专题五 分类讨论题
2020年九年级中考数学专题之分类讨论专题复习(含解析)
分类讨论专题复习分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．本讲主要三个内容： 1、 代数中的分类讨论 2、 几何中的分类讨论 3、 数学综合问题中的分类讨论代数中的分类讨论类型一 概念型分类讨论题有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的，如a 的定义分a ＜0、a ＝0和a ＞0三种情况描述的．解决这一类问题，往往需要分类讨论，这一类问题我们称之为概念型分类讨论题．【例1】若,且,,则 ．类型二 性质型分类讨论题有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论．这一类问题我们称之为性质型分类讨论题．【例2】已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是 （ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2m n n m -=-4m =3n =2()m n +=【例3】已知函数1yx=的图象如下，当1x≥-时，y的取值范围是（）A．1y<-B．1y≤-C．1y≤-或0y>D．1y<-或0y≥类型三参数型分类讨论题解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论，这一类分类讨论问题我们称之为参数型分类讨论题．【例4】若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）【例5】对任意实数，点一定不在．．（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例6】关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为( )(A)a=0．(B)a=2．(C)a=1．(D)a=0或a=2．类型四解集型分类讨论题求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘（除）法法则“两数相乘（除），同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解．我们把这一类问题我们称之为解集型分类讨论题．【例7】先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式.解：∵，∴.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有ab<y ax=byx=x2(2)P x x x-，290x->29(3)(3)x x x-=+-(3)(3)0x x+->O-1-1X（1） （2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或. 问题：求分式不等式的解集. 类型五 统计型分类讨论题有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时，由于题设的不确定性，往往需要分类讨论才能获得完整的答案．这一类问题我们称之为统计型分类讨论题．【例8】已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为 ．类型六 方案设计型分类讨论题在日常生活中，针对同一问题，借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案，这一类问题我们称之为方案设计型分类讨论题．【例9】一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有 ( )A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种 类型七 综合型分类讨论题【例10】在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数的图象上，若△P AB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为( )A. 2个B. 4个C. 5个D. 6个.3030x x +>⎧⎨->⎩3030x x +<⎧⎨-<⎩3x >3x <-(3)(3)0x x +->3x >3x <-290x ->3x >3x <-51023x x +<-2y x=几何中的分类讨论类型之一：与等腰三角形有关的分类讨论与角有关的分类讨论：1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________与边有关的分类讨论2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.与高有关的分类讨论3.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角是______度.30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你5.为美化环境，计划在某小区内用2求出这个等腰三角形绿地的另两边长.6. 如图建立了一个由小正方形组成的网格（每个小正方形的边长为1）．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；（2）在图2中，点D，E为格点（小正方形的顶点），则线段DE=；若点F也是格点且使得△DEF是等腰三角形，标出所有的点F．综合应用7.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（－2，2），试在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标类型之二：与直角三角形有关的分类讨论8. 已知x轴上有两点A（﹣3，0），B（1，0），在直线l：x+y+1=0上取一点C（x，y），使得△ABC为直角三角形．求点C的坐标．9.如图，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3，4)．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是。
分类讨论问题(含问题解析)
初三数学专题复习：分类讨论问题【学习目标】1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．【学习重点】用分类讨论思想观察、分析数学问题【学习难点】选择恰当的标准进行分类【学习过程】一、分类讨论概述：1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2、分类的要求：①分类的标准统一②分类要不重不漏.二、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。
例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动时间为秒。
⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、当堂达标1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22 C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
分类讨论题(含答案)
分类讨论题在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.（•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为（)A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，（1)求证：B′E=BF;（2）设AE=a,AB=b, BF=c，试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明。
