42平行线分线段成比例2平行线分线段成比例

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平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。

推论:平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

定理定义三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

这一定理被称为"平行线分线段成比例定理"。

如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB:BC=DE:EF;AB:AC=DE:DF;BC:AC=EF:DF。

也可以说AB:DE=BC:EF;AB:DE=AC:DF;BC:EF=AC:DF。

上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。

事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。

定理证明设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点。

连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得:AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF定理推论过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

•平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

定理推论:①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。

②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

•证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。

初中数学_ 平行线分线段成比例教学设计学情分析教材分析课后反思

八年级下册——第九章《图形的相似》第二节《平行线分线段成比例》教学设计课标要求：掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”．学习目标：1、探索并掌握基本事实“平行线分线段成比例”及其推论．2、经历上述探究过程，体会由特殊到一般的归纳推理的思想与方法．3、通过交流合作，体会到其重要性，感悟几何价值，培养良好的学习习惯．教材分析：本节内容是八年级下册第九章第二节，是2011版新课标新增内容，按照《标准》规定，将“平行线分线段成比例”内容作为基本事实，它是证明相似三角形判定定理的基础．在学习平行线分线段成比例时，教材呈现的顺序是：特殊→一般→特殊．具体来说，教材首先借助方格纸这一工具，引导学生通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实；然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中），得到它的一个推论，从而为后面证明相似三角形判定作准备．由于基本事实不需要推理证明，所以本节内容在学生通过一系列的探索活动，直观归纳出结论即可，所以重点就是能找出对应线段，掌握“平行线分线段成比例”及推论，并能简单应用．学情分析：由于学生通过对相交线、平行线、三角形、四边形（主要是平行四边形）等图形的学习，已经积累了一定的数学活动经验，几何直观与推理能力都得到了一定的培养，而通过对前面两课时的学习，对相似图形有了直观的印象，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系，从而认识了线段的比及成比例线段，通过方格纸的直观性，合作探究，了解了合比性质、等比性质，并通过对其进行证明，发展了学生的逻辑推理的能力，为后面相似的学习奠定了良好的基础，而“平行线分线段成比例”正好是建立在成比例线段基础上来学习的．所以本节课的难点就是如何理解对应线段成比例及其变式应用．评价设计：1．通过学生动手操作，自主思考及课堂展示环节二三，检测目标1的达成。

2．通过环节二、三、四检测目标2的达成。

4.2 平行线分线段成比例

如图3-6中，小方格边长都为1，平行线l1 ∥l2∥ l3.分别交直线m,n A1，A2 , A3 , B1 , B2 , B3 。
（1）计算的值，你有什么发现？（2）将l2 向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与 l2 的交点分别为 A2 , B2 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将 l2平移到其它位置呢？
A B C D E F C D B A E F
3、注意该定理在三角形中的应用
习题巩固
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
解∵AC=4，EC=1， ∴AE=3. ∵ DE∥BC，
∴ ∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
拓展延伸 1.如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解.
l2
AB C图1DE Fl3 l4
E A
D
B
C
l5
图2（2）
推论平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例. l l l l A D l E l
1 1
D B
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
数学符号语言
DF∥AC，证明：

OD OF . OA OC
EF∥BC

OF OE ， OC OB OD OE . OA OB
课堂小结
1、平行线分线段成比例定理： (1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段） (2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例. 2、要熟悉该定理的几种基本图形

平行线分线段成比例培优

14.2平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理：三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。

如下图,如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=。

2. 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）,所得的_______线段的比_________。

如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3。

平行的判定定理: 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例,那么这条直线于三角形的第三边。

如上图，如果有BC DEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

【例1】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长.【例2】如图,已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =,求证：111c a b=+。

【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=.【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论。

【例3】如图,在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，,过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，,求EF 的长。

【巩固】（上海市数学竞赛题）如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥,AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ,CE 交DF 于Q ,求PQ 的长。

l3l 2l 1F E D C B AA B C DE E D C B AEDCBAFEDCBAFEDCBAFE DCBAOFEDCBAQPF E D CBA2专题二、定理及推论与中点有关的问题（1)如图（1)，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点,且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD =_______。

