等差数列的前n项和性质及应用

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(方法 2)通项法：当 a1＞0，d＜0，aann≥＋1≤0 0 时， Sn 取得最大值；当 a1＜0，d＞0，aann≤＋1≥0 0 时， Sn 取得最小值．
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等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 Sn=（16/2 ） × 18=144 答:前16项的和为144。
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例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n， 求证：{an}是等差数列.
2020年10月16日星期五
题型(二)——已知Sn，求通项公式an： 变式训练2 若数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
3 1 3 1 3 2 d 1 1 1 3 1 1 1 1 0 d
2
2
∴ d=－2
1 Sn13n2n(n1)(2)
n2 14n(n7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
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等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
1
若a8=5，你能求出S15吗？
结论：等差数列{an}的前2n-1项和公式：
S 2 n 1 （ 2 n 1 ） (a 2 1 a 2 n 1 ) (2 n 1 )a n
性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且
前n项的和分别为Sn和Tn,则
a b
n n
S 2n1 T 2n1
2
学案76 达标7
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变式训练3 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)问{an}的前多少项和最大．
(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大 ．
n(n1)d Sn na1 2
看作是一个关于n的函数，这个函数
有什么特点？
Sn
dn2 2
Βιβλιοθήκη Baidu(a1
d)n 2
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则
Sn=An2+Bn
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数8
题型(三)——等差数列前n项和Sn的最值问题：
等差数列前n项和的最值 (1)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为_负__数__ 项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最_小__值； (2)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为_正__数__ 项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最_大__值． 特别地，若a1＞0，d＞0，则_S_1_是{Sn}的最_小__值 ；若a1＜0，d＜0，则_S__1 是{Sn}的最_大__值．
助函数的单调性及数形结合，从而使问题得解；
(2)通项公式法：
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的 和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的 和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.
解：∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1， an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
而 a1＝S1＝5，
5
n＝1
∴an＝2n－1 n≥2
.
课本P45 ex2
2020年10月16日星期五
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
形式1:
Sn
n（a1 an) 2
形式2:
n（n1)
Snn1a 2 d
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1.将等差数列前n项和公式
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练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为
( C)
A.12 B.13 C.12或13 D.14
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求Sn的最值问题的方法：
【点评】 综合上面的解法我们可以得到求数列
前n项和的最值问题的解法：
Sn
dn2 2
(a1
d)n 2
(1)二次函数法：运用配方法转化为二次函数，借
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
a a
n
n1
0
0
n
15 2
得
n
13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
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等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
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变式训练3 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)问{an}的前多少项和最大．
解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n. 故{an}的通项为an＝34－2n.
所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2. 故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列．
3： 在a、b之间插入10个数，使它们同这两个数成等 差数列，求这10个数的和。
解1： 法 SSn(ab)12(a 2b)(ab)5(ab) 解2法 ： x1x10ab, S10(x1 2x10 )5(ab)
3
4： 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?
分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式 解: 由等差数列的性质可得:
解法2 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
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等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
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求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由Sn
dn2 2
(a1
d)n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列 前面有若干项为正,此时所有正项的和为 Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值 由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.