类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中,∠C＝900,AC＝3,BC＝4。
若以C点为圆心, r为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O的半径为10,且经过点B、C，那么线段AO的长等于．6。
（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A,⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米）与时间t（秒)之间的关系式为r＝1+t(t≥0）．(1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t(秒）之间的函数表达式；（2)问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7。
中考“分类讨论”题型整编(含答案)
中考“分类讨论”题型整编整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。
目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.题型1 考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
考题1．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 名师点拔：二次项系数中含有参数k ，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对52k -分类讨论. 解：（1）当502k -=时，即52k =时，此函数为1122y x =-+，故其与x 轴只有一个交点（1，0） （2）当55022k k -≠≠，即时，此函数为二次函数，2251(3)4()(2)22k k k ∆=--⨯-⨯=-. ①当2k =时，Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.212110,122x x x x -+===，交点坐标为（1，0）②当2k ≠时，Δ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点.1(1,0)(,0)52k -和. 综合所述：当52k =或2k =时，函数图像与x 轴只有一个交点（1，0）；当52k ≠且2k ≠时，函数图像与x 轴有两个不同交点1(1,0),(,0)52k-. 变式思考1已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-=（1）若方程有实数根，求k 的取值范围.（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰，故应考虑其所有可能情况.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.考题2．如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.（1）当t 取何值时，S ＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，易知ΔDMN 是等腰Rt Δ，只有当MD1MDN S ∆=，那么3ABCD MDN S S S =-=，此时求得4t =2）问中，随着t 的变化，S 的表达式发生变化，因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式，进而作出图像.解：（1）设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，∵l 的解析式y x t =+，在x 轴，y 轴上所截线段相等.∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN∵S ＝3，∴2231DMN ABCD S S S ∆=-=⨯-= 又∵21122DMN S MD ND ND ∆=⋅=∴MD ＝ND ON ＝OD －DM ＝4即D 点的坐标为（0，4∴4t =4t =S ＝3.（2）∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t∴当0≤t ＜2时，21122S B B t =M ⋅N = 当2≤t ＜4时，21(4)42ABCD DMN S S S t ∆=-=--+ 当t ≥4时，S ＝4。
分类讨论问题(经典题型)
1 / 2分类讨论问题初中数学中的分类讨论问题是近年来中考命题的热点内容之一，要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。
第一部分例题解析1、代数部分例1：化简：|x-1|+|x-2|例2、代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个2、函数部分例题1：一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（ ）。
A. 14B. -6C. -4或21D. -6或14例题2：已知一次函数2+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。
3、几何部分1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或50°D ．50°或80°2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm4、综合类：例1：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。
如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。
2 / 2试题精练1、已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为2、在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的大小。
3、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。
中考数学专题复习讲义之分类讨论问题试题
中考数学专题复习讲义之分类讨论问题【简要分析】分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的HY划分为假设干不同的情形，然后再逐类进展研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为假设干类或者假设干个部分问题来解决．分类思想方法本质上是按照数学对象的一共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克制思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一HY分类，做到不重不漏．【典型考题例析】x-=，那么第三边长例1：直角三角形两边x、y的长满足240为．例2：⊙O的半径为5㎝，弦AB∥∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，那么AB和CD的间隔是〔〕〔A〕7㎝〔B〕8㎝〔C〕7㎝或者1㎝〔D〕1㎝例3：如图2-4-2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似．例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q 运动到点B时，点P随之停顿运动．设运动时间是为t秒．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的根底知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类HY，是准确全面求解的根本保证．【进步训练】1．等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．