4.2平行线分线段成比例定理

BC与EF
两条直线被三条平行线所截,所得的对对A应C线与段DF成比例.
符号语言：l1∥l2∥l3
AB DE BC EF
上上下下
AB DE AC DF
上上全全
BC EF AC DF
下下全全
可以推广到被n条平行线所截
平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例
已知：l1∥l2∥l3 求证：AB DE 连接AE,CE;DB,FB BC EF AB S ABE ，DE S BDE BC S CBE EF S BEF
∵ l1∥l2 S ABE S DBE
∵ l2∥l3 S BCF S BEF
AB DE BC EF
讨论:平行线分线段成比例定理得到的比例式中,所截的四条线段与两直线的位置有没有关系？!
L5 L4 L1 L2
L3
L5
L4
L1
L2
L3
L5
L4
E
D
L1
A
L2
B
C
L3
几何语言：
DE // BC E D
A
AD AB
=AACE
B
C
L5 L4
L5 L4
A
L1EDL1DEL2AL2
B
C L3 B
C
L3
几何语言： ∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
几何语言：
∵ DE∥BC
∵
AD AB
C
2、填空题:
ED
如图:DE∥BC,
已知:
—AACE—
＝
—2 5
求:
—AADB—

平行线分线段成比例定理

如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥如图，有一块形状为直角梯形的草地，直道，两个拐角A 处均为直角，直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直道EF垂直于AB 垂足为E.已知AE EF垂直于AB， E.已知AE长 EB长 DF长直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长 c米.求CF.
要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D B C A E F E D D E F C A B B C C E D B A E F A B E D
F D
C A
16 16 8 CF = DE = , BF = 8= . 3 3 3
B
F
C
例2:三角形内角平分线分对边成两线三角形内角平分线分对边成两线这两线段和相邻的两边成比例. 段,这两线段和相邻的两边成比例这两线段和相邻的两边成比例
A
4 3
E
已知：是已知：AD是△ABC中∠A的平中的平分线，分线， BD AB 求证：求证：DC
课堂小结
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？定理有何联系？
A B D E
AB 当 =1 BC AB 当 ≠1 BC
A B
D E
C
F
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！结论：后者是前者的一种特殊情况！平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 对应线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
l4
l5
问题二如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳如何不通过测量，运用所学知识，子分成两部分，使这两部分之比是2:3? 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?

(完整版)平行线分线段成比例

1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明：过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高，则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB

1gABgADgsin BAD 2
SVDAC

1 gCDgh 2

1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开，难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例

平行线分线段成比例的应用PPT课件

技巧2 等积代换法证比例式
2. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，连接BF，求证： PE PA . PF PB
证明：∵DE∥BC，∴ PD PE . PB PC
∴PD·PC＝PE·PB.
∵DF∥AC，∴ PF PD . PC PA
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！四、提醒类
(2)∵△ACE≌△BCD， ∴∠BDC＝∠AEC. 又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE ＝60°＝∠FCE，CD＝CE， ∴△GCD≌△FCE(ASA)． ∴CG＝CF. ∴△CFG为等边三角形． ∴∠CGF＝∠ACB＝60°. ∴GF∥CE. ∴ AG AF . GC FE
类型 2 证线段相等
DB ∵CF∥BA， ∴ DE AE AD 1.
EF EC DB ∴DE＝EF.
类型 3 证比例和为1
技巧6 同分母的中间比代换法
6. 如图，已知AC∥FE∥BD，求证： AE BE 1. AD BC
证明：∵AC∥EF，
∴ BE BF ①. BC BA
又∵FE∥BD，
∴ AE AF ② . AD AB
①＋②，得 BE AE BF AF AB 1. BC AD BA AB AB
即 AE BE 1. AD BC
同学们下课啦
授课老师：xxx

25.2平行线分线段成比例(2)

平行线分线段成比例的推论1:
A
D E E D A
B
C
B
C
“A”字图形
“8”字图形
A
D
平行线分线段成比例的推论1: E D 几何语言：
E A
∵DE∥BC， AD AE ∴ = . AB AC
B
C
B
C
“A”字图形
“8”字图形
这是今后最常用的两个基本图形.
两两合作：提纲（一）（二）
大号讲解思路，小号补充纠错，
小组讨论：分析提纲（三） B层讲解思路，A层纠错，C层发问；
2.如图，在△ABC中，DE∥BC,DE分别交 AB，AC于点D，E，DE=10，AE=12，EC=2 求BC的长。
A
D B
E C
1.如图DE∥BC,EF∥AB,AB=9，AD=3， BF=4.求BC的长。 A
D E
B
F
C
2.已知：如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线， EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F，交AD于点G, 求证：EG=GF
D A B
l1 l2
F
C
l3
平行于三角形一边的直线截其他两边
(或两边的延长线)，
平行线分线段成比例的推论1:
D A B
l1 l2
F
C
l3
平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例的推论1:
A
D E E D A
B
C
B
C
“A”字图形
“8”字图形
A
C
l3
平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)，
平行线分线段成比例的推论1:

