《概率论》第5章§2中心极限定理

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第二节-中心极限定理要点

第二节-中心极限定理要点
k 1
定理的应用:对于独立的随机变量序列 X n,不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布,只要它们是同分布,
且有有限的数学期望和方差,那么,当n充分大时,这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,服从同一分
布,且有有限的数学期望 和方差 2 ,则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一,它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法,而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中,我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.

《概率论与数理统计》课件5-2中心极限定理

《概率论与数理统计》课件5-2中心极限定理

X X B( 1 0 0 0 0 ,
EX = np = 10000 0.7 = 7000,
DX = npq = 10000 0.7 0.3 = 2100.
a
-
X N(7000,
P{26180000) X 7200} (
)− (
)
7200 − 7000 6800 − 7000
= 2 ( ) −1 = 2 (4.23160)0−1 = 1.
EX = np = 100根0.8 = 80,
DX = npq = 100根0.8根0.2 = 16.
a
X N(80,16)
P{80 试 X 试100} = P〈0(试 X −80试 5 卜)
l
4
J
~ 牵(5) − 牵(0) = 1− 0.5 = 0.5.
3
10000 ,
0.7. .
, 6800 7200
| i=1 n →的
C(x) |
A
|l
J|
|l
J|
B
(n
)
xXi − 入
P〈 i=1
三 x 卜=
→的 | n 入 |l
C(x) |
J|
(n
)
X i− n入
C
D) lim P〈
三 x = C(x) .
n →的
|
n入
|
D
|l
J|
2
X ~ B(100,0.8) , P恳80 试 X 试
100
X B( 1 0 0 , 0 .
x100
500 −100根
P{ Xi > 500}~ 1− 牵
i=1
10 35
= 1− 牵(8.78) ~ 0

概率论及数理统计:5.2 中心极限定理

概率论及数理统计:5.2 中心极限定理

Ch5-35
*补充:设某农贸市场某种商品每日的价格的变化
是均值为0,方差为 2 = 2的随机变量,即
Yn Yn1 X n (n 1)
其中 Y n 是第 n 天该商品的价格。如果今天的价格 为100,求18天后该商品的价格在96与104之间的 概率。
19000 28500 47500
1.376 43.589 0.9162
Ch5-33
中心极限定理的意义
在实际问题中,若某随机变量可以看作是 有相互独立的大量随机变量综合作用的结 果,每一个因素在总的影响中的作用都很 微小,则综合作用的结果服从正态分布.
Ch5-34
作业 P166习题五 8、10、11
x t2
e 2 dt
2
Yn
n
Xk 的标准化随机变量
k 1
上式指Yn以标准正态 分布为极限
Ch5-23
例如:
P(a
n k 1
Xk
b)
(b n ) (a n
n ) n
重点:
n
Xk
k 1
近似服从
的均值
N (n, n 2 ).
的方差
定理 DeMoivre-Laplace 中心极限定理
Ch5-24
0
120 48
0
120 48
(17.32)
0
a r
120 48
反查标准正态函数分布表,得 3.09 99.9%

解得
a 120
a (3.09 48 120)r
r
3.09
48
141r
Ch5-29
例 检查员逐个地检查某种产品,每检查一只 产品 需要用10秒钟 . 但有的产品需重复检 查一次,再 用去10秒钟. 假设产品需要重复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.

第二节 中心极限定理

第二节  中心极限定理

1 2

e
x
t2 2
dt
q=1-p
定理表明,当n很大,0<p<1是一个定值 时(或者说,np(1-p)也不太小时),二项变 量的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
例2某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被 盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户 中因被盗向保险公司索赔的户数 (1) 写出X的概率分布
第五章
Hale Waihona Puke 大数定律和中心极限定理§5.2 中心极限定理
大数定律揭示了大量随机变量的算术平均值
在一定条件下具有某种稳定性这一重要规律。
而在概率论中还有一类重要的极限定理,它是 解决在什么条件下,大量独立的随机变量的和 的分布是以正态分布为极限分布。
列维一林德伯格(Levy-Lindberg)定理. 定理1(独立同分布下的中心极限定理) 设X1, X2, …是独立同分布的随机变量序 列,且E(Xi)= ,D(Xi)= 2 ,i=1,2,…, 则 n X i n x 1 -t 2 2 i 1 e dt lim P{ x } n - 2 n
解: 设Xi (i=1,2…n)为第i箱重量,n为所求箱 数由条件知X1 , X2 … Xn是独立同分布的, 而n箱总重量X = X1 +X2 + … + Xn E(Xi )=50 DX 5
i
E(X ) = 50n
D(X) = 25n
由中心极限定理, X近似N(50n,25n)
P(X ≤5000)= P ( X 50n 5000 50n ) 5 n 5 n 1000 10n ( ) 0.977 ( 2) n 1000 10n 由此可见 2 n