假设△ABC≌△A´B´C´，那么△A´B´C´中一定有一定有条边等于〔〕A．7㎝ B．2㎝或者7㎝ C．5㎝ D．2㎝或者7㎝2．⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是〔〕A．1或者5 B．1 C．5 D．1或者那么3．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，那么t的值是〔〕A．2或者2．5 B．2或者10 C．10或者12．5 D．2或者12．5 ４．点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作了长为的弦AB，连续PB，那么PB的长为5．在直角坐标系xoy中，一次函数2y=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．〔1〕苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．〔2〕在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【进步训练参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或〔1〕3()2〔2〕满足条件的点P存在，它的坐标是((4(4---或或或励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
专题五整体思想,分类讨论
专题五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
对应训练1．（2013•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 （2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．对应训练2．（2013•宁德质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例 3 （2013•山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？对应训练3．（2013•牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．四、中考真题演练一、选择题1．（2013•杭州）若a+b=3，a-b=7，则ab=（ ）A ．-10B ．-40C ．10D ．402．（2013•黄冈） 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ）A ．πB ．4πC ．π或4πD ．2π或4π3．（2013•达州）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（2013•齐齐哈尔）CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB=10，CD=8，则BE 的长是（ ）A ．8B ．2C ．2或8D ．3或75．（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）A ．cmB ．C ．cm 或D ．2cm 或6．（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20°7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．188．（2013•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．π二、填空题9．（2013•枣庄）若a2−b2＝1，a−b＝1，则a+b的值为．为．19．（2013•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点M在x轴上，⊙M半径为2，⊙M与直线l相交于A，B两点，若△ABM 为等腰直角三角形，则点M的坐标为．20．（2013•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．21．（2013•呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y 轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为．22．（2013•乐亭县一模）如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C 的圆心坐标为（2，O），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是．23．（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．24．（2013•天门）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O三、解答题25．（2013•湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m （亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是元，小张应得的工资总额是元，此时，小李种植水果亩，小李应得的报酬是元；（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．行进，则从B处到达C岛需要多少小时？。
浙教版中考数学专题复习——分类讨论题
分类讨论题类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
故顶角可能是50°或80°.答案：D .同步测试：1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A 在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。
压轴题型五 分类讨论综合型问题
压轴题突破
步步高中考总复习
解
(1)①若 AB 是⊙O 的直径，则∠APB＝90°.
②如图，连接 AB，OA，OB. 在△AOB 中， ∵OA＝OB＝1.AB＝ 2， ∴OA2＋OB2＝AB2. ∴∠AOB＝90°. 1 ︵ 当点 P 在优弧AB上时，∠AP1B＝ ∠AOB＝45°； 2 1 ︵ 当点 P 在劣弧AB上时，∠AP2B＝ (360°－∠AOB)＝135°. 2
二、几何图形中分类讨论综合题
常考角度：几何图形(特别是点或直线)在不同的位置，对
一些线段的位置关系和数量关系往往产生不同的结果，对 一些角之间的关系也产生影响，有时对图形的面积等其他 性质的结果也不一样，必须分类讨论，对每种结果进行说 明．
专题解读
压轴题突破
步步高中考总复习
【例题2】 (2012· 南京)如图，A，B 是⊙O上的两个定点，P是⊙O
专题解读
压轴题突破
步步高中考总复习
②分两种情况进行讨论： (Ⅰ)当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如图2， 延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明
△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN＝
2CN.设CN＝a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角 形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y ＝(x－3)(x＋1)，求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射 线DC上，同理可求出点M的坐标； (Ⅱ)当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到 ∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞ 45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以