《平行线分线段成比例的推论》PPT课件

精彩一题
解：∵EF∥BC， ∴AAEB＝AAGD，AAEB＝EBFC，∴EBFC＝AADG， ∵AD＝10，BC＝8，DG＝5， ∴E8F＝101－0 5，∴EF＝4.
精彩一题 14．(教材改编题)如图，D，E，F 分别是△ABC 的边 BC，AB，
AC 上的点，EF∥BC，AD 与 EF 相交于点 G， AD＝10，BC＝8. (2)在上述线段 EF 的平移过程中，设 DG＝x， EF＝y，试求 y 与 x 之间的函数关系式．
冀教版九年级上
第二十五章图形的相似
25.2 平行线分线段成比例第2课时
平行线分线段成比例的推论
习题链接
提示：点击进入习题
答案显示
1 成比例 2 C 3 C 4 B 5 对应边成比例
6A
7D
8C
9C
10 A
11 2∶3 12 见习题 13 见习题 14 见习题
课堂导练
1．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段__成__比__例____．
课后训练 12．如图，D 是△ABC 的边 AB 上的点，DB＝3AD，过点 D 作
DE∥BC 交 AC 于点 E.BE，CD 相交于点 F. (1)若 AE＝2，则 EC＝____6______；
【点拨】(1)∵DB＝3AD，∴BADD＝13. ∵DE∥BC，∴AEEC＝BADD＝13，即E2C＝13. ∴EC＝6.
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！

平行线分线段成比例及相似多边形—知识讲解

平行线分线段成比例及相似多边形责编：常春芳【学习目标】1. 平行线分线段成比例及其推论.2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.3.相似多边形的有关概念.【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例及其推论平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点诠释：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等.右全左全右上左上全上全上下上下上===,,（2）有推论可以得出以下结论：要点二、行线分线段成比例及其推论的应用行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度.要点三、相似多边形的有关概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.要点诠释：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．【典型例题】类型一、平行线分线段成比例及其推论1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC= EF 的值是__________.AB=BC【答案】2.【解析】2、（2015•安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【答案与解析】解：∵PQ∥BC，∴=，∴，∴，∵AP=AQ，∴PQ=3．【总结升华】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．举一反三【变式】如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF等于______________.【答案】7.5.类型二、平行线分线段成比例及其推论的应用3、如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．【思路点拨】根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．【答案与解析】解：∵AB∥DC，==举一反三【变式】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，的长是（）AD AB =A ．4.5B ．8C ．10.5D ．144、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（）A B C 6 D 233216【答案】B.举一反三【变式】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（）A．5：8 B．3：8C．3：5D．2：5【答案】解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．类型三、相似多边形的有关概念5、如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．【思路点拨】相似图形是指形状相同的图形．根据相似图形进行变换可以形成一些美丽的图案．【答案与解析】解：由12个相似的直角三角形形成的图案很有创意，给人以美的享受，可以作为一个商标的图案．以下几个图案分别是用相似形设计的美丽图案．【总结升华】考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．把一组相似图形进行变换可以得到美丽的图案．6.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，根据∠DAB=60°得到然后求112BP AB ==，得EP=2，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD ，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB ，∴∠EAB=∠GAD ，∵AE=AG ，AB=AD ，∴△AEB ≌△AGD ，∴EB=GD ；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．。

平行线分线段成比例定理PPT优秀课件2

A F
E H D
G
B
C
再见
再见再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]
A
D
F
B
G
C
E
图10
答案（3）
A
字母A型图
F
D
A
D
F
B G
C
B
图10-1
E A
字母X型图
E D
F
G 图10-2
A
F
C D
B E
G
图10-3
CB E
G
C
图10-4
作业
1、如图：∠A=∠C，AB/BC=3/2，BE=8。求
BD=？
E
A
BC
D
2、已知：FG∥AE∥BC，GH∥CD，求：
AF/BF=EH/HD
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]

4.2平行线分线段成比例专题(学生用)

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AD 和 BC 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AO AD 的值；（3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想.【例5】如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ， E DCB AOF EDCBAOFED CBAPED CBA延长AB 交CE 的延长线于P 。