第5章§2中心极限定理

第5章§2中心极限定理

n
的分布函数 F (对任意 满足 x) x
n
X k n k 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
n


x
1 e 2

t2 2
dt Φ ( x )
第五章 大数定律与中心极限定理
§2
, 对于均值为 方差
中心极限定理
4/11
(n 1, 2, )

k 1
k 1
x F对任意 若 Z 的分布函数 满足 n ( x) n n nN (0,1) {Z n }的极限分布是否为 Xk k k 1 k 1 一般地,答案是否定的 ! lim Fn ( x) lim P n n n 2 k 取 X n 0 (n 2, 3, ), 则 k 1
O
拉普拉斯
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
k
第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
7/11
高尔顿( Francis Galton,18221911) 英国人类 学家和气象学家
共15层小钉
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
x
记 则
Xk
1, 1,
t2 X1 1 1 Z (n Φ 1,( 2, ) n e 2 dt x) 2 1 x
E ( Z n ) 0, D( Zn ) 1 (n 1, 2, ) 部分和标准化 r.v
x
除非 服从正态分布,否则结论就不真 . X 1 n} X 则称 { 服从中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理

概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理

概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理
nA 一种提法是: “当 n 足够大时,频率 n 与概率 p 有较大偏差
的概率很小” ,用数学语言表达,就是要证明: 0 ,有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ,或 n n . n
另一种提法是:研究随机变量 n A 的分布的极限行为,即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 . n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ,i 1 , 2 , , n , 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验.若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数, 则事件 A 发生的频率为 n . 所谓 “频 率的稳定性” ,无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时,
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数.这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” . nA 由此可见,讨论频率 n 的极限行为,是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
11 / 102
§5.1
大数定律
作为预备知识,我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念,同时给出一个重要的不等式,它是以下理 论证明所用的主要工具之一.
定 义 1.1 设 a 是常数,对于随机变量序列 ,如果 0 ,有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数,即在这个常数的附近摆动,这就是所谓的“频
率稳定性”.但对这一点,至今为止我们尚未给予理论 上的说明.另外,在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近,那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?

第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件

第五章  大数定律与中心极限定理  《概率论》PPT课件

概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2)中 心极限 定理表明,若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布,且它们的数学期
望及方差存在,则当n充分大时,其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布)
3)中心定理还表明:无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1(Chebyshev切比雪夫大数定律)
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列,EXn , DXn , n 1,2, 存在,
其方差一致有界,即 D(Xi) ≤L,
i=1,2, …, 则对任意的ε>0,
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中,习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格(Levy-Lindberg)定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时,事件
" Xn X " 的概率收敛到1,即

概率论与数理统计第五章大数定律与中心极限定理

概率论与数理统计第五章大数定律与中心极限定理

由独立同分布中心极限定理
100
P{
i 1
Xi
300}
1
300 100 10 35
7 2
12
精品资料
1 (2.93)
0.9983
2. 德莫佛-拉普拉斯中心极限(jíxiàn)定理(De MoivreLaplace)
设随机变量 n (n=1, 2, ...) 服从(fúcóng)参数为 n, p
由切比雪夫大数定理
n
Xi P
fn
i 1
n
p
精品资料
3. 辛钦大数(dà shù)定律(P108)
若{Xk, k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, EXk= < , k=1, 2, … 则
Yn
1 n
n k 1
Xk
P
推论: 若{Xi, i=1.2,...}为独立同分布随机变量(suí jī biàn liànɡ)序列, E(X1k) < , 则
lim
n
P{|
Xn
X
|
}
1
则称{Xn}依概率收敛于X. 可记为 Xn P X.
精品资料
P
例如 X n a 意思(yì sī) n 时, Xn落在
(lìrú
是: 当
)(:a , a ) 内的概率越来越大. N , n N
Xn
a a a
而 X n a 意思是: 0, N , 当 n N | X n a |
1
n
n i 1
X
k i
P
E
(
X
k 1
)
精品资料
三. 几个(jǐ ɡè)常用的中心极限定理
1. 独立同分布中心极限(jíxiàn)定理(P109)