专题解读
压轴题突破
步步高中考总复习
1．掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性
中考数学专题复习：分类讨论题
中考数学专题复习：分类讨论题中考数学专题复：分类讨论题直线型分类讨论直线型分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题。
这些问题中，等腰三角形顶角度数和三角形高的长度是重要的考点。
例如，对于一个等腰三角形，如果其中一个角度数为50°，则需要分类讨论这个角是顶角还是底角。
如果这个角是顶角，则可以通过求解另外两个角的度数得到顶角的度数；如果这个角是底角，则可以通过计算底角的度数来得到顶角的度数。
因此，顶角可能是50°或80°。
同样地，在解决三角形高的问题时，也需要分类讨论。
例如，如果一个三角形的底边和斜边长度已知，需要求解这个三角形的高的长度，则需要分类讨论这个高是否在三角形内部。
如果高在三角形内部，则可以利用勾股定理和相似三角形的性质求解高的长度；如果高在三角形外部，则可以利用平移和相似三角形的性质求解高的长度。
圆形分类讨论圆形分类讨论主要是解决圆的有关问题。
由于圆是轴对称图形和中心对称图形，因此在解决圆的问题时，需要注意分类讨论，以避免漏解。
例如，对于一个直角三角形，如果以直角为圆心画圆，则这个圆与斜边只有一个公共点。
这个问题可以分类讨论，分别考虑圆与斜边相切和圆与斜边相交的情况，从而得到圆的半径的取值范围。
函数方程分类讨论函数方程分类讨论主要是解决复杂的函数方程和方程组的问题。
在解决这些问题时，需要注意分类讨论，以避免遗漏解或得到错误的解。
例如，对于一个函数方程，如果该方程在某个区间内有多个解，则需要分类讨论这些解的性质，例如它们是否为连续函数、是否为单调函数等等。
从而可以得到方程的解的取值范围。
总之，分类讨论是解决数学问题的重要方法之一，尤其适用于复杂的问题。
在进行分类讨论时，需要认真分析问题，将问题分成若干个互不重叠的情况，并对每种情况进行单独的讨论和求解。
本题涉及到函数的分类讨论和解析式的求解，同时也需要注意特殊点的情况。
初三数学专题复习五 分类讨论思想
专题复习四：分类讨论思想一。
基本分类方法：1．由点的不确定性引起的分类讨论。
2．由图形的对应关系的不确定性引起的分类讨论。
3．由图形的不确定性引起的分类讨论。
4．由图形位置的不确定性引起的分类讨论。
5．对求解过程不便统一表述的问题进行分类讨论。
6．分类讨论思想在方程、不等式中的应用。
二．典型例题：【例题1】1.若点P（x，y）到x轴的距离是3，到y轴距离是2，则P点坐标是___________;2.直角三角形的两边长分别是6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于_________;3.已知⊙O的半径为1，AB=1，AC=2，则∠CAB的大小为_________;4．相交两圆的公共弦长为16cm，若两圆的半径长分别为10cm和17cm，则这两圆的圆心距为．5.若关于x的方程mx22m-4-2x2+2x-1=0是一元二次方程，则m=___________; 6.若a-a-1=0，b-b-1=0，则【例题2】已知反比例函数y=kx2ba+ab=____________; 和一次函数y=mx+n的图像有一个交点是A（-3，4），且一次函数的图像与x轴的交点到原点的距离是5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式；【例题3】在平面直角坐标系内有一点P，且点P在直线y = -2x+3上；（1）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标；（2）若点P在第三象限，是否存在它到两坐标轴的距离相等？若存在，请求出点P坐标；（3）点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标；0【例题4】在Rt△ABC中,∠ACB=90,AB=5,AC=3,D是AB上的一点,AE⊥CD,垂足为E,AE交直线BC于点F.求:(1)当tan∠BCD=12时,则BF的值.(2)点F在BC边上时,AD=x,BF=y,求y与x的函数解析式及定义域.(3)当BF=54ADB时,则AD的值.【例题5】如图:已知直线L1的解析式是y=3x+6,直线L1与x轴、y轴分别相交于点A、B,直线L2经过BC两点,点C的坐标为(8,0),又知点P在x轴上从点A向点C 移动,点Q在直线L2上从点C向点B移动.点P、Q同时出发,且移动的速度都是每秒1个单位长度,设移动时间为t秒(0<t<10). (1)求直线L2的解析式. (2)设△PCQ的面积为S,求出S与t的函数关系式.(3)当t为何值时,△PCQ是等腰三角形?答案: (1)y=-34x+6 (2)S=-310t2+3t (3) t=5或5013或8013秒.三．强化训练：1.已知抛物线y=x-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，则a的值为 _______________;2.一次函数y=kx+b的x的取值范围是 -3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2，则这个函数的解析式是__________________________;3．已知圆O1与圆O2相切，圆O1的半径长为3cm，O1O2=7cm，那么圆O2的半径长是cm.4．已知正方形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE=2，联结BE与对角线AC 相交于点F，则CF:FA的值是________________．5．如果直角梯形的一条底边长为7厘米，两腰长分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形的面积是平方厘米．6.已知A、B两点二次函数y=ax的图像上，这两点的横坐标分别是-2和1，△AOB 是直角三角形（点O是坐标原点），求a的值；7.在△ABC中，AB=23，AC=2，BC边上的高为AD=3，求BC的长和∠B的度数；8.如图：在△ABC中，∠C=90，BC=6，AC=8，点M、N在△ABC并上，将△ABC沿直线MN对折后，它的一个顶点正好落在对边上，且折痕MN截△ABC 所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与△ABC相似，请分别画出折痕MN各种可能的位置，并分别说明画法及求出折痕的长；022AB9.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x=3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．（1）求△ABC面积；（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．10.如图8，在∆ABC中，∠C=90︒，AC=6，tanB=342，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90︒，EF交射线BC于点F．设BE=x，∆BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与∆BED相似，求∆BED的面积.CD 图8 B C D 备用图 B11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=∠B=45︒．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t 秒．试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．C12.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足。
中考专题复习-----分类讨论问题
应用练习
1.一组数据：2,3,4，x 的平均数与 中位数相等，则x的值不可能是______
A.Biblioteka C.13B.