4.2 平行线分线段成比例

A.AEBE＝DFCF B.AABE＝DDCF C.ABEB＝DFCC D.AABE＝BECF
10．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，下列不成立的比例式是( B )
A.ADDB＝AECE B.ADDB＝DBCE C.AADB＝AACE D.ADBB＝ACCE 11．如图，已知DE∥BC，ADDB＝21，则AACE＝_31_；如果EC＝12，则AC＝ 18 ．
(1)求AADB的值； (2)求BC的长．
解：(1)AADB＝4＋4 8＝31 (2)∵DE∥BC，∴AACE＝AADB，又∵AACE＝DBCE，∴DBCE＝AADB＝13，∴BC＝9
15．如图所示，DE∥AF∥BC，且AD＝2 cm，AB＝6 cm. (1)求ABDD的值； (2)若FD＝1.5 cm，AE＝1.2 cm，分别求出DC和EC的值．
111 2 A.2 B.3 C.4 D.3
8．如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC，小明由此得出了以下四个结论：
①AANC＝AAMB ；②DAMD＝CDMN； ③ABMM＝DAMD ；④AM2＝AB·AD. 其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知AD∥EF∥BC，下列结论不成立的是( D )
例3如图，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：OOMA ＝OOGC.
分析：证明
ba ＝
dc ，利用中间比
m n
，先证明 ba
＝ mn
， dc
＝ mn
，是一种解题策
略．
解： ∵AB∥MN，∴OOMA ＝OONB，又∵BC∥NG，∴OOGC＝OONB，∴OOMA ＝OOGC
,5.如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F， 3

平行线分线段成比例

A
DE / / BC,
D
AD AE .
E
DB EC
B
C
三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
用几何语言表示为:
ED A
B
DE / / BC, DA EA .
DB EC
C
例题讲解
例1 如图，l1∥l2∥l3，AB 4， A D
1已知AB BC 4，DE 5，求EF的长；
2已知AB 5, BC 6, DE 7，求EF的长.
l1 l2
AD
B
E
C
F
（1）EF 5 （2）EF 42
5
2.如图, AD∥BE∥CF ,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F , AB 4，BC 3， DF 9.求EF的长.
F
求证：BO EO . FO BO
O B
证明：四边形ABCD是平行四边形，
E D C
AB∥CD, AD∥BC.
AB∥CD， CO EO .
AO BO
AD∥BC, BO CO . FO AO
BO EO . FO BO
练习
1.如图, AD∥BE∥CF ,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F .
如果将作业本上相邻的三条平行线换成不相邻的
三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交，如图，
当m、n这两条直线平行时，观察并思考这时所得的
AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什么关系？如
果m、n这两条直线不平行，你再观察一下，也可以量
一量算一算，看看它们是否存在类似的关系？
mn

4-27.2.2.平行线分线段成比例定理

BC
=
EF
(平行线分线段成比例定理)
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例已知:如图,l1∥l2∥l3
B
A
D
l1
E
l2
求证
或
或
AB DE BC EF
AB DE AC DF
BC EF AC DF
C
F
l3
定理的证明:过A点作AN ∥ DF，交l2于M，交
l3于N 点，连接 BN 、CM（如图(1-2） ∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF AB S ABM 在△ACN中，有
4、如图2：△ABC中，DE ∥BC，如果 AE ：EC=7 ：3，则DB ：AB=（ 3:10 ）
A
A B F D E C L1 L2 L3
D B
E C 图2
图1
例2:三角形内角平分线分对边成两线段, 这两线段和相邻的两边成比例.
A
4 E 3
已知：AD是△ABC中∠A的平分线， BD AB
求证：DC
A
∵ DE∥BC
AB AC ∴ —— ＝ —— （推论） BD CE B 15 9 即 —— ＝ —— 4 CE D 12 ∴ CE ＝ — 5 2 12 ∴ AE= AC+CE=9+ — =11—
5 5
C
E
3、如图1：已知L1∥L2∥L3 ， AB=3厘米，BC=2厘米，DF=4.5厘米. 则EF=（ 1.8 ），DE=（ 2.7 ）.
(符号语言) 分析：由平行线分线段成比例定理的推论可直接得到AD:AB=AE:AC.
AD AE DE . 点D、E.求证： AB AC BC

4.2 平行线分线段成比例

且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少？
解: ∵EF∥BC,
A
∴ AE AF .
EB FC
∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4.
E
F
∴ AF AE FC 7 4 28 .
B
EB
55
C
(2)如果AB=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？
BF
7
2.直线 a // b // c ，若AC=4，CE=6，
15
则BD=3 ，BF= 2
二平行线分线段成比例定理的推论
找一找：如图2、图3，l3∥ l4∥l5,请指出成比例的线段.
l1 l2
AA
l3
DD EE
l4
l1 l2
DD EE l3
A A
l4
BB
CC l5
图2
BB
CC l5
图3
猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
F
l3
由AB=BC得DM=EN
易证：△DME≌△ENF ∴ DE=EF.
*平行线等分线段
合作探究平行线分线段的关系
如图（1），小方格的边长都是1，直线a ∥b∥c ,分别交直线
m,n于 A1, A2 , A3,B1, B2 , B3.
（1）计算 A1 A2 , B1B2 ， A1A2 , B1B2
4 EC BD ___7____
3
DC
BC
4.已知：DE//BC, AB=15,AC=9,BD=4 .求AE的长.
解: ∵ DE∥BC,
∴ —AB—＝ —AC— .（推论） BD CE