《概率论》第5章§2中心极限定理

《概率论》第5章§2中心极限定理

第五章 大数定律与中心极限定理


§2
中心极限定理
3/11
{Xn} 服从中心极限定理的条件是什么
X1 , X2 ,, Xn , 相互独立
E( Xk ), D( Xk ) 都存在 (k = 1,2, )
第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
4/11
设 {Xn }为独立 同分布的 r.v 列,其数学期望和方差分别为 E( Xk ) = , D( Xk ) = σ 2 > 0 (k = 1,2, ) 即标准化r.v 则 {Xn }服从中心极限定理 ,即标准化r.v n n n ∑ Xk E(∑ Xk ) ∑ Xk n
500
~
故至少应配备28条外线才能满足要求. k =1 第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
10/11 10/11
设 {Xn} 是独立r.v列,它们具有数学期望和方差: 是独立r.v列 它们具有数学期望和方差: E( Xk ) = k , D( Xk ) = σk2 > 0 (k = 1,2, ) n 2 2 Bn = ∑σk (n =1,2,) k =1 李雅普诺夫条件 若存在δ > 0,使得当 n → ∞时,有
7 8 9 10 11
近似
拉普拉斯
O
1 2 3 4 5 6
k
第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
8/11
高尔顿( 高尔顿( Francis Galton,1822Galton,1822-1911) 英国人类学家和气 象学家
共15层小钉
x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8

概率论与数理统计第5章第2节

概率论与数理统计第5章第2节



P(940 X 1060 )
用正态分布近似计算
由中心极限定理,
1000, 5000 X ~ N 6
近似
1000, 5000 X ~ N 6 1 X P(940 X 1060 ) P 0.01 6000 6 1060 1000 940 1000 5000 6 5000 6
1 令 Xi 0
第i位顾客选择了甲 i 1,2 2000 否则
1 令 Xi 0
第i位顾客选择了甲 否则
1 X i ~ (0 1)分布 P( X i 1) P ( X i 0) 2 1 即 X i ~ B (1, ) 诸Xi独立同分布,
2
设 Y Xi
由题给条件知,诸Xi独立同分布,
E(Xi)=100,
D(Xi)=10000
16 k 1
16只元件的寿命的总和为 Y X k
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 诸Xi独立同分布, E(Xi)=100,D(Xi)=10000 16 16只元件的寿命的总和为 Y X
分析: 求的是100个独立且均服从均匀分布的 随机变量和的概率分布问题 解: 设 X i 为第i段的误差 i=1,2,…100 由题给条件知,诸Xi独立同分布, 1 X i ~ U (1,1) 则 EXi 0, DX i
总误差Y X i
i 1 100
100 则 EY 0, DY 3
在概率论中,习惯于把和的分布收敛于正 态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理, 也称列维一林德伯格 (Levy-Lindberg)定理.

《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理

《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位?
4.大样本统计推断的理论基础
是什么?
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景:1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证:_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布,则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点:用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布,当n很大时,计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计?
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计?
3.为何正态分布在概率论中占
解:(1)设X表示一年内死亡的人数,则~(, ),其中=,=.%. 设Y表示保险公司一年的利润,=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且,
由中心极限定理
解:设为第i个螺丝钉的重量, 相互独立同分布. 于是,一盒螺丝钉的重量为

高等数学-概率5.2 中心极限定理

高等数学-概率5.2 中心极限定理

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现在我们用中心极限定理来揭穿这个 赌博中的奥秘. 请看演示:
高尔顿钉板试验的理论解释
n次碰钉后小球的位置 Yn近似服从正态分布N(0,n). E(Yn)=0, Var(Yn)=n .
如图,钉板有n=16层,可以 求出标准差 16 4 ,
现在你知道为什么摆摊的人敢于 在上面放那么值钱的东西了吧!
这一讲我们介绍了中心极限定理
中心极限定理是概率论中最著名的结果之 一,它不仅提供了计算独立随机变量之和的 近似概率的简单方法,而且有助于解释为什 么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线 这一值得注意的事实.
在后面的课程中,我们还将经常用到中心 极限定理.
定理2(棣莫佛-拉普拉斯定理) 设随机变量 ~B (n, p)(0<p<1),则有
(1)局部极限定理: 当 n 时,
P k 1 2 npq