D.
2
5
2.已知圆O的直径AB=2，过点A有两条 弦AC= AD= 求∠CAD的度数
3. 在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接
圆直径是（
A 5
）
B 10 C 5或4 D 10或8
中考数学专题复习之一
分类讨论问题
分类讨论方法： “分类讨论是一种重要的数学思想,也是一种重要的解题策略,它体现了化 整为零,积零为整的思想与归类整理的方法.它揭示着数学对象之间的内在规律, 有助于学生总结归纳数学知识,使所学知识条理化,提高思维的条理性和概括性.
分类讨论遵循的原则是: （1）分类的对象是确定的,标准是统一的 （2）,确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥 (没有重复);（3）对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果; （4）归纳小结,综合得出结论. 实质上,分类讨论的应用策略：
一.典题分析
1.若等腰三角形中有一角等于50度则这个三角形 顶角的度数为______．(图形不确定型)
2.点A为直线y=-2x+2上的一点，且到两坐标轴距 离相等，则A点坐标为______．（位置不确定型）
3.有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三 角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4，将这副直角三角板按如图(1) 所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定 三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时 停止运动． (1)如图(2)，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M， 则∠EMC= 度； (2)如图(3)，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长； (3)在三角板DEF运动过程中，当D在BA的延长线上时，设BF=x，两块三 角板重迭部分的面积为y．求y与x的函数关系式，并求出对应的x取值范 围．
高中数学(高二)分类讨论习题及答案
分类的准则：分类科学，标准统一，不重不漏，力求最简。
分类讨论的标准：①涉及的数学概念是分类定义的；②涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；③涉及题中所给出的限制条件或研究对象的性质而引起的；④涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果二引起的；⑤涉及几何图形的形状、位置的变化而引起的；⑥一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的．分类讨论的步骤一般可分为以下几步：①确定讨论的对象及其范围；②确定分类讨论的标准，正确进行分类；③逐步讨论，分级进行；④归纳整合，作出结论．一．举出几种高中学数学常见的分类（1）方程02=++c bx ax ；函数c bx ax y ++=2；不等式02>++c bx ax 中a 的讨论（2）等比例的前n 项和的公式，分0q =和1q ≠两种情况．．（3）设直线方程b kx y +=时，斜率的讨论（4）a 的定义时对0a >、0a =、0a <三种情况一．集合，不等式中的应用典型例题1.解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->,并写出解集2.若集合2{560}A x x x =-+≤，集合},02{Z a ax x B ∈=-=，且A B ⊆，则实数a =．3.设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R = ，则a 的取值范围为_________4.不等式a x x x >+-++21恒成立，则实数a 的取值范围是巩固练习1.不等式a x x >-+2-1有解，则实数a 的取值范围是2.若{}21,1,2,2x x x ∈--，则实数x 的集合是.3.已知21log 13x -<，则x 的取值范围是___________.4.111222,,,,,a b c a b c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）.A 充分非必要条件.B 必要非充分条件.C 充要条件.D 既非充分又非必要条件5.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
分类讨论题(含标准答案)
分类讨论题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于．6.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
2019中考数学专题复习 分类讨论型问题
