平分线是几何学中常见且重要的概念。

通过学习它们的性质和几何意义，我们可以更好地理解三角形以及与之相关的形状和性质。

希望通过本文的介绍，读者能够对角平分线和垂直平分线有更深入的了解，并能在实际问题中熟练应用。

线段的垂直平分线与角平分线

线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1.∵ CD ⊥AB.且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2.∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点.并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形.则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之.也成立。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4.∵ OE 是∠AOB 的平分线.F 是OE 上一点.且CF ⊥OA 于点C.DF ⊥OB 于点D. ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形.它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5.∵点P 在∠AOB 的内部.且PC ⊥OA 于C.PD ⊥OB 于D.且PC ＝PD.图1图2图4∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点.并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6.如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F.则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.【典型例题】例1、如图1.在△ABC 中.BC ＝8cm.AB 的垂直平分线交AB 于点D.交边AC 于点E.△BCE 的周长等于18cm.则AC 的长等于（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【跟踪练习】（1）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果△EBC 的周长是24cm.那么BC=_________;（2）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果BC=8cm.那么△EBC 的周长是______;（3）如图.AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果∠A=28度.那么∠EBC=___.例2、已知： AB=AC.DB=DC.E 是AD 上一点.求证：BE=CE.【跟踪练习】已知：在△ABC 中.ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC.求证：点O 在BC 的垂直平分线.例3、在△ABC 中.AB=AC.AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°.△ABC 的底角∠B的大小为_______________。

角的平分线与垂直平分线

角的平分线与垂直平分线角是几何学中常见的重要概念，平分线是指将一个角平分为两个相等部分的线段。

垂直平分线则是指从一个角的顶点到对边中点的垂线。

角的平分线与垂直平分线在几何学中有着广泛的应用，并且具有一些重要的性质和定理。

本文将详细介绍角的平分线与垂直平分线的概念、性质以及应用。

1. 角的平分线角的平分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的部分的线段。

平分线可以是直线、射线或线段。

当平分线是直线时，它穿过角的顶点并且将角分成两个相等的角度。

当平分线是射线或线段时，它起始于角的顶点但不穿过角的顶点，并且将角分成两个相等的一部分。

平分线有时候也被称为角的二等分线。

平分线是角的重要性质之一。

在几何学中，平分线可以帮助我们解决各种角相关的问题。

例如，当我们需要将一个角分成两个相等的角度时，可以通过构造该角的平分线来达到目的。

平分线也可以用来证明两个角相等，当且仅当它们的平分线重合时，这是角的平分线的一个重要性质。

2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个角的顶点作垂线，且该垂线与对边重合的线段。

换句话说，垂直平分线是从一个角顶点到对边中点的垂线。

垂直平分线有时候也被称为角的垂直二等分线。

与平分线类似，垂直平分线也有许多重要的性质和应用。

首先，垂直平分线将一个角分成两个相等的角度。

其次，垂直平分线是角的对称轴，即通过对称操作，将角绕垂直平分线旋转180度，可以得到一个重合的角。

这个性质在角的对称性证明中经常被使用到。

3. 角的平分线与垂直平分线的应用角的平分线和垂直平分线在几何学中广泛应用于证明和解决各种角相关的问题。

它们可以帮助我们证明两个角相等、寻找角的平分线、构造垂直平分线等。

举个例子，假设我们需要证明两个角相等。

可以通过构造两个角的平分线来达到目的。

首先，我们利用直尺和铅笔构造出两个角，并在它们的顶点处作出平分线。

接着，我们可以利用这些平分线的性质来证明这两个角是相等的。

此外，平分线还可以帮助我们寻找未知角的大小。

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