k np 2
2 npq
e

k np npq npq 1
(2)积分极限定理: 当 n 时,
X
n
求最小的k,使 P{每部电话需要使用外线时可以打通}≥90% 求最小的k,使P{X1+X2++X200 ≤k}≥90% 求最小的k,使 k 10 10 ( ) ( ) 0.9 9.5 9.5 10 k 10 ( ) 0 求解 ( ) 0.9 9.5 9.5 k 10 查附表二 1.282 k 13.95 9.5 ∴该单位总机至少需要安装14条外线.
第五章第四节
ห้องสมุดไป่ตู้中心极限定理
一、中心极限定理的客观背景 在实际问题中,常常需要考虑许多随机因 素所产生总影响.

概率论5

概率论5
n
lim P Yn Y 0,
特别地,当Y c为一常数时,称{Yn , n 1} 依概率收敛于常数c.
c c c
P P 性质: X n a, Yn b,当n 时. 若
函数(x,y)在点(a,b)连续,则 g g ( X n , Yn) g (a, b),当n 时.
例4 设随机变量X 1 , , X n , , 相互独立同分布, X 1 ~ U (1, 1). 则 1 n 1 n 1 n 2 () X k,(2) X k ,(3) X k 1 n k 1 n k 1 n k 1 分别依概率收敛吗? 如果依概率收敛,分别收敛于什么?
1 n P 因为,E( X1 ) 0, 故, X k 0, n k 1 1 1 1 1 n P 1 同理,E ( X 1 ) x dx , X k , 1 2 2 n k 1 2 1 1 1 n 2 P 1 2 2 1 E ( X 1 ) x dx , X k . 1 2 3 n k 1 3
1 100 5 /100 P{| X i | 0.5} 1 0.52 0.8; 100 i 1
(2)同样利用切比雪夫不等式,要使得
1 n 5/ n P{| X i | 0.5} 1 2 0.95, n需满足n 400. n i 1 0.5
例2 在n重贝努里试验中,若已知每次试验 事件A出现的概率为0.75,试利用切比雪夫不 等式, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76 之间的概率至少有多大; (2)估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之 间的概率不小于0.90。
n
n
即,条件(5.1.8)满足,由定理5.1.3知结论成立.

中心极限定理(27页PPT)

中心极限定理(27页PPT)
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立,称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1(林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理)
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理,即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理

概率论-第5章 大数定律及中心极限定理

概率论-第5章 大数定律及中心极限定理

§1 大数定律
一、问题的引入
生产过程中的 字母使用频率 废品率 启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值 有稳定性.
大量抛掷硬币 正面出现频率
§1 大数定律
一、问题的引入
大数定律的概念 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理,称为大数定律(law of large number)
§2 中心极限定理
即考虑随机变量X k (k 1, n)的和 X k的标准化变量
k 1 n
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D ( X k )
2
说明每一个随机变量都有相同的数学期望。
§1 大数定律
检验是否具有相同的有限方差?

Xn P
2
( na ) 1 2 2n
2 n
2
0 1 1 2 n
2
( na ) 1 2 2n
2
1 2 a , E ( X ) 2( na ) 2 2n 2 ) [ E ( X n )]2 a 2 . D( X n ) E ( X n
使得当 x a y b 时,
g( x , y ) g(a , b)பைடு நூலகம் ,
§1 大数定律
于是 { g( X n , Yn ) g(a, b) }
{ X n a Yn b }
X n a Yn b , 2 2
§2 中心极限定理
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后,人 们发现,正态分布在自然界中极为常见.
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成,而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题.