中考数学专题复习——分类讨论型问题班级______________ 姓名_____________________ 座号___________⏹ 分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．⏹ 分类的原则：分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 1、 分类中的每一部分是相互独立的； 2、 一次分类按一个标准； 3、分类讨论应逐级进行．一、选择题（每题 3分，共 24分）1．若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1;C ．5或1D ．－5或－1 2．等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）A ．5cm B.3cm C ．5cm 或3cm D ．不确定3．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ´B ´C ´，则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝4．一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）A ．14B ．－6C ．－4或21 D.－6或145．若⊙O 的弦 AB 所对的圆心角∠AOB=60°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ）A ．300B 、600C ．1500D ．300或 1500二、填空题（每题3分，共18分）6．已知点P （2，0），若x 轴上的点Q 到点P 的距离等于2，则点Q 的坐标为_________． 7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________． 8．已知点Ｐ是半径为2的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作了长为的弦AB ，连接PB ，则PB 的长为9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．10．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是________．三、解答题（每小题5分，共20分）11.抛物线 2y ax c =+与y 轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式.12. 在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，O 是边AC 上的一个动点，以点O 为圆心作半圆，与边AB 相切于点D ，交线段OC 于点E ，作EP ⊥ED ，交射线AB 于点P ，交射线CB 于点F 。
最新九年级中考数学专题复习：分类讨论
一象限内y随x的增大而增大．
感悟提高
一般地，当题目中涉及分类给出的公式、性质、定理时，都要进行
分类讨论．
难度值
0.55
例题3
如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)与x轴交于A，B两点，与y轴的正半
轴交于点C，其顶点为D.
(1)写出C，D两点的坐标(用含a的式子表示)；
0.60
例题2
a
2
已知实数a，b满足a－b＝1，a －ab＋2＞0，当1≤x≤2时，函数y＝
x
(a≠0)的最大值与最小值之差是1，求a的值．
点拨
根据条件a－b＝1，a2－ab＋2＞0可确定a的取值范围，然后分
情况进行讨论，再分别根据最大值与最小值之差是1，计算出a的值．
解
∵a2－ab＋2＞0，
∴a2－ab＞－2，
∴a(a－b)＞－2，
∵a－b＝1，
∴a＞－2.
a
a
①当－2＜a＜0,1≤x≤2时，函数y＝ 的最大值是y＝ ，最小值是y＝a
2
x
，
a
∵最大值与最小值之差是1，
2
∴ －a＝1，解得：a＝－2，不合题意，舍去；
试题分析
k
本题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数y＝x (k≠0)
，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x
2
m的值为( D )
A. 0
点拨
B. 0或2
C. 2或－2
D. 0，2或－2
分为两种情况讨论：若m≠0时，函数是二次函数；若m＝0时，函
数是一次函数．
解
分为两种情况讨论：
八年级数学下册专题课堂五平行四边形中的分类讨论作业新版新人教版
②如图②，在▱ ABCD 中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE ＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，DF 平分∠ADC 交 BC 于点 F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2，∴BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝8，∴AB＝3.
②如图②，在▱ ABCD 中，∵BC＝AD，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE ＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，DF 平分∠ADC 交 BC 于点 F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD，∴BE＝CF. 又∵EF＝3 cm，CF＝9 cm，∴BC＝BE＋CF＋EF ＝2CF＋EF＝21(cm)，∴▱ ABCD 的周长＝AB＋BC＋ CD＋AD＝2BC＋2CD＝2BC＋ 2CF＝2(BC ＋CF )＝2(21＋9)＝60(cm).
