【【智博教育原创专题】专题讲座】导数与恒成立问题

【专题讲座】导数与恒成立问题

【例1】已知函数21()ln (0)2

f x a x x a =+

>，若对任意两个不等的正数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围。

【解答】不妨设120x x >>，则1212

()()2f x f x x x ->-等价于1122()2()2f x x f x x ->-。设()()2,(0,)g x f x x x =-∈+∞，则12()()g x g x >恒成立，即()g x 在(0,)+∞上单调递增， 所以'()20a g x x x

=+-≥在(0,)+∞上恒成立，故22a x x ≥-在(0,)+∞上恒成立，而2max (2)1x x -=，所以1a ≥。

【定理】设非常量函数()y f x =在[,]a b 内连续，在(,)a b 上可导，则对于(,)a b 上的任意两个不等实

数12,x x ，不等式1212

()()f x f x m x x ->-恒成立⇔对于(,)a b 上任意实数x ，不等式'()f x m ≥恒成立。 【证明】不妨设12,()(),(,)x x g x f x mx x a b >=-∈。对于(,)a b 上的任意两个不等实数12,x x ，不等式1212

()()f x f x m x x ->-恒成立112212()()()()()f x mx f x mx g x g x g x ⇔->-⇔>⇔在(,)a b 上单调递增'()0g x ⇔≥在(,)a b 上恒成立'()f x m ⇔≥在(,)a b 上恒成立。

【练习】已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，任取12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，不等式1212

(1)(1)1f x f x x x +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 15a ≥

【例2】已知函数2()2ln f x x x a x =++，当1t ≥时，不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围。

【解答】由已知得22(21)2(21)ln(21)242ln 3t t a t t t a t -+-+-≥++-恒成立，2222ln(21)422ln ,ln(21)2(21)(ln 2)t a t t a t a t t a t t +-≥-+---≥-，令()l n 2(1)g x a x x x =->，则2(21)()g t g t ->，当1t >时，22(21)(1)0t t t --=->，所以2(21)0t t >->，故()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以'()20a g x x

=-≤在(1,)+∞上恒成立。即2a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以2a ≤。