概率论与数理统计第5章

概率论与数理统计第5章

i 1
22
例1 设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为 0.1的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互 独立,求他们的寿命之和超过350小时的概率.
解 设Ti为第i个元件的寿命, i 1,2,,30,T为寿命之和
显 然T1 ,T2 ,,T30相 互 独 立
30
且 Ti ~ E(0.1), i 1,2,.30 T Ti
且EX i , DXi 2 0,则x R,有
n
lim
P
i 1
Xi
n
x
x
n
n
1
t2
e 2 dt ( x)
2
莱 维n 中心 极 限 定 理表 明
记量 即Y的Yn n分当~•i布1NnX 函(ni 0数,1n,)收随敛机则于n变YX标量准ni为~序正 • Ni列 态 n1(inXn分1iX,的 布ni 的的标2标)分准准布化化函随随数. 机 机 变变 量
1
t2
e 2 dt ( x)
n np(1 p) 2
n
证明 由于 X n ~ B(n, p) 则X n X k , k 1
其中 X1, X2 ,, Xn 是相互独立的、服从同一
(0-1) 分布的随机变量, 分布律为
P{ Xk i} pi (1 p)1i , i 0, 1.
30
分nll设布ii其 (mm0X,随-P中Pn1则机)Xin分对X变k11n,nX1布任X量Xni 2n的意k,Xpn, n随x服,,X机从xn有x变是参量相数x,x互分n,1独布21p(立e律0et2的2为t2d2 dtp、t服1()从 x的) 同二一项
20
服从均匀分布。记 V Vk 求P{V>105}的近似值 k 1

中心极限定理 公式

中心极限定理 公式

中心极限定理公式中心极限定理(Central Limit Theorem)是概率论中的一个重要定理,它可以描述一类随机变量的分布特性。

该定理的公式形式如下:设X₁, X₂, ..., Xₙ是独立同分布的随机变量,它们具有相同的概率分布,且具有有限的均值μ和方差σ²。

令Sₙ = (X₁ + X₂ + ...+ Xₙ) / √n,则当n趋近于无穷大时,随机变量Sₙ的分布趋近于正态分布,其均值为μ,方差为σ²/n。

中心极限定理被认为是概率论和统计学的一个基本定理,它在理论和实际应用中都起到了至关重要的作用。

它的核心思想是,当一个随机变量是由大量相互独立的随机事件叠加而成时,其分布趋向于正态分布。

这意味着即使原始随机变量的分布不是正态分布,但当样本数足够大时,样本均值的分布将接近于正态分布。

中心极限定理的生动性在于它提供了一个如何从大量随机事件中得到可靠结论的方法。

假设我们想要研究某地区居民的身高。

如果我们直接从全体居民中随机抽取一些人,可能面临样本不足、样本不具有代表性等问题。

而中心极限定理告诉我们,只要我们能够抽取足够数量的样本,样本均值的分布将逐渐接近正态分布,从而能够提供关于全体居民身高的合理估计。

中心极限定理的全面性在于它适用于各种类型的随机变量。

无论原始分布是均匀分布、指数分布、二项分布还是任何其他形式,只要满足独立同分布的条件,中心极限定理都成立。

这使得中心极限定理成为处理实际问题的有力工具。

不论我们需要研究某种产品的质量、市场的需求量,还是其他任何具有随机性的现象,中心极限定理都可以帮助我们得到更准确的结果。

中心极限定理的指导意义在于它可以为我们提供关于样本大小的参考。

根据中心极限定理的要求,当我们想要得到一个具有一定可靠性的估计值时,我们需要确保样本数足够大。

通常,当样本数超过30时,中心极限定理的近似效果足够好;当样本数超过100时,其近似效果更加显著。

因此,在实际应用中,我们可以根据中心极限定理的指导,选择适当的样本大小,以获得可靠的结果。

概率论与数理统计5.2中心极限定理

概率论与数理统计5.2中心极限定理

n p(1 p)
2
n p(1
p)
1,

P
nA n
p
1
P
nA n
p
2
1
n p(1
p)
.
注:用这个关系式可解决许多计算问题.
例4 重复掷一枚质地不均匀的硬币, 设在每次试
验中出现正面的概率 p 未知. 试问要掷多少次才能
使出现正面的频率与 p 相差不超过1/100的概率达
,
所求概率为
k 0,1, ,10000.
7200
P{6800 X 7200}
Ck 10000
0.7k
0.310000k
.
k 6800
直接计算很麻烦, 利用德莫佛-拉普拉斯中心极限
定理来近似计算.
P{6800 X 7200}
P
7200
np
np(1 p)
X np
6800 np
Xn
k 1
是相互独立的、服从同一
(0-1) 分布的随机变量, 分布律为
P{ X i k} pk (1 p)1k , k 0, 1.
E( Xi ) p, D( Xi ) p(1 p) (i 1, 2, , n),
根据独立同分布中心极限定理得
n
lim P n
n np
np(1 p)
i 1
2. 德莫佛-拉普拉斯定理
设随机变量n (n 1,2,) 服从参数为n, p
(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意 x, 恒有
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
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§2
中心极限定理
5/11
对于均值为 ,方差 σ 2 > 0 的独立同分布的 r.v 列 有 即或
X1 , X2 ,, Xk ,
近似
∑ Xk n k =1

n
~ N(0, 1)
2
X1 + X2 ++Xn
近似
~ N(n , nσ )
在实际问题中, 在实际问题中,如果某数量指标满足 该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成 这些随机因素都是微小的, 这些随机因素都是微小的,没有一个因素起到 突出的作用 则这个数量指标近似地服从正态分布
第五章 大数定律与中心极限定理