【对应训练】 1．在平行四边形 ABCD 中，∠A＝30°，AD＝2 3 ，BD＝2，求平行四边形 ABCD 的面积．
解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，在 Rt△ADE 中，∵∠A＝30°，AD＝2 3 ，∴DE＝12 AD ＝ 3 ，∴AE＝3，在 Rt△BDE 中，∵BD＝2，∴BE＝ BD2－DE2 ＝ 22－（ 3）2 ＝1，如图①，AB＝4，∴平行四边形 ABCD 的面积＝AB·DE＝4 3 ；如图②，AB＝2， ∴平行四边形 ABCD 的面积＝AB·DE＝2 3 ，综上，这个平行四边形 ABCD 的面积为 2 3 或4 3
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专题五分类讨论题
一、选择题
3.（2013•广西钦州中考）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°3. B
6.（2013•江苏淮安中考）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）
A．5 B．7 C．5或7 D．6
6. B
7.（2013•山东莱芜中考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．8
7. C
8.
9.
10.（2013•深圳中考）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（）
A．8或 B．10或 C．10或 D．8或
10. D
二、填空题
13. （2013•甘肃平凉中考）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边
为．
13.6，4或5，5．
14.（2013•四川雅安中考）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．
14.（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．
15.（2013•浙江绍兴中考）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA 绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标
是．
15.2或-2
16.（2013•四川绵阳中考）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是．
16. 6或12或10．
17.（2013•江苏无锡中考）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为．
17.
18.（2013•浙江丽水中考）如图，点P是反比例函数y=（k＜0）图象上的点，PA垂直x 轴于点A（﹣1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB=．（1）k的值是；
（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围
是．
18.（1）﹣4 （2）0＜a＜2或＜a＜
三、解答题
20.
21.某水果批发市场香蕉的价格如下表：
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
22.解：设张强第一次购买香蕉x 千克，第二次购买香蕉y 千克，由题意0<x<25， （1）当0<x≤20，y≤40时，由题意可得：⎩⎨
⎧=+=+2645650y x y x ，解得⎩⎨⎧==36
14
y x
（2）当0<x≤20，y>40时，由题意可得：⎩
⎨⎧=+=+2644650y x y x ，解得⎩⎨⎧==1832
y x (不合题意，
舍去)
（3）当20<x<25时，则25<y<30，由题意可得：⎩⎨
⎧=+=+264
5550
y x y x ，方程组无解
由（1）（2）（3）可知，张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克。
22. （2013•广州中考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），反比例函数（x＞0，k≠0）的图
象经过线段BC的中点D．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x 的取值范围．
22.解：（1）∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），
∴C（0，2），
∵D是BC的中点，
∴D（1，2），
∵反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过点D，
∴k=2；
（2）当D在直线BC的上方时，即0＜x＜1，
如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，
∴y=，
∴S四边形CQPR=CQ•PD=x•（﹣2）=2﹣2x（0＜x＜1），
如图2，同理求出S四边形CQPR=CQ•PD=x•（2﹣）=2x﹣2（x＞1），
综上S=．
23.（2013•黑龙江齐齐哈尔中考）甲乙两车分别从A、B两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离S（千米）与甲车出发时间t（小时）之间的函数图象，其中D点表示甲车到达B地，停止行驶．
（1 ）A、B两地的距离千米；乙车速度是；a表示．（2）乙出发多长时间后两车相距330千米？
23.解：（1）t=0时，S=560，
所以，A、B两地的距离为560千米；
甲车的速度为：（560﹣440）÷1=120km/h，
设乙车的速度为xkm/h，
则（120+x）×（3﹣1）=440，
解得x=100；
相遇后甲车到达B地的时间为：（3﹣1）×100÷120=小时，
所以，a=（120+100）×= 千米；
（2）设直线BC的解析式为S=k1t+b1（k1≠0），
将B（1，440），C（3，0）代入得，
，
解得，
所以，S=﹣220t+660，
当﹣220t+660=330时，解得t=1.5，
所以，t﹣1=1.5﹣1=0.5；
直线CD的解析式为S=k2t+b2（k2≠0），
点D的横坐标为+3=，
将C（3，0），D（，）代入得，
，
解得，
所以，S=220t﹣660，
当220t﹣660=330时，解得t=4.5，
所以，t﹣1=4.5﹣1=3.5，
答：乙出发多长0.5小时或3.5小时后两车相距330千米．。