7 8 9 10 11
近似
拉普拉斯
O
1 2 3 4 5 6
k
第五章中心极限定理
8/11
高尔顿( 高尔顿( Francis Galton,1822Galton,1822-1911) 英国人类学家和气 象学家
共15层小钉
x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
np(1 p)
~ N(0,1)
于是当 n充分大时,可以认为 充分大时, 近似 ηn N(np , np(1 p)) η20 ~ b(20,0.2) 的图形为
~
P{ 20 = k} η
人物介绍
棣莫弗
人物介绍
η20 ~ N(4 , 3.2) P{P{ = 3} =} = 0.218 ηnηn = 4 0.205 P{ n = 2} P{ .n = 5} = 0.175 η = 0 137 η P η= 01= 0.012P{ = k = 0.109 P{ { n =}} = 0.058 ηnn= 6}} < 0.001 (k ≥ 11) ηn P{ η P{ n = 7} = 0.055 η
因二项分布产生于 n重伯努利试验,故 ηn可分解为 重伯努利试验, ηn = X1 + X2 ++中心极限定理, Xn 该定理是概率论历史上第一个中心极限定理 该定理是概率论历史上第一个 中心极限定理 , 由 棣莫 Xk (k = 1,2, = 1/ 2时的证明,几十年后经拉普拉斯推广 其中1730年给出 ) 为独立同分布的(0-1)分布r.v,且 分布r.v, 时的证明, 弗于1730年给出 p 为独立同分布的(0-1)分布r.v,且 的一般情形. 到 0 < p <1的一般情形., D( Xk ) = p(1 p) (k =1,2,) E( Xk ) = p 由独立同分布的中心极限定理, 由独立同分布的中心极限定理,有
500
~
故至少应配备28条外线才能满足要求. k =1 第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
10/11 10/11
设 {Xn} 是独立r.v列,它们具有数学期望和方差: 是独立r.v列 它们具有数学期望和方差: E( Xk ) = k , D( Xk ) = σk2 > 0 (k = 1,2, ) n 2 2 Bn = ∑σk (n =1,2,) k =1 李雅普诺夫条件 若存在δ > 0,使得当 n → ∞时,有
第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
11/11 11/11
为什么叫"中心极限定理" 为什么叫"中心极限定理" 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理是棣莫弗于1730年给 棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理 是 棣莫弗 于 1730年给 出的概率论历史上第一个中心极限定理 在此后的大约200 中心极限定理. 出的概率论历史上第一个中心极限定理.在此后的大约200 年中, 年中,有关对独立随机变量和的极限分布的讨论一直是概 率论研究的中心,故称为"中心极限定理" 率论研究的中心,故称为"中心极限定理". 1 ,3 ,4 ,5 ,7 ,8 至少做四题) (至少做四题) ΕΝ
∑ Xi np ηn np i =1 lim P ≤ x = lim P ≤ x n→∞ n→∞ np(1 p) np(1 p)
n
= ∫∞
x
第五章 大数定律与中心极限定理
1 et2 dt = Φ(x) 2π
2
§2
中心极限定理
7/11
对于一列二项分布r.v 对于一列二项分布r.v ηn ~ b(n, p) (n =1,2,) 有 , ηn np 近似
1 n E{| Xk |2+δ } → 0 k 2+δ ∑ Bn k =1
则 {Xn }服从中心极限定理,即 服从中心极限定理,
Zn =
∑ ∑ ∑ Xk E(k=1 Xk ) k=1 Xk k=1 k ∑ k =1
D(∑ Xk )
k =1 n
n
n
n
n
=
近似
Bn
~ N(0,1)
人物介绍 李雅普诺夫
§2
中心极限定理
1/11
在现实中为什么很多数量指标都服从 或近似服从正态分布
Z
近似
~N( ,
)
研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素 综合影响而成, 综合影响而成,即
Z = X1 + X2 ++ Xn 当 n →∞时,在什么情况下
n i =1
Zn = ∑ Xi的极限分布是 N( , )

§2
中心极限定理
3/11
{Xn} 服从中心极限定理的条件是什么
X1 , X2 ,, Xn , 相互独立
E( Xk ), D( Xk ) 都存在 (k = 1,2, )
第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
4/11
设 {Xn }为独立 同分布的 r.v 列,其数学期望和方差分别为 E( Xk ) = , D( Xk ) = σ 2 > 0 (k = 1,2, ) 即标准化r.v 则 {Xn }服从中心极限定理 ,即标准化r.v n n n ∑ Xk E(∑ Xk ) ∑ Xk n
∑ Xi ∑E( Xi ) i =1 i =1
D(∑ Xi )
n i =1
n
n
的极限分布是 N(0,1)
第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
2/11
设 { Xn}是独立r.v列,均值和方差都存在 是独立r.v r.v列 2 E( Xn ) = n , D( Xn ) = σn (n = 1,2, ) n n n n 令 ∑ Xk E(∑ Xk ) ∑Xk ∑k
9/11
P{Xk = 0}∑0.96,20{Xk =1 =p = 0.04 20 } = Xk P N 20 ≈ Φ( N k =1 ) ≥ 0.95 P{∑Xk ≤ N } = P ≤ 又 由独立同分布中心极限定理有 19. 0 19.2 k =1 n = 520 19.2 500 近似 p = 0.04 查正态分布表得 Φ(1.65) = 0.95,故有 ) N(20, 19.2 ∑Xk k =1 np = 20 N 20 ≥ 1.65 N , np 条外线才能满足要求,则应有 设共需要 N 条外线才能满足要求≥ 27.23 (1 p) =19.2 19.2 500 P{∑ Xk ≤ N } ≥ 0.95 故至少应配备28条外线才能满足要求. 故至少应配备28条外线才能满足要求. 28条外线才能满足要求
记 则
, 1 小球碰第 Xk = 1 小球碰第 ,
k =1
(k=15 ,15) n = 1,2, k层钉后向左落下 = 0,σ 2 =1 近似 15 nσ 2 =15 2) Xk N( n 15 ) N( 0 ,, nσ ∑
k层钉后向右落下
~
第五章 大数定律与中心极限定理
§2 中心极限定理 某单位电话交换机接有500部电话, 某单位电话交换机接有500部电话,在所有通话中 500部电话 96%次通话是在各分机内进行的. 有96%次通话是在各分机内进行的.假定每部分机是否需要 打外线是相互独立的,问要配备多少条外线才能以95 95% 打外线是相互独立的,问要配备多少条外线才能以95%的概 率保证每个分机要用外线时不必等候? 率保证每个分机要用外线时不必等候? 在任一时刻, 在任一时刻,记 1 第 k台分机要用外线 , (k = 1,2, ,500) Xk = 0, 否则 独立同分布, 则 X1 , X2 ,, X500 独立同分布,且 500
Zn = k =1
k =1
D(∑ Xk )
k =1
n
= k =1

(n = 1 ) ,2,
的分布函数 Fn (x) 对任意 x 满足 n ∑ k =1 Xk n
n→∞
lim Fn (x) = lim P n→∞
x

≤ x
= ∫∞ 1 e 2π
t 2
2
dt = Φ(x)
第五章 大数定律与中心极限定理
Zn= k =1
k =1
D(∑ Xk )
k =1
n
=
k =1
k =1
∑σk2 k =1
n
(n = 1 ) ,2,
E(Zn ) = 0, D(Zn ) = 1 (n = 1 ) ,2, 部分和标准化r.v 部分和标准化r.v 若 Zn 的分布函数 Fn(x) 对任意 x 满足 n {Zn}的极限分布是否为nN(0,1) ∑ k ∑ k =1X k =1k 一般地,答案是否定的! 一般地,答案是否定的! lim Fn(x) = lim P ≤ x n n→∞ n→∞ σ ∑ 2 Xn = 0 (n = 2,3,), 则 =1 k 取 k 2 x X1 t 1 1 Z= = σ e 2 dt = Φ(x) ) (n = 1 ,2, n ∫∞ 2π 1 除非 {X服从正态分布,否则结论就不真. n }服从中心极限定理第五章 大数定律与中心极限定理 则称 X1 服从正态分布,否则结论就不真.
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